Равносильность формул 1. Равносильность формул эквивалентные (или равносильные) формулы формулы, принимающие одинаковые значения на любом истинностном наборе относительно собственного списка элементарных высказываний Равносильность формул в алгебре логики обозначается знаком тождественного равенства ≡ Нужно различать символы ~ и ≡. Знак ~ является символом формального языка, с помощью которого строятся формулы, а знак ≡ обозначает отношение на множестве формул. Стандартный метод установления эквивалентности двух формул: по каждой формуле восстанавливается таблица истинности полученные таблицы сравниваются по каждому набору значений переменных В логике выделяют следующие равносильные формулы — основные эквивалентные соотношения (законы): 𝐴 ≡ 𝐴 (закон тождества) А≡А А∨0≡А А∧0≡0 А∨1≡1 А∧1≡А А∧А≡0 А∨А≡1 (закон логического противоречия) А ∧ А ≡А А ∨ А ≡А (идемпотентность конъюнкции) (идемпотентность дизъюнкции) А∧В ≡ В∧А А ∨ В ≡ В ∨А (коммутативность конъюнкции) (коммутативность дизъюнкции) В логике выделяют следующие равносильные формулы — основные эквивалентные соотношения (законы): А ∧ (В ∧ С) ≡ (А ∧ В) ∧ С А ∨ (В ∨ С) ≡ (А ∨ В) ∨ С (ассоциативность конъюнкции) (ассоциативность дизъюнкции) А ∧ (В ∨ С) ≡ (А ∧ В) ∨ (А ∧ С) А ∨ (В ∧ С) ≡ (А ∨ В) ∧ (А ∨ С) (дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции) (дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции) А ∧ (А ∨ В) ≡ А А ∨ (А ∧ В) ≡ А (первый закон поглощения) (второй закон поглощения) А∧В≡А∨В А∨В≡А∧В (первый закон де Моргана) (второй закон де Моргана) В логике выделяют следующие равносильные формулы — основные эквивалентные соотношения (законы): А ≡ (А ∧ В) ∨ (А ∧ В) А ≡ (А ∨ В) ∧ (А ∨ В) (первый закон расщепления) (второй закон расщепления) А⟹В≡В⟹А (закон контрапозиции) А⟹В≡А∨В≡А∧В А ⟺ В ≡ (А ∨ В) ∧ (А ∨ В) ≡ А → В ∧ В → А А ⟺ В ≡ (А ∧ В) ∨ (А ∧ В) А∨В≡А⟹В А∨В≡А∧В А∧В≡А⟹В А∧В≡А∨В Эквивалентным (или тождественным) преобразованием некоторой формулы называют переход (по определенным правилам) к любой формуле, эквивалентной данной. Упростить А ∧ А ∨ В ⟹ А ∨ В . А∧ А∨В⟹А∨В ≡А∧ А∨В∨А∨В Упростить 𝐵⟹𝐴 ⇒ ≡А∧ А∨1 B⟹A ⇒ 𝐵⇒𝐴 ⇒𝐵 ≡ ≡А∧1 ≡А B⇒A ⇒B . 𝐵∨А ⇒ 𝐵∨𝐴 ⇒𝐵 ≡ ≡ 𝐵 ∨ 𝐴 ∨ 𝐵 ∨ 𝐴 ∨ 𝐵 ≡ (𝐵 ∧ 𝐴) ∨ (𝐵 ∧ 𝐴) ∨ 𝐵 ≡ ≡ (B ∧ A ∨ A ) ∨ 𝐵 ≡ B ∨ B ≡ 1 Упростить 𝑥 → 𝑥 → 𝑦 . 𝑥→ 𝑥→𝑦 ≡𝑥 → 𝑥∨𝑦 ≡𝑥∨ 𝑥∨𝑦 ≡𝑥∨ 𝑥∨𝑦 ≡𝑥∧𝑥∧𝑦 ≡𝑥∧𝑥∧𝑦 ≡0 Или верно, что Петр поступил в университет, и при этом неверно, что Петр не поступил и Андрей не поступил, или Петр поступил и Семен поступил, или Петр поступил и Семен поступил, и Андрей поступил. А: Петр поступил в университет В: Андрей поступил в университет (А ∧ А ∧ В) ∨ (А ∧ С) ∨ (А ∧ В ∧ С) С: Семен поступил в университет (А ∧ А ∧ В) ∨ (А ∧ С) ∨ (А ∧ В ∧ С) ≡ (А ∧ А ∧ В) ∨ (А ∧ С) ≡ (А ∧ А ∨ В ) ∨ (А ∧ С) ≡ ≡ (А ∧ А ∨ В ) ∨ (А ∧ С) ≡ А ∨ (А ∧ С) ≡ А Следовательно, в данном высказывании утверждается только то, что Петр поступил в университет, а об Андрее и Семене никакой информации нет. 2. Способы доказательства равносильности формул Табличный способ Для того чтобы доказать, что две формулы F и Q равносильны, достаточно составить таблицы истинностных значений для этих формул и эти таблицы сравнить. А∧В≡А∨В А ∨ (А ∧ В) ≡ А (первый закон де Моргана) (второй закон поглощения) А В А∧В А ∨ (А ∧ В) А В А∧В А∧В А В А∨В 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 Способ допущений Для того чтобы доказать, что две формулы F и Q равносильны, достаточно: 1) предположить, что одна из формул истинна (ложна): 2) выяснить исходя из данного предположения значения истинности элементарных высказываний, данных формул; 3) определить значение истинности второй формулы, учитывая значения истинности элементарных высказываний. Если значения истинности обеих формул совпадает, можно утверждать об их равносильности. А∧В≡А∨В А ∧ (А ∨ В) ≡ А А∨В≡А⟹В Пусть А ∧ В ≡ 0. Пусть А ∧ (А ∨ В) ≡ 1 Пусть А ∨ В ≡ 0 Тогда А ∧ В ≡ 1. Тогда А ≡ 1 и А ∨ В ≡ 1 Тогда А ≡ 0 и В ≡ 0 А ≡ 1 и В ≡ 1. А≡1иВ≡0 А ≡ 0 и В ≡ 0. А⟹В≡0 А ∨ В ≡0. Способ эквивалентной замены Для того чтобы доказать, что две формулы F и Q равносильны, достаточно составить цепочку равносильных между собой формул, используя ранее доказанные равносильные формулы, таким образом, чтобы первая и последняя формулы цепочки совпадали с данными формулами. А⟹В≡А∧В А⟹В≡А∨В ≡А∧В А∧В≡А∨В А∧В≡ А∧В≡А∨В А ∨ (А ∧ В) ≡ А А ∨ (А ∧ В) ≡ (А ∧ 1) ∨ (А ∧ В) ≡ А ∧ (1 ∨ В) ≡ А ∧ 1≡ А А ∧ (А ∨ В) ≡ А А ∧ (А ∨ В) ≡ (А ∧ А) ∨ (А ∧ В) ≡ А ∨ (А ∧ В)≡ А Доказать равносильность формул x ∧ 𝑦 → 0 и 𝑥 → 𝑦. 𝑥∧𝑦 →0 ≡𝑥∧𝑦∨0 ≡𝑥∧𝑦 ≡𝑥∨𝑦 ≡𝑥∨𝑦 ≡𝑥 →𝑦 Доказать равносильность формул 𝑥 ↔ y и 𝑥 ↔ 𝑦. 𝑥↔𝑦 ≡ 𝑥→𝑦 ∧ 𝑦→𝑥 ≡ 𝑥∨𝑦 ∧ 𝑦∨𝑥 ≡ 𝑥∨𝑦 ∧ 𝑦∨𝑥 ≡ 𝑥∨𝑦 ∧ 𝑦∨𝑥 ≡ 𝑦∨𝑥 ∧ 𝑥∨𝑦 ≡ 𝑦 →𝑥 ∧ 𝑥 →𝑦 ≡ 𝑥 →𝑦 ∧ 𝑦 →𝑥 ≡𝑥 ↔𝑦 3. Тавтологии тождественно истинная формула (или тавтология) формула, значения которой для любого набора переменных есть «истина» тождественно ложная формула (или противоречие) формула, значения которой для любого набора переменных есть «ложь» Для доказательства того, что формула является тавтологией достаточно построить таблицу истинности для нее. В этой таблице столбец под самой формулой должен состоять только из единиц выполнимая формула формула для которой существует такой набор значений переменных, при котором эта формула принимает значение «истина» опровержимая формула формула для которой существует такой набор значений переменных, при котором эта формула принимает значение «ложь» Тавтологии ( A, B, C — произвольные формулы): А∨А А∧А (закон исключенного третьего) (закон отрицания противоречия) А ≡А А⟹А (закон тождества) (закон двойного отрицания) А⟹В≡В⟹А (закон контрапозиции) (А ⟺ В) ⟺ (А ⟺ В) ( А⟹В ∧ В⟹С )⟹ А⟹С (закон транзитивности импликации) (закон противоположности) (А ⟺ В) ⟺ А ⟹ В ∧ В ⟹ А (А ⟹ А) ⟹ А (А ∨ В) ⟺ (А ⟹ В) (А ∧ В) ⟹ А (А ⟹ В) ∨ (В ⟹ А) (А ∧ В) ⟹ В А ⟹ (В ⟹ (А ∧ В)) А ⟹ (В ⟹ А) ((А ⟹ В) ⟹ А) ⟹ А Выяснить, является ли следующая формула тождественно истинной: 𝐹 = (А ⟹ В) ∧ В ⟹ А А В А В А ⟹В (А ⟹ В) ∧ В F 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 Так как последний столбец тождественно истинна. состоит только из 1, то формула Выяснить, является ли следующая формула выполнимой: 𝐹 = А ∨ В ⟹ А ∧ С А В С А А∨В (А ∧ С) F 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 Поскольку на трех наборах (достаточно хотя бы на одном) функция принимает значение 1, то формула выполнима. Выяснить, является ли следующая формула выполнимой: 𝐹 = (В ⟹ А ∧ В ) ∧ А ∧ С ⟹ В А В С (А ∧ В) В ⟹ (А ∧ В) (А ∧ С) А ∧ С ⟹В 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 А∧С ⟹В Поскольку на трех наборах (достаточно хотя бы на одном) функция принимает значение 1, то формула выполнима. F 4. Нормальные формы для формул алгебры высказываний Пусть A1, A2, …, An — формулы. Тогда, в силу ассоциативности операций ∧ и ∨, выражения А1 ∧ А2 ∧ ⋯ ∧ А𝑛 и А1 ∨ А2 ∨ ⋯ ∨ А𝑛 являются формулами. А1 ∧ А2 ∧ ⋯ ∧ А𝑛 конъюнкция формул A1, A2, …, An А1 ∨ А2 ∨ ⋯ ∨ А𝑛 дизъюнкция формул A1, A2, …, An Литерал формула, в которой есть пропозициональная переменная или отрицание переменной элементарной конъюнкцией (или конъюнктом) формула, которая является конъюнкцией литералов, т.е. конъюнкцией переменных и отрицаний переменных А ∧ В, А ∧ В, А ∧ А, А ∧ С ∧ В Элементарную конъюнкцию называют совершенной, если каждая из пропозициональных переменных входит в нее ровно один раз, со знаком отрицания или без него. Дизъюнктивная нормальная форма произвольная дизъюнкция элементарных конъюнкций А∧В ∨ А∧В , А∧В∧С ∨ А∧В , А∧В ∨ А∧В Для всякой формулы F существует формула G, равносильная F и имеющая дизъюнктивную нормальную форму. Каждую логическую сложную формулу можно привести эквивалентными преобразованиями к дизъюнктивной нормальной форме Алгоритм приведения к дизъюнктивной нормальной форме: используя логические законы, исключить из исходной формулы эквиваленцию и импликацию доводят знаки отрицания до используя законы де Моргана независимых применить закон дистрибутивности избавиться от двойных отрицаний переменных, элементарной дизъюнкцией (или дизъюнктом) формула, которая является дизъюнкцией литералов, т.е. дизъюнкцией переменных и отрицаний переменных А ∨ В, А ∨ В, А ∨ А, А ∨ С ∨ В Элементарную дизъюнкцию называют совершенной, если каждая из пропозициональных переменных входит в нее ровно один раз, со знаком отрицания или без него. Конъюнктивная нормальная форма произвольная конъюнкция элементарных дизъюнкций А∨В ∧ А∨В , А∨В∨С ∧ А∨В , А∨В ∧ А∨В Если А и (А ∧ В) - тавтологии, то В - тавтология. Формула алгебры высказываний тождественно истинна тогда и только тогда, когда каждый сомножитель ее КНФ содержит некоторую букву одновременно с ее отрицание. 𝐹 = A∨B∨A∨C ∧ A∨B∨B ∧ A∨B∨C∨C ≡ 1 𝐴 ⟹ B ⟹ A ∧ B ≡ A ∨ B ∨ (A ∧ B) ≡ A ∨ B ∨ (A ∧ B) ≡ (A ∨ B ∨ A) ∧ (A ∨ B ∨ B) ≡ 1 Формула алгебры высказываний тождественно ложна тогда и только тогда, когда каждое слагаемое ее ДНФ содержит некоторую букву одновременно с ее отрицание. 𝐹 = A∧B∧A∧C ∨ A∧B∧B ∨ A∧B∧C∧C ≡0 Привести А ∨ С ∧ (А ⟹ В) к нормальной форме А ∨ С ∧ (А ⟹ В) ≡ А ∧ С ∧ А ∨ В ≡( А ∧ С ∧ А) ∨ ( А ∧ С ∧ В) ≡ ≡ (А ∧ С) ∨ (А ∧ С ∧ В) ≡ А ∧ С Привести (𝐴 ∧ 𝐵 → 𝐶) ∧ (С ∨ 𝐵) → 𝐴 к нормальной форме (𝐴 ∧ 𝐵 → 𝐶) ∧ (С ∨ 𝐵) → 𝐴 ≡ (𝐴 ∧ 𝐵 ∨ 𝐶) ∧ (С ∨ 𝐵) → 𝐴 ≡ (𝐴 ∨ В ∨ 𝐶) ∧ (С ∨ 𝐵) → 𝐴 ≡ ≡ (𝐴 ∨ В ∨ 𝐶) ∧ (С ∨ 𝐵) ∨ 𝐴 ≡ 𝐴 ∨ В ∨ 𝐶 ∨ С ∨ 𝐵 ∨ 𝐴≡ (𝐴 ∧ В ∧ С) ∨ (С ∧ В ) ∨ 𝐴 ≡ ≡ (А ∧ В ∧ С) ∨ (С ∧ В ) ∨ 𝐴 ≡ ((А ∧ В ∧ С) ∨ С ∧ (А ∧ В ∧ С) ∨ В ) ∨ 𝐴 ≡ ≡ (С ∧ А ∨ В ∧ В ∨ В ∧ С ∨ В ) ∨ 𝐴 ≡ (С ∧ С ∨ В ∧ А ∨ В ) ∨ 𝐴≡ (С ∧ А ∨ В ) ∨ 𝐴 ≡ ≡ (С ∧ А) ∨ (С ∧ В) ∨ 𝐴 ≡ (С ∧ В) ∨ 𝐴 5. Проблема разрешения и методы ее решения Проблемма разрешения Существует ли алгоритм, позволяющий для произвольной логической формулы в конечное число шагов выяснить, является ли она тождественно истинной (или тождественно ложной)? Проблема имеет положительное решение, так как всегда можно перебрать все возможные наборы значений аргументов и вычислить на них значения заданной формулы (т.е. составить таблицу истинности). Для больших формул эти таблицы громоздки и их использование затруднительно, поэтому для установления тождественной истинности или ложности формул часто используют другую процедуру распознавания, связанную с приведением формулы к КНФ или ДНФ. Критерии: Для того чтобы формула алгебры высказываний была тождественно истинной, необходимо и достаточно, чтобы в равносильной ей КНФ были тождественно истинны все элементарные дизъюнкции Для того чтобы элементарная дизъюнкция была тождественно истинной, необходимо и достаточно, чтобы в ней существовала хотя бы для одной переменной пара — переменная и ее отрицание. Для того чтобы формула алгебры высказываний была тождественно ложной, необходимо и достаточно, чтобы в равносильной ей ДНФ все элементарные конъюнкции были тождественно ложны. Для того чтобы элементарная конъюнкция была тождественно ложной, необходимо и достаточно, чтобы в ней существовала хотя бы для одной переменной пара — переменная и ее отрицание Дана формула А ∨ В ∨ В ⟹ (А ∨ В ∧ А ∧ С) Проверить, является ли эта формула тождественно ложной. А ∨ В ∨ В ⟹ (А ∨ В ∧ А ∧ С) ≡ А ∨ 1 ⟹ (А ∧ В ∧ А ∧ С) ≡ ≡ А ∨ 1 ⟹ (А ∧ А ∧ В ∧ С) ≡ 1 ⟹ (0 ∧ В ∧ С) ≡ 1 ⟹ 0 ≡ 0
