ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ (Задачи из

ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ
(Задачи из материалов жюри олимпиады имени К.И. Сатпаева)
Горшков Борис Николаевич,
тренер областной школы олимпийского резерва «Жалын»
1. Имеется 13 гирь, каждая из которых весит целое число граммов. Известно,
что любые 12 из них можно так разложить на 2 чашки весов, по 6 гирь на
каждой, что наступит равновесие. Докажите, что все гири имеют один и тот
же вес.
2. По поляне, имеющей форму равностороннего треугольника со стороной
100 м, бегает волк. Охотник убивает волка, если стреляет в него с расстояния
не более 30 м. Доказать, что охотник может убить волка, как бы быстро тот
ни бегал.
3. В старой усадьбе дом обсажен по кругу высокими деревьями — елями,
соснами и березами. Всего деревьев 96. Эти деревья обладают странным
свойством: из двух деревьев, растущих через одно от любого хвойного —
одно хвойное, а другое лиственное, и из двух деревьев, растущих через три
от любого хвойного — тоже одно хвойное, а другое лиственное. Сколько
берез посажено вокруг дома?
4. Каждый зритель, купивший билет в первый ряд кинотеатра, занял одно из
мест в первом ряду. Оказалось, что все места в первом ряду заняты, но
каждый зритель сидит не на своём месте. Билетёр может менять местами
соседей, если оба сидят не на своих местах. Всегда ли он может рассадить
всех на свои места?
Штерн Александр Савельевич,
кандидат физико-математических наук,
доцент Омского государственного университета имени Ф.М. Достоевского,
руководитель Центра дополнительного образования «Перспектива» (Россия, г.Омск)
1. На столе лежат карточки, на которых по порядку написаны числа от 1 до
2003. Две карточки разрешается поменять местами, если число, написанное
на одной из этих карточек, делится на число, написанное на другой. Можно
ли, делая так много раз, переложить карточки в обратном порядке: 2003,
2002, …, 2, 1?
2. Десять команд сыграли однокруговой футбольный турнир, причем
некоторые игры завершились вничью. Оказалось, что ни для какой тройки
команд количество ничьих среди трех сыгранных между собой матчей не
равно 1. Какое наименьшее число матчей в этом турнире могло закончиться
вничью?
3. На доске выписаны все натуральные числа от 1 до 41. Каждую минуту два
числа стирают, а вместо них пишут другое число. При этом каждую
нечётную минуту записывается сумма двух стёртых чисел, а каждую чётную
минуту – разность между большим и меньшим из них. Может ли через 1000
минут на доске остаться единица?
4. По кругу выписаны три числа. Если отметить любое из этих чисел и
умножить на стоящее за ним по часовой стрелке, то полученное
произведение будет больше отмеченного числа. Может ли сумма
выписанных чисел быть равна двум?
5. На листе бумаги написаны все натуральные числа от 1 до 100. Некоторые
числа написаны синими чернилами, а некоторые – красными. Если сложить
два разных числа одного цвета, и полученная сумма не будет превосходить
100, то она будет иметь тот же цвет, что и слагаемые. Сколько синих чисел
может быть среди написанных?
Чернышов Павел Валерьевич,
преподаватель математики Областного центра работы с одарёнными детьми
Правительства Новосибирской области, Воскресной научной школы (Россия,
г.Новосибирск)
1. В коробке лежат 20 мандаринов. Известно, что любые 11 из них весят в
сумме больше одного килограмма, а любые 10 — меньше одного
килограмма. Докажите, что найдётся мандарин, весящий от 90 до 100
граммов.
2. AF — медиана треугольника АВС, D — середина отрезка AF, Е — точка
пересечения прямой CD со стороной АВ. Оказалось, что BD = BF = CF.
Докажите, что АЕ = DE.
3. Учительница Мария Ивановна задумала двузначное число. При этом она
сообщила трём своим ученикам Пете, Васе и Толе следующее: «это число то
ли кончается на 5, то ли делится на 7»; «это число то ли больше 20, то ли
кончается на 9»; «это число то ли делится на 12, то ли меньше 21». Всё,
сказанное Марией Ивановной, – правда. Помогите Пете, Васе и Толе найти
число.
4. 100 светящихся кнопок расположены в виде квадрата 10 × 10. Нажатие на
кнопку приводит к изменению состояния всех кнопок, находящихся с ней в
одной строке и всех кнопок, находящихся с ней в одном столбце (включая
саму кнопку). Вначале все кнопки погашены. За какое наименьшее число
нажатий можно добиться того, чтобы все кнопки светились?
5. Сколько решений имеет ребус: Ц > Ы > П > Л > Ё > Н > О > К? (Разные
буквы обозначают разные цифры.)
6. Разрежьте какой-нибудь треугольник на четыре выпуклые фигуры:
треугольник, четырёхугольник, пятиугольник и шестиугольник.
P.S. Решения тренировочных задач по математике принимаются до 21
ноября т.г. только в рабочей тетради и только от павлодарских
школьников по адресу: РНПЦ «Ертіс дарыны», ул.Ленина, 127,
лаборатория интеллектуального развития, тел. 8 (8172) 32-10-38, 61-8129