Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего образования
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
(Финансовый университет)
Кафедра математики
Учебный материал
для подготовки к зачету
по дисциплинам
«Цифровая математика на языке R и Excel»,
«Компьютерный практикум»
II семестр
Для студентов, обучающихся по направлениям:
38.03.01. «Экономика», 38.03.02. «Менеджмент»,
38.03.04. «Государственное и муниципальное управление»
(программа подготовки бакалавров)
Москва, 2024
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Дисциплина «Цифровая математика на языке R и Excel» относится к
Циклу математики и информатики направления подготовки 38.03.01 «Экономика» (образовательная программа «Экономика и финансы»).
Дисциплина «Компьютерный практикум» относится к Циклу математики
и информатики по направлению подготовки 38.03.02 «Менеджмент» (для всех
образовательных программ).
Дисциплина «Компьютерный практикум» относится к Циклу математики
и информатики по направлению подготовки 38.03.04 - Государственное и муниципальное управление, ОП «Государственное и муниципальное управление».
В процессе изучения дисциплины происходит овладение основными математическими понятиями, необходимыми для формирования профессиональных компетенций выпускника направления «Экономика», и освоение инструментов решения прикладных математических задач с использованием вычислительных компьютерных технологий. При этом студенты приобретают
опыт применения изучаемых технологий в практических задачах, связанных с
самостоятельным поиском, обработкой, анализом, оценкой и интерпретацией
профессиональной информации о функционировании различных рынков и
иных экономических систем;осуществлять учетную, расчетно-аналитическую
и контрольную деятельность при обосновании и исполнении управленческих,
а также финансово-экономических решений на микроуровне.
Содержание дисциплины
Тема 1. Введение в MS Excel.
Табличный процессор MS Excel; понятия книги, листа, ячейки в MS Excel;
адресация и форматирование ячеек; манипуляции с диапазонами ячеек; типы
данных,ввод данных и формул в ячейки; подбор параметра, организация ссылок.
Встроенные функции MS Excel и их применение. Элементарные функции. Логические функции. Функции прогнозирования (РОСТ, ТЕНДЕНЦИЯ).
Функции поиска данных в некотором диапазоне (ПРОСМОТР, ВПР, ГПР).
Простые и сложные проценты. Финансовые функции. (ПС, БС, ПЛТ,
СТАВКА,КПЕР), вычисление начислений по вкладам и выплат по кредитам,
план погашения кредита.
Сводные таблицы, консолидация, фильтр, расширенный фильтр, функции
БД.
Тема 2. Введение в R и RStudio.
Установка R и RStudio; описание консольного интерфейса; загрузка и активация библиотек R; типы данных в R и программирование переменных; базовыематематические функции в R; создание пользовательских функций в R и
подключение пользовательских библиотек; логические конструкции и условные операторы в R; способы чтения/записи в R данных различных форматов.
Тема 3. Построение графиков функций в R, MS Excel.
Числовые функции их свойства и способы задания. График функции.
Сложная и обратная функции. Характеристики функций: четность и нечетность, периодичность, монотонность, ограниченность.
Тема 4. Вычисление предела функции в R, MS Excel.
Предел числовой последовательности. Предел функции на бесконечности
и в точке. Односторонние пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие
функции. Первый и второй замечательные пределы.
Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции. Свойства функций,
непрерывных на отрезке. Асимптоты графика функции.
Тема 5. Вычисление производной функции в точке в R, MS Excel.
Производная и дифференциал функции одной переменной. Эластичность
функции и ее применение. Производные высших порядков.
Локальный экстремум функции. Выпуклые (вогнутые) функции. Точки
перегиба. Общая схема исследования функции и построения ее графика.
Наибольшееи наименьшее значения непрерывной функции на отрезке.
Тема 6. Численное нахождение определенного и несобственного интеграла
в R, Excel.
Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Формула НьютонаЛейбница. Несобственные интегралы.
Тема 7. Операции с комплексными числами и решение алгебраических уравнений.
Комплексные числа. Решение алгебраических уравнений. Вычисление
арифметических выражений.
Тема 8. Основы разработки приложений в инструментальной среде VBA.
Основы языка Visual Basic for Application. Создание функций. Понятие
объекта.Основные объекты MS Excel. Макросы: назначение, создание и редактирование. Разработка пользовательских диалоговых окон.
Тема 9. Операции с матрицами в R, Excel.
Арифметические векторы и линейные операции над ними. Векторное
пространство Rn. Линейная зависимость (независимость) системы векторов.
Базис и размерность п векторного пространства. Координаты вектора в данном
базисе. Скалярное произведение векторов в Rn. Длины векторов и угол между
ними в Rn. Операции над матрицами. Ранг матрицы. Обратная матрица. Решение матричных уравнений вида АХ=В.
Определители и их свойства. Применение определителей: 1) критерий не
вырожденности квадратной матрицы; 2) нахождение ранга матрицы; 3) нахождение обратной матрицы.
Тема 10. Решение системы линейных уравнений в R, Excel.
Решение систем линейных алгебраических уравнений методам Крамера, обратной матрицы и методом Гаусса.
Собственные значения и собственные векторы квадратных матриц.
Тема 11. Решение прикладных экономических задач в R, Excel.
Нахождение эластичности и других предельных величин в микроэкономике; задачи линейного программирования в экономике: минимизация расходов, максимизация прибыли и др.; транспортная задача, задача о назначениях.
Методические рекомендации студенту по организации подготовки к зачету
Самостоятельная работа студентов включает в себя выполнение различного рода заданий, которые ориентированы на усвоение материала изучаемой
дисциплины. При изучении дисциплин «Компьютерный практикум», «Цифровая математика на языке R и Excel» обязательными являются следующие
формы самостоятельной работы:
- разбор практических заданий по теме занятия по пособиям;
- изучение рекомендованных к занятию литературных источников;
- самостоятельный разбор темы, подготовка презентации и выступление
с докладом;
- решение задач по темам практических занятий;
- выполнение самостоятельных и контрольных работ;
- написание и опубликование статей, связанных по тематике с изученным
материалом;
- подготовка к зачету.
Любая форма самостоятельной работы студента должна начинаться с изучения соответствующей рекомендованной в РПД основной и дополнительной
литературы. Студенту необходимо ознакомиться с содержанием рабочей программы дисциплины (РПД), целями и задачами дисциплины, ее связями с другими дисциплинами образовательной программы, методическими разработками по данной дисциплине, имеющимися на образовательном портале, с графиком консультаций преподавателей данной дисциплины. Изучение дисциплины требует систематического и последовательного накопления знаний.
Подготовку к зачету надо начать заблаговременно. Для подготовки к
практической части зачета студентам рекомендуется проработать полностью
прилагаемый перечень типовых практических заданий. Необходимо доводить
каждую задачу до окончательного решения, демонстрировать при этом понимание проведенного анализа и расчетов. Советуем использовать при этом не
только материалы семинарских занятий, но содержащиеся в пособии демонстрационные варианты билетов для зачета, а также рекомендованную учебную
литературу. В случае возникновения затруднений в восприятии материала или
решении какой-либо задачи практической части необходимо записывать возникшие вопросы и своевременно обращаться для разъяснения к преподавателю практических занятий (по графику их консультаций).
Структура билета к зачету
Зачет по дисциплинам «Компьютерный практикум», «Цифровая математика на языке R и Excel» состоит в выполнении студентом заданий в компьютерном классе. Зачет проводится единовременно для всей учебной группы (за
исключением студентов, освобождаемых от обязательного выполнения заданий зачета в соответствии с нормативными документами Финансового университета), в день и время, указанные в расписании сессии. Длится 90 минут:
60 минут на выполнение тестовых заданий зачета, 30 минут на решение технических вопросов. Билет к зачету по дисциплинам «Компьютерный практикум», «Цифровая математика на языке R и Excel» состоит из 6-ти практических заданий, соответствующих рабочим программам дисциплин. Каждое задание билета оценивается преподавателем от 0 до 10 баллов (в зависимости от
полноты и правильности выполнения работы, при этом проверяется не только
ответ, но и ход, и корректность представленного решения). Задания, для которых отсутствует Решение, оцениваются в 0 баллов. Максимальный балл за выполнение заданий зачета равен 60.
ЗАЧЕТ 2
Демонстрационный вариант
Каждое задание оценивается 10 баллами.
1.
Фирма решила взять кредит размером 230 000 рублей, погашать который (основной
долг и проценты) намерена равномерными платежами в конце каждого полугодия.
Определить выплаты по кредиту для разных процентных ставок и сроков погашения
кредита. (от 5% до 20% и от 1 до 15 лет, используя таблицу подстановки). В ответе
указать размер платежа за 4-ый год при процентной ставке 12%.
2.
Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы в Excel или в R:
2 x1 − x2 − 6 x3 = −1
x1 − 2 x2 − 4 x3 = 5
x − x + 2 x = −8
3
1 2
3.
Решите матричное уравнение
4.
Найти собственные векторы матрицы A.
3 2 1
𝐴 = (2 0 2 ).
1 5 1
5.
Даны векторы a⃗ =(6;4;−7;−3;2;−2;−6;−1;−1;−1), b⃗ =(4;−4;−4;−6;5;5;−4;−7;2;7),
c⃗ = (1;−6;−8;5;−8;−7;6;−5;−1;7). Вычислите Ф = − 4|c⃗|2 + 8|b⃗|2 + (c⃗,b⃗)⋅(a⃗,c⃗).
6.
Решить в Excel или R стандартную задачу линейного программирования.
Мини-пекарня планирует выпечку батонов и булочек. На производство одного
батона расходуется 450 г муки, 10 г масла и 0,5 яйца, а на производство одной
булочки – 150 г муки, 5 г масла и 1 яйцо. В пекарню ежедневно завозят 180 кг муки,
5 кг масла и 775 яиц. Прибыль от реализации батона равна 3 рублям, от реализации
булочки – 5 рублям. Определить, сколько батонов и булочек нужно выпекать
ежедневно, чтобы прибыль была максимальна. В ответе указать максимальную
ежедневную прибыль.
ЗАДАНИЯ И РЕШЕНИЯ
Задание 1.
Прикладные вычислительные
задачи экономики и финансов
1. Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 150 тыс. руб. к
концу четвертого года составит 300 тыс. руб. При этом за первый год
доходность составит 15%, за второй – 17%, за четвертый – 23%.
Рассчитать доходность инвестиции за третий год, используя инструмент
подбора параметра.
2. Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 250 тыс. руб. к
концу пятого года составит 400 тыс. руб. При этом за первый и второй
годы доходность составит 7%, за третий – 11%, за четвертый – 19%.
Рассчитать доходность инвестиции за пятый год, используя инструмент
подбора параметра.
3. Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 50 тыс. руб. к
концу шестого года составит 98 тыс. руб. При этом за первый год
доходность составит 11%, за второй – 13%, за четвертый – 17%, за
пятый – 12% и за шестой – 10% Рассчитать доходность инвестиции за
третий год, используя инструмент подбора параметра.
4. Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 100 тыс. руб. к
концу четвертого года составит 210 тыс. руб. При этом за первый год
доходность составит 15%, за третий – 17%, за четвертый – 23%.
Рассчитать доходность инвестиции за второй год, используя инструмент
подбора параметра.
5. Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 120 тыс. руб. к
концу третьего года составит 180 тыс. руб. При этом за первый год
доходность составит 15%, за второй – 17%. Рассчитать доходность
инвестиции за третий год, используя инструмент подбора параметра.
6. Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 150 тыс. руб. к
концу пятого года составит 280 тыс. руб. При этом за первый год
доходность составит 15%, за второй – 17%, за четвертый и пятый годы –
11%. Рассчитать доходность инвестиции за третий год, используя
инструмент подбора параметра.
7. Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 50 тыс. руб. к
концу шестого года составит 90 тыс. руб. При этом за первый год
доходность составит 5%, за второй – 7%, за четвертый – 13%, за пятый и
шестой годы – 9%. Рассчитать доходность инвестиции за третий год,
используя инструмент подбора параметра.
8. Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 450 тыс. руб. к
концу четвертого года составит 810 тыс. руб. При этом за первый год
доходность составит 15%, за второй – 17%, за третий – 23%. Рассчитать
доходность инвестиции за четвертый год, используя инструмент
подбора параметра.
9
9. Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 10 тыс. руб. к
концу пятого года составит 27 тыс. руб. При этом за второй год
доходность составит 15%, за третий – 17%, за четвертый и пятый – 23%.
Рассчитать доходность инвестиции за первый год, используя инструмент
подбора параметра.
10.Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 250 тыс. руб. к
концу шестого года составит 591 тыс. руб. При этом за первый год
доходность составит 14%, за второй – 15%, за четвертый, пятый и
шестой – 21%. Рассчитать доходность инвестиции за третий год,
используя инструмент подбора параметра.
11.Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 47 тыс. руб. к
концу пятого года составит 92 тыс. руб. При этом за первый год
доходность составит 15%, за второй и третий – 17%, за четвертый – 19%.
Рассчитать доходность инвестиции за пятый год, используя инструмент
подбора параметра.
12.Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 51 тыс. руб. к
концу шестого года составит 101 тыс. руб. При этом за первый год
доходность составит 11%, за второй – 14%, за четвертый и пятый – 13%,
а за шестой – 12%. Рассчитать доходность инвестиции за третий год,
используя инструмент подбора параметра.
13.Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 57 тыс. руб. к
концу четвертого года составит 101 тыс. руб. При этом за первый год
доходность составит 15%, за второй – 17%, за четвертый – 23%.
Рассчитать доходность инвестиции за третий год, используя инструмент
подбора параметра.
14.Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 340 тыс. руб. к
концу шестого года составит 796 тыс. руб. При этом за первый год
доходность составит 15%, за третий – 17%, за четвертый – 23%, за пятый
– 19%, а за шестой – 16%. Рассчитать доходность инвестиции за второй
год, используя инструмент подбора параметра.
15.Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 76 тыс. руб. к
концу пятого года составит 161 тыс. руб. При этом за первый год
доходность составит 14%, за второй и пятый – 16%, за четвертый – 21%.
Рассчитать доходность инвестиции за третий год, используя инструмент
подбора параметра.
16.Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 543 тыс. руб. к
концу шестого года составит 999 тыс. руб. При этом за первый и второй
годы доходность составит 8%, за четвертый и шестой– 14%, за пятый–
10
12%. Рассчитать доходность инвестиции за третий год, используя
инструмент подбора параметра.
17.Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 89 тыс. руб. к
концу четвертого года составит 171 тыс. руб. При этом за первый год
доходность составит 21%, за второй – 27%, за четвертый – 13%.
Рассчитать доходность инвестиции за третий год, используя инструмент
подбора параметра.
18.Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 100 тыс. руб. к
концу пятого года составит 203 тыс. руб. При этом за второй год
доходность составит 15%, за третий и четвертый – 17%, за пятый– 21%.
Рассчитать доходность инвестиции за первый год, используя инструмент
подбора параметра.
19.Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 550 тыс. руб. к
концу четвертого года составит 976 тыс. руб. При этом за первый год
доходность составит 15%, за второй – 17%, за третий – 23%. Рассчитать
доходность инвестиции за четвертый год, используя инструмент
подбора параметра.
20.Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 150 тыс. руб. к
концу шестого года составит 343 тыс. руб. При этом за первый и второй
год доходность составит 12%, за четвертый – 15%, за пятый – 17%, за
шестой – 19%. Рассчитать доходность инвестиции за третий год,
используя инструмент подбора параметра.
21.Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 14 тыс. руб. к
концу шестого года составит 39 тыс. руб. При этом за первый год
доходность составит 18%, за второй и третий – 16%, за четвертый – 19%,
за шестой – 17%. Рассчитать доходность инвестиции за пятый год,
используя инструмент подбора параметра.
22.Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 252 тыс. руб. к
концу пятого года составит 498 тыс. руб. При этом за первый и
четвертый год доходность составит 16%, за второй – 17%, за пятый –
18%. Рассчитать доходность инвестиции за третий год, используя
инструмент подбора параметра.
23.Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 57 тыс. руб. к
концу шестого года составит 141 тыс. руб. При этом за второй год
доходность составит 17%, за третий – 15%, за четвертый, пятый и
шестой – 19%. Рассчитать доходность инвестиции за первый год,
используя инструмент подбора параметра.
24.Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 323 тыс. руб. к
концу четвертого года составит 570 тыс. руб. При этом за первый год
11
доходность составит 15%, за третий – 17%, за четвертый – 23%.
Рассчитать доходность инвестиции за второй год, используя инструмент
подбора параметра.
25.Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 454 тыс. руб. к
концу шестого года составит 809 тыс. руб. При этом за первый год
доходность составит 7%, за второй – 8%, за третий и четвертый – 13%,
за шестой – 14%. Рассчитать доходность инвестиции за пятый год,
используя инструмент подбора параметра.
26.Заемщик взял в банке кредит в размере 100000 руб. на срок 20 лет.
Процентная ставка 10%. Периодичность начисления - месяц. Какую
сумму процентов клиент выплатит через 10 лет? Ответ округлите до
рублей.
27.Заемщик взял в банке кредит в размере 200000 руб. на срок 20 лет.
Процентная ставка 14%. Периодичность начисления квартал. Какую
сумму по основному долгу клиент выплатит через 10 лет? Ответ
округлите до рублей.
28.Заемщик взял в банке кредит в размере 100000 руб. на срок 20 лет.
Процентная ставка 11%. Периодичность начисления - месяц. Какую
сумму процентов клиент выплатит через 10 лет? Ответ округлите до
рублей.
29.Заемщик взял в банке кредит в размере 200000 руб. на срок 20 лет.
Процентная ставка 13%. Периодичность начисления квартал. Какую
сумму по основному долгу клиент выплатит через 10 лет? Ответ
округлите до рублей.
30.Заемщик взял в банке кредит в размере 100000 руб. на срок 20 лет.
Процентная ставка 12%. Периодичность начисления - месяц. Какую
сумму процентов клиент выплатит через 10 лет? Ответ округлите до
рублей.
31.Заемщик взял в банке кредит в размере 200000 руб. на срок 20 лет.
Процентная ставка 12%. Периодичность начисления квартал. Какую
сумму по основному долгу клиент выплатит через 10 лет? Ответ
округлите до рублей.
32.Заемщик взял в банке кредит в размере 100000 руб. на срок 20 лет.
Процентная ставка 13%. Периодичность начисления - месяц. Какую
сумму процентов клиент выплатит через 10 лет? Ответ округлите до
рублей.
33.Заемщик взял в банке кредит в размере 200000 руб. на срок 20 лет.
Процентная ставка 11%. Периодичность начисления квартал. Какую
12
сумму по основному долгу клиент выплатит через 10 лет? Ответ
округлите до рублей.
34.Заемщик взял в банке кредит в размере 100000 руб. на срок 20 лет.
Процентная ставка 14%. Периодичность начисления - месяц. Какую
сумму процентов клиент выплатит через 10 лет? Ответ округлите до
рублей.
35.Заемщик взял в банке кредит в размере 200000 руб. на срок 20 лет.
Процентная ставка 10%. Периодичность начисления квартал. Какую
сумму по основному долгу клиент выплатит через 10 лет? Ответ
округлите до рублей.
36.Заемщик взял в банке кредит в размере 100000 руб. на срок 20 лет.
Процентная ставка 10%. Периодичность начисления - месяц. Какую
сумму процентов клиент выплатит через 9 лет? Ответ округлите до
рублей.
37.Заемщик взял в банке кредит в размере 200000 руб. на срок 20 лет.
Процентная ставка 14%. Периодичность начисления квартал. Какую
сумму по основному долгу клиент выплатит через 9 лет? Ответ
округлите до рублей.
38.Заемщик взял в банке кредит в размере 100000 руб. на срок 20 лет.
Процентная ставка 11%. Периодичность начисления - месяц. Какую
сумму процентов клиент выплатит через 9 лет? Ответ округлите до
рублей.
39.Заемщик взял в банке кредит в размере 200000 руб. на срок 20 лет.
Процентная ставка 13%. Периодичность начисления квартал. Какую
сумму по основному долгу клиент выплатит через 9 лет? Ответ
округлите до рублей.
40.Заемщик взял в банке кредит в размере 100000 руб. на срок 20 лет.
Процентная ставка 12%. Периодичность начисления - месяц. Какую
сумму процентов клиент выплатит через 9 лет? Ответ округлите до
рублей.
41.Заемщик взял в банке кредит в размере 200000 руб. на срок 20 лет.
Процентная ставка 12%. Периодичность начисления квартал. Какую
сумму по основному долгу клиент выплатит через 9 лет? Ответ
округлите до рублей.
42.Заемщик взял в банке кредит в размере 100000 руб. на срок 20 лет.
Процентная ставка 13%. Периодичность начисления - месяц. Какую
сумму процентов клиент выплатит через 9 лет? Ответ округлите до
рублей.
13
43.Заемщик взял в банке кредит в размере 200000 руб. на срок 20 лет.
Процентная ставка 11%. Периодичность начисления квартал. Какую
сумму по основному долгу клиент выплатит через 9 лет? Ответ
округлите до рублей.
44.Заемщик взял в банке кредит в размере 100000 руб. на срок 20 лет.
Процентная ставка 14%. Периодичность начисления - месяц. Какую
сумму процентов клиент выплатит через 9 лет? Ответ округлите до
рублей.
45.Заемщик взял в банке кредит в размере 200000 руб. на срок 20 лет.
Процентная ставка 10%. Периодичность начисления квартал. Какую
сумму по основному долгу клиент выплатит через 9 лет? Ответ
округлите до рублей.
46.Заемщик взял в банке кредит в размере 100000 руб. на срок 20 лет.
Процентная ставка 10%. Периодичность начисления - месяц. Какую
сумму процентов клиент выплатит через 8 лет? Ответ округлите до
рублей.
47.Заемщик взял в банке кредит в размере 200000 руб. на срок 20 лет.
Процентная ставка 14%. Периодичность начисления квартал. Какую
сумму по основному долгу клиент выплатит через 8 лет? Ответ
округлите до рублей.
48.Заемщик взял в банке кредит в размере 100000 руб. на срок 20 лет.
Процентная ставка 11%. Периодичность начисления - месяц. Какую
сумму процентов клиент выплатит через 8 лет? Ответ округлите до
рублей.
49.Заемщик взял в банке кредит в размере 200000 руб. на срок 20 лет.
Процентная ставка 13%. Периодичность начисления квартал. Какую
сумму по основному долгу клиент выплатит через 8 лет? Ответ
округлите до рублей.
50.Заемщик взял в банке кредит в размере 100000 руб. на срок 20 лет.
Процентная ставка 12%. Периодичность начисления - месяц. Какую
сумму процентов клиент выплатит через 8 лет? Ответ округлите до
рублей.
51.Определить платежи по процентам за первый месяц по кредиту в 100000
руб., выданному на три года по ставке 10% годовых.
52.Определить значение основного платежа для первого месяца кредита в
сумме 60000 руб., выданного на два года по ставке 12% годовых.
Проценты реинвестируются.
14
53.Клиент ежегодно в течение 5 лет вносил деньги на депозит в банке и
накопил 40000 руб. Проценты реинвестируются. Определить, какой
доход получил клиент банка за последний год, если годовая ставка
составила 13,5%.
54.Определить значение основного платежа для второго месяца кредита в
сумме 70000 руб., выданного на два года по ставке 11% годовых.
Проценты реинвестируются.
55.Определить платежи по процентам за второй месяц по кредиту в 150000
руб., выданному на три года по ставке 12% годовых.
56.Определить значение основного платежа для первого месяца кредита в
сумме 75000 руб., выданного на три года по ставке 10% годовых.
Проценты реинвестируются.
57.Клиент ежегодно в течение 6 лет вносил деньги на депозит в банке и
накопил 44000 руб. Проценты реинвестируются. Определить, какой
доход получил клиент банка за последний год, если годовая ставка
составила 14%.
58.Определить значение основного платежа для третьего месяца кредита в
сумме 90000 руб., выданного на четыре года по ставке 12% годовых.
Проценты реинвестируются.
59.Определить платежи по процентам за четвертый месяц по кредиту в
200000 руб., выданному на четыре года по ставке 10% годовых.
60.Определить значение основного платежа для пятого месяца кредита в
сумме 50000 руб., выданного на два года по ставке 12% годовых.
Проценты реинвестируются.
61.Клиент ежегодно в течение 7 лет вносил деньги на депозит в банке и
накопил 60000 руб. Проценты реинвестируются. Определить, какой
доход получил клиент банка за последний год, если годовая ставка
составила 12,5%.
62.Определить значение основного платежа для десятого месяца кредита в
сумме 56000 руб., выданного на два года по ставке 13% годовых.
Проценты реинвестируются.
15
63.Определить платежи по процентам за третий месяц по кредиту в 300000
руб., выданному на два года по ставке 13% годовых.
64.Определить значение основного платежа для первого месяца кредита в
сумме 160000 руб., выданного на два года по ставке 14% годовых.
Проценты реинвестируются.
65.Клиент ежегодно в течение 5 лет вносил деньги на депозит в банке и
накопил 50000 руб. Проценты реинвестируются. Определить, какой
доход получил клиент банка за четвертый год, если годовая ставка
составила 11,5%.
66.Определить значение основного платежа для четвертого месяца кредита
в сумме 600000 руб., выданного на четыре года по ставке 13% годовых.
Проценты реинвестируются.
67.Определить платежи по процентам за пятнадцатый месяц по кредиту в
400000 руб., выданному на три года по ставке 13% годовых.
68.Определить значение основного платежа для третьего месяца кредита в
сумме 360000 руб., выданного на четыре года по ставке 15% годовых.
Проценты реинвестируются.
69.Клиент ежегодно в течение 9 лет вносил деньги на депозит в банке и
накопил 400000 руб. Проценты реинвестируются. Определить, какой
доход получил клиент банка за последний год, если годовая ставка
составила 13,5%.
70.Определить значение основного платежа для первого месяца кредита в
сумме 420000 руб., выданного на три года по ставке 12% годовых.
Проценты реинвестируются.
71.Определить платежи по процентам за четвертый месяц по кредиту в
1000000 руб., выданному на пять лет по ставке 13% годовых.
72.Определить значение основного платежа для восьмого месяца кредита в
сумме 710000 руб., выданного на три года по ставке 13% годовых.
Проценты реинвестируются.
73.Клиент ежегодно в течение 4 лет вносил деньги на депозит в банке и
накопил 88000 руб. Проценты реинвестируются. Определить, какой
16
доход получил клиент банка за третий год, если годовая ставка
составила 11,5%.
74.Определить значение основного платежа для пятого месяца кредита в
сумме 315000 руб., выданного на два года по ставке 13% годовых.
Проценты реинвестируются.
75.Определить платежи по процентам за двенадцатый месяц по кредиту в
300000 руб., выданному на два года по ставке 10% годовых.
76.Фирма решила взять кредит размером 500 000 рублей, погашать
который (основной долг и проценты) намерена равномерными
платежами в конце каждого месяца. Определить ежемесячные выплаты
по кредиту для разных процентных ставок и сроков погашения кредита
(от 5% до 20% и от 1 до 15 лет, используя таблицу подстановки). В
ответе указать размер платежа за 5-ый год при процентной ставке 11%.
77.Достаточно ли разместить в банке депозит в сумме 400 000 руб. под 7%
годовых для приобретения через 4 года легкового автомобиля
стоимостью 600 000 руб.? Банк начисляет проценты на депозит
ежемесячно. Произвести расчеты при разных вариантах процентной
ставки и первоначальном взносе (используя инструмент «Подбор
параметра» или «Таблица подстановки»). В ответе записать размер
процентной ставки, при котором приобретение автомобиля станет
возможным.
78.Фирма решила взять кредит размером 550 000 рублей, погашать
который (основной долг и проценты) намерена равномерными
платежами в конце каждого квартала. Определить ежеквартальные
выплаты по кредиту для разных процентных ставок и сроков погашения
кредита (от 5% до 20% и от 1 до 15 лет, используя таблицу
подстановки). В ответе указать размер платежа за 5-ый год при
процентной ставке 11%.
79.Достаточно ли разместить в банке депозит в сумме 450 000 руб. под 4%
годовых для приобретения через 4 года дачного домика стоимостью 600
000 руб.? Банк начисляет проценты на депозит ежеквартально.
Произвести расчеты при разных вариантах процентной ставки и
первоначальном взносе (используя инструмент «Подбор параметра» или
«Таблица подстановки»). В ответе записать размер процентной ставки,
при котором приобретение дачного домика станет возможным.
80.Фирма решила взять кредит размером 250 000 рублей, погашать
который (основной долг и проценты) намерена равномерными
17
платежами в конце каждого полугодия. Определить выплаты по кредиту
для разных процентных ставок и сроков погашения кредита (от 5% до
20% и от 1 до 15 лет, используя таблицу подстановки). В ответе указать
размер платежа за 5-ый год при процентной ставке 11%.
81.Достаточно ли разместить в банке депозит в сумме 300 000 руб. под 8%
годовых для приобретения через 4,5 года легкового автомобиля
стоимостью 600 000 руб.? Банк начисляет проценты на депозит
ежемесячно. Произвести расчеты при разных вариантах процентной
ставки и первоначальном взносе (используя инструмент «Подбор
параметра» или «Таблица подстановки»). В ответе записать размер
процентной ставки, при котором приобретение автомобиля станет
возможным.
82.Фирма решила взять кредит размером 300 000 рублей, погашать
который (основной долг и проценты) намерена равномерными
платежами в конце каждого месяца. Определить ежемесячные выплаты
по кредиту для разных процентных ставок и сроков погашения кредита
(от 5% до 20% и от 1 до 15 лет, используя таблицу подстановки). В
ответе указать размер платежа за 5-ый год при процентной ставке 11%.
83.Достаточно ли разместить в банке депозит в сумме 350 000 руб. под 6%
годовых для приобретения через 3,5 года легкового автомобиля
стоимостью 600 000 руб.? Банк начисляет проценты на депозит
ежеквартально. Произвести расчеты при разных вариантах процентной
ставки и первоначальном взносе (используя инструмент «Подбор
параметра» или «Таблица подстановки»). В ответе записать размер
процентной ставки, при котором приобретение автомобиля станет
возможным.
84.Фирма решила взять кредит размером 350 000 рублей, погашать
который (основной долг и проценты) намерена равномерными
платежами в конце каждого квартала. Определить ежеквартальные
выплаты по кредиту для разных процентных ставок и сроков погашения
кредита (от 5% до 20% и от 1 до 15 лет, используя таблицу
подстановки). В ответе указать размер платежа за 5-ый год при
процентной ставке 11%.
85.Достаточно ли разместить в банке депозит в сумме 200 000 руб. под 8%
годовых для приобретения через 4 года дачного домика стоимостью 600
000 руб.? Банк начисляет проценты на депозит ежемесячно. Произвести
расчеты при разных вариантах процентной ставки и первоначальном
взносе (используя инструмент «Подбор параметра» или «Таблица
18
подстановки»). В ответе записать размер процентной ставки, при
котором приобретение дачного домика станет возможным.
86.Фирма решила взять кредит размером 200 000 рублей, погашать
который (основной долг и проценты) намерена равномерными
платежами в конце каждого полугодия. Определить выплаты по кредиту
для разных процентных ставок и сроков погашения кредита (от 5% до
20% и от 1 до 15 лет, используя таблицу подстановки). В ответе указать
размер платежа за 5-ый год при процентной ставке 11%.
87.Достаточно ли разместить в банке депозит в сумме 100 000 руб. под 14%
годовых для приобретения через 4 года легкового автомобиля
стоимостью 600 000 руб.? Банк начисляет проценты на депозит по
полугодиям. Произвести расчеты при разных вариантах процентной
ставки и первоначальном взносе (используя инструмент «Подбор
параметра» или «Таблица подстановки»). В ответе записать размер
процентной ставки, при котором приобретение автомобиля станет
возможным.
88.Фирма решила взять кредит размером 330 000 рублей, погашать
который (основной долг и проценты) намерена равномерными
платежами в конце каждого месяца. Определить ежеквартальные
выплаты по кредиту для разных процентных ставок и сроков погашения
кредита (от 5% до 20% и от 1 до 15 лет, используя таблицу
подстановки). В ответе указать размер платежа за 5-ый год при
процентной ставке 11%.
89.Достаточно ли разместить в банке депозит в сумме 250 000 руб. под 12%
годовых для приобретения через 4 года легкового автомобиля
стоимостью 600 000 руб.? Банк начисляет проценты на депозит
ежеквартально. Произвести расчеты при разных вариантах процентной
ставки и первоначальном взносе (используя инструмент «Подбор
параметра» или «Таблица подстановки»). В ответе записать размер
процентной ставки, при котором приобретение автомобиля станет
возможным.
90.Фирма решила взять кредит размером 360 000 рублей, погашать
который (основной долг и проценты) намерена равномерными
платежами в конце каждого полугодия. Определить выплаты по кредиту
для разных процентных ставок и сроков погашения кредита (от 5% до
20% и от 1 до 15 лет, используя таблицу подстановки). В ответе указать
размер платежа за 5-ый год при процентной ставке 11%.
91.Достаточно ли разместить в банке депозит в сумме 360 000 руб. под 9%
годовых для приобретения через 4 года легкового автомобиля
19
стоимостью 600 000 руб.? Банк начисляет проценты на депозит
ежемесячно. Произвести расчеты при разных вариантах процентной
ставки и первоначальном взносе (используя инструмент «Подбор
параметра» или «Таблица подстановки»). В ответе записать размер
процентной ставки, при котором приобретение автомобиля станет
возможным.
92.Фирма решила взять кредит размером 400 000 рублей, погашать
который (основной долг и проценты) намерена равномерными
платежами в конце каждого месяца. Определить ежемесячные выплаты
по кредиту для разных процентных ставок и сроков погашения кредита
(от 5% до 20% и от 1 до 15 лет, используя таблицу подстановки). В
ответе указать размер платежа за 5-ый год при процентной ставке 11%.
93.Достаточно ли разместить в банке депозит в сумме 400 000 руб. под 7%
годовых для приобретения через 4 года легкового автомобиля
стоимостью 600 000 руб.? Банк начисляет проценты на депозит
ежеквартально. Произвести расчеты при разных вариантах процентной
ставки и первоначальном взносе (используя инструмент «Подбор
параметра» или «Таблица подстановки»). В ответе записать размер
процентной ставки, при котором приобретение автомобиля станет
возможным.
94.Фирма решила взять кредит размером 435 000 рублей, погашать
который (основной долг и проценты) намерена равномерными
платежами в конце каждого квартала. Определить ежеквартальные
выплаты по кредиту для разных процентных ставок и сроков погашения
кредита (от 5% до 20% и от 1 до 15 лет, используя таблицу
подстановки). В ответе указать размер платежа за 5-ый год при
процентной ставке 11%.
95.Достаточно ли разместить в банке депозит в сумме 395 000 руб. под 6%
годовых для приобретения через 4 года легкового автомобиля
стоимостью 600 000 руб.? Банк начисляет проценты на депозит по
полугодиям. Произвести расчеты при разных вариантах процентной
ставки и первоначальном взносе (используя инструмент «Подбор
параметра» или «Таблица подстановки»). В ответе записать размер
процентной ставки, при котором приобретение автомобиля станет
возможным.
96.Фирма решила взять кредит размером 395 000 рублей, погашать
который (основной долг и проценты) намерена равномерными
платежами в конце каждого полугодия. Определить выплаты по кредиту
для разных процентных ставок и сроков погашения кредита (от 5% до
20
20% и от 1 до 15 лет, используя таблицу подстановки). В ответе указать
размер платежа за 5-ый год при процентной ставке 11%.
97.Достаточно ли разместить в банке депозит в сумме 170 000 руб. под 12%
годовых для приобретения через 4 года легкового автомобиля
стоимостью 600 000 руб.? Банк начисляет проценты на депозит
ежемесячно. Произвести расчеты при разных вариантах процентной
ставки и первоначальном взносе (используя инструмент «Подбор
параметра» или «Таблица подстановки»). В ответе записать размер
процентной ставки, при котором приобретение автомобиля станет
возможным.
98.Фирма решила взять кредит размером 175 000 рублей, погашать
который (основной долг и проценты) намерена равномерными
платежами в конце каждого месяца. Определить ежемесячные выплаты
по кредиту для разных процентных ставок и сроков погашения кредита
(от 5% до 20% и от 1 до 15 лет, используя таблицу подстановки). В
ответе указать размер платежа за 5-ый год при процентной ставке 11%.
99.Достаточно ли разместить в банке депозит в сумме 285 000 руб. под 9%
годовых для приобретения через 4 года легкового автомобиля
стоимостью 600 000 руб.? Банк начисляет проценты на депозит
ежеквартально. Произвести расчеты при разных вариантах процентной
ставки и первоначальном взносе (используя инструмент «Подбор
параметра» или «Таблица подстановки»). В ответе записать размер
процентной ставки, при котором приобретение автомобиля станет
возможным.
100.
Фирма решила взять кредит размером 485 000 рублей, погашать
который (основной долг и проценты) намерена равномерными
платежами в конце каждого квартала. Определить ежеквартальные
выплаты по кредиту для разных процентных ставок и сроков погашения
кредита (от 5% до 20% и от 1 до 15 лет, используя таблицу
подстановки). В ответе указать размер платежа за 5-ый год при
процентной ставке 11%.
Задание 2. Оперирование с математическими объектами
1. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы в
Excel или в R:
2 x − 3 y − 5 z = 1,
3x + y − 2 z = −4,
x − 2 y + z = 5.
2. Решить систему линейных уравнений методом Крамера в Excel или в R:
21
99. Имеется пять заданий - А, Б, В, Г, Д - и пять работников – I, II, III, IV, V для их выполнения. В таблице указана прибыль, которую обеспечивает
каждый из работников при выполнении каждого из заданий.
I
II
III
IV
V
А
10
8
10
18
20
Б
11
7
12
11
16
В
9
8
16
10
15
Г
12
9
9
17
15
Д
11
8
14
16
10
Распределить задания между работниками (одно задание выполняется одним
человеком) так, чтобы общая прибыль от выполнения заданий была
наибольшей. В ответе указать найденную наибольшую прибыль.
100. Имеется пять заданий - А, Б, В, Г, Д - и пять работников – I, II, III, IV, V для их выполнения. В таблице указана прибыль, которую обеспечивает
каждый из работников при выполнении каждого из заданий.
I
II
III
IV
V
А
23
32
20
18
17
Б
13
17
10
17
15
В
10
16
12
14
15
Г
19
28
18
17
16
Д
14
18
22
20
8
Распределить задания между работниками (одно задание выполняется одним
человеком) так, чтобы общая прибыль от выполнения заданий была
наибольшей. В ответе указать найденную наибольшую прибыль.
Решения типовых задач
Задание 1. Прикладные вычислительные задачи экономики и
финансов
Задача 1.
Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 234 тыс. руб. к
концу четвертого года составит 468 тыс. руб. При этом за первый год
доходность составит 15%, за второй – 17%, за четвертый – 23%. Рассчитать
123
доходность инвестиции за третий год, используя инструмент подбора
параметра.
Алгоритм решения задачи.
Поскольку процентная ставка меняется со временем, но является
постоянной на протяжении каждого из периодов одинаковой
продолжительности, то для расчета будущего значения инвестиции по
сложной процентной ставке следует воспользоваться функцией БЗРАСПИС
(первичное; план).
Рис. 1.1. Окно функции БЗРАСПИС с данными о будущей стоимости
облигации
Результатом данного вычисления будет сумма в размере 387 261, 81 р.
(Рис. 1.1.). Но по условию задачи нам известно, что она будет равна 468 000 р.
При этом неизвестна процентная ставка за третий год, которую и необходимо
вычислить, используя инструмент Подбор параметра из меню
Данные→Анализ «что если».
Для этого в ячейку В8, в которую введена формула
=БЗРАСПИС(B3;B4:B7) инициируем процедуру подбора параметра и
заполним окно в соответствие с данными, представленными на рис.1.2.
124
Рис. 1.2. Данные для определения процентной ставки (доходности
инвестиции)
После подтверждения ввода данных в результате подбора параметра в
ячейке В6 получим значение процентной ставки (доходности инвестиции) за
третий год – 21%.
Задача 2.
Заемщик взял в банке кредит в размере 300000 руб. на срок 20 лет.
Процентная ставка 10%. Периодичность начисления - месяц. Какую сумму
процентов клиент выплатит через 10 лет? Ответ округлите до рублей.
Алгоритм решения задачи.
Для вычисления суммы платежей по процентам за требуемые смежные
периоды воспользуемся функцией ОБЩПЛАТ (Рис. 2.1)
Аргументы функции: Кол_пер= 20*12 = 240 месяцев (общее число
выплат); Ставка = 10%/12 (процентная ставка за месяц); Нз = 300 000
(кредит); Тип = 0; для выплаты процентов за 10 лет Нач_период = 1 и
Кон_период = 120.
125
Рис. 2.1. Фрагмент окна с использованием функции ОБЩПЛАТ
Задача 3.
Заемщик взял в банке кредит в размере 200000 руб. на срок 20 лет.
Процентная ставка 11%. Периодичность начисления квартал. Какую сумму по
основному долгу клиент выплатит через 8 лет? Ответ округлите до рублей.
Алгоритм решения задачи.
Предположим, что кредит погашается равными платежами в конце
каждого расчетного периода. Тогда для расчета суммы основных выплат за
восемь лет применим функцию ОБЩДОХОД. Аргументы функции:
Кол_пер = 20*4 = 80 кварталов (общее число расчетных периодов);
Ставка = 11%/4 (процентная ставка за расчетный период – квартал);
126
Нз = 200000; Нач_период = 1 и Кон_период = 32 (восемь лет платежа по
кредиту – это период с 1 по 32 квартал); Тип = 0.
Иллюстрация решения задачи представлена на Рис. 3.1.
Рис. 3.1. Фрагмент окна с использованием функции ОБЩДОХОД
Задача 4.
Определить платежи по процентам за первый месяц по кредиту в
100 000 руб., выданному на три года по ставке 10% годовых.
Алгоритм решения задачи.
Для определения платежа по процентам за первый месяц заданного
периода применим функцию ПРПЛТ со следующими аргументами: Ставка=
127
10%/12 (процентная ставка за месяц); Период= 1 (месяц); Кпер = 3*12 = 36
(месяцев), Пс = 100 000 (величина займа). Тогда платежи по процентам за
первый месяц составят:
= ПРПЛТ (10%/12; 1; 36; 100000) = - 833,33 руб.
Знак «минус» означает, что платеж по процентам необходимо внести.
Иллюстрация решения задачи приведена на Рис.4.1.
Рис. 4.1. Фрагмент окна с использованием функции ПРПЛТ
Задача 5.
Клиент ежегодно в течение 5 лет вносил деньги на депозит в банке и
накопил 40 000 руб. Проценты реинвестируются.
Определить, какой доход получил клиент банка за последний год, если
годовая ставка составила 13,5%.
128
Алгоритм решения задачи.
Доход за последний пятый год представляет собой сумму процентов,
начисленных на накопленную сумму вложений.
Для расчета воспользуемся функцией ПРПЛТ:
= ПРПЛТ(13,5%; 5; 5; ; 40000) = 4030,77 руб.
Заметим, что при решении данной задачи значения аргументов функции
ПРПЛТ Пс и Тип не указываются (считаются равными 0).
Иллюстрация решения задачи приведена на Рис. 5.1.
Рис. 5.1. Фрагмент окна с использованием функции ПРПЛТ
Задача 6.
Определить значение основного платежа для первого месяца кредита в
сумме 60 000 руб., выданного на два года по ставке 12% годовых. Проценты
реинвестируются.
Алгоритм решения задачи.
Определить значение основного платежа для первого месяца кредита в
сумме 60 000 руб., выданного на два года по ставке 12% годовых. Проценты
реинвестируются.
Алгоритм решения задачи.
Сумма основного платежа по кредиту вычисляется с помощью функции
ОСПЛТ:
= ОСПЛТ (12%/12; 1; 24; 60000) = -2 224,41руб.
129
Иллюстрация решения показана на Рис. 6.1.
Рис. 6.1. Фрагмент окна с использованием функции ОСПЛТ
Знак «минус» в результате означает, что сумму основного долга по
займу необходимо внести.
Отметим, что сумма выплаты по процентам, вычисляемая с помощью
функции ПРПЛТ, и сумма основной выплаты за период, рассчитанная с
помощью функции ОСПЛТ, равны полной величине выплаты, вычисляемой с
помощью функции ПЛТ.
Задача 7.
Фирма решила взять кредит размером 600 000 рублей, погашать который
(основной долг и проценты) намерена равномерными платежами в конце
каждого месяца. Определить ежемесячные выплаты по кредиту для разных
процентных ставок и сроков погашения кредита (от 5% до 20% и от 1 до 15
130
лет, используя таблицу подстановки). В ответе указать размер платежа за 4-ый
год при процентной ставке 12%.
Алгоритм решения задачи.
Ежемесячные выплаты по кредиту рассчитываются с использованием
функции ПЛТ. Однако аргументы данной функции – процентная ставка и срок
погашения кредита – по условию могут принимать различные значения.
Поэтому рассмотрим влияние этих параметров на заданную функцию.
Воспользуемся механизмом Таблица данных из меню Данные → Анализ «чтоесли». Выполним следующую последовательность действий.
1. В ячейку электронного листа B3 введем числовое значение суммы
кредита (600 000).
2. В ячейки B4 и В5 введем произвольные (условные) значения
процентной ставки (например, 5%) и срока погашения кредита в годах
(например, 1), которые нам понадобятся при построении Таблицы данных.
3. В ячейкиА10:А25 введем различные значения процентных ставок. В
ячейки В9:Р9− возможные сроки погашения.
4. В ячейку А9 введем формулу для расчета ежемесячных выплат по
кредиту: =ПЛТ(B4/12;B5*12;B3).
5. Выделим интервал для таблицы данных, включающий формулу и все
исходные данные, −А9:Р25.
6. Выберем команды Данные → Анализ «что-если» → Таблица данных.
В появившемся диалоговом окне (Рис. 7.1.) заполним соответствующие поля.
Поскольку наша таблица зависит от двух параметров, то в поле «Подставлять
значения по столбцам в:» введем ссылку на ячейку B5 (срок погашения), а в
поле «Подставлять значения по строкам в:» − ссылку на ячейку B4 (ставка).
131
Рис. 7.1. Окно задания параметров таблицы данных
7. Подтвердим ввод нажатием клавиши [Enter] или кнопкой ОК.
Таблица ежемесячных выплат по кредиту с помощью таблицы данных
будет сформирована (Рис. 7.2.).
Рис. 7.2. Таблица ежемесячных выплат по кредиту при разных
процентных ставках и сроках погашения кредита
8. В сформированной таблице необходимо задать формат ячеек
(числовой, число десятичных знаков -2).
9. Размер платежа за 4-ый год при процентной ставке 12% составляет –
153768,66 рублей.
Задача 8.
Достаточно ли разместить в банке депозит в сумме 430 000 руб. под 7%
годовых для приобретения через 4 года легкового автомобиля стоимостью 600
000 руб.? Банк начисляет проценты на депозит ежемесячно. Произвести
расчеты при разных вариантах процентной ставки и первоначальном взносе
(используя инструмент «Подбор параметра» или «Таблица подстановки»). В
ответе указать необходимый размер депозита (либо размер процентной
ставки).
Алгоритм решения задачи.
132
Поскольку требуется найти будущее значение суммы депозита через 4
года, для решения поставленной задачи воспользуемся функцией БС.
Получим:
=БС (7%/12;4*12;;-400000; 0)= 528 821,55р.
Как видим, найденная сумма недостаточна для совершения покупки.
Существует два варианта решения: первоначально положить на счет большую
сумму или воспользоваться банком, где предусмотрена большая процентная
ставка. Внесение дополнительных платежей рассматривать не будем.
1 вариант
Для определения необходимой суммы исходные данные задачи
представим в виде таблицы и воспользуемся средством Подбор параметра из
меню Данные→Анализ «что если».
Иллюстрация решения представлена на Рис. 8.1.
Рис. 8.1. Фрагмент окна с иллюстрацией решения задачи
После подтверждения введенных данных в ячейке В7установится
значение 600 000,00р., а в ячейке B3 отобразится результат – 453 839,30р.
Если необходимо изменить процентную ставку, то решение задачи будет
выглядеть следующим образом Рис. 8.2.:
133
Рис. 8.2. Фрагмент окна с иллюстрацией решения задачи
После подтверждения введенных данных в ячейке В7установится
значение 600 000,00р., а в ячейке B4отобразится результат – 10%.
2 вариант
Для анализа влияния процентной ставки и первоначальной суммы
взноса на зависящую от них формулу расчета будущей суммы вклада можно
воспользоваться таким инструментом как Таблицей данных из меню
Данные→Анализ «что если».
В дополнение к исходным данным задачи, наметим контуры будущей
таблицы данных: в ячейки D9:D16 введем процентные ставки, в ячейки E8:M8 –
первоначальные взносы, в ячейку D8 введем формулу расчета будущего
значения единой суммы вклада, ссылаясь на исходные данные задачи. Затем
выполним необходимые действия по инициализации средства Таблица данных
и внесения в соответствующее поле подстановки по столбцам значения адреса
ячейки, содержащей первоначальный взнос, а в поле подстановки по строкам
значения адреса ячейки с процентной ставкой. После нажатия ОК в
диалоговом окне Таблица данных, таблица заполнится рассчитанными
значениями.
Иллюстрация окна Excel после задания параметров для таблицы данных
представлена на Рис. 8.3.
134
Рис. 8.3. Фрагмент окна задания параметров для таблицы данных
Результат формирования таблицы данных показан на Рис. 8.4.
Рис. 8.4. Фрагмент окна результата формирования таблицы данных
Из анализа результатов таблицы данных следует, что для получения
заданной суммы в 600 000 руб. необходимо положить на депозит либо 440 000
руб. под 8% годовых, либо 380 000 руб. под 12% годовых (требуемые
результирующие значения находятся в правом нижнем углу сформированной
таблицы данных и выделены светло-красной заливкой).
Задание 2. Оперирование с математическими объектами
Задача 1.
Решить систему линейных уравнений методом методом Крамера
(обратной матрицы) в Excel или в R:
135
Задания 2-3.
Оперирование с
математическими объектами
(системы линейных
алгебраических уравнений,
матричные уравнения).
20% и от 1 до 15 лет, используя таблицу подстановки). В ответе указать
размер платежа за 5-ый год при процентной ставке 11%.
97.Достаточно ли разместить в банке депозит в сумме 170 000 руб. под 12%
годовых для приобретения через 4 года легкового автомобиля
стоимостью 600 000 руб.? Банк начисляет проценты на депозит
ежемесячно. Произвести расчеты при разных вариантах процентной
ставки и первоначальном взносе (используя инструмент «Подбор
параметра» или «Таблица подстановки»). В ответе записать размер
процентной ставки, при котором приобретение автомобиля станет
возможным.
98.Фирма решила взять кредит размером 175 000 рублей, погашать
который (основной долг и проценты) намерена равномерными
платежами в конце каждого месяца. Определить ежемесячные выплаты
по кредиту для разных процентных ставок и сроков погашения кредита
(от 5% до 20% и от 1 до 15 лет, используя таблицу подстановки). В
ответе указать размер платежа за 5-ый год при процентной ставке 11%.
99.Достаточно ли разместить в банке депозит в сумме 285 000 руб. под 9%
годовых для приобретения через 4 года легкового автомобиля
стоимостью 600 000 руб.? Банк начисляет проценты на депозит
ежеквартально. Произвести расчеты при разных вариантах процентной
ставки и первоначальном взносе (используя инструмент «Подбор
параметра» или «Таблица подстановки»). В ответе записать размер
процентной ставки, при котором приобретение автомобиля станет
возможным.
100.
Фирма решила взять кредит размером 485 000 рублей, погашать
который (основной долг и проценты) намерена равномерными
платежами в конце каждого квартала. Определить ежеквартальные
выплаты по кредиту для разных процентных ставок и сроков погашения
кредита (от 5% до 20% и от 1 до 15 лет, используя таблицу
подстановки). В ответе указать размер платежа за 5-ый год при
процентной ставке 11%.
Задание 2. Оперирование с математическими объектами
1. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы в
Excel или в R:
2 x − 3 y − 5 z = 1,
3x + y − 2 z = −4,
x − 2 y + z = 5.
2. Решить систему линейных уравнений методом Крамера в Excel или в R:
21
2 x − 3 y + z = 3,
x + y − 2 z = 4,
3x − 2 y + 6 z = 0.
3. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы в
Excel или в R:
x − 3 y + z = 2,
2 x + y + 3z = 3,
2 x − y − 2 z = 8.
4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера в Excel или в R:
x + 2 y − 4 z = 0,
3x + y − 3z = −1,
2 x − y + 5 z = 3.
5. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы в
Excel или в R:
2 x + 3 y − z = 2,
x − y + 3z = −4,
3x + 5 y + z = 4.
6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера в Excel или в R:
3x + 2 y + z = 5,
2 x + 3 y + z = 1,
2 x + y + 3z = 11.
7. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы в
Excel или в R:
4 x + 3 y − z = 0,
3x + y + z = 4,
x − 3 y − z = −6.
8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера в Excel или в R:
x − 2 y + 3z = 6,
2 x + 3 y − 4 z = 20,
3x − 2 y − 5 z = 6.
22
9. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы в
Excel или в R:
5 x − 2 y + z = −1,
2 x + y + 2 z = 6,
x − 3 y − z = −5.
10.Решить систему линейных уравнений методом Крамера в Excel или в R:
4 x − 3 y + 2 z = 9,
2 x + 5 y − 3z = 4,
5 x + 6 y − 2 z = 18.
11.Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы в
Excel или в R:
3x + 3 y + 2 z = −1,
2 x + y − z = 3,
x − 2 y − 3z = 4.
12.Решить систему линейных уравнений методом Крамера в Excel или в R:
x + y + 2 z = −1,
2 x − y + 2 z = −4,
4 x + y + 4 z = −2.
13.Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы в
Excel или в R:
3x + 2 y − z = 3,
x − y + 2 z = −4,
2 x + 2 y + z = 4.
14.Решить систему линейных уравнений методом Крамера в Excel или в R:
2 x − y − z = 4,
3x + 4 y − 2 z = 11,
3x − 2 y + 4 z = 11.
15.Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы в
Excel или в R:
23
x + y − 2 z = 1,
2 x + 3 y + z = 0,
x − 2 y − z = 7.
16.Решить систему линейных уравнений методом Крамера в Excel или в R:
3x + 4 y + 2 z = 6,
2 x − y − 3z = −1,
x + 5 y + z = −1.
17.Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы в
Excel или в R:
x + y − z = 1,
8 x + 3 y − 6 z = 2,
4 x + y − 3z = 3.
18.Решить систему линейных уравнений методом Крамера в Excel или в R:
2 x + 3 y − z = 2,
x + 2 y + 3z = 0,
x − y − 2 z = 6.
19.Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы в
Excel или в R:
x − 4 y − 2 z = −3,
3x + y + z = 5,
3x − 5 y − 6 z = −9.
20.Решить систему линейных уравнений методом Крамера в Excel или в R:
3x − 2 y + 2 z = 3,
2 x + y − z = −5,
5 x − y + 3z = 4.
21.Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы в
Excel или в R:
x1 + x2 − 6 x3 = 6
3x1 − x2 − 6 x3 = 2
2 x + 3x + 9 x = 6
2
3
1
24
22.Решить систему линейных уравнений методом Крамера в Excel или в R:
x1 − x2
4 x1 −7 x2
3 x −5 x
2
1
+2 x3
+19 x3
+14 x3
= 4,
= 18,
= 14.
23.Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы в
Excel или в R:
2 x1 − x2 − 6 x3 = −1
x1 − 2 x2 − 4 x3 = 5
x − x + 2 x = −8
3
1 2
24.Решить систему линейных уравнений методом Крамера в Excel или в R:
2 x1 − 2 x2 + x3 = 6
x1 + 6 x2 + 3x3 = 3
2 x + 3x + x = 0
2
3
1
25.Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы в
Excel или в R:
2 x1 − 3x2 + 3x3 = 3
6 x1 + 9 x2 − 2 x3 = −4
10 x + 3x − 3x = 3
2
3
1
26.Транспонировать матрицу В, вычислить определитель матрицы,
обратную матрицу для матрицы В в Excel или в R:
2 −6 −1 −13
7
−8 −3 −8
−3 9 −12 3
B=
−9
5 −10 2
4 −3 −11 −9
7
−4
−9 8
−7
−2
2
−2
12
−2
9
2
−4
−6
−1
−6
27.Транспонировать матрицу В, вычислить определитель матрицы,
обратную матрицу для матрицы В в Excel или в R:
25
9
−1
3
B=
5
4
−9
18 1 −13
−3 −8
7
8 −12 −8
−2 1
−9
−3 −9 −9
8
7
−4
−7
−2
5
−2
20
−2
9
2
−4
−6
−1
−6
28.Транспонировать матрицу В, вычислить определитель матрицы,
обратную матрицу для матрицы В в Excel или в R:
−4
−7
−4
B=
5
0
−9
9
−3
18
−2
−3
8
11
−8
−5
1
−9
−4
−3
7
−8
−9
0
−4
−7
−6
5
−2
8
12
9
2
−4
−6
−1
−6
29.Транспонировать матрицу В, вычислить определитель матрицы,
обратную матрицу для матрицы В в Excel или в R:
8
−9
−4
B=
5
8
−9
−9
−3
7
−8
−3
8
1 −13
−8 7
−4 −8
7 −9
−9 −5
−4 −4
−7
−6
−5
−2
8
12
9
12
−4
−6
−1
−6
30.Транспонировать матрицу В, вычислить определитель матрицы,
обратную матрицу для матрицы В в Excel или в R:
−1
−9
7
B=
15
8
−9
−6 11 −4
−3 8
7
6 −4 15
−1 7 −11
−3 9 −5
8 −4 −4
−7
−6
−5
−2
8
12
9
12
3
−6
−1
11
31.Транспонировать матрицу В, вычислить определитель матрицы,
обратную матрицу для матрицы В в Excel или в R:
−2 8 −2 7 10 4
3 3 11 0 −7 −5
−2 2 9 7 3 −10
B=
3 0 0 −4 −2 −8
2 −2 −8 −10 −6 7
−11 10 −7 3 −9 −1
32.Транспонировать матрицу В, вычислить определитель матрицы,
обратную матрицу для матрицы В в Excel или в R:
26
4 9 −8 11 1 −1
8 −8 5 7 −11 −6
4 −7 −1 −9 −1 −11
B=
−5 −7 7 4 0 −4
9 5 −7 6 −9 −10
−7 3 −10 −7 −9 2
33.Транспонировать матрицу В, вычислить определитель матрицы,
обратную матрицу для матрицы В в Excel или в R:
−6 4 3 2 −10 −9
−8 9 −3 5 −1 −2
−5 −3 −3 4 −5 8
B=
3 −8 6 7 9 −9
−9 2 10 −3 −6 −3
10 −3 5 3 1 −1
34.Транспонировать матрицу В, вычислить определитель матрицы,
обратную матрицу для матрицы В в Excel или в R:
9 −9 4 0 11 −10
9 7 1 5 −4 −3
2 4 −7 0 4 −6
B=
6 11 5 8 −3 −2
7 3 −2 11 −11 1
0 11 3 6 −1 −11
35.Транспонировать матрицу В, вычислить определитель матрицы,
обратную матрицу для матрицы В в Excel или в R:
2 −10 9 7 −4 −7
2 −10 −6 6 8 −10
−3 9 −8 0 5 −4
B=
5 −7 0 −6 1 7
8 0 5 −3 8 11
−3 −11 10 1 −3 10
36.Транспонировать матрицу В, вычислить определитель матрицы,
обратную матрицу для матрицы В в Excel или в R:
−6 −2 −3 −11 −1 −9
8 −7
−9 7 8 5
7 −11 −6 0 −1 0
B=
−2 10 −9 1 −1 −4
−11 9 0 −9 −2 7
6 −4 2 11 −11 8
37.Транспонировать матрицу В, вычислить определитель матрицы,
обратную матрицу для матрицы В в Excel или в R:
27
−1 −11 4 −1 3 −10
−3 0 −7 −8 −4 3
−6 −8 −7 11 7 −5
B=
0 −5 −5 −7 10 −11
−3 −5 −9 2 4 7
3 −1 −7 4 8 9
38.Транспонировать матрицу В, вычислить определитель матрицы,
обратную матрицу для матрицы В в Excel или в R:
−9 11 0 3 −12 7
−12 1 0 7 −8 −6
−13 −4 −2 −7 13 −2
B=
−7 0 −8 −3 −13 −14
0 −2 −3 −7 12 3
−11 14 14 −5 −9 7
39.Транспонировать матрицу В, вычислить определитель матрицы,
обратную матрицу для матрицы В в Excel или в R:
1 −5 −6 3 −2
2
−14 −12 0 9 −10 0
13 9 2 −2 2
7
B=
12 5 0 −5 −6 −13
−12 −5 −3 10 13 0
−4 −13 −9 −9 −9 −12
40.Транспонировать матрицу В, вычислить определитель матрицы,
обратную матрицу для матрицы В в Excel или в R:
3 −9 −13 −3 12
1
−10 6 −10 13 3 −10
2
1
6 −5 9 12
B=
0
0
2 9 10
3
−9 7 −12 12 −9 10
−12 −12 −5 14 1 3
41.Транспонировать матрицу В, вычислить определитель матрицы,
обратную матрицу для матрицы В в Excel или в R:
8 0 4 14 −3 −6
−2 −2 −14 11 −8 −13
−10 10 2
1 11 −11
B=
11 12 13 −8 −6 4
0 4 3
0 −11 0
12 5 11 −10 7 −9
42.Транспонировать матрицу В, вычислить определитель матрицы,
обратную матрицу для матрицы В в Excel или в R:
28
0 14 14 −6 −1 12
0 −11 −8 −3
−5 0
2 −12 13 −12 −14 −4
B=
7 −4 8 −7 2 −12
9 5 −12 −6 −4 12
−9 1 −2 −8 −10 −2
43.Транспонировать матрицу В, вычислить определитель матрицы,
обратную матрицу для матрицы В в Excel или в R:
10 13 −2 1 −14 8
7 9 −4 13 0 −13
4 −5 −9 9
5 −6
B=
−14 −2 6 −11 −10 −14
−5 −5 0 −10 10 −12
2 0 −3 9 −11 −3
44.Транспонировать матрицу В, вычислить определитель матрицы,
обратную матрицу для матрицы В в Excel или в R:
3 −1 −5 8 −8 −2
4 −3 9 7 −3 −3
−7 2 5 0 0 1
B=
−2 0 0 3 8 0
−9 8 −4 −2 1 −4
−9 5 −2 0 8 −2
45.Транспонировать матрицу В, вычислить определитель матрицы,
обратную матрицу для матрицы В в Excel или в R:
−6 6 3 4 6 8
1 3 5 −1 −9 −6
8 −6 2 −6 0 8
B=
6 −6 0 4 6 −4
5 9 −3 −1 5 −1
2 −2 9 1 1 0
46.Транспонировать матрицу В, вычислить определитель матрицы,
обратную матрицу для матрицы В в Excel или в R:
−6 8 3 −3 −4 −7
−8 1 −6 2 −2 2
3 −1 7 8 −4 −7
B=
5 −2 1 0 0 0
3 6 5 −7 −8 −3
8 −9 7 −7 −3 7
47.Транспонировать матрицу В, вычислить определитель матрицы,
обратную матрицу для матрицы В в Excel или в R:
29
1 9 −3 −7 7 −4
6 −4 −1 2 4 −3
6 −1 −4 2 7 −2
B=
1 2 0 −9 8 −4
1 6 −3 7 −5 1
−1 −7 −8 −6 8 7
48.Транспонировать матрицу В, вычислить определитель матрицы,
обратную матрицу для матрицы В в Excel или в R:
−6 −7 8 4 −9 −4
−5 4 −3 −4 2 −3
7 9 −3 7 4 −6
B=
0 6 5 8 −7 0
0 0 8 −2 0 0
−7 −5 2 −5 −8 −1
49.Транспонировать матрицу В, вычислить определитель матрицы,
обратную матрицу для матрицы В в Excel или в R:
−3 10 3 9 3 8
3 14 −13 −3 −5 −8
13 −8 0 8 −7 −6
B=
−12 8 15 4 −7 4
7 5 6 0 −6 4
−5 −9 −4 5 −7 1
50.Транспонировать матрицу В, вычислить определитель матрицы,
обратную матрицу для матрицы В в Excel или в R:
2 14 6
2 13
4
10 13 −13 −11 −9 5
−3 9
0 −3 −13 −5
B=
−15 −8 15 −8 8 10
11 −7 −1 −1 −12 7
3 −13 −11 −1 13 −12
51.Ресторан специализируется на выпуске трех видов фирменных блюд:
В1, В2, ВЗ, при этом используются ингредиенты трех типов S1, S2, S3.
Нормы расхода каждого из них на одно блюдо и объем расхода
ингредиентов на 1 день заданы таблице:
Нормы расхода ингредиентов на блюдо
(у. е.)
Ингредиент
B1
B2
30
B3
Расход
ингредиенто
в на 1день
(у. е.)
S1
4
6
5
10950
S2
2
3
1
4350
S3
1
4
3
6300
Найти ежедневный объем выпуска фирменных блюд каждого вида.
52.Предприятие производит продукцию четырех видов (Р1, Р2, Р3, Р4). При
этом используется сырье трех типов (S1, S2, S3). Нормы расхода сырья на
единицу продукции каждого вида, себестоимость одной условной
единицы каждого вида сырья и стоимость его доставки приведены в
таблице:
Показатель
Норма расхода сырья на единицу
продукции, у.е.
S1
S2
S3
Вид продукции
Р1
Р2
Р3
8
6
2
10
2
6
4
4
10
Р4
4
4
8
Себестоимость единицы сырья,
4
10
6
ден. ед.
Стоимость доставки сырья, ден.
6
10
4
ед.
Дневной план выпуска продукции составляет 100 единиц продукции Р1, 75
единиц продукции Р2,50 единиц продукции Р3и 40 единиц продукции Р4.
Определить общие затраты предприятия за день работы.
53.Предприятие производит продукцию трех видов (Р1, Р2, Р3). При этом
используется сырье трех типов (S1, S2, S3). Нормы расхода сырья на
единицу продукции каждого вида и объем расхода сырья за один день
приведены в таблице:
Показатель
S1
S2
S3
Норма расхода сырья на единицу
продукции, у.е.
Р1
Р2
Р3
12
6
3
15
2
9
6
4
15
31
Расход сырья
за 1 день, у.е.
3400
1600
2900
Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.
54.Предприятие производит продукцию трех видов. При этом используется
сырье трех типов. Нормы затрат сырья на единицу продукции каждого
вида, себестоимость каждого вида сырья и стоимость его доставки
приведены в таблице:
Показатель
Норма расхода сырья на единицу
продукции, у.е.
Р1
Р2
Р3
Вид продукции
S1
5
4
2
S2
3
1
0
S3
1
3
7
Себестоимость единицы сырья,
4
5
4
усл.ед.
Стоимость доставки сырья,
3
5
5
усл.ед.
Каковы общие затраты предприятия на производство 130 у.е. продукции S1,
105 у.е. продукции S2 и 80 у.е. продукции S3?
55.Предприятие производит продукцию трех видов (Р1, Р2, Р3). При этом
используется сырье трех типов (S1, S2, S3). Нормы расхода сырья на
единицу продукции каждого вида и объем расхода сырья за один день
приведены в таблице:
Показатель
Норма расхода сырья на единицу
продукции, у.е.
Р1
Р2
Р3
Расход сырья за 1
день,у.е.
S1
3
1
2
6100
S2
1
5
3
6800
S3
2
6
5
11400
Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.
56.Ресторан специализируется на выпуске трех видов фирменных блюд:
В1, В2, ВЗ, при этом используются ингредиенты трех типов S1, S2, S3.
Нормы расхода каждого из них на одно блюдо и объем расхода
ингредиентов на 1 день заданы таблице:
Ингредиент
Нормы расхода ингредиентов на блюдо
(у. е.)
32
Расход
ингредиенто
в на 1день
B1
B2
B3
S1
16
24
20
3650
S2
8
112
4
1450
S3
4
16
12
2100
(у. е.)
Найти ежедневный объем выпуска фирменных блюд каждого вида.
57.Предприятие производит продукцию четырех видов (Р1, Р2, Р3, Р4). При
этом используется сырье трех типов (S1, S2, S3). Нормы расхода сырья на
единицу продукции каждого вида, себестоимость одной условной
единицы каждого вида сырья и стоимость его доставки приведены в
таблице:
Показатель
Норма расхода сырья на единицу
продукции, у.е.
S1
S2
S3
Вид продукции
Р1
Р2
Р3
4
3
1
5
1
3
2
2
5
Р4
2
2
4
Себестоимость единицы сырья,
3
6
4
ден. ед.
Стоимость доставки сырья, ден.
4
6
5
ед.
Дневной план выпуска продукции составляет 400 единиц продукции Р1, 300
единиц продукции Р2,200 единиц продукции Р3и 180 единиц продукции Р4.
Определить общие затраты предприятия за день работы.
58.Предприятие производит продукцию трех видов (Р1, Р2, Р3). При этом
используется сырье трех типов (S1, S2, S3). Нормы расхода сырья на
единицу продукции каждого вида и объем расхода сырья за один день
приведены в таблице:
Показатель
Норма расхода сырья на единицу
продукции, у.е.
Р1
Р2
Р3
33
Расход сырья
за 1 день, у.е.
S1
7
8
5
6200
S2
6
4
5
3400
S3
4
6
8
4700
Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.
59.Предприятие производит продукцию трех видов. При этом используется
сырье трех типов. Нормы затрат сырья на единицу продукции каждого
вида, себестоимость каждого вида сырья и стоимость его доставки
приведены в таблице:
Показатель
Норма расхода сырья на единицу
продукции, у.е.
Р1
Р2
Р3
Вид продукции
S1
3
2
1
S2
0
1
3
S3
1
3
6
Себестоимость единицы сырья,
3
4
3
усл.ед.
Стоимость доставки сырья,
1
2
2
усл.ед.
Каковы общие затраты предприятия на производство 50 у.е. продукции S1, 40
у.е. продукции S2 и 25 у.е. продукции S3?
60.Предприятие производит продукцию трех видов (Р1, Р2, Р3). При этом
используется сырье трех типов (S1, S2, S3). Нормы расхода сырья на
единицу продукции каждого вида и объем расхода сырья за один день
приведены в таблице:
Показатель
Норма расхода сырья на единицу
продукции, у.е.
Р1
Р2
Р3
Расход сырья за 1
день, у.е.
S1
10
6
8
12200
S2
4
14
19
15600
S3
8
16
14
18500
Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.
61.Ресторан специализируется на выпуске трех видов фирменных блюд:
В1, В2, ВЗ, при этом используются ингредиенты трех типов S1, S2, S3.
Нормы расхода каждого из них на одно блюдо и объем расхода
ингредиентов на 1 день заданы таблице:
34
Расход
ингредиенто
в на 1день
Нормы расхода ингредиентов на блюдо
(у. е.)
Ингредиент
B1
B2
B3
(у. е.)
S1
8
10
6
5650
S2
7
6
6
4450
S3
6
7
8
5500
Найти ежедневный объем выпуска фирменных блюд каждого вида.
62.Предприятие производит продукцию четырех видов (Р1, Р2, Р3, Р4). При
этом используется сырье трех типов (S1, S2, S3). Нормы расхода сырья на
единицу продукции каждого вида, себестоимость одной условной
единицы каждого вида сырья и стоимость его доставки приведены в
таблице:
Показатель
Норма расхода сырья на единицу
продукции, у.е.
S1
S2
S3
Вид продукции
Р1
Р2
Р3
4
3
1
5
1
3
2
2
5
Р4
2
2
4
Себестоимость единицы сырья,
2
5
3
ден. ед.
Стоимость доставки сырья, ден.
3
5
4
ед.
Дневной план выпуска продукции составляет 500 единиц продукции Р1, 400
единиц продукции Р2,300 единиц продукции Р3и 200 единиц продукции Р4.
Определить общие затраты предприятия за день работы.
63.Предприятие производит продукцию трех видов (Р1, Р2, Р3). При этом
используется сырье трех типов (S1, S2, S3). Нормы расхода сырья на
единицу продукции каждого вида и объем расхода сырья за один день
приведены в таблице:
Показатель
Норма расхода сырья на единицу
продукции, у.е.
35
Расход сырья
за 1 день, у.е.
Р1
Р2
Р3
S1
4
5
2
5600
S2
3
1
2
3800
S3
1
3
5
5100
Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.
64.Предприятие производит продукцию трех видов. При этом используется
сырье трех типов. Нормы затрат сырья на единицу продукции каждого
вида, себестоимость каждого вида сырья и стоимость его доставки
приведены в таблице:
Показатель
Норма расхода сырья на единицу
продукции, у.е.
Р1
Р2
Р3
Вид продукции
S1
20
16
8
S2
12
4
0
S3
4
12
28
Себестоимость единицы сырья,
4
5
4
усл.ед.
Стоимость доставки сырья,
2
3
3
усл.ед.
Каковы общие затраты предприятия на производство 100 у.е. продукции S1, 75
у.е. продукции S2 и 50 у.е. продукции S3?
65.Предприятие производит продукцию трех видов (Р1, Р2, Р3). При этом
используется сырье трех типов (S1, S2, S3). Нормы расхода сырья на
единицу продукции каждого вида и объем расхода сырья за один день
приведены в таблице:
Показатель
Норма расхода сырья на единицу
продукции, у.е.
Р1
Р2
Р3
Расход сырья за 1
день,у.е.
S1
9
7
8
8400
S2
6
11
9
9100
S3
8
12
11
10700
Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.
66.Ресторан специализируется на выпуске трех видов фирменных блюд:
В1, В2, ВЗ, при этом используются ингредиенты трех типов S1, S2, S3.
36
Нормы расхода каждого из них на одно блюдо и объем расхода
ингредиентов на 1 день заданы таблице:
Расход
ингредиенто
в на 1день
Нормы расхода ингредиентов на блюдо
(у. е.)
Ингредиент
B1
B2
B3
(у. е.)
S1
5
7
6
3650
S2
3
4
2
1750
S3
2
5
4
2100
Найти ежедневный объем выпуска фирменных блюд каждого вида.
67.Предприятие производит продукцию четырех видов (Р1, Р2, Р3, Р4). При
этом используется сырье трех типов (S1, S2, S3). Нормы расхода сырья на
единицу продукции каждого вида, себестоимость одной условной
единицы каждого вида сырья и стоимость его доставки приведены в
таблице:
Показатель
Норма расхода сырья на единицу
продукции, у.е.
S1
S2
S3
Вид продукции
Р1
Р2
Р3
4
3
1
5
1
3
2
2
5
Р4
2
2
4
Себестоимость единицы сырья,
8
11
9
ден. ед.
Стоимость доставки сырья, ден.
9
11
10
ед.
Дневной план выпуска продукции составляет 95 единиц продукции Р1, 70
единиц продукции Р2,45 единиц продукции Р3и 35 единиц продукции Р4.
Определить общие затраты предприятия за день работы.
68.Предприятие производит продукцию трех видов (Р1, Р2, Р3). При этом
используется сырье трех типов (S1, S2, S3). Нормы расхода сырья на
единицу продукции каждого вида и объем расхода сырья за один день
приведены в таблице:
37
Показатель
Норма расхода сырья на единицу
продукции, у.е.
Р1
Р2
Р3
Расход сырья
за 1 день, у.е.
S1
24
25
22
5050
S2
23
21
22
4600
S3
21
23
25
5100
Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.
69.Предприятие производит продукцию трех видов. При этом используется
сырье трех типов. Нормы затрат сырья на единицу продукции каждого
вида, себестоимость каждого вида сырья и стоимость его доставки
приведены в таблице:
Показатель
Норма расхода сырья на единицу
продукции, у.е.
Р1
Р2
Р3
Вид продукции
S1
5
4
2
S2
3
1
0
S3
1
3
7
Себестоимость единицы сырья,
10
11
10
усл.ед.
Стоимость доставки сырья,
2
3
3
усл.ед.
Каковы общие затраты предприятия на производство 1000 у.е. продукции S1,
750 у.е. продукции S2 и 500 у.е. продукции S3?
70.Предприятие производит продукцию трех видов (Р1, Р2, Р3). При этом
используется сырье трех типов (S1, S2, S3). Нормы расхода сырья на
единицу продукции каждого вида и объем расхода сырья за один день
приведены в таблице:
Показатель
Норма расхода сырья на единицу
продукции, у.е.
Р1
Р2
Р3
S1
25
13
24
S2
23
17
15
S3
24
18
17
Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.
38
Расход сырья за 1
день,у.е.
11100
8800
9600
71.Ресторан специализируется на выпуске трех видов фирменных блюд:
В1, В2, ВЗ, при этом используются ингредиенты трех типов S1, S2, S3.
Нормы расхода каждого из них на одно блюдо и объем расхода
ингредиентов на 1 день заданы таблице:
Расход
ингредиенто
в на 1день
Нормы расхода ингредиентов на блюдо
(у. е.)
Ингредиент
B1
B2
B3
(у. е.)
S1
4
6
5
7300
S2
2
3
1
2900
S3
1
4
3
4200
Найти ежедневный объем выпуска фирменных блюд каждого вида.
72.Предприятие производит продукцию четырех видов (Р1, Р2, Р3, Р4). При
этом используется сырье трех типов (S1, S2, S3). Нормы расхода сырья на
единицу продукции каждого вида, себестоимость одной условной
единицы каждого вида сырья и стоимость его доставки приведены в
таблице:
Показатель
Норма расхода сырья на единицу
продукции, у.е.
S1
S2
S3
Вид продукции
Р1
Р2
Р3
4
3
1
5
1
3
2
2
5
Р4
2
2
4
Себестоимость единицы сырья,
12
15
13
ден. ед.
Стоимость доставки сырья, ден.
13
15
14
ед.
Дневной план выпуска продукции составляет 1000 единиц продукции Р1, 750
единиц продукции Р2,500единиц продукции Р3и 400 единиц продукции Р4.
Определить общие затраты предприятия за день работы.
39
73.Предприятие производит продукцию трех видов (Р1, Р2, Р3). При этом
используется сырье трех типов (S1, S2, S3). Нормы расхода сырья на
единицу продукции каждого вида и объем расхода сырья за один день
приведены в таблице:
Показатель
Норма расхода сырья на единицу
продукции, у.е.
Р1
Р2
Р3
Расход сырья
за 1 день, у.е.
S1
8
10
4
6800
S2
6
2
4
3200
S3
2
6
10
5800
Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.
74.Предприятие производит продукцию трех видов. При этом используется
сырье трех типов. Нормы затрат сырья на единицу продукции каждого
вида, себестоимость каждого вида сырья и стоимость его доставки
приведены в таблице:
Показатель
Норма расхода сырья на единицу
продукции, у.е.
Р1
Р2
Р3
Вид продукции
S1
25
20
10
S2
15
5
0
S3
5
15
35
Себестоимость единицы сырья,
15
20
15
усл.ед.
Стоимость доставки сырья,
5
10
10
усл.ед.
Каковы общие затраты предприятия на производство 20 у.е. продукции S1, 15
у.е. продукции S2 и 10 у.е. продукции S3?
75.Предприятие производит продукцию трех видов (Р1, Р2, Р3). При этом
используется сырье трех типов (S1, S2, S3). Нормы расхода сырья на
единицу продукции каждого вида и объем расхода сырья за один день
приведены в таблице:
Показатель
Норма расхода сырья на единицу
продукции, у.е.
Р1
Р2
Р3
40
Расход сырья за 1
день,у.е.
S1
25
15
20
S2
10
35
25
S3
20
40
35
Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.
76.Для матриц
12 4 −8 −9 11 11
−6 −5 −6 5 −1 12
−10 −10 6
5 6 0
A=
и
−12 −4 −12 −12 4 −3
−2 −2 −4 −2 11 7
−9 5 −11 2 6 −10
6100
6800
9400
−1 7 −6 8 −1 −8
−12 11 −2 −5 −8 −6
3 −3 −10 13 −8 2
B=
13 13 1 −5 −2 −7
−10 11 −11 6 −13 −10
9
−15 14 −3 −12 6
численно решить (в Excel или в R) матричное уравнение и проверить
результат, выполнив умножение матриц исходной задачи:
77.Для матриц
11 −7 −4 10 10 6
0 1 10 0 3 −5
0 −4 −4 −3 −1
8
1 7 −5 −2 −1 0
−9 6 −3 11 6 6
3 2 5 −2 −1 −4
A=
и B=
−7 −11 5 −5 −8 −5
9 −9 −4 2 −10 −6
−12 −12 3 10 4 −7
6 −1 −6 6 −2 −6
2 −4 −11 0 −10
6
−4 5 1 −9 5 5
численно решить (в Excel или в R) матричное уравнение и проверить
результат, выполнив умножение матриц исходной задачи:
78.Для матриц
10 5 −6 −2 0 −1
7 5 −10 7 6 −5
10 −4 −7 4 −5 −7
A=
и
12
1
7
11
3
−
9
4 6 2 6 0 10
4 −5 3 2 −9 11
−10 −3 −6 5 1 −9
−7 −10 7 −8 −1 7
−9 −9 −7 −11 9 7
B=
0 11 9 −6 11 −8
−3 10 11 −5 10 1
−1 0 −4 −11 2 10
численно решить (в Excel или в R) матричное уравнение и проверить
результат, выполнив умножение матриц исходной задачи:
79.Для матриц
41
7 1 −7 −4 −9 0
−7 −6 7 −9 4 0
0 −6 −4 −8 7 9
A=
и
1 −9 3 6 −2 0
4 4 3 −2 0 −7
−3 −8 2 6 3 4
3 5 8 1 9 −6
2 1 3 5 −2 4
8 8 −4 0 7 8
B=
7 −2 −8 −10 4 11
−8 0 −6 −2 8 0
9 −8 4 −11 11 −9
численно решить (в Excel или в R) матричное уравнение и проверить
результат, выполнив умножение матриц исходной задачи:
80.Для матриц
−11 9 −6 −7 10 8
−6 0 −3 −1 9 −9
6 10 2 −2 −11 −10
−5 2 9 −1 4 −6
−7 10 −11 −7 −6 3
−2 −8 0 −6 −1 9
A=
и B=
−4 5 2 5 8 −9
−8 −5 −7 7 −2 −3
11 −2 1 8 −10 1
0 −2 3 −1 1 5
2 −7 7 −2 −2 −7
−2 8 −1 −5 −1 −8
численно решить (в Excel или в R) матричное уравнение и проверить
результат, выполнив умножение матриц исходной задачи:
81.Для матриц
0 −2
8 11
7 7
A=
20 −7
13 5
7 6
−6
3
−3
5
−2
13
11 4
−8 −4
0
8
−4 −12
15 −6
2 11
5
11 7 −8 3
0 −3 8 −9 −5
−6 10 13 −15 −4
B=
5
3 −6 −9 −4
8 3 5 −5 13
0 8 2 −4 −12
10
9
−1
и
8
−4
−6
−1
−7
−4
6
−1
5
численно решить (в Excel или в R) матричное уравнение и проверить
результат, выполнив умножение матриц исходной задачи:
82.Для матриц
3
−6 −2 1 11 0
−8 0 −2 −8 −2 8
7 −13 −3 18 8
0
A=
5 −4 −12 −2
−4 0
19 11 −2 21 −6 12
17 −3 1 −4 −11 −6
и
23
4
7
B=
−3
8
2
42
−7 −1
2
7
−3 −11 −9 −5
−8 13 −15 −4
−6 −7 −2 2
5 −2 −5 0
−5 2
−4 −6
−1
−7
4
3
−1
−4
численно решить (в Excel или в R) матричное уравнение и проверить
результат, выполнив умножение матриц исходной задачи:
83.Для матриц
18 −4 1 17
−8 1 −7 −8
7 3 −3 8
A=
−4 0 5 −4
4 11 −4 6
−7 12 1 −4
−1 3
−4 8
8 0
−2 1
−6 12
−9 −6
и
−6
4
−6
B=
−3
8
2
7 −8
3
7
−3 −11 −9 −5
−8 13 −15 −4
−6 −9
9
12
3 −2 −5 13
−5 2
−4 −12
−1
−7
−4
3
−1
−4
численно решить (в Excel или в R) матричное уравнение и проверить
результат, выполнив умножение матриц исходной задачи:
84.Для матриц
−1 −4 8
5
−8 1
4 4 −14
A=
−4 −9 0
4 3 −4
1
−7 8
5
0
20
−4
12
−4
−1 15
6
−4 8
−4
−6
8 17
и B=
−2 −6
−9
8
0 2
−9 0
0
−7 9 3 −10 −1
−3 8 −9 −5
6
10 14 15 −4 −4
−6 9 10
5
−6
−3 5 −5 13 −11
8 8 −4 −12 1
численно решить (в Excel или в R) матричное уравнение и проверить
результат, выполнив умножение матриц исходной задачи:
85.Для матриц
−10 −4 8
−8 4 −5
8
3 −14
A=
14 −9 0
−6 −3 −4
1
−7 8
15
7
7
−4
−2
−4
−1 5
19
−4 8
5
−6
8 −2
и B=
−2 −6
1
8
12 2
−9 9
0
−5 9 3 −1
−3 20 −3 −5
10 −4 15 −17
−6 19 −9 −2
−3 5 −5 8
8 1 −4 12
0
13
0
−6
−1
−7
численно решить (в Excel или в R) матричное уравнение и проверить
результат, выполнив умножение матриц исходной задачи:
86.Для матриц
43
−5 −4 1
−8 1 5
7 4 −3
A=
−4 9 5
4 16 −4
−7 8 1
5
−8
2
−4
12
−4
−1 −10
7
−4 8
7
0
8 17
и B=
−2 1
14
8
−3 2
−9 0
0
−5 9
3 −1 1
4 4 −10 2 15
10 −4 15
8 1
−9 19 −4 −2 −6
−3 −4 6
6 −1
8 1 −4 −5 9
численно решить (в Excel или в R) матричное уравнение и проверить
результат, выполнив умножение матриц исходной задачи:
87.Для матриц
−1 −4 8
−8 4 −5
7 3 −14
A=
10 −9 0
−6 −3 −4
−7 8 12
15
7
7
−4
−2
−4
−1 5
3
−5 8
5
−6
8 −2
и B=
−2 −6
15
8
12 2
−9 9
0
−5 9
−3 −5
10 −4
−6 9
−3 5
8 6
3
0
15
−9
−5
−4
−1
−5
−2
−2
8
12
0
13
0
−6
−1
−7
численно решить (в Excel или в R) матричное уравнение и проверить
результат, выполнив умножение матриц исходной задачи:
88.Для матриц
8
6 −1
−1 0
8 4 −5 4 −5
3 6 −14 7 8
A=
0 −4 −2
10 4
−6 −3 −4 −2 2
−7 8 12 −4 9
5
11
−2
и
−6
13
−5
8 −5 12 −5 −1 0
5 −3 8 13 −5 13
−6 13 −4 15 −3 3
B=
15 −11 9 −9 −2 −6
8 −3 9 −5 8 −1
8
6 −4 12 7
0
численно решить (в Excel или в R) матричное уравнение и проверить
результат, выполнив умножение матриц исходной задачи:
89.Для матриц
21 8
6 −1
2
4 −5 7 −5
8
−19 4 −14 7 −4
A=
3 −9 0 −4 9
−6 −3 −4 −2 7
−7 8 −2 −4 9
5
11
−2
и
−6
1
−5
−2
−6
9
B=
15
8
−9
44
−5 12 −5
−3 8
7
1 −4 15
−1 9 −11
−3 9 −5
8 1 −4
−1 9
−5 12
−3 3
−2 −6
8 −1
12 7
численно решить (в Excel или в R) матричное уравнение и проверить
результат, выполнив умножение матриц исходной задачи:
90.Для матриц
8
6 10 5
−7 2
7 −5 1
8 −6 0
−9 8 −14 7 −4 −2
A=
и
3
−4 9 −6
3 5
14 −3 −4 −2 7 1
−7 8 −2 −12 9 −5
−1
−9
7
B=
15
8
−9
−6 11 −4
−3 8
7
6 −4 15
−1 7 −11
−3 9 −5
8 −4 −4
−7
−6
−5
−2
8
12
9
12
3
−6
−1
11
численно решить (в Excel или в R) матричное уравнение и проверить
результат, выполнив умножение матриц исходной задачи:
91.Для матриц
6 10 5
13 −1 0
21 −5 −3
8 −6 9
14 8 −4 −7 −4 2
A=
и
0
5
3
−
4
3
−
6
14 −3 −4 0
7 1
−7 8 −2 −12 9 −5
8
−9
−4
B=
5
8
−9
−9
−3
7
−8
−3
8
1 −13
−8 7
−4 −8
7 −9
−9 −5
−4 −4
−7
−6
−5
−2
8
12
9
12
−4
−6
−1
−6
численно решить (в Excel или в R) матричное уравнение и проверить
результат, выполнив умножение матриц исходной задачи:
92.Для матриц
3 −1 −4 6 10
8 −6 9 15 −5
4 8 6 −7 −4
A=
0 3 7 −4 3
14 −3 −4 −2 7
−7 8 −2 −12 9
5
−3
−8
и
−6
2
−5
−4
−7
−4
B=
5
0
−9
9
−3
18
−2
−3
8
11
−8
−5
1
−9
−4
−3
7
−8
−9
0
−4
−7
−6
5
−2
8
12
9
2
−4
−6
−1
−6
численно решить (в Excel или в R) матричное уравнение и проверить
результат, выполнив умножение матриц исходной задачи:
93.Для матриц
45
−7
8
−7
A=
6
14
−7
−3 −4 6 10
−6 0 3 −5
10 6 6 −11
−5 7 −4 −3
−3 −4 −2 7
8 −2 −5 0
2
−3
−8
и
−6
2
−9
2 −6 −1 −13
7
−8 −3 −8
−3 9 −12 3
B=
−9
5 −10 2
4 −3 −11 −9
7
−4
−9 8
−7
−2
2
−2
12
−2
9
2
−4
−6
−1
−6
численно решить (в Excel или в R) матричное уравнение и проверить
результат, выполнив умножение матриц исходной задачи:
94.Для матриц
1
8
−2
A=
6
14
−7
−3
−6
−3
8
−3
8
−4
10
−5
−1
2
−2
−3
5
6
−4
−2
−5
10
−5
6
−1
4
−6
5
−3
−8
и
−6
−4
7
−6 −5
−9 −1
−3 9
B=
−5 −14
−1 −3
−9 8
−1 −13
15 −1
−4 3
−5 −9
3 19
7 −4
−7 9
−2 2
−7 −4
−2 −6
1 2
−2 −6
численно решить (в Excel или в R) матричное уравнение и проверить
результат, выполнив умножение матриц исходной задачи:
95.Для матриц
2 −3 −4 −3
8 −6 7 3
−4 4 −5 6
A=
6 8 7 −4
14 −3 9 −2
−7 8 −2 −5
10 5
−5 −3
6 −8
и
−1 −6
7 2
−6 3
6 −1 −13
10
−9 −13 −8 7
−3 9 −4 3
B=
−5 −10 2 −9
11 −3 1 19
7 −4
−9 8
−7
−2
−7
−2
1
−2
9
2
−4
−6
−1
−6
численно решить (в Excel или в R) матричное уравнение и проверить
результат, выполнив умножение матриц исходной задачи:
96.Для матриц
−1 5 7 −3 6 5
−3 3 −11 7 −1 3
−4 −6 −7 −8 −4 −11
A=
и
−6 3 −6 −1 5 1
4 10 4 −12 10 5
12 −7 11 11 1 −5
6 −4 5 −4 −6 3
−11 12 −11 9 14 14
−1 9 11 6 −5 −5
B=
1 −6 0
0 −13 7
13 5 13 −3 14 0
0 −12 −9 −8
−2 9
46
численно решить (в Excel или в R) матричное уравнение и проверить
результат, выполнив умножение матриц исходной задачи:
97.Для матриц
1 −12 −3 7 −5 −6
−5 −5 −3 −3 0 −12
−1 −3 8 5 −5 2
A=
7 −11 7 12 −7 5
−3 −2 8 −2 8 7
−1 5 2 1 4 12
−8 14 15 −6 12 11
0 7 −15 14 −8 15
−3 −5 4 −6 −11 −4
и B=
5 −8 −3 −1 −9 5
−3 −2 −8 −6 −1 11
−6 −5 −10 11 2 −12
численно решить (в Excel или в R) матричное уравнение и проверить
результат, выполнив умножение матриц исходной задачи:
98.Для матриц
1 −5 4 −4 0 9
4 −8 −7 10 4 −5
−4 5 1 −7 −10 −5
A=
−10 9 6 5 −10 12
−12 1 −9 −9 2 8
0 −7 2 −9 12 −4
и
−11 4 7 13 −11 0
1
−7 11 2 −11 8
1
2 −1 −2 −12 2
B=
0
2
−4 0 12 4
4 −1 −3 0 −3 −11
4 −2
14 −11 2 7
численно решить (в Excel или в R) матричное уравнение и проверить
результат, выполнив умножение матриц исходной задачи:
99.Для матриц
9 −10 5 3 −5 5
1 9 −10 −9 −2
9
−10 10 5 12 −2 5
A=
8 0 4 −6 9
2
−12 −1 7 −5 0 9
1 −3 −4 −6 −11 10
5 −8 −9 −15 −15 0
−5 1 −14 −1 1 −12
−1 −13 −2 −11 1 −15
и B=
6 12
−13 −9 −13 5
−9 0 12 0 −9 14
6 13 −12 −1 6 −5
численно решить (в Excel или в R) матричное уравнение и проверить
результат, выполнив умножение матриц исходной задачи:
100.
Для матриц
47
5
7 11 8 1 5
−7 5 −12 −7 −10 −5
−11 −2 −1 −4 9 −2
A=
−7 10 5 1 −1 0
10 −5 12 −7 −7 11
−10 −9 11 −8 1 −12
13 5 −8 6 0 −13
5 10 6 3
15 4
0 −15 −12 14 −6 11
и B=
4 11 4
−3 −13 8
3 1 14 13 −8 −9
6 3 −12 −13 10 4
численно решить (в Excel или в R) матричное уравнение и проверить
результат, выполнив умножение матриц исходной задачи:
Задание 3. Комплексные числа. Решение алгебраических уравнений.
Вычисление арифметических выражений и функций комплексного
переменного.
1. Найти все нули алгебраического уравнения третьей степени
2. Найти все нули алгебраического уравнения третьей степени
3. Найти все нули алгебраического уравнения третьей степени
4. Найти все нули алгебраического уравнения третьей степени
5. Найти все нули алгебраического уравнения третьей степени
6. Найти все нули алгебраического уравнения третьей степени
7. Найти все нули алгебраического уравнения третьей степени
8. Найти все нули алгебраического уравнения третьей степени
9. Найти все нули алгебраического уравнения третьей степени
10. Найти все нули алгебраического уравнения третьей степени
11. Найти все нули алгебраического уравнения третьей степени
12. Найти все нули алгебраического уравнения третьей степени
13. Найти все нули алгебраического уравнения третьей степени
14. Найти все нули алгебраического уравнения третьей степени
48
Рис. 8.3. Фрагмент окна задания параметров для таблицы данных
Результат формирования таблицы данных показан на Рис. 8.4.
Рис. 8.4. Фрагмент окна результата формирования таблицы данных
Из анализа результатов таблицы данных следует, что для получения
заданной суммы в 600 000 руб. необходимо положить на депозит либо 440 000
руб. под 8% годовых, либо 380 000 руб. под 12% годовых (требуемые
результирующие значения находятся в правом нижнем углу сформированной
таблицы данных и выделены светло-красной заливкой).
Задание 2. Оперирование с математическими объектами
Задача 1.
Решить систему линейных уравнений методом методом Крамера
(обратной матрицы) в Excel или в R:
135
2 x1 − x2 − 6 x3 = −1
x1 − 2 x2 − 4 x3 = 5
x − x + 2 x = −8
3
1 2
Алгоритм решения задачи в Excel.
1 вариант (методом Крамера):
В ячейки B6:D8 введем коэффициенты матрицы системы А, а в
ячейкиG6:G8столбец свободных членов В (Рис.1.1.). Убедимся, что исходная
система определена, то есть имеет единственное решение. Для этого вычислим
определитель матрицы А. Используя функцию МОПР, находим, что
определитель матрицы А равен -16, то есть не равен нулю (Рис.1.1).
Рис. 1.1. Фрагмент окна вычисления определителя
Далее получим матрицы А1, А2 и А3, в которых соответственно первый,
второй и третий столбцы матрицы А заменяются столбцом свободных членов.
Для этого копируем элементы матрицы А (диапазон ячеек B6:D8)
соответственно в ячейки B12:D14, B16:D18 и B20:D22. Далее копируем
столбец свободных членов В, расположенный в ячейках G6:G8, в ячейки
B12:В14, С16:С18 и D20:D22. В ячейках G13, G17 и G21 вычисляем
определители полученных матриц с использованием функции МОПР.
Согласно правилу Крамера, искомое решение системы xi(i=1,2,3) найдем как
отношение определителя матриц Аiк определителю матрицы А. Результаты
будем получать в ячейках J13, J17 иJ21. Для этого в ячейку введем формулу
«=G13/$G$10», а затем скопируем ее в ячейки J17 иJ21. Результаты расчетов
представлены на Рис. 1.2.
136
Рис. 1.2. Фрагмент окна решения системы методом Крамера
2 вариант (методом обратной матрицы):
Ранее мы убедились в том, что определитель матрицы системы отличен
от нуля. Следовательно, обратная матрица существует. Для ее определения в
ячейках B26:D28воспользуемся алгоритмом вычисления обратной матрицы А1, вычисляемой с помощью функции МОБР. Затем умножим полученную
матрицу А-1 на столбец свободных членов В, расположенный в ячейках
G6:G8. Выделяя ячейки G26:G28, и применяя функцию матричного
умножения МУМНОЖ, получим результат, совпадающий с полученным ранее
по правилу Крамера (Рис.1.3).
Рис. 1.3. Фрагмент окна решения методом обратной матрицы
Алгоритм решения задачи в R (метод обратной матрицы)
Задаем матрицу в R. Это можно сделать разными способами.
Матрицу можно задать напрямую по столбцам при помощи команды cbind(),
по строкам при помощи команды rbind(), как последовательность – при
помощи matrix().
137
Q=rbind(c(2,-1,-6), c(1,-2,-4), c(1,-1,2))# задаем матрицу по строкам
B=c(-1,5,-8) # столбец свободных членов
В матричной форме система может быть записана как AX=B, поэтому
решение может быть найдено по формуле X=A-1B. Обратная матрица
вычисляется с помощью функции solve(), а произведение матриц – с помощью
оператора %*%:
Алгоритм решения задачи в R (метод Крамера)
138
Задаем матрицу в R.
Ответы, естественно, совпадают.
Задача 2.
Транспонировать матрицу
А, вычислить определитель матрицы,
обратную матрицу для матрицы А в Excel или в R:
139
−7
8
−7
A=
6
14
−7
−3 −4 6 10
−6 0 3 −5
10 6 6 −11
−5 7 −4 −3
−3 −4 −2 7
8 −2 −5 0
2
−3
−8
−6
2
−9
Алгоритм решения задачи в Excel.
T
Найдем матрицу A .
Транспонирование матрицы – операция, когда строки и столбцы
меняются местами с сохранением порядка следования элементов, то есть i-ая
строка матрицы А становится i-ым столбцом матрицы АТи, наоборот – j-ый
столбец матрицы А становится j-ой строкой.
Так
как
матрица
А
у
нас
квадратная
шестого
порядка,
то
T
транспонированная матрица A тоже будет квадратной шестого порядка. Для
нахождения транспонированной матрицы необходимо выделить, например,
ячейки J1:O6 и воспользоваться функцией ТРАНСП. Далее в строке формул
щелкнем мышью по значку f x , в результате чего появится диалоговое окно, в
котором выбираем функцию ТРАНСП и нажимаем «Enter». В появившемся
диалоговом окне вводим адрес массива с элементами
матрицы А,
расположенный в ячейках B1:G6. Нажимаем «Ctrl+Shift+Enter». Результат
расчета представлен на Рис.2.1.
Ответ: в любой ячейке диапазона J1:O6 получили{=ТРАНСП(B1:G6)}
Рис.2.1. Фрагмент окна транспонирования матрицы
Найдем определитель матрицы А.
140
Определителем квадратной матрицы называется число, определяемое по
некоторому правилу. Для нахождения определителя матрицы воспользуемся
функцией МОПРЕД.
Найдем определитель матрицы А. Выделим ячейку В10,щелкнем
мышью по значку f x ,в результате чего появится диалоговое окно выбора
функции, в котором выберем функцию МОПРЕД, а затем в появившемся
диалоговом окне введем адрес массива с элементами матрицы А,
расположенный в ячейках В1:G6. Нажимаем «Enter». Результат расчета
представлен на Рис.2.2.
Ответ: в ячейке В10 получили{=МОПРЕД (В1:G6)}.
Рис. 2.2. Фрагмент окна с определителем матрицы А
Найдем обратную матрицу А-1 .
Матрица A-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице
А, если при умножении этой матрицы на данную как слева, так и справа
получается единичная матрица, то есть
A*A-1= A-1*A = E.
Как следует из определения, обратная матрица является квадратной того
же порядка, что и исходная матрица.
Необходимым и достаточным условием существования обратной
матрицы является не вырожденность исходной матрицы. Матрица называется
невырожденной или неособенной, если ее определитель отличен от нуля. В
противном случае, если определитель равен нулю, матрица называется
вырожденной или особенной.
В MS Excel для нахождения обратной матрицы используется функция
МОБР.
141
Вычислим обратную матрицу для матрицы А. Мы убедились, что ее
определитель не равен нулю и, следовательно, она является невырожденной,
т.е. обратная матрица существует.
Выделите блок ячеек под обратную матрицу. Размерность этого блока
должна быть такой же, как и у матрицы А. Например, выделим ячейки
В15:G20. Вызвать мастер функций f x . В появившемся диалоговом окне
Выберите функцию в рабочем поле Категория выберите Математические —
функцию МОБР. После этого щелкните на кнопке ОК.
В появившемся диалоговом окне МОБР вводим элементы исходной
матрицы А, расположенные в ячейках В1:G6 и нажимаем одновременно
сочетание клавиш «CTRL+SHIFT+ENTER».
Ответ: в любой ячейке диапазона В15:G20 получили{=МОБР(В1:G6)}.
Рис. 2.3. Фрагмент окна с вычислением обратной матрицы
Алгоритм решения задачи в R.
142
Результат полученных вычислений показан на рисунке.
Задача 3.1.
Ресторан специализируется на выпуске трех видов фирменных блюд:
В1, В2, ВЗ, при этом используются ингредиенты трех типов S1, S2, S3. Нормы
расхода каждого из них на одно блюдо и объем расхода ингредиентов на 1
день заданы таблице
Нормы расхода ингредиентов на блюдо
(у. е.)
Ингредиент
Расход
ингредиенто
в на 1день
B1
B2
B3
(у. е.)
S1
4
6
5
3650
S2
2
3
1
1450
S3
1
4
3
2100
143
Найти ежедневный объем выпуска фирменных блюд каждого вида.
Алгоритм решения задачи.
Пусть ежедневно ресторан выпускает х блюд вида В1, y блюд вида В2 и
z– блюд вида ВЗ. Тогда в соответствии с расходом ингредиентов каждого типа
имеем систему:
4 х + 6 у + 5z = 3650
2 х + 3 у + z = 1450
х + 4 у + 3z = 2100
Решаем систему:
1. Введите матрицу А в диапазон А3:С5, как показано на Рис. 3.1.
2. Матрицу В введите в диапазон Е3:Е5.
3. Выделите диапазон ячеек под результирующую матрицу (под матрицу
X). Например, выделите блок ячеек G3:G5
4. Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставить
функцию
.
5. В появившемся диалоговом окне Вставка функции в рабочем поле
Категория выберите Математические, а в рабочем поле Выберите функцию
– имя функции МУМНОЖ. После этого щелкните на кнопке ОК.
6. Появившееся диалоговое окно МУМН0Ж мышью отодвиньте в
сторону от исходных матриц и введите в рабочее поле Массив1 функцию
МОБР, в рабочее поле Массив функции МОБР введите диапазон ячеек
А3:С5, т.е. матрицу А, в рабочее поле Массив2 функции МУМНОЖ диапазон
ячеек матрицы В – Е3:Е5. После этого нажмите сочетание клавиш
CTRL+SHIFT+ENTER;
В результате в диапазоне G3:G5появится вектор X. Причем х=150, у=300,
z=250.
144
Рис. 3.1. Фрагмент окна решения задачи 3.1.
Алгоритм решения задачи в R.
Задача 3.2.
Предприятие производит продукцию четырех видов (Р1, Р2, Р3, Р4). При
этом используется сырье трех типов (S1, S2, S3). Нормы расхода сырья на
единицу продукции каждого вида, себестоимость одной условной единицы
каждого вида сырья и стоимость его доставки приведены в таблице:
Показатель
Норма расхода сырья на единицу
145
продукции, у.е.
S1
S2
S3
Р1
4
5
2
Р2
3
1
2
Р3
1
3
5
Р4
2
2
4
2
5
3
3
5
4
Вид продукции
Себестоимость
единицы
сырья, ден. ед.
Стоимость доставки сырья,
ден. ед.
Дневной план выпуска продукции составляет 100 единиц продукции Р1,
75 единиц продукции Р2, 50 единиц продукции Р3 и 40 единиц продукции Р4.
Определить общие затраты предприятия за день работы.
Алгоритм решения задачи.
Составим экономико-математическую модель данной задачи.
Нормы расхода сырья на единицу продукции представим в виде матрицы
А, а дневной план выпуска продукции в виде вектора столбца Р. Очевидно,
что
100
4 3 1 2
75
.
A = 5 1 3 2 , P =
50
2 2 5 4
40
Произведение матрицы А на столбец Р представляет собой столбец S,
элементы которого численно равны количеству соответствующего сырья,
необходимого для осуществления указанного дневного плана выпуска
продукции, то есть S=A*P.
Себестоимость одной единицы сырья каждого типа представим в виде
вектора-строки В, а стоимость ее доставки в виде вектора-строки D. На
основании исходных данных B=(2 5 3), а D=(3 5 4). Очевидно, что общие
146
затраты С предприятия на одну единицу сырья соответствующего типа будут
складываться из его себестоимости и стоимости доставки, то есть C=B+D.
Общие
затраты
предприятия
на выпуск
всей
продукции
будут
определяться суммой затрат на все сырье каждого типа, необходимого для
выпуска дневной нормы продукции. Последнее можно представить как
произведение общих затрат на единицу сырья и его количества, то есть в виде
произведения матриц С и S. Таким образом, общие затраты Q будут равны
Q=C*S.
Реализовать все вычисления в MS Excel.
Рис. 3.2. Фрагмент окна решения задачи 3.2.
Ответ. 17145 ден. ед.
147
Алгоритм решения задачи в R.
Задача 4.
Для матриц
1 −14 12 −7
3
2 12
13
11 −2
13 0
A=
7 −12 −7
12
−11
7 −5 14
3 −5 −1 −5
−4 −6
9 −9 4 0 11 −10
−1 −12
9 7 1 5 −4 −3
2 4 −7 0 4 −6
14 −6
и B=
−7 14
6 11 5 8 −3 −2
7 3 −2 11 −11 1
12
3
2
7
0 11 3 6 −1 −11
численно решить (в Excel или в R) матричное уравнение и проверить
результат, выполнив умножение матриц исходной задачи:
Алгоритм решения задачи
AX = B
Введем начальные данные Рис. 4.1.
148
Рис. 4.1. Фрагмент окна ввода матриц
Найдем обратную матрицу для матрицы A с помощью функции =МОБР.
Для этого выделим диапазон B10:G15 введем =МОБР(B3:G8) с диапазоном
ячеек в которых содержится матрица А и нажмем Ctrl – Shift -Enter. Рис. 4.2.
Рис. 4.2. Нахождение обратной матрицы
Необходимо отметить, что формат ячеек задан на 6 знаков после запятой.
Далее для нахождения Х произведем умножение
Рис 4.3. Нахождение матрицы Х
Проверяем полученный результат. АХ=В Рис. 4.4.
149
. Рис. 4.3.
Рис. 4.4. Проверка результатов вычисления
Алгоритм решения задачи в R
150
Задание 4.
Собственные значения и
собственные векторы матриц.
Квадратичные формы.
Привести матрицу А к диагональному виду, используя собственные
значения. Результат округлить до 3 десятичных знаков.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
52
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
53
Привести матрицу А к диагональному виду, используя собственные значения.
Результат округлить до 3 десятичных знаков.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
54
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
Привести квадратичную форму к каноническому виду
55
51.f = 2x2+4y2+z2+6xy-4xz+4yz
52.f = x2+4y2+9z2+2xy-4xz-8yz
53.f = x2+4y2+2z2+2xy-4xz-4yz
54.f = x2+4y2+6z2+6xy+2xz-8yz
55.f = 2x2+4y2+5z2+6xy-6xz+4yz
56.f = 3x2+4y2+9z2+6xy-4xz-8yz
57.f = 3x2+2y2+4z2+6xy-4xz-8yz
58.f = 3x2+4y2+5z2-2xy-4xz-8yz
59.f = 4x2+2y2+9z2+6xy-4xz+4yz
60.f = 5x2+6y2+z2+6xy-4xz+6yz
61.f = 2x2+4y2+3z2+6xy-4xz+2yz
62.f = 2x2+4y2+3z2+6xy-4xz-6yz
63.f = x2+4y2+3z2+6xy-4xz-2yz
64.f = x2+4y2+9z2+2xy-4xz-8yz
65.f = 4x2+2y2+9z2+6xy-8xz+4yz
66.f = 4x2+4y2+4z2+6xy-4xz-8yz
67.f = 2x2+4y2+3z2+6xy-4xz+2yz
68.f = 3x2+4y2+9z2+6xy-4xz-8yz
69.f = 2x2+4y2+3z2+6xy-4xz+4yz
70.f = 2x2+4y2+9z2+6xy+4xz+6yz
71.f = 3x2+2y2+5z2+6xy-4xz+6yz
72.f = 3x2+4y2+5z2-2xy-4xz-8yz
73.f = x2+4y2+2z2+2xy-4xz-4yz
74.f = 4x2+2y2+9z2+6xy-4xz+4yz
75.f = 3x2+5y2+z2+6xy-4xz+6yz
Найти
матрицу
ортогонального
квадратичную форму к каноническому виду
76.f = 3x2-5y2-10xy
77.f = -3x2+4y2+10xy
78.f = 2x2-4y2+16xy
56
преобразования,
приводящую
79.f = -3x2-4y2+16xy
80.f = -5x2+6y2+16xy
81.f = -3x2-4y2+10xy
82.f = 3x2-4y2+12xy
83.f = -3x2-4y2+16xy
84.f = 4x2-4y2+10xy
85.f = -6x2+4y2+6xy
86.f = -3x2+2y2+12xy
87.f = 2x2-4y2+16xy
88.f = -3x2+4y2+10xy
89.f = 2x2-4y2-6xy
90.f = -3x2-4y2+16xy
91.f = -6x2+4y2+6xy
92.f = -3x2-4y2+10xy
93.f =-3x2-4y2+10xy
94.f = 6x2-2y2+10xy
95.f = x2+3y2+12xy
96.f = -5x2-4y2+6xy
97.f = 2x2-4y2+16xy
98.f = -3x2-4y2+16xy
99.f = 5x2-2y2+16xy
100. f = 2x2-4y2+16xy
Задание 5. Оперирование с математическими объектами. Векторная
алгебра (задание векторов, скалярное произведение, длина, произвольные
выражения векторной алгебры)
1. Даны векторы:
(0,-4,2,-3,1,1,2,0,-5,-2,-1,3)
(-4,3,0,3,-2,6,-2,3,3,1,1,5)
57
Ответ: 5.385
Задача 14. Найти аргумент комплексного числа (2+5i)
Аргумент комплексного числа – это угол между радиус-вектором и осью x.
Вычисляется в радианах.
Зададим в ячейке B2 комплексное число: =КОМПЛЕКСН(2;5)
В ячейке В4 выполним вызов стандартной функции для вычисления аргумента
комплексного числа: =МНИМ.АРГУМЕНТ(B2).
Код на языке R
# Пример
z <- Arg(2+5i)
Ответ: 1.190
Задание 4. Преобразование матрицы линейного оператора и
нахождение его собственных значений и векторов, квадратичные формы.
Задача 1. Привести матрицу А к диагональному виду, используя собственные
значения. Результат округлить до 3 десятичных знаков.
Алгоритм решения задачи.
Зададим матрицу любым удобным способом: по столбцам
Q <- cbind(c(4,1,-1), c(2,-2,2),c(3,2,-1)) # Составить матрицу из трех столбцов-векторов
Q
> Q <- cbind(c(4,1,-1),c(2,-2,2),c(3,2,-1)) # Составить матрицу из трех
столбцов-векторов
> Q
[,1] [,2] [,3]
[1,]
4
2
3
[2,]
1
-2
2
[3,]
-1
2
-1
Или по строкам
Q <- rbind(c(5,2,1),c(2,0,2),c(1,5,1)) # Составить матрицу из трех строк-векторов
Q
> Q <- rbind(c(4,2,3),c(1,-2,2),c(-1,2,-1)) # Составить матрицу из трех
строк-векторов
> Q
[,1] [,2] [,3]
159
[1,]
[2,]
[3,]
4
1
-1
2
-2
2
3
2
-1
С помощью встроенной функции eigen(Q), аргументом в которой является
матрица, собственные значения которой надо определить, найдем эти
значения. Для того, чтобы результатом был вектор, состоящий из
собственных значений, укажем это - eigen(Q)$values
d <- eigen(Q)$values;d
> d <- eigen(Q)$values;d
[1] 3.7535962 -3.5121399
0.7585438
В результате получим три числа – собственные значения матрицы Q.
Округлим полученные значения до трех знаков после запятой с помощью
функции round(d, 3). Первый аргумент в этой функции – имя вектора, второй –
число знаков.
d1 <- round(d, 3); d1
> d1 <- round(d, 3); d1
[1] 3.754 -3.512 0.759
Составим диагональную матрицу D с помощью функции diag, Полученная
матрица является решением задачи.
D <- diag(d1); D
> D <- diag(d1); D
[,1]
[,2] [,3]
[1,] 3.754 0.000 0.000
[2,] 0.000 -3.512 0.000
[3,] 0.000 0.000 0.759
Задача 2. Найти собственные векторы матрицы A.
Алгоритм решения задачи.
Зададим матрицу любым удобным способом: по столбцам
Q <- cbind(c(-2,4,2),c(1,-1,-2),c(3,2,4)) # Составить матрицу из трех столбцов-векторов
160
Q
> Q <- cbind(c(-2,4,2),c(1,-1,-2),c(3,2,4)) # Составить матрицу из трех
столбцов-векторов
> Q
[,1] [,2] [,3]
[1,]
-2
1
3
[2,]
4
-1
2
[3,]
2
-2
4
Или по строкам
Q <- rbind(c(3,2,1),c(5,0,2),c(1,5,3)) # Составить матрицу из трех строк-векторов
Q
> Q <- rbind(c(-2,1,3),c(4,-1,2),c(2,-2,4)) # Составить матрицу из трех
строк-векторов
> Q
[,1] [,2] [,3]
[1,]
-2
1
3
[2,]
4
-1
2
[3,]
2
-2
4
С помощью той же встроенной функции eigen(Q), аргументом в которой
является матрица найдем собственные векторы. Чтобы определить именно
собственные векторы – укажем это: eigen(Q)$vectors
P<- eigen(Q)$vectors; P # собственные векторы
> P<- eigen(Q)$vectors; P # собственные векторы
[,1]
[,2]
[,3]
[1,] -0.6944863 0.4576043 0.4599634
[2,] 0.6435457 0.7190925 0.7941958
[3,] 0.3217728 0.5229764 0.3970979
В результате получим матрицу, каждый столбец которой является
собственным вектором матрицы Q.
Задача 3. Привести квадратичную форму к каноническому виду
f =2x2+4y2-3z2+6xy-4xz+2yz
Алгоритм решения задачи.
Составим матрицу квадратичной формы:
Элементы диагонали – это коэффициенты при выражениях второй степени:
x2, y2, z2. Недиагональные элементы – симметричные и вычисляются делением
пополам соответствующих коэффициентов при смешанных произведениях.
Зададим матрицу любым удобным способом: по столбцам
161
A<- cbind(c(2,3,-2),c(3,4,1),c(-2,1,-3)) # Составить матрицу из трех столбцов-векторов
A
> A<- cbind(c(2,3,-2),c(3,4,1),c(-2,1,-3)) # Составить матрицу из трех
столбцов-векторов
> A
[,1] [,2] [,3]
[1,]
2
3
-2
[2,]
3
4
1
[3,]
-2
1
-3
Или по строкам
A<- rbind(c(2,3,-2),c(3,4,1),c(-2,1,-3)) # Составить матрицу из трех строк-векторов
A
> A<- rbind(c(2,3,-2),c(3,4,1),c(-2,1,-3)) # Составить матрицу из трех строквекторов
> A
[,1] [,2] [,3]
[1,]
2
3
-2
[2,]
3
4
1
[3,]
-2
1
-3
Матрица симметричная, поэтому строки и столбцы одинаковые.
Для того, чтобы привести квадратичную форму к каноническому виду,
необходимо посчитать собственные значения квадратичной формы.
Обратимся к функции eigen(Q)$values:
d <- eigen(A)$values;d
> d <- eigen(A)$values;d
[1] 6.177534 1.037039 -4.214573
Округлим числа до двух знаков после запятой
d1 <- round(d, 2); d1
> d1 <- round(d, 2); d1
[1] 6.18 1.04 -4.21
Запишем канонический вид в другом базисе, подставив компоненты вектора
собственных значений:
f = 6.18 p 2 + 1.04 q 2 -4.21 w2
Задача 4. Найти матрицу ортогонального преобразования, приводящую
квадратичную форму к каноническому виду. Результат округлить до трех
знаков после запятой.
f = 9x2-6y2+16xy
Алгоритм решения задачи.
Запишем матрицу квадратичной формы
9 8
A =
8 − 6
162
Матрица ортогонального преобразования состоит из собственных
векторов матрицы А. Так как матрица симметричная, то соответствующие
векторы будут ортогональными.
Зададим матрицу любым удобным способом: по столбцам
A<- cbind(c(9,8),c(8,-6)) # Составить матрицу из двух столбцов-векторов
A
> A<- cbind(c(9,8),c(8,-6)) # Составить матрицу из двух столбцов-векторов
> A
[,1] [,2]
[1,]
9
8
[2,]
8
-6
Или по строкам
A<- rbind(c(9,8),c(8,6)) # Составить матрицу из двух строк-векторов
A
> A<- rbind(c(9,8),c(8,6))
> A
[,1] [,2]
[1,]
9
8
[2,]
8
6
# Составить матрицу из двух строк-векторов
Матрица симметричная, поэтому строки и столбцы одинаковые.
С помощью встроенной функции eigen(А), аргументом в которой
является матрица, найдем собственные векторы. Чтобы определить именно
собственные векторы – укажем это: eigen(Q)$vectors
P<- eigen(A)$vectors; P # собственные векторы
> P<- eigen(A)$vectors; P # собственные векторы
[,1]
[,2]
[1,] -0.7695091 0.6386358
[2,] -0.6386358 -0.7695091
Округлим до трех знаков после запятой полученные значения:
P1 <- round(P, 2); # округление
P1#печать результата
> P1 <- round(P, 2); # округление
> P1#печать результата
[,1] [,2]
[1,] -0.77 0.64
[2,] -0.64 -0.77
Получена
матрица
ортогонального
квадратичную форму к каноническому виду.
163
преобразования,
приводящая
Задание 5.
Векторная алгебра
(задание векторов,
скалярное произведение,
длина, произвольные
выражения векторной алгебры).
79.f = -3x2-4y2+16xy
80.f = -5x2+6y2+16xy
81.f = -3x2-4y2+10xy
82.f = 3x2-4y2+12xy
83.f = -3x2-4y2+16xy
84.f = 4x2-4y2+10xy
85.f = -6x2+4y2+6xy
86.f = -3x2+2y2+12xy
87.f = 2x2-4y2+16xy
88.f = -3x2+4y2+10xy
89.f = 2x2-4y2-6xy
90.f = -3x2-4y2+16xy
91.f = -6x2+4y2+6xy
92.f = -3x2-4y2+10xy
93.f =-3x2-4y2+10xy
94.f = 6x2-2y2+10xy
95.f = x2+3y2+12xy
96.f = -5x2-4y2+6xy
97.f = 2x2-4y2+16xy
98.f = -3x2-4y2+16xy
99.f = 5x2-2y2+16xy
100. f = 2x2-4y2+16xy
Задание 5. Оперирование с математическими объектами. Векторная
алгебра (задание векторов, скалярное произведение, длина, произвольные
выражения векторной алгебры)
1. Даны векторы:
(0,-4,2,-3,1,1,2,0,-5,-2,-1,3)
(-4,3,0,3,-2,6,-2,3,3,1,1,5)
57
(1,5,3,4,3,0,-4,-5,1,6,2,1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
2. Даны векторы:
(-1,2,-3,0,-2,3,0,4,-1,1,2,2)
(1,4,5,3,2,2,-1,-3,0,1,5,3)
(2,0,2,1,-2,4,4,0,2,-5,1,2)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
3. Даны векторы:
(3,5,-2,1,2,3,-4,0,-1,2,3,3)
(-2,3,6,1,1,1,0,-1,2,4,-4,2)
(4,0,2,2,5,1,3,3,0,-3,-2,-1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
4. Даны векторы:
58
(1,5,-1,2,0,6,-2,1,1,-3,5,1)
(0,2,3,1,-4,-1,0,2,1,4,1,3)
(-3,0,-1,-1,0,4,3,2,-5,1,1,-6)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
5. Даны векторы:
(3,5,-2,1,2,3,-4,0,-1,2,3,3)
(-2,3,6,1,1,1,0,-1,2,4,-4,2)
(4,0,2,2,5,1,3,3,0,-3,-2,-1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
6. Даны векторы:
(3,5,-2,1,2,3,-4,0,-1,2,3,3)
(-2,3,6,1,1,1,0,-1,2,4,-4,2)
(4,0,2,2,5,1,3,3,0,-3,-2,-1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
7. Даны векторы:
(0,-4,2,-3,1,1,2,0,-5,-2,-1,3)
(-4,3,0,3,-2,6,-2,3,3,1,1,5)
59
(1,5,3,4,3,0,-4,-5,1,6,2,1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
8. Даны векторы:
(3,5,-2,1,2,3,-4,0,-1,2,3,3)
(-2,3,6,1,1,1,0,-1,2,4,-4,2)
(4,0,2,2,5,1,3,3,0,-3,-2,-1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
9. Даны векторы:
(0,-4,2,-3,1,1,2,0,-5,-2,-1,3)
(-4,3,0,3,-2,6,-2,3,3,1,1,5)
(1,5,3,4,3,0,-4,-5,1,6,2,1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
10. Даны векторы:
(1,5,-1,2,0,6,-2,1,1,-3,5,1)
60
(0,2,3,1,-4,-1,0,2,1,4,1,3)
(-3,0,-1,-1,0,4,3,2,-5,1,1,-6)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
11. Даны векторы:
(3,5,-2,1,2,3,-4,0,-1,2,3,3)
(-2,3,6,1,1,1,0,-1,2,4,-4,2)
(4,0,2,2,5,1,3,3,0,-3,-2,-1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
12. Даны векторы:
(1,5,-1,2,0,6,-2,1,1,-3,5,1)
(0,2,3,1,-4,-1,0,2,1,4,1,3)
(-3,0,-1,-1,0,4,3,2,-5,1,1,-6)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
61
3.
13. Даны векторы:
(-1,2,-3,0,-2,3,0,4,-1,1,2,2)
(1,4,5,3,2,2,-1,-3,0,1,5,3)
(2,0,2,1,-2,4,4,0,2,-5,1,2)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
14. Даны векторы:
(3,5,-2,1,2,3,-4,0,-1,2,3,3)
(-2,3,6,1,1,1,0,-1,2,4,-4,2)
(4,0,2,2,5,1,3,3,0,-3,-2,-1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
15. Даны векторы:
(3,5,-2,1,2,3,-4,0,-1,2,3,3)
(-2,3,6,1,1,1,0,-1,2,4,-4,2)
(4,0,2,2,5,1,3,3,0,-3,-2,-1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
62
2.
3.
16. Даны векторы:
(-1,2,-3,0,-2,3,0,4,-1,1,2,2)
(1,4,5,3,2,2,-1,-3,0,1,5,3)
(2,0,2,1,-2,4,4,0,2,-5,1,2)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
17. Даны векторы:
(-1,2,-3,0,-2,3,0,4,-1,1,2,2)
(1,4,5,3,2,2,-1,-3,0,1,5,3)
(2,0,2,1,-2,4,4,0,2,-5,1,2)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
18. Даны векторы:
(-1,2,-3,0,-2,3,0,4,-1,1,2,2)
(1,4,5,3,2,2,-1,-3,0,1,5,3)
(2,0,2,1,-2,4,4,0,2,-5,1,2)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
63
1.
2.
3.
19. Даны векторы:
(3,5,-2,1,2,3,-4,0,-1,2,3,3)
(-2,3,6,1,1,1,0,-1,2,4,-4,2)
(4,0,2,2,5,1,3,3,0,-3,-2,-1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
20. Даны векторы:
(0,-4,2,-3,1,1,2,0,-5,-2,-1,3)
(-4,3,0,3,-2,6,-2,3,3,1,1,5)
(1,5,3,4,3,0,-4,-5,1,6,2,1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
21. Даны векторы:
(-1,2,-3,0,-2,3,0,4,-1,1,2,2)
(1,4,5,3,2,2,-1,-3,0,1,5,3)
(2,0,2,1,-2,4,4,0,2,-5,1,2)
64
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
22. Даны векторы:
(-1,2,-3,0,-2,3,0,4,-1,1,2,2)
(1,4,5,3,2,2,-1,-3,0,1,5,3)
(2,0,2,1,-2,4,4,0,2,-5,1,2)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
23. Даны векторы:
(0,-4,2,-3,1,1,2,0,-5,-2,-1,3)
(-4,3,0,3,-2,6,-2,3,3,1,1,5)
(1,5,3,4,3,0,-4,-5,1,6,2,1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
24. Даны векторы:
(0,-4,2,-3,1,1,2,0,-5,-2,-1,3)
(-4,3,0,3,-2,6,-2,3,3,1,1,5)
65
(1,5,3,4,3,0,-4,-5,1,6,2,1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
25. Даны векторы:
(3,5,-2,1,2,3,-4,0,-1,2,3,3)
(-2,3,6,1,1,1,0,-1,2,4,-4,2)
(4,0,2,2,5,1,3,3,0,-3,-2,-1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
26. Даны векторы:
(1,5,-1,2,0,6,-2,1,1,-3,5,1)
(0,2,3,1,-4,-1,0,2,1,4,1,3)
(-3,0,-1,-1,0,4,3,2,-5,1,1,-6)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
27. Даны векторы:
(0,-4,2,-3,1,1,2,0,-5,-2,-1,3)
(-4,3,0,3,-2,6,-2,3,3,1,1,5)
(1,5,3,4,3,0,-4,-5,1,6,2,1)
66
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
28. Даны векторы:
(1,5,-1,2,0,6,-2,1,1,-3,5,1)
(0,2,3,1,-4,-1,0,2,1,4,1,3)
(-3,0,-1,-1,0,4,3,2,-5,1,1,-6)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
29. Даны векторы:
(0,-4,2,-3,1,1,2,0,-5,-2,-1,3)
(-4,3,0,3,-2,6,-2,3,3,1,1,5)
(1,5,3,4,3,0,-4,-5,1,6,2,1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
30. Даны векторы:
(3,5,-2,1,2,3,-4,0,-1,2,3,3)
(-2,3,6,1,1,1,0,-1,2,4,-4,2)
67
(4,0,2,2,5,1,3,3,0,-3,-2,-1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
31. Даны векторы:
(0,-4,2,-3,1,1,2,0,-5,-2,-1,3)
(-4,3,0,3,-2,6,-2,3,3,1,1,5)
(1,5,3,4,3,0,-4,-5,1,6,2,1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
32. Даны векторы:
(-1,2,-3,0,-2,3,0,4,-1,1,2,2)
(1,4,5,3,2,2,-1,-3,0,1,5,3)
(2,0,2,1,-2,4,4,0,2,-5,1,2)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
33. Даны векторы:
(0,-4,2,-3,1,1,2,0,-5,-2,-1,3)
68
(-4,3,0,3,-2,6,-2,3,3,1,1,5)
(1,5,3,4,3,0,-4,-5,1,6,2,1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
34. Даны векторы:
(3,5,-2,1,2,3,-4,0,-1,2,3,3)
(-2,3,6,1,1,1,0,-1,2,4,-4,2)
(4,0,2,2,5,1,3,3,0,-3,-2,-1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
35. Даны векторы:
(0,-4,2,-3,1,1,2,0,-5,-2,-1,3)
(-4,3,0,3,-2,6,-2,3,3,1,1,5)
(1,5,3,4,3,0,-4,-5,1,6,2,1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
36. Даны векторы:
(0,-4,2,-3,1,1,2,0,-5,-2,-1,3)
(-4,3,0,3,-2,6,-2,3,3,1,1,5)
(1,5,3,4,3,0,-4,-5,1,6,2,1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
69
1.
2.
3.
37. Даны векторы:
(0,-4,2,3,1,1,1,0,-5,-2,-1,3)
(-4,-4,0,3,-2,-1,-2,3,3,1,1,5)
(1,5,2,4,3,0,-4,-5,1,2,2,1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
38. Даны векторы:
(1,5,-1,2,0,6,-2,1,1,-3,5,1)
(0,2,3,1,-4,-1,0,2,1,4,1,3)
(-3,0,-1,-1,0,4,3,2,-5,1,1,-6)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
39. Даны векторы:
(1,5,-1,2,0,6,-2,1,1,-3,5,1)
(0,2,3,1,-4,-1,0,2,1,4,1,3)
(-3,0,-1,-1,0,4,3,2,-5,1,1,-6)
70
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
40. Даны векторы:
(0,-4,2,-3,1,1,2,0,-5,-2,-1,3)
(-4,3,0,3,-2,6,-2,3,3,1,1,5)
(1,5,3,4,3,0,-4,-5,1,6,2,1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
41. Даны векторы:
(3,5,-2,1,2,3,-4,0,-1,2,3,3)
(-2,3,6,1,1,1,0,-1,2,4,-4,2)
(4,0,2,2,5,1,3,3,0,-3,-2,-1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
42. Даны векторы:
(3,5,-2,1,2,3,-4,0,-1,2,3,3)
(-2,3,6,1,1,1,0,-1,2,4,-4,2)
71
(4,0,2,2,5,1,3,3,0,-3,-2,-1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
43. Даны векторы:
(3,3,-2,1,2,3,-4,0,-1,2,3,3)
(-2,3,3,1,1,1,0,-1,2,4,-4,2)
(4,2,2,2,5,1,3,3,0,-3,-2,-1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
44. Даны векторы:
(-1,2,-3,0,-2,3,0,4,-1,1,2,2)
(1,4,5,3,2,2,-1,-3,0,1,5,3)
(2,0,2,1,-2,4,4,0,2,-5,1,2)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
45. Даны векторы:
(3,5,-2,1,2,3,-4,0,-1,2,3,3)
(-2,3,6,1,1,1,0,-1,2,4,-4,2)
(4,0,2,2,5,1,3,3,0,-3,-2,-1)
72
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
46. Даны векторы:
(1,5,-1,2,0,6,-2,1,1,-3,5,1)
(0,2,3,1,-4,-1,0,2,1,4,1,3)
(-3,0,-1,-1,0,4,3,2,-5,1,1,-6)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
47. Даны векторы:
(1,5,-1,2,0,6,-2,1,1,-3,5,1)
(0,2,3,1,-4,-1,0,2,1,4,1,3)
(-3,0,-1,-1,0,4,3,2,-5,1,1,-6)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
48. Даны векторы:
(3,5,-2,1,2,3,-4,0,-1,2,3,3)
(-2,3,6,1,1,1,0,-1,2,4,-4,2)
(4,0,2,2,5,1,3,3,0,-3,-2,-1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
73
1.
2.
3.
49. Даны векторы:
(-1,2,-3,0,-2,3,0,4,-1,1,2,2)
(1,4,5,3,2,2,-1,-3,0,1,5,3)
(2,0,2,1,-2,4,4,0,2,-5,1,2)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
50. Даны векторы:
(1,5,-1,2,0,6,-2,1,1,-3,5,1)
(0,2,3,1,-4,-1,0,2,1,4,1,3)
(-3,0,-1,-1,0,4,3,2,-5,1,1,-6)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
51. Даны векторы:
(0,-4,2,-3,1,1,2,0,-5,-2,-1,3)
(-4,3,0,3,-2,6,-2,3,3,1,1,5)
(1,5,3,4,3,0,-4,-5,1,6,2,1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
74
1.
2.
3.
52. Даны векторы:
(3,5,-2,1,2,3,-4,0,-1,2,3,3)
(-2,3,6,1,1,1,0,-1,2,4,-4,2)
(4,0,2,2,5,1,3,3,0,-3,-2,-1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
53. Даны векторы:
(0,-4,2,-3,1,1,2,0,-5,-2,-1,3)
(-4,3,0,3,-2,6,-2,3,3,1,1,5)
(1,5,3,4,3,0,-4,-5,1,6,2,1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
54. Даны векторы:
(-1,2,-3,0,-2,3,0,4,-1,1,2,2)
75
(1,4,5,3,2,2,-1,-3,0,1,5,3)
(2,0,2,1,-2,4,4,0,2,-5,1,2)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
55. Даны векторы:
(1,5,-1,2,0,6,-2,1,1,-3,5,1)
(0,2,3,1,-4,-1,0,2,1,4,1,3)
(-3,0,-1,-1,0,4,3,2,-5,1,1,-6)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
56. Даны векторы:
(0,-4,2,-3,1,1,2,0,-5,-2,-1,3)
(-4,3,0,3,-2,6,-2,3,3,1,1,5)
(1,5,3,4,3,0,-4,-5,1,6,2,1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
57. Даны векторы:
76
(1,5,-1,2,0,6,-2,1,1,-3,5,1)
(0,2,3,1,-4,-1,0,2,1,4,1,3)
(-3,0,-1,-1,0,4,3,2,-5,1,1,-6)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
58. Даны векторы:
(3,5,-2,1,2,3,-4,0,-1,2,3,3)
(-2,3,6,1,1,1,0,-1,2,4,-4,2)
(4,0,2,2,5,1,3,3,0,-3,-2,-1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
59. Даны векторы:
(-1,2,-3,0,-2,3,0,4,-1,1,2,2)
(1,4,5,3,2,2,-1,-3,0,1,5,3)
(2,0,2,1,-2,4,4,0,2,-5,1,2)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
77
3.
60. Даны векторы:
(1,5,-1,2,0,6,-2,1,1,-3,5,1)
(0,2,3,1,-4,-1,0,2,1,4,1,3)
(-3,0,-1,-1,0,4,3,2,-5,1,1,-6)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
61. Даны векторы:
(-1,2,-3,0,-2,3,0,4,-1,1,2,2)
(1,4,5,3,2,2,-1,-3,0,1,5,3)
(2,0,2,1,-2,4,4,0,2,-5,1,2)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
62. Даны векторы:
(-1,2,-3,0,-2,3,0,4,-1,1,2,2)
(1,4,5,3,2,2,-1,-3,0,1,5,3)
(2,0,2,1,-2,4,4,0,2,-5,1,2)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
78
2.
3.
63. Даны векторы:
(1,5,-1,2,0,6,-2,1,1,-3,5,1)
(0,2,3,1,-4,-1,0,2,1,4,1,3)
(-3,0,-1,-1,0,4,3,2,-5,1,1,-6)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
64. Даны векторы:
(1,5,-1,2,0,6,-2,1,1,-3,5,1)
(0,2,3,1,-4,-1,0,2,1,4,1,3)
(-3,0,-1,-1,0,4,3,2,-5,1,1,-6)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
65. Даны векторы:
(-1,2,-3,0,-2,3,0,4,-1,1,2,2)
(1,4,5,3,2,2,-1,-3,0,1,5,3)
(2,0,2,1,-2,4,4,0,2,-5,1,2)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
79
2.
3.
66. Даны векторы:
(-1,2,-3,0,-2,3,0,4,-1,1,2,2)
(1,4,5,3,2,2,-1,-3,0,1,5,3)
(2,0,2,1,-2,4,4,0,2,-5,1,2)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
67. Даны векторы:
(3,5,-2,1,2,3,-4,0,-1,2,3,3)
(-2,3,6,1,1,1,0,-1,2,4,-4,2)
(4,0,2,2,5,1,3,3,0,-3,-2,-1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
68. Даны векторы:
(0,-4,2,-3,1,1,2,0,-5,-2,-1,3)
(-4,3,0,3,-2,6,-2,3,3,1,1,5)
(1,5,3,4,3,0,-4,-5,1,6,2,1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
80
2.
3.
69. Даны векторы:
(1,5,-1,2,0,6,-2,1,1,-3,5,1)
(0,2,3,1,-4,-1,0,2,1,4,1,3)
(-3,0,-1,-1,0,4,3,2,-5,1,1,-6)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
70. Даны векторы:
(-1,2,-3,0,-2,3,0,4,-1,1,2,2)
(1,4,5,3,2,2,-1,-3,0,1,5,3)
(2,0,2,1,-2,4,4,0,2,-5,1,2)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
71. Даны векторы:
(0,-4,2,-3,1,1,2,0,-5,-2,-1,3)
(-4,3,0,3,-2,6,-2,3,3,1,1,5)
(1,5,3,4,3,0,-4,-5,1,6,2,1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
81
1.
2.
3.
72. Даны векторы:
(-1,2,-3,0,-2,3,0,4,-1,1,2,2)
(1,4,5,3,2,2,-1,-3,0,1,5,3)
(2,0,2,1,-2,4,4,0,2,-5,1,2)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
73. Даны векторы:
(-1,2,-3,0,-2,3,0,4,-1,1,2,2)
(1,4,5,3,2,2,-1,-3,0,1,5,3)
(2,0,2,1,-2,4,4,0,2,-5,1,2)
Вычислить в Excel илиRзначения выражений:
1.
2.
3.
74. Даны векторы:
(3,5,-2,1,2,3,-4,0,-1,2,3,3)
(-2,3,6,1,1,1,0,-1,2,4,-4,2)
(4,0,2,2,5,1,3,3,0,-3,-2,-1)
82
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
75. Даны векторы:
(1,5,-1,2,0,6,-2,1,1,-3,5,1)
(0,2,3,1,-4,-1,0,2,1,4,1,3)
(-3,0,-1,-1,0,4,3,2,-5,1,1,-6)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
76. Даны векторы:
(1,5,-1,2,0,6,-2,1,1,-3,5,1)
(0,2,3,1,-4,-1,0,2,1,4,1,3)
(-3,0,-1,-1,0,4,3,2,-5,1,1,-6)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
77. Даны векторы:
(0,-4,2,-3,1,1,2,0,-5,-2,-1,3)
83
(-4,3,0,3,-2,6,-2,3,3,1,1,5)
(1,5,3,4,3,0,-4,-5,1,6,2,1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
78. Даны векторы:
(1,5,-1,2,0,6,-2,1,1,-3,5,1)
(0,2,3,1,-4,-1,0,2,1,4,1,3)
(-3,0,-1,-1,0,4,3,2,-5,1,1,-6)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
79. Даны векторы:
(-1,2,-3,0,-2,3,0,4,-1,1,2,2)
(1,4,5,3,2,2,-1,-3,0,1,5,3)
(2,0,2,1,-2,4,4,0,2,-5,1,2)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
80. Даны векторы:
(0,-4,2,-3,1,1,2,0,-5,-2,-1,3)
(-4,3,0,3,-2,6,-2,3,3,1,1,5)
84
(1,5,3,4,3,0,-4,-5,1,6,2,1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
81. Даны векторы:
(3,5,-2,1,2,3,-4,0,-1,2,3,3)
(-2,3,6,1,1,1,0,-1,2,4,-4,2)
(4,0,2,2,5,1,3,3,0,-3,-2,-1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
82. Даны векторы:
(3,5,-2,1,2,3,-4,0,-1,2,3,3)
(-2,3,6,1,1,1,0,-1,2,4,-4,2)
(4,0,2,2,5,1,3,3,0,-3,-2,-1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
83. Даны векторы:
(-1,2,-3,0,-2,3,0,4,-1,1,2,2)
(1,4,5,3,2,2,-1,-3,0,1,5,3)
(2,0,2,1,-2,4,4,0,2,-5,1,2)
85
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
84. Даны векторы:
(1,5,-1,2,0,6,-2,1,1,-3,5,1)
(0,2,3,1,-4,-1,0,2,1,4,1,3)
(-3,0,-1,-1,0,4,3,2,-5,1,1,-6)
Вычислить в Excel или R значения выражений:
1.
2.
3.
85. Даны векторы:
(0,-4,2,-3,1,1,2,0,-5,-2,-1,3)
(-4,3,0,3,-2,6,-2,3,3,1,1,5)
(1,5,3,4,3,0,-4,-5,1,6,2,1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
86. Даны векторы:
(1,5,-1,2,0,6,-2,1,1,-3,5,1)
(0,2,3,1,-4,-1,0,2,1,4,1,3)
(-3,0,-1,-1,0,4,3,2,-5,1,1,-6)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
86
1.
2.
3.
87. Даны векторы:
(0,-4,2,-3,1,1,2,0,-5,-2,-1,3)
(-4,3,0,3,-2,6,-2,3,3,1,1,5)
(1,5,3,4,3,0,-4,-5,1,6,2,1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
88. Даны векторы:
(1,5,-1,2,0,6,-2,1,1,-3,5,1)
(0,2,3,1,-4,-1,0,2,1,4,1,3)
(-3,0,-1,-1,0,4,3,2,-5,1,1,-6)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
89. Даны векторы:
(-1,2,-3,0,-2,3,0,4,-1,1,2,2)
87
(1,4,5,3,2,2,-1,-3,0,1,5,3)
(2,0,2,1,-2,4,4,0,2,-5,1,2)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
90. Даны векторы:
(3,5,-2,1,2,3,-4,0,-1,2,3,3)
(-2,3,6,1,1,1,0,-1,2,4,-4,2)
(4,0,2,2,5,1,3,3,0,-3,-2,-1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
91. Даны векторы:
(-1,2,-3,0,-2,3,0,4,-1,1,2,2)
(1,4,5,3,2,2,-1,-3,0,1,5,3)
(2,0,2,1,-2,4,4,0,2,-5,1,2)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
88
3.
92. Даны векторы:
(3,5,-2,1,2,3,-4,0,-1,2,3,3)
(-2,3,6,1,1,1,0,-1,2,4,-4,2)
(4,0,2,2,5,1,3,3,0,-3,-2,-1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
93. Даны векторы:
(3,5,-2,1,2,3,-4,0,-1,2,3,3)
(-2,3,6,1,1,1,0,-1,2,4,-4,2)
(4,0,2,2,5,1,3,3,0,-3,-2,-1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
94. Даны векторы:
(-1,2,-3,0,-2,3,0,4,-1,1,2,2)
(1,4,5,3,2,2,-1,-3,0,1,5,3)
(2,0,2,1,-2,4,4,0,2,-5,1,2)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
89
2.
3.
95. Даны векторы:
(1,5,-1,2,0,6,-2,1,1,-3,5,1)
(0,2,3,1,-4,-1,0,2,1,4,1,3)
(-3,0,-1,-1,0,4,3,2,-5,1,1,-6)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
96. Даны векторы:
(-1,2,-3,0,-2,3,0,4,-1,1,2,2)
(1,4,5,3,2,2,-1,-3,0,1,5,3)
(2,0,2,1,-2,4,4,0,2,-5,1,2)
Вычислить в Excel илиRзначения выражений:
1.
2.
3.
97. Даны векторы:
(0,-4,2,-3,1,1,2,0,-5,-2,-1,3)
(-4,3,0,3,-2,6,-2,3,3,1,1,5)
(1,5,3,4,3,0,-4,-5,1,6,2,1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
90
1.
2.
3.
98. Даны векторы:
(3,5,-2,1,2,3,-4,0,-1,2,3,3)
(-2,3,6,1,1,1,0,-1,2,4,-4,2)
(4,0,2,2,5,1,3,3,0,-3,-2,-1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
99. Даны векторы:
(0,-4,2,-3,1,1,2,0,-5,-2,-1,3)
(-4,3,0,3,-2,6,-2,3,3,1,1,5)
(1,5,3,4,3,0,-4,-5,1,6,2,1)
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
100. Даны векторы:
(1,5,-1,2,0,6,-2,1,1,-3,5,1)
(0,2,3,1,-4,-1,0,2,1,4,1,3)
(-3,0,-1,-1,0,4,3,2,-5,1,1,-6)
91
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
Задание 6. Прикладные вычислительные задачи экономики и финансов
Линейная оптимизация.
1. Мини-пекарня планирует выпечку батонов и булочек. На производство
одного батона расходуется 450 г муки, 10 г масла и 0,5 яйца, а на
производство одной булочки – 150 г муки, 5 г масла и 1 яйцо. В пекарню
ежедневно завозят 180 кг муки, 5 кг масла и 775 яиц. Прибыль от реализации
батона равна 3 рублям, от реализации булочки – 5 рублям. Определить,
сколько батонов и булочек нужно выпекать ежедневно, чтобы прибыль была
максимальна. В ответе указать максимальную ежедневную прибыль.
2. Мини-пекарня планирует выпечку батонов и булочек. На производство
одного батона расходуется 500 г муки, 12 г масла и 0,5 яйца, а на
производство одной булочки – 120 г муки, 6 г масла и 1 яйцо. В пекарню
ежедневно завозят 190 кг муки, 6 кг масла и 780 яиц. Прибыль от реализации
батона равна 3 рублям, от реализации булочки – 5 рублям. Определить,
сколько батонов и булочек нужно выпекать ежедневно, чтобы прибыль была
максимальна. В ответе указать максимальную ежедневную прибыль.
3. Мини-пекарня планирует выпечку батонов и булочек. На производство
одного батона расходуется 480 г муки, 10 г масла и 0,5 яйца, а на
производство одной булочки – 160 г муки, 4 г масла и 1 яйцо. В пекарню
ежедневно завозят 200 кг муки, 8 кг масла и 800 яиц. Прибыль от реализации
батона равна 7 рублям, от реализации булочки – 10 рублям. Определить,
сколько батонов и булочек нужно выпекать ежедневно, чтобы прибыль была
максимальна. В ответе указать максимальную ежедневную прибыль.
4. Мини-пекарня планирует выпечку батонов и булочек. На производство
одного батона расходуется 450 г муки, 13 г масла и 0,5 яйца, а на
производство одной булочки – 180 г муки, 6 г масла и 1 яйцо. В пекарню
ежедневно завозят 220 кг муки, 8 кг масла и 600 яиц. Прибыль от реализации
батона равна 8 рублям, от реализации булочки – 15 рублям. Определить,
сколько батонов и булочек нужно выпекать ежедневно, чтобы прибыль была
максимальна. В ответе указать максимальную ежедневную прибыль.
5. Мини-пекарня планирует выпечку батонов и булочек. На производство
одного батона расходуется 520 г муки, 15 г масла и 1 яйцо, а на производство
одной булочки – 150 г муки, 5 г масла и 1 яйцо. В пекарню ежедневно завозят
200 кг муки, 8 кг масла и 800 яиц. Прибыль от реализации батона равна 6
92
Задание 5. Оперирование с математическими объектами. Векторная
алгебра (Задание векторов, скалярное произведение, длина, произвольные
выражения векторной алгебры)
Постановка задачи
Даны векторы:
(1,3,-1,2,0,4,-2,1,1,-3,5,1)
(0,2,1,1,-3,-1,0,2,2,4,1,3)
(-3,2,-1,-1,0,4,6,2,-5,1,1,-4)
Вычислить значения выражений:
1.
2.
3.
Алгоритм решения (в среде Rstudio).
Образуем в R указанные три вектора:
a <- c(1,3,-1,2,0,4,-2,1,1,-3,5,1) # Сформировать вектор a
b <- c(0,2,1,1,-3,-1,0,2,2,4,1,3) # Сформировать вектор b
p <- c(-3,2,-1,-1,0,4,6,2,-5,1,1,-4) # Сформировать вектор p
a; b;p
# Смотрим результат
Выделяем этот фрагмент и нажимаем сочетание клавиш Ctrl + Enter или
кликаем мышкой по кнопке меню Run. Проверяем отчет компилятора в
нижнем окне консоли на предмет ошибок ввода векторов:
> a <- c(1,3,-1,2,0,4,-2,1,1,-3,5,1) # Сформировать вектор a
> b <- c(0,2,1,1,-3,-1,0,2,2,4,1,3) # Сформировать вектор b
> p <- c(-3,2,-1,-1,0,4,6,2,-5,1,1,-4) # Сформировать вектор p
> a; b;p
[1] 1 3 -1 2 0 4 -2 1 1 -3 5 1
[1] 0 2 1 1 -3 -1 0 2 2 4 1 3
[1] -3 2 -1 -1 0 4 6 2 -5 1 1 -4
> # Смотрим результат
164
1. Вычислим
.
Для вычисления подобных линейных комбинаций достаточно просто записать
аналогичную строчку в R:
5*a-4*b # Вычисление вектора результата
с результатом в консоли:
> 5*a-4*b # Вычисление вектора результата
[1]
5
7 -9
6 12 24 -10 -3 -3 -31
21
2. Вычислим
произведение
векторов, а – длина вектора 𝑝⃗ . На языке R
-7
, где
– скалярное
a%*%b # Скалярное произведение векторов
с результатом:
> a%*%b # Скалярное произведение векторов
[,1]
[1,]
3
Обратите внимание, что результат скалярного произведения
представлен в виде матрицы 1 × 1 , т.к. в языке R эта операция
интерпретируется как частный случай произведения специальных матриц но,
мы можем вывести его и как обычное число:
as.numeric(a%*%b) # Скалярное произведение векторов
>as.numeric(a%*%b) #
[1] 3
Заметим, что для нахождения скалярного произведения можно задать сумму
произведений соответствующих координат:
sum(a*b) # тоже скалярное произведение векторов
>sum(a*b) #
[1] 3
с тем же результатом.
165
Длину вектора
можно найти несколькими способами, первый – это
использовать специальную функцию нормы элементадля вектора:
norm(p, type="2") # Длина вектора p (обычная евклидова)
с результатом:
> norm(p, type="2") # Длина вектора p (обычная евклидова)
[1] 10.67708
Второй способ – образовать корень из суммы квадратов элементов:
sqrt(sum(p^2)) # Альтернатива: длина вектора p
с тем же результатом:
> sqrt(sum(p^2)) # Альтернатива: длина вектора p
[1] 10.67708
Итак, наше задание вычислить
3*as.numeric(a%*%b)*p-4*norm(p,type="2")*a
c результатом в виде вектора
> # Вычислить 3(a ,b
)∙p -4|p
|∙a
> 3*as.numeric(a%*%b)*p-4*norm(p,type="2")*a
[1] -69.70831 -110.12494
33.70831 -94.41663
0.00000 -134.83325
139.41663 -24.70831 -87.70831
137.12494 -204.54157 -78.70831
Обратите внимание, что при вычислении скалярных произведений
необходимо конвертировать ответ в число с помощью команды as.numeric(),
иначе произойдет несовпадение типов (матрицы и векторы как бы
перемешаются в одном выражении) и компилятор R выдаст ошибку.
3. Вычислим
# Вычислить 2(a ,p )∙b -8(b ,p )∙a -2|p |∙p
2*as.numeric(a%*%p)*b-8*as.numeric(b%*%p)*a-2*norm(p,type="2")*p
> # Вычислить 2(a ,p
)∙b -8(b ,p
)∙a -2|p
|∙p
> 2*as.numeric(a%*%p)*b-8*as.numeric(b%*%p)*a-2*norm(p,type="2")*p
[1] 184.06247 321.29169 -96.64584 263.35416
-6.00000 392.58337 368.12494
81.29169 230.77078 -373.35416 580.64584 211.41663
166
Алгоритм решения задачи в Excel.
В столбики A, B, C вводим координаты векторов
. В ячейках E1, F1,
G1 вводим названия столбцов для заданий 1,2,3, например, задание 1, задание
2, задание 3.
Задание 1. Выделяем диапазон ячеек E2:E13. Вводим формулу =5*A2:A134*B2:B13. Так как результат вычисления отображается в нескольких ячейках,
нажимаем комбинацию клавиш CTRL, SHIFT, ENTER.
Задание
2.
Выделяем
диапазон
ячеек
F2:F13.
Вводим
формулу
как
результат
=3*СУММПРОИЗВ(A2:A13;B2:B13)*C2:C134*СУММПРОИЗВ(C2:C13;C2:C13)^(1/2)*A2:A13.
Так
вычисления отображается в нескольких ячейках, нажимаем комбинацию
клавиш CTRL, SHIFT, ENTER.
Задание
3.
Выделяем
диапазон
ячеек
G2:G13.
Вводим
формулу
как
результат
=2*СУММПРОИЗВ(A2:A13;C2:C13)*B2:B138*СУММПРОИЗВ(B2:B13;C2:C13)*A2:A132*СУММПРОИЗВ(C2:C13;C2:C13)^(1/2)*C2:C13.
Так
вычисления отображается в нескольких ячейках, нажимаем комбинацию
клавиш CTRL, SHIFT, ENTER.
В результате должны получиться ответы как на следующей картинке
Ответы, естественно, должны получиться такими же, как при решении в
среде RStudio.
167
Задание 6.
Прикладные вычислительные
задачи экономики и финансов.
Линейная оптимизация.
Вычислить в Excel илиR значения выражений:
1.
2.
3.
Задание 6. Прикладные вычислительные задачи экономики и финансов
Линейная оптимизация.
1. Мини-пекарня планирует выпечку батонов и булочек. На производство
одного батона расходуется 450 г муки, 10 г масла и 0,5 яйца, а на
производство одной булочки – 150 г муки, 5 г масла и 1 яйцо. В пекарню
ежедневно завозят 180 кг муки, 5 кг масла и 775 яиц. Прибыль от реализации
батона равна 3 рублям, от реализации булочки – 5 рублям. Определить,
сколько батонов и булочек нужно выпекать ежедневно, чтобы прибыль была
максимальна. В ответе указать максимальную ежедневную прибыль.
2. Мини-пекарня планирует выпечку батонов и булочек. На производство
одного батона расходуется 500 г муки, 12 г масла и 0,5 яйца, а на
производство одной булочки – 120 г муки, 6 г масла и 1 яйцо. В пекарню
ежедневно завозят 190 кг муки, 6 кг масла и 780 яиц. Прибыль от реализации
батона равна 3 рублям, от реализации булочки – 5 рублям. Определить,
сколько батонов и булочек нужно выпекать ежедневно, чтобы прибыль была
максимальна. В ответе указать максимальную ежедневную прибыль.
3. Мини-пекарня планирует выпечку батонов и булочек. На производство
одного батона расходуется 480 г муки, 10 г масла и 0,5 яйца, а на
производство одной булочки – 160 г муки, 4 г масла и 1 яйцо. В пекарню
ежедневно завозят 200 кг муки, 8 кг масла и 800 яиц. Прибыль от реализации
батона равна 7 рублям, от реализации булочки – 10 рублям. Определить,
сколько батонов и булочек нужно выпекать ежедневно, чтобы прибыль была
максимальна. В ответе указать максимальную ежедневную прибыль.
4. Мини-пекарня планирует выпечку батонов и булочек. На производство
одного батона расходуется 450 г муки, 13 г масла и 0,5 яйца, а на
производство одной булочки – 180 г муки, 6 г масла и 1 яйцо. В пекарню
ежедневно завозят 220 кг муки, 8 кг масла и 600 яиц. Прибыль от реализации
батона равна 8 рублям, от реализации булочки – 15 рублям. Определить,
сколько батонов и булочек нужно выпекать ежедневно, чтобы прибыль была
максимальна. В ответе указать максимальную ежедневную прибыль.
5. Мини-пекарня планирует выпечку батонов и булочек. На производство
одного батона расходуется 520 г муки, 15 г масла и 1 яйцо, а на производство
одной булочки – 150 г муки, 5 г масла и 1 яйцо. В пекарню ежедневно завозят
200 кг муки, 8 кг масла и 800 яиц. Прибыль от реализации батона равна 6
92
рублям, от реализации булочки – 8 рублям. Определить, сколько батонов и
булочек нужно выпекать ежедневно, чтобы прибыль была максимальна. В
ответе указать максимальную ежедневную прибыль.
6. Мини-пекарня планирует выпечку батонов и булочек. На производство
одного батона расходуется 480 г муки, 12 г масла и 0,5 яйца, а на
производство одной булочки – 150 г муки, 6 г масла и 1 яйцо. В пекарню
ежедневно завозят 180 кг муки, 5 кг масла и 775 яиц. Прибыль от реализации
батона равна 3 рублям, от реализации булочки – 6 рублям. Определить,
сколько батонов и булочек нужно выпекать ежедневно, чтобы прибыль была
максимальна. В ответе указать максимальную ежедневную прибыль.
7. Мини-пекарня планирует выпечку батонов и булочек. На производство
одного батона расходуется 430 г муки, 11 г масла и 0,5 яйца, а на
производство одной булочки – 180 г муки, 7 г масла и 1,5 яйца. В пекарню
ежедневно завозят 180 кг муки, 5 кг масла и 790 яиц. Прибыль от реализации
батона равна 10 рублям, от реализации булочки – 18 рублям. Определить,
сколько батонов и булочек нужно выпекать ежедневно, чтобы прибыль была
максимальна. В ответе указать максимальную ежедневную прибыль.
8. Мини-пекарня планирует выпечку батонов и булочек. На производство
одного батона расходуется 500 г муки, 15 г масла и 1 яйцо, а на производство
одной булочки – 180 г муки, 8 г масла и 1,5 яйца. В пекарню ежедневно
завозят 200 кг муки, 7 кг масла и 750 яиц. Прибыль от реализации батона
равна 10 рублям, от реализации булочки – 14 рублям. Определить, сколько
батонов и булочек нужно выпекать ежедневно, чтобы прибыль была
максимальна. В ответе указать максимальную ежедневную прибыль.
9. Фирма производит две модели книжных полок - A и Б. Их производство
ограничено наличием сырья (высококачественных досок) и временем
машинной обработки. Для каждого изделия модели А требуется 3 м2 досок, а
для изделия модели Б - 4 м2 досок. Фирма может получать от своих
поставщиков до 1700 м2 досок в неделю. Для каждого изделия модели А
требуется 12 мин машинного времени, а для изделия модели Б – 30 мин. В
неделю можно использовать до 160 ч машинного времени. Каждое изделие
модели А приносит 200 руб. прибыли, а изделие типа Б – 400 руб. прибыли.
Определить, сколько полок каждого типа нужно выпускать, чтобы прибыль
была максимальна. В ответе указать максимальную прибыль за неделю.
10. Фирма производит две модели книжных полок - A и Б. Их производство
ограничено наличием сырья (высококачественных досок) и временем
машинной обработки. Для каждого изделия модели А требуется 6 м2 досок, а
для изделия модели Б - 8 м2 досок. Фирма может получать от своих
поставщиков до 2000 м2 досок в неделю. Для каждого изделия модели А
требуется 15 мин машинного времени, а для изделия модели Б – 30 мин. В
неделю можно использовать до 180 ч машинного времени. Каждое изделие
модели А приносит 250 руб. прибыли, а изделие типа Б – 400 руб. прибыли.
Определить, сколько полок каждого типа нужно выпускать, чтобы прибыль
была максимальна. В ответе указать максимальную прибыль за неделю.
93
11. Фирма производит две модели книжных полок - A и Б. Их производство
ограничено наличием сырья (высококачественных досок) и временем
машинной обработки. Для каждого изделия модели А требуется 5 м2 досок, а
для изделия модели Б - 8 м2 досок. Фирма может получать от своих
поставщиков до 2100 м2 досок в неделю. Для каждого изделия модели А
требуется 15 мин машинного времени, а для изделия модели Б – 20 мин. В
неделю можно использовать до 100 ч машинного времени. Каждое изделие
модели А приносит 250 руб. прибыли, а изделие типа Б – 380 руб. прибыли.
Определить, сколько полок каждого типа нужно выпускать, чтобы прибыль
была максимальна. В ответе указать максимальную прибыль за неделю.
12. Фирма производит две модели книжных полок - A и Б. Их производство
ограничено наличием сырья (высококачественных досок) и временем
машинной обработки. Для каждого изделия модели А требуется 5 м2 досок, а
для изделия модели Б - 8 м2 досок. Фирма может получать от своих
поставщиков до 1600 м2 досок в неделю. Для каждого изделия модели А
требуется 13 мин машинного времени, а для изделия модели Б – 20 мин. В
неделю можно использовать до 170 ч машинного времени. Каждое изделие
модели А приносит 220 руб. прибыли, а изделие типа Б – 360 руб. прибыли.
Определить, сколько полок каждого типа нужно выпускать, чтобы прибыль
была максимальна. В ответе указать максимальную прибыль за неделю.
13. Фирма производит две модели книжных полок - A и Б. Их производство
ограничено наличием сырья (высококачественных досок) и временем
машинной обработки. Для каждого изделия модели А требуется 6 м2 досок, а
для изделия модели Б - 9 м2 досок. Фирма может получать от своих
поставщиков до 1900 м2 досок в неделю. Для каждого изделия модели А
требуется 10 мин машинного времени, а для изделия модели Б – 22 мин. В
неделю можно использовать до 150 ч машинного времени. Каждое изделие
модели А приносит 200 руб. прибыли, а изделие типа Б – 430 руб. прибыли.
Определить, сколько полок каждого типа нужно выпускать, чтобы прибыль
была максимальна. В ответе указать максимальную прибыль за неделю.
14. Фирма производит две модели книжных полок - A и Б. Их производство
ограничено наличием сырья (высококачественных досок) и временем
машинной обработки. Для каждого изделия модели А требуется 3 м2 досок, а
для изделия модели Б - 4 м2 досок. Фирма может получать от своих
поставщиков до 3000 м2 досок в неделю. Для каждого изделия модели А
требуется 16 мин машинного времени, а для изделия модели Б – 30 мин. В
неделю можно использовать до 300 ч машинного времени. Каждое изделие
модели А приносит 240 руб. прибыли, а изделие типа Б – 430 руб. прибыли.
Определить, сколько полок каждого типа нужно выпускать, чтобы прибыль
была максимальна. В ответе указать максимальную прибыль за неделю.
15. Фирма производит две модели книжных полок - A и Б. Их производство
ограничено наличием сырья (высококачественных досок) и временем
машинной обработки. Для каждого изделия модели А требуется 5 м2 досок, а
для изделия модели Б - 7 м2 досок. Фирма может получать от своих
поставщиков до 3200 м2 досок в неделю. Для каждого изделия модели А
94
требуется 20 мин машинного времени, а для изделия модели Б – 35 мин. В
неделю можно использовать до 320 ч машинного времени. Каждое изделие
модели А приносит 220 руб. прибыли, а изделие типа Б – 300 руб. прибыли.
Определить, сколько полок каждого типа нужно выпускать, чтобы прибыль
была максимальна. В ответе указать максимальную прибыль за неделю.
16. Фирма производит две модели книжных полок - A и Б. Их производство
ограничено наличием сырья (высококачественных досок) и временем
машинной обработки. Для каждого изделия модели А требуется 4 м2 досок, а
для изделия модели Б - 9 м2 досок. Фирма может получать от своих
поставщиков до 3400 м2 досок в неделю. Для каждого изделия модели А
требуется 18 мин машинного времени, а для изделия модели Б – 36 мин. В
неделю можно использовать до 280 ч машинного времени. Каждое изделие
модели А приносит 220 руб. прибыли, а изделие типа Б – 340 руб. прибыли.
Определить, сколько полок каждого типа нужно выпускать, чтобы прибыль
была максимальна. В ответе указать максимальную прибыль за неделю.
17. Фирма производит две модели книжных полок - A и Б. Их производство
ограничено наличием сырья (высококачественных досок) и временем
машинной обработки. Для каждого изделия модели А требуется 6 м2 досок, а
для изделия модели Б - 9 м2 досок. Фирма может получать от своих
поставщиков до 3200 м2 досок в неделю. Для каждого изделия модели А
требуется 18 мин машинного времени, а для изделия модели Б – 28 мин. В
неделю можно использовать до 150 ч машинного времени. Каждое изделие
модели А приносит 240 руб. прибыли, а изделие типа Б – 380 руб. прибыли.
Определить, сколько полок каждого типа нужно выпускать, чтобы прибыль
была максимальна. В ответе указать максимальную прибыль за неделю.
18. Фирме требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,03% и с долей
зольных примесей не более 3,25%. Три сорта угля А, Б, В доступны по
следующим ценам:
Сорт А
Сорт Б
Сорт В
Содержание
фосфора, %
0,06
0,04
0,02
Содержание
золы, %
2,0
4,0
3,0
Цена, у.е. за
тонну
30
30
40
В каких пропорциях нужно смешать эти сорта, чтобы получить наиболее
дешёвый уголь, удовлетворяющий указанным условиям? В ответе указать
цену 1 т получившейся смеси.
19. Фирме требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,04% и с долей
зольных примесей не более 3,5%. Три сорта угля А, Б, В доступны по
следующим ценам:
95
Сорт А
Сорт Б
Сорт В
Содержание
фосфора, %
0,06
0,04
0,02
Содержание
золы, %
2,1
4,1
2,8
Цена, у.е. за
тонну
40
35
42
В каких пропорциях нужно смешать эти сорта, чтобы получить наиболее
дешёвый уголь, удовлетворяющий указанным условиям? В ответе указать
цену 1 т получившейся смеси.
20. Фирме требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,03% и с долей
зольных примесей не более 3,1%. Три сорта угля А, Б, В доступны по
следующим ценам:
Сорт А
Сорт Б
Сорт В
Содержание
фосфора, %
0,06
0,04
0,02
Содержание
золы, %
2,1
4,1
2,8
Цена, у.е. за
тонну
34
35
42
В каких пропорциях нужно смешать эти сорта, чтобы получить наиболее
дешёвый уголь, удовлетворяющий указанным условиям? В ответе указать
цену 1 т получившейся смеси.
21. Фирме требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,03% и с долей
зольных примесей не более 3,1%. Три сорта угля А, Б, В доступны по
следующим ценам:
Сорт А
Сорт Б
Сорт В
Содержание
фосфора, %
0,04
0,02
0,03
Содержание
золы, %
2,1
4,1
3,3
Цена, у.е. за
тонну
30
32
42
В каких пропорциях нужно смешать эти сорта, чтобы получить наиболее
дешёвый уголь, удовлетворяющий указанным условиям? В ответе указать
цену 1 т получившейся смеси.
96
22. Фирме требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,04% и с долей
зольных примесей не более 3,6%. Три сорта угля А, Б, В доступны по
следующим ценам:
Сорт А
Сорт Б
Сорт В
Содержание
фосфора, %
0,06
0,04
0,02
Содержание
золы, %
2,2
4,1
2,9
Цена, у.е. за
тонну
38
36
42
В каких пропорциях нужно смешать эти сорта, чтобы получить наиболее
дешёвый уголь, удовлетворяющий указанным условиям? В ответе указать
цену 1 т получившейся смеси.
23. Фирме требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,04% и с долей
зольных примесей не более 3,6%. Три сорта угля А, Б, В доступны по
следующим ценам:
Сорт А
Сорт Б
Сорт В
Содержание
фосфора, %
0,06
0,04
0,02
Содержание
золы, %
2,2
4,2
2,9
Цена, у.е. за
тонну
38
33
42
В каких пропорциях нужно смешать эти сорта, чтобы получить наиболее
дешёвый уголь, удовлетворяющий указанным условиям? В ответе указать
цену 1 т получившейся смеси.
24. Фирме требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,03% и с долей
зольных примесей не более 3,6%. Три сорта угля А, Б, В доступны по
следующим ценам:
Сорт А
Сорт Б
Сорт В
Содержание
фосфора, %
0,06
0,04
0,02
Содержание
золы, %
2,2
4,2
2,9
Цена, у.е. за
тонну
30
33
42
97
В каких пропорциях нужно смешать эти сорта, чтобы получить наиболее
дешёвый уголь, удовлетворяющий указанным условиям? В ответе указать
цену 1 т получившейся смеси.
25. Фирме требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,03% и с долей
зольных примесей не более 3,4%. Три сорта угля А, Б, В доступны по
следующим ценам:
Сорт А
Сорт Б
Сорт В
Содержание
фосфора, %
0,06
0,04
0,02
Содержание
золы, %
2,2
4,2
2,9
Цена, у.е. за
тонну
25
33
45
В каких пропорциях нужно смешать эти сорта, чтобы получить наиболее
дешёвый уголь, удовлетворяющий указанным условиям? В ответе указать
цену 1 т получившейся смеси.
26. Фирме требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,03% и с долей
зольных примесей не более 3,3%. Три сорта угля А, Б, В доступны по
следующим ценам:
Сорт А
Сорт Б
Сорт В
Содержание
фосфора, %
0,05
0,04
0,02
Содержание
золы, %
2,2
4,2
2,9
Цена, у.е. за
тонну
25
37
45
В каких пропорциях нужно смешать эти сорта, чтобы получить наиболее
дешёвый уголь, удовлетворяющий указанным условиям? В ответе указать
цену 1 т получившейся смеси.
27. Фирме требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,03% и с долей
зольных примесей не более 3,28%. Три сорта угля А, Б, В доступны по
следующим ценам:
Сорт А
Сорт Б
Сорт В
Содержание
фосфора, %
0,05
0,04
0,02
Содержание
золы, %
2,8
4,2
2,9
98
Цена, у.е. за
тонну
25
37
45
В каких пропорциях нужно смешать эти сорта, чтобы получить наиболее
дешёвый уголь, удовлетворяющий указанным условиям? В ответе указать
цену 1 т получившейся смеси.
28. Фирме требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,03% и с долей
зольных примесей не более 3,25%. Три сорта угля А, Б, В доступны по
следующим ценам:
Сорт А
Сорт Б
Сорт В
Содержание
фосфора, %
0,05
0,04
0,02
Содержание
золы, %
2,8
4,2
2,8
Цена, у.е. за
тонну
25
32
45
В каких пропорциях нужно смешать эти сорта, чтобы получить наиболее
дешёвый уголь, удовлетворяющий указанным условиям? В ответе указать
цену 1 т получившейся смеси.
29. Фирме требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,03% и с долей
зольных примесей не более 3,35%. Три сорта угля А, Б, В доступны по
следующим ценам:
Сорт А
Сорт Б
Сорт В
Содержание
фосфора, %
0,05
0,04
0,02
Содержание
золы, %
2,8
4,2
2,8
Цена, у.е. за
тонну
30
40
45
В каких пропорциях нужно смешать эти сорта, чтобы получить наиболее
дешёвый уголь, удовлетворяющий указанным условиям? В ответе указать
цену 1 т получившейся смеси.
30. Фирме требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,03% и с долей
зольных примесей не более 3,3%. Три сорта угля А, Б, В доступны по
следующим ценам:
Сорт А
Сорт Б
Сорт В
Содержание
фосфора, %
0,05
0,04
99
0,02
Содержание
золы, %
2,7
4,2
2,6
Цена, у.е. за
тонну
32
40
45
В каких пропорциях нужно смешать эти сорта, чтобы получить наиболее
дешёвый уголь, удовлетворяющий указанным условиям? В ответе указать
цену 1 т получившейся смеси.
31. Фирме требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,04% и с долей
зольных примесей не более 3,4%. Три сорта угля А, Б, В доступны по
следующим ценам:
Сорт А
Сорт Б
Сорт В
Содержание
фосфора, %
0,05
0,04
0,02
Содержание
золы, %
2,8
4,2
2,8
Цена, у.е. за
тонну
27
40
48
В каких пропорциях нужно смешать эти сорта, чтобы получить наиболее
дешёвый уголь, удовлетворяющий указанным условиям? В ответе указать
цену 1 т получившейся смеси.
32. Фирме требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,03% и с долей
зольных примесей не более 3,25%. Три сорта угля А, Б, В доступны по
следующим ценам:
Сорт А
Сорт Б
Сорт В
Содержание
фосфора, %
0,05
0,04
0,02
Содержание
золы, %
3,0
4,2
2,8
Цена, у.е. за
тонну
30
40
48
В каких пропорциях нужно смешать эти сорта, чтобы получить наиболее
дешёвый уголь, удовлетворяющий указанным условиям? В ответе указать
цену 1 т получившейся смеси.
33. Фирме требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,03% и с долей
зольных примесей не более 3,35%. Три сорта угля А, Б, В доступны по
следующим ценам:
Сорт А
Сорт Б
Сорт В
100
Содержание
фосфора, %
0,05
0,04
0,02
Содержание
золы, %
3,0
4,2
2,9
Цена, у.е. за
тонну
30
32
48
В каких пропорциях нужно смешать эти сорта, чтобы получить наиболее
дешёвый уголь, удовлетворяющий указанным условиям? В ответе указать
цену 1 т получившейся смеси.
34. Фирме требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,03% и с долей
зольных примесей не более 3,35%. Три сорта угля А, Б, В доступны по
следующим ценам:
Сорт А
Сорт Б
Сорт В
Содержание
фосфора, %
0,04
0,04
0,02
Содержание
золы, %
3,2
4,2
2,9
Цена, у.е. за
тонну
28
32
48
В каких пропорциях нужно смешать эти сорта, чтобы получить наиболее
дешёвый уголь, удовлетворяющий указанным условиям? В ответе указать
цену 1 т получившейся смеси.
35. Для откорма животных используется три комбикорма – А, Б и В. Каждому
животному в сутки требуется не менее 600 г жиров, 800 г белков и 1200 г
углеводов. Содержание этих нутриентов в 1 кг каждого вида комбикорма и его
стоимость приведены в таблице.
Содержание в 1 кг,
Комбикорм А
Комбикорм Б
Комбикорм В
г
Жиры
100
200
300
Белки
180
100
120
Углеводы
350
400
120
Стоимость 1 кг, у.е.
32
28
21
Определить, сколько комбикорма каждого вида нужно давать в день каждому
животному, чтобы его потребности в нутриентах были удовлетворены, а
общая стоимость смеси была наименьшей. В ответе указать эту наименьшую
стоимость.
101
36. Для откорма животных используется три комбикорма – А, Б и В. Каждому
животному в сутки требуется не менее 500 г жиров, 700 г белков и 1000 г
углеводов. Содержание этих нутриентов в 1 кг каждого вида комбикорма и его
стоимость приведены в таблице.
Содержание в 1 кг,
Комбикорм А
Комбикорм Б
Комбикорм В
г
Жиры
100
200
300
Белки
180
100
120
Углеводы
350
400
120
Стоимость 1 кг, у.е.
32
28
20
Определить, сколько комбикорма каждого вида нужно давать в день каждому
животному, чтобы его потребности в нутриентах были удовлетворены, а
общая стоимость смеси была наименьшей. В ответе указать эту наименьшую
стоимость.
37. Для откорма животных используется три комбикорма – А, Б и В. Каждому
животному в сутки требуется не менее 900 г жиров, 1200 г белков и 1600 г
углеводов. Содержание этих нутриентов в 1 кг каждого вида комбикорма и его
стоимость приведены в таблице.
Содержание в 1 кг,
Комбикорм А
Комбикорм Б
Комбикорм В
г
Жиры
120
200
280
Белки
180
100
120
Углеводы
380
400
100
Стоимость 1 кг, у.е.
38
25
18
Определить, сколько комбикорма каждого вида нужно давать в день каждому
животному, чтобы его потребности в нутриентах были удовлетворены, а
общая стоимость смеси была наименьшей. В ответе указать эту наименьшую
стоимость.
38. Для откорма животных используется три комбикорма – А, Б и В. Каждому
животному в сутки требуется не менее 600 г жиров, 900 г белков и 1400 г
углеводов. Содержание этих нутриентов в 1 кг каждого вида комбикорма и его
стоимость приведены в таблице.
Содержание в 1 кг,
Комбикорм А
Комбикорм Б
Комбикорм В
г
Жиры
120
200
300
Белки
150
90
120
102
Углеводы
350
400
220
Стоимость 1 кг, у.е.
32
25
21
Определить, сколько комбикорма каждого вида нужно давать в день каждому
животному, чтобы его потребности в нутриентах были удовлетворены, а
общая стоимость смеси была наименьшей. В ответе указать эту наименьшую
стоимость.
39. Для откорма животных используется три комбикорма – А, Б и В. Каждому
животному в сутки требуется не менее 400 г жиров, 600 г белков и 1000 г
углеводов. Содержание этих нутриентов в 1 кг каждого вида комбикорма и его
стоимость приведены в таблице.
Содержание в 1 кг,
Комбикорм А
Комбикорм Б
Комбикорм В
г
Жиры
100
100
300
Белки
180
200
120
Углеводы
250
400
320
Стоимость 1 кг, у.е.
40
30
35
Определить, сколько комбикорма каждого вида нужно давать в день каждому
животному, чтобы его потребности в нутриентах были удовлетворены, а
общая стоимость смеси была наименьшей. В ответе указать эту наименьшую
стоимость.
40. Для откорма животных используется три комбикорма – А, Б и В. Каждому
животному в сутки требуется не менее 600 г жиров, 800 г белков и 1200 г
углеводов. Содержание этих нутриентов в 1 кг каждого вида комбикорма и его
стоимость приведены в таблице.
Содержание в 1 кг,
Комбикорм А
Комбикорм Б
Комбикорм В
г
Жиры
100
200
300
Белки
180
120
100
Углеводы
350
400
250
Стоимость 1 кг, у.е.
40
33
24
Определить, сколько комбикорма каждого вида нужно давать в день каждому
животному, чтобы его потребности в нутриентах были удовлетворены, а
общая стоимость смеси была наименьшей. В ответе указать эту наименьшую
стоимость.
41. Для откорма животных используется три комбикорма – А, Б и В. Каждому
животному в сутки требуется не менее 500 г жиров, 1000 г белков и 1800 г
103
углеводов. Содержание этих нутриентов в 1 кг каждого вида комбикорма и его
стоимость приведены в таблице.
Содержание в 1 кг,
Комбикорм А
Комбикорм Б
Комбикорм В
г
Жиры
100
150
100
Белки
180
100
200
Углеводы
300
400
120
Стоимость 1 кг, у.е.
36
30
25
Определить, сколько комбикорма каждого вида нужно давать в день каждому
животному, чтобы его потребности в нутриентах были удовлетворены, а
общая стоимость смеси была наименьшей. В ответе указать эту наименьшую
стоимость.
42. Для откорма животных используется три комбикорма – А, Б и В. Каждому
животному в сутки требуется не менее 600 г жиров, 1000 г белков и 1500 г
углеводов. Содержание этих нутриентов в 1 кг каждого вида комбикорма и его
стоимость приведены в таблице.
Содержание в 1 кг,
Комбикорм А
Комбикорм Б
Комбикорм В
г
Жиры
100
180
240
Белки
200
100
120
Углеводы
300
380
120
Стоимость 1 кг, у.е.
32
28
18
Определить, сколько комбикорма каждого вида нужно давать в день каждому
животному, чтобы его потребности в нутриентах были удовлетворены, а
общая стоимость смеси была наименьшей. В ответе указать эту наименьшую
стоимость.
43. Для откорма животных используется три комбикорма – А, Б и В. Каждому
животному в сутки требуется не менее 400 г жиров, 700 г белков и 1100 г
углеводов. Содержание этих нутриентов в 1 кг каждого вида комбикорма и его
стоимость приведены в таблице.
Содержание в 1 кг,
Комбикорм А
Комбикорм Б
Комбикорм В
г
Жиры
100
200
300
Белки
150
300
220
Углеводы
400
180
300
104
Стоимость 1 кг, у.е.
39
30
25
Определить, сколько комбикорма каждого вида нужно давать в день каждому
животному, чтобы его потребности в нутриентах были удовлетворены, а
общая стоимость смеси была наименьшей. В ответе указать эту наименьшую
стоимость.
44. Для откорма животных используется три комбикорма – А, Б и В. Каждому
животному в сутки требуется не менее 200 г жиров, 800 г белков и 1200 г
углеводов. Содержание этих нутриентов в 1 кг каждого вида комбикорма и его
стоимость приведены в таблице.
Содержание в 1 кг,
Комбикорм А
Комбикорм Б
Комбикорм В
г
Жиры
100
150
200
Белки
180
100
120
Углеводы
350
400
300
Стоимость 1 кг, у.е.
60
48
50
Определить, сколько комбикорма каждого вида нужно давать в день каждому
животному, чтобы его потребности в нутриентах были удовлетворены, а
общая стоимость смеси была наименьшей. В ответе указать эту наименьшую
стоимость.
45. Для откорма животных используется три комбикорма – А, Б и В. Каждому
животному в сутки требуется не менее 500 г жиров, 850 г белков и 1000 г
углеводов. Содержание этих нутриентов в 1 кг каждого вида комбикорма и его
стоимость приведены в таблице.
Содержание в 1 кг,
Комбикорм А
Комбикорм Б
Комбикорм В
г
Жиры
100
200
200
Белки
200
100
120
Углеводы
350
550
350
Стоимость 1 кг, у.е.
50
65
45
Определить, сколько комбикорма каждого вида нужно давать в день каждому
животному, чтобы его потребности в нутриентах были удовлетворены, а
общая стоимость смеси была наименьшей. В ответе указать эту наименьшую
стоимость.
46. Для откорма животных используется три комбикорма – А, Б и В. Каждому
животному в сутки требуется не менее 300 г жиров, 900 г белков и 1500 г
углеводов. Содержание этих нутриентов в 1 кг каждого вида комбикорма и его
стоимость приведены в таблице.
105
Содержание в 1 кг,
г
Комбикорм А
Комбикорм Б
Комбикорм В
Жиры
100
200
300
Белки
170
100
120
Углеводы
340
400
150
Стоимость 1 кг, у.е.
38
29
25
Определить, сколько комбикорма каждого вида нужно давать в день каждому
животному, чтобы его потребности в нутриентах были удовлетворены, а
общая стоимость смеси была наименьшей. В ответе указать эту наименьшую
стоимость.
47. Для откорма животных используется три комбикорма – А, Б и В. Каждому
животному в сутки требуется не менее 600 г жиров, 800 г белков и 1400 г
углеводов. Содержание этих нутриентов в 1 кг каждого вида комбикорма и его
стоимость приведены в таблице.
Содержание в 1 кг,
Комбикорм А
Комбикорм Б
Комбикорм В
г
Жиры
100
200
230
Белки
180
100
120
Углеводы
380
400
240
Стоимость 1 кг, у.е.
30
28
25
Определить, сколько комбикорма каждого вида нужно давать в день каждому
животному, чтобы его потребности в нутриентах были удовлетворены, а
общая стоимость смеси была наименьшей. В ответе указать эту наименьшую
стоимость.
48. Для откорма животных используется три комбикорма – А, Б и В. Каждому
животному в сутки требуется не менее 300 г жиров, 500 г белков и 1200 г
углеводов. Содержание этих нутриентов в 1 кг каждого вида комбикорма и его
стоимость приведены в таблице.
Содержание в 1 кг,
Комбикорм А
Комбикорм Б
Комбикорм В
г
Жиры
100
200
300
Белки
180
100
120
Углеводы
350
400
200
Стоимость 1 кг, у.е.
30
35
25
106
Определить, сколько комбикорма каждого вида нужно давать в день каждому
животному, чтобы его потребности в нутриентах были удовлетворены, а
общая стоимость смеси была наименьшей. В ответе указать эту наименьшую
стоимость.
49. Для откорма животных используется три комбикорма – А, Б и В. Каждому
животному в сутки требуется не менее 600 г жиров, 900 г белков и 1000 г
углеводов. Содержание этих нутриентов в 1 кг каждого вида комбикорма и его
стоимость приведены в таблице.
Содержание в 1 кг,
Комбикорм А
Комбикорм Б
Комбикорм В
г
Жиры
100
200
200
Белки
200
100
150
Углеводы
350
400
350
Стоимость 1 кг, у.е.
64
48
40
Определить, сколько комбикорма каждого вида нужно давать в день каждому
животному, чтобы его потребности в нутриентах были удовлетворены, а
общая стоимость смеси была наименьшей. В ответе указать эту наименьшую
стоимость.
50. Для откорма животных используется три комбикорма – А, Б и В. Каждому
животному в сутки требуется не менее 200 г жиров, 800 г белков и 1800 г
углеводов. Содержание этих нутриентов в 1 кг каждого вида комбикорма и его
стоимость приведены в таблице.
Содержание в 1 кг,
Комбикорм А
Комбикорм Б
Комбикорм В
г
Жиры
100
120
150
Белки
180
100
120
Углеводы
350
400
120
Стоимость 1 кг, у.е.
40
38
30
Определить, сколько комбикорма каждого вида нужно давать в день каждому
животному, чтобы его потребности в нутриентах были удовлетворены, а
общая стоимость смеси была наименьшей. В ответе указать эту наименьшую
стоимость.
51. Для откорма животных используется три комбикорма – А, Б и В. Каждому
животному в сутки требуется не менее 500 г жиров, 700 г белков и 1200 г
углеводов. Содержание этих нутриентов в 1 кг каждого вида комбикорма и его
стоимость приведены в таблице.
Комбикорм А
Комбикорм Б
Комбикорм В
Содержание в 1 кг,
107
г
Жиры
100
200
300
Белки
180
100
120
Углеводы
350
400
120
Стоимость 1 кг, у.е.
35
32
23
Определить, сколько комбикорма каждого вида нужно давать в день каждому
животному, чтобы его потребности в нутриентах были удовлетворены, а
общая стоимость смеси была наименьшей. В ответе указать эту наименьшую
стоимость.
52. Для откорма животных используется три комбикорма – А, Б и В. Каждому
животному в сутки требуется не менее 400 г жиров, 900 г белков и 1200 г
углеводов. Содержание этих нутриентов в 1 кг каждого вида комбикорма и его
стоимость приведены в таблице.
Содержание в 1 кг,
Комбикорм А
Комбикорм Б
Комбикорм В
г
Жиры
140
200
100
Белки
250
160
140
Углеводы
300
400
230
Стоимость 1 кг, у.е.
32
28
20
Определить, сколько комбикорма каждого вида нужно давать в день каждому
животному, чтобы его потребности в нутриентах были удовлетворены, а
общая стоимость смеси была наименьшей. В ответе указать эту наименьшую
стоимость.
53. Для откорма животных используется три комбикорма – А, Б и В. Каждому
животному в сутки требуется не менее 600 г жиров, 800 г белков и 1200 г
углеводов. Содержание этих нутриентов в 1 кг каждого вида комбикорма и его
стоимость приведены в таблице.
Содержание в 1 кг,
Комбикорм А
Комбикорм Б
Комбикорм В
г
Жиры
100
200
300
Белки
200
100
180
Углеводы
380
350
240
Стоимость 1 кг, у.е.
60
54
44
Определить, сколько комбикорма каждого вида нужно давать в день каждому
животному, чтобы его потребности в нутриентах были удовлетворены, а
108
общая стоимость смеси была наименьшей. В ответе указать эту наименьшую
стоимость.
54. Рюкзак может выдержать груз весом не более 50 кг. Имеются предметы 4
видов. Стоимость и вес одного предмета каждого типа указана в таблице.
Предмет
I
II
III
IV
Масса, кг
6
8
10
13
Стоимость, у.е.
9
11
12
20
Заполнить рюкзак так, чтобы общая стоимость его содержимого была
наибольшей. В ответе указать эту стоимость.
55. Рюкзак может выдержать груз весом не более 55 кг. Имеются предметы 4
видов. Стоимость и вес одного предмета каждого типа указана в таблице.
Предмет
I
II
III
IV
Масса, кг
6
8
10
15
Стоимость, у.е.
9
11
13
23
Заполнить рюкзак так, чтобы общая стоимость его содержимого была
наибольшей. В ответе указать эту стоимость.
56. Рюкзак может выдержать груз весом не более 60 кг. Имеются предметы 4
видов. Стоимость и вес одного предмета каждого типа указана в таблице.
Предмет
I
II
III
IV
Масса, кг
11
16
19
20
Стоимость, у.е.
8
10
12
12
Заполнить рюкзак так, чтобы общая стоимость его содержимого была
наибольшей. В ответе указать эту стоимость.
57. Рюкзак может выдержать груз весом не более 40 кг. Имеются предметы 4
видов. Стоимость и вес одного предмета каждого типа указана в таблице.
Предмет
I
II
III
IV
Масса, кг
6
8
10
14
Стоимость, у.е.
9
11
12
20
Заполнить рюкзак так, чтобы общая стоимость его содержимого была
наибольшей. В ответе указать эту стоимость.
58. Рюкзак может выдержать груз весом не более 56 кг. Имеются предметы 4
видов. Стоимость и вес одного предмета каждого типа указана в таблице.
Предмет
I
II
III
IV
Масса, кг
5
10
12
13
Стоимость, у.е.
8
16
20
21
109
Заполнить рюкзак так, чтобы общая стоимость его содержимого была
наибольшей. В ответе указать эту стоимость.
59. Рюкзак может выдержать груз весом не более 48 кг. Имеются предметы 4
видов. Стоимость и вес одного предмета каждого типа указана в таблице.
Предмет
I
II
III
IV
Масса, кг
6
8
10
13
Стоимость, у.е.
9
11
13
23
Заполнить рюкзак так, чтобы общая стоимость его содержимого была
наибольшей. В ответе указать эту стоимость.
60. Рюкзак может выдержать груз весом не более 55 кг. Имеются предметы 4
видов. Стоимость и вес одного предмета каждого типа указана в таблице.
Предмет
I
II
III
IV
Масса, кг
6
8
10
16
Стоимость, у.е.
8
11
12
20
Заполнить рюкзак так, чтобы общая стоимость его содержимого была
наибольшей. В ответе указать эту стоимость.
61. Рюкзак может выдержать груз весом не более 54 кг. Имеются предметы 4
видов. Стоимость и вес одного предмета каждого типа указана в таблице.
Предмет
I
II
III
IV
Масса, кг
6
8
10
13
Стоимость, у.е.
9
11
13
18
Заполнить рюкзак так, чтобы общая стоимость его содержимого была
наибольшей. В ответе указать эту стоимость.
62. Рюкзак может выдержать груз весом не более 52 кг. Имеются предметы 4
видов. Стоимость и вес одного предмета каждого типа указана в таблице.
Предмет
I
II
III
IV
Масса, кг
6
9
10
14
Стоимость, у.е.
10
11
13
20
Заполнить рюкзак так, чтобы общая стоимость его содержимого была
наибольшей. В ответе указать эту стоимость.
63. Рюкзак может выдержать груз весом не более 50 кг. Имеются предметы 4
видов. Стоимость и вес одного предмета каждого типа указана в таблице.
Предмет
I
II
III
IV
Масса, кг
3
8
10
13
Стоимость, у.е.
2
5
6
8
110
Заполнить рюкзак так, чтобы общая стоимость его содержимого была
наибольшей. В ответе указать эту стоимость.
64. Рюкзак может выдержать груз весом не более 50 кг. Имеются предметы 4
видов. Стоимость и вес одного предмета каждого типа указана в таблице.
Предмет
I
II
III
IV
Масса, кг
5
8
10
13
Стоимость, у.е.
10
18
21
28
Заполнить рюкзак так, чтобы общая стоимость его содержимого была
наибольшей. В ответе указать эту стоимость.
65. Рюкзак может выдержать груз весом не более 55 кг. Имеются предметы 4
видов. Стоимость и вес одного предмета каждого типа указана в таблице.
Предмет
I
II
III
IV
Масса, кг
7
8
10
14
Стоимость, у.е.
10
12
14
20
Заполнить рюкзак так, чтобы общая стоимость его содержимого была
наибольшей. В ответе указать эту стоимость.
66. Рюкзак может выдержать груз весом не более 54 кг. Имеются предметы 4
видов. Стоимость и вес одного предмета каждого типа указана в таблице.
Предмет
I
II
III
IV
Масса, кг
6
8
10
20
Стоимость, у.е.
8
11
12
25
Заполнить рюкзак так, чтобы общая стоимость его содержимого была
наибольшей. В ответе указать эту стоимость.
67. Рюкзак может выдержать груз весом не более 45 кг. Имеются предметы 4
видов. Стоимость и вес одного предмета каждого типа указана в таблице.
Предмет
I
II
III
IV
Масса, кг
6
9
10
13
Стоимость, у.е.
9
12
13
24
Заполнить рюкзак так, чтобы общая стоимость его содержимого была
наибольшей. В ответе указать эту стоимость.
68. Рюкзак может выдержать груз весом не более 50 кг. Имеются предметы 4
видов. Стоимость и вес одного предмета каждого типа указана в таблице.
Предмет
I
II
III
IV
Масса, кг
7
9
11
13
Стоимость, у.е.
10
13
16
20
111
Заполнить рюкзак так, чтобы общая стоимость его содержимого была
наибольшей. В ответе указать эту стоимость.
69. Сталеплавильная компания располагает тремя заводами А, Б, В. Свою
продукцию она поставляет четырём потребителям I, II, III, IV. В таблице
указаны производственные мощности заводов (тыс. т за некоторый
промежуток времени), потребности потребителей и стоимости перевозки 1
тыс. т стали от заводов к потребителю.
I
II
III
IV
Производство
A
15
19
19
15
50
Б
14
18
20
19
30
В
14
16
18
18
20
Потребности
15
15
30
40
Составить наиболее дешёвый план перевозок, при котором вся сталь с
каждого завода была бы вывезена и потребности каждого потребителя
полностью удовлетворены. В ответе указать общую стоимость перевозок.
70. Сталеплавильная компания располагает тремя заводами А, Б, В. Свою
продукцию она поставляет четырём потребителям I, II, III, IV. В таблице
указаны производственные мощности заводов (тыс. т за некоторый
промежуток времени), потребности потребителей и стоимости перевозки 1
тыс. т стали от заводов к потребителю.
I
II
III
IV
Производство
A
15
19
19
15
50
Б
12
10
20
19
30
В
14
16
15
18
20
Потребности
15
15
40
30
Составить наиболее дешёвый план перевозок, при котором вся сталь с
каждого завода была бы вывезена и потребности каждого потребителя
полностью удовлетворены. В ответе указать общую стоимость перевозок.
71. Сталеплавильная компания располагает тремя заводами А, Б, В. Свою
продукцию она поставляет четырём потребителям I, II, III, IV. В таблице
указаны производственные мощности заводов (тыс. т за некоторый
промежуток времени), потребности потребителей и стоимости перевозки 1
тыс. т стали от заводов к потребителю.
I
II
III
IV
Производство
A
12
19
19
15
45
Б
10
18
20
15
35
112
В
14
16
18
12
Потребности
15
15
30
40
20
Составить наиболее дешёвый план перевозок, при котором вся сталь с
каждого завода была бы вывезена и потребности каждого потребителя
полностью удовлетворены. В ответе указать общую стоимость перевозок.
72. Сталеплавильная компания располагает тремя заводами А, Б, В. Свою
продукцию она поставляет четырём потребителям I, II, III, IV. В таблице
указаны производственные мощности заводов (тыс. т за некоторый
промежуток времени), потребности потребителей и стоимости перевозки 1
тыс. т стали от заводов к потребителю.
I
II
III
IV
Производство
A
16
13
20
15
45
Б
14
18
22
19
30
В
14
26
30
20
25
Потребности
10
15
30
45
Составить наиболее дешёвый план перевозок, при котором вся сталь с
каждого завода была бы вывезена и потребности каждого потребителя
полностью удовлетворены. В ответе указать общую стоимость перевозок.
73. Сталеплавильная компания располагает тремя заводами А, Б, В. Свою
продукцию она поставляет четырём потребителям I, II, III, IV. В таблице
указаны производственные мощности заводов (тыс. т за некоторый
промежуток времени), потребности потребителей и стоимости перевозки 1
тыс. т стали от заводов к потребителю.
I
II
III
IV
Производство
A
10
9
20
15
40
Б
14
8
17
19
25
В
11
11
18
15
35
Потребности
20
15
30
35
Составить наиболее дешёвый план перевозок, при котором вся сталь с
каждого завода была бы вывезена и потребности каждого потребителя
полностью удовлетворены. В ответе указать общую стоимость перевозок.
74. Сталеплавильная компания располагает тремя заводами А, Б, В. Свою
продукцию она поставляет четырём потребителям I, II, III, IV. В таблице
указаны производственные мощности заводов (тыс. т за некоторый
промежуток времени), потребности потребителей и стоимости перевозки 1
тыс. т стали от заводов к потребителю.
113
I
II
III
IV
Производство
A
15
14
21
15
18
Б
14
12
20
17
48
В
12
10
18
11
34
Потребности
30
15
35
20
Составить наиболее дешёвый план перевозок, при котором вся сталь с
каждого завода была бы вывезена и потребности каждого потребителя
полностью удовлетворены. В ответе указать общую стоимость перевозок.
75. Сталеплавильная компания располагает тремя заводами А, Б, В. Свою
продукцию она поставляет четырём потребителям I, II, III, IV. В таблице
указаны производственные мощности заводов (тыс. т за некоторый
промежуток времени), потребности потребителей и стоимости перевозки 1
тыс. т стали от заводов к потребителю.
I
II
III
IV
Производство
A
11
11
19
15
54
Б
19
18
10
9
24
В
28
26
12
18
22
Потребности
18
12
28
42
Составить наиболее дешёвый план перевозок, при котором вся сталь с
каждого завода была бы вывезена и потребности каждого потребителя
полностью удовлетворены. В ответе указать общую стоимость перевозок.
76. Сталеплавильная компания располагает тремя заводами А, Б, В. Свою
продукцию она поставляет четырём потребителям I, II, III, IV. В таблице
указаны производственные мощности заводов (тыс. т за некоторый
промежуток времени), потребности потребителей и стоимости перевозки 1
тыс. т стали от заводов к потребителю.
I
II
III
IV
Производство
A
10
19
7
15
45
Б
14
18
12
18
35
В
17
16
18
14
20
Потребности
15
20
27
38
Составить наиболее дешёвый план перевозок, при котором вся сталь с
каждого завода была бы вывезена и потребности каждого потребителя
полностью удовлетворены. В ответе указать общую стоимость перевозок.
114
77. Сталеплавильная компания располагает тремя заводами А, Б, В. Свою
продукцию она поставляет четырём потребителям I, II, III, IV. В таблице
указаны производственные мощности заводов (тыс. т за некоторый
промежуток времени), потребности потребителей и стоимости перевозки 1
тыс. т стали от заводов к потребителю.
I
II
III
IV
Производство
A
14
10
17
15
45
Б
10
18
16
19
15
В
14
16
18
13
40
Потребности
15
20
25
40
Составить наиболее дешёвый план перевозок, при котором вся сталь с
каждого завода была бы вывезена и потребности каждого потребителя
полностью удовлетворены. В ответе указать общую стоимость перевозок.
78. Сталеплавильная компания располагает тремя заводами А, Б, В. Свою
продукцию она поставляет четырём потребителям I, II, III, IV. В таблице
указаны производственные мощности заводов (тыс. т за некоторый
промежуток времени), потребности потребителей и стоимости перевозки 1
тыс. т стали от заводов к потребителю.
I
II
III
IV
Производство
A
15
32
19
25
50
Б
14
18
20
16
30
В
20
16
32
20
20
Потребности
15
15
30
40
Составить наиболее дешёвый план перевозок, при котором вся сталь с
каждого завода была бы вывезена и потребности каждого потребителя
полностью удовлетворены. В ответе указать общую стоимость перевозок.
79. Сталеплавильная компания располагает тремя заводами А, Б, В. Свою
продукцию она поставляет четырём потребителям I, II, III, IV. В таблице
указаны производственные мощности заводов (тыс. т за некоторый
промежуток времени), потребности потребителей и стоимости перевозки 1
тыс. т стали от заводов к потребителю.
I
II
III
IV
Производство
A
15
32
19
25
45
Б
14
18
20
16
30
В
20
16
32
20
20
115
Потребности
15
15
30
40
Составить наиболее дешёвый план перевозок, при котором вся сталь с
каждого завода была бы вывезена и потребности потребителя III полностью
удовлетворены. В ответе указать общую стоимость перевозок.
80. Сталеплавильная компания располагает тремя заводами А, Б, В. Свою
продукцию она поставляет четырём потребителям I, II, III, IV. В таблице
указаны производственные мощности заводов (тыс. т за некоторый
промежуток времени), потребности потребителей и стоимости перевозки 1
тыс. т стали от заводов к потребителю.
I
II
III
IV
Производство
A
20
17
19
25
40
Б
14
28
32
20
30
В
20
26
30
30
20
Потребности
15
15
30
40
Составить наиболее дешёвый план перевозок, при котором вся сталь с
каждого завода была бы вывезена и потребности потребителя II полностью
удовлетворены. В ответе указать общую стоимость перевозок.
81. Сталеплавильная компания располагает тремя заводами А, Б, В. Свою
продукцию она поставляет четырём потребителям I, II, III, IV. В таблице
указаны производственные мощности заводов (тыс. т за некоторый
промежуток времени), потребности потребителей и стоимости перевозки 1
тыс. т стали от заводов к потребителю.
I
II
III
IV
Производство
A
31
17
19
25
40
Б
14
14
32
22
30
В
20
22
30
30
20
Потребности
15
15
45
40
Составить наиболее дешёвый план перевозок, при котором вся сталь с
каждого завода была бы вывезена и потребности потребителя IV полностью
удовлетворены. В ответе указать общую стоимость перевозок.
82. Сталеплавильная компания располагает тремя заводами А, Б, В. Свою
продукцию она поставляет четырём потребителям I, II, III, IV. В таблице
указаны производственные мощности заводов (тыс. т за некоторый
промежуток времени), потребности потребителей и стоимости перевозки 1
тыс. т стали от заводов к потребителю.
I
II
III
IV
Производство
116
A
20
17
12
21
40
Б
18
28
32
20
30
В
25
26
25
23
20
Потребности
15
20
30
40
Составить наиболее дешёвый план перевозок, при котором вся сталь с
каждого завода была бы вывезена и потребности потребителя I полностью
удовлетворены. В ответе указать общую стоимость перевозок.
83. Сталеплавильная компания располагает тремя заводами А, Б, В. Свою
продукцию она поставляет четырём потребителям I, II, III, IV. В таблице
указаны производственные мощности заводов (тыс. т за некоторый
промежуток времени), потребности потребителей и стоимости перевозки 1
тыс. т стали от заводов к потребителю.
I
II
III
IV
Производство
A
20
17
19
25
40
Б
14
28
32
20
25
В
20
26
30
30
35
Потребности
25
20
35
45
Составить наиболее дешёвый план перевозок, при котором вся сталь с
каждого завода была бы вывезена и потребности потребителя III полностью
удовлетворены. В ответе указать общую стоимость перевозок.
84. Сталеплавильная компания располагает тремя заводами А, Б, В. Свою
продукцию она поставляет четырём потребителям I, II, III, IV. В таблице
указаны производственные мощности заводов (тыс. т за некоторый
промежуток времени), потребности потребителей и стоимости перевозки 1
тыс. т стали от заводов к потребителю.
I
II
III
IV
Производство
A
15
18
19
25
40
Б
15
32
30
18
25
В
20
26
28
25
30
Потребности
15
15
30
40
Составить наиболее дешёвый план перевозок, при котором вся сталь с
каждого завода была бы вывезена и потребности потребителя II полностью
удовлетворены. В ответе указать общую стоимость перевозок.
85. Сталеплавильная компания располагает тремя заводами А, Б, В. Свою
продукцию она поставляет четырём потребителям I, II, III, IV. В таблице
117
указаны производственные мощности заводов (тыс. т за некоторый
промежуток времени), потребности потребителей и стоимости перевозки 1
тыс. т стали от заводов к потребителю.
I
II
III
IV
Производство
A
20
17
19
25
45
Б
14
28
32
20
35
В
20
26
30
30
30
Потребности
15
15
30
40
Составить наиболее дешёвый план перевозок, при котором вся сталь с завода
А была бы вывезена и потребности каждого потребителя полностью
удовлетворены. В ответе указать общую стоимость перевозок.
86. Сталеплавильная компания располагает тремя заводами А, Б, В. Свою
продукцию она поставляет четырём потребителям I, II, III, IV. В таблице
указаны производственные мощности заводов (тыс. т за некоторый
промежуток времени), потребности потребителей и стоимости перевозки 1
тыс. т стали от заводов к потребителю.
I
II
III
IV
Производство
A
14
17
22
25
45
Б
14
28
32
21
35
В
20
16
14
30
35
Потребности
15
15
30
40
Составить наиболее дешёвый план перевозок, при котором вся сталь с завода
Б была бы вывезена и потребности каждого потребителя полностью
удовлетворены. В ответе указать общую стоимость перевозок.
87. Сталеплавильная компания располагает тремя заводами А, Б, В. Свою
продукцию она поставляет четырём потребителям I, II, III, IV. В таблице
указаны производственные мощности заводов (тыс. т за некоторый
промежуток времени), потребности потребителей и стоимости перевозки 1
тыс. т стали от заводов к потребителю.
I
II
III
IV
Производство
A
15
14
19
15
35
Б
14
28
14
20
45
В
20
19
14
24
30
Потребности
15
20
20
45
118
Составить наиболее дешёвый план перевозок, при котором вся сталь с завода
А была бы вывезена и потребности каждого потребителя полностью
удовлетворены. В ответе указать общую стоимость перевозок.
88. Сталеплавильная компания располагает тремя заводами А, Б, В. Свою
продукцию она поставляет четырём потребителям I, II, III, IV. В таблице
указаны производственные мощности заводов (тыс. т за некоторый
промежуток времени), потребности потребителей и стоимости перевозки 1
тыс. т стали от заводов к потребителю.
I
II
III
IV
Производство
A
20
17
19
15
45
Б
14
18
12
21
35
В
20
26
14
11
30
Потребности
15
10
18
32
Составить наиболее дешёвый план перевозок, при котором вся сталь с завода
Б была бы вывезена и потребности каждого потребителя полностью
удовлетворены. В ответе указать общую стоимость перевозок.
89. Имеется пять заданий - А, Б, В, Г, Д - и пять работников – I, II, III, IV, V для их выполнения. В таблице указано время, которое тратит каждый
работник на выполнение каждого из заданий.
I
II
III
IV
V
А
13
9
10
18
11
Б
13
7
10
11
14
В
3
8
4
4
5
Г
19
9
10
17
15
Д
11
8
14
16
10
Распределить задания между работниками (одно задание выполняется одним
человеком) так, чтобы суммарное время выполнения было наименьшим. В
ответе указать суммарное время выполнения.
90. Имеется пять заданий - А, Б, В, Г, Д - и пять работников – I, II, III, IV, V для их выполнения. В таблице указано время, которое тратит каждый
работник на выполнение каждого из заданий.
I
II
III
IV
V
А
11
9
10
18
11
Б
11
7
8
11
14
В
5
10
4
4
5
119
Г
15
9
10
12
15
Д
11
8
14
12
9
Распределить задания между работниками (одно задание выполняется одним
человеком) так, чтобы суммарное время выполнения было наименьшим. В
ответе указать суммарное время выполнения.
91. Имеется пять заданий - А, Б, В, Г, Д - и пять работников – I, II, III, IV, V для их выполнения. В таблице указано время, которое тратит каждый
работник на выполнение каждого из заданий.
I
II
III
IV
V
А
8
9
10
18
11
Б
3
7
12
11
14
В
3
8
9
4
7
Г
12
9
10
16
15
Д
10
14
14
16
10
Распределить задания между работниками (одно задание выполняется одним
человеком) так, чтобы суммарное время выполнения было наименьшим. В
ответе указать суммарное время выполнения.
92. Имеется пять заданий - А, Б, В, Г, Д - и пять работников – I, II, III, IV, V для их выполнения. В таблице указано время, которое тратит каждый
работник на выполнение каждого из заданий.
I
II
III
IV
V
А
22
12
10
18
11
Б
25
9
11
11
12
В
15
8
9
8
13
Г
19
9
10
14
15
Д
17
8
14
16
10
Распределить задания между работниками (одно задание выполняется одним
человеком) так, чтобы суммарное время выполнения было наименьшим. В
ответе указать суммарное время выполнения.
93. Имеется пять заданий - А, Б, В, Г, Д - и пять работников – I, II, III, IV, V для их выполнения. В таблице указано время, которое тратит каждый
работник на выполнение каждого из заданий.
I
II
III
IV
V
А
13
9
120
18
18
11
Б
10
8
10
11
14
В
7
3
4
9
10
Г
15
9
10
14
15
Д
11
8
13
16
10
Распределить задания между работниками (одно задание выполняется одним
человеком) так, чтобы суммарное время выполнения было наименьшим. В
ответе указать суммарное время выполнения.
94. Имеется пять заданий - А, Б, В, Г, Д - и пять работников – I, II, III, IV, V для их выполнения. В таблице указано время, которое тратит каждый
работник на выполнение каждого из заданий.
I
II
III
IV
V
А
15
6
10
18
11
Б
17
10
10
12
14
В
10
14
8
9
15
Г
20
12
16
17
15
Д
11
8
14
16
12
Распределить задания между работниками (одно задание выполняется одним
человеком) так, чтобы суммарное время выполнения было наименьшим. В
ответе указать суммарное время выполнения.
95. Имеется пять заданий - А, Б, В, Г, Д - и пять работников – I, II, III, IV, V для их выполнения. В таблице указано время, которое тратит каждый
работник на выполнение каждого из заданий.
I
II
III
IV
V
А
12
11
10
18
10
Б
13
7
10
11
14
В
3
8
6
7
10
Г
19
9
10
17
15
Д
20
28
25
23
20
Распределить задания между работниками (одно задание выполняется одним
человеком) так, чтобы суммарное время выполнения было наименьшим. В
ответе указать суммарное время выполнения.
96. Имеется пять заданий - А, Б, В, Г, Д - и пять работников – I, II, III, IV, V для их выполнения. В таблице указана прибыль, которую обеспечивает
каждый из работников при выполнении каждого из заданий.
121
I
II
III
IV
V
А
13
9
10
18
11
Б
13
7
10
11
14
В
3
8
4
4
5
Г
19
9
10
17
15
Д
11
8
14
16
10
Распределить задания между работниками (одно задание выполняется одним
человеком) так, чтобы общая прибыль от выполнения заданий была
наибольшей. В ответе указать найденную наибольшую прибыль.
97. Имеется пять заданий - А, Б, В, Г, Д - и пять работников – I, II, III, IV, V для их выполнения. В таблице указана прибыль, которую обеспечивает
каждый из работников при выполнении каждого из заданий.
I
II
III
IV
V
А
20
18
15
18
12
Б
14
7
12
15
14
В
3
8
4
4
5
Г
15
16
12
18
15
Д
11
8
14
16
10
Распределить задания между работниками (одно задание выполняется одним
человеком) так, чтобы общая прибыль от выполнения заданий была
наибольшей. В ответе указать найденную наибольшую прибыль.
98. Имеется пять заданий - А, Б, В, Г, Д - и пять работников – I, II, III, IV, V для их выполнения. В таблице указана прибыль, которую обеспечивает
каждый из работников при выполнении каждого из заданий.
I
II
III
IV
V
А
18
12
10
15
11
Б
18
10
10
11
14
В
10
14
11
12
11
Г
13
9
10
13
15
Д
11
8
13
16
10
Распределить задания между работниками (одно задание выполняется одним
человеком) так, чтобы общая прибыль от выполнения заданий была
наибольшей. В ответе указать найденную наибольшую прибыль.
122
99. Имеется пять заданий - А, Б, В, Г, Д - и пять работников – I, II, III, IV, V для их выполнения. В таблице указана прибыль, которую обеспечивает
каждый из работников при выполнении каждого из заданий.
I
II
III
IV
V
А
10
8
10
18
20
Б
11
7
12
11
16
В
9
8
16
10
15
Г
12
9
9
17
15
Д
11
8
14
16
10
Распределить задания между работниками (одно задание выполняется одним
человеком) так, чтобы общая прибыль от выполнения заданий была
наибольшей. В ответе указать найденную наибольшую прибыль.
100. Имеется пять заданий - А, Б, В, Г, Д - и пять работников – I, II, III, IV, V для их выполнения. В таблице указана прибыль, которую обеспечивает
каждый из работников при выполнении каждого из заданий.
I
II
III
IV
V
А
23
32
20
18
17
Б
13
17
10
17
15
В
10
16
12
14
15
Г
19
28
18
17
16
Д
14
18
22
20
8
Распределить задания между работниками (одно задание выполняется одним
человеком) так, чтобы общая прибыль от выполнения заданий была
наибольшей. В ответе указать найденную наибольшую прибыль.
Решения типовых задач
Задание 1. Прикладные вычислительные задачи экономики и
финансов
Задача 1.
Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 234 тыс. руб. к
концу четвертого года составит 468 тыс. руб. При этом за первый год
доходность составит 15%, за второй – 17%, за четвертый – 23%. Рассчитать
123
Задание 6. Прикладные вычислительные задачи экономики и
финансов. Линейная оптимизация.
Задача 1.
Мини-пекарня планирует выпечку батонов и булочек. На производство одного
батона расходуется 520 г муки, 10 г масла и 0,5 яйца, а на производство одной
булочки – 100 г муки, 5 г масла и 1 яйцо. В пекарню ежедневно завозят 180 кг
муки, 5,5 кг масла и 780 яиц. Прибыль от реализации батона равна 4 рублям,
от реализации булочки – 7 рублям. Определить, сколько батонов и булочек
нужно выпекать ежедневно, чтобы прибыль была максимальна. В ответе
указать максимальную ежедневную прибыль.
Решение.
Обозначим через x1 и x2 количество соответственно батонов и булочек,
производимых ежедневно. Тогда прибыль, получаемая от их реализации,
равна 4 x1 + 7 x2 рублям. Это функция, которую требуется максимизировать. При
этом должны выполняться ограничения на расход ресурсов: муки, масла и яиц.
Расход муки при производстве x1 батонов и x2 булочек равен 0,52 x1 + 0,1x2 кг,
масла - 0,01x1 + 0,005x2 кг, яиц - 0,5x1 + x2 штук. Мы получаем задачу линейного
программирования
z = 4 x1 + 7 x2 → max
0,52 x1 + 0,1x2 180
0, 01x + 0, 005 x 5,5
1
2
0,5 x1 + x2 780
x1 , x2 0
Решить её можно в Excel или в R.
Решение в R.
Для решения задач линейного программирования в R необходимо загрузить
(если он не был загружен ранее) пакет lpSolveAPI и активировать его.
Создадим и выполним следующий код:
library(lpSolveAPI) # Активируем пакет
M <- make.lp(ncol=2) # Объявляем ЗЛП с двумя переменными
name.lp(M,"Пекарня") # Называем модель
colnames(M) <- c("Батоны","Булочки") # Называем переменные
lp.control(M,sense="max")$sense # Объявляем задачу на максимум
set.objfn(M,c(4,7)) # Задаём целевую функцию
add.constraint(M,c(0.52,0.1),"<=",180) # Задаём первое ограничение (расход
муки)
add.constraint(M,c(0.01,0.005),"<=",5.5) # Задаём второе ограничение (расход
масла)
add.constraint(M,c(0.5,1),"<=",780) # Задаём третье ограничение (расход яиц)
rownames(M) <- c("Мука","Масло","Яйца") # Называем ограничения
168
M # Смотрим, какая модель получилась
После создания модели нужно решить задачу линейного программирования:
solve.lpExtPtr(M) # Решаем задачу. Если 0 - оптимальное решение найдено
get.variables(M) # Значения переменных, при которых целевая функция
достигает оптимального значения
get.objective(M) # Оптимальное значение целевой функции
Итак, для достижения максимальной прибыли необходимо выпускать в
среднем 213,33 батона и 673,33 булочки в день, прибыль при этом будет равна
5566,67 рублям.
Решение в Excel.
169
Для решения задачи линейного программирования в Excel будем использовать
надстройку «Поиск решения». Создадим таблицу:
В ячейках B2:C2 записывается количество производимых батонов и булочек, в
ячейках D3 и D4:D6 подсчитывается соответственно прибыль от их
реализации и расход продуктов на их производство (в этом примере, как и в
остальных аналогичных таблицах этого раздела зелёным цветом выделены
ячейки, содержащие значения переменных решаемой задачи линейного
программирования, красным – ячейка, содержащая значение целевой
функции, жёлтым – ячейки, содержащие значения левых частей ограничений).
Откроем окно «Поиск решения» и зададим следующие параметры решения
задачи:
Установить целевую ячейку D2 равной максимальному значению
Изменяя ячейки B2:C2
Ограничения:
D4:D6<=F4:F6
В «Параметрах» установить «Линейная модель» и «Неотрицательные
переменные».
170
После нажатия клавиши «Выполнить» получаем решение:
Задача 2.
Фирме требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,03% и с долей
зольных примесей не более 3,27%. Три сорта угля А, Б, В доступны по
следующим ценам:
Сорт А
Сорт Б
Сорт В
Содержание
фосфора, %
0,05
0,03
171
0,02
Содержание
золы, %
2,2
4,2
2,9
Цена, у.е. за
тонну
24
39
45
В каких пропорциях нужно смешать эти сорта, чтобы получить наиболее
дешёвый уголь, удовлетворяющий указанным условиям? В ответе указать
цену 1 т получившейся смеси.
Решение.
Обозначим через x1 , x2 , x3 доли угля сорта А, Б, В соответственно в смеси.
Поскольку больше эта смесь ничего не содержит, должно выполняться
равенство x1 + x2 + x3 = 1 . Цена тонны получившейся смеси составляет
24 x1 + 39 x2 + 45x3 у.е. Это функцию, которую нужно минимизировать. При этом
должны выполняться ограничения на содержание в смеси фосфора и золы.
Содержание фосфора в этой смеси равно 0,05x1 + 0,03x2 + 0,02 x3 %, а золы 2, 2 x1 + 4, 2 x2 + 2,9 x3 %. Мы получаем задачу линейного программирования
z = 24 x1 + 39 x2 + 45 x3 → min
0, 05 x1 + 0, 03x2 + 0, 02 x3 0, 03
2, 2 x + 4, 2 x + 2,9 x 3, 27
1
2
3
x1 + x2 + x3 = 1
x1 , x2 , x3 0
Решение в R.
Данная ЗЛП задаётся с помощью следующего кода:
library(lpSolveAPI) # Активируем пакет
M <- make.lp(ncol=3) # Объявляем ЗЛП с тремя переменными
name.lp(M,"Уголь") # Называем модель
colnames(M) <- c("Сорт А","Сорт Б", "Сорт В") # Называем переменные
lp.control(M,sense="min")$sense # Объявляем задачу на минимум
set.objfn(M,c(24,39,45)) # Задаём целевую функцию
add.constraint(M,c(0.05,0.03,0.02),"<=",0.03) # Задаём первое ограничение
(содержание фосфора)
add.constraint(M,c(2.2,4.2,2.9),"<=",3.27) # Задаём второе ограничение
(содержание золы)
add.constraint(M,c(1,1,1),"=",1) # Задаём третье ограничение (сумма долей
равна 1)
rownames(M) <- c("Фосфор","Зола","Всего") # Называем ограничения
M # Смотрим, какая модель получилась
172
Решим эту задачу:
solve.lpExtPtr(M) # Решаем задачу. Если 0 - оптимальное решение найдено
get.variables(M) # Значения переменных, при которых целевая функция
достигает оптимального значения
get.objective(M) # Оптимальное значение целевой функции
Для получения единицы массы наиболее дешёвой смеси нужно взять 0,33 угля
сорта А и 0,67 сорта В, сорт Б не использовать. Стоимость тонны такой смеси
составит 38 у.е. за тонну.
Решение в Excel.
Создадим таблицу:
173
Откроем окно «Поиск решения» и зададим следующие параметры:
Установить целевую ячейку E3 равной минимальному значению
Изменяя ячейки B2:D2
Ограничения:
E2=G2
E4:E5<=G4:G5
В «Параметрах» установить «Линейная модель» и «Неотрицательные
переменные».
После нажатия клавиши «Выполнить» получаем решение.
174
Задача 3.
Для откорма животных используется три комбикорма – А, Б и В. Каждому
животному в сутки требуется не менее 600 г жиров, 1000 г белков и 1500 г
углеводов. Содержание этих нутриентов в 1 кг каждого вида комбикорма и его
стоимость приведены в таблице.
Содержание в 1 кг,
Комбикорм А
Комбикорм Б
Комбикорм В
г
Жиры
120
170
240
Белки
200
110
120
Углеводы
300
370
120
Стоимость 1 кг, у.е.
32
28
20
Определить, сколько комбикорма каждого вида нужно давать в день каждому
животному, чтобы его потребности в нутриентах были удовлетворены, а
общая стоимость смеси была наименьшей. В ответе указать эту наименьшую
стоимость.
Решение.
Обозначим через x1 , x2 , x3 количество (в кг) комбикорма А, Б и В
соответственно, которое дают ежедневно каждому животному. Стоимость
этого корма составит 32 x1 + 28x2 + 20 x3 у.е. Это функция, которую нужно
минимизировать. При этом должны выполняться ограничения на содержание
в корме жиров, белков и углеводов, которое должно быть не меньше
указанных значений. Количество жиров, получаемых животным при таком
175
откармливании, равно 120 x1 + 170 x2 + 240 x3 г, белков – 200 x1 + 110 x2 + 120 x3 г,
углеводов – 300 x1 + 370 x2 + 120 x3 г. Получаем задачу линейного
программирования
z = 32 x1 + 28 x2 + 20 x3 → min
120 x1 + 170 x2 + 240 x3 600
200 x + 110 x + 120 x 1000
1
2
3
300 x1 + 370 x2 + 120 x3 1500
x1 , x2 , x3 0
Решение в R.
Данная ЗЛП задаётся с помощью следующего кода:
library(lpSolveAPI) # Активируем пакет
M <- make.lp(ncol=3) # Объявляем ЗЛП с тремя переменными
name.lp(M,"Откорм") # Называем модель
colnames(M) <- c("Корм А","Корм Б", "Корм В") # Называем переменные
lp.control(M,sense="min")$sense # Объявляем задачу на минимум
set.objfn(M,c(32,28,20)) # Задаём целевую функцию
add.constraint(M,c(120,170,240),">=",600) # Задаём первое ограничение
(содержание жиров)
add.constraint(M,c(200,110,120),">=",1000) # Задаём второе ограничение
(содержание белков)
add.constraint(M,c(300,370,120),">=",1500) # Задаём третье ограничение
(содержание углеводов)
rownames(M) <- c("Белки","Жиры","Углеводы") # Называем ограничения
M # Смотрим, какая модель получилась
Решим эту задачу:
solve.lpExtPtr(M) # Решаем задачу. Если 0 - оптимальное решение найдено
176
get.variables(M) # Значения переменных, при которых целевая функция
достигает оптимального значения
get.objective(M) # Оптимальное значение целевой функции
Для достижения наименьшей стоимости откорма нужно давать каждому
животному 5 кг комбикорма А ежедневно, остальные виды комбикорма не
использовать. Стоимость такого питания составит 160 у.е на одно животное в
день.
Решение в Excel.
Создадим таблицу:
Откроем окно «Поиск решения» и зададим следующие параметры:
Установить целевую ячейку E3 равной минимальному значению
177
Изменяя ячейки B2:D2
Ограничения:
E4:E6>=G4:G6
В «Параметрах» установить «Линейная модель» и «Неотрицательные
переменные».
После нажатия клавиши «Выполнить» получаем решение:
Задача 4.
Рюкзак может выдержать груз весом не более 50 кг. Имеются предметы 4
видов. Стоимость и вес одного предмета каждого типа указана в таблице.
Предмет
I
II
III
IV
178
Масса, кг
6
8
10
13
Стоимость,
у.е.
8
12
14
20
Заполнить рюкзак так, чтобы общая стоимость его содержимого была
наибольшей. В ответе указать эту стоимость.
Решение.
Обозначим через x1 , x2 , x3 , x4 количество предметов каждого вида, которое мы
кладём в рюкзак. Эти переменные должны принимать целые неотрицательные
значения. Общая стоимость этих предметов равна 8x1 + 12 x2 + 14 x3 + 20 x4 у.е. Это
функция, которую нужно максимизировать. При этом общая масса предметов,
которая равна 6 x1 + 8x2 + 10 x3 + 13x4 , не должна превышать указанную
грузоподъёмность рюкзака. Получаем задачу целочисленного линейного
программирования:
z = 8 x1 + 12 x2 + 14 x3 + 20 x4 → max
6 x1 + 8 x2 + 10 x3 + 13x4 50
x1 , x2 , x3 , x4 0, x1 , x2 , x3 , x4
Решение в R.
Создадим задачу целочисленного линейного программирования:
library(lpSolveAPI) # Активируем пакет
M <- make.lp(ncol=4) # Объявляем ЗЛП с четырьмя переменными
name.lp(M,"Рюкзак") # Называем модель
colnames(M) <- c("I","II", "III","IV") # Называем переменные
lp.control(M,sense="max")$sense # Объявляем задачу на максимум
set.objfn(M,c(8,12,14,20)) # Задаём целевую функцию
add.constraint(M,c(6,8,10,13),"<=",50) # Задаём ограничение (общая масса)
rownames(M) <- c("Масса") # Называем ограничения
set.type(M,1:4,"integer") # Требуем, чтобы все 4 переменные были
целочисленными
M # Смотрим, какая модель получилась
179
И решим её:
solve.lpExtPtr(M) # Решаем задачу. Если 0 - оптимальное решение найдено
get.variables(M) # Значения переменных, при котором целевая функция
достигает оптимального значения
get.objective(M) # Оптимальное значение целевой функции
180
Нужно взять 3 предмета II вида и 2 предмета IV вида. Их общая стоимость
составит 76 у.е.
Решение в Excel.
Создадим таблицу:
Откроем окно «Поиск решения» и зададим следующие параметры:
Установить целевую ячейку F4 равной максимальному значению
Изменяя ячейки B2:E2
Ограничения:
F3<=H3
B2:E2 = целое
В «Параметрах» установить «Линейная модель» и «Неотрицательные
переменные».
181
После нажатия клавиши «Выполнить» получаем решение:
Задача 5.
Сталеплавильная компания располагает тремя заводами А, Б, В. Свою
продукцию она поставляет четырём потребителям I, II, III, IV. В таблице
указаны производственные мощности заводов (тыс. т за некоторый
промежуток времени), потребности потребителей и стоимости перевозки 1
тыс. т стали от заводов к потребителю.
I
II
III
IV
Производство
A
12
19
182
7
15
45
Б
14
10
12
13
35
В
15
16
18
14
20
Потребности
15
20
25
40
Составить наиболее дешёвый план перевозок, при котором вся сталь с
каждого завода была бы вывезена и потребности каждого потребителя
полностью удовлетворены. В ответе указать общую стоимость перевозок.
Решение.
Это транспортная задача. Переменными в ней являются xij , i = 1, 2,3, j = 1, 2,3, 4 количество товара, перевозимого от i-ого поставщика j-ому потребителю.
Общая стоимость такого плана перевозок равна cij xij , где cij – стоимость
i, j
перевозки единицы товара от i-ого поставщика j-ому потребителю (элементы
матрицы стоимостей перевозок). Это функция, которую нужно
минимизировать. При этом для каждого i = 1, 2,3 должно быть выполнено
условие
xij = ai , где ai - запас товара у i-ого поставщика (левая часть – общее
j
количество товара, вывезенного у этого поставщика), а для каждого j = 1, 2,3, 4
xij = b j , где bj - потребности j-ого потребителя (левая часть – общее
i
количество товара, подвезённого этому потребителю). Получаем задачу
линейного программирования
z = cij xij → min
i, j
xij = ai , i = 1, 2,3
j
xij = b j , j = 1, 2,3, 4
i
xij 0
Отметим, что, поскольку в данной задаче общие запасы товара у поставщиков
равны общим потребностям потребителя, у неё существует решение.
Решение в R.
Для решения транспортной задачи нужно загрузить (если он не был загружен
ранее) и активировать пакет lpSolve. Далее нужно создать транспортную
задачу:
library(lpSolve) # Активируем пакет
P <- matrix(c(12,19,7,15,
14,10,12,13,
15,16,18,14),3,4,byrow=T) # Задаём матрицу стоимостей перевозок
Supply <- c(45,35,20) # Задание запасов поставщиков
Demand <- c(15,20,25,40) # Задание потребностей потребителей
SignS <- rep("=",3) # Задание ограничений для поставщиков: у каждого товар
вывезен полностью
183
SignD <- rep("=",4) # Задание ограничений для потребителей: потребности
каждого удовлетворены
M <- lp.transport(cost.mat=P,direction="min",row.signs=SignS,row.rhs= Supply,
col.signs=SignD,col.rhs=Demand) # Задание транспортной задачи на
минимизацию
Теперь решим задачу:
M$status # Если 0, то решение найдено
M$solution # Оптимальный план перевозок
M$objval # Достигнутое значение целевой функции
Нужно с первого завода поставлять 15 тыс. т стали первому потребителю, 25
тыс. т – второму и 5 тыс. т – четвёртому, со второго завода – 20 тыс. т второму
184
потребителю и 15 тыс. т – четвёртому, с третьего завода все 20 тыс. т
поставлять четвёртому потребителю. Общая стоимость перевозок при этом
составит 1105 у.е.
Решение в Excel.
Создадим таблицу:
Решение удобно представлять в виде матрицы, которая записывается в
диапазоне B3:E5; суммы элементов этой матрицы по строкам и по столбцам
равны количеству товара, вывезенного у каждого поставщика и доставленного
каждому потребителю.
Откроем окно «Поиск решения» и зададим следующие параметры:
Установить целевую ячейку A16 равной минимальному значению
Изменяя ячейки B3:E5
Ограничения:
B6:E6=B13:E13
F3:F5=F10:F12
В «Параметрах» установить «Линейная модель» и «Неотрицательные
переменные».
185
После нажатия клавиши «Выполнить» получаем решение:
Задача 6.
Сталеплавильная компания располагает тремя заводами А, Б, В. Свою
продукцию она поставляет четырём потребителям I, II, III, IV. В таблице
указаны производственные мощности заводов (тыс. т за некоторый
промежуток времени), потребности потребителей и стоимости перевозки 1
тыс. т стали от заводов к потребителю.
I
II
III
IV
Производство
A
12
19
186
7
15
30
Б
14
10
12
13
35
В
15
16
18
14
20
Потребности
15
20
25
40
Составить наиболее дешёвый план перевозок, при котором вся сталь с
каждого завода была бы вывезена и потребности потребителя I полностью
удовлетворены. В ответе указать общую стоимость перевозок.
Решение.
Как и в предыдущей задаче, в качестве переменных возьмём
xij , i = 1, 2,3, j = 1, 2,3, 4 - количество товара, перевозимого от i-ого поставщика jому потребителю. Общая стоимость такого плана перевозок равна cij xij , где
i, j
cij – стоимость перевозки единицы товара перевозимого от i-ого поставщика j-
ому потребителю (элементы таблицы стоимостей перевозок). Это функция,
которую нужно минимизировать. В данном случае общие запасы поставщиков
меньше общих потребностей потребителей. Поэтому потребности всех
потребителей не могут быть удовлетворены, и ограничения примут вид:
xij = ai , i = 1, 2,3 (у каждого поставщика товар вывезен),
j
x b , j = 2,3, 4 и x = b при j = 1 (потребности первого потребителя
ij
ij
j
j
i
i
удовлетворены полностью, остальным товара подвезли не больше, чем им
требуется). Получаем задачу линейного программирования
z = cij xij → min
i, j
xij = ai , i = 1, 2,3
j
xi1 = b1
i
xij b j , j = 2,3, 4
i
x 0
ij
Для случая, когда общие запасы поставщиков превышают общие
потребности потребителей, задача линейного программирования
составляется аналогично.
Решение в R.
Создадим транспортную задачу:
library(lpSolve) # Активируем пакет
P <- matrix(c(12,19,7,15,
14,10,12,13,
15,16,18,14),3,4,byrow=T) # Задаём матрицу стоимостей перевозок
Supply <- c(30,35,20) # Задание запасов поставщиков
Demand <- c(15,20,25,40) # Задание потребностей потребителей
187
SignS <- rep("=",3) # Задание ограничений для поставщиков: у каждого товар
вывезен полностью
SignD <- с("=","<=","<=","<=") # Задание ограничений для потребителей:
потребности первого удовлетворены, остальным товар подвезён в количестве,
не превышающем их потребностей
M <- lp.transport(cost.mat=P,direction="min",row.signs=SignS,row.rhs= Supply,
col.signs=SignD,col.rhs=Demand) # Задание транспортной задачи на
минимизацию
Решим эту задачу:
M$status # Если 0, то решение найдено
M$solution # Оптимальный план перевозок
M$objval # Достигнутое значение целевой функции
188
С первого завода нужно поставлять 5 тыс. т стали первому потребителю и 25
тыс. т второму, со второго завода – 20 тыс. т второму потребителю и 15 тыс. т
четвёртому, с третьего завода – по 10 тыс. т первому и четвёртому
потребителю. Потребности четвёртого потребителя удовлетворены не
полностью. Стоимость перевозок составляет 920 у.е.
Решение в Excel.
Создадим таблицу:
Откроем окно «Поиск решения» и зададим следующие параметры:
Установить целевую ячейку A16 равной минимальному значению
Изменяя ячейки B3:E5
Ограничения:
189
B6=B13
C6:E6<=C13:E13
F3:F5=F10:F12
В «Параметрах» установить «Линейная модель» и «Неотрицательные
переменные».
После нажатия клавиши «Выполнить» получаем решение:
Задача 7.
Имеется пять заданий - А, Б, В, Г, Д - и пять работников – I, II, III, IV, V - для
их выполнения. В таблице указана прибыль, которую обеспечивает каждый из
работников при выполнении каждого из заданий.
190
I
II
III
IV
V
А
18
30
20
18
17
Б
13
18
10
17
13
В
10
16
11
10
15
Г
19
25
18
17
16
Д
14
18
22
20
8
Распределить задания между работниками (одно задание выполняется одним
человеком) так, чтобы общая прибыль от выполнения заданий была
наибольшей. В ответе указать найденную наибольшую прибыль.
Решение.
Это задача о назначениях. В качестве переменных возьмём xij , i, j = 1, 2,3, 4,5 ,
которые принимают значение 1, если i-ый работник выполняет j-ое задание, и
0 в противном случае. Как и в транспортной задаче, этот набор переменных
удобно представлять в виде матрицы. Прибыль при таком распределении
заданий равна cij xij , где cij – прибыль от выполнения i-ым работником j-ого
i, j
задания. Это функция, которую нужно максимизировать. Условие «каждое
задание выполняется ровно одним работником» записывается в виде
xij = 1, i = 1, 2,3, 4,5 (это равенство выполняется, когда среди элементов строки,
j
соответствующей i-ому заданию, ровно одна единица), а условие «каждый
работник выполняет ровно одно задание» - в виде xij = 1, j = 1, 2,3, 4,5 (это
i
равенство выполнено, когда среди элементов столбца, соответствующего jому работнику, ровно одна единица). Получаем задачу
z = cij xij → max
i, j
xij = 1, i = 1, 2,3, 4,5
j
xij = 1, j = 1, 2,3, 4,5
i
xij {0,1}
Как мы видим, это транспортная задача на максимум со всеми ai = 1, b j = 1 и
дополнительным условием на переменные xij : они должны принимать только
значения 0 и 1. Однако транспортная задача обладает тем свойством, что если
все ограничения в правой части целочисленные, то по крайней мере одно из
оптимальных решений будет целочисленным (и именно такое решение
находится в результате применения алгоритмов, используемых в Excel и R).
Таким образом, можно решать эту задачу без указания условия xij {0,1} , и оно
191
всё равно будет выполнено автоматически для найденного оптимального
решения.
Отметим, что задача о назначениях может быть и на минимизацию целевой
функции, если, например, числа в таблице, приведённой в условии, имеют
смысл затрат или брака при выполнении заданий работниками.
Решение в R.
Создадим транспортную задачу с указанными выше данными:
library(lpSolve) # Активируем пакет
P <- matrix(c(18,30,20,18,17,
13,18,10,17,13,
10,16,11,10,15,
19,25,18,17,16,
14,18,22,20,8),5,5,byrow=T) # Задаём матрицу прибылей
M <lp.transport(cost.mat=P,direction="max",row.signs=rep("=",5),row.rhs=rep(1,5),
col.signs=rep("=",5),col.rhs=rep(1,5)) # Задание задачи на
максимизацию как транспортной:
# правые части ограничений равны 1, ограничения – равенства
Решим эту задачу:
M$status # Если 0, то решение найдено
M$solution # Оптимальный план выполнения заданий
M$objval # Достигнутое значение целевой функции
192
Для максимизации прибыли первое задание должно выполняться вторым
работником, второе – четвёртым, третье – пятым, четвёртое – первым, пятое –
третьим. Общая прибыль при этом составит 103 денежных единицы.
Решение в Excel.
Создадим таблицу:
В диапазоне B3:F7 будет содержаться матрица и нулей, и единиц,
описывающая решение задачи: единицы будут стоять на пересечении строки,
соответствующей заданию, и столбца, соответствующего выполняющему его
работнику. В каждом столбце и в каждой строке должно быть ровно по одной
единице, что равносильно тому, что сумма элементов по каждой строке и по
каждому столбцу равна 1.
193
