интегральное исчисление 1

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
КАФЕДРА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Математика»
РПК «Политехник»
Волгоград
2005
УДК 517. 3 (07)
И 40
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ: Методические указания к практическим
занятиям по дисциплине «Математика» / Сост. Л. А. Крапивина; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2005. – 15 с.
Рассматриваются основные методы интегрирования функций. Предназначены для студентов специальностей 2802 «Технология текстильных
изделий», 1201 «Технология машиностроения», 2202 «Автоматизированные системы обработки информации и управление (по отраслям)», 1004
«Электроснабжение (по отраслям)», 0601 «Экономика и бухгалтерский
учет (по отраслям)».
Табл. 4 .
Библиогр.: 5 назв.
Рецензент А. А. Кулеша
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета

2
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2005
Интегральное исчисление.
Практическое занятие
Тема: Интегрирование функции.
Продолжительность занятия:
специальность 2202 Автоматизированные системы обработки информации и управление (по отраслям) - 2 часа
специальность 1201 Технология машиностроения - 2 часа
специальность 2802 Технология текстильных изделий – 1 час
специальность 1004 Электроснабжение (по отраслям) - 2 часа
специальность 0601 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)- 4
часа
Цель занятия. Научить студента интегрировать функции.
Студент должен знать:
- основные методы интегрирования
- таблицу простейших интегралов.
уметь:
- интегрировать простейшие интегралы.
3
Указание № 1.
Понятие неопределенного интеграла.
Определение: Функция F  x  называется первообразной функции f  x 
на интервале a; b  , если для любого x  a; b  выполняется равенство
F  x   f  x  .
Определение. Совокупность всех первообразных функций F x  +С для
f  x  называется неопределенным интегралом функции f  x 
 f x dx  F x   C
Свойства неопределенного интеграла
1.
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
2.
Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного
числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций
 a  f  x dx  a  f  x dx , a - число
  f x   g x dx   f x dx   g x dx
Таблица основных интегралов.
1.
2.
3.
 dx  x  C
x n1
 C,
n 1
dx
1
 2  C
x
x
n
 x dx 
4. 
dx
9.
n  1
 2 x C
x
dx
 ln x  C
x
5.

6.
 sin xdx   cos x  C
4
x
 a dx 
10.

11.

12.

13.

14.

dx
cos2 x
dx
sin 2 x
ax
C
ln a
 tgx  C
 ctgx  C
dx
1  x2
dx
1  x2
 arcsin x  C
 arctgx  C
dx
a x
2
2
 arcsin
x
C
a
7.
8.
 cos xdx  sin x  C
16.
1
x
arctg  C
a
a
a x
tgxdx


ln
cos
x

C

17.
 ctgxdx  ln sin x  C
15. 
x
x
 e dx  e  C
dx
2
2

Метод непосредственного интегрирования.
При непосредственном интегрировании применяют:
- тождественные преобразования подынтегральной функции f  x  .
- свойства неопределенного интеграла
- таблицу основных интегралов.
Примеры:
x2  x
dx 

x
1.
 x2
x 

dx 
 
x 
 x
1 

 x  x 2 1 dx 




1
 1
1
2 dx 
1

 x  x  2 dx 




1
x11 x 2
x2 x 2
x2

C 

C 
2 x C
 xdx   x
1
11  1 1
2
2
2
2
применили табличный интеграл № 2.

=
2.

dx


dx


dx
4  4x
41 x
4  1 x
применили табличный интеграл № 12
3.
2
2
2
2
1
2

1
dx
1
 arcsin x  C

2 1  x2 2
5
x 31 x 3
x2 x 3
33
1
 1 3 2
3

C 
  C  x5  2  C
  3  x dx   x dx   x 3 dx 
 3 1 2 1
2 5
5
2x
x

3
3
5
применили табличный интеграл № 2
Задание:

Ответы:

2
1.  1 
x dx
1. x 
1

 e x dx
x

2. ln x  e x  C
2.  
3.  3 sin x  2 cos x dx
4. 
x2
x
3

x
5.  a 1 


4
x2
x3 
C
3
2
3. 2 sin x  3 cos x  C
13 5 3 2 
x  x C
5

4. 3
dx
a  x 
dx
x 2 
5.
ax 1
 C
ln a x
Указание № 2
Интегрирование по формуле линейной замены.
Если F  x  первообразная для f  x  , то
разная для f ax  b  .
 f ax  bdx 
1
F ax  b  C ,
a
1
F ax  b   первообa
a, b  числа
Примеры:
1.  sin 2 x  3dx
Рассмотрим подынтегральную функцию sin 2 x  3 .
Аргументом синуса является линейная функция:
2x  3
ax  b
a 2
1 1

a 2
Затем применим табличный интеграл № 6,
6
 sin 2 x  3dx 
2. 
1
 cos2 x  3  C   1 cos2 x  3  C
2
2
dx
1  3x
линейная функция: 1 3x или
 3x  1
ax  b
 a  3 
1
1

a
3
применим табличный интеграл № 5

3. 
dx
1
  ln 1  3x  C
1  3x
3
dx
cos 2
x
3
линейная функция :
1
1
1
x
x0
или 3
a  3
3
a
3
ax  b
применим табличный интеграл № 10
dx

x
cos 2
3
 3tg
x
C
3
Задание
1.
Ответы:
 cos2 x  1dx
2.
3.
1
sin 2 x 1  C
2
1
2.
ln 4 x  3  C
4
1 2 x
3.  e
C
2
1.
dx
4x  3
2 x
 e dx

7

4.

5.
dx
x
sin 2
3
dx
1  2 x 
5
6.  1  x  dx
7.
 9 x  3dx
8.
e


3x4
 3ctg
5.
1
C
21  2 x 
6.
x  16  C
6
88
7.
9 x  39  C
91
1 3 x4
8. e
C
3
4
9. 
1  3x  C
3
1
10.
arctg2 x  C
2
8
9.
10.
2
x
C
3
4.
dx
2dx
1  3x
dx
1  4x 2
Указание № 3
Интегрирование методом замены переменной (или подстановкой)
Метод применяется, если под знаком интеграла произведение (частное)
двух функций. Причём:
одна функция является производной другой функции, или
одна функция является производной от внутренней функции
другой.
Формула интегрирования подстановкой
 f  x    x dx 
t   x 
  f t dt
dt   x dx
Примеры:
8
1. 
arctgx
1  x2
dx
Решение:
 arctgx 
1
1  x2
dx
Под знаком интеграла произведение двух функций arctgx и
Причём
Тогда
1
1  x2
.
arctgx  функция
1
 t  arctgx
 её производная
2
1 x
dt  arctgx dx 
1
1 x
2
dx .
Таким образом получаем интеграл от новой переменной

 arctgx

t
t:
2
1
t
dx   tdt   C
2
1

x


2
dt
Вернемся к прежней переменной, для этого заменим
чим:
t
на arctgx, полу-
arctg 2 x
 C - ответ.
2
Запись: 
arctgx
1  x2
dx 
t  arctgx
arctg 2 x
t2
1
  tdt 
C 
C
dt 
dx
2
2
2
1 x
2
2.  2 x  2e x  2 x dx
x
Под знаком интеграла произведение двух функций 2 x  2  и e
x
Причём второй множитель e
2
2x
2
2x
.
является сложной функцией, где по-


казательная функция – внешняя функция, а x  2 x - внутренняя функция. Заметим, что производная внутренней функции
x
2
2


 2 x  2 x  2 .
Тогда эту внутреннюю функцию обозначим за новую переменную
9

t  x 2  2x .

Найдем dt  x 2  2 x dx  2 x  2dx .
Таким образом получаем интеграл от новой переменной
 2 x  2e
3. 
x2 2x
cos 3 x
2  sin 3 x
dx 
t  x  2x
2
dt  2 x  2dx
t:
  e t dt  e t  C  e x
2
2x
C
dx

Так как производная 2  sin 3x   3cos 3x, то t  2  sin 3 x

t  2  sin 3x
cos 3x
dt 1 1 dt 1
2
dx  dt  3 cos 3xdx   
 
 2 t C 
2  sin 3x  C
3
3
3
3
2  sin 3x
t
t
dt
 cos 3xdx
3
Задание:
1.
ln x
dx

x
2.

3.

cos 3x
dx
2  sin 3x
4.

arcsin x
5.
6.
Ответы:
1.
1 2
ln x  C
2
2.
1
 ln 6  3x 2  C
3
3.
1
ln 2  sin 3x  C
3
4.
arcsin 2 x
C
2
2
 x cos x  5 dx
5.
1
sin x 2  5  C
2
2
 5 x sin 3x dx
6.
5
 cos 3x 2  C
6
2 xdx
6  3x
2
1  x2

dx

10


7.

8.

9.

xdx


sin 2 x 1
2
2
3x 3 dx
1  x2
dx
2 x 4  3dx
3
10.
x
11.
2
 sin x cos xdx
12. 
13. 
14. 
x 3 dx
3
8.
3
1  4x 4  C
8
9.
e arcsin x  C
e

1
12
11.
1 3
sin x  C
3
4
3
3 C


12.
2
33 4
x 1  C
8
13.
1 3
ln x  ln x  C
3
x 1
14. 2e x  C
x
x
2x
10.
4
ln 2 x  1
dx
x


1  4x4
e arcsin x

1
ctg 2 x 2  1  C
4
7.
dx
3
15.  6 x 2 3 x  2 dx
15.
11
2 x 3 2
3
C
ln 3
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Какая функция называется первообразной для функции f  x  на
интервале a; b 
Определение неопределенного интеграла.
Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.
Суть метода непосредственного интегрирования.
Запишите формулу линейной замены. Для каких интегралов она
применяется.
Суть метода подстановки.
Запишите таблицу интегралов.
12
Используемая литература.
1.
2.
3.
4.
5.
Мироненко Е. С. Высшая математика, методические указания и
контрольные задания для студентов- заочников высших учебных
заведений. - М.: Высшая школа, 1998 г.
Афанасьева О.Н. и др. сборник задач по математике для техникумов.- М., Наука, 1992 г.
Зайцев И. Л. Элементы высшей математики для техникумов.- М.,
Наука, 1972 г.
Данко П. Е., Попов А. Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1. –М., Высшая школа, 1999г
Пехлецкий И. Д. математика: учебник – М.: изд. центр. «Академия», «Мастерство», 2002 г., 304 с.
13
Содержание
1. Интегральное исчисление. Практическое занятие 1.
Интегрирование функции………………………………..
2. Указание № 1. Понятие неопределенного интеграла…..
3. Метод непосредственного интегрирования…………….
4. Указание № 2. Интегрирование по формуле линейной
замены……………………………………………………..
5. Указание № 3. Интегрирование методом замены переменной (или подстановкой)……………………………...
6. Контрольные вопросы……………………………………
7. Используемая литература………………………………..
14
4
5
6
7
9
12
13
Составитель Лариса Алексеевна Крапивина
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Математика»
Под редакцией автора
Темплан 2005 г., поз. № 42.
Подписано в печать 28. 04. 2005 г. Формат 60×84 1/16.
Бумага потребительская. Гарнитура ”Times“.
Усл. печ. л. 0,94. Усл. авт. л. 0,75.
Тираж 100 экз. Заказ
Волгоградский государственный технический университет
400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28.
РПК «Политехник»
Волгоградского государственного технического университета
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.
15