СПб ГОУ СПО «КОР №1» Материал для дистанционного обучения «Определение производной, ее физический и геометрический смысл» Учитель: Нарижная Ольга Борисовна Санкт-Петербург 2012-2013 уч.год 1 Определение производной, ее физический и геометрический смысл. Определение. Производной функции y f x по аргументу х, называется предел отношения приращения функции y к приращению аргумента x , когда x стремится к нулю. y lim y y x x y x . lim x x x 0 x 0 Так как мгновенной или истинной скоростью называется предел, к которому стремится v ср. S 2 S1 t 2 t1 , когда интервал времени, на котором она измеряется, стремится к нулю, т.е. S S t . Следовательно, физический смысл производной состоит в том, что t 0 t lim v ср. v мгн. lim t 2 t1 производная есть скорость изменения данной функции. Рассмотрим график произвольной функции y f x : 0.8 0.6 0.4 B y 0.2 A 0 0 C x 1 2 3 4 5 BAC k AB tg tgABC BC y AC x y y x k кас x Следовательно, геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной проведенной к графику функции в эту точку. Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Для нахождения производной от данной функции y f x необходимо провести следующие действия: 1) дать аргументу x приращение x , вычислить наращенное значение функции y y f x x ;2)найти соответствующее приращение функции: y f x x f x ;3) составить Если x 0 ,то B A; 0 Прямая AB касательной α tg o lim 2 отношение приращения функции к приращению аргумента: y f x x f x ;4) найти предел x x данного отношения при x 0 . Вычислим производные от некоторых элементарных функций. 1. Производная постоянной равна нулю, т.е. если y=C, где C=const, то y 0 . док-во: y=C, следовательно, при любом значении x y f x C y y f x x C y f x x f x C C 0 y y 0 y lim 0 y 0 x x 1 1 2. y log a x , то y log a e x x ln a Доказательство: y y log a x x x x x y log a x x log a x log a log a 1 , x x y 1 x log a 1 x x x Домножим и разделим на x выражение, стоящее в правой части последнего равенства: x y 1 x x 1 x x log a 1 log a 1 x x x x x x x Обозначим величину через α. Очевидно, что 0 при x 0 и данном x. Следовательно: x 1 1 y 1 log a 1 т.к. lim 1 e x x 0 1 1 y 1 1 y lim lim log a 1 log a e . ч.т.д. x x x x ln a x 0 0 Доказывая аналогичными способами можно вывести производные всех элементарных функций. Таблица производных элементарных функций: 1. x n nx n1 6. e x e x 2. sin x cos x 7. a x a x ln a 3. cos x sin x 4. tgx 1 cos2 x 5. ctgx 1 sin 2 x 1 8. ln x x 9. log a x 1 x ln a Приведем примеры вычисления производных: x÷ 1 ; 2 x 2 ; 5 x 5 ; 7 x 1 7 ; 3 4 x 4 , следовательно к таблице производных необходимо добавить производную линейной функции: 3 kx b k Правила дифференцирования. Теорема 1. Постоянный множитель выносится за знак производной. Доказательство: y C U x y y C U x x y C U x x C U x C U x x U x y C U x x U x U y lim lim C lim CU x x x 0 x x 0 x 0 ч.т.д. Теорема 2. Производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна соответствующей сумме производных этих функций. U x V x W x U x V x W x Теорема 3. Производная от произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции на вторую плюс произведение первой функции на производную от второй,т.е. если y U V y U V V U Теорема 4. Производная частного равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя исходной дроби,а числитель есть разность между произведением знаменателя на производную числителя и произведением числителя на производную знаменателю, т.е. U V UV U если y , то y . V V2 Теорема 5. Если функция U x , имеет в некоторой точке х производную U x x , а функция y F x имеет при соответствующем значении U производную yu F U , тогда сложная функция y F x в указанной точке х, также имеет производную, которая равна y x Fu U x Приведем несколько примеров нахождения производных: Пример 1. f x x 2 x 1 1 f x x 2 x x 2 x1 / 2 2 x x 1 / 2 2 x 2 2 x Пример 2. 4 f x x 3 3x f x x 3 3x x 3 3x 3x 2 3x 3x 2 3 Пример 3. 1 1 1 f x x x 3x 1 1 f x x 1 x 1 / 2 x 1 / 3 1x 2 x 3 / 2 x 4 / 3 2 3 Пример 4. 2x f x 1 x2 f x 2 x 1 x 2 1 x 2 2 x 1 x 2 2 21 x 2 2 x 2 x 2 2x2 4x2 2 2x2 2 2 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 Пример 5. f x 2 x 2 cos x 2 x sin x f x 2 x 2 cos x 2 x 2 cos x 2 x sin x 2 x sin x 2 x cos x 2 x 2 sin x 2 sin x 2 x cos x 2 x cos x 2 sin x x 2 sin x 2 sin x 2 x cos x x 2 sin x Пример 6. f x e x cos x e x cos x e x sin x e x sin x Пример 7. 5 f x log 2 4 x 1 x 5 1 1 2 f x log 2 4 x 4 x 5 11 x 1 x log 2 4 x 51 x 1 x 4 x ln 2 4 1 5 2 5 1 x 1 4 x ln 2 x ln 2 1 x 2 Пример 8. f x sin 5 x e 3 x 1 f x sin 5 x e 3 x 1 sin 5x e 3 x 1 cos 5 x 5x e 3 x 1 3x 1 5 cos 5x 3e 3 x 1 Пример 9. 5 1 f x ln 4 x2 1 x2 1 2 2 2 2 x2 1 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2x x2 1 2x x2 1 f x 2 2 2 4 x 2 1 x 2 1 4 x 2 1 2 4 x 1 x 1 x 1 x2 1 2 x3 2 x 2 x3 2 x 4 x4 1 4x 4 x4 1 x x4 1 Если вы смогли разобраться как берутся производные, попробуйте сами отработать тренажеры по взятию производной. Найдите производную функции : 1. x 7 1. x 11 2. x 3. 4 x 4. 4. x3 3 2 5. 2 x 3x 3 2 6. 3 x 8. 4 x 1 1 x x2 8. 3 3x 3 x 3 2x 3 11. x 1 10. x 12. x 1 x 4 3 x6 4 3 5. 3x 2 x 8 3 6. 4 x 7. 9. 2 x 6 5 2. x 3. 5 x 2 7. Найдите производную функции: 6 3 2 x 2 x3 4 4x 4 3 9. 3 x 4 x 10. 3 x 4 x 11. x2 x2 1 4 2 12. x x x 7 6 Найдите производную функции: 4 Найдите производную функции: x x3 x 8 2x2 3 4 x 2x 3 3 x 4 3 x 5 x2 2 x3 6 x 1 6 5 x 2 3x 2 2 x3 7 2 x 1 x3 5x 2 x 3 4x 2 3 x 3x 3 9x x2 x 2 x 4 4 3 x x 2 x 5 4 x 4 x x2 2x 1x3 x x2 2 x3 x 3 x 5 Применение производной. Одним из основных направлений применения производной является исследование поведения функций. Сформулируем необходимые для этого теоретические положения. Первый признак существования экстремума: пусть функция f x непрерывна в некотором интервале содержащем критическую точку x , и дифференцируема во всех точках этого интервала. 0 Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при x x функция имеет максимум. Если же при переходе через точку x слева направо производная 0 0 меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум. Второй признак существования экстремума: Если первая производная в точке x равна нулю, а 0 вторая производная отрицательна, то при x x функция имеет максимум. Если вторая производная 0 положительна, то минимум. 7 3 Пример: исследовать на экстремумы функцию y x 1 x 2 3 y x 2 y 0; y 2 x 1 5x 2 33 x + 33 x 0; x max - 5x 2 33 x 2 5 min + ---------------.---------------.--------------------------- 0 2/5 y Так как при х=0 производная не существует, эта точка также является критической. Точка х=0 2 является точкой максимума функции, а точка x точкой минимума функции. 5 Пример: y 2 sin x cos 2 x Исследовать функцию на экстремумы . y 2 cos x 2 sin 2x 2cos x 2 sin x cos x 2 cos x1 2 sin x Исследуем эту функцию на экстремумы на отрезке 0;2 , так как она периодическая с периодом 2π . Решая уравнение, y 0 или 2 cos x1 2 sin x 0 , находим критические точки 5 3 Находим вторую производную: x1 ; x2 ; x3 ; x4 6 2 6 2 y 2 sin x 2 cos 2 x 1 1 y x1 2 4 3 0 x1 максимум 2 2 6 y x 2 2 1 4 cos 2 0 x 2 2 минимум 1 1 5 4 3 0 x3 максимум 2 2 6 3 y x 4 2 1 4 1 6 0 x 4 минимум 2 y x3 2 С помощью теории максимума и минимума решаются многие задачи геометрии, механики, биомеханики. Если вы смогли разобраться, как решаются задачи на применение производной попробуйте выполнить следующие задания: Найдите экстремумы функций: 8 1. y x 2 1 2. y 3 x 2 4 x 3. y x 3 3 x 2 4. y 2 x 3 24 x 5 5. y 2 x 3 3 x 2 12 x 5 6. y x 2 2 3 x 1 7. y x 4 4 x 3 4 x 2 8. y 2 x1 3 x 3 x2 1 9. y x 10. y x3 4 x2 11. y x 2 1 x2 12. y x 4 13. y x 14. y 15. y 2 x 2x x2 9 6 x 1 x2 3 x2 2x 2 16. y x 1 17. y x 1 x 18. y 2 x 2 x 3 19 y x 2 1 20. y x 2 1 2 x 9 Связь свойств функции и производной Укажите, какому свойству удовлетворяет функция y(x) на отрезке [1;3], если задана ее производная Свойство функции ---------------------Производная Возрастает Имеет максимум Имеет минимум Постоянна Убывает y 5 y 2 x y 1 2 x y 0 y 5 Укажите, какому свойству удовлетворяет функция y(x) на отрезке [-2;0], если задана ее производная Свойство функции ---------------------Производная Возрастает Имеет максимум Имеет минимум Постоянна Убывает y 3 y 3x 5 y 3x 5 y 0 y 3x 2 5 Укажите, какому свойству удовлетворяет функция y(x) на отрезке [2;8], если задана ее производная Свойство функции ---------------------Производная Возрастает Имеет максимум Имеет минимум Постоянна Убывает y 7 y x 6 y 3x 5 y -x+1 y -x² 10 Укажите, какому свойству удовлетворяет функция y(x) на отрезке [-2;-5], если задана ее производная Свойство функции ---------------------Производная Возрастает Имеет максимум Имеет минимум Постоянна Убывает y 7 x y 2x 6 y x 4 y 0 y x²+2 Текстовые задачи на наибольшее, наименьшее значение функции Задача: В правильной треугольной призме диагональ боковой грани равна 2. Найдите наибольшее значение площади боковой поверхности Схема решения задачи Ввести неизвестное Решение конкретной задачи Пусть х – сторона основания призмы Пояснения За х принимается любая из неизвестных величин Выразить все необходимые для решения задачи величины через введенное неизвестное Рассмотрим треугольник Пифагора Составить О.Д.З. Составить функцию BCC1 , тогда по теореме CC1 4 x 2 x 0;2 S x 3x 4 x 2 Учитываются не только алгеброические ограничения, но и физические За функцию принимается та величина, о наибольшем наименьшем которой идет речь 11 Исследовать функцию на наибольшее, наименьшее на интервале S x 3 x 4 x 2 4 x 2 3 x 3 x 2 x 3 4 x2 2 2 4x 3 4 x 2 3x 2 4 x2 S x 0 12 6 x 2 0 x 2 ; 2 0;2 _______________________ На промежутке (0; промежутке [ 2 ] функция возрастает, а на 2 ,2) убывает, следовательно в точке х= 2 функция имеет максимум, а значит принимает в этой точке наибольшее значение на данном интервале 2 2 Найти все значения необходимые для ответа на вопрос CC1 4 Записать ответ Ответ: наибольшее значение площади равно 6 2 S x 3 2 2 6 Если вы смогли разобраться в решении текстовых задач попробуйте сделать следующие задачи самостоятельно: 1.Рассматриваются квадраты, вписанные в различные равнобедренные треугольники с боковыми сторонами, равными 1. (одна сторона квадрата лежит на основании). Найдите сторону наибольшего квадрата. 2. Найдите высоту и радиус основания прямого кругового цилиндра наибольшего объема, описанного около единичного шара. 3. Два корабля движутся по параллельным прямым, находящимся на расстоянии 4 км друг от друга. В какой-то момент времени отрезок, их соединяющий, перпендикулярен их курсам. Скорость первого равна 16 км\час, скорость второго 20 км\час. С первого корабля отправляется посыльный катер, скорость которого 28 км\час. Катер доплывает до второго корабля и тут же возвращается обратно. Какое наименьшее время может продолжаться поездка катера, если: а) оба корабля идут в одном направлении; б) корабли идут в противоположных направлениях? 4. В два различных сосуда налиты растворы соли, причем в первый сосудналито 5 кг, а во второй – 20 кг. При испарении воды процентное содержание соли в первом сосуде увеличилось в p раз,а во втором сосуде в q| раз. Известно, что pq=9. Какое наибольшее количество воды могло при этом испариться из обоих сосудов? 12