Заданияx

VII Ижевский Командный Турнир Математиков. Отборочный тур, 18 октября 2015 года.
4-5 класс
1. Найдите наибольшее число, в котором цифры не повторяются и из которого
нельзя с помощью вычеркивания одной цифры получить четное число.
2. Разрежьте приведенную на рисунке фигуру на четыре равные части. Фигурки
можно поворачивать и переворачивать.
3. На линейке дециметровое деление – длинное, сантиметровое – среднее и
миллиметровое – короткое. Если на одну точку приходится несколько делений,
то рисуется самое длинное. На куске, вырезанном из длинной-длинной линейки, всего 900 коротких делений. А сколько может быть средних и длинных?
Найдите все ответы и докажите, что других нет.
4. Приведена раскраска доски (см. рисунок). Разрешается менять
местами строки и столбцы. Докажите, что из этой раскраски с помощью указанных операций нельзя получить шахматную.
5. В мишени есть три области, попадание
в которых ценится в 5 очков, 3 очка и 2
очка (см. рис.). Попадание вне этих областей – 0 очков. За один раунд игрок делает три выстрела, очки за которые суммируются. За какое минимальное количество раундов можно набрать ровно 134
очка?
6. Цифры семизначного числа А записали в обратном порядке и получили семизначное число В (ни
одно из них не может начинаться с нуля). Может ли сумма чисел А и B записываться только нечетными цифрами?
7. Расставьте на шахматной доске 4 ферзя, 4 слона и 4 короля так, чтобы
ни одна из фигур не била никакую другую.
8. В диване юного энтомолога Васи живут клопы и блохи, всего 2015 насекомых. Вася подсчитал, что если бы количество клопов увеличилось в 2
раза, а количество блох уменьшилось на 100, то насекомых бы стало 2016.
Сколько клопов и блох живет в диване у Васи?
9. В лагерь приехали мальчики и девочки. У каждого ребенка ровно один
знакомый мальчик и ровно одна знакомая девочка. Докажите, что число детей делится на 4.
10. Квадрат со стороной 5 разрезан на два прямоугольника. Докажите, что хотя бы у одного прямоугольника периметр больше площади.
11. У Васи есть 9 одинаковых по внешнему виду гирь. Он знает, что среди них есть 2 гири в 3 кг, 3 гири
в 4 кг и 4 гири в 5 кг, но не знает, какая гиря сколько весит. Еще у Васи есть электронные весы с
датчиком, который срабатывает только тогда, когда суммарный вес гирь, положенных на весы, превышает 7 кг. Как с помощью этого прибора установить веса всех гирь?
12. На скамейке в ряд сидят три мальчика – Слава, Леша и Вадик, хотя неизвестно, в каком порядке
они сидят. Они держат в руках 20 шариков, причем справа от Славы 10 шариков, а слева от Вадика –
15 шариков. Сколько у кого шариков и в каком порядке они сидят? Найдите все ответы и докажите,
что других нет.
VII Ижевский Командный Турнир Математиков. Отборочный тур, 18 октября 2015 года.
6 класс
1. Найдите наибольшее число, в котором цифры не повторяются и из которого нельзя
с помощью вычеркивания одной цифры получить число, делящееся на 5.
2. Есть 88 яблок, средний вес яблока равен 100 г. Назовем яблоко маленьким, если
его вес меньше 100 грамм. Известно, что средний вес маленьких яблок равен 85 г., а
средний вес остальных яблок равен 125 г. Сколько могло быть маленьких яблок?
3. Каждая клетка доски 8×8 окрашена в какой-то цвет, при этом в любой строке и любом столбце есть клетки ровно двух цветов. Какое наибольшее количество различных
цветов может быть использовано? Приведите пример. Докажите, что при других вариантах ответ не может
быть больше.
4. За один ход можно либо удвоить число, либо вычеркнуть одну цифру в этом числе (при этом нельзя,
чтобы получившееся после вычеркивания число начиналось с нуля). Можно ли за несколько ходов
получить из числа 2015 число, если обязательно надо использовать оба варианта хода?
5. На клетчатом листе по линиям сетки нарисован многоугольник, который можно разрезать на 6
квадратиков 22. Верно ли, что из него можно вырезать хотя бы 7 уголков? Уголком называется
фигура из трех клеток – см. рис. Уголок можно поворачивать и переворачивать.
6. В таблице 6×6 клеток в каждую закрашенную серым цветом клетку вписан ноль или единица. Докажите,
что при любом заполнении серых клеточек можно заполнить белые клетки нулями и
единицами так, чтобы сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке оказалось четной.
7. Есть три кучки – 2014, 2015 и 2016 камней. Двое играют в игру. За ход игрок может
взять один камень из любой кучки или одну кучу целиком. Выигрывает тот, кто взял
последний камень. Кто выигрывает при правильной игре?
8. В словах ДЕНЬ, НОЧЬ, СВЕТ, ТЕНЬ буквы заменены цифрами, причём одинаковые буквы одинаковыми
цифрами, а разные – разными. Получилось 4 числа, только, может быть, записанные в другом порядке:
1835, 2015, 6015, 9406. А какое число получится при такой замене из слова ОТВЕТ?
9. Врач сообщил Змею Горынычу, что если он будет выкуривать
по 6 сигарет в день, то помрет через 10 лет, а если по 17 сигарет
в день, то через 5 лет. Сколько проживет Змей, если бросит курить? (Считаем, все годы одинаковой длины, а каждая сигарета
сокращает жизнь на одно и то же время).
10. На доске записаны натуральные числа от 1 до 11. Можно ли
стереть сначала одно число из записанных, потом стереть ещё два, потом – ещё три, и, наконец, стереть
ещё четыре числа так, чтобы после каждого стирания сумма оставшихся на доске чисел делилась на 11.
11. В лагерь приехали мальчики и девочки. У каждого мальчика ровно
один знакомый мальчик и ровно одна знакомая девочка. У каждой девочки есть ровно два знакомых мальчика. Докажите, что число детей
делится на 3.
12. Имеется шесть гирь, выглядящих внешне совершенно одинаково и
даже выкрашенных в один и тот же цвет: три гири одного и три гири другого (чуть большего) веса. Определите с помощью трёх взвешиваний на равноплечих весах, к какой из двух категорий относится каждая
из 6 гирь — к тяжёлым или к лёгким.
VII Ижевский Командный Турнир Математиков. Отборочный тур, 18 октября 2015 года.
7 класс
1. На столе стоит 10 гирь. Известно, что вес любой гири меньше, чем утроенный вес любой другой.
Докажите, что для любых четырех гирь сумма весов любых трех из них больше веса четвертой.
2. Найдите наибольшее число, в котором цифры не повторяются и из которого нельзя с помощью
вычеркивания одной цифры получить число, делящееся на 9.
3. Можно ли клетчатый прямоугольник 13×13 разрезать по границам
клеток на прямоугольники периметра 10?
4. Дан ребус ДЕНЕГ+НАДО=МНОГО (разным буквам соответствуют
разные цифры, одинаковым – одинаковые). Как велико может быть
МНОГО (найдите наибольшее значение).
5. Карлсон влил стакан малинового сиропа в банку с водой. Получился 25% раствор морса. Потом
он добавил в банку еще один стакан сиропа. Раствор какой концентрации получился в результате?
6. Существует ли число, кратное 2015, сумма цифр которого равна 2015?
7. В стране Посудии в ходу два вида монет – пиалы и розетки. У Альберта было 6 пиал, у Бруно 3
пиалы и 23 розетки, у Кристофера было 46 розеток. После того как каждый из
мальчиков подарил каждому другому по одной из своих монет, у всех оказались
одинаковые суммы денег. Сколько розеток в одной пиале?
8. У Д’Артаньяна и трёх мушкетеров есть 100 монет. Они едут в ряд, плечом к
плечу. У тех, кто справа от Арамиса, в сумме 60 монет; слева от Атоса – 70 монет,
а слева и справа от Портоса монет поровну. Сколько монет у Д’Артаньяна?
9. Есть три кучки камней. Двое играют в игру. За ход игрок может взять один
камень из любой кучки или одну кучу целиком. Выигрывает тот, кто взял последний камень. Докажите, что начинающий может выиграть независимо от количества камней в кучках и игры соперника.
10. Имеется 6 гирь: 2 красные, 2 белые и 2 синие. Внешне любая пара выглядит совершенно одинаково, но одна из гирь в каждой паре весит чуть больше другой. Все три более тяжёлые гири
имеют одинаковый вес. Все три более лёгкие гири также равны по весу. Можно ли с помощью
всего лишь двух взвешиваний на равноплечих весах определить, какая из гирь в каждой паре тяжелее?
11. В лагерь приехали 60 детей, у каждого из которых среди
остальных один или два друга. Отряды называются почти
равными, если в них количество детей отличается не
больше чем на 2. Докажите, что детей можно разбить на два
почти равных отряда так, что у каждого ребёнка в его отряде
окажется по крайней мере один друг.
12. Какое наибольшее количество слонов можно расставить
на доске 77 так, чтобы каждый слон бил четное число слонов?
VII Ижевский Командный Турнир Математиков. Отборочный тур, 18 октября 2015 года.
8 класс
1. Найдите наибольшее число, в котором цифры не повторяются и из которого нельзя с помощью вычеркивания одной цифры получить число, делящееся на 3. Если после вычеркивания
получится, что вначале числа стоит 0, то он игнорируется (считается, что у числа просто меньше
разрядов).
2. Есть 13 внешне одинаковых монет. Суд знает, что их веса 1г, 2г, …, 13 г. Эксперт знает точный
вес каждой монеты. У него есть весы с двумя чашками, которые показывают равновесие (загорается лампочка) или неравновесие, но не показывают, какая чаша тяжелее. Покажите, что
можно провести 3 взвешивания на таких весах так, чтобы суду стал ясен
вес каждой из монет?
3. Семь футбольных команд провели турнир в один круг, причем каждая
команда ровно два матча выиграла и ровно два проиграла. Могло ли
такое случиться, что никакие 3 команды не выиграли друг у друга по
циклу (то есть нет трёх таких команд А, Б и В, что А выиграла у Б, Б — у
В, а В — у А)?
4. В каждую клетку таблицы 15×15 можно поставить 0, 1 или 2. Сколькими способами можно
заполнить таблицу, чтобы сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце делилась на 3?
5. Пусть A = 12+22+….+20152, B= 13+24+35+…+20142016. Найдите, чему равно A–B.
6. В клетки таблицы 4×4 вписаны числа так, что сумма соседей (по стороне) каждой клетки
равна 1. Найдите сумму чисел в таблице.
7. Карлсон влил стакан малинового сиропа в банку с водой. Получился 25% раствор морса. Потом он добавил в банку еще
один стакан сиропа. Раствор какой концентрации получился в
результате?
8. Найдите углы равнобедренного треугольника, в котором
биссектриса и высота, проведённые из одной вершины, отличаются по длине в два раза.
9. На окружности отмечено n точек и проведен n+1 соединяющий их отрезок. Докажите, что
из этих отрезков можно выбрать три, составляющие несамопересекающуюся ломаную.
10. Каждая грань кубика 222 разделена на единичные квадратики. Какие-то два из них закрашены. Докажите, что незакрашенную поверхность кубика можно оклеить одиннадцатью прямоугольниками 21.
11. В шеренге стоят n мальчиков и n девочек. Им раздают конфеты по
следующему правилу: ребёнку X выдают m конфет, если выбрать пару
детей не такого, как у X, пола, стоящих по разные стороны от X, можно m способами. Докажите,
что общее число выданных конфет не превосходит n(n2–1)/3.
12. В треугольнике ABC провели биссектрису AL, высоту BH и медиану CM. Оказалось, что отрезок BH делится пополам прямой LM. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.
VII Ижевский Командный Турнир Математиков. Отборочный тур, 18 октября 2015 года.
8 класс, вариант 2
1. Найдите наибольшее число, в котором цифры не повторяются и из которого нельзя с помощью вычеркивания одной цифры получить число, делящееся на 3. Если после вычеркивания
получится, что вначале числа стоит 0, то он игнорируется (считается, что у числа просто меньше
разрядов).
2. Имеется 6 гирь: 2 красные, 2 белые и 2 синие. Внешне любая пара выглядит совершенно одинаково, но одна из гирь в каждой паре весит чуть больше другой. Все три более тяжёлые гири
имеют одинаковый вес. Все три более лёгкие гири также равны по весу. Можно ли с помощью
всего лишь двух взвешиваний на равноплечих весах определить, какая из
гирь в каждой паре тяжелее?
3. Семь футбольных команд провели турнир в один круг, причем каждая
команда ровно два матча выиграла и ровно два проиграла. Могло ли
такое случиться, что никакие 3 команды не выиграли друг у друга по
циклу (то есть нет трёх таких команд А, Б и В, что А выиграла у Б, Б — у
В, а В — у А)?
4. В каждую клетку таблицы 15×15 можно поставить 0, 1 или 2. Сколькими способами можно
заполнить таблицу, чтобы сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце делилась на 3?
5. Пусть A = 12+22+….+20152, B= 13+24+35+…+20142016. Найдите, чему равно A–B.
6. В клетки таблицы 4×4 вписаны числа так, что сумма соседей (по стороне) каждой клетки
равна 1. Найдите сумму чисел в таблице.
7. Карлсон влил стакан малинового сиропа в банку с водой. Получился 25% раствор морса. Потом он добавил в банку еще
один стакан сиропа. Раствор какой концентрации получился в
результате?
8. Найдите углы равнобедренного треугольника, в котором
биссектриса и высота, проведённые из одной вершины, отличаются по длине в два раза.
9. У Д’Артаньяна и трёх мушкетеров есть 100 монет. Они едут в ряд, плечом к плечу. У тех, кто
справа от Арамиса, в сумме 60 монет; слева от Атоса – 70 монет, а слева и
справа от Портоса монет поровну. Сколько монет у Д’Артаньяна?
10. Каждая грань кубика 222 разделена на единичные квадратики. Какие-то два из них закрашены. Докажите, что незакрашенную поверхность кубика можно оклеить одиннадцатью прямоугольниками 21.
11. Есть три кучки камней. Двое играют в игру. За ход игрок может взять
один камень из любой кучки или одну кучу целиком. Выигрывает тот, кто
взял последний камень. Докажите, что начинающий может выиграть независимо от количества
камней в кучках и игры соперника.
12. В треугольнике ABC провели биссектрису AL, высоту BH и медиану CM. Оказалось, что отрезок BH делится пополам прямой LM. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.
VII Ижевский Командный Турнир Математиков. Отборочный тур, 18 октября 2015 года.