08-08-04

08-08-04. Прямоугольная система координат в
пространстве
1. Возьмем куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Его гранями являются квадраты. Поэтому
ребра куба, выходящие из одной вершины, попарно перпендикулярны. Например, на
рисунке 1 перпендикулярны друг другу ребра BA , BC и BB1 .
Проведем через эти три взаимно перпендикулярных ребра куба три прямые и
каждую из них превратим в числовую прямую таким образом, чтобы точка B на каждой
прямой изображала нуль, а точка A на прямой BA , точка C на прямой BC , точка B1 , на
прямой BB1 изображали число 1 (рисунок 2).
Переобозначим теперь точку B как точка O и назовем началом прямоугольной
системы координат в пространстве.
Числовую прямую BA назовем первой координатной осью и обозначим Ox .
Числовую прямую BC назовем второй координатной осью и обозначим Oy .
Числовую прямую BB1 назовем третьей координатной осью и обозначим Oz
(рисунок 3).
Три координатные оси позволяют у каждой точки пространства определить три
координаты. Чтобы разъяснить, как это делается, рассмотрим следующий пример.
Отметим на оси Ox точку A с координатой -2, на оси Oy точку B с координатой 4,
на оси Oz точку C с координатой 3 и построим прямоугольный параллелепипед
OABCQMR , как на рисунке 4. Координаты вершин этого параллелепипеда определяются
как тройки чисел, расположенных в определенном порядке, следующим образом:
начало O системы координат имеет координаты (0;0;0);
точка A оси Ox имеет координаты (-2;0;0);
точка B оси Oy имеет координаты (0;4;0);
точка C оси Oz имеет координаты (0;0;3);
точка P плоскости Oxy имеет координаты (-2;4;0);
точка Q плоскости Oxz имеет координаты (-2;0;3);
точка R плоскости Oyz имеет координаты (0;4;3);
точка M , не лежащая ни в одной из плоскостей Oxy , Oxz , Oyz , имеет координаты
(-2;4;3).
Аналогично определяются координаты вершин любого прямоугольного
параллелепипеда, три ребра которого расположены на осях координат.
2. Координаты точек на осях.
В этом пункте разберем случай, когда точка M лежит на одной из координатных
осей. Тогда нужно найти координату точки M на соответствующей оси и записать эту
координату первой, если точка M лежит на оси Ox , второй, если точка M лежит на оси
Oy , третьей, если точка M лежит на оси Oz . Остальные координаты точки M равны
нулю.
Пример 1. На рисунке 6 точки M  N  K имеют координаты: M (3 0 0) , N (03 0) ,
K (0 0 4) .
3. Координаты точек координатных плоскостей.
В этом пункте рассмотрим, как находить координаты точки, лежащей в одной из
координатных плоскостей Oxy , Oxz или Oyz .
Пусть точка M лежит в плоскости Oxy . В этой плоскости опустим перпендикуляры
MK и ML на оси Ox и Oy соответственно и найдем координату a точки K на оси Ox и
координату b точки L на оси Oy (рисунок 7). Координатами точки M является тройка
чисел ( a b 0) . Например, точка M на рисунке 7 имеет координаты (3;-2;0).
Аналогично, пусть точка M лежит в плоскости Oxz . В этой плоскости опустим
перпендикуляры MK и ML на оси Ox и Oz соответственно и найдем координату a
точки K на оси Ox и координату c точки L на оси Oz (рисунок 8). Координатами точки
M является тройка чисел ( a 0 c) . Например, точка M на рисунке 8 имеет координаты (3;0;4).
4. Координаты точек в общем случае.
В этом пункте рассмотрим, как находить координаты точки M, не лежащей в одной
из координатных плоскостей Oxy , Oxz , Oyz .
Проведем через точку M прямую c параллельно оси Oz до пересечения с
плоскостью Oxy в точке P (рисунок 9). Затем через точку P проведем прямую b
параллельно оси Ox до пересечения с осью Oy в точке B и прямую a параллельно оси
Oy до пересечения с осью Ox в точке A (рисунок 10).
Построив прямоугольный параллелепипед с ребрами PM , PB , PA , на оси Oz
получим его вершину C (рисунок 11). Найдем координату a точки A на оси Ox ,
координату b точки B на оси Oy , координату c точки C на оси Oz . Точка M имеет
координаты ( a b c ) .
Например, точка M на рисунке 11 имеет координаты (2;4;-2).
5. Напомним, как в координатной плоскости вычисляется расстояние между двумя
точками по их координатам. Пусть A и B имеют координаты ( x1  y1 ) и ( x2  y2 ) , а отрезок
AB не параллелен ни одной из координатных осей. Если проведем перпендикуляры AA1 и
BB1 к оси Ox и перпендикуляры AA2 и BB2 к оси Oy , то получим прямоугольный
треугольник ABC (рисунок 12). Катеты этого треугольника
AC  OA2  OB2  y1  y2 
CB  OB1  OA1  x1  x2  
Значит, по теореме Пифагора AB  AC 2  BC 2 или AB  ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2 .
В шестом классе было доказано, что эта формула справедлива и тогда, когда отрезок
AB параллелен одной из координатных осей.
6. Формула расстояния между точками координатного пространства.
В пространстве расстояние между точками A( x1 y1 z1 ) и B( x2  y2  z2 ) вычисляется по
формуле
AB  ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2  ( z1  z2 )2 
Для того чтобы пояснить, как эта формула может быть доказана, рассмотрим
примеры.
Пример 2. Пусть A(0 2 0) и B(0 5 0) , то есть x1  0 , y1  2 , z1  0 , x2  0 , y2  5 ,
z2  0 . Тогда на оси Oy точки A и B имеют соответственно координаты y1  2 и y2  5
(рисунок 13).
Поэтому AB  y1  y2  2  5  . По формуле также имеем
AB  ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2  ( z1  z2 )2 
 O2  ( y1  y2 )2  O2  y1  y2  2  5  
Пример 3. Пусть A(31 0) и B(2 4 0) , то есть x1  3 , y1  1 , z1  0 , x2  2 , y2  4 ,
z2  0 . Тогда в плоскости Oxy точки A и B имеют соответственно координаты (3;1) и
(2;4) (рисунок 14).
Поэтому
AB  ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2 
 (3  1) 2  (1  4) 2 
По формуле также имеем
AB  ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2  ( z1  z2 )2 
 ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2  O2 
 ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2 
 (3  1) 2  (1  4) 2 
Пример 4. Пусть A(3 2 5) и B(1 5 3) , то есть x1  3 , y1  2 , z1  5 , x2  1 , y2  5 ,
z2  3 . Опустим на плоскость Oxy перпендикуляры AA1 и BB1 (рисунок 15). Получим,
что AA1  5 , BB1  3 , а точки A1 и B1 в плоскости Oxy имеют соответственно координаты
(3;2) и (1;5).
Следовательно,
A1B1  ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2 
 (3  1) 2  (2  5) 2 
Если теперь в прямоугольной
перпендикулярно AA1 , то получим
трапеции
AA1B1B
провести
отрезок
BC
AC  AA1  BB1  z1  z2  5  3 
BC  A1B1
Поэтому по теореме Пифагора
AB  BC 2  AC 2  A1B12  AC 2 
 ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2  ( z1  z2 )2 
 (3  1) 2  (2  5) 2  (5  3) 2 
7. Пусть куб со стороной единица расположен так, как на рисунке 1. Тогда вершины
куба имеют координаты:
A(0 0 0) , B (1 0 0) , C (11 0) , D(01 0) ,
A1 (0 01) , B1 (1 01) , C1 (111) , D1 (011) .
Рассмотрим несколько задач, связанных с этим кубом.
Пример 5. Найти координаты середины M ребра CD .
Решение. Так как точка M лежит на плоскости Oxy , ее последняя координата равна
нулю. В плоскости Oxy точка M имеет координаты  12 1 , и в итоге получаем, что
M  12 1 0 .
Пример 6. Найти координаты точки L пересечения диагоналей грани CC1D1D .
Решение. Все точки, лежащие на этой грани, имеют вторую координату, равную
единице. Найдем какие координаты имеет точка пересечения диагоналей единичного
квадрата AA1B1B на плоскости Oxz .
Для этого рассмотрим рисунок 17, откуда найдем, что L имеет координаты  12  12  .
Так как у точки L первая и третья координаты совпадают соответственно с первой и
третьей координатой точки L1 , то точка L имеет координаты 1 12  12  .
Пример 7. Какие из перечисленных точек лежат внутри куба ABCDA1B1C1D1 :
1 2 1 7 1 1
P(1 0 3) Q(3 4 2) F      R     
 2 3 3  5 2 2
Решение. Чтобы точка M лежала внутри единичного куба, необходимо и
достаточно, чтобы координаты ( x y z ) этой точки удовлетворяли следующим
неравенствам: 0  x  1 , 0  y  1 , 0  z  1 . Проверяя эти неравенства для координат
заданных точек, получаем, что точки P Q R лежат вне куба, а точка F — внутри.
Контрольные вопросы и задания
1. Что такое первая, вторая и третья координатная ось в пространстве?
2. Какие координаты имеют точки, лежащие на оси Ox ?
3. Какие координаты имеют точки, лежащие на оси Oy ?
4. Какие координаты имеют точки, лежащие на оси Oz ?
5. Какие координаты имеют точки, лежащие на плоскости Oxy ?
6. Какие координаты имеют точки, лежащие на плоскости Oxz ?
7. Какие координаты имеют точки, лежащие на плоскости Oyz ?
8. Как нарисовать в пространстве точку M с координатами ( a b c ) при a  0 ,
b  0 и c  0?
9. Чему на плоскости равно расстояние между двумя точками с координатами
( x1  y1 ) и ( x2  y2 ) ?
10. Чему в пространстве равно расстояние между двумя точками с координатами
( x1  y1  z2 ) и ( x2  y2  z2 ) ?
11.Чему равно расстояние от точки M с координатами ( a b c ) до начала системы
координат?
Задачи и упражнения
1. В пространстве рассматривается куб ABCDA1B1C1D1 , причем вершина A лежит в начале
координат, а ребро AB направлено по оси Ox , ребро AD — по оси Oy , ребро AA1 — по
оси Oz (рисунок 18). Пусть ребро куба равно: а) 1; б) 2; в) 3; г) 5; д) 1,5; е) 2,5. Найдите
координаты:
2) середины стороны 1) всех вершин куба; AD ;
3) середины стороны AA1 4) середины стороны ; CD ;
5) середины стороны C1D1 6) точки пересечения диагоналей ; B1C и C1B грани BB1C1C ;
7) точки пересечения диагоналей A1C и BD1 8) объем куба. куба;
2. В пространства рассматривается прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 ,
причем вершина A лежит в начале координат, а ребро AD направлено по оси Ox и равно 3,
ребро AB направлено по оси Oy и равно 2, ребро AA1 направлено по оси Oz и равно 1.
Найдите координаты:
1) всех вершин прямоугольного параллелепипеда;
2) середины стороны AD 3) середины стороны ; AA1 ;
4) середины стороны CD 5) середины стороны ; C1D1 ;
6) точки пересечения диагоналей B1C и C1B грани BB1C1C ;
7) точки пересечения диагоналей A1C и BD1 прямоугольного параллелепипеда;
8) объем параллелепипеда.
3. В пространства рассматривается прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 ,
причем вершина A лежит в начале координат, а ребро AD направлено по оси Ox и равно 2,
ребро AB направлено по оси Oy и равно 4, ребро AA1 направлено по оси Oz и равно 2.
Найдите координаты:
1) всех вершин прямоугольного параллелепипеда;
2) середины стороны AD ;
3) середины стороны AA1 ;
4) середины стороны CD ;
5) середины стороны C1D1 ;
6) точки пересечения диагоналей B1C и C1B грани BB1C1C ;
7) точки пересечения диагоналей A1C и BD1 прямоугольного параллелепипеда;
8) объем параллелепипеда.
4. Найдите расстояние между точками A и B с координатами:
а) A(111) , B(1 3 2) б) ; A(21 4) , B(1 5 6) ;
в) A(1 41) , B (1 0 2) г) ; A(1 6 2) , B (11 0) ;
д) A(1 0 0) , B(5 4 0) е) ; A(1 5 01 5) , B (0 5 0 5 0) ;
ж) A(0 51 5 2 5) , B (01 0) .
5. Найдите расстояние от точки M с координатами:
в) б) (1;0;4); а) (1;1;1);  12  5 2 ;
д) г) (6;2;4);
 12  23  23  ;
;  12  13  16  ;
е)  12  13  12  ж)
до начала системы координат.
6. Возьмем восемь точек с координатами
(2;2;2), (2;2;-2), (2;-2;2), (-2;2;2), (2;- 2;-2), (-2;2;-2), (-2;-2;2), (-2;-2;-2).
Ответьте на следующие вопросы:
а) в вершинах какого многогранника расположены эти точки;
б) какая из этих точек наиболее удалена от начала системы координат;
в) какая из этих точек наиболее удалена от точки (2;2;2);
г) какая из этих точек наименее удалена от точки (2;2;2)?
7. В пространства рассматривается куб ABCDA1B1C1D1 , причем вершина A лежит в начале
координат, а ребро AB направлено по оси Ox , ребро AB — по оси Oy , ребро AA1 — по
оси Oz .
Длины всех ребер куба равны 1. Обозначим через M — середину стороны C1 D , через N
точку пересечения диагоналей B1C и C1B грани BB1C1C , через O — центр куба, то есть
точку пересечения всех диагоналей AC1 , BD1 , CA1 , DB1 , через L – точку с координатами
(2;0;0).
Найдите расстояние:
а) AM
; б) AN ; в) MN ;
г) OL ; д) NL ; е) BL .
8. Рассматривается такой же куб, что и в упражнении 7. Какие из перечисленных ниже
точек лежат внутри куба, а какие вне него:
P(2 6 0) , Q (0 0 4) , R  12  13  16  , S  12  13  2 , F  12  0 81  ?
Ответы и указания к решению наиболее трудных задач.
Задача 7. Указания. После того, как найдены координаты всех вершин куба,
координаты точки M можно вычислить как координаты середины отрезка C 1 D1 ,
координаты точки N как координаты середины отрезка CB1 , координаты точки O как
координаты середины отрезка A1C .
Задача 8. Указания. Точка T с координатами ( a b c ) лежит внутри куба из задачи 7
тогда и только тогда, когда 0  a  1, 0  b  1 , 0  c  1; точка T лежит на поверхности
куба тогда и только тогда, когда хотя бы одна из координат равна либо 0, либо 1; в
остальных случаях точка T лежит вне куба.