Б.2.Б.2 Математическая статистика и теория вероятностей
реклама
Наименование дисциплины (модуля).Математическая статистика и теория вероятностей. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра 2. Направление подготовки 3. Дисциплина 4. Тип заданий Количество этапов формирования компетенций (ДЕ, разделов, тем и т.д.) 5. Математики и математических методов в экономике 040700.62 «Организация работы с молодежью», профиль общий Б2.Б2 Математическая статистика и теория вероятностей. Контрольное тестирование 10 Перечень компетенций ОК-14: Способность к восприятию информации, готовность к использованию основных методов, способов и средств получения, хранения, переработки информации. ПК-5: Умение осуществлять сбор и классификацию информации; владение навыками составления информационных обзоров по исследуемой проблеме, способность применять статистические и социологические методы сбора социальной информации; владение навыками участия в социальных проектах по реализации молодежных программ; владение педагогическими приемами по реализации молодежных программ; владение педагогическими приемами и техниками, необходимыми для работы с различными категориями молодежи. Критерии и показатели оценивания компетенций Знать: элементарную теорию вероятностей; математические основы теории вероятностей; статистические методы оценки параметров распределения; методы обработки экспериментальных данных. Умения: решать задачи по разделам курса, применять теоретический материал; - используя определения, проводить исследования, связанные с основными понятиями; - подходить к решению профессиональных задач, строить математические модели задач, приводить их к нужному виду Навыки: владение фундаментальными знаниями в теории вероятностей и математической статистики, навыками самостоятельной научно-исследовательской деятельности, требующей широкого образования в соответствующем направлении, способностью использовать полученные знания в профессиональной деятельности. Опыт деятельности: в результате освоения дисциплины студент должен приобрести опыт, позволяющий, опираясь на традиционные подходы, получать положительные результаты, отвечающие современным требованиям. Этапы формирования компетенций Случайные события и вероятности. Случайные величины. Распределение вероятностей. Законы больших чисел и предельные теоремы. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Двумерные случайные величины. Основы выборочного метода. Статистические оценки параметров распределения. Методы расчета характеристик выборки. Элементы теории корреляции. Статистическая проверка статистических гипотез. Шкала оценивания (за правильный ответ дается 1 балл) «2» – 60% и менее «3» – 61-80% «4» – 81-90% «5» – 91-100% Типовое контрольное задание ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Определения вероятностей Бросаются три игральные кости. Тогда вероятность того, что на всех игральных костях выпадет по четыре очка, равна … Решение: Для вычисления вероятности события A (на трех игральных костях выпало четыре очка) воспользуемся формулой где n – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A. В нашем случае возможны элементарных исходов испытания, из которых благоприятствующим является исход вида есть то Следовательно, ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Алгебра событий Два студента сдают экзамен. Если ввести события: A – экзамен успешно сдал первый студент и B – экзамен успешно сдал второй студент, то событие, заключающееся в том, что только один студент успешно сдал экзамен, будет представлять собой выражение … Решение: То, что экзамен успешно сдаст только один студент, означает, что сдаст первый и не сдаст второй или сдаст первый и не сдаст второй. А такое событие представляет собой сумму произведений, то есть, правильным будет ответ ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен на «отлично», равна 0,8, второй – 0,4. 2 Вероятность того, что он сдаст на «отлично» только один экзамен, равна … Решение: Введем обозначения событий: – на «отлично» будет сдан первый экзамен, – на «отлично» будет сдан второй экзамен. Так как эти события независимы, то искомую вероятность можно вычислить как ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Полная вероятность и формулы Байеса В первой урне 2 белых и 3 черных шаров, во второй – 5 белых и 5 черных, в третьей – 7 белых и 8 черных. Из наудачу взятой урны извлекается один шар. Тогда вероятность того, что этот шар белый, равна … Решение: Вычислим вероятность события A (вынутый наудачу шар – белый) по формуле полной вероятности где вероятность того, что шар извлечен из первой урны; извлечен из второй урны; урны; – – вероятность того, что шар – вероятность того, что шар извлечен из третьей – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из первой урны; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из второй урны; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из третьей урны. Так как то ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Закон распределения вероятностей одномерной дискретной случайной величины Дискретная случайная величина Тогда вероятность задана законом распределения вероятностей: равна … 3 Решение: ЗАДАНИЕ N 6 Тема: Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей: Тогда ее функция распределения вероятностей имеет вид … Решение: По определению Тогда а) при б) при в) при г) при Следовательно, ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Математическое ожидание дискретной случайной величины Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей: Тогда ее математическое ожидание равно … Решение: Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле Вычислим предварительно неизвестную 4 вероятность Тогда ЗАДАНИЕ N 8 Тема: Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей: Тогда ее дисперсия равна … Решение: Дисперсию дискретной случайной величины X можно вычислить по формуле Тогда ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Биномиальный закон распределения вероятностей Вероятность производства стандартного изделия равна 0,8. Тогда вероятность того, что из пяти произведенных изделий стандартных будет ровно два, равна … Решение: Воспользуемся формулой Бернулли где Тогда ЗАДАНИЕ N 10 Тема: Распределение Пуассона Вероятность производства бракованного изделия равна 0,003. Тогда вероятность того, что при производстве 1000 изделий будет изготовлено не более трех бракованных, можно определить как … 5 Решение: Так как число «испытаний» достаточно велико, а вероятность наступления соответствующего события в одном испытании воспользуемся формулой Пуассона вида достаточно мала, то где Тогда ЗАДАНИЕ N 11 Тема: Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей: Тогда значение параметра С равно … Решение: Так как Тогда то или и ЗАДАНИЕ N 12 Тема: Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей: Тогда ее плотность распределения вероятностей имеет вид … 6 Решение: Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины вычисляется по формуле Тогда и ЗАДАНИЕ N 13 Тема: Числовые характеристики непрерывной случайной величины Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей: Тогда ее дисперсия равна … Решение: Дисперсию непрерывной случайной величины формуле можно вычислить по Тогда ЗАДАНИЕ N 14 Тема: Равномерное распределение Дан график плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины Тогда график ее функции распределения вероятностей имеет вид … Решение: Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины вычисляется по 7 формуле Тогда: если то если если следовательно, то то Тогда график будет иметь вид ЗАДАНИЕ N 15 Тема: Показательное распределение Случайная величина распределена по показательному закону с плотностью распределения вероятностей и дисперсия равны … Тогда ее математическое ожидание Решение: Математическое ожидание и дисперсия случайной величины показательному закону, равны соответственно где Тогда распределенной по и ЗАДАНИЕ N 16 Тема: Нормальное распределение 8 Непрерывная случайная величина вероятностей квадратическое отклонение задана плотностью распределения Тогда математическое ожидание a и среднее этой случайной величины равны … Решение: Плотность распределения вероятностей нормально распределенной случайной величины имеет вид где Поэтому ЗАДАНИЕ N 17 Тема: Законы распределения вероятностей двумерных дискретных случайных величин Двумерная дискретная случайная величина вероятностей: задана законом распределения Тогда значения a и b могут быть равны … Решение: Так как сумма вероятностей равна единице, то есть то Этому условию удовлетворяет, например, ответ: ЗАДАНИЕ N 18 Тема: Условные законы распределения вероятностей двумерных дискретных случайных величин Двумерная дискретная случайная величина вероятностей: задана законом распределения 9 Тогда условный закон распределения вероятностей составляющей составляющая приняла значение при условии, что имеет вид … Решение: Условным законом распределения составляющей условных вероятностей вида где при называют совокупность , . Эти вероятности вычисляются по формуле . Найдем вероятности возможных значений при условии, что составляющая приняла значение Тогда условный закон распределения вероятностей составляющей примет вид ЗАДАНИЕ N 19 Тема: Функции случайных аргументов Дискретные случайные величины и заданы законами распределения вероятностей: 10 Тогда закон распределения вероятностей функции имеет вид … Решение: Чтобы найти возможные значения случайной величины значение на все возможные значения случайной умножим каждое возможное величины Вероятности этих возможных значений равны произведениям вероятностей сомножителей: функции Тогда закон распределения вероятностей примет вид ЗАДАНИЕ N 20 Тема: Ковариация и корреляция Корреляционная матрица для системы случайных величин может иметь вид … Решение: Для системы, состоящей из случайных величин вектора элементов или случайного корреляционная матрица R размера удовлетворяющих условиям: состоит из и Этим условиями удовлетворяет, например, матрица ЗАДАНИЕ N 21 Тема: Неравенство Чебышева Вероятность появления события A в каждом из 150 проведенных испытаний равна 0,8. Тогда вероятность того, что число X появлений события A будет заключена в пределах от 110 до 130, можно оценить с использованием неравенства Чебышева как … Решение: Воспользуемся неравенством Чебышева вида 11 Вычислив получае м: ЗАДАНИЕ N 22 Тема: Теорема Чебышева В результате проведения 400 независимых испытаний получены случайные величины с равными математическими ожиданиями и равными дисперсиями . Тогда вероятность того, что среднее арифметическое этих случайных величин отклонится по абсолютной величине от математического ожидания как … на величину, меньшую 0,5, можно оценить Решение: Если независимые случайные величины имеют одинаковые математические ожидания, равные , а их дисперсии ограничены одной и той же постоянной , то справедливо неравенство Тогда . . ЗАДАНИЕ N 23 Тема: Локальная формула Лапласа Всхожесть семян некоторого растения составляет 90 %. Тогда вероятность того, что из 400 посаженных семян взойдут ровно 355, следует вычислять как … Решение: Для биномиального распределения вероятностей существует предельное (при ) распределение, и это распределение является асимптотически нормальным. Это означает, что при больших значениях числа испытаний расчет по формуле Бернулли становится практически невозможным. Поэтому для вычисления таких вероятностей на практике используется локальная формула 12 Лапласа где Следовательно, ЗАДАНИЕ N 24 Тема: Интегральная формула Лапласа Вероятность появления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Тогда вероятность того, что событие появится не менее 74 и не более 90 раз, если приближенно равна … где – функция Лапласа, будет Решение: Для биномиального распределения вероятностей существует предельное (при ) распределение, и это распределение является асимптотически нормальным. Это означает, что при больших значениях числа испытаний расчет по формуле Бернулли становится практически невозможным, особенно когда надо вычислять вероятности не отдельного равенства (события) а неравенств вида Для вычисления таких вероятностей на практике используется интегральная формула Лапласа где – функция Лапласа, а Следовательно, ЗАДАНИЕ N 25 Тема: Матрица переходных вероятностей состояний цепи Маркова Матрица вероятностей перехода однородной цепи Маркова имеет 13 вид Тогда значения a и b равны … Решение: Матрица вероятностей перехода однородной цепи Маркова имеет вид где для переходных вероятностей условие справедливо то есть в каждой строке матрицы сумма вероятностей равна 1. Следовательно, и ЗАДАНИЕ N 26 Тема: Вероятности состояний цепи Маркова Матрица вероятностей перехода однородной цепи Маркова имеет вид вектор вероятностей состояний цепи Маркова на втором шаге равен шаге равен … а Тогда вектор вероятностей состояний цепи Маркова на третьем Решение: Вектор вероятностей состояний цепи Маркова на третьем шаге можно вычислить как ЗАДАНИЕ N 27 Тема: Вариационный ряд Из генеральной совокупности извлечена выборка объема Тогда значение равно … 14 Решение: Объем выборки вычисляется по формуле частичного интервала где – сумма частот вариант Тогда ЗАДАНИЕ N 28 Тема: Полигон и гистограмма Из генеральной совокупности извлечена выборка объема имеет вид: Тогда относительная частота варианты полигон частот которой в выборке равна … Решение: Относительная частота вычисляется по формуле варианты – объем выборки. Вычислим предварительно частоту варианты а как где – частота Тогда 15 ЗАДАНИЕ N 29 Тема: Характеристики вариационного ряда Медиана вариационного ряда 21; 22; 22; 22; 24; 25; 26; 28; 29; 30; 32 равна … Решение: Медианой вариационного ряда называется значение признака генеральной совокупности, приходящееся на середину вариационного ряда. В данном случае это варианта, расположенная в середине вариационного ряда. В середине данного ряда располагается варианта 25. ЗАДАНИЕ N 30 Тема: Эмпирическая функция распределения Из генеральной совокупности извлечена выборка объема Тогда ее эмпирическая функция распределения вероятностей имеет вид … Решение: По определению объем выборки. Тогда: где – число вариант, меньших – а) при б) при в) при г) при 16 д) при Следовательно, ЗАДАНИЕ N 31 Тема: Точечная оценка математического ожидания Проведено пять измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 3,9; 4.1; 4,3; 4,4; 4,5. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна … Решение: Несмещенная оценка математического ожидания вычисляется по формуле то есть ЗАДАНИЕ N 32 Тема: Точечная оценка дисперсии В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 48; 49; 53. Тогда исправленная дисперсия равна … Решение: Исправленная дисперсия вычисляется по формуле где Вычислив 17 предварительно получаем ЗАДАНИЕ N 33 Тема: Интервальная оценка математического ожидания Точечная оценка математического ожидания нормально распределенного количественного признака равна 0,84. Тогда его интервальная оценка может иметь вид … Решение: Интервальная оценка математического ожидания нормально распределенного количественного признака симметрична относительно его точечной оценки. Таким свойством обладает, например, интервал ЗАДАНИЕ N 34 Тема: Интервальная оценка среднего квадратического отклонения Точечная оценка среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака равна 3,5. Тогда его интервальная оценка может иметь вид … Решение: Интервальной оценкой среднего квадратического отклонения количественного признака служит доверительный интервал при , или соответствующей таблице приложений. при нормально распределенного где q находят по Этому определению удовлетворяет, например, интервал ЗАДАНИЕ N 35 Тема: Точность интервальной оценки При построении доверительного интервала для оценки неизвестного математического ожидания нормально распределенного признака генеральной совокупности с надежностью извлечена выборка объема исправленная дисперсия Стьюдента определено значение по которой вычислена а по таблице критических точек распределения Тогда точность соответствующей 18 интервальной оценки равна … Решение: Точность интервальной оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака при неизвестном среднем квадратическом отклонении определяется как Тогда ЗАДАНИЕ N 36 Тема: Надежность интервальной оценки Дан доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда при уменьшении надежности (доверительной вероятности) оценки доверительный интервал может принять вид … Решение: Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака можно представить в виде симметричного интервала где точечная оценка математического ожидания точность оценки то есть значение а В случае уменьшения надежности точность оценки улучшается, будет меньше 5,5, например, 5,35. Тогда доверительный интервал может принять вид или ЗАДАНИЕ N 37 Тема: Выборочные коэффициенты корреляции и регрессии При построении выборочного уравнения прямой линии регрессии вычислены выборочный коэффициент корреляции отклонения регрессии на и выборочные средние квадратические Тогда выборочный коэффициент равен … Решение: Выборочный коэффициент регрессии формуле на вычисляется по Тогда ЗАДАНИЕ N 38 19 Тема: Линейная регрессия По результатам выборки, извлеченной из генеральной совокупности выборочный коэффициент регрессии средние регрессии на на вычислены: и выборочные и Тогда выборочное уравнение прямой линии будет иметь вид … Решение: Выборочное уравнение прямой линии регрессии где на имеет вид – условная средняя. Следовательно, или ЗАДАНИЕ N 39 Тема: Статистические гипотезы Основная гипотеза имеет вид гипотеза … Тогда конкурирующей может являться Решение: Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу, которая противоречит нулевой гипотезе. Условию противоречит, например, гипотеза ЗАДАНИЕ N 40 Тема: Критическая область, область принятия гипотезы Соотношением вида можно определить область … Решение: Данное соотношение определяет двустороннюю критическую область, так как двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами где в частности, Тогда соотношением вида где – положительное число, а – уровень значимости, определяется двусторонняя критическая область. 20 ЗАДАНИЕ N 41 Тема: Проверка гипотез о дисперсиях Наблюдаемое значение статистики критерия проверки гипотезы о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому (предполагаемому) значению может иметь вид … Решение: Для проверки гипотезы о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому (предполагаемому) значению применяется статистический критерий который имеет хи-квадрат распределение с степенями свободы, где – объем выборки, по которой вычислена исправленная дисперсия ЗАДАНИЕ N 42 Тема: Проверка гипотез о математических ожиданиях Наблюдаемое значение статистики критерия проверки гипотезы о равенстве генеральной средней нормальной совокупности гипотетическому значению 7 при известной дисперсии имеет вид … Решение: Для проверки гипотезы о равенстве генеральной средней нормальной совокупности гипотетическому значению при известной дисперсии применяется статистический критерий который имеет стандартное нормальное распределение. Тогда наблюдаемое значение критерия определяется как где выборочное среднее – объем выборки, по которой вычислено Следовательно, при получаем 21 ЗАДАНИЕ N 43 Тема: Критерий согласия Пирсона При проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности при заданном уровне значимости определено критическое значение критерия Тогда эмпирические и теоретические частоты будут различаться значимо, если наблюдаемое значение статистического критерия равно … будет Решение: Согласно критерию согласия Пирсона, для проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности строят правостороннюю критическую область, определяемую неравенством вида критерия то есть для того чтобы обеспечить попадание (хи-квадрат) в критическую область, необходимо обеспечение справедливости неравенства Последнему условию удовлетворяет, например, значение 22