Проект mathCadx

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный педагогический университет
имени Козьмы Минина»
Кафедра математики и математического образования
Проектная работа по курсу Информационные технологии в математике.
Тройной интеграл и его применение.
Коржавин Максим Сергеевич
студент 4 курса факультета
естественных, математических и
компьютерных наук
специальность «Математика»
с дополнительной специальностью
«Информатика»
Нижний Новгород
2014
Содержание:
1. Основные теоретические сведения о тройном интеграле.
2. Примеры решения тройных интегралов.
3. Оценка + я.
4. Литература.
1. Основные теоретические сведения о тройном интеграле.
1.1 Введение
Символ интеграла введен с 1675 г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696 г.
Интеграл изучают, в основном, ученые–математики, также и физики внесли свой вклад в эту науку.
Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений.
Интегральное исчисление, вместе с исчислением дифференциальным, составляет основу математического
анализа. Интегральным исчислением называют раздел математики, занимающийся изучением интегралов,
их свойств и методов вычисления. Аппарат дифференциального и интегрального исчисления составляет
основу математического анализа, который широко используется в различных отраслях современной науки.
Интегральное исчисление появилось во времена античного периода развития математической науки
и началось с метода исчерпывания, который был разработан математиками Древней Греции, и представлял
собой набор правил, разработанных Евдоксом Книдским. По этим правилам по которым вычисляли
площадей и объёмы. Далее метод получил своё развитие в работах Евклида. Особым искусством и
разнообразием применения метода исчерпывания прославился Архимед.
С 70-х годов XVIII века решение задач аналитической механики, физики и других дисциплин
потребовало продолжения развития понятия и употребления определенного интеграла, особое значение
приобретают двойные и тройные интегралы (Эйлер, Лагранж, Лаплас и др.).
Эта эпоха математического творчества оказалась единственной по своей интенсивности, а Эйлер –
одним из немногих по своей продуктивности учёным. Его творения: "Введение в анализ бесконечно малых",
"Основания дифференциального исчисления" и "Основания интегрального исчисления" стали первыми
трактатами, которые объединили уже обширный, но вместе с тем разрозненный материал нового анализа в
цельную науку. В них была разработана та основа современного анализа, которая сохранилась и до нашего
времени.
Исследование методов вычисления двойных и тройных интегралов показала, что вычисление этих
интегралов методом вычисления обычного определенного интеграла – при помощи неопределенного,
невероятно трудно, поэтому математики сохранили концепцию Ньютона только на словах, а на деле, при
решении задач точных наук, приняли сторону Лейбница. Так они вычисляли соответствующие
интегральные суммы (в прямоугольных, цилиндрических и сферических координатах) и находили их
пределы.
1.2 Теоретические основы вычисления тройного интеграла
Рассмотрим тело, занимающее пространственную область  (рис. 1), и предположим, что
плотность распределения массы в этом теле является непрерывной функцией координат точек тела:
   ( x , y , z ).
Единица измерения плотности – кг/м3.
Рис. 1
Разобьем
тело
произвольным
образом
на
n
частей;
объемы
этих
частей
обозначим
v1 , v 2 , v n . Выберем затем в каждой части по произвольной точке Pi ( xi , y i , zi ). Полагая, что в,
Pi , мы получим
каждой частичной области плотность постоянна и равна ее значению в точке
приближенное выражение для массы всего тела в виде суммы
n
M n    ( xi , yi , zi ) vi .
i 1
Предел этой суммы при условии, что n   и каждое частичное тело стягивается в точку (т. е. что
его диаметр) стремится к нулю), и даст массу М тела
n
M  lim   ( xi , yi , zi ) vi    ( x , y , z)dv.
i 1

Сумма (*) называется n-й интегральной суммой, а ее предел – тройным интегралом от функции
 ( x , y , z ) по пространственной области  .
К вычислению тройного интеграла, помимо определения массы тела, приводят и другие задачи.
Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать тройной интеграл


n
f ( x , y , z)dv  lim f ( xi , yi , zi ) v i ,
i 1
f ( x, y, z)
где
– произвольная непрерывная в области  функция.
Терминология для тройных интегралов совпадает с соответствующей терминологией для двойных
интегралов. Точно так же формулируется и теорема существования тройного интеграла.
Свойства двойных интегралов, полностью переносятся на тройные интегралы. Заметим только, что
если подынтегральная функция
области  :
f ( x , y , z ) тождественно равна 1, то тройной интеграл выражает объем V
 dv  V .

Потому свойства 1 и надо теперь сформулировать следующим образом.
1) Если функция
неравенствам
f ( x , y , z ) во всех точках области интегрирования  удовлетворяет
mV   f ( x , y , z )dv  MV ,
m  f ( x , y , z)  M , то

где V – объем области  .
2) Тройной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке
области интегрирования на объем области интегрирования, т. е.
 f ( x, y, z)dv 
f ( , , )V .

1.3 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
Пусть дан тройной интеграл от функции f ( x , y , z )
I   f ( x , y , z )dv ,

причем область  отнесена к системе декартовых координат Oxyz, Разобьем область
интегрирования и плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Тогда частичными областями
будут параллелепипеды с гранями, параллельными плоскостям Оху, Охz, Оуz. Элемент объема будет равен,
произведению дифференциалов переменных интегрирования
dv  dxdydz.
В соответствии с этим будем писать
I   f ( x , y , z )dxdydz.

Установим теперь правило для вычисления такого интеграла.
Будем считать, что область интегрирования  имеет вид, изображенный на рис. 1.
Опишем около и цилиндрическую поверхность с образующей, перпендикулярной к плоскости Оху.
Она касается области  вдоль некоторой линии L, которая делит поверхность, ограничивающую область,
на две части: верхнюю и нижнюю. Уравнением нижней поверхности пусть будет
z  z1 ( x , y ) , уравнением
верхней z  z 2 ( x , y ) .
Построенная цилиндрическая поверхность высекает из плоскости Оху плоскую область D, которая
является ортогональной проекцией пространственной области  на плоскость Оху, при этом линия L
проектируется в границу области  .
Будем производить интегрирование сначала по направлению оси Оz. Для этого функция f ( x , y , z )
интегрируется по заключенному в  отрезку прямой, параллельной оси Оz и проходящей через некоторую
  ). При данных х и у переменная интегрирования z будет
z ( x , y ) – аппликаты точки “входа” (  ) прямой в область  , до z 2 ( x , y ) – аппликаты
изменяться от 1

точки “выхода” ( ) прямой из области  .
точку Р(х, у) области D (на рис. 1 отрезок
Результат интегрирования представляет собой величину, зависящую от точки Р (х, у); обозначим ее
через F(х, у):
z2 ( x , y )
 f ( x, y, z)dz.
F ( x, y) 
z1 ( x , y )
При интегрировании х и у рассматриваются здесь как постоянные.
Мы получим значение искомого тройного интеграла, если возьмем интеграл от функции F(х, у) при
условии, что точка Р(х, у) изменяется по области D, т. е. если возьмем двойной интеграл
 F ( x, y)dxdy.
D
Таким образом, тройной интеграл I может быть представлен в виде
I   dxdy
z2 ( x , y )
D
 f ( x, y, z)dz.
z1 ( x , y )
Приводя, далее, двойной интеграл по области D к повторному и интегрируя сначала по y, а затем по
x, получим:
b
y2 ( x )
a
y1 ( x )
I   dx
y ( x)

z2 ( x , y )
dy
 f ( x, y, z)dz,
z1 ( x , y )
y ( x)
где 1
и 2
– ординаты точек “входа” в область D и “выхода” из нее прямой x  const (в
плоскости Оху), а a и b – абсциссы конечных точек интервала оси Ох, на который проектируется область D.
Мы видим, что вычисление тройного интеграла по области  производится, посредством трех
последовательных интегрирований.
Формула (*) сохраняется и для областей, имеющих цилиндрическую форму, т. е. ограниченных
цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Оz, а снизу и сверху поверхностями,
уравнения которых соответственно z  z1 ( x , y ) и z  z 2 ( x , y ) (рис. 2).
Рис. 2
Если областью интегрирования служит внутренность параллелепипеда с гранями, параллельными
координатным плоскостям (рис. 3), то пределы интегрирования постоянны во всех трех интегралах :
b
d
l
a
c
k
 f ( x, y, z)dxdydz   dx  dy  f ( x, y, z)dx.

В этом случае интегрирование можно производить в любом порядке, пределы интегрирования
будут при этом сохраняться.
Если же в общем случае менять порядок интегрирования (т.е., скажем, интегрировать сначала по
направлению оси Oy, а затем по области плоскости Oxz), то это приведёт к изменению порядка
интегрирования в тройном интеграле и к изменению пределов интегрирования по каждой переменной.
Рис. 3
Рис. 4
1.4 Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
(r ,  , z ) , в которой положение точки M
Отнесём область  к системе цилиндрических координат
(r ,  )
в пространстве определяется полярными координатами
ее проекции Р на плоскость Oxy и ее
аппликатой (z). Выбирая взаимное расположение осей координат, как указано на рис. 5, установим связь,
между декартовыми и цилиндрическими координатами точки М, именно:
x  r cos  ,
y  r sin  , z  z.
Рис. 5
Разобьем область  на частичные области v i тремя системами координатных поверхностей:
r  const ,   const , z  const ,
которыми будут соответственно круговые цилиндрические
поверхности, осью которых является ось Оz, полуплоскости, проходящие через ось Оz, и плоскости,
v
параллельные плоскости Оху. Частичными областями i служат прямые цилиндры MN (рис. 5). Так как
объем цилиндра MN равен площади основания, умноженной на высоту, то для элемента объема получаем
выражение
dv  rdrd dz.
 f ( x, y, z)dv
Преобразование тройного интеграла 
к цилиндрическим координатам производится
совершенно аналогично преобразованию двойного интеграла к полярным. Для этого нужно в выражении
подынтегральной функции f ( x , y , z ) переменные x, y, z заменить по формулам (*) и взять элемент объёма
равным r dr d dz.
Получим
 f ( x, y, z)dxdydz   f (r cos , r sin  , z)r dr d dz.


Если, в частности, f ( x , y , z )  1, то интеграл выражает объём V области 
V   r dr d dz.

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах приводится к интегрированиям по
r, по
 и по z на основании тех же принципов, что и в случае декартовых координат. В частности, если
областью интегрирования служит внутренность цилиндра r  R, 0  z  h, то пределы трехкратного
интеграла постоянны и не меняются при перемене порядка интегрировании.
1.5 Вычисление тройного интеграла в сферических координатах
Отнесём теперь область интегрирования  к системе сферических координат ( r ,  ,  ) . В этой
системе координат положение точки M в пространстве определяется её расстоянием r от начала координат

(длина радиуса-вектора точки), углом  между радиусом-вектором точки и осью Oz и углом
между

проекцией радиуса вектора точки на плоскость Oxy и осью Ox (рис. 6). При этом
может изменятся то 0 до

а
 – от 0 до 2 .
Рис. 6
Связь между сферическими и декартовыми координатами легко устанавливается. Из рис.6 имеем




MP  r sin     r cos , OP  r cos     r sin  ,
2

2

x  OP cos  и y  OP sin  .
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos .
Отсюда
v
Разобьем область  на частичные области i , тремя системами координатных поверхностей:
r  const ,   const ,   const , которыми будут соответственно сферы с центром в начале
координат, полуплоскости, проходящие, через ось Оz, и конусы с вершиной в начале координат и с осями,
совпадающими с одной из полуосей Оz. Частичными областями v i служат “шестигранники” (рис. 7).
Отбросив бесконечно малые высших порядков, будем рассматривать шестигранник MN как
прямоугольный параллелепипед с измерениями, равными:
dr по направлению полярного радиуса, rd по
направлению меридиана, r sin  d по направлению параллели. Для элемента объема мы получим тогда
выражение
dv  r 2 sin  drd d .
Заменив в тройном интеграле
полученному выражению, будем иметь
x , y , z по формулам (**) и взяв элемент объема равным
 f ( x, y, z)dv  f (r sin cos , r sin sin  , r cos )r
2
sin  drd d .

Особенно удобно применение сферических координат в случае, когда область интегрирование  –
шар с центром в начале координат или шаровое кольцо. Например, в последнем случае, если радиус
внутреннего шара R1 , а внешнего R2 , пределы интегрирования следует расставить так:

2
R2
 sin  d  d  f (r sin  cos , r sin sin  , r cos )r
0
0
2
sin  dr d d .
R1
R  0.
Если  – шар, то нужно положить 1
1.6 Применение тройных интегралов
Для вычисления координат центра тяжести тела нужны статические моменты относительно
координатных плоскостей Оху, Охz, Оуz; обозначим их соответственно
рассуждения получим следующие формулы для координат
 ,  ,
M xy , M xz , M yz .
Повторяя
центра тяжести неоднородного тела,
 ( x , y , z ), занимающего область  :
плотность которого задается функцией
 x dv
M yz
M xz


, 

M
M

dv



Если тело однородно, т. е.

 xdv

V
, 
V

  dv
, 
M xy

M

  const , то формулы упрощаются:
 ydv

 y dv
, 
 z dv

  dv
.

 zdv

V
,
где V- объём тела.
Пример. Найдем центр тяжести однородного полушара  :
x2  y2  z2  R2 ,
z  0.
Две координаты центра тяжести ( и  ) равны нулю, ибо полушар симметричен относительно оси
Оz (тело вращения с осью Оz).
Интеграл
 zdv

удобно вычислить, перейдя к сферическим координатам:

 zdv   r cos r
2

2
2
R
0
0
0
sin  drd d   sin  cos d  d  r 3 dr 
4
1
R
1
2
  R4 .
2
4
4
2
 R3,
3
Так как объём полушара равен
то
1
 R4 3
4
 
 R.
2
8
3
R
3

Перейдём к вычислению моментов инерции тела относительно координатных осей. Так как
квадраты расстояний от точки P(x, y, z) до осей Ox, Oy, Oz соответственно равны
x 2  y 2 , x 2  z 2 , x 2  y 2 , то полагая для простоты   1, получим следующие формулы :
I x   ( y 2  z 2 )dv , I y   ( x 2  z 2 )dv , I z   ( x 2  y 2 )dv.



Аналогично плоскому случаю интегралы
I xy   xydv , I yz   yzdv , I zx   zxdv



- называются центробежными моментами инерции.
Для полярного момента инерции формула имеет вид:
I 0   ( x 2  y 2  z 2 )dv.

Если тело неоднородное, то в каждой формуле под знаком интеграла будет находиться
 ( x, y , z)
дополнительный множитель
– плотность тела в точке P.
Пример. Вычислим полярный момент инерции однородного шара радиуса R. В этом случае очень
удобно перейти к сферическим координатам. Будем иметь


4  R 5 3
I 0    sin  d  d  r r dr 
 MR 2 ,
5
5
0
0
0
R
2 2
где М – масса шара.
Так как для сферы моменты инерции относительно осей координат, очевидно, равны между собой,
то, учитывая, что
Ix  I y  Iz 
I x  I y  I z  2I0 ,
2
MR 2 .
5
получим
Моменты инерции тела относительно оси играют важную роль при вычислении кинетической
энергии тела при его вращении около соответствующей оси. Пусть тело  вращается около оси Оz с
постоянной угловой скоростью
.
Найдем кинетическую энергию
J z тела. Как известно, кинетическая
1 2
mv
энергия точки измеряется величиной 2
, где т – масса точки, а v – величина ее скорости.
Кинетическая энергия системы точек определяется как сумма кинетических энергий отдельных точек, а
кинетическая энергия тела – как сумма кинетических энергий всех частей, на которые оно разбито. Это
обстоятельство позволяет применить для вычисления кинетической энергии интеграл.
Возьмем какую-нибудь окрестность
точки Р при вращении около оси Оz равна
выразится так :
dv точки Р(х, у, z) тела  . Величина линейной скорости v
 x2  y2 ,
и значит, кинетическая энергия части
dv тела 
1
 ( P)dv 2 ( x 2  y 2 ),
2
 ( P)   ( x , y , z ) – плотность тела в точке Р. Для кинетической энергии всего тела 
где
получаем
1
1
J z   2 ( x 2  y 2 ) ( P)dv   2  ( x 2  y 2 ) ( P)dv,
2
2


1 2
Jz   Iz .
2
т.е.
Кинетическая энергия тела, вращающегося около некоторой оси с постоянной угловой скоростью,
равна половине квадрата угловой скорости, умноженной на момент инерции тела относительно оси
вращения.
1.7 Приложения тройных интегралов интеграл инерция статистический
V:
V   dxdydz
1) Объем тела
V
V плотности:
M    ( x, y, z )dxdydz
2) Масса тела
V
V относительно координатных осей и начала координат:
I xx   ( y  z ) ( x, y, z )dxdydz
3) Моменты инерции тела
2
2
V
I yy     ( x 2  z 2 ) ( x, y, z )dxdydz
V
I zz     ( x 2  y 2 ) ( x, y, z )dxdydz
V
I 0    ( x 2  y 2  z 2 ) ( x, y, z )dxdydz
V
4) Статистические моменты тела относительно координатных плоскостей
Oyz , Oxy , Oxz :
M yz   x ( x, y, z )dxdydz
V
M xz   y ( x, y, z )dxdydz
V
M xy   z ( x, y, z )dxdydz
V
5) Координаты центра масс тела:
x0 
   x ( x, y, z )dxdydz
V
    ( x, y, z )dxdydz

M yz

M xz
M

M xy
M
V
y0 
   y ( x, y, z )dxdydz
V
    ( x, y, z )dxdydz
V
z0 
   z ( x, y, z )dxdydz
V
    ( x, y, z )dxdydz
M
V
Рассмотрим приложения тройных интегралов на конкретных задачах с использованием mathcad.
Для ввода оператора тройного интеграла достаточно три раза нажать на пиктограмму интеграла на
панели инструментов Calculus.
2. Примеры решения двойных интегралов.
Пример 1
Найти объем тела, ограниченного плоскостями
x  1; y  2; z  3; x  0; y  0; z  0
*
V неравенствами:
V  0  x  1; 0  y  2; 0  z  3
Зададим область
*
Решение в MathCad:
Ответ: 6
Пример 2
Найти массу тела, ограниченного плоскостями
плотности
x  1; y  2; z  3; x  0; y  0; z  0
  x  y.
V * неравенствами:
V * : 0  x  1; 0  y  2; 0  z  3
Зададим область
Решение в MathCad:
Ответ: 15
Пример 3
Найдите моменты инерции тела, ограниченного плоскостями
и плотностью
  x y
относительно координатных осей и начала координат.
Решение в MathCad:
Зададим область V неравенствами:
V : 0  x  1; 0  y  2; 0  z  3
Ответ: 29
x  1; y  2; z  3; x  0; y  0; z  0
3. Оценка + я.
В огромном количестве случаев нам приходится достаточно кропотливо решать интегралы без права на
ошибку. Будь то высшая математика, физика, компьютерное моделирование или попытка вычислить
объем чайника. При вычислении вручную, нам свойственно совершать ошибки. Я считаю, что данная
тема полезна как студентам, так и преподавателям для самопроверки, ведь "Человек рожден, чтобы
ошибаться".
Во время поиска информационных источников возникли сложности по нахождению прикладного
применения в MathCad тройного интеграла. В данной среде не часто считают тройные интегралы, но
почему так? Я был приятно удивлен, когда узнал о свойстве данной программы грубо округлять числа.
Символьный процессор "угадывает" точное значение интеграла, а вычислительный определяет его
приближенно и выдает в виде числа с плавающей запятой. На более ранних курсах мы проходили
свойства и примеры работы с мантиссами, все тонкости округлений и приближений.
Возможно, для вычисления простого интеграла, погрешности не существенные, но в моем первом
примере при пересчете "вручную" получился иной ответ.
Я считаю, что данная работа дала мне понять, что никому нельзя доверять.
4. Литература.
http://habrahabr.ru/
http://ru.wikipedia.org/
http://exponenta.ru/
http://intuit.ru/