Решение заданий олимпиады учителей математики 2010 год Задание 1. Докажите, что система неравенств: | x | | y z t | | y | | x z t | | z | | x y t | | t | | x y z | не имеет решений. РЕШЕНИЕ: Предположим, что данная система неравенств имеет решение x, y, z, t. Тогда, в частности, x2 > (y − z + t)2, т.е. (y − z + t − x)(y − z + t + x) < 0. Аналогично получаем: (x − z + t − y)(x − z + t + y) < 0, (x − y + t − z)(x − y + t + z) < 0, (x − y + z − t)(x − y + z + t) < 0. Перемножим все полученные неравенства. С одной стороны, произведение четырёх отрицательных чисел положительно. С другой стороны, это произведение равно: − (x − y + z − t)2(x + y − z + t)2(x − y + z + t)2(x − y – z + t)2 ≤ 0. Приходим к противоречию. Задание 2. Решить уравнение: РЕШЕНИЕ: Рассмотрим область допустимых значений: 1). 2). , следовательно, , что означает, что функция , то есть Сравнивая области значения левой и правой части, получаем , откуда получаем Итого, ответ Задание 3. Известно, что середины сторон двух выпуклых четырехугольников совпадают. Докажите, что их площади равны. Подсказка. Какую часть площади четырехугольника составляет площадь четырехугольника с вершинами в серединах его сторон? РЕШЕНИЕ: Пусть K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DA четырехугольника ABCD. Тогда KL – средняя линия треугольника ABC, поэтому KL параллельна AС и равна AC/2. Таким же образом, MN параллельна AС и равна AC/2, LM параллельна BD и равна BD/2 и NK параллельна BD и равна BD/2. Таким образом, KLMN – параллелограмм, стороны которого параллельны диагоналям четырехугольника ABCD и равны соответственно половинам этих диагоналей. По формуле площади четырехугольника площадь четырехугольника KLMN равна (ACBDsin)/2, где – угол между диагоналями AC и BD. Площадь параллелограмма KLMN равна KLLMsin = (AC/2)(BD/2)sin = (ACBDsin)/4. Таким образом, площадь параллелограмма KLMN вдвое меньше площади четырехугольника ABCD. Из доказанного легко следует утверждение задачи: площади обоих четырехугольников равны удвоенной площади четырехугольника с вершинами в точках, являющихся их общими серединами сторон. Задание 4. Два квадрата и направлении) имеют общую вершину общую точку. РЕШЕНИЕ: на плоскости (вершины перечислены в одном . Докажите, что прямые ,, имеют Пусть - точка пересечения прямых и . Покажем, что эти прямые перпендикулярны друг другу. Действительно, при повороте вокруг точки на по часовой стрелке точка переходит в точку , точка -- в точку , а, значит, и переходит в . Следовательно, , то есть углы и -прямые. Опишем около квадратов окружности. Они пройдут через точку и пересекутся в точке , ибо опирается на диаметр и является прямым, а опирается на диаметр и тоже является прямым. В силу этого, , ибо опирается на хорды и соответственно, на которые опираются углы и , равные, очевидно, .Но . Следовательно, , что означает, что точки лежат на одной прямой, то есть прямая также проходит через точку M, в которой пересекаются прямые и . Таким образом, все эти три прямые имеют общую точку, что и требовалось доказать. Задание 5. Найти все значения параметра , при которых область значений функции содержит только одно целое число. РЕШЕНИЕ: Преобразуем функцию: Так как при , , то есть является асимптотой функции, то для того, чтобы область значений функции содержала только одно целое число, необходимо, чтобы выполнялось условие То есть, чтобы Но , при любых , следовательно, эта система эквивалентна системе , откуда Чтобы эти условия выполнялись при любых значениях , дискриминанты квадратных уравнений должны быть отрицательны, то есть Решая, находим ответ: Задание 6. В парке растет 10000 деревьев, посаженных квадратно-гнездовым способом (100 рядов по 100 деревьев). Какое наибольшее число деревьев можно срубить, чтобы выполнялись следующие условия: если встать на любой пень, то не будет видно ни одного другого пня (деревья можно считать достаточно тонкими)? РЕШЕНИЕ: Разобьём деревья на 2500 четвёрок размера 2 на 2 дерева. В каждой такой четвёрке нельзя срубить более одного дерева. С другой стороны, мы можем срубить все деревья, расположенные в левых верхних углах соответствующих квадратов, образованны нашими четвёрками деревьев. Таким образом, наибольшее количество деревьев, которые можно срубить, не нарушая условия, равно 2500.