Теория Нордстрёма - Свободная энергия

Отрывок из книги: Визгин В.П. Релятивистская теория
тяготения (истоки и формирование . 1900 – 1915 гг.). М.:Наука,
1981,- с.179-190.
4. Первая теория Нордстрёма.
Гипотеза Эйнштейна о том, что скорость света с зависит от
гравитационного потенциала, ведет, как эта вытекает из дискуссии между
Эйнштейном и Абрагамом, к значительным трудностям для принципа относительности. Поэтому возникает вопрос, нельзя ли эйнштейновскую
гипотезу заменить некоторой другой, которая оставляет с постоянной и,
тем не менее, согласует теорию гравитации с принципом относительности
таким образом, чтобы тяжелая и инертная массы оставались равными.
Г. Нордстрем (1912)
Именно так начинается первая статья известного финского теоретика Г.
Нордстрема, положившая начало целому направлению лоренц-ковариантных
скалярных теорий гравитационного поля [481, с. 1126]. Две основные теории этого
типа вошлц в историю проблемы гравитации под его именем (первая и вторая теории
Нордстрема). Рассмотренные ранее теории Абрагама и Эйнштейна были скалярными,
но они не удовлетворяли требованию лоренц-ковариантности. Этот недостаток
многим казал-
ся весьма серьезным, так как к началу 1910-х годов большинство теоретиков примкнуло
к релятивистской программе, выдвинутой Эйнштейном в 1905 г. Существенное
значение при этом имели работы Минковского по четырехмерной теоретикоинвариантной формулировке СТО и электродинамике движущихся тел. Успехи
релятивистской программы наводили на мысль о том, что путь Эйнштейна и Абрагама,
связанный с отказом от постоянства скорости света и специального принципа
относительности, ошибочен и что следует попытаться фундаментальный факт равенства инертной и гравитационной масс согласовать с требованием лоренцковариантности.
Первой опубликованной попыткой такого рода и явилась теория Нордстрема [481]
(статья поступила в редакцию «Phys. Zeitsch.» 23 октября 1912 г.
Нордстрем до 1912 г. Финский физик Г. Нордстрем * (1881— 1923 гг.) с 1899 по
1905 гг. учился в Политехнической школе и затем в течение двух лет в университете в
Гельсингфорсе (Хельсинки). В апреле 1906 г. он приехал в Геттинген, чтобы изучать
физическую химию у Нернста, но Нернст в это время был в Берлине. Нордстрем, повидимому, вошел в контакт с геттингенски-ми теоретиками, которые были увлечены
новыми открытиями в области СТО и электродинамики движущихся сред. При этом,
однако, он занимался также физической химией у Ф. Долежале-ка, замещавшего
Нернста. В конце 1906 г. он закончил экспериментальное исследование чисел переноса
Гитторфа ** для концентрированных щелочных растворов, опубликованное в 1907 г. в
«Zeitschrift fur Elektrochemie». В августе 1907 г. он возвращается в Гельсингфорс и
полностью переключается на исследования в области СТО и электродинамики
движущихся сред, с которой он познакомился в Геттингене. В 1908 г. он получил
степень доктора философии за работу по теории пондеромоторных сил в
электродинамике и смежным вопросам. В 1909 —1911 гг. появляются его работы в этой
области.
Летом 1911 г. он снова посещает Геттинген, к этому времени относится его работа по
релятивистской механике сплошной среды. Кстати говоря, в своих работах по
электродинамике Нордстрем энергично дискутировал с Абрагамом, в частности, по
вопросу о релятивистском законе преобразования для джоу-лева тепла [155, с. 159].
Впоследствии правильной была признана точка зрения Абрагама.
В 1912 г. Нордстрем, вслед за Абрагамом, Эйнштейном переходит к проблеме
гравитации. В это время он получает должность доцента в Гельсингфорском
университете.
Таким образом, Нордстрем, как и Абрагам, примыкал к Гет-
2
тингенской традиции математической и теоретической физики, находясь под влиянием
работ Минковского и, в известной мере, Абрагама, с которым, впрочем, у него имелись
определенные расхождения в вопросах электродинамики движущихся сред. Были у него
расхождения с Абрагамом и более принципиального характера, т. к. Нордстрем
полностью принимал релятивистскую программу, основанную на СТО.
Лоренц-ковариантность теории. Исследования Нордстрема были стимулированы
гравитационными работами Эйнштейна и Абрагама 1911—1912 гг. и теми трудностями,
которые возникли на их пути к последовательной релятивистской теории тяготения.
Главной проблемой для него было, однако, не построение уравнений гравитационного
поля, которые он принял совпадающими по форме с соответствующими уравнениями
Абрагама:
 2  2  2  2
(78)



 4 f 
x 2
y 2
z 2
u 2
а согласование релятивистских уравнений движения с требованием равенства инертной и
тяжелой масс. Уравнения поля (78) отличались от уравнений Абрагама тем, что скорость
света, входящая в них, подразумевалась постоянной и они, тем самым, удовлетворяли
принципу лоренц-ковариантности. В этом уравнении по обозначениям Нордстрема: Ф —
скалярный гравитационный потенциал, u=ict, —плотность массы тел, —гравитационная постоянная. Гравитационное поле, далее, характеризуется четырехмерным
вектором:
Fx  
d
d
d
d
, Fy  
, Fz  
, Fu  
. (79)
dx
dy
dz
du
И тогда в качестве уравнений движения материальной точки в поле тяготения
естественно было принять:
d
dx
d
m
dy
d
m
dz
d
m
du
m
d
d
d

d
d

d
d

d

( ma x ),
( ma y ),
( ma z ),
(80)
( mau ),
где т — масса покоя материальной точки, четырехмерный вектор (ах, a y , a z , а и ) — ее
четырехмерная
скорость,
названная
Нордстрёмом
«вектором
движения»
(«Bewegungsvektor»), т — собственное время. В рамках СТО, которой должны
удовлетворять уравнения (80), пространственно-временной интервал принимается
равным:
ds2  dx2  dy2  dz2  du2,
(81)
2
а через собственное время он выражается так:
ds  cd  (82)
Тогда компоненты «вектора движения» должны удовлетворять релятивистскому
соотношению
c2  ax2  a2y  az2  au2,
(83)
откуда, дифференцируя по т, получаем:
c
da
da
da
dc
da
 ax x  ay y  az z  au u .
d
d
d
d
d
(84)
Если же в согласии с общепринятой точкой зрения считать, что масса покоя частицы
постоянна, т. е. не зависит от потенциала Ф, то соотношение (84) с учетом уравнений
движения (80) можно представить как
dc
1 d

. (85)
d
c d
Полученное соотношение означает, что скорость света можно считать постоянной только
при условии постоянства потенциала, т. е. в отсутствии гравитационного поля.
Следовательно, вектор движения должен быть ортогонален вектору движущей силы, а
это условие приводит к несовместимости постоянства скорости света и постоянства
массы покоя частицы.
Эйнштейн и Абрагам отказались от постоянства скорости света и, вместе с этим, от
требования лоренц-ковариантности. Нордстрем выбирает второй путь, предположив, что
масса покоя частицы не является постоянной, а зависит от гравитационного потенциала:
«...Если 4-вектор F понимать как движущую силу, которая действует на неизменную
единицу массы, то не удается сохранить в силе постоянство скорости света. А именно, в
этом случае F было бы равно четырехмерному вектору ускорения материальной точки, и
он не мог бы при произвольном направлении движения быть перпендикулярным вектору
движения а, как этого требует постоянство скорости света. Оставляя скорость света
постоянной, можно, однако, устранить трудность и даже двумя путями. Либо под
движущей силой следует понимать не F, но только ее составляющую, нормальную
вектору движения, либо следует принять массу материальной точки не постоянной, но
зависящей от гравитационного потенциала» [481, с. 1126]. Здесь, правда, Нордстрём
указывает две альтернативы, но в дальнейшем он показывает, что они эквивалентны, так
как приводят к одним и тем же уравнениям движения. Все же как более физическую он
выбирает вторую альтернативу: «Соответственно точке зрения большинства
исследователей в области теории относительности, я буду использовать второй метод, то
есть (уравнения.— В. В.)
mFx  m
d
, è .ò .ä
dx
2
будут пониматься как составляющие движущей силы, действующие на материальную
точку, но при этом масса покоя материальной точки будет рассматриваться как
переменная» [там же]. Тогда уравнения движения (80) можно представить
da x
d
dn
m
 ax
,
dx
d
d
........................................
m
........................................ (86)
dau
d
dn
m
m
 au
du
d
d
Используя соотношение
d  


ax  ... 
au и уравнение
d  x
u
(86), получаем:
da
da
d  

dm
dm

ax m  ... 
au m  (m x  ax
)ax  ..  (m u  au
)au 
d  x
u
d
d
d
d
da
da
dm 2
 m(ax x  ..  au u ) 
(ax  ..  au2 ).
d
d
d

Первая скобка полученного выражения, в силу (84), обращается в нуль, а вторая
скобка, в силу (83) равна (—с 2 ) . В итоге получается дифференциальное уравнение,
определяющее зависимость массы от потенциала
m

dm
 c2
, (87)

d
Интегрирование уравнения (87) дает эту зависимость в явном виде
m  m0 e
(
c2 )
, (88)
где т0 — масса покоя частицы в точке с нулевым потенциалом. Подстановка
выражения для dm/dτ в уравнения движения (86) приводит к такой форме этих
уравнений, которая удовлетворяет требованию равенства инертной и гравитационной
масс:
 dax ax d 


,
x
d  c2 d 
...................................

...................................

 dau au d 

 2
.
u
d c d
(89)
2
«Масса m,— отмечает это обстоятельство Нордстрем,— как это видно, не входит в эти
уравнения. Закон, согласно которому материальная точка движется в гравитационном
поле, таким образом, полностью не зависит от массы точки» [481, с. 1127].
После этого Нордстрем рассматривает первый метод согласования уравнений движения
с требованием постоянства скорости света, связанный с переопределением понятия
движущей силы, что приводит его к тем же самым уравнениям движения в форме (89).
Затем он изучает более общий случай «материи», распределенной в пространстве с
плотностью у, и выводит уравнения движения и соответствующие им законы сохранения
энергии и импульса. Закон сохранения энергии при отсутствии внешних сил записывается
в виде:
div( S g  S m )  ( 
g 
1
8 f
t )
{() 2 
( g   m )  0,
1 d 2
(
)}
2
c dt
(90, 91)
— плотность энергии гравитационного поля,
положительной, в отличие от векторных теорий;
Sg  
—
которая
оказывается
всегда
1 
 (92)
4 f t
поток энергии гравитационного поля;
 m  c 2 / 1  q 2 ,
S m  c 2  q 2 (93)
— плотность энергии и поток энергии «материи», трехмерная плотность которой связана с
собственной плотностью у формулой:
    q 2 (q   / c)
.
Нордстрём
также
конструирует
симметричный
тензор
энергии-импульса
гравитационного поля, который он называет «гравитационным тензором» и который по
форме в точности совпадает с соответствующим тензором Абрагама (7). Однако смысл его
несколько иной, поскольку у Абрагама скорость света не является постоянной. Из
уравнений движения для распределенной материи






ax2 
ax a y 
ax az 
ax au ,
x x
y
z
u
.................................................................................

................................................................................. (94)







au2 
au ax 
au a y 
au az .
u u
x
y
z
Нордстрем выводит уравнение, определяющее зависимость массы элемента объема
распределенной «материи» от потенциала, аналогичное уравнению (87)
2
d
dV d 
(dV )  2
dt
c dt
(95)
Эйнштейн и первая теория Нордстрема. Журнальный текст статьи содержит
весьма замечательное дополнение, сделанное Нордстремом при корректуре:
«Из письма профессора Эйнштейна я узнал, что он уже раньше* и несколько более
простым способом изучал использованную выше возможность рассмотрения
гравитации. Однако он пришел к убеждению, что следствия такой теории не могут
соответствовать действительности. Он показывает на простом примере, что, согласно
этой теории, некоторая вращающаяся система будет получать в поле тяготения
меньшее ускорение, чем невращающаяся система» [481, с. 1129]. Нордстрем
соглашается с этим замечанием Эйнштейна, но считает небольшое отклонение от
принципа эквивалентности меньшим злом по сравнению с трудностями, вызванными
предположением о зависимости скорости света от гравитационного потенциала. «Это
следствие само по себе (т. е. различие в ускорениях вращающегося и невращающегося
тел.— В. В.), отвечает он,— я не считаю опасным, так как различие получается
слищком малым, чтобы привести к противоречию с опытом. Но, пожалуй, это
следствие означает, что моя теория не согласуется с эйнштейновской гипотезой
эквивалентности, в соответствии с которой неускоренная система отсчета в
однородном гравитационном поле эквивалентна ускоренной системе отсчета в
пространстве, свободном от сил тяготения. В этом обстоятельстве я не вижу, однако,
достаточного основания для того, чтобы отвергнуть теорию. Хотя эйнштейновская
гипотеза исключительно остроумна, она приводит, с другой стороны, к большим
трудностям» [там же].
Прежде чем продолжить анализ теории Нордстрема, остановимся на замечании
Эйнштейна, содержащемся в письме к Нордстрему, о том, что он «уже раньше изучал
... использованную (Нордстремом.-В.В.) возможность рассмотрения гравитации». В
публикациях Эйнштейна этот факт не нашел никакого отражения. Однако имеются, по
крайней мере, еще два свидетельства того, что Эйнштейн 7 не прошел мимо
возможности, использованной Нордстремом.
В гибсоновской лекции «Некоторые замечания о возникновении общей теории
относительности», прочитанной Эйнштейном в Университете Глазго 20 июня 1933 г.,
он говорил, в частности:
«Первый шаг на пути решения этой задачи (построения релятивистской теории
тяготения.— В. В.) я впервые сделал, пытаясь рассматривать закон тяготения в
рамках специальной теории относительности. Как и большинство дру* Не вполне ясно, когда Эйнштейн, в 1907 или в 1911—1912 гг., рассматривал
аналогичную теорию.
d
dV d 
(dV )  2
dt
c dt
* Не вполне ясно, когда Эйнштейн, в 1907 или в 1911—1912 гг., рассматривал
аналогичную теорию.
гих исследователей этого времени, я старался отыскать полевой закон тяготения...
Конечно, проще всего было сохранить лапласов скалярный потенциал тяготения и
дополнить уравнение Пуассона производной по времени так, чтобы удовлетворить
требованиям специальной теории относительности. Следовало также привести в
соответствие со специальной теорией относительности и закон движения
материальной точки в гравитационном поле. Путь к этому был не столь очевиден,
поскольку инертная масса тела могла зависеть от гравитационного потенциала.
Этого даже следовало ожидать в силу закона инерции энергии.
Однако эти исследования привели к результату, который вызывал у меня
глубокое недоверие. Согласно классической механике, ускорение тела в вертикальном поле тяготения не зависит от горизонтальной составляющей скорости. С
этим связано то обстоятельство, что ускорение механической системы (или ее центра
тяжести) в подобном иоле тяготения не зависит от ее внутренней кинетической
энергии. Согласно же разрабатывавшейся мною теории, ускорение падения зависело
от горизонтальной скорости и, следовательно, от внутренней энергии системы.
Это противоречило давно известному факту, что все тела падают в поле тяжести с
одинаковым ускорением. Этот закон, который иначе можно сформулировать как
закон равенства инертной и тяжелой масс, представлялся мне имеющим глубокий
смысл. Я крайне удивился, что этот закон существует, и предположил, что он и даст
ключ к более глубокому пониманию инерции и тяготения. В том, что этот закон
выполняется строго, я не сомневался, даже не зная результатов изящных опытов
Этвеша, которые — если я правильно вспоминаю — стали мне известны позже.
Тогда я отказался от попытки рассматривать упомянутым выше образом проблему
гравитации в рамках специальной теории относительности . . . Подобные
размышления занимали меня с 1908 по 1911 год...» [293, с. 404].
В более известных «Автобиографических заметках» (1949 г.) Эйнштейн пишет
примерно то же самое. Ввиду важности вопроса, приведем и это высказывание: «В
классической механике, истолкованной в духе теории поля, потенциал тяготения представляется как скалярное поле (простейшая теоретическая возможность поля с одной
8 может быть легко
единственной составляющей). Такая скалярная теория тяготения
сделана инвариантной по отношению к группе преобразований Лоренца ... Возможность
реализации этой программы представлялась, однако, сомнительной с самого начала» [296,
с. 282]. Из равенства инертной и гравитационной масс «следовало,— продолжает Эйнштейн,— что вес системы зависит вполне определенным и известным образом от ее
полной энергии. Если теория этого не давала или давала только с натяжкой, то ее надо
было отбросить, Проще всего это условие можно выразить так: при падении системы в
данном поле силы тяжести ускорение не зависит от природы падающей системы (а значит,
в частности, и от содержащейся в ней энергии).
Однако выяснилось, что в рамках намеченной программы это элементарное положение
вещей вообще не может быть учтено
186
надлежащим образом, во всяком случае без натяжки. Это убедило меня в том, что в рамках
специальной теории относительности нет места для удовлетворительной теории тяготения»
[там же].
Таким образом, Эйнштейн, по-видимому, независимо от Норд-стрема пытался
разработать аналогичную скалярную лоренц-ко-вариантную теорию гравитационного поля,
но не стал публиковать работу, так как пришел к выводу о несогласуемости теории с
принципом эквивалентности, который казался ему надежной основой гравитации.
Трудно сказать, когда это было. Скорее всего, уже после четкой формулировки принципа
эквивалентности в конце 1907 г. Наиболее вероятно, что эта работа Эйнштейна относится
либо к концу 1907 — началу 1908 г., либо к 1911—1912 гг., т. к. с 1908 по 1910 гг. он был
увлечен идеей построения единой теории поля и только во второй половине 1910 г. вернулся
к разработке непосредственно гравитационной проблемы.
Уравнения движения и экспериментальные следствия теории. Нордстрем, как мы
видели, согласился с аргументом Эйнштейна против развитой теории, хотя
соответствующий результат был строго получен им несколько позже, в феврале 1913 г.
[482]. В сентябре 1913 г. к аналогичным выводам пришел и женевский теоретик Бехакер
[321]. В обзоре 1914 г. Абрагам воспроизвел эти результаты, использовав лагранжеву
формулировку уравнений движения некоторого тела с массой покоя
m
dV

1  / c
2
,
где v — плотность массы покоя, в гравитационном поле. Он показал, в частности, что «сила
тяготения К*, действующая на движущееся тело ... оказывается пропорциональной не его
энергии, а соответствующей функции Лагранжа»
L  mc c 2   2 ,
(96)
а это «при малых скоростях означает, что не сумма потенциальной и кинетической энергий,
но их разность должна служить мерой веса тела» [317, с. 498].
Соответствующие уравнения движения в статическом поле имеют интеграл энергии в
виде:
9
e / c / c 2   2  const ,
2
(97)
где φ — потенциал поля.
Сами же эти уравнения оказываются следующими:
d

 (1  2 ) grad  (98)
dt
c
Свободное падение в однородном поле тяготения описывается, таким образом, формулой:
d
g
g 2 ,
dt
c
(99)
187
т. е. горизонтально брошенное тело, действительно, падает тем медленнее, чем больше
его скорость. Из уравнения (99), совпадающего с классическим уравнением свободного
падения в среде с квадратичным (по скорости) законом трения, следует, во-первых, что
при v=c, dv/dt= 0 , и движение света оказывается равномерным и прямолинейным. Вовторых, интегрирование уравнения (99) дает при нулевой начальной скорости
  cth( gt / c). (100)
Если воспользоваться разложением (100) в ряд, то
  gt  1/ 3( gt )3 / c 2 .
(101)
В-третьих, формулы (99) — (101) показывают, что отклонения нордстремовских
соотношений от классических имеют порядок v 2 /c 2 , что и позволило Нордстрему в ответ
на возражение Эйнштейна заметить, что различие в ускорениях вращающегося и
невращающегося тел «получается слишком малым, чтобы привести к противоречию с
опытом» [481, с. 1129].
Бехакер изучал астрономические следствия первой теории Нордстрема и также
пришел к выводу, что движение планет в Солнечной системе с точностью до членов
порядка v 2 /c 2 описывается классически. Нетрудно, продолжая вычисления Бехакера,
найти аномальное смещение перигелия Меркурия, которое оказывается здесь
направленным в противоположную сторону (по сравнению с наблюдаемым) и
составляющим 1/3 его (см. [7, с. 74-76]).
В отличие от скалярных теорий Абрагама и Эйнштейна, теория Нордстрема
предсказывала прямолинейное распространение света в любых гравитационных полях.
Тем самым, эксперименты по измерению отклонения световых лучей в поле Солнца во
время солнечного затмения, которые планировались Эйнштейном и Фрейндлихом в
конце 1911 г., могли бы предотвратить появление теории Нордстрема, если бы их
удалось провести в 1911—1912 гг.
Что касается эффекта «красного смещения», который предсказывался Эйнштейном на
основе принципа эквивалентности, то, как в 1914 г. было показано Фрейндлихом, этот
эффект существует и в теории Нордстрема [364, 447].
10
Таким образом, первая скалярная лоренц-ковариантная теория гравитационного поля,
логически стройная и последовательная схема, и в экспериментальном отношении была
для начала вполне удовлетворительна, и отрицательный результат в экспериментах по
отклонению, света вынудил бы физиков, по всей вероятности, предпочесть тензорной
теории Эйнштейна — Гроссмана именно эту теорию (или ее аналог, например, вторую
теорию Нордстрема, о которой пойдет речь ниже).
Дальнейшее развитие теории. Выводы. Первая теория Нордстрема в дальнейшем
получила развитие в трех направлениях. Во-первых, сам Нордстрем и Бехакер в первой
половине 1913 г. продолжали разрабатывать ее, изучая свободное движение, кеп-
леровскую задачу, законы сохранения, проблему соотношения инертной и
гравитационной масс в этой теории. Вторым и основным направлением оказалась
подготовка такой модификации теории, которая бы, сохранив ее главные достоинства
(лоренц-ковариантность, скалярный характер потенциала, удовлетворительное согласие
с опытом и т. д.), позволила бы устранить её главный недостаток — нарушение
эквивалентности инертной и гравитационной масс и, тем самым, принципа
эквивалентности. Именно этот изъян, выражающийся, в частности, в различии
ускорений свободного падения вращающегося и невращающего-ся тел, послужил
основной причиной отхода Эйнштейна от разработки этой теории. И хотя Нордстрем
заметил, что указанный Эйнштейном недостаток не ведет к расхождению с опытом, он с
самого начала искал, по-видимому, путь к его устранению. Об этом говорит и его статья,
посвященная первой теории [482] и, наконец, разработка к середине лета 1913 г. нового
варианта скалярной теории (названного впоследствии второй теорией Нордстрема)
[317,447].
Третье направление, которое развивал Г. Ми в конце 1912— 1913 г., связано с
некоторым усложнением теории, заключающимся во введении-двух четырехмерных
векторов напряженности гравитационного поля (наподобие векторов напряженности и
электрического смещения в электродинамике), совпадающих в случае идеального
вакуума [61, 464—466].
Последние два направления, однако, разрабатывались уже после того, как Эйнштейн
вступил на путь тензорно-геометриче-ской теории, приведшей его к ОТО. Условно
началом этого периода мы будем считать возвращение Эйнштейна в Цюрих осенью 1912
г. К этому времени относится и публикация первой гравитационной статьи Нордстрема.
Можно предположить, учитывая описанную ранее реакцию Эйнштейна на статью
финского теоретика, что эта работа послужила для Эйнштейна дополнительным
аргументом против лоренц-ковариантного скалярного подхода к проблеме тяготения,
плохо согласующегося с принципом эквивалентности, и способствовала осознанию
необходимости тензорной теории. Более вероятно, впрочем, что Эйнштейн еще до
знакомства с теорией Нордстрема преодолел скалярный лоренц-ковариантный подход и
уже раньше (в Праге) начал разработку тензорной теории тяготения. Именно к этому
решающему периоду в генезисе релятивистской теории тяготения мы и переходим.
Дальнейшее же развитие теории Нордстрема в работах самого Нордстрема, Абрагама,
Ми, Эйнштейна и Фоккера, Лауэ и других мы рассмотрим в разделе, посвященном
конкуренции тензорной теории Эйнштейна — Гроссмана с другими, главным образом
скалярными, теориями гравитации.