21 Лекция 10 (19 ноября 2002 года). Замечание. Пусть X ,1 и X , 2 - пространства с разными топологиями 1 и 2 . Определение1. 1 2 , если всякое открытое множество G в 2 Определение2. 1 2 , если из x G2 2 G1 1 т.ч. открыто в 1. x G1 G2 . Утверждение. Определения эквивалентны. Доказательство. 2) 1) Пусть G2 2 G2 G x 1 G1 x - открытые в 1 , но объединение xG2 G1 x G2 открытых в 1 - открытое в 1 G2 - открытое в 1 . Пусть Х, У – топологические пространства. : X Y называется непрерывным в точке x X , если для любой y x окрестность U x в Х, т.ч. U x Vy . непрерывна на Х, если она Определение. Отображение окрестности V y в Y, непрерывна x X . Теорема. : X Y непрерывно на Х прообраз 1 G открыт для любого открытого G Y. Доказательство. Пусть непрерывна, G – открыто. 1 G Пусть окрестность точки у, т.ч. V y G. Тогда т.к. x , y x . Пусть V y непрерывна в точке х, то U x окрестность точки х, т.ч. U x Vy G 1 U x U x 1 Vy 1 G открыто. Пусть x X , y x ,Vy окрестность точки у, тогда положим U x 1 Vy это множество открыто, причём U x V y можно записать: U x V y . Это и есть условие непрерывности. Упражнение. : X Y непрерывно прообраз 1 G любого замкнутого множества G Y является замкнутым. АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ Основных аксиом 4: T1 , T2 , T3 , T4 четыре типа топологических пространств в зависимомти от того, какую аксиому мы там приняли. Например: T1 пространства: x, y X , x yOx окрестность точки х, т.ч. y Ox. T2 пространства (или хаусдорфовы): x, y X , x yOx, Oy окрестности точек х и у соответственно, т.ч. эти окрестности не пересекаются, т.е. Ox Oy . T4 пространства (или нормальные): для любых замкнутых M1 , M 2 X : M1 M 2 , открытые G1 M1 , G2 M 2 , т.ч. G1 G2 . Если говорится про топологическое пространство, но не оговариваются условия, то обычно полагается, что оно хаусдорфово. КОМПАКТНОСТЬ Определение. Х – ,топологическое пространство, называется компактным, если из любого его покрытия открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие. 22 Определение. Система A называется центрированной, если любое конечное покрытие элементов n этой системы: A . i i 1 Теорема. Х – компактное пространство множеств имеет непустое пересечение, т.е. Доказательство. любая центрированная система A замкнутых A . Пусть A центрированная, определению они открыты. Предположим, что A A замкнутое. Рассмотрим: G X \ A . Тогда по A . По теореме двойственности G X , но Х – n компактное пространство можем выбирать Gj , т.ч. Gj X , j 1 n A j . Противоречие, т.к. A j 1 центрированная система. Пусть G открытое покрытие Х, т.е. G X , тогда A X \ G замкнутое. Пусть нельзя из n n j 1 j 1 G выбрать конечное подпокрытие, т.е. Gj X Aj , т.е. A центрированная система (по определению). A . Противоречие с тем, что G X . Определение. Х – предельная точка, если любая проколотая окрестность точки Х содержит хотя бы одну точку. А точка прикосновения может совпадать с Х, т.е. класс предельных точек несколько уже. Теорема. Пусть Х – компактное пространство. Тогда каждое его бесконечное множество имеет предельную точку. Доказательство. Пусть A .M X , M содержит бесконечное число элементов: x1 , x2 ,..., xn ,... M . M n xn , xn1 ,... . Если М не содержит предельные точки, то М1 тоже не содержит предельные точки, не принадлежащие самому пространству Х (а не М1!!!). Тогда М1 не содержит предельной точки все Мn замкнуты (из определения) во всём Х; Мn – центрированные, M множество точек прикосновения М M множество предельных точек. M n противоречие, т.е. Х – не компактное пространство. Обозначим: Теорема. Х – компактное пространство. Доказательство. Пусть M X . Если М – замкнута, то М – компакт. F центрированная система замкнутых в М множеств. Тогда F центрированная система замкнутых множеств в Х F в Х М – компактно. пересечение Fn Определение. Компактное хаусдорфово пространство называется компактом. Теорема. Пусть К – компакт в хаусдорфовом пространстве Х. Тогда К – замкнут в Х. Доказательство. Пусть К – компакт, x K , y K . Докажем, что Х\К – открыто, т.е. точек х и у, т.ч. Ox Oy . Теперь у –fix, а х пробегает весь компакт К. Тогда окрестности Ox, Oy K Ox - открытое xK покрытие компакта. Выделим конечное подпокрытие: K n O i 1 –fix, а х пробегает К) т.к. O y xi K , то y V y xi , но тогда (т.к. O y x Oy зависит от х , т.к. у n O x ,V y i 1 i y K X \ K открыто. 23 Теорема. Пусть Х – компактное пространство. пространство в У. : X Y , Доказательство. Область компактного пространства есть компакт. Пусть возьмём непрерывна. Тогда x V -открытое покрытие x . Тогда V открытое покрытие Х: т.е. X V . Выделим конечное подпокрытие: 1 1 1 Vi Vi конечное подпокрытие x . компактное