МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН СЕМПАЛАТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ШАКАРИМА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
СЕМПАЛАТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени ШАКАРИМА
Документ СМК 3 уровня
УМКД
УМКД 042-14.01.20.218/03-2010
УМКД
Редакция № 4 от
Учебно-методические
27.08.2010 г. взамен
материалы дисциплины
редакции № 3 от
«Математика 1» для
28.12.2009 г.
студентов
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
«Математика »
для специальностей
5В073200 - «Производство строительных материалов», 5B072900-«Строительство»
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Семей
2010
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
стр. 2 из 76
Содержание
1
2
3
4
5
Глоссарий………………………………………………………………….
Лекции……………………………………………………………………..
Практические занятия…………………………………………………….
Самостоятельная работы студентов……………………………………..
Литература…………………………………………………………………
1 ГЛОССАРИЙ
№
Новые понятия
Содержание
3
9
35
63
70
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
1
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
Определитель
второго порядка
А = det A =
а11 а12
а21 а22
стр. 3 из 76
=а11а22 – а21а12
Одно из понятий линейной алгебры. Применяется при решении
систем линейных уравнений.
2
Определитель
третьего порядка
а11 а12 а13
А = det A = а21 а22 а23 = а11 а22 а33 +а12 а11 а23 а31 +а13 а21 а32 -а13
а31 а32 а33
а22 а31 -а12 а21 а33 -а11 а23 а32
3
Минор
Минором Мij элемента аij определителя третьего порядка
называется определитель 2 го порядка, получаемый
вычеркиванием элементов i – ой строки j – го столбца. Например,
минор
а11 а12
М23=
а31 а32
4
Алгебраическое
дополнение
Матрица
Алгебраическим дополнением Aij называется минор Mij, взятый
со своим знаком (-1)i+j, т. е. Аij=(-1)i+j  Mij
Таблица состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей
 а11 а12 ... а1n 


 a21 a22 .... a2 n 
А размером m  n. Т. е. А= 

 ................... 
 a a ...a 
mn 
 m1 m 2
 А11 А21 А31 

1
-1
А =  А12 А22 А32  , где   0


 А13 А23 А33 
Понятие ранга применяется при исследовании систем линейных
уравнений на их совместность .
A  ( x1, y1, z1 ) , B  ( x2 , y2 , z2 )
5
6
Обратная
матрица
7
Ранг матрицы
8
Вектор
AB  ( x1  x2 , y1  y2 , z1  z2 ) - координаты вектора.
AB  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2  ( z2  z1 )2 - длина отрезка АВ
а  ( x1 , y1 , z1 ) ,
9
Скалярное
произведение
a  x 2  y 2  z 2 - длина вектора
( a  b )= a  b  cos
( a  b )= х1х2  у1 у2  z1z2
x1 x2  y1 y2  z1 z2
cos  
-Угол между векторами.
2
x1  y12  z12 x22  y22  z22
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
стр. 4 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
ПРb a 
( a, b)
- проекция вектора a на вектор b .
b
x1
y
z
 1  1 - условие коллинеарности векторов
x2 y 2 z 2
10
Векторное
произведение
с  a  b  sin  = Sпар.
с= a  b = (
1
S=
2
11
Смешанное
произведение
y1
y2 z1 x1 x1
,
,
z2 z2 x2 x2
z1
y1 z1
y2 z 2
2

x1 z1
x2 z2
2

x1 y1
x2 y2
y1
y2
)
2
-площадь
треугольника
(геометрический смысл векторного произведения)
x1 y1 z1
( a  b  c )= x2
y2
z2
x3
y3
z3
Если ( a  b  c )=0, то векторы компланарны.
V= (a  b  c) - объем параллелепипеда (геометрический смысл
12
Уравнение
прямой на
плоскости
смешанного произведения)
Ах+Ву+С=0 - общее уравнение
А
к=  - угловой коэффициент
В
x  x1
y  y1

- уравнение прямой через две точки
x2  x1 y2  y1
A(x-x0)+B(y-y0)=0 - уравнение прямой с нормалью нормалью
x  x0 y  y0

- уравнение прямой с направляющим вектором
l
m
y-y0=k(x-x0) - уравнение прямой с угловым коэффициентом
x y
  1 - уравнение прямой в отрезках
a b
к1 = к2 - условие параллельности прямых
1
к1 = 
- условие перпендикулярности прямых
к2
tg  
d=
13
Кривые второго
порядка
к2  к1
- угол между прямыми
1  к1к2
Ах0  Ву 0  С
А2  В 2
1)
- расстояние от точки до прямой
х2 у 2

 1а2 в2
эллипс,
F2 (c,0), F2 (c,0) - фокусы, где
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
c2  a2  b2 , e 
2)
14
Уравнение
прямой в
пространстве
стр. 5 из 76
c
a
-эксцентриситет, x   - директрисы
a
e
х2 у2

 1-гипербола, F2 (c,0), F2 (c,0) - фокусы, где
а2 в2
c
a
c 2  a 2  b 2 , e  -эксцентриситет, x   - директрисы,
a
e
b
y   - асимптоты
a
3) у2=2px или х2 =2ру –парабола, р - параметр параболы,
ð
ð
x   - директриса, F ( ,0), - фокус параболы
2
2
2
2
2
( x  a)  ( y  b)  R -окружность, С(а,в) – центр окружности ,
R – радиус окружности.
x  x0 y  y0 z  z0


- канонические уравнения прямой,
l
m
n
а  (l , m, n) - направляющий вектор
x  x1
y  y1
z  z1


- уравнение прямой через две точки
x2  x1 y2  y1 z2  z1
 x  x0  lt

 y  y0  mt - параметрические уравнения прямой
 z  z  nt
0

 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0
- уравнение прямой как пересечение

 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
двух плоскостей, где
 B1 C1 C1 A1 A1 B1 
 - направляющий вектор
a
,
,
 B2 C2 C2 A2 A B 
2
2


l1 m1 n1
 
- условие параллельности прямых
l2 m2 n2
l1l2+m1m2+n1n2=0–условие перпендикулярности прямых
15
Уравнение
плоскости
Ax+By+Cz+D=0 - общее уравнение
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, где n =(A,B,C) – нормаль плоскости
x  x1 y  y1 z  z1
x2  x1
y2  y1
z2  z1  0 -уравнение плоскости через три
x3  x1 y3  y1 z3  z1
точки
Ах0  Ву 0  Сz0  D
d=
- расстояние от точки до плоскости
А2  В 2  C 2
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
16
Пределы
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
стр. 6 из 76
Свойства бесконечно больших и малых величин
a
a
 ,
 0,     ,     , a    , a    
0

0 
( , , 0  ,   , 1 , 0 ) - неопределенности
0 
sin kx
arcsin kx
tgkx
arctgkx
lim
 k , lim
 k , lim
 k , lim
k
n 0
n 0
n 0 x
n 0
x
x
x
x
x
x
x
первый замечательный предел
n
17
Производная
функции
Таблица
основных
производных
n
 1
 k
x
l im 1    e , l im 1  x   e , l im 1    e k ,
n
x 
x 0
x
 n

bx
log a (1  x)
a 1
x
 log a e
l im 1  kx  ek , l im
 b ln a , l im
x

0
x 0
x 0
x
x
Второй замечательный предел
y
f ( x0  x)  f ( x0 )
f x   lim
 lim
- определение
x  0 x
x  0
x
y  f ( x0 )  f x0 x  x0  - уравнение касательной
(геометрический смысл)
u x   vx   ux   vx  -правило
ux   vx   ux   vx   ux vx  -правило

 u  u  v  uv
- правило
v 
v2
 
 x   t 

, yx  t
- производная функции заданной

t
 y   t 
параметрически

1. С  0
2. х  1
3. u  v  w  u  v  w

u  u  v  uv


4. u  v   u  v  uv
5.   
v2
v


1
v


6. Cu   Cu
7.     2
8. u    u 1u
v
v 



u
9. u 
10. au  au ln u  u
11. eu  eu  u
2 u
1

 1
 u 13. ln u    u
12. log a u  
u ln a
u


14. Sinu   Cosu  u
15. Cosu    Sinu  u
1
1


 u
 u
16. tgu  
17. Ctgu  
2
Cos u
Sin 2u
 
 
 
 
УМКД 04214.01.20.218/03-2010

18. arcsin u  
1
1  u2
1

 u
20. arctgu  
1  u2
18
Правило
Лопиталя
19
Выпуклость и
вогнутость
графика
20
Асимптоты
стр. 7 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.

19. arccos u   
 u

21. arcctgu   
1
1  u2
 u
1
 u
1  u2
f ( x0 )
f x  0 
  lim
x  x0 g  x 
0  x x0 g ( x0 )
f x0   0 Необходимое условие существование точки перегиба
Если на а, в f x  0 , то график будет выпуклым, а если
f x  0 , то – вогнутым - достаточное условие вогнутости
функции.
Если при переходе через точку х0 f x  меняет свой знак, то в
этой точке будет точка перегиба. (Достаточное условие
существование точки перегиба).
Если lim f  x   в   , то у=в – горизонтальная асимптота.
lim
x 
Если lim f x    , то x  a - вертикальная асимптота.
x a
Если k  lim
x 
21
Методы
интегрирования
22
Простейшие
рациональные
дроби
Интегрирование
тригонометричес
ких функций
23
f x 
  , b  lim  f  x   kx   - y=kx+b наклонная
x 
x
асимптота.
 udv  uv   vdu - интегрирование по частям.
A
Ax  B
Ax  B
A
;
; 2
;
n
x  a x  a 
x  px  q x 2  px  q

Интегрирование
иррациональных
функций
n
D0
 RSinx, Cosx dx .
x
2t
1- t2
2dt
Универсальная
tg  t , Sinx 
, Cosx 
, dx 
2
2
2
1 t
1 t
1  t2
подстановка
m
n
 Sin x  Cos xdx
1  cos 2 x
1  cos 2 x
и cos 2 x 
2
2
2
2
sin
x

cos
x

1
б) n или m – нечетные.
, cos xdx  d (sin x) или
sin xdx  d (cos x)
1
в) n + m – четное, отрицательное. 1  tg 2 x 
и
cos 2 x
1
1
1
1  ctg 2 x 
dx  d (tgx) ,
dx  d (ctgx)
,
2
2
sin x cos x
sin 2 x
1.  R x, n ax  b , m ax  b dx ,замена
а) n и m – четные. sin 2 x 
24



УМКД 04214.01.20.218/03-2010
стр. 8 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
Nx N 1
(ax  b)  t , N  ÍÎÊ (m, n), dx 
dx
a
N
2. а)
 R( x,
m 2  x 2 )dx; замена x  m sin t , dx  m cos tdt
m
dt
cos 2 t
m
m cos t
x
, dx  
dx
2
2
в)  R( x, x  m )dx; замена
sin t
sin 2 x
 R( x,
б)
3.  
m 2  x 2 )dx; замена x  mtgt, dx 
dx
x x2  a2
  (x   )
4.
Основная
таблица
интегралов.
x
1
n
dx  
, замена à õ 
2 a
2.
n
n  1
8.
9.  tgxdx   ln Cosx  C
2
17.
x
2
2
x
 Ctgx  C
x 1
 sin 2 x  C
2 4
12.  sin 2 xdx 
14.  a x dx 
dx
1
x
 arctg  C
2
x
a
a
dx
1
xa

ln
C
2
a
2a x  a
dx
 Sin
10.  Ctgxdx  ln Sinx  C
13.  e x dx  e x  C
a
dx
 ln x  C
x
6.  Cosxdx  Sinx  C
2
x 1
 sin 2 x  C
2 4

4.
dx
15.
a
x
 x dx  n  1  C n  1
 Cos x  tgx  C
11.  cos 2 xdx 
dt
 t , dx 
n 1
n  1
1
C
(n  1) x n 1
b
5.  Sinxdx  Cosx  C
7.
a
a
, dx   2
t
t dt
1
1
; азамена x  a  , dx   2
t
t dt
ax  bx  c
ax 2  bx  c dx
x
a2  x2
замена x 
2
Mx  N

dx
dx
n
1.  dx  х  C
3.
;
16.
18.

ax
C
ln a
dx
 x  a  ln x  a  C
dx
a x
2
2
 arcsin
x
C
a
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
стр. 9 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
19.
dx

x a
2
2
 ln x  x 2  a 2  C
20.

x 2
a2
x
2
a  x dx 
a  x  arcsin  C
2
2
a
21.

x 2  Adx 
2
2
x 2
A
x  A  ln x  x 2  A  C
2
2
22.
( Mx  N )dx M
2aN  Mb
2ax  b
2
 ax 2  bx  c  2a ln( ax  bx  c)  a 4ac  b2 arctg 4ac  b2 C
23.
25
Геометрические
приложения
определенного
интеграла
dx
x

 Cos x  ln( tg ( 2  4 ))C
b
24.
dx
x
 Sinx  ln tg 2  C
d
S   ( f 2 ( x)  f1 ( x))dx , S   (2 ( y)  1 ( y))dy - площадь фигуры
a
c
b
b
a
b
a
V    y 2 dx    f 2 ( x)dx - объем тела вращения вокруг оси ОХ

V  2 xf ( x) dx объем тела вращения вокруг оси ОУ
a

l

25
Функция двух
переменных
z = f(x, y).


 x  (t )    y  (t )  dt , l  1  f  ( x) 2 dx - длина дуги

 t   t 
a
2
z
f ( x, y )
; z x ;
;
x
x
2
b
f x ( x, y ). - частные производные 1 порядка
f ( x, y )
f ( x, y )
dx 
dy - полный дифференциал
x
y
f ( x, y )
f ( x, y )
f ( x  x, y  y )  f ( x, y) 
x 
y
x
y
dz 
приближенные вычисления
2z
 f xx ( x, y );
x 2
2 z
 f xy ( x, y);
xy
второго порядка
2z
 f yy ( x, y );
y 2
2 z
 f yx ( x, y); - частные производные
yx
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
26
Двойной интеграл
стр. 10 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
b
y2 ( x)
a
y1 ( x )
d
x2 ( y )
c
x1 ( y )
 f ( x, y)dP   dx  f ( x, y)dy , переход к повторному
(P)
 f ( x, y)dP   dy  f ( x, y)dx
(P)

2
2 (  )
1
1 (  )
f ( x, y)dxdy   d
D
 f (  cos  ,  sin  )  d
переход к полярным
координатам
S

1  ( f x( x, y ))2  ( f y ( x, y ))2 dxdy. площадь поверхности
D
 dxdy
S ( D) 
площадь плоской фигуры
D
xC 
 wxdydx

 wdydx
yC 
;

27
Тройной интеграл
 wydydx

 wdydx
; - центр тяжести

b
y2 ( x)
z 2 ( x, y )
a
y1 ( x )
z1 ( x , y )
 f ( x, y, z )dT   dx  dy  f ( x, y, z )dz
(T ) c
переход к повторному
 f ( x, y, z)dxdydz
D
  f (  cos  sin  ,  sin  sin  ,  cos )  2 sin  d d d .
D1
переход к сферическим координатам
f ( x, y, z )dxdydz 
f (  cos  ,  sin  , z ) dddz .


D
D1
переход к цилиндрическим координатам
V (G) 
 dxdydz . – объем тела
G
M   wdv; масса тела
r
I x   ( y 2  z 2 )wdv; I y   ( x 2  z 2 )wdv; I z   ( x 2  y 2 )wdv;
r
моменты инерции
r
r
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
28
Знакоположительн
ый ряд
стр. 11 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.

а1  а2  ...  аn  ...   an
n 1
сходится, если q  1
- бесконечная геометрическая
 расходится, если q  1

q
n
n 1
=
прогрессия
сходится, если p  1
- гармонический ряд
n 1
 расходится, если p  1
Если lim an  0 , то расходится (необх признак)

1
n
lim
p
=
0
an
 A   , то оба ряда
bn


 bn и
n 1

a
n 1
n
одновременно сходятся
или расходятся (сравнения)
 1, расх
an 1

lim
 q   1, сходится (Даламбера)
an
 1, ?

 1, расх

lim an  q   1, сходится (Коши)
 1, ?

n
29
Знакопеременный
ряд
Степенной ряд

а1  а2  а3  ...  (1) n 1 аn  ...   (1) n 1 an
n 1

a x
n 1
n
n
 a0  a1 x1  a2 x 2  ...  an x n  ... и

 a (x  х )
n 1
n
R  lim
0
n
 a0  a1 ( x  х0 )1  a2 ( x  х0 ) 2  ...  an ( x  х0 ) n  ...
an
1
, R
радиус сходимости
an 1
lim n an
Разложение в ряд элементарных функций
ex  1 
x x2
xn
  ... 
 ...
1! 2 !
n!
sin x  x 
x3 x5
x 2 n 1
  ...  (1)
 ...
3! 5!
(2n  1)!
cos x  1 
x2 x4
x2n

 ...  (1) n
 ...
2! 4!
(2n)!
n
x 2 x3
n x
ln( 1  x)  x    ...  (1)
 ...
2
3
n
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
(1  x) m  1 
Дифференциальны
е уравнения
первого порядка
m m(m  1) m(m  1)( m  2)
m(m  1)( m  2)...( m  n  1)


 ... 
1!
2!
3!
n!
x x3 x5
x 2 n 1
   ...  (1) 2 n 1
 ...
1 3
5
2n  1
arctgx 
30
стр. 12 из 76
М ( x) M 2 ( y )dx  N1 ( x) N 2 ( y )dy  0 с раздел перем.
ax  by  c
a1 x  b1 y  c1
y
y /  однородное уравнение
x
/
y  P( x) y  Q( x) линейной уравнение
y/ 
y /  P( x) y  у Q( x) уравнение Бернулли
31
Дифференциальны
е уравнения
второго порядка
y ( n )  F ( x) (простейшее уравнение).
F ( x, y / , y // ,..., y ( n 1) )  0 . отсутствует переменная у
F ( у, y / , y // ,..., y ( n 1) )  0 .отсутствует переменная х
a0 y //  a1 y /  an y  0 линейное однородное уравнение 2 порядка с
постоянными коэффициентами.
D  0 , k1  k2 , у= c1e k1 x  c2e k 2 x .
D  0 , k1  k  k2 , у= (c1  c2 x)e kx
D  0 , k1, 2  a  bi ,
32
Комбинаторика,
классическое
топределение
вероятности
у= (c1 sin bx  c2 cos bx)eax
Pn=n! перестановки без повторений
n!
перестановки с повторениями
n1!n2!...nk !
n!
Anm 
размещения без повторений
(n  m)!
Pn1 , n 2 ,... n k 
Anm = n m размещения с повторениями
n!
C mn =
сочетания без повторений
m !(n  m)!
(n  m  1)!
Cnm =
сочетания с повторениями
(n  1)!m !
k
mk
n
N n
m
Р= C C
C
N
гипергеометрическая вероятность
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
33
Теоремы о
вероятностях
стр. 13 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
P(A+B)=P(A)+P(B)- теорема сложения несовместных событий
Р (А)+Р( А )=1 – противоположные события
P(A+B)=Р(А)+Р(В) – Р(АВ) теорема сложения совместных событий
Р (АВ) = Р (А)Р (В) – теорема умножения независимых событий
Р (АВ)=Р (А) РА (В)=Р (В) РВ (А) – теорема умножения зависимых
событий
Р (А)= Р (В1) В ( А) + Р (В2) В ( А) +…+ Р (В3) Вп (А) - полная
Р
Р
1
Р
2
вероятность
РА(Ві)=
Р ( Ві ). Р В ( А)
і
Р ( А)
P(A)= 1- q1, q2, qn
независимого события
34
Повторение
испытаний
, і  1, n
формулы Байеса
вероятность появления хотя бы одного
Рn (к)= C kn  рkqn-k , формула Бернулли
np – q   np + p наивероятнейшее число
1
k  np
локальная теорема
 ( x) , где q  1  p, x 
npq
npq
Лапласса
рn(k1<k<k2 ) Ф (х2)-Ф(х1) ,
k1  np
k2  np
интегральная теорема Лапласса
где x1 
, x2 
npq
npq
Рn(k) 
pn ( k ) 
11
Случайная
величина
k
k!
e 
формула Пуассона
1. Дискретная случайная величина:
Х
х1
х2 … х 3
Р
р1
р2 … р3 Закон распределения

М(Х)=х1р1+х2р2+…+хnрn+…=

xipi
i 1
ожидание
D (Х)=М (Х2)-М2(Х) дисперсия
 ( Х )  D( Х ) среднее квадратическое отклонение
2. Непрерывная случайная величина

М (Х)=
 xf ( x)dx Математическое ожидание


D (Х)=
х

2
f ( x)dx  М2(Х) Дисперсия
Математическое
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
стр. 14 из 76
b

Р(a≤x<b)=F(b)-F(a)= f ( x)dx Вероятность попадания в заданный
a
интервал
35
Элементы
математической
статистики
хi  c
ni
k
i 1
Х=
k c
n
m
x c 2
( i
) ni

k
2
i 1
 
k 2  ( X -c)2
n
m

средняя
арифметическая
дисперсия
2 ЛЕКЦИИ
Лекция 1. Линейная алгебра. Решение системы правилами Крамера. Матрицы.
Определение. Таблица состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей А
размером m  n. Т. е.
 а11 а12 ... а1n 


 a21 a22 .... a2 n 
А= 

 ................... 
 a a ...a 
mn 
 m1 m 2
Например, матрица 2 го порядка
 а11 а12 

А= 
a a 
 21 22 
Определение. Определителем матрицы второго порядка называется число получаемое
следующим образом и обозначается
а11 а12
=а11а22 – а21а12
А = det A =
а21 а22
Определение. Определителем матрицы 3 его порядка называется число, получаемое
следующим образом
а11 а12 а13
А = det A = а21 а22 а23 = а11 а22 а33 +а12 а11 а23 а31 +а13 а21 а32 -а13 а22 а31 -а12 а21 а33 -а11 а23 а32
а31 а32 а33
1.
2.
Свойства определителей.
Если в определителе поменять местами строки со столбцами, то значение его не
изменится.
Если в определителе элементы некоторой строки или столбца нули, то определитель
равен нулю
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
3.
4.
5.
6.
стр. 15 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
Если в определителе поменять местами любые его две строки или столбца то знак
определителя изменится.
Если в определителе две его любые строки или столбца состоят из одинаковых
элементов, то его значение равно нулю.
Если элементы некоторой строки или столбца умножит на любое действительное
число  , то и его значение изменится в  .
Если к элементам некоторой строки или столбца прибавить соответственно элементы
другой, то определитель от этого не изменится.
а11 а12 а13
а11  а21 а12  а22 а13  а23
а21 а22 а23 = а21
а22
а23
а31
а32
а33
а31 а32 а33
Определение. Минором Мij элемента аij определителя третьего порядка назывеатся
опрелитель 2 го порядка, получаемый вычеркиванием элементов i – ой строки j – го столбца.
Например, минор
а11 а12
М23=
а31 а32
Определение. Алгебраическим дополнением Aij называется минор Mij, взятый со своим
знаком (-1)i+j, т. е.
Аij=(-1)i+j  Mij
Система линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Правило Крамера.
Пусть дана система линейных уравнений с тремя неизвестными
a11x1+ a12x2+a13x3=b1
a21x1+ a22x2+a23x3=b2
a31x1+ a32x2+a33x3=b3
Здесь числа аij называются коэффициентами, а числа bi свободными членами системы.
Введем следующие определители
а11 а12 а13
b1 а12 а13
а11 b1 а13
а11 а12 b1
 = а21 а22 а23 ,  1= b2 а22 а23 ,  2= а21 b2 а23 ,  3= а21 а22 b2
а31 а32 а33
b3 а32 а33
а31 b3 а33
а31 а32 b3
Тогда по правилу Крамера, если основной определитель системы не равен нулю, т. е.   0 ,
1

 х1  



тогда система имеет единственное решение, причем  х2  2


3

 х3  

Матрицы и действия над ними
1. Умножение матрицы на число  . Для этого необходимо все элементы матрицы
умножить на это число.
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
стр. 16 из 76
2. Сложение матриц А и В. Получим матрицу, элементы которой получаются
сложением соответствующих элементов матриц слагаемых.
3. Произведением матрицы А, размером m  n и матрицы В, размером n  k называется
матрица С, размером m  n, элементы которой сij получаются сложением
произведений элементов i – ой строки матрицы А на соответствующие элементы j –
ого столбца матрицы В
4. Нахождение обратной матрицы.
Определение. Квадратная матрица, у которой элементы главной диагонали равны 1
называется единичной и обозначается
1 0 0 


Е  0 1 0
 0 0 1


Определение. Пусть дана квадратная матрица. Матрица, которая в произведение с
данной дает единичную, т. е. А-1А=Е, называется обратной матрицей к данной. Она
 А11 А21 А31 


1
вычисляется по формуле А-1 =  А12 А22 А32 


 А13 А23 А33 
Литература.
Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И. Краткий курс высшей математики, ч. 1, 2, М. «Высшая
школа», 1978. (с.35-47, 71-82)
Лекция 2. Векторная алгебра. Векторы. Действия над ними.
Определение. Вектором называется направленный отрезок и обозначается символом
АВ = а . АВ - длина вектора АВ .
Определение. Линейной комбинацией векторов а1 , а 2 ,…, аn называется выражение
1 а1 + 2 а 2 +…+ n аn , здесь 1, 2 ,..., n любые действительные числа. Если а  1 а1 + 2
а 2 +…+ n аn , то говорят, что вектор а разложен по векторам а1 , а 2 ,…, аn .
Определение. Вектора, лежащие на параллельных прямых называются колинеарными и
обозначается через символ а // b . Два неколлинеарных вектора, лежащих в одной плоскости
называются базисом.
Теорема. Любой вектор а , лежащий в плоскости можно разложить по любым двум
неколлинеарным векторам е1 и е2 , т. е. а  к е1  к2 е2 . Числа к1, к2 называются координатами
вектора а в базисе е1 , е2 и записывается так а  (к1 , к2 ) .
Определение. Если три вектора а1 , а2, а3 параллельны одной плоскости, то они
называется компланарными.
Если три вектора е1 , е2, е3 компланарны, то для любого вектора в этой плоскости верно
разложение а  ке1  к2 е2  к3 е3 .
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
стр. 17 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
Определение. Если три вектора е1 , е2, е3 взаимно перпендикулярны, то говорят, что они
образуют в пространстве декартову систему координат. Декартову прямоугольную систему
координат обозначают через базисные единичные вектора i, j ,k . Тогда любой вектор в
а  ОМ  xi  y j  z k . х,у, z называют координатами
пространстве через базис i, j ,k
вектора а.
Пусть даны вектора а  ( x1 , y1 , z1 ) , b  ( x2 , y2 , z2 ) .
Для векторов выполняются действия:
1. a  b  ( x1  x2 , y1  y2 , z1  z2 ) (сложение)
2. a  b  ( x1  x2 , y1  y2 , z1  z2 ) (разность)
3.  a  (x1 , y1 , z1 ) (умножение на число)
Определение. Скалярным произведением векторов a, b называют число ( a  b )=
a  b  cos
Если даны векторы а  ( x1 , y1 , z1 ) и b  ( x2 , y2 , z2 ) , то скалярное произведение вычисляют по
формуле
( a  b )= х1х2  у1 у2  z1z2
Следствие. Если дан вектор а  ( x , y, z ) , то его длина вычисляется по формуле
a  x2  y 2  z 2
а  ( x1 , y1 , z1 ) и b  ( x2 , y2 , z2 ) , то угол между
Следствие. Если даны векторы
векторами вычисляется по формуле:
cos  
x1 x2  y1 y2  z1 z2
x  y12  z12 x22  y22  z22
2
1
Следствие. Направляющие косинусы вектора а  ( x , y, z ) вычисляются по формулам
cos  
x1
x y z
2
2
2
y
, cos  
x y z
2
2
2
, cos  
z
x  y2  z2
2
Определение. Векторным произведением векторов а  ( x1 , y1 , z1 ) и b  ( x2 , y2 , z2 ) называется
вектор с= a  b , удовлетворяющий условиям:
с  a  b  sin  = Sпар.
1.
2. сa и сb
3. с= a  b = (
y1
z1
y2 z1 x1 x1
,
,
z2 z2 x2 x2
y1
y2
) в координатной форме.
а  ( x1 , y1 , z1 ) и b  ( x2 , y2 , z2 )
4. Площадь треугольника, построенного на векторах
вычисляется по формуле S=
1
2
y1 z1
y2 z 2
2

x1 z1
x2 z2
2

x1 y1
x2 y2
2
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
стр. 18 из 76
Определение. Смешанным произведение трех векторов a, b, c называется скалярное
произведение векторного произведения векторов a  b и вектора
с , и обозначают
( a  b  c )=( a  b ) c .
1. Если даны векторы а  ( x1 , y1 , z1 ) , b  ( x2 , y2 , z2 ) , с  ( x3 , y3 , z3 ) , то их смешанное
произведение вычисляется по формуле
x1 y1 z1
( a  b  c )= x2
y2
z2
x3
y3
z3
2. Для того, чтобы три вектора a, b, c были компланарны необходимо и достаточно,
чтобы их смешанное произведение = 0, т. е. ( a  b  c )=0.
3. Смешанное произведение некомпланарных векторов a, b, c по модулю равен объме
параллелепипеда, построенного на этих векторах, т. е. V= (a  b  c) Условие коллинеарности
и перпендикулярности векторов.
1. Если два вектора а  ( x1 , y1 , z1 ) и b  ( x2 , y2 , z2 ) коллинеарны, то их координаты
пропорциональны, т. е.
x1
y
z
 1  1
x2 y 2 z 2
2. Если два вектора а  ( x1 , y1 , z1 ) и b  ( x2 , y2 , z2 ) перпендикулярны, то их скалярное
произведение равно 0, т. е.
1. x1x2  y1 y2  z1z2  0
Литература.
Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И. Краткий курс высшей математики, ч. 1, 2, М. «Высшая
школа», 1978. (с.47-61)
Лекция 3. Аналитическая геометрия на плоскости.
1) Уравнение вида Ах+Ву+С=0 определяет общее уравнение прямой на плоскости. Здесь
А
к=  - угловой коэффициент прямой.
В
2) Уравнение прямой проходящей через точку М0(x0,y0) и параллельно вектору а  (l , m),
x  x0 y  y0

(направляющий вектор) имеет вид
.
l
m
3) Уравнение прямой проходящей через точку М0(x0,y0) и перпендикулярно вектору
n  ( A, B) (вектор нормаль) имеет вид A(x-x0)+B(y-y0)=0.
4) Уравнение прямой, проходящей через точку М0(x0,y0) имеюшей угловой коэффициент к
имеет вид y-y0=k(x-x0).
5) Уравнение прямой, проходящей через две точки М1(x1,y1) и М2(x2,y2) имеет вид
x  x1
y  y1

.
x2  x1 y2  y1
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
стр. 19 из 76
6) Уравнение прямой, пересекающей оси координат в точках А(a,0), B(0,b) имеет вид
x y
  1.
a b
Угол между прямыми на плоскости. Условие перпендикулярности и параллельности
прямых. Расстояние от точки до прямой.
Пусть даны уравнения прямых d1 и d2
А1х+В1у+С=0, А2х+В2у+С=0
А
А
Их угловые коэффициенты к1=  1 , к2=  2
В1
В2
Если d1  d2, то к1 = к2.
1
Если d1  d2, то к1 =  .
к2
Угол между прямыми tg  
к2  к1
.
1  к1к2
Расстояние от точки M(x0,y0) до прямой выражается формулой d=
Ах0  Ву 0  С
А2  В 2
Определение. Геометрическое место точки, расстояния которых от некоторой прямой d
и до фиксированной точки (фокуса) F равны называется параболой.
Каноническое уравнение параболы у2=2px или х2 =2ру
р
р
Уравнение директрисы параболы х=  или у=  .
2
2
р
р
Координаты фокуса F( , о) или F(0, )
2
2
Определение. Геометрическое место точек, сумма расстояний каждой из которых до
некоторых двух фиксированных точек (фокусы) постоянная и равны 2а называется
эллипсом.
х2 у 2
Каноническое уравнение эллипса 2  2  1 .
а
в
Здесь 2а – большая ось, 2в – малая ось.
Фокусы F1(-c,0), F2(c,0), где c2=a2-b2.
с
Эксцентриситет эллипса e= .
а
Если b=a, то уравнение эллипса примет вид х2+у2=a2 , т. е. получаем уравнение окружности.
Определение. Геометрическое место точек, модуль разности расстояний каждой из
которых до некоторых двух фиксированных точек (фокусы) постоянная и равны 2а
называется гиперболой.
х2 у2
Каноническое уравнение гиперболы 2  2  1.
а
в
Здесь 2а – большая ось, 2в – малая ось.
Фокусы F1(-c,0), F2(c,0), c2=a2+b2.
с
Эксцентриситет гиперболы e=
а
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Асимптоты гиперболы у= 
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
стр. 20 из 76
в
х
а
Литература.
Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И. Краткий курс высшей математики, ч. 1, 2, М. «Высшая
школа», 1978. (с.112-139)
Лекция 4. Аналитическая геометрия в пространстве
1. Уравнение плоскости проходящей через точку М0(x0, y0, z0) и перпендикулярно вектору
нормали n =(A,B,C) имеет вид
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
2. Уравнение Ax+By+Cz+D=0 называется общим уравнением плоскости, где n =(A,B,C)
вектор нормаль плоскости.
3. Нормальное уравнение плоскости получается умножением общего уравнения плоскости
1
на множитель   
. Если D  0 , тогда знак множителя выбирается
А2  В 2  С 2
противоположным множителю D.
4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки М1(x1 ,y1 ,z1), М2(x2 ,y2 ,z2), М3(x3 ,y3
,z3) выражается через определитель
x  x1 y  y1 z  z1
x2  x1
y2  y1
z2  z1  0
x3  x1
y3  y1
z3  z1
1. Уравнение прямой, проходящей через точку М0(x0, y0, z0) и параллельно вектору
а  (l , m, n)
x  x0 y  y0 z  z0


l
m
n
2. Параметрическое уравнение прямой получается из канонического уравнения следующим
образом
 x  x0
 l t
 x  x0  lt

x  x0 y  y0 z  z0
 y  y0



=t , 
 t или  y  y0  mt
l
m
n
 m
 z  z  nt
0

 z  z0

t
 n

3. Уравнение прямой, проходящей через две точки М1(x1 ,y1 ,z1), М2(x2 ,y2 ,z2)
x  x1
y  y1
z  z1


x2  x1 y2  y1 z2  z1
4. Уравнение прямой, как пересечение двух плоскостей
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0

 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
стр. 21 из 76
Причем ее направляющий вектор выражается через формулу
 B1 C1 C1 A1 A1 B1 

a
,
,
 B2 C2 C2 A2 A B 
2
2 

5. Угол между двумя прямыми d1 и d2, заданных уравнениями
x  x1 y  y1 z  z1
x  x2 y  y2 z  z2




и
l1
m1
n1
l2
m2
n2
определяется формулой
l1l2  m1m2  n1n2
cos 
2
l1  m12  n12  l22  m22  n22
6. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
l m
n
Если d1  d2, то 1  1  1
l2 m2 n2
Если d1  d2, то l1 l2+m1 m2+n1 n2=0
Литература.
Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И. Краткий курс высшей математики, ч. 1, 2, М. «Высшая
школа», 1978. (с.139-164)
Лекция 5. Введение в
Элементарные функции
математический
анализ.
Функция.
Предел
функции.
Числа 1,2,3… называются натуральными числами и обозначаются через N.
Определение. Если каждому значению аргумента х поставить в соответствие
единственную пару значений (x,y) по правилу Y=f(x), то ее называют функцией. Прием
множество значений х называют областью определения, а множество значений у называют
областью значений. Переменную Х называют аргументом.
Определение. Если для любого значения х выполняется равенство f(-x)= f(x), то такую
функцию называют четной функцией. Если выполняется равенство f(-x)= - f(x), то такую
функцию называют нечетной.
Например, f(x)= х 2  2 . х R (для любого х) выполняется
f(-x)= (х) 2  2 = х 2  2 = f(x) , поэтому функция F будет четной.
х3
. х R (для любого х) выполняется
х2  1
х3
( х)3
f(-x)=
= 2
= -f(x, поэтому F функция будет нечетной.
( х) 2  1
х 1
Рассмотрим различные функции.
1. Если в выражении функции f (x) имеются действия сложения, умножения, деления,
возведения в степень, извлечение корня относительно х, то такую функцию называют
алгебраической.
f(x)=
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Например, у=
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
стр. 22 из 76
2 х3  3  2 х  4
алгебраическая функция.
1  3х  3 х 2
Алгебраическая функция, не имеющая действия извлечения корня называется
рациональной функцией.
2 х3  4 х  1
Например, у= 4
рациональная функция.
4 х  5х3  2 х  2
1. Постоянная функция. Обозначают формулой f(x)=C. Область определения этой
функция вся числовая ось, а область значений с.
2. Степенная функция. Это функция вида f(x)=хn.
3. Показательная функция. Это функция вида у=ax. Область определения вся числовая
ось. А областью значений положительные числа.
4. Логарифмическая функция. Называют функцию вида y=logax по основание а
(a  0, а  1 ). Область определения все положительные числа, а область значений
вся числовая ось У.
5. Тригонометрические функции. Y=cosx, y=sinx, y=tgx,y=ctgx.
6. Обратные і тригонометрические функции. y=arccosx, y=arcsinx, y=arctgx, y=arcctgx.
Определение. Модулем числа х называют положительное число
 х, егер х  0 болса

x  0, егер х  0 болса
 х, егер х  0 болса

Определение. Последовательностью называется функция f определенная на множестве
натуральных чисел. Значение функции, соответствующее положительному целому значению
xn обозначается через f (n)  xn .
Определение. Пусть дана последовательность хn  . Если для любого положительного 
существует некоторое число k  0 что для любых n  k выполняется неравенство
xn  a   , то то говорят, что число а называется пределом последовптельности
обозначается: l im xn  a
n
или xn  an  
хn 
и
В этом случае говорят, что последовательность хn  схлдится к числу а.
Свойства последовательности.
Теорема. У любой последовательности существует единственный предел, т. е. если
xn  a1 , xn  a2 n   , то a1  a2 .
Теорема. Если xn  a n   , то для любого положительного числа m
xn  m  a n   .
Теорема. Если xn  an   , то xn  a n   .
Теорема. Пусть даны последовательности xn  и yn . Если начиная с некоторого
номера n выполняется неравенство xn  yn , то это неравенство выполняется и для их
пределов lim xn  l im yn
n 
n 
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
стр. 23 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
Теорема. Если для последовательностей xn , yn , zn  выполняются следующие
условия; 1) для любых n выполняются
xn  yn  zn ; 2) lim zn  a  R ; Тогда и для
n
последовательности yn  существует предел и он равен а.
Определение. Если для некоторого действительного числа С для любых номеров
последовательности
xn  выполняется неравенство xn  C то говорят, что
последоваптельность ограничена сверху.
Определение. Если для некоторого действительного числа С для любых номеров
последовательности xn  выполняется xn  C то говорят, что последоваптельность
ограничена снизу.
Определение. Последовательность ограниченную сверху и снизу называеют
ограниченной последовательностью.
Определение. Пусть дана последовательность xn  . Если для любого n (n=1,2,...)
выполняется нераввенство xn  xn 1 , то она называется неубывающей, а если xn  xn 1 , то
возрастающей.
Определение. Пусть дана последовательность xn  . Если для любого n (n=1,2,...)
выполняется нераввенство xn  xn 1 , то она называется невозрастающей, а если xn  xn 1 , то
убывающей.
Возрастающую и убывающую последовательности называют монотонными..
n
 1
Для любого n выполняется xn  1   .
 n
n
 1
Последовательность xn   {1   } ограничена сверху. Поэтому по теореме о
 n
пределе для монотонной последовательности у последовательности xn  существуетпредел.
n
 1
Его обозначают через е и называют натуральным числом. Итак, l im  1    e
n 
 n
Пусть даны множества Е и Ғ. Правило по которому каждому значению множества Е
сопоставляют одно единственное значение множества Ғ называют функцией. Функцию
f
обозначают символами E  F ; x  f(x); f(x); y  f(x) . Множество Е называют облатсью
опрделения функцияны, а Ғ – множеством значений функции.
Определение. Если для любого положительного числа  существет некоторое число N,
так что для всех x>N выполняется неравенство f ( x)  A   , то говорят, что у функции f(x)
существует предел при x   и обозначают через символ lim f ( x)  A .
x  
Определение. Если для любого положительного числа  существет некоторое число М,
так что для всех x<M выполняется неравенство f ( x)  В   , говорят, что у функции f(x)
существует предел при x   и обозначают через символ lim f ( x)  В .
x  
Определение. Если для любого положительного числа  существует положительное
число  ( ) так что для любого х в области определения выполняется неравенство
f ( x)  b   как только выполняется неравенство 0  x  x0   ( ) , то говорят что функция
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
f(x) при х стремящемся к
x0
стремится к
в
стр. 24 из 76
и обозначают это символом
lim f ( x)  b, f(x)  b(x  x 0 ) .
x  x0
Определение. Пусть на полуинтервале a, x0  (или x0 , b  ) дана функция f(x). Если для
некоторого известного числа В и дял любого положительного числа  для всех х из области
определения, удовлетворяющих неравенству x0    x  x0 (или x0  x  x0  b ) существует
такое положительное число  ( ) , так что выполняется неравенство f ( x)  B   , то говорят
что у функции f(x) существует левосторонний предел (правосторонний предел )В при х
стремящемся к
x0 слева (справа) и обозначают его символом
lim f ( x)  В
x  х  x0
( lim f ( x)  В ).
x  х  x0
Теорема. В точке х0 для функции f(x) существует предел тогда и только тогда, если в
этой точке существуют левосторонний и правосторонний пределы и они равны. В этом
случае их общее значение х0 является двусторонним пределом для функции f(x).
Определение. Если для любого сколь угодно малого положительного числа
 существует номер N, такой , что для любого n  N выполняется неравенство аn  a0   , то
число а называют пределом последовательности аn при n стремящемся к бесконечности.
Определение. Если для последовательности xn  стремящейся к числу а,
последовательность значений  f ( xn ) стремиться к А , то число А называют пределом
функции  f ( xn ) при х стремящемся к пределу а и записывают это в виде
А= lim f ( x)
xa
Определение. Если при n стремящемся к бесконечности последовательность
стремиться к 0, то такую величину называют бесконечно малой величиной. ( lim an  0 )
an 
n 
Определение. Если при n стремящемся к бесконечности последовательность an 
стремиться к  , то такую величину называют бесконечно большой величиной ( lim an   )
Свойства.
Если
последовательность
an 
n 
будет
бесконечно
большой,
то
1
последовательность   будет бесконечно малой величиной.
 an 
Свойства пределов функции.
1.
Если существуют пределы функций lim f ( x) и lim g ( x) , то выполняется
xa
x a
равенство lim( f ( x) g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x) .
x a
2.
xa
x a
Если существуют пределы функций lim f ( x) и lim g ( x) , то выполняется
xa
x a
равенство lim( f ( x) g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x) .
x a
3.
xa
x a
Если существуют пределы функций lim f ( x) и lim g ( x) , то выполняется
xa
равенство lim
f ( x) lim f ( x)

g ( x) lim g ( x)
x a
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
4.
стр. 25 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
Если существуют пределы функций lim f ( x) и lim g ( x) , то выполняется
xa
x a
равенство для любого с lim cf ( x)  c lim f ( x) lim f ( x)  lim g ( x) .
x a
xa
x a
Определение. Если при х   предел функции равен 0 то функция y=f(x) называется
бесконечно малой функцией.
Определение. Если для любого числа L существует такое число N что для всех x>N
выполняется неравенство f ( х)  L , то функция y=f(x) при х   называется бесконечно
большой функцией.
Теорема. Если при х   функция f(x)является бесконечно большой функцией, то
1
функция
при х   является бесконечно малой.
f ( x)
Теорема. Если при х   функция f(x)является бесконечно малой функцией, то
1
функция
является бесконечно большой функцией при х   .
f ( x)
Теорема 1. Если при х   существует предел функции f(x) и он равен А, то ее
можно записать в виде суммы этого числа А и бесконечно малой функции при х   .
Теорема 2. Если f(x) функцию можно записать в виде суммы числа А и бесконечно
малой функции при х   , то число А является пределом функции f(x) при х   .
Теорема 3. Пусть для достаточно больших значений х существуют функции  x , f x 
и g x , удовлетворяющих неравенству  х  f x  g x . Если при х   существуют
одинаковые пределы функций  x  и g x , то для функции f x  также существует предел
и будет равен пределу этих функций.
Литература.
Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И. Краткий курс высшей математики, ч. 1, 2, М. «Высшая
школа», 1978. (с.164-194)
Лекция 6. Первый и второй замечательный предел. Непрерывность фунцкии. Точки
разрыва.
sin x
1
n 0
x
Первый замечательный предел lim
x
sin kx
Следствие1. lim
k
n 0
x
x
arcsin kx
Следствие 2. lim
k
n 0
x
x
tgkx
Следствие 3. lim
k
n 0 x
x
arctgkx
Следствие 4. lim
k
n 0
x
x
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
стр. 26 из 76
n
 1
Второй замечательный предел l im 1    e
n
 n
x
Следствие l im 1  x   e
x 0
n
 k
Следствие 2. l im 1    e k
x 
x

x
Следствие 3. l im 1  kx  ek
x 0
a bx  1
 b ln a
x 0
x
log a (1  x)
 log a e
Следствие 5. l im
x 0
x
Следствие 4. l im
Определение. Функция y=f(x) называется непрерывной функцией в точке
х0 если: 1)
функция определена в окрестности этой точке х0 ; 2) существует предел функции при
х  х0 ; 3) предел этой функции при х  х0 должен быть равен значению функции в этой
точке, т. е. lim f ( x)  f ( x0 ) .
x  х0
Если в точке х0 функция будет непрерывной, то эта точка х0 называется точкой
непрерывности.
Определение. Если точка х0 принадледит области определения функции или ее
границе и не является точкой непрерывности, то эта точка называется точкой разрыва. Тогда
в этой точке х  х0 функция называется разрывной. Точки разрыва делят на два типа:
Если существуют односторонние пределы функции lim f ( x) и lim f ( x) и они
x  x0  0
x x 0 0
конечны, то в точке х0 f(x) функция терпит разрыв первого рода. В остальных случаях
разрыв второго рода.
Теорема. Если в точке х0 функции f и g будут непрерывны, то функции fc (сf
постоянное),f+g, fg, , и если g x   0 , тофункция
в точке х0 также будут непрерывны.
g
Литература.
Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И. Краткий курс высшей математики, ч. 1, 2, М. «Высшая
школа», 1978. (с.194-208)
Лекция 7. Понятие производной. Производные функций заданных параметрически и
неявно. Производная сложной функции. Основные теоремы.
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
стр. 27 из 76
Определение. Пусть функция f определена в интервале I. Если для x0  I существует
f ( x)  f ( x0 )
предел lim
, то его называют производной функции f(x) в точке х0 и
x  x0
x  x0
y
f ( x0  x)  f ( x0 )
 lim
обозначают символом f  / x  . Итак, f x   lim
.
x  0 x
x  0
x
Геометрический смысл производной. Касательной к графику функции у=f(x) в точке с
абциссой х0 называют прямую проходящую через точку x0 , f x0  и имеющей угловой
коэффициент равным производной f / x0  . Т. е. уравнение касательной
y  f ( x0 )  f x0 x  x0 
Операцию нахождения производной называт дифференцированием.
Функция
называется дифференцируемой в данной точке, если существует производная в этой точке, и
дифференцируемой в интервале, если она дифференцируема в каждой токе этого интервала.
Теорема. Если функция дифференцируема в точке, то в этой точке она будет
непрерывна.
Теорема. Если функции u  ux, v  vx будут дифференцируемы в точке х0 , то и

функция ux  vx будут дифференцируема в этой точке и u  x   v x   u x   vx  .
Теорема. Если функции u  ux, v  vx будут дифференцируемы в точке х0 , то и

функция ux  vx будет дифференцируемав этой точке и u x   vx   ux   vx   u x vx  .


Следствие. Постоянное число с можно выносить за зак произфодной. Cu   cu 
Теорема. Если функции u  ux, v  vx будут дифференцируемы в точке х0 , то и

u x 
 u  u  v  uv
будет дифференцируема в этой точке и   
.
vx0   0 и функция
v x 
v2
v
Производная сложной функции.
Теорема. Пусть функция У будет сложной функции от х, т. е. y=f(u), u=g(x) или
y(x)=f[g(x)]. Если g(x) и f(x) соответственно в точках х и u=g(x) будут дифференцированны,
то и сложная функция от в точке х будет дифференцированной и выполняется формула
yx  f u   gx .
Таблица основных производных

1. С  0
2. х  1
3. u  v  w  u  v  w

 u  u  v  uv


4. u  v   u  v  uv
5.   
6. Cu   Cu
2
v
v



u
v
1 
7.     2
8. u    u 1u
9. u 
v
2 u
v 
1



 u
10. au  au ln u  u
11. eu  eu  u
12. log a u  
u ln a

 1

13. ln u    u
14. Sinu   Cosu  u
15. Cosu    Sinu  u
u
 
 
 
 
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
стр. 28 из 76
1
1
1


 u
 u 18. arcsin u  
 u
17. Ctgu  
2
2
Cos u
Sin u
1  u2
1
1


 u
 u 20. arctgu  
19. arccos u   
1  u2
1  u2
1

 u
21. arcctgu   
1  u2
Производная высшего порядка.
Пусть функция Y=f(x) будет дифференцируемой, а f  / x  ее производная иявлятся
функцияей от х. Если существует производная этой функции, то эта производная

f x    f x  .
называется производной второго порядка. И обозначается через
Аналогично определяется производные третьего и т. д. порядка и они обозначаются:
d2y d3y
d n  y
n 





у , у ,..., у ,... или
,
,..., n  ,...
dx 2 dx3
dx
Определение. Дифференциалом функции Y=f(x) называется произведение
производной этой функции на приращение независимой переменной. Если f(x)=x, то
df x  x  x  x здесь df(x)=dx. Тогда dx  x . Тогда dy  ydx или df x  f xdx
Производная функции заданной параметрически.
 x   t 

y
Пусть 
: тогда yx  t или yx  t
xt
t
 y   t 

16. tgu  
Литература.
Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И. Краткий курс высшей математики, ч. 1, 2, М. «Высшая
школа», 1978. (с.208-235)
Лекция 8. Правило Лопиталя. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее
значение функции.
Правило Лопиталя – это вычисление пределов при помощи производной.
Теорема. Если существуют пределы функций f и g в точке х0 и выпоняются
условия f x0   g x0   0 , g x0   0 , тогда верно равенство
f x 
f ( x0 )
lim
 lim
x  x0 g x 
x  x 0 g ( x )
0
1. Если lim f x   0, lim g x   0 , то неопределенность вида 0   для предела
xa
lim f x   g x 
xa
lim
xa
x a
можно привести к неопределенности
f x 
g x 
, lim
.
x

a
1
1
g x 
f x 
0 
,
0 
следующим образом
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
стр. 29 из 76
2. Если lim f x   lim g x    , то неопределенность вида   
xa
x a
lim  f  x   g x  можно привести к неопределенности вида
xa

lim
xa
0
0
для предела
следующим образом
1
1

f x  g x 
.
1
f ( x)  g  x 
 f x   e g  x ln f  x  f x   0
3. Неопределенности вида 1 ,  0 ,00 для функций
приводятся к неопределенности вида 0   методом логарифмирования.
Определение. Функция y=f(x), определенная на сегменте [a,b] (или на интервале
(а,в)) называется возрастающей на том сегменте, если для любых х1 и х2 из этого
сегмента при выполнении неравенства x2  x 1 выполняется неравенство f x2   f x1  .
Определение. Если для точек x1, x2  a, b выполняется x2  x1  f x2   f x1  , то
функция y=f(x) называется убывающей.
Теорема. (признак монотонности функции). Пусть функция f(x) будет
дифференцируемой на интервале (а,в). Если на интервале (а,в) f x   0 , то на этом
интервале функия монотонно возрастает, а если f x   0 , то функция монотонно
убывает.
Определение. Пусть функция f определена в некоторой окрстности точки х0 . Тогда
точка х0 называется точкой максимума ( минимума) для функции f, если для любого х
g x
существует число   0 , что при выполнении неравенства
х  
выпоняется
неравенство f x0  x   f x0  ( f x0  x   f x0  ). Точки максимума и минимума
называются точками экстремума.
Теорема. (Необходимое условие экстремума). Если точка х0 является точкой
экстремума для функции f , определенной в окрестности этой точки. Тогда в этой точке
производная либо не существует либо f x0   0 .
Теорема.(Достаточное условие экстремума). Если функция f(x) является
непрерывной и диффернцируемой в  окрестности точки х   и производная функции
переходя через точку слева направо меняет свой знак с «+» на «-» (с «-» на «-»), то в
этой точке функция достигает максимума ( минимума).
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.
Рассмотрим непрерывную на сегменте [a,b] функцию y=f(x).
1. На интервале а, в находим все критические точки и значение функции в этих точках .
2. Находим значение функции на концах сегмента х=а и х=в.
3. Из всех значений выбираем наибольшее и наименьшее.
Литература.
Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И. Краткий курс высшей математики, ч. 1, 2, М. «Высшая
школа», 1978. (с.253-260)
Лекция 9. Интервалы выпуклости и вогнутости функции. Асимптоты. Полное
исследование функции.
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
стр. 30 из 76
Определение. Если график дифференцируемой функции на интервале а, в лежит
ниже любой касательной, то на этом интервале функция будет выпуклой.
Определение. Если график дифференцируемой функции на интервале а, в лежит
выше любой касательной, то на этом интервале функция будет вогнутой.
Теорема. (Достаточное условие вогнутости функции). Пусть для функции y=f(x) для
всех точек из интервала а, в существует производная второго порядка f x  . Если для
всех точек этого интервала f x  0 , то на этом интервале график функции будет
выпуклым, а если f x  0 , то - вогнутым.
Определение. Для непрерывной функции точка, разделяющая интервал выпуклости от
вогнутости называется точкой перегиба.
Теорема. (Достаточное условие существование точки перегиба). Если при переходе
через точку х0 вторая производная непрерывной функции f x  меняет свой знак, то в этой
точке будет точка перегиба.
Теорема. (Необходимое условие существование точки перегиба). Пусть на интервале
а, в существует вторая производная функции y=f(x). Тогда если точка с абциссой
x0  a, b является точкой перегиба функции, тогда f x0   0 .
Асимптоты графика функции.
Определение. Если при бесконечном движении точки по некторой кривой функции
y=f(x) расстояние от этой точки до некоторой прямой стремится к нулю то эта прямая
называется асимптотой для данной кривой.
Если при x  x0  0 значение функции y=f(x) стремится к бесконечности, т. е.
lim f x    , то x  x0 является вертикальной асимптотой. Аналогично если
x  x0  0
lim f x    , то x  x0 вертикальная асимптота.
x  x0  0
Если при х   значение функции стремится к числу в, т. е. lim f x   в , то у=в
x 
называется горизонтальной асимптотой.
Если
при
х 
для
функции
y=f(x)
имеют
место
пределы k  lim
b  lim  f x   kx , тогда прямая y=kx+b является наклонной асимптотой.
x 
f x 
x
x 
Полная схема исследования функции.
1. Нахождение области определения функции. Нахождение точек разрыва функции.
2. Определение четности или нечетности функции.
3. Нахождение критических точек первой производной, т. е. корни уравнения
y /  0 или  .
4. Нахождение критических точек второй производной, т. е. корни уравнения
y //  0 или  .
5. Таблица интервалов возрастания, убывания, выпуклости, вогнутости, точек
экстремума и перегиба.
6. Нахождение асимптот функции.
7. Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат.
8. Построение графика функции.
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
стр. 31 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
Литература.
Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И. Краткий курс высшей математики, ч. 1, 2, М. «Высшая
школа», 1978. (с.260-271)
Лекция 10. Неопределенный интеграл. Таблица интегралов. Основные методы
интегрирования.
Определение. Если на некотором отрезке [a,b] выполняется равенство F x  f x ,
тогда функция F(x) для функции f(x) называется первообразной.
x3
Пример: Для функции f x   x 2 первообразной будет функция F x   , т. к.
3

 x3 
F  x      x 2  f  x  .
 3
Теорема. Если для функции f(x) на отрезке [a,b] существует две первообразные F1 x  и
F2 x  , то их разница будет постоянной.
Определение. Если функция F x  является первообразной для функции f(x), тогда
функция F x  C для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается
символом
 f x dx . Итак,  f x dx  F x   C
Здесь f(x) подынтегральная функция, f(x)dx подынтегральной выражение, а символ

- знак
неопределенного интеграла.
Теорема. Для непрерывной на некотором интервале функции существует
первообразная.
Нахождение первообразной для функции называется интегрированием.
1. Производная неопределенного интеграла равна подыинтегральной функции, т. е. если


F x  f x , то  f  x dx  F x   C   F x   C   f  x  .


2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подыинтегральному выражению.,
т. е. d  f  x   f  x dx .


3. Интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и
постоянного числа.  dF x   F x   C .
Основная таблица интегралов.
1.  dx  х  C
3.
1
x
n
dx  
n  1
1
C
(n  1) x n 1
5.  Sinxdx  Cosx  C
n  1
2.
n
 x dx 
4.

x n 1
C
n 1
n  1
dx
 ln x  C
x
6.  Cosxdx  Sinx  C
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
7.
dx
 Cos x  tgx  C
8.
2
9.  tgxdx   ln Cosx  C
11.  cos 2 xdx 
a
2
17.
x
2
19.

20.
21.
x 1
 sin 2 x  C
2 4
23.
2
x
 Ctgx  C
12.  sin 2 xdx 
14.  a x dx 
x 1
 sin 2 x  C
2 4
ax
C
ln a
dx
1
x
 arctg  C
2
x
a
a
16.
 x  a  ln x  a  C
dx
1
xa

ln
C
2
a
2a x  a
18.

dx
x a
2
2
dx
dx
a2  x2
 arcsin
x
C
a
 ln x  x 2  a 2  C

a 2  x 2 dx 
x 2
a2
x
a  x 2  arcsin  C
2
2
a

x 2  Adx 
x 2
A
x  A  ln x  x 2  A  C
2
2
22. 
dx
 Sin
10.  Ctgxdx  ln Sinx  C
13.  e x dx  e x  C
15.
стр. 32 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
( Mx  N )dx M
2aN  Mb
2ax  b

ln( ax 2  bx  c) 
arctg
C
2
ax  bx  c 2a
a 4ac  b 2
4ac  b 2
dx
x

 Cos x  ln( tg ( 2  4 ))C
24.
dx
x
 Sinx  ln tg 2  C
Свойства неопределенного интеграла.
1.   f1 x   f 2 x dx   f1 x dx   f 2 x dx .
2.
 af x dx  a  f x dx
Методы интегрирования.
1. Табличное интегрирование.
2. Интегрирование методом замены переменной
Сделаем замену переменной х через выражение x   z  . Откуда
Тогда верноследующее равенство
3. Интегрирование по частям.
 f x dx   f  z  z dz
dx  z dz .
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Пусть даны дифференциоруемые функции u
Проинтегрироуем
стр. 33 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
обе
 d uv    udv   vdu .
части
и v. Тогда. d uv   udv  vdu
Но
т.к.
 d uv   uv  C ,
 udv  uv   vdu . Эта формула называется интегрирование по частям.
Интегралы вида  Px e dx,
 Px Sinkxdx,  Px Coskxdx
kx
частям, если обозначить через u  Px .
Интегралы
 Px ln xdx,  Px arcsin xdx,  Px arccos xdx,
то
интегрируют по
 Px arctgxdx,  Px arcctgxdx
вида
интегрируют по частям, если за функцию u взять функцию данную в произведении с
многочленом P(x)
ax
Интегралы вида  e axCosbxdx,
 e Sinbxdx, также интегрируют по частям,
причесм два раза, что приводит к уравнению относительно этого интеграла.
Литература.
Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И. Краткий курс высшей математики, ч. 1, 2, М. «Высшая
школа», 1978. (с.285-296)
Лекция 11. Простейшие рациональные дроби. Интегрирование рациональных
функций
Простейшие рациональные дроби
A
І.
;
xa
A
ІІ.
;
x  a n
Ax  B
ІІІ. 2
(дискриминант знаменателя отрицателен)
x  px  q
Ax  B
ІV.
(дискриминант знаменателя отрицателен).
n
x 2  px  q
Разложение рациональной дроби на простейшие
F x 
Пусть дана рациональная дробь
.
f x 
Теорема 1. Пусть х=а является корнем знаменателя кратности к, т. е. яғни
F x 
k
можно
f x  x  a  fi x, fi a   0 . Тогда данную правильную рациональную
f x 
F x 
A
Fi x 
разложить на сумму.
(*). Здесь А  0 постоянное число, а


k
f x  x  a  x  a k 1 fi x 


Fi x  многочлен степень которого менбше степни знамнателя
x  ak 1 fi x .
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
стр. 34 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
Следствие. Равенство (*) можно далее аналогично использовать для выражения
Fi x 
. Поэтому если х=а является корнем знаменателя кратности к, эту дробь
x  a k 1 fi x 
F x 
A
A1
A
F x 


 ...  k 1  k .
можно разложить следующим образом.
k
k 1
f x  x  a  x  a 
x  a f1 x 
F x 
Здесь k
- несократимая правильная дробь.
f1  x 
Теперь рассмотрим случай конда корни знаменателя комплексные числа. , т. е. в

 имеют дискриминант D  с.
f x   x  px  q   x , здесь многочлен  x  не делится на
знаменателе выражения вида x 2  px  q и x 2  px  q
Теорема 2. Пусть


2
1
1
F x 
разложится следующим
x 2  px  q -ға, тогда правильная рациональная дробь
f x 
F x 
Mx  N
Фi x 
образом
. Здесь степень многочлена Ф1 x 



 1
2
2
f x 
x  px  q
x  px  q 1 x 

 

меньше степени многочлена x  px  q   x  .
2
 1
1
Qx 
Qx 
dx .
, т. е. 
f x 
f x 
1. Если эта дробь неправильная, тогда разделив числитель на знаменатель выделим

Q x 
F x 
F x 
целую часть М(х) и получим 
dx   M x  
dx . Здесь
 dx   M x dx  
f x 
f x  
f x 

F x 
-правильная.
f x 
2. Знаменатель дроби разложить на множители.
3. Разложить дробь на простейшие в зависимости от корней знаменателя: а) если
корни знаменателя различные и действительные, то дробь раскладывают на простейшие
A
дроби вида
;
xa
б) если корни знаменателя действительные, и некоторые из ни кратные, то – на
A
дроби вида
;
x  a n
Ax  B
в) если корни знаменателя комплексные, то – на дроби вида 2
x  px  q
Необходимо вычислить интеграл от рациональной дроби
Литература.
Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И. Краткий курс высшей математики, ч. 1, 2, М. «Высшая
школа», 1978. (с.296-311)
Лекция 12. Интегрирование тригонометрических функций
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
стр. 35 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
Рассмотрим
рациональную
дробь
относительно
тригонометрических
функций  RSinx , Cosx dx .
Здесь
применив
универсальную
подстановку
x
2t
1- t2
2dt
 t , Sinx 
,
Cosx

, dx 
2
2
2
1 t
1 t
1  t2
вышеназванной рациональной дроби.
1) Интеграл вида
 RSinx Сosxdx
данный
tg
вычисляют
Sinx  t , Cosxdx  dt , при помощи которой получим
2)
Аналогично
интеграл
вида
интеграл
заменой
сведется
к
переменной
 Rt dt .
 RCosxSinxdx
при
помощи
замены
Sinxdx  dt , Cosx  t приводят к интегрированию рациональной функции..
3) Если дан интеграл вида RSinx, Cosx , причем степени Sinx и Cosx четные, то
применяют подстановку tgx=t.
4) Если подынтегральная функция зависит только от tgx, то применяя подстановку
dt
dt
tgx  t , x  arctgt , dx 
приводят интеграл к виду  Rtgxdx   Rt dt
2
1 t
1 t2
5) Если подынтегральная функция вида Sin m  Cos n x . Тогда:
а) Если хотя бы одна из степеней интеграла  Sin m x  Cos n xdx m или n нечетная, то
записав
n=2p+1
 Sin x  Cos
 t 1  t  dt
2 p 1
m
m
преобразуем
интеграл

к

виду
.
p
xdx   Sin x  Cos xCosxdx   Sin x 1  Sin x Cosxdx  Sinx  t , Cosxdx  dt 
m
2p
m
2
2 p
б) Пусть степени интеграла
 Sin
m
 Cos n xdx , m и n оба четные, т. е. m=2p, n=2p. Тогда
применяя тригонометрические формулы, получим
 1  Cos2 x   1  Cos2 x 
 Sin x  Cos xdx    2   2  dx . Степень подынтегрального
выражения понизится и получим интегралы с четными и нечеными степенями. Понижая
степень дальше получаем интегралы вида  Сoskxdx .
p
2p
p
2p
Литература.
Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И. Краткий курс высшей математики, ч. 1, 2, М. «Высшая
школа», 1978. (с.311-316)
Лекция 13. Интегрирование и иррациональных функций
1. Интеграл вида
n

 R x,

n
ax  b 
dx где n- натуральное число. С
cx  d 
ax  b
ax  b
 tn;
 t функция рационализируется.
cx

d
cx  d
помощью
tn b
x
;
a  ct n
подстановки
 tn b
dx  
n
 a  ct


 dt ;

УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.

 t n  b  t n  b
ax  b 
dx   R
Тогда  R x, n
 a  ct n , t  a  ct n
cx  d 



стр. 36 из 76


 dt   r (t )dt.

2. Биноминальным дифференциалом называется выражение xm(a + bxn)pdx
где m, n, и p – рациональные числа.
а) Если р – целое число, то интеграл помощью подстановки t   x , где  - общий
знаменатель m и n приводится к интегралу от рациональной функции.
m 1
- целое число, то интеграл подстановкой t  s a  bx n , где s – знаменатель
n
числа р приводится к интегралу от рациональной функции.
в) Если
a  bx n
m 1
 p - целое число, то используется подстановка t  s
, где s –
n
xn
знаменатель числа р.
с)
Если
3. Тригонометрическая замена
 R(u,
б)  R(u,
в)  R(u,
а)
m 2  u 2 )du; подстановка u  m sin t
m 2  u 2 )du; подстановка u  mctgt
u 2  m 2 )du; подстановка u 
4. Интеграл вида
  (x   )
m
sin t
dx
n
ax  bx  c
2
; заменой x  a 
1
приводится к табличному
t
интегралу.
Литература.
Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И. Краткий курс высшей математики, ч. 1, 2, М. «Высшая
школа», 1978. (с.316-320)
Лекция 14. Определенный интеграл Формула Ньютона – Лейбница. Методы
интегрирования.
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x). Обозначим m и M наименьшее
и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]
Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.
x0 < x1 < x2 < … < xn
Тогда x1 – x0 = x1, x2 – x1 = x2, … ,xn – xn-1 = xn;
На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.
[x0, x1]  m1, M1; [x1, x2]  m2, M2; … [xn-1, xn]  mn, Mn.
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
n
 m x
Составим суммы: S n = m1x1 + m2x2 + … +mnxn =
i 1
Mnxn =
n
 M x
i
i 1
i
стр. 37 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
i
i
и S n = M1x1 + M2x2 + … +
Сумма S называется нижней интегральной суммой, а сумма S –
верхней интегральной суммой.
Т.к. mi  Mi, то S n  S n,
а m(b – a)  S n  S n  M(b – a)
Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку . x0 < 1 < x1,
xn.
x1 <  < x2, … , xn-1 <  <
Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется
интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].
Sn = f(1)x1 + f(2)x2 + … + f(n)xn =
n
 f (  ) x
i
i 1
i
Тогда можно записать: mixi  f(i)xi  Mixi
Следовательно,
n
n
n
 m x   f ( )x   M x
i 1
i
i
i
i 1
i
i 1
i
i
или S n  S n  S n
Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x)
ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.
Обозначим maxxi – наибольший отрезок разбиения, а minxi – наименьший. Если
maxxi 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности. Если
n
S n   f ( i )xi , то
i 1
lim
max xi 0
n
 f ( )x
i
i 1
i
 S.
Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxxi 0 и
n
произвольном выборе точек i интегральная сумма S n   f ( i )xi стремится к пределу S,
i 1
который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].
Обозначение
:
b
 f ( x)dx.
a
а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок
интегрирования.
Отметим некоторые свойства определенного интеграла при условии существования всех
используемых ниже интегралов.
b
a
b
c
b
b
b
b
a
b
a
a
c
a
a
a
1.  f ( x)dx    f ( x)dx. 2.  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx. 3.  ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx.
b
b
a
a
4.  k f ( x)dx  k  f ( x)dx.
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
стр. 38 из 76
Пусть F (x) - одна из первообразных функции f (x) . Тогда для вычисления
определенного интеграла имеет место формула Ньютона-Лейбница
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a) .
a
Из формулы Ньютона-Лейбница следует, что для вычисления определенных
интегралов мы можем применять весь набор приемов и методов нахождения
неопределенных интегралов.
В частности, справедливы формулы интегрирования по частям
b
b
UdV  UV a  VdU
b
a
a
и замены переменной
b


f ( x)dx   f ((t ))(t )dt ,

a
где U  U (x) , V  V (x) - дифференцируемые функции, :[,][a,b] - биективное (взаимно однозначное)
дифференцируемое отображение, такое, что  ( )  a;  (  )  b , а f (x) интегрируема на
отрезке [a, b] .
Литература
Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И. Краткий курс высшей математики, ч. 1, 2, М. «Высшая
школа», 1978. (с.322-326)
Лекция 15. Механические приложения
интеграла
Назовем
трапецию
простейшей
интеграла. Геометрические приложения
областью,
если
она
ограничена
кривыми
x  a, x  b, y  f1 ( x), y  f 2 ( x) , и для всех x [a, b] выполнено неравенство f1 ( x)  f 2 ( x) . Для
простейшей области площадь S криволинейной трапеции равна
b
S   ( f 2 ( x)  f1 ( x)) dx .
a
Аналогично, если 1 ( y )   2 ( y ) для всех y [c, d ] , то для криволинейной трапеции,
ограниченной кривыми y  c, y  d , x  1 ( y ), x   2 ( y ) (простейшей области второго типа),
имеем
d
S   (2 ( y)  1 ( y)) dy .
c
В общем случае плоскую область разбивают на простейшие области рассмотренных
выше типов.
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
стр. 39 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
Пусть область такова, что для x [a, b] известна площадь S (x) сечения плоскостью
b

x  const. В этом случае для вычисления объема справедлива формула V  S ( x)dx.
a
Для тел, полученных вращением криволинейной трапеции a  x  b, 0  y  f ( x) вокруг
оси OX , имеем
b
b
a
a
V    y 2 dx    f 2 ( x)dx .
Если эту трапецию вращать вокруг оси OY , то
b

V  2 xf ( x) dx .
a
Аналогично,
для
тел,
полученных
вращением
c  y  d , 0  x   ( y) вокруг оси OY , имеем
d
криволинейной
трапеции
d


V   x dy    2 ( y )dy .
2
c
c
Если эту трапецию вращать вокруг оси OX , то
d

V  2 y ( y )dy .
c
Длина дуги. В случае плоской кривой (кривой на плоскости), заданной параметрически
 x  x(t ),

 y  y (t ), t  [, ]
или,
что
то
же
самое,
в
векторной
форме
 x (t ) 
  ( x(t ), y (t ))T , предыдущая формула приобретает вид
r  r (t )  x(t )i  y(t ) j  
y
(
t
)





l    xt (t )    yt (t )  dt .





2
2
Для плоской кривой, заданной явно уравнением y  f (x) , длина дуги вычисляется по
формуле
b


l   1  f  ( x) dx .
2
a
Если кривая задана в полярной системе координат уравнением r  r ( ) , то для
вычисления длины кривой справедлива формула


2
l    r   r  d .



2
Литература.
Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И. Краткий курс высшей математики, ч. 1, 2, М. «Высшая
школа», 1978. (с.340-357)
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
стр. 40 из 76
3 ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
Практическое занятие 1. Определители. Действия над матрицами. Правило Крамера
Методические рекомендации. К данной теме знать формулы определителей второго и
третьего порядков. Действия над матрицами.
Пример. Вычислить определитель
2 3
4
5
Пример. Вычислить определитель
2 3 4
4
5 2 =
1 3 6
2 3
4
5
= 2  5  (3)  4  22
2  5  6  4  4  3  (3)( 2)( 1)  4  5(1)  (3)  4  6  2  3  (2)  60  48  6  20  72  12  206
2 3
4
5  2 . Вычислить М12, М31, А22, А12.
Пример. Дан определитель 4
1 3 6
М12=
4 2
=24-2=22, М31=
3 4
=6-20=-14,
1 6
5 2
2 4
4 2
A22=(-1)2+2
=+(12+4)=16, A12=(-1)1+2
=-(24-2)=-22,
1 6
1 6
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
стр. 41 из 76
Пример. Решить систему уравнений
 2 х1  х2  7 х3  1

3 х1  3 х2  8 х3  20
5 х  4 х  х  1
2
3
 1
Решение. Вычислим определители третьего порядков по схеме, получим
2 1 7
1
1 7
2 1 7
2 1
1
 = 3  3 8 =290,  1= 20  3 8 =580,  2= 3 20 8 =-580,  3= 3  3 20 =290
5
4 1
1
4 1
5
1 1
5
4
1
580

 х1  290  2

 580

Итак, получим  х2 
 2
290

290

 х3  290  1

2  3
Пример. Даны матрицы А= 
4  5
2  3 1   2 5 1  4
 +3 
 = 
2А+3В= 2 
 4  5 6   4 0  3  8
 4  6  6  15 2  3    2 9 5 
 = 

= 
 8  12  10  0 12  9   20  10 3 
1
 2 5 1 
 и В = 
 . Найти матрицу 2А+3В.
6
 4 0  3
 6 2    6 15 3 
 +
=
 10 12  12 0  9 
2 1 


 2 3 7 
4  3
 . Вычислить матрицу АВ=
Пример. Даны матрицы А= 
и В= 

4  5  8 
5 0



0  2


2
(

2
)

(

1
)
4
2

3

(1)  (5) 2  7  (1)( 8) 



  2 3 7   4(2)  (3)  4 4  3  (3)( 5) 4  7  (3)( 8)

 = 
 
=
 4  5  8   (5)( 2)  0  4 (5)  3  0  (5) (5)  7  0  (8) 
 0  (2)  (2)4 0  3  (2)( 5) 0  7  (2)  (8) 



8
11
22




  20 27 52 
=
10  15  35 


  8 10 16 


1  1 3 


Пример. Найти обратную матрицу для матрицы А=  2 1 4 
  1  2 1


УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Решение.
Вычислим
стр. 42 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
определитель
1  1 3 


  det  2 1 4  =6  0 .
  1  2 1


алгебраические ее дополнения
1 4
1 3
1
А11  (1)11
 9 , А21  (1) 2 1
 5 , А31  (1)31
2 1
2 1
1
2 4
1 3
1
А12  (1)1 2
 6 , А22  (1) 2  2
 4 , А32  (1)13 2
1 1
1 1
2
2 1
1 1
А13  (1)1 3
 3 , А23  (1) 2  3
 3 , А33  (1)13 3
1 2
1  2
3 5

6
2
6 2
Тогда обратная матрица А1  
3
 6
 1 1

2
 2
3
4
3
И
вычислим
все
 7 ,
 2,
4
1 1
2 1
3
7 

6 
1

3
1

2
Пример. Решить матричное уравнение
1 2
 3 5

  X  
 .
3
4
5
9




Решение.
запишется
Обозначим
в
виде
1 2
3 5
A  
 , B  
 .
3
4
5
9




A X  B .
Найдем
Тогда матричное уравнение
A1 :
det A 
1 2
3 4
 2;
1  4  2
 . Воспользуемся формулой
A11  4; A12  3; A12  2; A22  1, A1   
1
2  3
1  4  2   3 5    1  1
  
  
 .
(3): X   

1  5 9   2
3
2  3
Пример. Найти ранг матрицы
 1

3
A
3

5
3
3
5
2
1 5
7
1
5

3
4
.
0  7

4
1
2
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Решение.
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
Получим
 1

 0
rang A  rang 
0

 0
нули
в
3
3
4
7
8
 14
8
 14
первом
столбце,
стр. 43 из 76
оперируя
первой
строкой
5

 3  11
.
 6  22 

 6  24 
2
Третью строку вычеркиваем, поскольку она получается умножением второй строки на
2, а в последней строке отбросим общий множитель:
3
3
2
5
 1
 1



rang  0
4
7
3
11  rang  0
 0  4  7  3  12 
 0



 1 3 5

 rang  0 4 11

0 0 1

3
3
4
7
0
0
5

3 11 
0  1
2
3 2 
7 3   3.

0 0

Литература.
Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2. М., «Наука», 1986,
(с.132-163)
Контрольные вопросы:
1. Дать определение определителя второго и третьего порядков.
2. Умножение матриц
3. Формула обратной матрицы
4. Формулы правила Крамера.
Практическое занятие 2. Векторы. Действия над векторами.
Методические рекомендации. К данной теме знать координатные формулы над
векторами. Действия над векторами и их геометрические приложения.
Пример. Даны векторы а  (5,3,2) и b  (1,4,2) . Найти координаты вектора
2a  3b  2(5,3,2)  3(1,4,2)  (10,6,4)  (3,12,6)  (10  3,6  12,4  6)  (13,18,10)
Пример. Отрезок AB разделен на три равные части точками C (3,  1) и D(1, 4) .
Найти координаты концов отрезка.
Решение.
Обозначим A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) . Точка C – середина отрезка AD ,
следовательно,
по
формулам
(5)
находим:
x 1
y 4
3  1 , 1  1
,
2
2
откуда
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
стр. 44 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
x1  5, y1  6 . Аналогично находятся
самостоятельно): x2  1, y2  9 .
координаты точки
B
(рекомендуется проделать


 
 
Пример. Найти угол между векторами a и b , если a  i  2 j  3k ,




b  6i  4 j  2k .


Т.е. a = (1, 2, 3), b = (6, 4, -2)
 
a  b = 6 + 8 – 6 = 8:


a  1  4  9  14;
b  36  16  4  56 .
cos =
8
14 56

8
2 14 14

4 2
 ;
14 7
2
7
  arccos .




Пример.
Найти скалярное произведение (3 a - 2 b )(5 a - 6 b ),


 
a  4, b  6, а ^ b   / 3.
2
 
2
 

1
 
 
 
15 a  a - 18 a  b - 10 a  b + 12 b  b = 15 a  28 a b cos  12 b  15  16  28  4  6  
3
2
+ 1236 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.
Пример. Даны векторы
Решение.
Если
a  {2, 2,1} и b  {6, 3,  2} . Найти npa b
базис не
указан,
то
он
подразумевается
и
npb a .
декартовым.
Найдем
a  4  4  1  3 , b  36  9  4  7 , (a , b )   12  6  2  16 .
npa b 
Тогда
(a , b ) 16
(a , b ) 16
 , npb a 
 .
a
3
b
7
c  [a , b ],
укажите координаты c .
Пример. Найти
Решение.
если
если
a  2i  2 j  k , b  2i  3 j  6k .
В ответе
В декартовом базисе векторное произведение ищется по формуле
i
j
[a , b ]  2  2
2
3
k
1 i
6
2
1
3 6
 j
2 1
2 6
k
2 2
2
3

 15i  10 j  10k , то есть c  {15,  10, 10}.


 
Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a  3b ; 3a  b ,
 
 
если a  b  1; a ^ b  30 0.

 
 
 
 
 

 
   
(a  3b )  (3a  b )  3a  a  a  b  9b  a  3b  b  b  a  9b  a  8b  a

S  8 b a sin 30 0  4 (ед2).
Пример. Вычислить
(a , b , c ) , если a  i  3 j , b  j  3k , c  i  3k .
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
Решение.
В декартовом базисе смешанное
определителя третьего порядка по формуле 
стр. 45 из 76
произведение
находят
с
помощью
1 3 0
(a , b , c )  0 1 3  3  9  12 .
1 0 3
Литература.
Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2. М., «Наука», 1986,
(с.63-79)
Контрольные вопросы:
1. Что такое вектор?.
2. Что такое базис?
3. Геометрический смысл векторного произведения.
4. Геометрический смысл смешанного произведения.
5. Что такое компланарные векторы.
Практическое занятие 3. Уравнение прямой на плоскости. Расстояние от точки до
прямой. Взаимное расположение прямых.
Методические рекомендации. К данной теме знать формулы общего уравнения прямой и
разные способы ее задания. Расстояние от точки до прямой. Деление отрезка в данном
отношении.
Пример. Треугольник задан координатами своих вершин
A(4, 4) , B(6,  1) , C(2,  4) . Написать:
а) уравнение стороны AB ;
б) уравнение медианы BM ;
в) уравнение высоты BD ;
г) уравнение биссектрисы внутреннего угла при вершине
B
C
A
D
C.
AB  {10,  5}, который
M
Решение.
а) Найдем координаты вектора
можно взять в
качестве направляющего вектора, а в качестве фиксированной точки выберем, например,
точку A . Так как по определению направляющий вектор – любой вектор, параллельный
(5) , возьмем в качестве направляющего
x4 y4

вектор l  {2, 1} и запишем каноническое уравнение прямой AB :
, от
2
1
 x  2t  4
которого легко перейти к параметрическим 
, или к общему x  2 y  4  0 .
y

t

4

прямой, то, сокращая координаты вектора
AB
на
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
стр. 46 из 76
AC , следовательно ее координаты (1, 0) , а вектор
BM  {7, 1} служит направляющим вектором. Уравнение медианы BM в канонической
x 1 y
 или x  7 y  1  0 .
форме:
7
1
в) Так как прямые BD и AC перпендикулярны, то в качестве нормали к BD
можно взять AC  {6,  8} или любой вектор, ему параллельный, в частности
N  {3, 4} . По формуле (2) получим: 3( x  6)  4( y  1)  0 или 3x  4 y  22  0 .
Пример. Две стороны квадрата лежат на прямых 3 x  4 y  22  0 и
3x  4 y  13  0 . Вычислить его площадь.
б) Точка
M
– середина отрезка
Решение.
По условию заданы уравнения параллельных сторон. Для нахождения длины
стороны квадрата достаточно найти расстояние между прямыми, взяв на одной прямой
3x  4 y  22  0
какую-нибудь точку, например
расстояние от точки
M 0 до прямой 3x  4 y  13  0 :
d
3  0  4  ( 11
)  13
2
9  16
Пример. Найти точку,
M 0 (0,  11 / 2) ,
и подсчитать
 22  13
 7 . Тогда S  72  49 .
5
симметричную точке M (2, 9) относительно

прямой
y  23 x  6 .
2
x  6 запишем в виде 3 y  2 x  18  0 , откуда
3
N  {2, 3} может слу-жить направляющим вектором для
M
N (2, 3)
прямой MK . Каноническое уравнение прямой MK :
x2 y 9
A

. Точку A найдем как точку пересечения прямых
3y–2x–18=0
2
3
K(x0,y0)
x2 y 9 x2 y 9
3 y  2 x  18  0 и

t

:
2
3
2
3
 x  2t  2 , y  3t  9 ,
9t  27  4t  4  18  0  t  1, x  0, y  6 .
 2  x0
 0,
Используя формулу деления отрезка в данном отношении, получим:
2
9  y0
 6 , откуда x0  2 , y0  3 .
2
Решение.
Уравнение
y
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Пример.
Даны
стр. 47 из 76
координаты
A(7,  5), B(4, 0),
Решение.
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
трех вершин прямоугольной трапеции
D(2,  2) . Составить уравнения всех ее сторон.
Зная координаты точек
A
ABCD :
D , можно найти
уравнение
AD :
и
B
С
тогда
AD  {9, 3} || {3, 1},
x7 y5
N

или x  3 y  8  0 , нормаль которой A
D
3
1
N  {1,  3} служит направляющим вектором прямой CD , поэтому уравнение CD
x2 y2

имеет вид
или 3 x  y  4  0 . Так как прямые BC и AD параллельны,
1
3
то у них общая нормаль, поэтому уравнение BC запишем в виде 1( x  4)  3( y  0)  0
или x  3 y  4  0 . Уравнение прямой AB можно получить как уравнение прямой,
x4
y

проходящей через две данные точки:
или 5 x  3 y  20  0 .
3 5
Литература.
Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2. М., «Наука», 1986,
(с.79-90)
Контрольные вопросы:
1. Общее уравнение прямой.
2. Уравнение прямой через две точки.
3. Что такое угловой коэффициент?
4. Деление отрезка в данном отношении.
5. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
6. Площадь треугольника на плоскости.
Практическое занятие 4. Уравнение плоскости и прямой. Способы задания. Взаимное
расположение.
Методические рекомендации. К данной теме знать формулы общего уравнения прямой и
плоскости и различные способы их задания. Взаимное расположение прямой и плоскости.
Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
M1(0,  1, 3)
параллельно векторам l1  {1, 4, 2} и l2  {2,  2, 1}.
Решение. Возьмем на плоскости текущую точку M ( x, y, z ) и соединим ее с точкой
Получим вектор
M1.
M1M  {x, y  1, z  3}.
M1M , l1 и l 2 компланарны, следовательно (M1M , l1, l2 )  0 . Это и
Векторы
будет уравнение искомой плоскости в векторной форме, так как ему удовлетворяет любая
точка этой плоскости и не удовлетворяет никакая другая точка (если взять точку M ,
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
лежащую выше или ниже плоскости, то
l2
M1M
стр. 48 из 76
не будет лежать в плоскости и
M1M , l1 ,
не будут компланарными, а значит их смешанное произведение не равно нулю).
y 1 z  3
x
В координатной форме уравнение плоскости будет иметь вид
или, раскрывая определитель, 8 x  3 y  10 z  33  0 .
Пример. Написать
канонические
и
параметрические
2 x  y  4 z  2  0,

 4 x  y  5 z  4  0.
Решение.
y  0.
Положим
z  0,
Фиксированная точка
i
j
1
4
2
2
уравнения
2  0,
1
прямой
2 x  y  2,
откуда находим x  1 ,

4
x

y


4
,

M 0 (1, 0, 0) . N1  {2, 1,  4}, N 2  {4,  1,  5} ,
тогда получим
k
l  [ N1 , N 2 ]  2
1  4  9i  6 j  6k , l || l1  {3, 2, 2} .
4 1  5
Канонические уравнения:
x 1 y z
x 1 y z
  . Обозначая
   t , получим параметрические уравнения:
3
2 2
3
2 2
x  1 3t , y  2t , z  2t .
x y 1 z  3 x  2 y 1 z 1




Пример. Проверить, лежат ли прямые
и
в
1
2
1
2
3
5
одной плоскости.
l1  {1, 2,  1} , l2  {2, 3,  5} ,
M1(0, 1,  3) , M 2 (2,  1, 1) , тогда M1M 2  {2,  2, 4}. Если прямые лежат в одной
плоскости, то векторы l1, l2 , M1M 2 компланарны, значит (l1, l2 , M1M 2 )  0 . Для
Решение.
Из
уравнения
прямых
находим
проверки этого условия запишем его в координатной форме:
1
1
2
2
3  5  1  (12  10)  2  (8  10)  1  (4  6)  28  0 , следовательно
2 2
4
прямые не лежат в одной плоскости, т.е. скрещиваются.
Литература.
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
стр. 49 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2. М., «Наука», 1986,
(с.111-123)
Контрольные вопросы:
1. Общее уравнение плоскости. Нормаль плоскости.
2. Уравнение плоскости через три точки.
3. Расстояние от точки до плоскости.
4. Уравнении прямой в пространстве.
5. Параметрические уравнения.
6. Направляющий вектор прямой через нормали.
Практическое занятие
неопределенности.
5.
Неопределенность.
Типы
пределов.
Избавление
от
Методические рекомендации. К данной теме знать понятия бесконечно большой и малой
величин их свойства. Типы пределов. Понятие неопределенности.
Пример. Найти
Решение.
lim
n 
n 2  3n  2
2
2n  1
.
Неопределенности
3 2

n  3n  2   
n n2 1
lim
    lim
 ,
2
1
2
n   2n  1
   n  2 
2
n
1
 0 при n   .
2
n
2
Пример. Найти lim
 n  2  2n  1  .

n 
2

.

вида
1
так
как
3
2
 0,
 0,
2
n
n
Решение. Данное выражение представляет собой неопределенность вида
(  ) .
 n 2  2  2n  1    n 2  2  2n  1 
 

lim  n 2  2  2n  1   (  )  lim 

n  
n 
n 2  2  2n  1
2 3
1


n 2  2n  3
n n2

 lim
    lim
 .
2
2
1
n   n 2  2  2n  1    n   1

 3 4
n2 n4
n
n
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
стр. 50 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
1  x  x2 1  0 
( 1  x  x 2  1)( 1  x  x 2  1)
lim
    lim

2
x
0
x 0
x

0
 
x  ( 1  x  x  1)
 lim
x 0
1  x  x2  1
x  ( 1  x  x 2  1)
Пример.
Пример.
 lim
x 0
x(1  x)
x  ( 1  x  x 2  1)
 lim
x 0 (
1 x
1  x  x 2  1)

1
.
2
x2  6x  8
( x  4)( x  2)
x2 2
0

lim
 .
. lim



x 4 x  1 3
x  4 x 2  5 x  4  0  x  4 ( x  4)( x  1)
lim
x 2  5x  6
( x  2)( x  3)
x 3
1
0
.


lim

lim




3
2
2
2
3
x  2 x  2 x  x  2  0  x  2 ( x  2)( x  1) x  2 x  1
lim
Литература.
Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2. М., «Наука», 1986,
(с.9-30)
Контрольные вопросы:
1. Что такое неопределенность.
2. Типы неопределенностей.
3. Свойства бесконечно малых и больших величин.
4. Типы пределов.
Практическое занятие 6. Первый и второй замечательный предел. Нахождение точек
разрыва.
Методические рекомендации. К данной теме знать формулы замечательных пределов.
Замена переменной в пределе. Переход к замечательным пределам.
Пример.
Пример.
lim sin 4 x  lim 4 x  sin 4 x  2 x  2 .
x 0 sin 2 x
x 0 4 x  sin 2 x  2 x
lim cos x 2cos 3x  lim 2  sin 22x  sin x  lim 2  2 sin 2 x  sin x  4 .
x 0
x
x 0
sin( x 2  4)
x
x 0
sin( x 2  4)
1

lim

.
3
2
2
x 2 x  4 x  4  x
x  2 ( x  4)  ( x  1) 3
1  sin x 0
x  sin x
x   0.
Пример. lim
 lim
x 0 x  sin x x 0 1  sin x 2
x
Пример.
lim
2x  x
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
стр. 51 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
sin x
. Первый замечательный предел применить нельзя, так как
x 1 sin 3x
аргументы x и 3x у синусов не стремятся к нулю при x  1 . Поэтому положим
x 1  y , тогда при x  1 будет y  0 . Тогда
lim sin x  lim sin  ( y  1)  lim sin y  lim y  sin y  3y  1
x 1 sin 3x y 0 sin 3 ( y  1) y 0 sin 3y y 0 y sin 3y  3y 3
x 5
 1  x  1 5 
 1

Пример. lim1  
 (1 )  lim 1   1     e 1  e .
x
x   x  
x 
x  

Пример.
Пример.
lim
lim
x 3
2x
( x  2) x 3
1 



x
 (1 )  lim[1  ( x  3)] 3 
x 3 


2x
 e6 .
Пример.
 3x 2  8 x  1 

lim 2
x  3x  4 x  2 
2x
 3x 2  8 x  1


 (1 )   2
 1  1
 3x  4 x  2



2x

2 x ( 12 x 1)
3x  4 x  2  3x 2  4 x  2


 24 x 2  2 x
12 x 1 
lim
2


 12 x  1 
1
 lim 1  2
 e x   3 x  4 x  2  e 8  8 .


x   
3x  4 x  2 
e





1x
Пример. Функция y  2
непрерывна для всех значений x , кроме x  0 . Найдем
2
односторонние пределы:
lim
x 0  0
21 x   ,
lim
x 0  0
21 x  0 ,
следовательно
x0
–
точка разрыва второго рода (рис. 3).
x  x0 называется
f ( x0  0)  f ( x0  0)  f ( x0 ) .
3) Точка
точкой
устранимого
разрыва,
если
Разрыв «устраним» в том смысле, что достаточно изменить (доопределить или
переопределить)
значение
функции
в
этой
точке,
положив
f ( x0 ) 
lim
x  x0
f ( x) 
непрерывной в точке
x0 .
lim
x  x0  0
f ( x) 
lim
x  x0  0
f ( x) ,
и
функция
станет
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
стр. 52 из 76
Пример. Установить, в каких точках и какого рода разрывы имеет функция
 x 2 , при  2  x  0;

f ( x)  4, при x  0;
1 x , при 0  x  2.

Эта функция определена на
[2, 2] . Так как x 2 и 1 x
непрерывны соответственно
[2, 0] и (0, 2] , то разрыв может быть только на стыке промежутков, то
x  0.
есть
в
точке
Поскольку
lim f ( x)  lim x 2  0, lim f ( x)  lim 1   , то x  0 является точкой
x 0
x 0
x 0
x 0 x
в промежутках
разрыва второго рода.
Пример. Функция
точки
x  2.
y
1
x2
Определим
определена и непрерывна на
тип
разрыва.
1
  , то в точке x  2
x 2  0 x  2
lim
Поскольку
(,) за исключением
1
 
x 2  0 x  2
lim
и
разрыв второго рода
Литература.
Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2. М., «Наука», 1986,
(с.30-35)
Контрольные вопросы:
1. К каким функциям применяют первый замечательный предел.
2. Второй замечательный предел. В каких случаях он применяется?
3. Замена переменной в пределе.
Практическое занятие 7. Таблица, правила дифференцирования. Производная сложной
функции, параметрически и неявно заданной. Метод логарифмирования.
Методические рекомендации. К данной теме знать таблицу производных элементарных
функций, правила дифференцирования, производная сложной функции.
Пример. Найти производную от функции
y  ln sin arctg e3 x
5
.
Решение. Берем сначала производную от натурального логарифма, считая в качестве его
аргумента все выражение, стоящее под знаком логарифма. Получим
1
sin arctg e
3x5
.
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
стр. 53 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
Затем берем производную от синуса, у которого аргумент – все, что стоит после
sin arctg e3 x
1
5
. Берем производную от корня:
2 arctg e
производную от подкоренного выражения, начиная с арктангенса:
. Теперь берем
3x5
1
1 e
sin :
6x 5
. И, наконец,
4
находим производную от показателя по правилу дифференцирования степени: 15x .
Записав в виде произведения получившиеся результаты дифференцирования, получим
выражение искомой производной:
1
y 
sin arctg e
Пример. Найти
3x5
 cos arctg e
производную
функции
3x5

1
3x5

e3 x
5
1  e6 x
2 arctg e
y по x , заданной
5
 15x 4 .
параметрически:
 x  2t  t 2 ,

 y  t 2  2t 3 .
yt 2t  6t 2 2(t  3t 2 ) t (1  3t )
yx в



Решение. yx 
. Запишем функцию
xt
2  2t
2(1  t )
1 t
 x  2t  t 2 ,

параметрической форме: 
t (1  3t )
.
 y x 

1 t
3
2
2 4
Пример. Найти производную y , не решая уравнения: x  x y  x y  5  0
относительно y .
Решение. Так как в правой части уравнения стоит нуль, а производная постоянной равна
нулю, то
d ( x 3  x 2 y  x 2 y 4  5)  0 .
dx
Применяя почленное дифференцирование, найдем
3x 2  2 xy 
 x y  2 xy  4 x y y  0 , откуда y 
2
4
2 3
3x 2  2 xy  2 xy 4
x2  4x2 y3
.
Литература.
Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2. М., «Наука», 1986,
(с.225-248)
Контрольные вопросы:
1. Что такое дифференцирование?
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
стр. 54 из 76
Правило логарифмирования.
Производная сложной функции.
Производная функции, заданной параметрически.
Производная функции заданной неявно.
2.
3.
4.
5.
Практическое занятие 8. Правило Лопиталя. Исследование функции на интервалы
монотонности и точки экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции.
Методические рекомендации. К данной теме знать понятие экстремум условия
существования экстремума. Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения
функции. Исследование функции на возрастание и убывание.
tg x  1
.
x  / 4 sin 4 x
0
имеем неопределенность вида , следовательно можно воспользоваться правилом
0
Пример .
Решение.
Найти
lim
Лопиталя:
1
2
tg x  1
1
1
cos
x  lim
lim
 lim


.
2
x  / 4 sin 4 x
x  / 4 4 cos 4 x x  / 4 4 cos 4 x cos 2 x
Неопределенности вида 0   и    с помощью тождественных преобразований
0 или  и затем раскрываются по правилу Лопиталя.
сводятся к неопределенностям
0

Пример. Найти lim ( x  ln x) .
x 0  0
Решение. Здесь имеем неопределенность
lim
( x  ln x) 
x 0  0
ln x   
  .
x 0  0 1 / x   
0.
Перепишем данное выражение в виде
lim
Теперь можно применить правило Лопиталя:
lim
x 0  0
( x  ln x) 
Пример. Найти
lim
1/ x
x 0  0  1 / x 2

lim
x 0  0
x  0.
lim  ctg x  1  .
x 0 
x
Решении. Данное выражение представляет
Преобразуем его к другому виду:
собой
неопределенность
вида
  .
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
стр. 55 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
lim ctg x  1   lim cos x  1   lim x cos x  sin x   0  
x 0 
x
x  0  sin x
x
0
cos x  x sin x  cos x
x sin x
0
 lim
  lim
 
sin x  x cos x
x 0
x  0 sin x  x cos x  0 
sin x  x cos x
0
  lim
   0.
2
x  0 cos x  cos x  x sin x
x
Пример. Найти lim x .
x 0
x sin x
x 0  0
00 .
Решение. Здесь неопределенность вида
ln y  x ln x ,
ln
lim
x 0  0
lim
x 0  0
y
откуда
lim
x 0  0
y  e0  1, т.е.
в
силу
ln y 
lim
lim
Обозначим
непрерывности
( x  ln x)  0
x 0  0
x
x 0  0
y  xx
и прологарифмируем:
логарифмической
Итак,
ln
lim
x 0  0
функции
y  0,
откуда
x  1.
Пример. Исследовать функцию y 
x3
и построить ее график.
x2 1
1) Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции
является область (-; -1)  (-1; 1)  (1; ). Областью значений данной функции является
интервал (-; ). Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.
2) Функия нечетная, т. е. график симметричен относительно оси ОУ
3) Находим критические точки первой производной
y 
3x 2 ( x 2  1)  2 x  x 3 3x 4  3x 2  2 x 4 x 4  3x 2
Критические точки: x = 0; x = - 3 ; x =

 2
( x 2  1) 2
( x 2  1) 2
( x  1) 2
3 ; x = -1; x = 1.
4) Находим критические точки второй производной
y  
(4 x 3  6 x)( x 2  1) 2  ( x 4  3x 2 )4 x( x 2  1) 2 x( x 2  3)

. x = -1; x =1; х=0
( x 2  1)3
( x 2  1) 4
5) Таблица
х
0
(0 ; 1)
1
(1 ; 3 )
у
0
-

-
y/
0
-

+
3
0
(1 ; )
+
+
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
y //
стр. 56 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.

убывает
0
убывает
выпуклая
вогнутая
3 3
2
возрастает
вогнутая
Видно, что точка х = - 3 является точкой максимума, а точка х = 3 является
точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно -3 3 /2 и 3 3 /2.
6) прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.
Теперь найдем наклонные асимптоты.
x2
k  lim 2
 lim
x  x  1
x 
1
 1;
1
1 2
x
1
 x3

 x3  x3  x 
 lim x  0
b  lim  2
 x   lim 
2
x  x  1
x 


 x  1  x  1  1
x2
Уравнение наклонной асимптоты –
y = x.
7) Пересечение с осями координат только одна точка (0, 0)
8) Построим график функции:
4
3
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
-3
-4
Литература.
Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2. М., «Наука», 1986,
(с.248-258)
Контрольные вопросы:
1. Когда применяется правило Лопиталя?
2. Условия существования экстремума.
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
стр. 57 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
3. Возрастание и убывание функции.
4. Что такое экстремум функции?
5. Порядок нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Практическое занятие 9. Исследование функции на выпуклость и вогнутость.
Асимптоты. Полное исследование функции.
Методические рекомендации. К данной теме знать понятие выпуклости и вогнутости
графика функции, точки перегиба и ее существования. Вида асимптот. Схема полного
исследования функции.
Пример .
Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба кривой
3
y  x5 .
5
10
y  x 2 3 , y  3 . В данном случае y нигде в нуль не
3
9 x
обращается, а в точке x  0 она равна бесконечности, значит, в этой точке возможен
перегиб. Так как при x  0 вторая производная y  0 и при x  0 y  0 , то на
(, 0) кривая выпукла, а на (0,  ) – вогнута и точка x  0 – точка перегиба.
Решение.
Находим
Пример .
y  ln ( x 2  1) .
есть на (,  1) U(1,  ) .
Исследовать на перегиб кривую
Решение. Функция определена при | x | 1 , то
производные первого и второго порядков:
2( x 2  1)  2 x  2 x
2x
y  2 , y 
x 1
Так как при всех x
2
( x  1)
2

2( x 2  1)
2
( x  1)
2
из области определения функции
выпукла и точек перегиба не имеет.
Пример .
Найти
уравнение
вертикальных
функции
x2  1
.
y
x 1
Решение. Видим,
что
y  ,
x2  1
x2  1
lim
 , lim
  ,
x

1
x

1
x 1 0
x 1 0
если
то
есть
.
y  0 ,
Найти горизонтальные асимптоты кривой
то кривая всюду
асимптот
x  1,
x 1
прямая
вертикальной асимптотой, причем двусторонней.
Пример .
Найдем ее
y  e x
2
.
графика
точнее
является
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
lim e x
Решение. Найдем
стр. 58 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
2
x 
 e  0 ,
y0
то есть
при
x  
и при
x   , значит прямая y  0 – горизонтальная асимптота данной кривой.
Литература.
Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2. М., «Наука», 1986,
(с.261-267)Контрольные вопросы:
1. Что такое выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба.
2. Условия существования точек перегиба.
3. При помощи какой производной исследую функцию на выпуклость.
4. Дать определение всем асимптотам.
Практическое занятие 10. Таблица интегралов. Методы интегрирования.
Методические рекомендации. К данной теме знать таблицу интегралов, правила
интегрирования, методы интегрирования, подведение под знак дифференциала.
1
Пример.  x  5 3  7 x 2 dx   5 3  7 x 2 d ( x 2 ) 
2




1
1 5
1
1
3  7 x 2 d (7 x 2 )   3  7 x 2 5 d (7 x 2  3)  
3  7x 2

27
14
14

6
5
:

6
5
C 
3  7x 2
5
84
3
Пример.  sin x  cos x dx  
Пример. 
2(sin x) 2
sin x d sin x 
C.
3
2
2
1 2 xdx  1 d ( x )  1 d (5 x ) 




3  5x 2 2 3  5x 2 2 3  5x 2 2  5 3  5x 2
xdx
Пример.

dx
x  10 x  34
2

dx
x  10 x  25  9
2

dx
( x  5)  9
2
 
d ( x  5)
1
x5
 arctg
C.
3
3
( x  5)  3
2
2
Пример .
x  4x2  2x  6
3
1
3
1
dx    x 2  2 x  1  dx   x 2 dx   2 xdx   dx   dx 

2x
x
2
x
2
3
1 2
dx 1 x 3
x2
x3
x dx  2 xdx   dx  3
   2   x  3 ln x  C 
 x 2  x  3 ln x  C

2
x
2 3
2
6
 Sin 2 x  Cos 2 x 
1
1
1
dx

 Cos2 xSin2 x   Cos2 xSin2 x dx   Cos2 x dx  Sin 2 xdx  tgx  Ctgx  C
x2
1  x2  1
1 
dx

dx

 1  x2  1  x2 dx  1  1  x2 dx   dx   1  x2  x  arctgx  C
Пример. Вычислить  xe 2 x dx.

6
5
C
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
стр. 59 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
Положим U  x, dV  e 2 x dx. Тогда dU  dx ,  dV    e 2 x dx 0,5e 2 x  C , и в качестве V
можем взять V  12 e 2 x . Поэтому
 xe dx  12 xe
Пример. Вычислить  x sin 4 xdx.
2x
2x
 12  e 2 x dx  12 xe 2 x  14 e 2 x  C.
Полагаем U  x, dV  sin 4 xdx. Тогда dU  dx ,  dV   sin 4 xdx   14 cos 3x  C , и в качестве
V можем взять V   1 cos 4 x . Следовательно
4
 x sin 4 xdx   14 x cos 4 x  14  cos 4 xdx    14 x cos 4 x  161 sin 4 x  C .
Пример. Вычислить  x ln 2 3x dx .
U  ln 2 3x, dV  xdx .
Полагаем
 x ln
2
2
3x dx  12 x 2 ln 2 3x   x 2 ln 3x dx 
2
x
слагаемому
 x ln 3x dx 
формулу
1
2
2
x ln 3x 
1
2
 xdx 
1
2
 x ln
2
Поэтому
2
x ln 3x 
(3 x  9) x
 6 dt  54 

6t 5 dt
(t 2  9)t 3
dt
t2  9
1
4
по
частям
(3 x  9) x
и
поэтому
Применяя
ко
второму
U  ln 3x, dV  xdx ,
с
имеем
2
x  C . Поэтому
. Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно 6.
x  t6.
замену
 6
V  12 x 2
3x dx  1 x 2 ln 2 3x  1 x 2 ln 3x  1 x 2  C .
2
2
4
dx
делаем
dx
dU  2 ln 3x dx ,
x
 12 x 2 ln 2 3x   x ln 3xdx .
интегрирования
Пример. Вычислить 
и
Тогда
t2
t2  9
dt 6
t2  9  9
t2  9
Тогда
dx  6t 5 dt
dt 
6
6t  18arctg 3t  C  66 x  18arctg 3x  C .
Пример. Для
вычисления
x  32 sin t . Тогда dx  32 cos tdt,
интеграла

(2  x 3 )dx
9  4x
2
воспользуемся заменой
9  4 x 2  9  9 sin 2 t  3 cos t , 2  x 3  2 
27 sin 3 t
8
и исходный
27 sin 3 t) dt . Далее,
интеграл равен интегралу  (1  16
27 sin
 (1  16
3
27 (1  cos 2 t ) d cos t   t  27 cos t  27 cos 3 t  C 
t )dt  t  16

16
48
27 cos(arcsin 2 x )  27 cos 3 (arcsin 2 x )  C .
 arcsin 23x  16
3
48
3
ln x  t
ln x 4  C
dx
t4
 dx
  t 3dt   C 
Пример.  ln x 
x
4
4
 dt
x
3
Литература.
Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2. М., «Наука», 1986, (с.
322-334)Контрольные вопросы:
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
стр. 60 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
Что такое криволинейная трапеция? Понятие интеграла.
Таблица интегралов.
Формула интегрирования по частям.
Как подвести под знак интеграла.
Понятие дифференциала и его свойства.
1.
2.
3.
4.
5.
Практическое занятие 11. Интегрирование рациональной функции. Разложение дроби
на простейшие.
Методические рекомендации. К данной теме знать понятие простейшей рациональной дроби
и знать интегралы от них, уметь разложить рациональную дробь на простейшие и выделить у
нее целую часть.
Пример. Найти 
2x 2  9x  3
x 3  2 x 2  3x
dx .
Корни знаменателя – x1  1 , x 2  0 и x3  3 . Поэтому x 3  2 x 2  3x  ( x  1) x( x  3) и
подынтегральная функция может быть представлена в виде
2x 2  9x  3
3
2
x  2 x  3x

A
A1
A
 2  3 .
x 1 x
x3
Приводя к общему знаменателю, получаем
A x( x  3)  A2 ( x  1)( x  3)  A3 ( x  1) x
 1

x  2 x  3x
x 3  2 x 2  3x
2x 2  9x  3
3
2
( A1  A2  A3 ) x 2  (3 A1  2 A2  A3 ) x  3 A2
.
x 3  2 x 2  3x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях правой и левой частей

последнего соотношения, получаем
 A1  A2  A3

 3 A1  2 A2  A3

 3 A2

Решая эту систему, находим A1  2, A2  1, A3  1 .
 2,
 9,
 3.
Таким образом,

2x 2  9x  3
3
2
x  2 x  3x
dx  2
dx
dx
dx



x 1
x
x3
 2 ln x  1  ln x  ln x  3  C  ln
Пример. Найти 
x 2  3x  3
( x  1) 3 ( x  2)
Корни знаменателя – x1  2
x( x  1) 2
C .
x3
dx .
кратности 1 и x 2  1 кратности 3. Поэтому
подынтегральная функция может быть представлена в виде
x 2  3x  3
( x  1) 3 ( x  2)

A3
A1
A
A4
 2 

.
x  2 x  1 ( x  1) 2 ( x  1) 3
Приводя к общему знаменателю, получаем, что
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
стр. 61 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
A ( x  1) 3  A2 ( x  1) 2 ( x  2)  A3 ( x  1)( x  2)  A4 ( x  2)
 1
.
( x  1) 3 ( x  2)
( x  1) 3 ( x  2)
x 2  3x  3
Раскрывая в числителе правой части скобки и приводя подобные, имеем
x 2  3x  3

( A1  A2 ) x 3  (3 A1  4 A2  A3 ) x 2

( x  1) 3 ( x  2)
( x  1) 3 ( x  2)
(3 A1  5 A2  3 A3  A4 ) x   A1  2 A2  2 A3  A4

.
( x  1) 3 ( x  2)
Таким образом,

x 2  3x  3
3
( x  1) ( x  2)
dx   
  ln x  2  ln x  1 
dx
dx
dx



x2
x 1
( x  1) 3
1
2( x  1)
2
 C  ln
x 1
1

 C.
x  2 2( x  1) 2
Литература.
Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2. М., «Наука», 1986, (с.
335-336)
Контрольные вопросы:
1. Что такое простейшая дробь.
2. Как выделить целую часть из неправильной дроби?
3. Что такое неправильная рациональная функция?
4. Три случая разложения правильной дроби на простейшие.
5. Что такое метод неопределенных коэффициентов.
Практическое занятие 12. Интегрирование тригонометрических функций
Методические рекомендации. К данной теме знать тригонометрические формулы. Различать
различные случаи интегрирования тригонометрических функций . Универсальная
подстановка.
Пример.  cos 2 4 x sin 3 4 x dx .
Так как при смене знака у функции sin 4 x подынтегральная функция меняет знак, то
делаем замену cos 4 x  t . Тогда  4 sin 4 xdx  dt , поэтому
 cos
2
4 x sin 3 4 x dx   1  t 2 (1  t 2 )dt 
4
2  cos x
t5 t3
cos 5 4 x cos 3 4 x
 C  

C .
20 12
20
12
Пример. 
dx .
2  cos x
Так как подынтегральная функция не подпадает ни под один из частных случаев, то делаем
2 dt
1  t 2 3t 2  1
x
1 t2 3  t2
2

cos
x

2


замену tg  t . Тогда dx 
,
,
,
2

cos
x

2


2
1 t2
1  t2 1  t2
1 t2 1 t2
Подставляя, получаем
2
t2  3
2
2
(3t  1)(t  1)
dt  2
4
2
3t  1
dt  2
2
2
t 1
dt 
УМКД 04214.01.20.218/03-2010

8
стр. 62 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.

d ( 3t )
 4
dt
8
arctg( 3t ) - 4arctgt  C 
3 1  ( 3t ) 2
3
1 t2
8
x
x
8
x

arctg( 3 tg ) - 4arctg(tg )  C 
arctg( 3 tg )  2 x  C .
2
2
2
3
3
1
Пример. Найти интеграл 
dx .
cos 4 3x
Так как при смене знака у функции cos 3x и sin 3 x подынтегральная функция не меняет
dt
1
знак, то делаем замену tg3 x  t . Тогда x  13 arctg t , dx 
,
. Подставляя,
cos 3x 
2
3(1  t 2 )
1 t
получаем 
1
4
cos 3x
dx  13 
(1  t 2 ) 2 dt
2
(1  t )

 13  (1  t 2 )dt 
Литература.
Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2. М., «Наука», 1986,
(с.336-339)
Контрольные вопросы:
1. В каком случае применяется универсальная подстановка?
2. В каком случае применяются формулы понижения степени.
3. Что делать в случае нечетных степеней.?
Тема 13. Интегрирование и иррациональных функций
Методические рекомендации. К данной теме знать основные типы подстановок в интегралах
от иррациональных функций.
Пример. Для
вычисления
x  32 sin t . Тогда dx  32 cos tdt,

интеграла
(2  x 3 )dx
9  4x 2
воспользуемся заменой
9  4 x 2  9  9 sin 2 t  3 cos t , 2  x 3  2 
27 sin 3 t
8
и исходный
27 sin 3 t) dt . Далее,
интеграл равен интегралу  (1  16
27 sin
 (1  16
3
27 (1  cos 2 t ) d cos t   t  27 cos t  27 cos 3 t  C 
t )dt  t  16

16
48
27 cos(arcsin 2 x )  27 cos 3 (arcsin 2 x )  C .
 arcsin 23x  16
3
48
3
Пример. Для
2dt
Тогда dx 
2
,
вычисления
4  x 2  4  4tg 2 t 
cos t
dt
Далее, 

2 sin t
интеграла
(sin 2 2t  cos 2 2t )dt
4 sin
t cos t
2
2

dx
x
4  x2
воспользуемся заменой x  2tg t .
2
и исходный интеграл равен интегралу
cos t
 14  ( tg 2t  ctg 2t )dt 
x
arctg
  12 ln cos 2t  12 ln sin 2t  C  12 ln tg 2t  C  12 ln tg 2 2  C .
dt
 2 sin t .
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
Пример. Вычислить 
dx
стр. 63 из 76
. Наименьшее общее кратное чисел 2 и 4 равно
2 x  5  4 ( x  5) 3
4. Поэтому делаем замену x  5  t 4 . Тогда dx  4t 3 dt и

dx
2 x  5  4 ( x  5) 3

4t 3 dt
2
2t  t
3
 4
t
t 22
dt  4
dt 
t2
t2
 4t  8 ln t  2  C  44 x  5  8 ln 4 x  5  2  C.
Пример. 
dx
(1  x 2 ) 3 / 2
 x  sin t ;



cos tdt
dt
x
 dx  cos tdt;   

 tgt  C 
 C.
3
2
2
cos
t
cos
t
1

x

2 
cos t  1  x 
Пример:
x
4
a


x  atgt; dx 
dt ;
2

dx
a cos tdt
cos 3 tdt
1

cos t 



 4

2
4
4
4
4

cos ta tg ta
a sin t a
a2  x2  a2  x2  a ;

cos t



1
1
a2
 4

 C  sin t  1  2

3a sin 3 t a 4 sin t
a  x2

(1  sin 2 t )d sin t


sin 4 t

(a 2  x 2 ) 3 / 2
a2  x2

 C.

3a 4 x 3
a4x
a 2  x 2 
x
Литература.
Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2. М., «Наука», 1986,
(с.340-344)
Контрольные вопросы:
1. В каких случаях применяют тригонометрическую подстановку.
2. В каких случаях применяют формулы выделения полного квадратного двучлена.
Практическое занятие 14. Формула Ньютона-Лейбница.
определенном интеграле.
Замена переменной в
Методические рекомендации. К данной теме знать формулу для вычисления определенного
интеграла. Знать как приходят к понятию интеграла. Применять методы интегрирования для
определенного инетграла.
e3
3
3
e
e
ln 2 (e 3 )  ln 2 e
ln x
Пример. 
dx   ln xd (ln x)  1 ln 2 x 
  9 1  4 .
2
2
2
e
x
e
e



sin 6 4 x 4

Пример.  sin 5 4 x cos 4 xdx  14  sin 5 4 xd sin 4 x 
24 


 1 (sin 6 
24
4
4
6
6
2
 sin 6 ) 
3
1 ((0 ) 6  (
24
9
3 6
) )
2
512
6
.
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
стр. 64 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.

6
Пример. Вычислить интеграл  x cos 3 xdx . Полагаем U  x ,
0
dV  cos 3xdx . Тогда dU  dx, V  1 sin 3x и, применяя формулу интегрирования по частям,
3
получаем



6
 x cos 3xdx  13 x sin 3x 06
18
9

 13  sin 3xdx  13 x sin 3x 06  19 cos 3x 06 
0
 1

6
0
.
1
Пример. Вычислить интеграл  x 3 e 2 x
2
1
dx . Полагаем U  x 2 ,
0
2
dV  xe 2 x 1dx . Тогда dU  2 xdx, V  1 e 2 x 1 и, после применения формулы интегрирования
4
2
по частям, имеем
1
1
1
2
2
3 2 x 2 1
dx  1 x 2 e 2 x 1  1  xe 2 x 1dx 
x e
4
0 2
0
0
 1 x 2e 2x
4
2
1
1
 1 e 2x
8
0
2
1
1
0
 1 e3  1 e3  1 e  1 e3  1 e .
4
8
8
8
8
9
Пример.Вычислить интеграл 
xdx
41
x
. Положим x  t 2 . Тогда   2,   3 , dx  2tdt
и
поэтому исходный интеграл равен
3
3
2t 3dt
((t 3  1)  1)dt
((t  1)(t 2  t  1)  1)dt
dt
2

2
(
t

t

1
)
dt

2


2

2



2 1  t 2 1  t
2
1

t
1 t
2
2
3
3
3
3
 t3 t2

2 
 t  ln(1  t )  
 3

2

2
  27 9
 29
4
 8 4

 2 
  3      2   (ln 4  ln 3)  
 2 ln .
3
 3 2

 3 2
 3

Пример 4. Выясним сходимость интеграла 
2

Имеем 
2
dx
2
x  4x  8
A
A

A
 lim
2
dx
2
x  4x  8
A

A
 lim
2 (x
dx
2
x  4x  8
dx
 2) 2  4

.

 lim 12 (arctg x2 2 )  lim 12 (arctg( A22 )  arctg 0)  . Следовательно, интеграл сходится и его
2
4
A
A
значение равно
Литература.

4
.
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
стр. 65 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2. М., «Наука», 1986,
(с.344-354)
Контрольные вопросы:
1. Формула Ньютона-Лейбница.
2. Замена переменной в определенном интеграле.
3. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Практическое занятие 15. Площадь фигуры, объем тела вращения, длина дуги. Центр
тяжести, масса и моменты инерции.
Методические рекомендации. К данной теме знать формулы вычисления объема, площади,
длины дуги и физические приложения.
Пример. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x  0 , x  2 ,
y  0 , y  sin x . В данном случае


2
S   sin xdx   cos x 02  (0  1)  1 .
0
Пример. Трапеция ограничена кривыми y  sin x ( 0  x   ) и y  0 . Вычислить объем
тела, полученного вращением этой трапеции вокруг оси OX .
Подставляя в формулу, получаем




1  cos 2 x

 x sin 2 x 
V    f 2 ( x)dx   sin 2 xdx  
dx     
.
 
2
4 0
2
2
0
0
0
Пример. Найти длину дуги кривой
x1  6 и x 2  3 .
y  ln cos x ,
2
заключенной между точками
Кривая задана явно. Находя производную, имеем y  
 sin x
 tgx . Подставляя в
cos x
формулу для нахождения длины дуги кривой, заданной явно, получаем

l
3


6


6
6
3 dx
3 cos xdx
sin 2 x
.
1
dx  

2
2
cos
x
cos
x


cos x
Делая замену sin x  t , получаем
l
3
2

1
2
dt
1 t
2
 12
3
2

1
2
1 
t 1
 1


dt  12 ln
t 1
 t  1 t  1

 12  ln



 ln 3  .

32

32
3
2
1
2

УМКД 04214.01.20.218/03-2010
стр. 66 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y  x 5 и y  x . Эти кривые
1
пересекаются в точках A(0,0) и B(1,1) . Поэтому S   ( x  x )dx 
5
x2
2
0
1

0
x6
6
1

0
1 1 1
  .
2 6 3
2
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y  3x  4 и x  y  2  0 . Эти
кривые пересекаются в точках A(0,2) и B(7,5) . В данном случае лучше рассматривать
простейшую область второго типа. Поэтому
5
5
 y 2 10 y y 3 
y 2  4 
  19 1 .
S   y  2 
dy  





3 
3
9 
18
2
 2
2
Пример. Трапеция ограничена кривыми y  sin x ( 0  x   ) и y  0 . Вычислить объем
тела, полученного вращением этой трапеции вокруг оси OX .
Подставляя в формулу, получаем



1  cos 2 x
V    f 2 ( x)dx   sin 2 xdx  
dx 
2
0
0
0


 x sin 2 x 
 
.
 
4 0
2
2
2
Пример. Трапеция ограничена кривыми y  x 2 , y  0, x  1 . Вычислить объем тела,
полученного вращением этой трапеции вокруг оси OY .
Подставляя в формулу, получаем
1
1
0
0
V  2  xf ( x)dx  2  x 3 dx 
2
.
4
y  ln cos x , заключенной между точками
Пример. Найти длину дуги кривой
.
x1  6 и x 2  3
Кривая задана явно. Находя производную, имеем y  
 sin x
 tgx . Подставляя в
cos x
формулу для нахождения длины дуги кривой, заданной явно, получаем

l
3


6


6
6
3 dx
3 cos xdx
sin 2 x
.
1
dx  

2
 cos x  cos x
cos 2 x
Делая замену sin x  t , получаем
l
3
2

1
2
dt
1 t2

1
2
3
2

1
2
1 
t 1
 1


dt  12 ln
t 1
 t  1 t  1

 12  ln



 ln 3  .

32

32
3
2
1
2

УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
Пример. Найти длину дуги кривой

 x  a cos 2 t ,

2

 y  a sin t ,
стр. 67 из 76
заключенной между точками
t1  0 и t 2   .
Кривая задана параметрически. Вычисляя xt и y t , получаем xt  2a cos t sin t  a sin 2t ,
y t  2a sin t cos t  a sin 2t . Подставляя в формулу вычисления длины дуги кривой, заданной
параметрически, имеем

cos 2t 2
 2a 2
 2a 2 .
2 0
Литература.
Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2. М., «Наука», 1986,
(с.359-371)
Контрольные вопросы:
1. Формулы вычисления площади фигуры два случая.
2. Формулы для вычисления длины дуги разных видов.
3. Формулы вычисления центра тяжести, массы пластинки.
4. Формулы вычисления объема тел вращения вокруг осей ОХ и ОУ.
Методические рекомендации
Подготовку к каждому практическому занятию следует начинать с повторения
основных разделов темы, детального разбора примеров (по рекомендованной литературе или
конспектам) и ответов на контрольные вопросы.
Работа над учебником обязательно должна сопровождаться решением задач по
изучаемому разделу курса. Задачи рекомендуется решать самостоятельно, так как при этом
лучше усваивается и закрепляется теоретический курс. Очень полезно, самостоятельно
произвести все требующиеся расчеты, а затем проанализировать приведенные в учебнике и
задачниках примеры и задачи с решениями.
Типовые задачи мы будем решать на аудиторных практических занятиях. Во время
самостоятельной работы под руководством преподавателя я смогу дать ответы на вопросы,
которые возникнут у вас при выполнении домашних заданий.
Для полного понимания рассматриваемого материала, необходимо оформить краткий
конспект каждой темы, записывая основные определения и все без исключения формулы с
анализом их прикладного смысла. Все записи, а также решения задач по каждой теме,
следует вести в отдельной тетради для практических работ.
В дальнейшем этот материал, подготовленный вами самостоятельно, не только окажет
большую помощь при повторении курса перед экзаменом, но и может быть использован как
справочное пособие в практической работе.
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
стр. 68 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
4 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТА
План занятий в рамках самостоятельной работы студентов под руководством
преподавателя (СРСП)
Задания, указанные в таблице, приведены ниже
№
Задание
Методические рекомендации
1
1
Использовать
формулы
вычисления 5.2.2 (с. 70-85)
определителей и действия над матрицами.
2
2
Использовать действия над векторами и их 5.2.2 (с. 44-53)
геометрический смысл
3
3
Использовать различные
прямой на плоскости
4
4
Использовать различные способы задания
прямой и плоскости в пространстве и условия
их взаимного расположения.
5
5
Неопределенность в пределах. Различные типы 5.2.2 (с. 142-149)
вычисления пределов.
6
6
Формулы замечательных пределов первый и 5.2.2 (с. 142-149)
второй.
7
7
Использовать
таблицу
производных
элементарных и сложных функций, правила
вычисления.
Метод
логарифмирования.
Производные
параметрически
заданных
функций.
8
8
Исследование
функции
способы
на
Литература
задания
возрастание
5.2.2 (с. 6-15)
5.2.2 (с. 53-70)
5.2.2 (с. 151-166)
и 5.2.2 (с.167-175 )
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
стр. 69 из 76
убывание, наибольшее и наименьшее значение
функции.
9
9
Использовать
функции.
схему
полного
исследования 5.2.2 (с.175-183 )
10
10
Использовать таблицу первообразных. Методы
вычисления неопределенного интеграла.
5.2.2 (с. 208-218)
11
11
Использовать метод разложения рациональной
дроби на простейшие. 3 случая.
5.2.2 (с 218-228 )
12
12
Использовать различные
типы вычисления
интегралов от тригонометрических функций.
5.2.2 (с. 234-240)
13
13
Использовать различные типы интегрирования
иррациональных функций.
5.2.2 (с. 229-233)
14
14
Методы вычисления определенного интеграла.
5.2.2 (с. 243-246)
15
15
Использовать
формулы
геометрического 5.2.2 (с. 251-257)
приложения определенного интеграла.
Методические рекомендации
В ходе изучения дисциплины каждый студент получит индивидуальные домашние
задания, которые охватывают основные разделы курса и позволяют выяснить, насколько
хорошо усвоены теоретические положения и может ли студент применять их для решения
практических задач.
Каждое задание должно быть выполнено на листах формата А4 и оформлено в
соответствии с требованиями, предъявляемыми к оформлению расчетных работ. Работа
должна быть написана разборчивым почерком. На обложке самостоятельной работы
необходимо указать специальность, курс, группу, фамилию и имя студента, номер варианта
и дату сдачи работы. Решение задач следует сопровождать краткими пояснениями,
обязательно приводить все формулы, используемые в задаче. После завершения домашней
работы необходимо сделать ссылку на использованную литературу. Не откладывайте
выполнение задания на последний день перед его сдачей. К сожалению, некоторые студенты
так и поступают. В этом случае у вас возникнут затруднения при решении более сложных
задач. Если вы будете придерживаться установленного графика выполнения работы, то во
время проведения СРСП, преподаватель сможет ответить на возникшие у вас вопросы при
решении задач. Номера контрольных задач следует выбрать согласно последней цифре
шифра зачетной книжки студента, а числовые значения указанных в задаче величин – по
предпоследней цифре.
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
стр. 70 из 76
Задания для самостоятельной работы
Задание 1. (тема 1) Кузнецов Л. А. Сборник заданий по
«Высшая школа». 1984г., с. 155 (№ 1, 2, 3, 4, 6, 7).
Задание 2. (тема 2) Кузнецов Л. А. Сборник заданий по
«Высшая школа». 1984г., с. 142 (№ 1, 2, 3, 4, 5, 6).
Задание 3. (тема 3) Кузнецов Л. А. Сборник заданий по
«Высшая школа». 1984г., с. 142 (№ 7, 8).
Задание 4. (тема 4) Кузнецов Л. А. Сборник заданий по
«Высшая школа». 1984г., с. 142 (№ 9, 10, 11, 12, 13, 14).
Задание 5. (тема 5) Кузнецов Л. А. Сборник заданий по
«Высшая школа». 1984г., с. 6 (№ 2, 3, 4, 5, 9, 10).
Задание 6. (тема 6) Кузнецов Л. А. Сборник заданий по
«Высшая школа». 1984г., с. 14 (№ 6, 11, 12, 13, 14, 15).
Задание 7. (тема 7) Кузнецов Л. А. Сборник заданий по
«Высшая школа». 1984г., с. 25 (№ 2, 3, 4, 5, 11, 15, 17, 19,)
Задание 8. (тема 8) Кузнецов Л. А. Сборник заданий по
«Высшая школа». 1984г., с. 41 (№ 1, 2, 3)
Задание 9. (тема 9) Кузнецов Л. А. Сборник заданий по
«Высшая школа». 1984г., с. 44 (№ 6, 7, 8, 9)
Задание 10. (тема 10) Кузнецов Л. А. Сборник заданий по
«Высшая школа». 1984г., с. 48 (№ 1, 3,)
Задание 11. (тема 11) Кузнецов Л. А. Сборник заданий по
«Высшая школа». 1984г., с. 52. (№ 5. 6, 7)
Задание 12. (тема 12) Кузнецов Л. А. Сборник заданий по
«Высшая школа». 1984г., с. (№ 8, 9, 10)
Задание 13. (тема 13) Кузнецов Л. А. Сборник заданий по
«Высшая школа». 1984г., с. 57. (№ 11, 13)
Задание 14. (тема 14) Кузнецов Л. А. Сборник заданий по
«Высшая школа». 1984г., с. 49 (№ 2, 4, 12)
Задание 15. (тема 15) Кузнецов Л. А. Сборник заданий по
«Высшая школа». 1984г., с. 61 (№ 14, 15, 18, 20)
высшей математике. М.
высшей математике. М.
высшей математике. М.
высшей математике. М.
высшей математике. М.
высшей математике. М.
высшей математике. М.
высшей математике. М.
высшей математике. М.
высшей математике. М.
высшей математике. М.
высшей математике. М.
высшей математике. М.
высшей математике. М.
высшей математике. М.
Темы для самостоятельной работы студента (реферат)
1) Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
2) Решение систем матричным способом
3) Поверхности второго порядка
4) Кривые второго порядка
5) Вычисление пределов при помощи правила Лопиталя
7) Полное исследование функции и построение графика
8) Вычисление интегралов подведением под знак дифференциала.
9) Несобственные интегралы
10) Приближенные вычисления при помощи дифференциала.
11) Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в области.
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
стр. 71 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
Примеры тестовых вопросов
 3 5
2 3 
 и B  
 . Найти матрицу 2А+5В:
1) Даны матрицы A  
 4 1
 1  2
16 25 
5 8 
 3 5
2 3 




A. 
B. 
C. 
D. 
13  8 
 5 1
 4 1
1  2
3 2 1
2 ) Найти элемент b23 обратной матрицы матрицы  1 4 0
1
A. 40
3 1
C. 30
23
7
B.
3
 6 15 

E. 
 4  2
D. 
1
7
E. 
12
7
2 1
3 ) Вычислить определитель  1 4 0
1
A. –7
B. 7
Найти матрицу C  A  2B , если A 
4)
А.
A
3 1
C. –3
В.
1
0
5
2 7
A
2
1 6
3
0 7
2
С. A 
D. 5
3 0 1
2 1
1 6
4
3
и B
2 9 2
E. 9
1 3 2
0
4
1
Е.
D.
A
1
0
2 7
3
2
A
1
2 7
 2 2  1


5 ) Найти собственные значения матрицы A=  0 7 2 
0 0 1 


А. (2.-7.1)
6 ) Вычислить:
В. (2.7.1)
3
1
2
1
4
2
1
1
1 2
2
2
3
А) 38
С.(-2.-7.-1)
3 2
В) 26
В) 48
E. (0.0.2)
1
С) -81
 1 2  1
 ,
7 ) Найти detA B, где матрицы A  
2 3 1 
А) 26
D. нет решения
С) 32
D) 105
1 1 


B   2  1
1 3 


D) 44
6
Е) -72
Е) 45
3
2
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
стр. 72 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
  2 x 1  3 x 2  x 3  8

8 ) Решить систему: 2 x1  x 2  x 3  4
4 x  x  x  12
2
3
 1
А) (4,3,9)
В) (3,0,2)
С) (3,-1,-1)
5

–1
9 ) Найдя матрицу А , обратную матрице А   4
2

В= А– 1
4
7
5
А)
В)
С)
9
18
18
 1 4

10 ) Определить ранг матрицы А, где А   2  2
3
1

А) 0
В) 1
С) 3
D) (5,1,1)
Е) (1,-2,0)
2  1

1 3  , определить элемент b21 матрицы
2 4 
D)
11
36
Е)
5

2
1 
D) 2
11 ) Найти алгебраическое дополнение элемента а23 матрицы.
Е) 4
 3 2 1 


А    1 4  5
 3 0  2


Е -30
А6
В -16
С 18
D 30
12 ) Дан вектор a  (2;1;2) , найти единичный вектор вектора a
A.  4;7;2
B. 2;30;4
C.  1;2;0
 2 1 2
D.  ; ; 
 3 3 3

13 ) Даны вектора a  1;2;1
А. {0;0;1}
В. {-3;5;-7}
17
36
 и b  3;1;2 , найти [a,b]
E. 5;6 ;7


Е. 4;1;  1 ;
14 ) Найти координаты верешины Д параллелограмма ABCD , если А(3; 2), В(5; -2), С(4;6)
А) D(1; 6)
В) D(-2; 8)
С) D(3; 6)
D) D(2; 7)
Е) D(2; 10)

 
  
15 ) Даны a и b : а  3;  5; 8 и b   1; 1;  4 . Найти a  b
С. {-1;-1;-1}
D. {2;-3;3}
А5
В 7
С 2 17
D 3 19
Е 19

   

16 ) Даны векторы: а  4;  2; 4 , b  6;  3; 2 . Найти скалярное произведение a  b a  b
A -13
B -1
C -10
D0
E 25



 
17) а  3 , b  4 и угол между ними   . Найти a, b
6
A0
B 12
C6
D6 3
E7 3


18) а  3;  1;  2, b  1; 2;  1. Найти площадь параллелограмма, построенного на
 
векторах a и b
A 15
B5
D 10
C 3
E5 3

 
19 ) Написать уравнение плоскости проходящей через точку
нормаль N
 4;3; 2:
M 2;3;5 и имеющей


УМКД 04214.01.20.218/03-2010
А.
4 x  27  0;
стр. 73 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
В.
С.
4 x  2 z  0;
Е.
D.
2 x  z  5  0; 3x  2 z  6  0; 4 x  3 y  2 z  27  0


20) Найти расстояние от точки M 1 1;2;3 до плоскости 5 x  3 y 
А. 6
В. 2
С. 4
D. 3
2
21 ) Найти расстояние между фокусами гиперболы 16 x  9 y 2  144
А. 4
С. 10
D. 16
В. 2 5; 2 5;
z40
Е. 0
E. 20
22 ) Найти центр окружности х2+х+у2+у=0
А. (2.-1)
В. (2.1)
D. (-2.-1)
E. (2.2)
1 1
С. (- .- )
2 2
23 ) Определить в треугольнике АВС, где А1;  1 , B 2; 3 , C4; 2 , точку пересечения
высоты, опущенной из вершины В на АС, и медианы из вершины С на АВ.
Е) 3, 1
2
1
3
 1 12 
7 5

А)  ;  
В)   ; 
С)  ; 
D)   2; 
7
2
7
 11 11 
 3 3

24 ) Составить уравнение геометрического места точек плоскости, равноудаленных от оси
ох и от точки А0;  2 .
А)
В)
С)
D)
Е)
2
2
2
2
2
4х  у  4  0
4 х  у  16  0
2х  у 1  0
х  4у  4  0
х2  у2  4  0





25 ) Даны векторы a  1;1;3 , b   2;2;1 и c  3;2; 5 , найти a b c
А. 5
В. 7
С. –8
D. –7
Е. -5
26 ) Даны точки А(1,2,0), В(3,0,-3), С(5,2,6). Вычислить площадь треугольника АВС.
А) 8
В) 10
С) 12
D) 14
Е) 16
27 ) Найти угол между прямыми x  y  1  0 и x  3  0
А. 0
3



.
В.
С. .
D. .
Е. .
4
4
2
3
28 ) Найти угловой коэффициент прямой 2 y  3  0
А.1,5
В. 3
С. 1
D. 0
E. найти нельзя.


29 ) Найти вектор с , зная, что он перпендикулярен векторам а  2,3,1 и b  1,2,3 и


 
удовлетворяет условию с  i  2 j  7 k  10
А) {3,2,7}
В) {6,5,4}
С) {1,-2,3}
D) {7,5,1}
Е) {4,2,3}
2
x  x 1
30) Вычислить предел lim1 2
x 2 х  x  2


2
А)
3
8
В)
3
4
С)
5
8
2 x 2  5x  3
31 ) Вычислить предел lim
x  1  x  3 x 2
С) 0
2
2
А)
В) 
3
3
D) 1
1
4
D) 
Е) 1
Е) не
существует
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
32) Вычислить предел lim x  ctg
x 0
А) 2
В)
1
2
x
2
С)
33) Вычислить предел lim (
x 
А) е
x 1 x
)
x2
В) 0
D) 0
1
4
С) 1
D)
34) Найти правосторонний предел функции f ( x) 
А) 0
В) -
С) +
35) Дано f ( x)  cos 2 x , найти
А) sin 2 x
стр. 74 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
1
e3
x
при x  1
x 1
D) 1
С) 0
1
В) 2
D) -2
2
2
x2
x2
В)
С)
D)
x2  4
x2  4
x2  4
x2  2
37) Найти производную функции y  cos 2 x второго порядка
А)  2 cos 2x
В)  2 sin 2x
С)  sin x
D)  4 cos 2 x
38) Найти производную функции
В) 4t
Е) не
существует
3
Е) -1
2
x
А) 
2
t2
Е) е3
f ' ( 4 )
36) Найти производную функции y  arctg
А) 
Е) не
существует
x  ln t , y  t второго порядка
2
2
С)  2t
D) 4t
Е) 
4
x 4
2
Е)  cos 2x
2

Е)  4t
2

39) Найти интервал убывания функции y  ln 1  x 2  x
В)
А)  ; 
С)  ;1
D) 1; 
 ;1  1;
 x 1
1
40) Пусть f ( x) 
, найти f ( )
3x  1
2
А) 1
В) 0
D) 0,5
3
С)
Е)
функция
возрастает
E) -1
4
41) Найти максимум функции y 
A) ymax  0,5
B) y max  1
x2 1

2 x
C) y max  1,5
42) найти вертикальную асимптоту кривой y 
А) x  0
B) y  0
C) x  1
x2 1
x
D) максимума
нет
E) ymax  0
D) x  1
E) асимптоты
нет
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
43)
2x  3
 2 x  1 dx
вычислить интеграл
А)
2 x  ln 2 x  1  c
 3x
44)
A)
6
стр. 75 из 76
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
B)
x  ln 2 x  1  c
C)
1
x  ln 2 x  1  c
2
D)
E) 3x  c
2
x  3 ln 2 x  1  c
dx ., вычислить интеграл
3x 7
 C.
7
B)
3x5
 C.
5
C)
x2
 C.
2
D) 18 x 5 .
E)
x3
 C.
3
E)
8
.
3
2
 (x
45)
2
 2 x  3)dx . вычислить интеграл
1
А) 0.
B)
15
.
7
C)
7
.
3
D)
20
.
9
3
46)

x  1dx . вычислить интеграл:
0
А)
56
3
B)
58
3
C)
14
3
D) 16
E)
50
3
1
47) Чему равен интеграл  ( x  x3 x )dx
0
23
98
100
104
C)
D)
E)
21
3
3
21
4
1 х
dx
48) Вычислить 
2
х
1
1
4
7
2
3
A)
B)
C)
D)
E)
3
7
4
3
2
8
xdx
49) Вычислить 
3 1 х
44
20
32
A)
B)
C) 11
D) 4
E)
3
3
3
x
x
50) Вычислить  sin  cos dx
4
4
1
x
1
x
x
x
A)  cos  C ; B)  cos  C ; C) cos  C ; D)  4 cos  C ; E)  sin x  C ;
2
2
4
2
2
2
А)
34
21
B)
5 ЛИТЕРАТУРА
Основная литература
УМКД 04214.01.20.218/03-2010
Редакция № 4 от
27.08.2010 г. взамен
редакции № 3 от
28.12.2009 г.
стр. 76 из 76
5.1.1 Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И. Краткий курс высшей математики, ч. 1, 2, М. «Высшая
школа», 1978.
5.1.2. Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2. М., «Наука»,
1986
5.1.3. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике, М. «Высшая школа», 1984.
Дополнительная литература
5.2.1 Карасев А. И. Курс высшей математики.ч.1, М. «Высшая математика».1982.с. 12-27
5.2.2. Данко Л. Е., Попов Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1, 2., М..
1988