ЛЕКЦИЯ 3 Тема: Производная функции. Дифференциал и его приложение к приближенным вычислениям План: 1. Понятие производной 2. Таблица производных 3. Правила дифференцирования 4. Приложение производной 5. Понятие дифференциала функции. 1. Понятие производной Опр: Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции ∆f(x0)=f(x0+∆x)-f(x0) в точке х0 к приращению аргумента ∆х=х-х0, когда последнее стремится к нулю: f , ( x0 ) lim x0 f ( x0 x) f ( x0 ) x f , ( x0 ) можно трактовать как скорость изменения производную переменной у относительно переменной х в точке х0. Опр: Операция нахождения производной называется дифференцированием. Опр: Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке. Опр: Функция, имеющая производную в каждой точке промежутка, называется дифференцируемой на этом промежутке. Степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические функции дифференцируемы на любом интервале, где они определены, и их производные находятся по формулам. 2. Таблица производных Производные простейших элементарных функций: ( x )' x 1 c 0 ' (ax)’=axlnа, в частности (ех)’= ех (sinx)’=cosx (tgx)' 1 1 , в частности (ln x)' x ln a x (cosx)’= - sinx 1 cos 2 x (arcsin x)' (log a x)' (ctgx)' 1 1 x2 1 (arctgx)' 1 x2 1 sin 2 x (arccos x)' 1 1 x2 1 (arcctgx)' 1 x2 10 3. Правила дифференцирования Справедливы следующие правила нахождения производных: Правила дифференцирования С постоянным множителем сумма [ku(x)]’= ku(x) (u+v)’=u’+v’ частное произведение ' u ' v uv ' u v2 v (uv)’=u’v+uv’ Сложная функция y=f(g(x)) y’=f’(g(x))g’(x) 4.Приложение производной Геометрический смысл производной Значение производной функции y=f(x) в точке х=а равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в точке х=а. Уравнение касательной: y=f(a)+f ’(a)(x-a) Физический смысл производной Понятие производной возникло как математическое описание скорости движения, поэтому важнейшим приложением производной является вычисление скорости. Если s=s(t) -закон прямолинейного движения, то s’(t)=v скорость движения в момент времени t s’’(t) =v'(t)=а – ускорение. Физический смысл производной состоит в нахождении скорости протекания процесса, описываемого зависимостью y=f(x). Пример: Температура тела задана законом y=x2+3x-1. Найти скорость изменения температуры в момент времени 2 c. Решение: Исходя из того s’(t)=v. Находим y'=2x+3. Далее находим скорость в момент времени 2 c. y(2)=2*2+3=7. Приближенные вычисления f(x)≈f(x0)+f ’(x0)(x-x0) Пример: (1,8)3≈23+3*22(1,8-2)=8+12(-0,2)=8-2,4=5,6 11 Исследование функции на монотонность Т1:Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f/(х) 0, то функция y=f(x) возрастает на промежутке X. Т2: Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f/(х) 0, то функция y=f(x) убывает на промежутке X. Если функция f непрерывна в точке х0, и производная меняет свой знак с f’(x)>0 на f’ (x)<0, то точка х0 является точкой максимума. Если функция f непрерывна в точке х0, и производная меняет свой знак с f’(x)<0 на f’ (x)>0, то точка х0 является точкой минимума. 5. Понятие дифференциала функции С понятием производной функции тесно связано понятие дифференциала функции. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке х0, то выражение вида f ’(x0)∆x, где ∆x=х-х0, называется дифференциалом функции в точке х0 и обозначается df(х0) или dy(x0). Дифференциал независимой переменной dx считается равным её приращению ∆x, поэтому df(х0) = f ’(x0)∆x= f ’(x0)dx. Итак, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента: dy=df=f ’(x)dx Выражение производной через дифференциал функции: f ’(x)= dy/ dx. При таком обозначении сразу видно, какая переменная является функцией, а какая аргументом. Контрольные вопросы для закрепления: 1. Дайте определение производной. 2. Как называется операция нахождения производной. 3. По какой формуле находится производная степенной функции. 4. Чему равна производная постоянной функции. 5. Назовите правила дифференцирования. 6. В чем состоит практическое применение производной? 7. Дайте понятие дифференциала функции. 8. В чем состоит геометрический смысл производной и дифференциала функции. Литература: 1. Омельченко В.П., Демидова А.А. Математика: Компьютерные технологии в медицине. – Ростов н/Д:Феникс, 2008. -588 с. Ил.-(Среднее профессиональное образование) 2. Подготовка к ЕГЭ по математике [электронный ресурс]: конспект по алгебре. URL: http://uztest.ru/abstracts/ 12