Теория оптимизации

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Московский физико-технический институт (государственный университет)»
МФТИ
«УТВЕРЖДАЮ»
Проректор по учебной и методической работе
_______________ Д.А. Зубцов
«___»______________ 20___ г.
Рабочая программа дисциплины (модуля)
по дисциплине:
Теория оптимизации
по направлению:
Прикладные математика и физика (магистратура)
профиль подготовки/
магистерская программа: Телекоммуникационные сети и системы
факультет:
радиотехники и кибернетики
кафедра:
проблем передачи информации и анализа данных
курс:
1
квалификация:
магистр
Семестр, формы промежуточной аттестации: 9 (Осенний) - Дифференцированный зачёт
Семестр, формы промежуточной аттестации: 10 (Весенний) - Экзамен
Аудиторных часов: 68 всего, в том числе:
лекции: 68 час.
практические (семинарские) занятия: 0 час.
лабораторные занятия: 0 час.
Самостоятельная работа: 10 час. всего, в том числе:
задания, курсовые работы: 0 час.
Подготовка к экзамену: 30 час.
Всего часов: 108, всего зач.ед.: 3
Программу составил: Г.Г. Магарил-Ильяев, доктор физико-математических наук, профессор
Программа обсуждена на заседании кафедры
14 мая 2014 года
СОГЛАСОВАНО:
Заведующий кафедрой
А.П. Кулешов
Декан факультета радиотехники и кибернетики
С.Н. Гаричев
Начальник учебного управления
И.Р. Гарайшина
1. Цели и задачи
Цель дисциплины
Освоение студентами основ теории оптимизации.
Задачи дисциплины
- фундаментальная подготовка студентов в области теории оптимизации;
- формирование подходов к выполнению самостоятельных исследований студентами в
области теории оптимизации.
2. Место дисциплины (модуля) в структуре образовательной программы бакалавриата (магистратуры
Дисциплина «Теория оптимизации» включает в себя разделы, которые могут быть отнесены к
вариативной части цикла М.1.
Дисциплина «Теория оптимизации» базируется на дисциплинах:
Функциональный анализ;
Выпуклый анализ;
Дифференциальные уравнения.
3. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю), соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной
Освоение дисциплины «Теория оптимизации» направлено на формирование следующих общекультурных, общепрофессиональных и профессиональных компетенций бакалавра/магистра:
способность анализировать научные проблемы и физические процессы, использовать на
практике фундаментальные знания, полученные в области естественных наук (ОК-1);
способность осваивать новую проблематику, терминологию, методологию и овладевать научными знаниями и навыками самостоятельного обучения (ОК-2);
способность логически точно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь,
формулировать свою точку зрения; владение навыками ведения научной и общекультурной
дискуссий (ОК-4);
способность применять в своей профессиональной деятельности знания, полученные в области физических и математических дисциплин, включая дисциплины: информатика, программирование и численные методы; физические основы получения, хранения, обработки и передачи информации; высшая математика (ПК-1);
способность понимать сущность задач, поставленных в ходе профессиональной деятельности, и использовать соответствующий физико-математический аппарат для их описания и
решения (ПК-3);
способность использовать знания в области физических и математических дисциплин для
дальнейшего освоения дисциплин в соответствии с профилем подготовки (ПК-4);
способность применять теорию и методы математики для построения качественных и количественных моделей (ПК-8);
способность работать в коллективе исполнителей над решением конкретных
исследовательских и инновационных задач (ПК-9).
В результате освоения дисциплины обучающиеся должны
знать:
- принцип Лагранжа получения необходимых условий в различных экстремальных задачах с
ограничениями;
2
- принципы двойственности для выпуклых объектов (множеств, функций, экстремальных задач);
- постановки задач оптимального восстановления линейных функционалов и операторов на
классах элементов по неточной информации о самих элементах и их связь с
соответствующими двойственными задачами;
уметь:
- выписывать, опираясь на принцип Лагранжа, необходимые условия экстремума в произвольной задаче с ограничениями;
- решать задачи математического и выпуклого программирования, вариационного исчисления
и оптимального управления;
владеть:
- навыком освоения большого объема информации;
- навыками постановки научно-исследовательских задач и навыками самостоятельной работы.
4. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и видов учебных занятий
4.1. Разделы дисциплины (модуля) и трудоемкости по видам учебных занятий
№
Тема (раздел) дисциплины
Основные идеи и методы тео1 рии экстремума и выпуклого
анализа
Задачи оптимального восстановления линейных функцио2
налов и операторов по неточной информации
Итого часов
Общая трудоёмкость
Виды учебных занятий, включая самостоятельную работу
Практич.
Задания,
Лаборат.
Самост.
Лекции
(семинар.)
курсовые
работы
работа
занятия
работы
34
5
34
5
68
78 час., 2 зач.ед.
10
4.2. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам)
Семестр: 9 (Осенний)
1. Основные идеи и методы теории экстремума и выпуклого анализа.
Аппарат теории экстремума. Экстремальные задачи без ограничений. Принцип Лагранжа для
конечномерных экстремальных задач с ограничениями. Принцип Лагранжа для задач вариационного исчисления. Принцип Лагранжа для задач оптимального управления. Выпуклые
множества и выпуклые функции. Теоремы отделимости. Субдифференциальное исчисление.
Двойственность в выпуклом анализе. Принцип Лагранжа для выпуклых экстремальных задач.
Семестр: 10 (Весенний)
2. Задачи оптимального восстановления линейных функционалов и операторов по неточной
информации.
3
Предварительные сведения. Общие результаты о восстановлении линейных функционалов по
неточной информации. Задачи интерполяции, экстраполяции, дифференцирования, интегрирования и др. Оптимальное восстановление функций и их производных по неточно заданному спектру. Оптимальное восстановление решений дифференциальных уравнений по неточным исходным данным.
5. Описание материально-технической базы, необходимой для осуществления образовательного процесса по дисциплине (модулю)
Учебная аудитория, оснащенная мультимедийным оборудованием (проектор или плазменная
панель), доской.
6. Перечень основной и дополнительной литературы, необходимой для освоения дисциплины
(модуля)
Основная литература
1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. Изд-е 3-е. М.:
Физматлит, 2007. - 406 с.
2. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. Изд-е 3-е. М.:
УРСС, 2011. - 176 с.
3. Арутюнов А.В., Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Принцип максимума Понтрягина.
Доказательство и приложения. М.: Факториал Пресс, 2006. - 144 с.
4. Галеев Э.М., Зеликин М.И., Конягин С.В., Магарил-Ильяев Г.Г., Осмоловский Н.П., Протасов В.Ю., Тихомиров В.М., Фурсиков А.В. Оптимальное управление. М.: МЦНМО, 2008. -
320 с.
7. Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работы обучающихся по
дисциплине (модулю)
1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. Учебник. Изд-е 3е. М.: Физматлит, 2007. - 406 с.
8. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», необходимых
для освоения дисциплины (модуля)
9. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости)
На лекционных занятиях используются мультимедийные технологии, включая демонстрацию
презентаций.
10. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
Студент, изучающий дисциплину, должен, с одной стороны, овладеть общими понятийным
аппаратом, а с другой стороны, должен научиться применять теоретические знания на практике.
В результате изучения дисциплины студент должен знать основные определения, понятия,
принципы постановки задач, методы доказательств.
Успешное освоение курса требует напряженной самостоятельной работы студента. В программе курса отведено минимально необходимое время для работы студента над темой. Са4
мостоятельная работа включает в себя:
- чтение и конспектирование рекомендованной литературы;
- проработку учебного материала (по конспектам занятий, учебной и научной литературе),
подготовку ответов на вопросы, предназначенные для самостоятельного изучения, решение
задач;
- подготовка к дифференцированному зачёту и экзамену.
Руководство и контроль за самостоятельной работой студента осуществляется в форме индивидуальных консультаций.
Важно добиться понимания изучаемого материала, а не механического его запоминания. При
затруднении изучения отдельных тем, вопросов следует обращаться за консультациями к лектору.
11. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам обучения
Приложение.
5
ПРИЛОЖЕНИЕ
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«Теория оптимизации»
1. Перечень типовых контрольных заданий, используемых для оценки знаний, умений, навыков
Перечень контрольных вопросов к дифференцированному зачёту:
1. Понятие производной для конечномерных отображений.
2. Необходимые и достаточные условия минимума для конечномерной задачи без ограничений.
3. Принцип Лагранжа для конечномерной задачи с ограничениями типа равенств.
4. Принцип Лагранжа для конечномерной задачи с ограничениями типа равенств и неравенств.
5. Необходимые условия экстремума в простейшей задаче вариационного исчисления.
6. Необходимые условия экстремума в задаче Больца.
7. Необходимые условия экстремума в изопериметрической задаче.
8. Необходимые условия экстремума в задаче Лагранжа.
9. Необходимые условия минимума в задаче оптимального управления.
10. Понятие выпуклого множества, выпуклой оболочки множества, выпуклой функции. Основные
операции над выпуклыми множествами.
11. Формулировка конечномерной теоремы отделимости для выпуклых множеств.
12. Понятие субдифференциала выпуклой функции. Примеры.
13. Понятие двойственной задачи к данной задаче. Двойственность в линейном программировании.
Перечень контрольных вопросов к экзамену:
1. Постановка задачи оптимального восстановления линейного функционала на классе элементов по
неточной информации о самих элементах. Примеры.
2. Торема двойственности для задачи оптимального восстановления линейного функционала.
3. Постановка задачи оптимального восстановления линейного оператора на классе элементов по
неточной информации о самих элементах. Примеры.
4. Постановки задач об оптимальных квадратурах, интерполяции и экстраполяции. Двойственные
задачи.
5. Постановка задачи и формулировка результата об оптимальном восстановлении значения периодической функции в данной точке по ее неточно заданным коэффициентам Фурье.
6. Постановка задачи и формулировка результата об оптимальном восстановлении значения функции, заданной на прямой, в данной точке по ее неточно заданному преобразованию Фурье.
7. Постановка задачи и формулировка результата об оптимальном восстановлении периодической
функции в среднеквадратической метрике по ее неточно заданным коэффициентам Фурье.
8. Постановка задачи и формулировка результата об оптимальном восстановлении функции, заданной на прямой, в среднеквадратической метрике по ее неточно заданному преобразованию Фурье.
9. Постановка задачи и формулировка результата о наилучшем восстановлении решения уравнения
теплопроводности по его неточным измерениям в отдельные моменты времени.
10. Постановка задачи и формулировка результата о наилучшем восстановлении решения уравнения
теплопроводности по неточно заданным начальным условиям.
6
2. Критерии оценивания
Оценка
Баллы
10
отлично
9
8
7
хорошо
6
5
4
удовлетворительно
3
неудовлетворительно
2
Критерии
Выставляется студенту, показавшему всесторонние, систематизированные, глубокие знания учебной программы дисциплины,
проявляющему интерес к данной предметной области, продемонстрировавшему умение уверенно и творчески применять их на
практике при решении конкретных задач, свободное и правильное
обоснование принятых решений.
Выставляется студенту, показавшему всесторонние, систематизированные, глубокие знания учебной программы дисциплины
и умение уверенно применять их на практике при решении конкретных задач, свободное и правильное обоснование принятых
решений.
Выставляется студенту, показавшему систематизированные,
глубокие знания учебной программы дисциплины и умение уверенно применять их на практике при решении конкретных задач,
правильное обоснование принятых решений, с некоторыми недочетами.
Выставляется студенту, если он твердо знает материал, грамотно и по существу излагает его, умеет применять полученные
знания на практике, но недостаточно грамотно обосновывает полученные результаты.
Выставляется студенту, если он твердо знает материал, грамотно и по существу излагает его, умеет применять полученные
знания на практике, но допускает в ответе или в решении задач
некоторые неточности.
Выставляется студенту, если он в основном знает материал,
грамотно и по существу излагает его, умеет применять полученные знания на практике, но допускает в ответе или в решении задач достаточно большое количество неточностей.
Выставляется студенту, показавшему фрагментарный, разрозненный характер знаний, недостаточно правильные формулировки базовых понятий, нарушения логической последовательности в изложении программного материала, но при этом он освоил
основные разделы учебной программы, необходимые для дальнейшего обучения, и может применять полученные знания по образцу в стандартной ситуации.
Выставляется студенту, показавшему фрагментарный, разрозненный характер знаний, допускающему ошибки в формулировках базовых понятий, нарушения логической последовательности в изложении программного материала, слабо владеет основными разделами учебной программы, необходимыми для
дальнейшего обучения и с трудом применяет полученные знания
даже в стандартной ситуации.
Выставляется студенту, который не знает большей части основного содержания учебной программы дисциплины, допускает
грубые ошибки в формулировках основных принципов и не умеет
использовать полученные знания при решении типовых задач.
7
1
Выставляется студенту, который не знает основного содержания учебной программы дисциплины, допускает грубейшие
ошибки в формулировках базовых понятий дисциплины и вообще
не имеет навыков решения типовых практических задач.
3. Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков
и (или) опыта деятельности
Дифференцированный зачёт и экзамен проводятся в устной форме.
При проведении устного дифференцированного зачёта и экзамена обучающемуся предоставляется
30 минут на подготовку. Опрос обучающегося по билету на устном экзамене не должен превышать
двух астрономических часов.
Во время проведения дифференцированного зачёта и экзамена обучающиеся могут пользоваться
программой дисциплины, а также справочной литературой, вычислительной техникой и проч.
8