спец.к. Теория интегрир. систем

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория интегрируемых систем» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра, 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины Теория интегрируемых систем
для направления 010100.62 "Математика" подготовки бакалавра
для направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Авторы программы: Кричевер И.М., д.ф.-м.н., krichev@math.columbia.edu
Забродин А.В., д.ф.-м.н., zabrodin@itep.ru
Такебе Т., ttakebe@hse.ru
Рекомендована секцией УМС по математике
Председатель С.М. Хорошкин
«___»____________ 2014 г.
Утверждена УС факультета математики
«___»_____________2014 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман _____________________
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория интегрируемых систем» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра, 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Область применения и нормативные ссылки
1
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления
010100.68 «Математика» подготовки магистра.
Программа разработана в соответствии с:
 ОС НИУ ВШЭ;
 Рабочим учебным планом университета по направлению 010100.62 «Математика»
подготовки бакалавра, 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации
Математика, утвержденным в 2013 г
Цели освоения дисциплины
2




Целями освоения дисциплины “теория интегрируемых систем” являются:
Формирование у слушателей ясного представления об основных принципах, лежащих в
основе современной теории интегрируемых систем классической и квантовой физики;
Получение сведений об важнейших решеточных и полевых моделях, допускающих точное
решение;
Освоение алгебраического и аналитического аппарата, позволяющего строить и
анализировать классы точных решений солитонных уравнений, имеющих многочисленные и
разнообразные применения в физике нелинейных явлений, развитие навыков формулировки
задач, построения и исследования интегрируемых моделей классической механики и теории
поля.
Ознакомление с некоторыми приложениями теории интегрируемых систем в математике и
физике.
.
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
3
В результате освоения дисциплины студент должен:




Иметь представление о физических основаниях и пределах применимости интегрируемых
моделей классической механики и теории поля.
Иметь понятие об основных принципах и математических структурах, лежащих в основе
интегрируемости.
Быть готовым использовать основные принципы теории интегрируемых систем в
последующей профессиональной деятельности в качестве научных сотрудников,
преподавателей вузов.
Владеть навыками самостоятельного построения и исследования интегрируемых решеточных
и теоретико-полевых моделей.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория интегрируемых систем» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра, 010100.68 «Математика» подготовки магистра
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
Код по
ФГОС/
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Правильно воспроизводит чужие
результаты
умение
формулировать результат
ПК-3
Правильно формулирует
собственные результаты
Воспроизводит доказательства
стандартных результатов,
услышанных на лекциях
умение строго доказать
утверждение
ПК-4
умение грамотно
пользоваться языком
предметной области
ПК-7
Оценивает строгость и
корректность любых текстов по
интегрируемым моделям
классической и квантовой физики
Распознает и воспроизводит
названия основных физических
моделей и объектов, а также
математических структур,
возникающих при изучении данной
дисциплины
Владеет профессиональной
лексикой в области интегрируемых
систем
понимание корректности
постановок задач
ПК-10
Понимает постановки опорных
задач в теории интегрируемых
систем
Адекватно оценивает корректность
использования тех или иных
физических предположений и
математических методов,
применяемых при формулировке и
решении задач в теории
интегрируемых систем
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Компетенция формируется в
любом сегменте учебного
процесса
Формируется в процессе
активных занятий (участие в
семинарах, выполнение
курсовых и дипломных
работ).
Изучение базового курса
За счет повышения общефизической и
математической культуры в
процессе обучения
Продумывание и
повторение услышанного на
семинарах и лекциях.
Беседы с преподавателями
во время консультаций.
Компетенция достигается в
процессе накопления опыта
работы с интегрируемыми
моделями классической и
квантовой физики, общения
с преподавателями.
Продумывание базовых
понятий курса
Вырабатывается в процессе
решения задач,
самостоятельного чтения,
работы над курсовыми
заданиями
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория интегрируемых систем» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра, 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Компетенция
выделение главных
смысловых аспектов в
доказательствах
4
Код по
ФГОС/
НИУ
ПК-16
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Понимает и воспроизводит
ключевые физические принципы
и математические приемы
базовых рассуждений и
построений в теории
интегрируемых систем
Обосновывает и оценивает
мотивировки и логические ходы
при построении произвольных
интегрируемых моделей
классической и квантовой физики
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Продумывание ключевых
моментов лекций
Вырабатывается путем
активного решения задач,
самообразования, общения с
преподавателями.
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественно научных
дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

базовые курсы алгебры и математического анализа (1 и 2 годы бакалавриата);

курс динамических систем (2 год бакалавриата);

теории функций комплексного переменного (III-IV модули, 2 год бакалавриата);
Желательно, но не необходимо также знакомство с некоторыми основными понятиями и
результатами из курсов

уравнений в частных производных (III-IV модули, 3 год бакалавриата);

функционального анализа (3 год бакалавриата);

групп и алгебр Ли (III-IV модули, 3 год бакалавриата).
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 дифференцирования и интегрирования функций одной и нескольких переменных
 решение дифференциальных уравнений стандартных типов
 применение преобразования Фурье, вычисление интегралов с помощью вычетов
 свободное владение основными понятиями линейной алгебры
 владение основными понятиями (нерелятивистской) лагранжевой и гамильтоновой
механики.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении
следующих дисциплин:




Курсы квантовой теории поля (основания и дополнительные главы)
Статистическая физика, конформная теория поля
Дополнительные главы математической физики (1 и 2 курс магистратуры);
Спецкурс по теории представлений бесконечномерных алгебр.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория интегрируемых систем» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра, 010100.68 «Математика» подготовки магистра
5
Тематический план учебной дисциплины
№
Всего
часов
Название раздела
Аудиторные часы
СамостояПрактиче
тельная
Лекци Семин
ские
работа
и
ары
занятия
1
Примеры нелинейных интегрируемых
уравнений, принципы и методы теории
солитонных уравнений
3
7
2
Симметрии интегрируемых уравнений
3
8
3
Гамильтонов подход в теории солитонных
уравнений.
4
11
4
Построение решений интегрируемых
уравнений
5
10
5
Динамика полюсов в точных решениях
солитонных уравнений
3
6
6
Дополнительные (неабелевы) симметрии
солитонных уравнений
3
5
7
Тау-функции интегрируемых иерархий
солитонных уравнений
6
6
8
Операторные и теоретико-полевые методы
в теории нелинейных интегрируемых
уравнений
Итого:
5
5
32
58
6
90
Формы контроля знаний студентов
Тип
контроля
Текущий
(неделя)
Форма
контроля
1
Контрольная 1
работа
Промежу- Зачет
точный
1 год
2 3
1
V
Параметры **
4
Письменное задание, выдаваемое студентам на дом. Срок сдачи
задания – от 7 до 14 дней (в зависимости от его объема). Срок
проверки заданий – в течение недели со дня сдачи.
Письменная работа + беседа с преподавателем (всего 1,5-2 часа)
2 контрольные работы
6.1
Критерии оценки знаний, навыков
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Основная форма текущего контроля – решение задач из домашних заданий (5-7 задач по
каждой теме). Задачи подбираются так, чтобы их решение потребовало от студента свободного
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория интегрируемых систем» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра, 010100.68 «Математика» подготовки магистра
владения основными понятиями и умения пользоваться техническими (вычислительными)
приемами, которые изучаются в соответствующем разделе курса. Часть задач повышенной
сложности носят исследовательский характер и предполагают самостоятельное изучение
студентами материала, не излагавшегося на лекциях. Обсуждение подходов к решению этих задач
происходит на семинарах и во время консультаций. Решение некоторых (но не обязательно всех)
задач повышенной сложности является необходимым условием получения отличной оценки за
домашнее задание (8-10 баллов).
Экзамен (зачет) включает в себя письменную подготовку, состоящую из одной-двух
распространенных задач, решение которых требует от студента владения как понятийным, так и
техническим аппаратом по изучавшимся в течение модуля темам, а также из одного теоретического
вопроса. На письменную подготовку отводится 1 час во время зачета и 1,5 часа во время экзамена.
Затем студент в очной беседе с преподавателем излагает результаты своей письменной работы и,
при необходимости, отвечает на 1-2 дополнительных вопроса. Время, отводимое на беседу: ½ - 1
час во время зачета, и ½ - 1½ часа во время экзамена.
6.2
Порядок формирования оценок по дисциплине
Промежуточная оценка за первый модуль Опромежуточная 1 и накопленная оценка за 2 модуль
Онакопленная 2 рассчитываются аналогично:
Опромежуточная 1 (Онакопленная 2) = 0.5*Отекущий + 0.5*Осам.работа ,
где Отекущий и Осам.работа --- оценки текущего контроля и самостоятельной работы студентов в
соответствующих модулях.
Здесь оценка текущего контроля Отекущий рассчитывается как взвешенная сумма трех форм
текущего контроля, предусмотренных в РУП
Отекущий = 0.3* Од/з + 0.2* Ок/р + 0.5* Окол/зачет ,
Оценки за домашнее задание Од/з , контрольную работу Ок/р , и коллоквиум/зачет Окол/зачет
выставляются по 10-балльной шкале. Способ округления накопленной оценки текущего контроля: в
пользу студента.
Студент, получивший низкие оценки текущего контроля, имеет возможность их однократной
пересдачи.
Самостоятельная работа студентов, а именно: изучение по поручению преподавателя
дополнительных материалов, подготовка на их основе сообщений и выступление с ними на
семинарах, а также разбор у доски задач повышенной сложности на семинарских занятиях --оценивается по 10-бальной шкале оценкой Осам.работа. Оценки за самостоятельную работу студента
преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа окончательно
определяется перед промежуточным (итоговым) контролем.
Накопленная итоговая оценка за весь период изучения дисциплины определяется как среднее
арифметическое оценкок за 1 и 2 модули:
Онакопленная итоговая = 0.5*(Опромежут 1+ Онакопленная 2)
Результирующая итоговая оценка за дисциплину учитывает также оценку за экзамен
Оитог.контроль, выставляемую по 10-бальной шкале, и определяется по формуле
Орезультирующая итог = 0,4*Онакопленная итоговая + 0,6*Оитог.контроль
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория интегрируемых систем» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра, 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Способ округления накопленной и результирующей итоговых оценок: в пользу студента.
На экзамене(зачете) студент может получить дополнительный вопрос (дополнительную
задачу), ответ на который оценивается в 1 балл.
Оценка за итоговый контроль - блокирующая, при неудовлетворительной итоговой оценке
она равна результирующей.
В диплом ставится результирующая итоговая оценка по учебной дисциплине.
7
7.1
Содержание дисциплины
Раздел 1. Примеры нелинейных интегрируемых уравнений, принципы и методы теории
солитонных уравнений
Содержание темы
Основные примеры нелинейных
интегрируемых уравнений в частных
производных ("солитонных
уравнений"): уравнения КдФ, МКдФ,
Синус-Гордон, Нелинейное уравнение
Шредингера, цепочка Тоды, уравнение
КП (Кадомцева-Петвиашвили),
двумеризованная цепочка Тоды и др,
их роль и значение в современной
математической физике
Получение простейших солитонных
решений
Коммутационные представления
солитонных уравнений: представление
Лакса и нулевой кривизны.
7.2
Лекции
Семинары Самостоятельная работа
Литература
1
[1,2,8]
1
1
[1]
[1]
Раздел 2. Симметрии интегрируемых уравнений
Содержание темы
Симметрии и бесконечный набор
законов сохранения нелинейных
интегрируемых уравнений. Иерархии
интегрируемых нелинейных уравнений
в частных производных.
Лекции Семинары Самостоятельная работа
Литература
2
[1,3]
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория интегрируемых систем» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра, 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Построение высших симметрий для
уравнения КдФ. Коэффициенты
Гельфанда-Дикого
7.3
1
[7]
Раздел 3. Гамильтонов подход в теории солитонных уравнений.
Содержание темы
Гамильтоновы методы в теории
солитонных уравнений. Первая и
вторая гамильтоновы структуры.
Лекции Семинары Самостоятельная работа
Литература
[1,2]
2
Иерархия гамильтоновых структур.
Понятие классической r-матрицы
[2]
2
7.4
Раздел 4. Построение решений интегрируемых уравнений
Содержание темы
Метод обратной задачи рассеяния и его
обобщения.
Алгебро-геометрические методы
построения точных решений. Понятие
спектральной кривой и функции
Бейкера-Ахиезера.
Специальные классы решений:
рациональные, солитонные,
квазипериодические (конечнозонные)
7.5
1
2
2
Литература
[1,4]
[1,5,6]
[1,5]
Раздел 5. Динамика полюсов в точных решениях солитонных уравнений
Содержание темы
Динамика полюсов в точных решениях
солитонных уравнений и
интегрируемые системы частиц
(Калоджеро-Мозера, Рейсенарса и их
спиновые аналоги).
7.6
Лекции Семинары Самостоятельная работа
Лекции Семинары Самостоятельная работа
3
Раздел 6. Дополнительные (неабелевы) симметрии солитонных уравнений
Литература
[5]
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория интегрируемых систем» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра, 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Содержание темы
Дополнительные (неабелевы)
симметрии солитонных уравнений.
Стационарные точки неабелевых
симметрий. Свойство Пенлеве.
Уравнения Пенлеве как автомодельные
редукции нелинейных интегрируемых
уравнений в частных производных
7.7
Лекции Семинары Самостоятельная работа
1
[4]
2
[1,5]
Раздел 7. Тау-функции интегрируемых иерархий солитонных уравнений
Содержание темы
Лекции Семинары Самостоятельная работа
Понятие тау-функции интегрируемых
иерархий солитонных уравнений
1
Билинейное тождество. Билинейный
формализм Хироты.
3
Непрерывный (бездисперсионный)
предел уравнения Хироты. Иерархия
уравнений Уизема и их алгеброгеометрическая интерпретация.
2
7.8
Литература
[3]
[3]
[5]
Раздел 8. Операторные и теоретико-полевые методы в теории нелинейных
интегрируемых уравнений
Содержание темы
Формализм свободных фермионнов в
теории нелинейных интегрируемых
уравнений. Групповые элементы
алгебры Клиффорда.
Тау-функции как вакуумные средние.
Вертексные операторы и бозонфермионное соответствие.
8
Литература
Лекции Семинары Самостоятельная работа
Литература
2
[3]
3
[3]
Образовательные технологии
На лекции обсуждаются ключевые понятия и технические выкладки разбираемой темы,
даются необходимые определения, разбираются поучительные примеры. Студентам на дом даются
задачи для самостоятельного разбора, содержащие как упражнения для усвоения пройденного
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория интегрируемых систем» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра, 010100.68 «Математика» подготовки магистра
материала, так и нестандартные задачи, позволяющие проверить уровень общего понимания
предмета и требующие изучения дополнительного материала. Некоторые задачи предваряют
(продолжают) тематику лекций. Студент сдает задачи в виде письменных домашних работ.
9
9.1
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Примерный список задач по темам “Построение решений интегрируемых уравнений”.
1. Найти сдвиг фазы волновой функции при рассеянии на двухсолитонном потенциале.
2. Доказать, что двухсолитонное решение является стационарной точкой относительно
некоторой высшей абелевой симметрии.
3. Построить солитонное решение модифицированного уравнения КдФ.
4. Найти общее решение уравнения КдФ в виде бегущей волны.
5. Проверить, что функция Бейкера-Ахиезера для солитонного решения удовлетворяет
билинейному тождеству.
9.2
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к зачету.
1. Уравнение КдФ и его предельные случаи. Представление Лакса для уравнения КдФ.
2. Алгебра псевдодифференциальных операторов.
3. Иерархия КдФ. Интегралы движения для уравнения КдФ.
4. Коэффициенты Гельфанда-Дикого и их свойства.
5. Многосолитонные решения уравнения КдФ.
6. Исходя из представления Лакса, доказать существование тау-функции.
7. Формализм свободных фермионов и интегрируемые иерархии.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
1. В.Е.Захаров, С.В.Манаков, С.П.Новиков, Л.П.Питаевский, "Теория солитонов. Метод
обратной задачи", Москва, Наука, 1980.
2. Л.А.Тахтаджян, Л.Д.Фаддеев, "Гамильтонов подход в теории солитонов", Москва, Наука,
1986.
10.2 Основная литература
3. Т.Мива, М.Джимбо, Э.Дате, "Солитоны: дифференциальные уравнения, симметрии и
бесконечномерные алгебры", Москва, изд-во МЦНМО, 2005.
4. А.Ньюэлл, "Солитоны в математике и физике", Москва, Мир, 1989.
5. И.М.Кричевер, “Нелинейные уравнения и эллиптические кривые”, Итоги науки и техники,
Современные проблемы математики, том 23, Москва, ВИНИТИ, 1983.
6. Б.А.Дубровин, "Тэта-функции и нелинейные уравнения", УМН, т.36, вып.2 (1981), 12-80.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория интегрируемых систем» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра, 010100.68 «Математика» подготовки магистра
10.3 Дополнительная литература
7. L.A.Dickey, "Soliton equations and Hamiltonian systems", Advanced Series in Mathematical
Physics, vol. 12, World Scientific, 1991.
8. O. Babelon, D. Bernard, M. Talon, Introduction to Classical Integrable Systems. Cambridge
University Press, 2003.
10.4 Справочники, словари, энциклопедии
При освоении курса могут быть полезны материалы по темам, размещенные в онлайн
энциклопедиях
http://www.wikipedia.org,
http://www.scholarpedia.org
10.5 Программные средства
Специальные программные средства не предусмотрены.
10.6 Дистанционная поддержка дисциплины
Специальные дистанционные ресурсы не предусмотрены. Однако должна быть обеспечена
возможность дистанционных консультаций по электронной почте и-или через skype.
11 Материально-техническое обеспечение дисциплины
Для проведения семинаров не используется специальное оборудование, кроме, возможно,
компьютерного проектора и системы видеозаписи учебных занятий.