Модуль1, 2 семестр.

(Лекции читались во 2 семестре 2011-2012гг для гр. СБ-14-15 АВТ.
13.02.12)
Модуль1, 2 семестр.
Лекция 1
Глава 2 . Определенный интеграл.
2.1 Площадь под графиком. Формула для вычисления. Необходимое и достаточное
условия существования площади. Определенный интеграл. Формула для вычисления.
Линейность. Необходимое и достаточное условия интегрируемости.
Семинар1 Подготовка к к.р. по неопределенным интегралам.
Лекция 2 (20.02.12)
2.2 Аддитивность определенного интеграла. Определение интеграла по отрезку [a,b], a<b.
Сохранение аддитивности.
2.3 Интегралы от непрерывных функций. Существование первообразной и формула для
нее. Формула Ньютона-Лейбница. Формула интегрирования по частям и замены
переменной. Примеры.
Семинар2 Подготовка к к.р. по неопределенным интегралам.
Лекция 3 (27.02.12)
Пар.2.4. Геом. приложения опред. интегралов.
Длина дуги. Площадь между графиками. Объем по поперечному сечению.
Глава 3 Несобственные интегралы 1 рода.
Пар.3.1 Площадь под бесконечной кривой. Формула. Определение несобственного
интеграла 1 рода и формула для него. Формула Ньютона-Лейбница. Интегралы Дирихле.
Семинар 3 К.р. по неопределенным интегралам.
Лекция 4 (5.02.12)
Глава 4 Функции многих переменных
Rn
4.1
, скалярное произведение, длина вектора, расстояние и их свойства.
Функция многих переменных, область определения, линии уровня. График и
координатные линии. Примеры.
4.2 Непрерывные функции многих переменных в точке. Их арифметические свойства.
Непрерывность функций от одной переменной. Непрерывность суперпозиции.
Семинар 4 Разбор д.р. 1
Лекция 5 (12.03.12)
4.3 Непрерывность на множестве в точке. Примеры. Ограниченные множества. Граничные
точки, замкнутые множества. Теоремы Вайерштрасса.
4.4 Понятие о двойном интеграле по замкнутому ограниченному множеству от
непрерывной функции. Формула сведения двойного интеграла к повторному по
специальному множеству. Примеры.
4.5 Частные производные функций многих переменных и их геометрический смысл.
Касательная плоскость к графику, ее уравнение. Условие существования касательной
плоскости, дифференцируемость. Дифференциал, геометрический смысл и формула.
Формула линеаризации и ее использование на примерах.
Семинар 5 Разбор д.р. 1, Д.р. 2, К.р.2
Лекция 6 (19.03.12)
Окончание 4.5
4.6 Теоремы о дифференцировании сложных функций. Примеры. Производная по
направлению. Градиент. Его геометрический смысл. Использование для нахождения
максимумов и минимумов функции.
Семинар 6 Разбор к.р. 2
Лекция 7 (26.03.12)
4.7 Производные высших порядков. Теорема Шварца. Примеры. Локальный экстремум.
Необходимое и достаточное условие. Пример.
Семинар 7 Подготовка к к.р.2
Лекция 8 (2.04.12)
Окончание 4.7
4.8 Теорема Юнга для 2-х и 3-х переменных. Уравнение касательной к графику неявной
функции. Свойство градиента. Примеры.
Семинар 8 к.р.2
Модуль2 ( 2 семестр)
Лекция 9(9.04.12)
Глава 5 Дифференциальные уравнения.
5.1 ДУ 1 порядка, решение, общее решение, интегральная кривая. Примеры.
5.2 Задача Коши. Теорема существования и единственности ее решения.Примеры.
Семинар 9. Разбор Др.2
Лекция 10 (16.04.12)
5.3 ДУ с разд. Переменными, однородной правой частью.
5.4 Линейные ДУ 1 порядка однородные и неоднородные.
.
Семинар 10 Подготовка к К.р.3
Лекция 11(23.04.12)
5.5 ДУ 2 порядка, решение, общее решение. Задача Коши, теорема существования и
единственности решения задачи Коши. Пример
5.6 ДУ 2 порядка с пост. коэффициентами. Однородные ДУ,ФСР. Примеры.
Семинар 11 Подготовка к К.р.3
Лекция 12 (30.04.12)
5.7 Неоднородные ДУ со специальной правой частью. Общее решение. Принцип
суперпозиции. Примеры.
Глава 6 Ряды
6.1 Числовой ряд. Частичные суммы, сумма, сходимость. Арифметические свойства.
Пример. Необходимое условие сходимости и достаточное условие расходимости.
Примеры.
Лекция 13 (7.05.12)
6.2 Неотрицательные ряды. Связь с несобственными интегралами 1 рода. 2 признака
сходимости
6.3 Признак Даламбера и радикальный признак Коши. Примеры.
Семинар 12 К.р.3
Лекция 14.(04.05.12)
6.4 Абсолютная сходимость. Связь со сходимостью. Условная сходимость. Признак
Лейбница.
6.5Степенные ряды. Область сходимости, радиус сходимости. Почленное интегрирование
и дифференцирование. Ряды Тейлора, достаточное условие разложимости в ряд Тейлора.
Стандартные разложения Маклорена.
Семинар 13 К.р.3
Лекция 14(14.05.12)
Разбор К.Р.3
Семинар 15 (21.05.12) Разбор Д.Р.3
Семинар 16 Разбор Д.Р.3
Далее сдача зачета (всех К.Р. и Д.Р.)
Вопросы к экзамену по МА за 2 семестр (на повышенную оценку, экзамен на
«удовлетворительно»- кафедральный тест)).
Гр. СБ-24- СБ-25
2011-2012 уч.г.
Лектор Волкова Т.В.
1. Что такое неопределенный интеграл? Приведите 2 примера из таблицы.
2. Что такое определенный интеграл? Приведите формулу Ньютона-Лейбница для его
вычисления.
3. Перечислите свойства линейности и аддитивности определенных интегралов.
4. Напишите формулу интегрирования по частям для определенного интеграла.
Для каких функций она верна?
5. Напишите формулу для вычисления площади между графиками и длины дуги.
Для каких функций они верны?
6. Определите функцию двух переменных, ее график, координатные линии, линни
уровня. Приведите пример.
7. Определите частные производные функции 2 переменных. Каков их
геометрический смысл?
8. Что такое касательная плоскость к графику функции 2 переменных? Как
называется функция, график которой имеет в точке касательную плоскость?
9. Что такое дифференциал дифференцируемой функции 2 переменных? Напишите
его формулу. Каков его геометрический смысл?
10. Определите точку локального экстремума функции 2 переменных. Сформулируйте
необходимое условие экстремума.
11. Определите вторые частные производные функции 2 переменных. Сформулируйте
теорему Шварца.
12. Сформулируйте достаточное условие локального экстремума для функции 2
переменных.
13. Что такое ДУ 1 порядка.? Определите его решение, общее решение.
Сформулируйте задачу Коши.
14. Сформулируйте теорему существования и единственности решения задачи Коши
для ДУ 1 порядка.
15. Решение ДУ 1 порядка с разд. переменными и с однородной правой частью.
16. Решение однородного ДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами.
17. Числовой ряд. Сходимость. Необходимое условие сходимости и достаточное
условие расходимости.
18. Сформулируйте признаки сравнения. Для каких рядов они применяются?
19. Сформулируйте признака Даламбера и Коши (радикальный).
20. Сформулируйте интегральный признак Коши и условие сходимости рядов
Дирихле.
21. Абсолютная и условная сходимость. Теорема об абсолютно сходящихся рядах.
22. Признак Лейбница. Какую сходимость он проверяет?