1 Контрольная работа 2. ФИО Теория вероятностей 1 2 3 4 5 ∑ 1. Лотерея предлагает один приз 1500 рублей, два приза 750 рублей, и десять призов 100 рублей. Продали одну тысячу билетов по 7 рублей за билет. Записать закон распределения выигрыша. Определите вероятность выиграть более 100 рублей. Найдите математическое ожидание выигрыша, если приобретен один билет. 2. Случайная величина X имеет распределение Пуассона с параметром λ = 1. Найти вероятность того, что X ≥ 2. 3. В схеме из десяти испытаний Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании равной 0.9 найти вероятность того, что произойдет хотя бы 2 успеха. 4. Совместный закон распределения случайных величин X и Y задан таблицей: X \Y 0 1 3 0 0.15 0.05 0.3 −1 0 0.15 0.1 −2 0.15 0 0.1 Найдите а) закон распределения случайной величины X и закон распределения случайной величины Y ; б) EX, EY , DX, DY , cov(X, Y ), а также математическое ожидание и дисперсию случайной величины V = 6X − 4Y + 3. 2 Решение 1. Пусть случайная величина X означает чистый выигрыш. Тогда с вероятностью 1/1000 чистый выигрыш составит X = 1500 − 7 = 1493, X = 750 − 7 = 743 с вероятностью 2/1000, с вероятностью 10/1000 чистый выигрыш X = 100 − 7 = 93, а с вероятностью 987/1000 теряется 7 рублей, то есть X = −7. Таким образом, получаем закон распределения X 1493 743 93 −7 P 0, 001 0, 002 0, 01 0, 987 Выиграть более ста рублей можно в двух случаях: купить билет с призом 1500 рублей или 750 рублей, поэтому P (X > 100) = P (X = 1493) + P (X = 743) = 0.001 + 0.002 = 0.003. Математическое ожидание составляет EX = 1493 · 0.001 + 743 · 0.002 + 93 · 0.01 − 7 · 0.987 = −3. Заметим, что проще было бы вычислить математическое ожидание для выигрыша без вычитания стоимости билета, а после уже вычесть 7 рублей (проверьте!). 2. P (X ≥ 2) = 1 − P (X < 2) = 1 − P (X = 0) − P (X = 1) = 10 −1 11 −1 e − e = 1 − 2e−1 ≈ 0.24. 0! 1! 3. Для схемы Бернулли с вероятностью успеха p = 0.9, числом испытаний n = 10 и k = 2, . . . , 10 =1− имеем 0 1 P (X ≥ 2) = 1 − P (X < 2) = 1 − C10 (0.1)10 (0.9)0 − C10 (0.1)9 (0.9)1 = = 1 − (0.1)10 − 10 · 0.9(0.1)9 = 1 − 9.1 · (0.1)9 = 0.9999999909. 4. Для того, чтобы найти законы распределений X и Y нужно просуммировать вероятности по строкам и столбцам соответственно: X 0 −1 −2 Y 0 1 3 P 0, 5 0, 25 0, 25 P 0, 3 0, 2 0, 5 Зная законы распределений вычисляем математические ожидания, дисперсии и ковариацию: EX = 0 · 0.5 − 1 · 0.25 − 2 · 0.25 = −0.75, EY = 0 · 0.3 + 1 · 0.2 + 3 · 0.5 = 1.7, DX = E(X 2 ) − (EX)2 = 02 · 0.5 + (−1)2 · 0.25 + (−2)2 · 0.25 − (−0.75)2 = = 1.25 − 0.5625 = 0.6875, DY = E(Y 2 ) − (EY )2 = 02 · 0.3 + 12 · 0.2 + 32 · 0.5 − (1.7)2 = = 4.7 − 2.89 = 1.81, cov(X; Y ) = E(XY ) − EX · EY = 3 = −1 · 1 · 0.15 − 1 · 3 · 0.1 − 2 · 3 · 0.1 + 0.75 · 1.7 = 0.225. Математическое ожидание и дисперсию случайной величины V проще вычислить по свойствам: EV = E(6X − 4Y + 3) = 6EX − 4EY + 3 = −6 · 0.75 − 4 · 1.7 + 3 = −8.3, DV = D(6X − 4Y + 3) = 36DX + 16DY + 2 · 6 · (−4) cov(X; Y ) = = 36 · 0.6875 + 16 · 1.81 − 48 · 0.225 = 53.71 − 10.8 = 42.91.
