специальность 02.06.01 - Математико

Программа вступительного экзамена
в аспирантуру по направлению
02.06.01 Компьютерные и информационные науки
Образовательная программа «Вычислительная математика и кибернетика»
Санкт-Петербург
2015
Вычислительная математика и исследование операций
I. Функциональный анализ.
1. Топологические и метрические пространства.
Общие сведения о множествах. Полнота и сепарабельность. Компактность в метрических
пространствах.
2. Векторные пространства.
Основные определения. Линейные операторы и функционалы. Выпуклые множества и
полунормы. Теорема Хана-Банаха.
3. Нормированные пространства.
Основные определения и свойства. Нормированные пространства измеримых функций
и последовательностей. Гильбертово пространство.
4. Линейные операторы и функционалы.
Пространство операторов и сопряженное пространство. Функционалы и операторы в
конкретных пространствах. Линейные операторы и функционалы в гильбертовом
пространстве. Распространение линейных операторов. Последовательность линейных
операторов. Основные теоремы. Некоторые приложения к теории функций.
5. Компактные и сопряженные операторы.
Компактные множества в нормированных пространствах. Компактные операторы.
Сопряженные операторы. Компактные самосопряженные операторы в гильбертовом
пространстве. Интегральное представление самосопряженного оператора.
6. Интегральные операторы.
Интегральное представление операторов. Операторы в пространствах последовательностей
и в пространствах функций. Теоремы вложения Соболева.
7. Функциональные уравнения.
Сопряженное уравнение. Уравнения с компактным ядром. Спектр. Резольвента.
Альтернатива Фредгольма. Применение к интегральным уравнениям.
8. Общая теория приближенных методов.
Общая теория уравнений второго рода. Уравнения, приводящиеся к уравнениям второго
рода. Применения к бесконечным системам уравнений, к интегральным и
дифференциальным уравнениям.
9. Дифференцирование нелинейных операторов. Теорема о неявной функции. Метод
Ньютона и его применение к конкретным функциональным уравнениям.
II. Уравнения математической физики.
1. Интегралы, зависящие от параметра.
2. Средние функции и обобщенные производные.
3. Пространства функций с обобщенными производными.
4. Положительно определенные операторы.
5. Собственный спектр положительно определенного оператора.
6. Уравнения и краевые задачи.
7. Характеристики. Канонический вид. Формулы Грина.
8. Обобщенные решения дифференциальных уравнений.
9. Уравнение Лапласа и гармонические функции.
10. Задачи Дирихле и Неймана.
11. Теория потенциала. Интегральные уравнения теории потенциала.
12. Вариационный метод. Слабые решения.
13. Спектр задач Дирихле и Неймана.
14. Уравнение теплопроводности и задача Коши для него.
15. Волновое уравнение и задача Коши для него.
16. Метод Фурье.
III. Численные методы.
1. Численное решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений.
2
2. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
3. Вычисление собственных значений и собственных векторов матриц.
4. Интерполирование. Алгебраическое интерполирование. Тригонометрическое
интерполирование. Эрмитово интерполирование. Алгебраические многочлены наилучшего
равномерного приближения.
5. Численное интегрирование.
6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
7. Решение дифференциальных уравнений в частных производных.
8. Решение интегральных уравнений второго рода.
Литература
1. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. 1977.
Часть 1, главы 1. 2. 4-7, 9, 11.
Часть 2, главы 12-14, 17, 18
(или соответствующие главы из других изданий этой книги)
2. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. 1977.
3. Главы 1-5, 8-12, 15, 17, 18, 20-24.
4. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы высшей
математики. Минск. Т.1, 1972. Т.2, 1975.
Глава 1.
Глава 2: §§ 2.1, 2.2, 2.3, 2.6
Глава 3: §§ 3.1, 3.2, 3.5, 3.6
Глава 4: §§ 4.1-4.5
Глава 5: §§ 5.1-5.6, 5.11
Главы 6, 7, 8
5. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в
гильбертовом пространстве. 2010.
6. Уоткинс Д. Основы матричных вычислений. 2006.
7. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. 2002.
8. Даугавет И.К. Теория приближенных методов. Линейные уравнения. 2006.
9. Даугавет И.К. Введение в классическую теорию приближения функций. 2011.
Теоретическая кибернетика
1. Линейная теория регулирования
1. Способы задания динамических блоков. Понятие динамического оператора.
2. Управляемые системы. Теорема об эквивалентности 4-х условий управляемости. Свойства
управляемых систем.
3. Полная система инвариантов при линейных преобразованиях состояния системы для
множества управляемых пар.
4. Приведение управляемых систем к стандартному виду.
5. Наблюдаемые системы. Свойства наблюдаемости. Теорема двойственности Калмана.
6. Полная система инвариантов для наблюдаемых систем, а также для управляемых и
наблюдаемых систем.
7. Синтез системы по передаточной функции.
8. Преобразование обратной связи. Полная система инвариантов при преобразованиях
обратной связи.
9. Теорема о произвольном изменении спектра матрицы коэффициентов при
преобразованиях обратной связи.
3
10. Критерий Михайлова - Найквиста.
Литература:
1. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М., 1979, гл. 1,2,5.
2. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. М., 1986, гл. 1, 2, 3, 6, 7.
3. Справочник по теории автоматического управления. Под ред. Красовского А.А., М., 1987,
гл. 1, 2.
4. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с
неединственным состоянием равновесия. М., 1978, гл. 1.
2. Частотные методы исследования нелинейных систем
(нелинейная теория регулирования)
1. Частотная теорема.
2. S - процедура. Теоремы Дайнса и Хаусдорфа.
3. Нелинейные системы квадратичного топологического типа.
4. Квадратичный критерий для локальных и интегральных связей.
5. Свойства решений систем квадратичного топологического типа.
6. Круговой критерий (скалярный и матричный случай).
7. Критерий Попова.
8. Критерий абсолютной устойчивости (неустойчивости) для дифференцируемых
нелинейностей.
9. Критерии автоколебаний.
10. Диссипативность. Квадратичный критерий диссипативности. Частотные критерии
диссипативности для одной нелинейности.
11. Частотные условия существования и устойчивости в целом вынужденных режимов: а)
периодических; б) почти периодических; в) стационарных.
Литература:
1. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М., 1979, гл. 1, 2, 5.
2. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. М., 1986, гл. 1, 2, 3, 6, 7.
3. Справочник по теории автоматического управления. Под ред. Красовского А.А., М., 1987,
гл. 1, 2.
4. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с
неединственным состоянием равновесия. М., 1978, гл.1.
5. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. М., 1975, гл. 2, 3.
3. Теория оптимального управления
1. Постановка задачи об оптимальном управлении. Связь с вариационным исчислением.
Абстрактная задача об оптимальном управлении.
2. Абстрактная задача оптимизации без дополнительных ограничений. Лемма о приращении
сложной функции . Дифференцирование сложной функции по пучку кривых. Теоремы о
необходимых условиях экстремума.
3. Дифференцирование интегрального функционала по пучку простых игольчатых вариаций.
4
4. Абстрактный принцип максимума в задаче без дополнительных ограничений.
5. Условия, при которых абстрактный принцип максимума — достаточный критерий
оптимальности.
6. Принцип максимума Понтрягина для обыкновенных дифференциальных уравнений (в
задаче без дополнительных ограничений): а) как необходимое условие; б) как достаточное
условие.
7. Вариационное исчисление. Уравнение Эйлера. Два условия Эрдмана-Вейерштрасса.
Условие Лежандра. Условие Вейерштрасса.
8. Аналитическая теория конструирования оптимальных регуляторов (нестационарные
системы, конечный временной интервал). Уравнение Лурье — Риккати.
9. Аналитическая теория конструирования оптимальных регуляторов ( стационарные
системы, бесконечный временной интервал). Уравнение Лурье.
10. Частотная теорема.
11. Фильтрация. Фильтр Калмана (нестационарные системы, конечный временной
интервал).
12. Фильтрация. Фильтр Винера-Калмана (стационарные системы, бесконечный временной
интервал).
Литература:
1. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая
теория оптимальных процессов. М., 1973.
2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.,1979.
3. Матвеев А.С., Якубович В.А. Абстрактная теория оптимального управления. Сиб.
Матем.журнал: 1) т.8, № 3, 1977, с.685-707; 2) т.19, №2, 1978, с.436-460; Ш, т.20, № 4, 1979,
с.385-410.
4. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация
1. Байесовские критерии (1, §1.2).
2. Элементы регрессионного анализа (1, § 1.3).
3. Элементы теории оценивания (1, §1.4).
4. Конечно-сходящиеся алгоритмы и их стохастические аналоги (1, § 2.1).
5. Метод стохастической аппроксимации в задаче самообучения (1, § 2.2).
6. Рекуррентное байесовское оценивание (1, § 2.3).
7. Робастное оценивание (3, гл.4).
8. Абсолютно оптимальные алгоритмы идентификации (3, гл.З).
9. Модифицированные алгоритмы идентификации (3, гл.8).
10. Фильтр Винера - Колмогорова (1, § 3.1).
11. Фильтр Калмана - Бьюси (1, § 3.2).
12. Применение принципа максимума в теории фильтрации (2, § 27).
13. Оптимальная фильтрация коррелированных сигналов (2, § 30).
14. Экстраполяция и интерполяция случайных последовательностей (2, § 32).
15. Глобальная теория фильтрации (2, § 29).
16. Минимаксная фильтрация (1, § 3.3).
5
17. Адаптивные фильтры (1, § 4.3).
Литература:
1. Фомин В.Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация. М., Наука, 1984.
2. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление М., 1978.
3. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. М.,1984.
5. Оптимальная фильтрация
1. Линейное оценивание случайных процессов в классе устойчивых фильтров.
2. Причинное пространство и финитные в нем операторы.
3. Расширенное причинное пространство и линейные в нем преобразования.
4. Связь устойчивости и каузальности операторов в расширенном причинном пространстве.
5. Абстрактный вариант теории Винера - Колмогорова оптимального оценивания случайных
элементов.
6. Оптимальное оценивание случайных элементов в пространстве с дискретной временной
структурой.
7. Спектральная факторизация положительных операторов.
8. «Усиленная» спектральная факторизация.
9. Структура оптимального фильтра в случае дискретного времени. Формула Боде Шеннона.
10. Спектральная факторизация положительных операторов в дискретном причинном
пространстве.
11. Связь задачи спектральной факторизации с задачей минимизации квадратичных
функционалов.
Литература:
1. Петров О.А., Фомин В.Н. Линейная фильтрация случайных процессов. Уч. пособие. Л.,
1991.
2. Фомин В.Н. Операторные методы теории линейной фильтрации случайных процессов.
СПб., 1995.
3. Яглом А.М. Корреляционная теория стационарных случайных процессов. Л., 1981.
Информатика, исследование операций и прикладная кибернетика
1. Матричная алгебра
Конечномерное линейное пространство. Линейные комбинации. Линейная независимость.
Полнота. Базис. Линейный оператор в конечномерном линейном пространстве. Матрица.
Замена базиса. Свойства определителей. Разрешимость квадратных систем линейных
алгебраических уравнений. Обратная матрица. Прямоугольные системы: теорема Кронекера
- Капелли. Характеристический многочлен. Теорема Гамильтона - Кэли. Минимальный
многочлен вектора и матрицы. Собственные числа и собственные векторы. Инвариантное
подпространство. Жорданова форма. Унитарное пространство. Эрмитовы и унитарные
матрицы. Нормальные матрицы. Существование ортонормированного собственного базиса у
нормальной матрицы. Спектр эрмитовой и унитарной матриц. Квадратичные формы:
определение. Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к сумме
6
квадратов методом Лагранжа. Положительно определённые формы. Критерий Сильвестра.
Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов.
Литература
Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., Наука, 1967.
Глазман И.М. Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ.
2. Теория функций действительной переменной
Интеграл Римана. Алгебра множеств,  -алгебра множеств. Определение счётноаддитивной меры. Мера Каратеодори. Прямое произведение мер. Мера Лебега в R. Интеграл
Лебега. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла. Пространства L2 , l2 . Ряды и
интегралы Фурье. Преобразования Фурье и Лапласа. Неравенства Коши-Буняковского,
Гёльдера, Минковского.
Литература
Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.-Л., 1950.
Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М., 1962.
3. Теория функций комплексной переменной
Определение аналитической функции. Условия Коши-Римана. Теоремы Коши и Морера.
Формула Коши. Принцип максимума модуля. Разложение аналитической функции в ряд
Тейлора. Круг сходимости. Ряд Лорана. Классификация особенностей. Вычисление
интеграла по контуру, включающему изолированные особенности. Вычеты. Экспонента и
тригонометрические функции. Формула Эйлера. Многозначные аналитические функции.
Корень и логарифмы. Приращение аргумента. Принцип аргумента и теорема Руше. Функции
от матриц и проектор Рисса. Пространства Харди в круге и в полуплоскости. Две теоремы
Винера - Пели.
Литература
Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М., 1954.
Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М.,1963.
4. Функциональный анализ
1. Линейные нормированные пространства. Полунормы и нормы. Их свойства. Теорема о
топологиях, задаваемых семейством полунорм.
2. Банаховы и Гильбертовы пространства. Ограниченные и неограниченные операторы.
Линейные функционалы.
3. Теорема Стоуна - Вейерштрасса.
4. Неравенства Гёльдера и Минковского.
5. Гильбертовы пространства (скалярное произведение, его свойства, теоремы об
ортогональной проекции).
6. Полнота.
7. Теорема об ортогональном разложении. Неравенство Бесселя,
неравенство Парсеваля.
7
8.Теорема Рисса об общем виде функционала в гильбертовом пространстве.
9. Теорема Банаха - Штейнгауза.
10. Теорема Банаха о замкнутом графике.
11. Теорема Хана - Банаха.
12. Слабые и сильные топологии. Их свойства.
13. Теорема Хаусдорфа и критерии компактности.
14. Вполне непрерывные операторы и теорема об их свойствах.
15. Нормальные и самосопряжённые операторы. Теорема Гильберта - Шмидта.
16. Дифференциалы Фреше и Гато.
17. Теорема о неявной функции и её применения.
18. Исчисление дифференциалов Фреше и Гато.
Литература
1.
2.
3.
4.
Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М., 1984.
Рудин Ч. Функциональный анализ. М., 1975.
Балакришнан А.В. Прикладной функциональный анализ. М., 1980.
Картан А. Дифференциальное исчисление. М., 1971.
5. Логика и теория алгоритмов
1. Исчисление высказываний и его свойства.
2. Исчисление предикатов первого порядка и его свойства.
3. Исчисление предикатов с равенством.
4. Формальная арифметика.
5. Теорема Геделя о неполноте арифметики.
6. Машины Тьюринга.
7. Нормальные алгорифмы.
8. Элементарные по Кальмару алгорифмы.
9. Перечисление графов.
10. Теорема Пойа.
11. Анализ сложности алгоритма сортировки Шелла.
12. Алгоритмы глобального анализа графов.
13. Эквивалентность некоторых комбинаторных задач. Классы Р и NP. NP-трудные и NPполные задачи.
Литература
Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. —МЦНМО, 1999.
Косовский Н. К. Основы теории элементарных алгоритмов. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та,
1987.
Успенский В. А., Семенов А. Л. Теория алгоритмов: основные открытия и
приложения. — М.: Наука, 1987.
4.Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. —
М.: Мир, 1998.
Харари Ф.,Палмер Д. Перечисление графов. — М.: Мир, 1982.
Кнут Дональд. Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы (3-е изд.). —
М.: Издательский дом "Вильямс", 2000.
6. Теория формальных языков и трансляций
8
1. Формальные грамматики, их основные классы. КС-грамматики и деревья выводов в
них. Приведенные и неукорачивающие КС-грамматики. Нормальные формы
неукорачивающих КС-грамматик.
2. Однозначность и существенная неоднозначность КС-языков. Примеры не КС-языков.
3. Автоматные грамматики и конечные автоматы. Регулярные выражения.
Детерминированные конечные автоматы.
4. МП-автоматы различных типов, их эквивалентность КС-грамматикам.
Детерминированные автоматы и языки, их основные свойства.
5. LR(k)-грамматики и языки, их основные свойства.
6. Определение трансляции как формального объекта.
7. Простые синтаксически-управляемые трансляции. Эквивалентность простых схем
синтаксически-управляемых трансляций и недерминированных магазинных
преобразователей.
8. Эквивалентность магазинных преобразователей, реализующих трансляции при
конечном состоянии и при пустом магазине.
9. Простые семантически однозначные схемы синтаксически-управляемых трансляций и
детерминированные магазинные преобразователи.
10. Определение класса LL(k)-грамматик. Необходимые и достаточные признаки LL(k)грамматик.
11. Алгоритм тестирования КС-грамматики на ее принадлежность классу LL(k)грамматик для заданного значения k.
12. Специальные необходимые и достаточные условия LL(1)-грамматик. Сильные LL(k)грамматики.
13. k-предсказывающие алгоритмы анализа и трансляции, задаваемые при помощи kпредсказывающих алгоритмов анализа (использование этих алгоритмов в качестве
анализаторов LL(k)-языков).
14. LL(k)-таблицы. Построение множества необходимых и достаточных таблиц для
анализа LL(k)-языков.
15. Оценка числа шагов k-предсказывающего алгоритма анализа.
16. Реализация простых семантически однозначных трансляций с входными языками
класса LL(k) при помощи k-предсказывающих алгоритмов трансляции.
Литература
1. Ахо А., Ульман Дж. Теория синтаксического анализа, перевода и компиляции. В 2-х
т. — М.: Мир, 1978.
2. Мартыненко Б. К. Синтаксически управляемая обработка данных — СПб.: Изд-во
СПбГУ, 1997.
3.Фитиалов С. Я. Формальные грамматики. — Л.: Изд-во ЛГУ. — 1984.
7. Компьютерное моделирование динамических систем
1.Динамические системы. Определения. Фазовое пространство динамических систем.
Неподвижные и периодические точки дискретных динамических систем, типы
устойчивости.
2. Понятие чувствительной зависимости от начальных данных. Хаотические режимы.
3.Логистическое уравнение. Бифуркация удвоения периода, константа Фейгенбаума.
Логистическое уравнение для   4 . Канторово множество и его построение с помощью
логистического уравнения.
4.Фрактальные множества и фрактальные размерности. Хаусдорфова размерность.
Алгоритмы вычисления размерностей.
9
5.Характеристики хаотического движения: показатель Ляпунова. Показатель Ляпунова
для треугольного и логистического уравнений. Алгоритмы вычисления ляпуновских
показателей.
6.Аттракторы динамических систем. Определение и примеры.
7.Методы построения инвариантных многообразий седловых гиперболических точек
плоскости. Гомоклинические точки.
8.Приближенное интегрирование траекторий. Устойчивость численных методов.
9.Исследование динамических систем методами символической динамики. Пространства
сдвига, клеточные отображения, символический образ.
10. Клеточные автоматы. Связь клеточных автоматов с теорией формальных языков и
грамматик.
11.Методы нелинейной динамики для анализа временных рядов. Реконструкция
аттракторов. Теорема Такенса.
Литература
Шарковский А.Н.,Коляда С.Ф., Сивак А.Г., Федоренко В.В. Динамика одномерных
отображений. Киев: Наукова думка, 1989.
Parker T.S, Chua L.O. Practical numerical algorithms for chaotic systems. N. Y., 1989.
Г.Г.Малинецкий, А.Б. Потапов. Современные проблемы нелинейной динамики. М. 2000.
П.Биллингслей. Эргодическая теория и информация. М.1969.
ОсипенкоГ.С. О символическом образе динамической системы, сб. Граничные задачи,
Пермь, 1983, 101-105.
8. Линейная теория регулирования
1. Способы задания динамических блоков. Понятие динамического оператора.
2. Управляемые системы. Теорема об эквивалентности 4-х условий управляемости. Свойства
управляемых систем.
3. Полная система инвариантов при линейных преобразованиях состояния системы для
множества управляемых пар.
4. Приведение управляемых систем к стандартному виду.
5. Наблюдаемые системы. Свойства наблюдаемости. Теорема двойственности Калмана.
6. Полная система инвариантов для наблюдаемых систем, а также для управляемых и
наблюдаемых систем.
7. Синтез системы по передаточной функции.
8. Преобразование обратной связи. Полная система инвариантов при преобразованиях
обратной связи.
9. Теорема о произвольном изменении спектра матрицы коэффициентов при
преобразованиях обратной связи.
10. Критерий Михайлова - Найквиста.
Литература
Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М., 1979, гл. 1,2,5.
Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. М., 1986, гл. 1, 2, 3, 6, 7.
Справочник по теории автоматического управления. Под ред. Красовского А.А., М.,
1987, гл. 1, 2.
Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с
неединственным состоянием равновесия. М., 1978, гл. 1.
10
Статистическое моделирование
1.Теория вероятностей
1.Случайные события и их вероятности
Аксиомы теории вероятностей. Вероятность и ее свойства.
Распределение, функция распределения, плотность распределения.
Их свойства. Типы распределений.
2.Числовые характеристики случайных величин.
Математическое ожидание и его свойства.
Моменты случайных величин.
Неравенство Чебышева и Йенсена.
Корреляционная матрица и ее свойства.
3. Характеристические функции
Многомерное нормальное распределение.
4. Сходимость случайных величин
Типы сходимости и связь между ними.
Слабая сходимость распределений .
Слабый закон больших чисел.
Центральная предельная теорема.
5. Последовательность независимых случайных величин
Закон нуля и единицы.
Неравенство Колмогорова.
Усиленный закон больших чисел.
6. Дискретные цепи Маркова
Классификация марковских цепей.
Матрица перехода и ее свойства.
Теорема о предельном поведении переходных вероятностей в марковской цепи.
7. Условные вероятности и условные математические ожидания.
II. Математическая Статистика
1. Основные понятия.
Гистограммы. Числовые характеристики реальных данных.
Генеральная и выборочная совокупности.
Функция правдоподобия.
Статистики. Достаточные статистики.
2. Принцип выбора точечных оценок.
Эффективность, несмещенность, состоятельность.
Неравенство Рао-Крамера.
Свойство выборочных характеристик.
3. Методы построения точечных оценок.
Метод моментов.
Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок.
Метод наименьших квадратов. Свойства оценок.
4. Построение доверительных интервалов.
Построение доверительных интервалов для параметров нормального распределения.
5. Проверка статистических гипотез.
Общая проверка гипотез.
Два рода ошибок статистических исследований.
Лемма Неймана-Пирсона.
Критерий
Гипотезы однородности, независимости, согласия.
11
Проверка гипотез о параметрах нормального распределения.
…Параметрические и непараметрические критерии
6. Многомерная статистика.
Регрессионный анализ (общая схема).
Частотные, множественные и канонические коэффициенты корреляции.
Ранговый коэффициент корреляции.
Метод главных компонент.
Дисперсионный анализ (однофакторная схема).
III. Метод Монте-Карло
1. Моделирование случайных величин.
Основные методы получения псевдослучайных чисел.
Моделирование случайных величин с заданным распределением.
Понятие имитационной модели.
Моделирование марковских процессов.
2. Методы оценивания интегралов.
3. Оценки по поглощению для решения интегральных уравнений.
IV. Методы вычислений
1. Действия с приближенными величинами.
2. Решение алгебраических уравнений.
3. Решение систем линейных уравнений.
Метод исключения Гаусса.
Метод простой итерации.
4. Задача интерполирования. Интерполяционный многочлен Лежандра.
5. Численное дифференцирование и интегрирование.
6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
Метод Рунге-Кутта.
7. Вопросы общей теории решения дифференциальных и интегральных уравнений.
Основные понятия. Теорема о близких уравнениях. Теорема сходимости.
8. Решение интегральных уравнений.
Методы замены ядра на вырожденное.
Метод механических квадратур.
9. Решение дифференциальных уравнений.
Проекционные методы.
Метод Галеркина для уравнений II-рода.
Метод Ритца.
10.Метод сеток решения задач математической физики.
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Ширяев А.Н. Вероятность. М., МЦНМО, 2007.
Боровков А.А. Теория вероятностей. М., Либроком, 2009
Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука 1996
Розанов Ю.А. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные
процессы, Наука, 1989.
Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М., Наука, 1973.
Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. М., Наука,
1982.
Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.: ЛКИ, 2010.
Ермаков С.М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике. Вводный курс. СПб.: Невский Диалект, М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009. - 192 с.
12
9. Дрейпер Н., Смит Г., Прикладной регрессионный анализ. Множественная
регрессия. М.Диалектика, 2011.
10. Лагутин М. Наглядная математическая статистика, Бином, 2013.
11. Крамер Г. Математические методы в статистике. М., РХД, 2003.
12. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений, СПб, Изд-во С.-Петербургского
университета, 1998.
13. Хакимзянов Г. С., Черный С. Г. Методы вычислений: В 4 ч. Новосибирск: НГУ,
2003
14. Канторович А.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. BHV-Санкт-Петербург,
Невский Диалект, 2004.
15. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М., Наука, 1970.
16. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. Введение в теорию. М., Наука,
1977.
Доп. литература
1. Феллер В. Теория вероятностей и ее приложения. т. 1,2 - М.:Мир, 1984.
2. Биллингсли Л. Сходимость вероятностных мер. М., Наука, 1981.
3. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983.
4. Кендалл М., Стьюарт А.Г. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973.
5. Рао С. Линейные статистические выводы. М.: Наука, 1968.
6. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М., Наука, 1979.
7. Березин И.С., Жидков М.В. Методы вычислений. М., Физматгиз, 1962.
Системное программирование
1. Матричная алгебра
Конечномерное линейное пространство. Линейные комбинации. Линейная независимость.
Полнота. Базис. Линейный оператор в конечномерном линейном пространстве. Матрица.
Замена базиса. Свойства определителей. Разрешимость квадратных систем линейных
алгебраических уравнений. Обратная матрица. Прямоугольные системы: теорема Кронекера
- Капелли. Характеристический многочлен. Теорема Гамильтона - Кэли. Минимальный
многочлен вектора и матрицы. Собственные числа и собственные векторы. Инвариантное
подпространство. Жорданова форма. Унитарное пространство. Эрмитовы и унитарные
матрицы. Нормальные матрицы. Существование ортонормированного собственного базиса у
нормальной матрицы. Спектр эрмитовой и унитарной матриц. Квадратичные формы:
определение. Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к сумме
квадратов методом Лагранжа. Положительно определённые формы. Критерий Сильвестра.
Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов.
Литература
1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., Наука, 1967.
2. Глазман И.М. Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ.
2. Теория функций действительной переменной
Интеграл Римана. Алгебра множеств,  -алгебра множеств. Определение счётноаддитивной меры. Мера Каратеодори. Прямое произведение мер. Мера Лебега в R. Интеграл
Лебега. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла. Пространства L2 , l2 . Ряды и
интегралы Фурье. Преобразования Фурье и Лапласа. Неравенства Коши-Буняковского,
Гёльдера, Минковского.
13
Литература
1. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.-Л., 1950.
2. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М., 1962.
3. Теория функций комплексной переменной
Определение аналитической функции. Условия Коши-Римана. Теоремы Коши и Морера.
Формула Коши. Принцип максимума модуля. Разложение аналитической функции в ряд
Тейлора. Круг сходимости. Ряд Лорана. Классификация особенностей. Вычисление
интеграла по контуру, включающему изолированные особенности. Вычеты. Экспонента и
тригонометрические функции. Формула Эйлера. Многозначные аналитические функции.
Корень и логарифмы. Приращение аргумента. Принцип аргумента и теорема Руше. Функции
от матриц и проектор Рисса. Пространства Харди в круге и в полуплоскости. Две теоремы
Винера - Пели.
Литература
1. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М., 1954.
2. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М.,1963.
4. Функциональный анализ
1. Линейные нормированные пространства. Полунормы и нормы. Их свойства. Теорема о
топологиях, задаваемых семейством полунорм.
2. Банаховы и Гильбертовы пространства. Ограниченные и неограниченные операторы.
Линейные функционалы.
3. Теорема Стоуна - Вейерштрасса.
4. Неравенства Гёльдера и Минковского.
5. Гильбертовы пространства (скалярное произведение, его свойства, теоремы об
ортогональной проекции).
6. Полнота.
7. Теорема об ортогональном разложении. Неравенство Бесселя,
неравенство Парсеваля.
8.Теорема Рисса об общем виде функционала в гильбертовом пространстве.
9. Теорема Банаха - Штейнгауза.
10. Теорема Банаха о замкнутом графике.
11. Теорема Хана - Банаха.
12. Слабые и сильные топологии. Их свойства.
13. Теорема Хаусдорфа и критерии компактности.
14. Вполне непрерывные операторы и теорема об их свойствах.
15. Нормальные и самосопряжённые операторы. Теорема Гильберта - Шмидта.
16. Дифференциалы Фреше и Гато.
17. Теорема о неявной функции и её применения.
18. Исчисление дифференциалов Фреше и Гато.
Литература
1. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М., 1984
14
2. Рудин Ч. Функциональный анализ. М., 1975.
3. Балакришнан А.В. Прикладной функциональный анализ. М., 1980.
4. Картан А. Дифференциальное исчисление. М., 1971
I. ЭВМ и программирование
1. История развития вычислительной техники. Принцип действия ЭВМ. Архитектура
современных ЭВМ.
2. Операционные системы. Управление памятью. Управление процессами. Управление
процессором. Управление устройствами. Управление файлами.
3. Основные этапы решения задач на ЭВМ. Алгоритмические языки высокого уровня.
Объектно-ориентированный подход.
4. Взаимодействие человека и ЭВМ. Автоматизированное обучение ЭВМ, распознавание
образов.
II. Экстремальные задачи
1. Оптимизационные задачи на графах. Алгоритмы построения кратчайших деревьев,
кратчайших путей, критических путей. Потоки в сетях.
2. Необходимые условия экстремума. Метод множителей Лагранжа.
Теорема Куна-Таккера. Понятие о двойственности. Линейное
программирование.
3. Динамическое программирование. Уравнение Беллмана.
4. Теория игр. Антагонистические игры. Смешанные стратегии.
Теорема о минимаксе. Решение Нэша.
5. Приближенные методы решения экстремальных задач. Градиентный
метод. Метод Ньютона. Методы решения одномерных задач. Метод
золотого сечения.
6. Многокритериальная оптимизация. Оптимум Парето.
III. Теория вероятностей и математическая статистика
1. Аксиоматика. Свойства вероятности. Условные вероятности.
Независимость событий.
2. Законы распределения случайных величин. Типы распределений.
Свойства функции распределения и плотности. Независимость
случайных величин. Конкретные законы (нормальное и связанные с ним распределения,
распределения схемы Бернулли, распределение Пуассона).
3. Числовые характеристики случайных величин. Свойства математического ожидания и
дисперсии. Моменты. Ковариационная матрица. Свойства коэффициента корреляции.
4. Сходимость последовательностей случайных величин. Закон больших чисел. Центральная
предельная теорема.
5. Оценка параметров. Теория оценивания с минимальной дисперсией.
Метод максимального правдоподобия.
6. Проверка статистических гипотез. Основные критерии (хи-квадрат, Стьюдента и Фишера).
7. Метод наименьших квадратов. Регрессионный и дисперсионный анализы.
8. Классификация марковских цепей. Возвратность. Матрица перехода
и ее свойства. Теорема о предельном поведении переходных вероятностей в марковской
цепи.
9. Условные вероятности и условные математические ожидания.
Условные распределения и их свойства. Условные гауссовские распределения.
IV. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация
1. Байесовские критерии.
15
2. Конечно-сходящиеся алгоритмы и их стохастические аналоги.
3. Метод стохастической аппроксимации.
4. Рандомизированные алгоритмы стохастической аппроксимации.
5. Метод стохастической аппроксимации в задаче самообучения.
6. Рекуррентное байесовское оценивание.
7. Робастное оценивание.
8. Фильтр Винера - Колмогорова.
9. Фильтр Калмана - Бьюси.
10. Минимаксная фильтрация.
11. Адаптивные фильтры.
Литература
Ширяев А.Н. Вероятность. М., МЦНМО, 2007
Боровков А.А. Теория вероятностей. М., Либроком, 2009.
Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М., Наука, 1983, 384 с.
Фомин В.Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация. М., Наука, 1984.
Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление М., 1978.
Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. М.,1984.
Ермаков С.М., Жиглявский А.А. Математическая теория оптимального эксперимента.
М., Наука, 1987.
8. Свами М., Тхуларисман К. Графы, сети и алгоритмы. М., Мир, 1984.
9.
Карманов В.Г. Математическое программирование. М., Наука, 1985.
10. Дрейпер Н., Смит Г., Прикладной регрессионный анализ. Множественная регрессия.
М.Диалектика, 2011
11. Крамер Г. Математические методы в статистике. М., РХД, 2003.
12. Граничин О.Н. Введение в методы стохастической оптимизации и оценивания.
Учебное пособие. - СПб.: Изд-во С.-Петерб. университета, 2003, 131с.
13. Граничин О.Н., Поляк Б.Т. "Рандомизированные алгоритмы оценивания и
оптимизации при почти произвольных помехах" – М.: Наука. 2003. 291 с.
14. Граничин О.Н., Молодцов С.Л. "Создание гибридных сверхбыстрых компьютеров и
системное программирование" – СПб. 2006. 108 с.
15. Граничин О.Н. Обратные связи, усреднение и рандомизация в управлении и
извлечении знаний // Стохастическая оптимизация в информатике. 2012. Том. 8. Вып. 2.
С. 3-48.
16. Граничин О.Н. Рандомизированные алгоритмы в задачах обработки данных и принятия
решений // Системное программирование. 2011. Т. 6. № 1. С. 141-162.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
V. Логика и теория алгоритмов
1. Исчисление высказываний и его свойства.
2. Исчисление предикатов первого порядка и его свойства.
3. Исчисление предикатов с равенством.
4. Формальная арифметика.
5. Теорема Геделя о неполноте арифметики.
6. Машины Тьюринга.
7. Нормальные алгорифмы.
8. Элементарные по Кальмару алгорифмы.
9. Перечисление графов.
10. Теорема Пойа.
11. Анализ сложности алгоритма сортировки Шелла.
16
12. Алгоритмы глобального анализа графов.
13. Эквивалентность некоторых комбинаторных задач. Классы Р и NP. NP-трудные и NPполные задачи.
Литература
1. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. —МЦНМО, 1999.
2. Косовский Н. К. Основы теории элементарных алгоритмов. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та,
1987.
3. Успенский В. А., Семенов А. Л. Теория алгоритмов: основные открытия и
приложения. — М.: Наука, 1987.
4. 4.Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. —
М.: Мир, 1998.
5. Харари Ф.,Палмер Д. Перечисление графов. — М.: Мир, 1982.
6. Кнут Дональд. Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы (3-е изд.). —
М.: Издательский дом "Вильямс", 2000.
VI. Компьютерное моделирование динамических систем
1.Динамические системы. Определения. Фазовое пространство динамических систем.
Неподвижные и периодические точки дискретных динамических систем, типы
устойчивости.
2. Понятие чувствительной зависимости от начальных данных. Хаотические режимы.
3.Логистическое уравнение. Бифуркация удвоения периода, константа Фейгенбаума.
Логистическое уравнение для   4 . Канторово множество и его построение с помощью
логистического уравнения.
4.Фрактальные множества и фрактальные размерности. Хаусдорфова размерность.
Алгоритмы вычисления размерностей.
5.Характеристики хаотического движения: показатель Ляпунова. Показатель Ляпунова
для треугольного и логистического уравнений. Алгоритмы вычисления ляпуновских
показателей.
6.Аттракторы динамических систем. Определение и примеры.
7.Методы построения инвариантных многообразий седловых гиперболических точек
плоскости. Гомоклинические точки.
8.Приближенное интегрирование траекторий. Устойчивость численных методов.
9.Исследование динамических систем методами символической динамики. Пространства
сдвига, клеточные отображения, символический образ.
10. Клеточные автоматы. Связь клеточных автоматов с теорией формальных языков и
грамматик.
11.Методы нелинейной динамики для анализа временных рядов. Реконструкция
аттракторов. Теорема Такенса.
Литература
1. Шарковский А.Н.,Коляда С.Ф., Сивак А.Г., Федоренко В.В. Динамика одномерных
отображений. Киев: Наукова думка, 1989.
2. Parker T.S, Chua L.O. Practical numerical algorithms for chaotic systems. N. Y., 1989.
3. Г.Г.Малинецкий, А.Б. Потапов. Современные проблемы нелинейной динамики. М. 2000.
4. П.Биллингслей. Эргодическая теория и информация. М.1969.
5. Осипенко Г.С. О символическом образе динамической системы, сб. Граничные задачи,
Пермь, 1983, 101-105.
17
VII. Линейная теория регулирования
1. Способы задания динамических блоков. Понятие динамического оператора.
2. Управляемые системы. Теорема об эквивалентности 4-х условий управляемости. Свойства
управляемых систем.
3. Полная система инвариантов при линейных преобразованиях состояния системы для
множества управляемых пар.
4. Приведение управляемых систем к стандартному виду.
5. Наблюдаемые системы. Свойства наблюдаемости. Теорема двойственности Калмана.
6. Полная система инвариантов для наблюдаемых систем, а также для управляемых и
наблюдаемых систем.
7. Синтез системы по передаточной функции.
8. Преобразование обратной связи. Полная система инвариантов при преобразованиях
обратной связи.
9. Теорема о произвольном изменении спектра матрицы коэффициентов при
преобразованиях обратной связи.
10. Критерий Михайлова - Найквиста.
Литература
1. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М., 1979, гл. 1,2,5.
2. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. М., 1986, гл. 1, 2, 3, 6, 7.
3. Справочник по теории автоматического управления. Под ред. Красовского А.А., М.,
1987, гл. 1, 2.
4. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с
неединственным состоянием равновесия. М., 1978, гл. 1.
Статистическое моделирование
1. Моделирование вероятностных распределений.
2. Метод Монте-Карло и квази Монте-Карло.
3. Основные методы обработки данных и проверки статистических гипотез.
4. Основы теории вероятностей.
5. Планирование имитационного и натурного экспериментов.
Литература
1. Ширяев А. Н. Вероятность – Москва: МЦНМО, 2007. – 416 с.
2. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая
статистика - М.: Наука, 1989. -320 с.
3. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование - М.: Наука, 1982. - 296
с.
4. Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, Введение в математическую статистику, Учебник, М.: ЛКИ, 2010.
5. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике. Вводный курс СПб: Невский диалект, М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009.-192 с.
6. Феллер В. Теория вероятностей и ее приложения. Т. 1, 2 – М: Мир, 1984.
18