Тема урока: «Теорема синусов» Класс: 9 Цели урока: а) образовательная: познакомить с формулировкой и доказательством теоремы синусов; выработать у учащегося навыки решения задач с использованием тригонометрических функций. б) развивающая: развитие внимания, мышления, наблюдательности, активности; развитие устной и письменной речи; развитие умений применять полученные знания на практике. в) воспитательная: воспитание самостоятельности, эстетичности; воспитание интереса к предмету математики. Метод урока: объяснительно-иллюстративный. Тип урока: комбинированный. Используемые технологии: технология сотрудничества; технология проблемного обучения; информационные технологии. Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, раздаточный материал, интерактивная доска (ИД), приложение к учебнику на электронном носителе. Структура урока: 1. Организационный момент. 2. Актуализация опорных знаний 3. Мотивация практической необходимости рассмотрения теоремы синусов- проблемная ситуация 4. Изучение нового материала 5. Закрепление изученного материала 6. Самостоятельная работа 7. Рефлексия. Подведение итогов урока. 8. Домашнее задание Ход урока 1.Организационный момент. Здравствуйте, ребята. Садитесь. Г.Лейбниц однажды заметил: «Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, - это быть точным, второе - быть ясным и, насколько можно, простым». Давайте будем следовать этому замечанию: будем точными, ясными и, насколько можно, простыми. 2.Актуализация опорных знаний Работа по индивидуальным карточкам: Ответы: Карточка №1 1 1. S∆ = ·7·7= 24,5 ед2 2 1 2. S = ·12·12·sin < 30̊== 36 ед2 2 Карточка №2* 1 1. S∆ = ·26·6√3 · sin < 60̊= 117 ед2 2 2*. S = 12√3 ед2 №1, 2, 3 (Реши первым!) – информация на ИД 1 Решение №1: S∆ = ·8·33= 132 ед2 2 1 Решение №2: S∆= ·8·15= 60 ед2 2 Решение №3: х= 2·8=16 ед у=√162 − 82 =√(16 − 8) · (16 + 8)=√8 · 24=√4 · 2 · 2 · 3 · 4 =2·2·2·√3 = =8√3 ед 1 S∆= ·8·8√3 =32√3 ед2 2 №4 и №5 Повторить формулы нахождения площади параллелограмма: №4 №5 1 1 2 2 Решение №4: SABCD= ·d1·d2·sin < 𝛼= ·6·10·sin < 120̊=30·sin(180̊ − √3 60̊)=30·sin 60̊=30· =15√3 ед2 2 Решение №5: SABCD= a·b·sin < 𝛼= 4·6·sin < 60̊=4·6· √3 =12√3 ед2 2 Вопросы – Чем мы занимались на прошлом уроке? (мы доказали теорему о площади треугольника) – Какие задачи вы учились решать? (задачи на вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними) – Сегодня на уроке мы продолжим работать с треугольником и расширим свои знания о нем. 3.Мотивация практической необходимости рассмотрения теоремы синусов - проблемная ситуация 1.В треугольнике АВС АС =b,<А= ,найдите высоту треугольника hc, если а) -острый, б) тупой. 2.Дано а b= m n (а ,b,m ,n –числа , отличные от нуля).Составьте из чисел а ,b,m,n пропорцию. Всегда ли задача имеет решение? 3) Доказать теорему о площади треугольника . (Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними) 4) Ученики решают задачи по данной теме. 1. Как найти длину стороны ВС в треугольнике АВС, если АВ=3см, АС-4см, <ВАС=30° ? В процессе решения данной и последующих задач учитель подчеркивает, что решение данных задач нерациональное, эти задачи можно решить проще, если будет известна теорема, называемая теоремой синусов. 2.Дано: Найти: Решение: Правильность решения задачи проверяется. Фронтальный опрос: (повторение формул для вычисления площади треугольника). а) формулы площади треугольника б) формулы приведения в) определение sin, cos, tg острых углов прямоугольного треугольника. Устные упражнения: 1.Найдите площадь треугольника АВС. 2.Найдите площадь параллелограмма АВСD. 3.Найдите высоту параллелограмма АВСD. Проблемная ситуация. 1) Предлагается решить устно задачу. Верно ли для прямоугольного треугольника равенство: ? c=c=c После того, как учащийся убедился, что в прямоугольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов, ставится вопрос: «Верно ли это утверждение для любого треугольника?». Найдите отношения сторон ВС, АВ, АС к синусам противоположных углов. Практическая работа. Учащиеся в группах по 4 человека работают, по окончании работы представители от групп выходят к доске и демонстрируют полученные результаты – отношения равны. Карточка план – реализации практической работы 1. Выразите площадь треугольника через синус угла В, затем угла С, затем угла А. Пронумеровать равенства (1), (2), (3). 2. Приравняйте 1 и 2 равенства, разделите полученное равенство на (½ВС). 3. Запишите полученное равенство и составьте пропорцию: равенство. отношений сторон треугольника к синусам противолежащих углов. 4. Аналогично, приравняйте 2 и 3 равенства и проделайте аналогичные шаги. 5. Сделайте вывод. – Найдите отношения сторон ВС, АВ, АС к синусам противоположных углов и докажите, что они равны. – Чем отличается это задание от предыдущего? (нам нужно доказать, что отношения сторон к синусам противолежащих углов равны) – Что вам придется доказывать? (равенство отношений) – Как называется утверждение, которое требуется доказать? (теорема) – Сформулируйте тему урока. ( Доказать теорему о том, что отношения сторон к синусам противолежащих углов равны) – В геометрии эта теорема называется теоремой синусов. Историческая справка. Впервые эту теорему доказал выдающийся азербайджанский учёный Насирэддин Туси (1201-1274гг.) Объявление темы урока Согласованная тема записывается на доске и в тетрадях «Теорема синусов». Попробуйте доказать теорему. На выполнение задания отводится 2 мин. Давайте обобщим все сказанное и составим план доказательства. 1. Выразите площадь треугольника через синус угла В, затем угла С, затем угла А. Пронумеровать равенства (1), (2), (3). 2. Приравняйте 1 и 2 равенства, разделите полученное равенство на (½ВС). 3. Запишите полученное равенство и составьте пропорцию: равенство отношений сторон треугольника к синусам противолежащих углов. 4. Аналогично, приравняйте 2 и 3 равенства и проделайте аналогичные шаги. 5. Сделайте вывод. 4. Изучение нового материала. 1) Теорема: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Дано: Пусть в AB = c, BC = a, AC = b. Доказать: . Доказательство. По теореме о площади треугольника Из первых двух равенств получаем значит, второго и третьего равенств следует доказана. Теорему можно записать и в другом виде: аналогично, из Итак, . Теорема А где мы можем проверить правильность нашего решения? Откроем учебники на стр. 256. Итак, мы доказали теорему синусов. 1) Запишите теорему синусов для треугольников: ΔМНР: ΔОКТ: 2) В теореме синусов в том виде, в каком мы ее получили, присутствует недоговоренность: мы узнали, что отношения сторон к синусам противолежащих им углов равны между собой, но чему же именно равны эти отношения? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к задаче №1033. Вывод: если в треугольнике то против сторон a, b, c лежат углы α, β, γ соответственно, . где R – радиус окружности, описанной около треугольника. Таким образом, мы получили дополнительное правило отыскания радиуса описанной около треугольника окружности. 5.Закрепление изученного материала. Чем вы сейчас будете заниматься? (будем выполнять задание, где используется теорема синусов) №1(Устно). Записать теорему синусов для треугольников FGH и MNK. №2(Устно). Найди ошибку. Физкультминутка (показать руками называемые углы и назвать их вид, гимнастика для глаз) Задача на ИД: Решение: СВ= АС ×sin А sin В = √2 × sin 45° sin 30° =(√2· √2 1 )÷ =2 см 2 2 Учебник №1026(использование Таблицы Брадиса) Дано: ∆АВС, АС=12см, < А = 75, < В =60̊ Найти: АВ и S∆АВС. Решение: АВ= 12·sin 60̊ 12·0,866 sin 45̊ = 0,707 , по теореме синусов: ≈14,7 см Следовательно, 1 1 S∆АВС= ·АВ·АС·sin 75̊ ≈ ·14,7·12·0,9659=85,2 см2 2 2 Ответ: ≈14,7см ; ≈85,2 см2 6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону. Работа по вариантам. На экране эталон решения. Выяснить у кого какие результаты. Кто и где допустил ошибку. 1 ВАРИАНТ Выразите х и у через синусы острых углов. Решение: , откуда Ответ: 2 ВАРИАНТ Выразите х и у через синусы острых углов. Решение: Ответ: ; 7. Рефлексия. Оцени качество своих познаний на уроке с помощью смайликов А) Все легко и понятно Б) Кажется, что-то понял В) Трудно, ничего не понял Смайлики вывешиваются на доске при выходе из класса. Подведение итогов урока. Итак, ребята, сегодня мы с вами познакомились с .....?. И научились применять теорему........ при решении задач. Где нам могут пригодиться полученные знания? О каких правилах, теоремах мы сегодня ещё вспоминали? Что необходимо повторить? 8.Домашнее задание(инструктаж по его выполнению): Глава ХI, §2, п.101 (читать, выучить теорему и уметь её доказать), №1033(устно, разобрать) Оценивание.
