6М060100 – Математика

Западно-Казахстанский Государственный Университет имени М.Утемисова
Факультет: Физико-математический
Кафедра: Физики и математики
Шифр, специальность: 6М060100 – Математика
Дисциплина: Вступительный экзамен в магистратуру (письменный экзамен)
Блок – 1
1. Производная и дифференциал. Основные теоремы дифференциального исчисления и
их приложения.
2. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффицентами.
Линейные дифференциальные уравнения с правой частью.
3. Определенный интеграл. Интегрируемость функции. Существование первообразной
функции. Методы интегрирования.
4. Числовые ряды. Критерий и признаки сходимости. Абсолютно и условно сходящиеся
ряды. Теорема Римана.
5. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Нормальные системы. Задача
Коши. Системы дифференциальных уравнений в симметрической форме. Механическое
истолкование нормальной системы. Устойчивость решения.
6. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость. Признаки
равномерной и абсолютной сходимости. Интегрирование и дифференцирование
функциональных последовательностей и рядов.
7. Степные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости, интегрирования,
дифференцирование степенных рядов. Разложение функций в степенной ряд. Формула и
ряд Тейлора.
8. Общие методы интегрирования систем дифференциальных уравнений
9. Системы линейных дифференциальных уравнений. Теорема Лиувилля
10. Дифференцируемые функции нескольких переменных. Достаточное условие
дифферецируемости. Дифференциал и его свойства. Дифференцируемость неявной
функции. Производная по направлению.
11. Устойчивость решения. Устойчивость по Ляпунову. Функция Ляпунова.Устойчивость
положения равновесия линейной системы.
12. Эктремум функции одной и нескольких переменных.
13. Двойной интеграл. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в
полярных координатах.
14. Система неоднородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка и
следствие для нелинейного уравнения n-го порядка
15. Криволинейные интегралы. Вычисление криволинейных интегралов. Формула Грина.
16. Доказательство существования и единственности решения дифференциальных
уравнения y´= f (х,у)
17. Поверхностные интегралы. Вычисление поверхностных интегралов. Формула
Остроградского-Гаусса.
18. Дифференциальное уравнение первого порядка. Методы интегрирования.
19. Мощность множества. Счетное множество. Множества мощности континуума.
Множество подмножеств множества.
20. Теорема Коши о дифференциальном уравнении y´= f (х,у) с голоморфной правой
частью.
21. Мера Лебега. Множества и функции, измеримые по Лебегу.
22. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной. Особые
решения, огибающие.
23. Интеграл Лебега. Сравнение интегралов по Риману и Лебегу. Классы суммируемых
функции.
24. Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнение, содержающее только
независимую переменную и производную порядко n.
25. Метрические пространство. Полные метрические пространства. Теорема Банаха о
сжимающем пространстве функции одной и нескольких переменных.
26. Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнение, не содержащее
искомую функцию и последовательные первые производные.
27. Компактность. Компакты в метрическом пространстве. Компакты в евклидовом
пространстве. Основные свойства непрырывных отображений компактов.
28. Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнение, не содержащее
независимую переменную.
29. Нормированные пространства. Полные нормированные пространства. Непрерывные
линейные операторы.
30. Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнение, однородное
относительно искомой функции и ее производных
31. Линейные пространства со скалярным произведением. Евклидово, Гильбертово
пространства.
32. Системы обыкновенных дифферениальных уравнений. Общие методы
интегрирования систем дифференциальных уравнений. Автономные системы. Общие
понятия. решение автономной системы.
33. Пространство Лебега L1 и L2 и их свойства.
34. Интегрирование линейных систем дифференциальных уравнений при помощи
степенных рядов. Матричный метод.
35. Гиперболические уравнения. Фундаментальное решение и его свойства
36. Формула Пуассона. Решения задачи Коши для неоднородного уравнения
теплопроводности. Теорема существования и единственности.
37. Полином над полем. НОД двух полиномов и алгоритм Евклида. Разложение полинома
в произведение непрерывных множителей и его единственность.
38. Эллиптические уравнения. Фундаментальная система решений Лапласа и ее свойства.
Принципы экстремума для эллиптического уравнения и его следствия
39. Кольцо. Примеры колец. Свойства кольца. Подкольцо.
40. Параболические уравнения. Фундаментальное решение однородного уравнения
теплопроводности и его свойства
2 – БЛОК
41. Преобразования подобия.
42. Аффинные преобразования.
43. Топологическое пространства. Топологическое многообразие. Эйлерова
характеристика двумерного многообразия.
44. Сравнение. Приложение теории сравнений. Теоремы Эйлера и Ферма
45. Поверхности в евклидовом пространстве.
46. Квадратичные формы. Приведение их к каноническому виду. Закон инерции.
Положительно определенные формы.
47. Движение плоскости.
48. Полином над полем. НОД двух полиномов и алгоритм Евклида. Разложение полинома
в произведение непрерывных множителей и его единственность
49. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
50. Линии и их основные свойства в евклидовом пространстве.
51. Линейные сравнения с одной переменной.
52. Канонические уравнения кривых второго порядка.
53. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Линейные
операторы с простым спектром. Подобие матрицы к диагональной матрице.
54. Кольцо. Примеры колец. Свойства кольца. Подкольцо.
55. Наибольший обший делитель. Наименьшее общее кратное. Алгоритм Евклида и его
приложения.
56. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение на классы.Фактормножество.
57. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
58. Поле. Упорядоченное поле. Система действительных чисел.
59. Определитель квадратной матрицы. Свойства. Миноры и алгебраические дополнения.
Разложение определителя по строке.
60. Векторное пространство. Подпространство. Линейная оболочка множества векторов.
Линейное многообразие.
61. Квадратичные формы. Приведение их к каноническому виду. Закон инерции.
Положительно определенные формы.
62. Движение плоскости.
63. Двойной интеграл. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в
полярных координатах.
64. Компактность. Компакты в метрическом пространстве. Компакты в евклидовом
пространстве. Основные свойства непрерывных отображений компактов.
65. Матрица. Ранг матрицы. Операции над матрицами. Обратная матрица.
66. Системы уравнении. Основные понятия системы линейных уравнении и методы их
решения.
67. Уравнение поверхности, алгебраическая поверхность, порядок поверхности. Метод
сечения, поверхность вращения. Поверхности второго порядка. Цилиндрические
поверхности. Эллипсоид, гиперболоид, параболоид.
68. Определение линейного оператора векторном пространстве, примеры, виды, своиства.
Единичный, нулевой операторы. Операторы подобия и дифференцирирования. Теорема о
существовании и единственности линейного оператора приобразующии базис
простанства.
69. Условие задания линейного оператора в векторном пространстве. Вид, обозначение,
матрица линейного оператора заданном базисе. Связь вектора и результата действия
линейного оператора на координаты образа (доказать).
70. Множество линейных операторов. Равенство линейных операторов. Вывод о
матрицах равных линейных операторов. Сложение линейных операторов, лемма о
сложении (доказать), вывод матрицы сложения операторов в заданном базисе. Свойства
операции сложения линейных операторов.
71. Доказать,что множество линейных операторов образует линейное пространство.
Произведение линейных операторов, лемма о произведении (доказать), вывод матрицы
произведения операторов в заданном базисе.
72. Характеристические числа, характеристическое уровнение, характеристичесий
многочлен линейного оператора. Доказать равенство характеристических многочленов
подобных матриц. Определение, свойства, примеры собственных значений, и собственных
векторов линейного оператора.
73. Определения спектра и простого спектра линейного оператора. Соотвествие всех
собственных значений линейного оператора пространсвенному базису собственных
векторов, в случае простого спектора. Теорема о существовании диагональной матрицы
матрицы линейного оператора. Доказать равенство множества собственных значений
линейного оператора и мноджества корней характеристического уравнения (в скалярном
поле).
74. Вектор. Операции над векторами и их свойства. Теорема о коллинеарности двух
векторов, компланарности трех векторов. Линейно зависимые и линейно независимые
векторы, свойства.
75. Базисы на плоскости. Координаты вектора. Различные системы координат на
плоскости. Задачи, относящиеся к координатам точки.
76. Базисы в пространстве. Различные системы координат пространстве. Координаты
вектора. Задачи, относящиеся к координатам точки.
77. Прямая на плоскости. Различные уравнения прямой в пространстве.
78. Случаи задания системы координат на плоскости. Уравнения плоскости.
79. Бинарные отношение. Бинарная алгебраическая операция (БАО).
80. Алгебры. Кольца.
3 - БЛОК
2 sin x( y  1)
 ...
x 0
x( y  1)
y 1
lim
lim (1  xy) xy  ...
x 0
81. Вычислите: а)
;б) y 0
х2 у
х у
ху
lim
lim
lim
2
2
2
2
в)  х. у 0.0  х  у ; г)  х. у  0.0  х  у ; д)  х. у  0.0  х  у
z
;
5х
ух

2
2
82. Определите непрерывную точку: а)
; б) z  ln 4  х  у
х у
z 2
2
2
2
у  х ; д) z  xy  1 :
в) u  tg х  у  z ; г)
x2  y
u u
,

x
y функции:
83. Найдите частные производные



xy ( x2  y 2 )
2
2
а) u  x  2 y  3xy  4 x  2 y  5 ; б) z  e
г) z=ln(x2 +y2); д) z=sin(x2+y2):
84. Найдите полных дифференциал функции:
; в) z=xy ;
xy ( x2  y 2 )
2
2
а) u  x  2 y  3xy  4 x  2 y  5 ; б) z  e
; в) z=xy ;
г) z=ln(x2 +y2); д) z=sin(x2+y2):
85. Найдите частный дифференциал dxz функции:
2
2
а) u  x  2 y  3xy  4 x  2 y  5 ; б) z
г) z=ln(x2 +y2); д) z=sin(x2+y2):
 e xy ( x  y ) ; в)
2
2
z=xy ;
du
86. а)Если u=e , x=sint, y=t , то чему равно dt ?
dz

3
б) Если z=arcsin(x-y), x=3t, y=4t то чему равно dt ?
u

x
y
в) Если u  ln( e  e ) то чему равно x ?
du

x
y
3
u

ln(
e

e
)
г) Если
, у=х то чему равно dх ?
x-2y
3
2z
2 z
2 z



2
2
z  ln( x  x 2  y 2 )
87. Для функции
найдите производные х , хy , y
.
88. Измените порядок интегрирования:
1


2
2
A)  dy  f x, y dx ; B)
0
0

arccos y
1
2
 dy  f x, y dx ; C)  dy  f x, y dx
0
0
; D)
1
arccos y
0
0
 dy
 f x, y dx
:
arccos y
2
89. Найдите обьем тела ограниченного
3
3
y ,0  x  8  y  z :
поверхностями 0  y  4, y  z 
4
2
90. Найдите обьем тела ограниченного поверхностями x  0, x  1, y  0, y  1, z  0, z  y :
91. Найдите обьем тела ограниченного
поверхностями x  0, x  1, y  0, y  1, z  x  y, z  0 :
2
92. Найдите обьем тела ограниченного поверхностями x  0, x  1, y  0, y  1, z  0, z  x
2
2
2
2
93. Найдите обьем тела ограниченного поверхностями x  y  1, z  0, z  x  y
4
 /4
e
 /4
 xdx ln ydy  dx  (cos
94. Вычислите: 0
95. Вычислите:
96. Вычислите:
;
1
0
x  sin 2 y)dy
0
2
2
x
1
x
 dx  (2 x  y)dy
 ( x
2
;
 ( x  2 y)dxdy, D : y  x, y  2x, x  2, x  3
D
3
2
;
D
z
97. Найдите сложную и частную производные
z  xy; x  u  v; y  cos 3u
/
u
,
z
/
v
:
u
функций z  xy; x  e ; y  u  v и
1
/
z/ z
z/ z/
98. z  f x, y  выразите x , y через u , v , если
а) u  x  2 y; v  2 x  3 y ;
б) u  2 x  3 y; v  4 x  y
/
z/ z
z/
99. z  f x, y  выразите x , y через u , если
а) u  2 x  5 y; v  3x  4 y ;
б) u  x  y; v  x  y
3
x
 dx  ( x  y)dy
100.Вычислите: а) 1 0
101.Решите уравнение:
102.Решите уравнение:
103.Решите уравнение:
104.Решите уравнение:
105.Решите уравнение:
106.Решите уравнение:
107.Решите уравнение:
108.Решите уравнение:
109.Решите уравнение:
110.Решите уравнение:
111.Решите уравнение:
112.Решите уравнение:
; б)
1
2x
0
x
 dx  ( x  y  1)dy
,
,
,
,
,
,
,
,
,
x
 dx  ( x  y)dy
 y )dxdy, D : x  y, x  0, y  1, y  2
2
,
,
0
113.Решите уравнение:
114.Решите уравнение:
 x  2 x  y
115.Решите систему уравнений: 
 y  3x  4 y
 x  x  y
116.Решите систему уравнений: 
 y  y  4 x
 x  x  y
117.Решите систему уравнений: 
 y  3 y  2 x
 x  x  3 y
118.Решите систему уравнений: 
 y  3x  y
 x  2 x  y
119.Решите систему уравнений: 
 y  4 y  x
 x  3x  y
120.Решите систему уравнений: 
 y  4 x  y
Рассмотрено и утверждено на заседании кафедры физики и математики
« » ___ _____ протокол №
Зав. кафедрой
Кульжумиева А.А.
Рассмотрено и утверждено на заседании УМС факультета
« » ___ _____ протокол №
Председатель УМС факультета
Иксебаева Ж.С.