Кларк, Харди. Теория риска

Ñ.Ì.Êëàðê Ì.Ð.Õàðäè À.Ñ.Ìàêäîíàëä Ã.Ð.Âîòåðñ Òåîðèÿ ðèñêà Ó÷åáíûå ìàòåðèàëû Ìîñêâà 2008 1 Îãëàâëåíèå I 1 11 Ðàñïðåäåëåíèÿ óùåðáà 12 1 2 12 13 13 15 17 20 21 23 25 25 26 30 31 31 32 3 4 5 2 Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ðàñïðåäåëåíèÿ óùåðáà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Òèïè÷íûå ðàñïðåäåëåíèÿ óùåðáà . . . . . . . . . . . 2.2 Ìîìåíòû è ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ . . . . 2.3 Ñòàíäàðòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ óùåðáà . . . . . . . . . 2.4 Âëèÿíèå èíôëÿöèè íà âåëè÷èíó ñòðàõîâûõ âûïëàò . 2.5 Êðàòêîå èçëîæåíèå ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ . . . . . 2.6 Ñìåøàííûå ðàñïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . Ïîäáîð ïîäõîäÿùåãî ðàñïðåäåëåíèÿ óùåðáà . . . . . . . . . 3.1 Âûáîð ðàñïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Âûáîð çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Ïðîâåðêà êà÷åñòâà âûáðàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ . . . . Âû÷èñëåíèå ïðåìèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 ×àñòîòû èñêîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ðèñêîâûå ïðåìèè è îôèñíûå ïðåìèè . . . . . . . . . . . . . Îñíîâû òåîðèèÐàñïðåäåëåíèÿ óùåðáà 34 1 34 34 34 35 42 43 44 45 2 3 4 Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Ñòðàõîâîå ìíîæåñòâî . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ñòàòèñòè÷åñêèé ôîí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Ïðèáëèçèòåëüíàÿ îöåíêà è êðèòåðèé ñîãëàñèÿ . . . . Ôîðìóëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Âîïðîñû ñòóäåíòàì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Ïîäñêàçêè äëÿ îòâåòîâ íà âîïðîñû . . . . . . . . . . Îòâåòû íà âîïðîñû äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè . . . . . . . . . . . 2 II 3 55 Ïåðåñòðàõîâàíèå 56 1 2 56 57 57 57 59 60 63 66 67 69 72 73 3 4 4 Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Òèïû ïåðåñòðàõîâàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Ïðîïîðöèîíàëüíîå ïåðåñòðàõîâàíèå . . . . . . . . . . 2.2 Íåïðîïîðöèíàëüíîå ïåðåñòðàõîâàíèå . . . . . . . . . Ôðàíøèçû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ðàñïðåäåëåíèå íåòòî-èñêîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå . . . . . . . . . . . . . 4.2 Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå èñêîâ . . . . . . . . . . . . . 4.4 Èíôëÿöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Âû÷èñëåíèå íåïîëíûõ èíòåãðàëîâ . . . . . . . . . . . 4.6 Îöåíèâàíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Îñíîâû òåîðèèÏåðåñòðàõîâàíèå 75 1 75 75 79 79 80 81 81 2 3 Ïåðåñòðàõîâàíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Ýêñöåäåíò óáûòêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ïðîïîðöèîíàëüíîå ïåðåñòðàõîâàíèå . . . . . . . . . . 1.3 Ïîëèñû ñ ýêñöåäåíòîì óáûòêà . . . . . . . . . . . . . Âîïðîñû ñòóäåíòàì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Ïîäñêàçêè äëÿ îòâåòîâ íà âîïðîñû . . . . . . . . . . Îòâåòû íà âîïðîñû äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè . . . . . . . . . . . III 91 5 92 Ñóììàðíûå ñòðàõîâûå âûïëàòû 1 2 3 4 Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.1 Îïðåäåëåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.2 Ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ 94 2.3 Ìîìåíòû îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . 96 2.4 Ïðèìåðû îáîáùåííûõ ðàñïðåäåëåíèé . . . . . . . . . 97 Ìîäåëü èíäèâèäóàëüíîãî ðèñêà . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.1 Ïðåäïîëîæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.2 Ðàñïðåäåëåíèå ñóììàðíîãî ÷èñëà èñêîâ . . . . . . . . 104 3.3 Ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíîãî èñêà . . . 105 3.4 Ìîìåíòû âåëè÷èíû ñóììàðíîãî èñêà . . . . . . . . . 106 Ìîäåëü êîëëåêòèâíîãî ðèñêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3 5 6 6 4.1 Ïðåäïîëîæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.2 Ðàñïðåäåëåíèå îáùåãî ÷èñëà èñêîâ . . . . . . . . . . 110 4.3 Ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíîãî èñêà . . . 110 4.4 Ìîìåíòû âåëè÷èíû ñóììàðíîãî èñêà . . . . . . . . . 110 Ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû ñóììàðíîãî èñêà . . . . . . . . . . 112 5.1 Ðåêóðñèâíàÿ ôîðìóëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.2 Àïïðîêñèìàöèÿ íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì . . . . 122 5.3 Àïïðîêñèìàöèÿ ñìåùåííûì ãàììàðàñïðåäåëåíèåì 123 Ôîðìóëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Îñíîâû òåîðèèÑóììàðíûå ñòðàõîâûå âûïëàòû 1 2 3 4 5 6 7 129 Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Ìîäåëè äëÿ êðàòêîñðî÷íîãî ñòðàõîâàíèÿ . . . . . . . . . . . 130 2.1 Îñíîâíàÿ ìîäåëü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 2.2 Ðàññìîòðåíèå óïðîùåíèé â îñíîâíîé ìîäåëè . . . . . 131 2.3 Çàìå÷àíèÿ è ïðåäïîëîæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . 132 Ìîäåëü êîëëåêòèâíîãî ðèñêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 3.1 Ìîäåëü êîëëåêòèâíîãî ðèñêà . . . . . . . . . . . . . . 133 3.2 Îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà . . . . . . . . . 137 3.3 Îáîáùåííîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå . . . . . . 140 3.4 Îáîáùåííîå îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3.5 Ðàñïðåäåëåíèå ñóììàðíîãî èñêà ñîãëàñíî äîãîâîðó ïåðåñòðàõîâàíèÿ ýêñöåäåíòà óáûòêà è ïðîïîðöèîíàëüíîìó äîãîâîðó ïåðåñòðàõîâàíèÿ . . . . . . . . . 143 Òî÷íûå è ïðèáëèæåííûå âû÷èñëåíèÿ G(x) â ìîäåëè êîëëåêòèâíîãî ðèñêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.1 Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.2 Ðåêóðñèâíàÿ ôîðìóëà äëÿ G(x) . . . . . . . . . . . . 148 4.3 Àïïðîêñèìàöèÿ G(x) íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.4 Àïïðîêñèìàöèÿ G(x) ñìåùåííûì ãàììà-ðàñïðåäåëåíèåì . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Ìîäåëü èíäèâèäóàëüíîãî ðèñêà . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Ïàðàìåòð èçìåí÷èâîñòü/íåîïðåäåëåííîñòü . . . . . . . . . . 155 6.1 Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.2 Íåîïðåäåëåííîñòü â íåîäíîðîäíîì ïîðòôåëå . . . . . 155 6.3 Èçìåí÷èâîñòü â îäíîðîäíîì ïîðòôåëå . . . . . . . . 158 6.4 Èçìåí÷èâîñòü ÷èñëà èñêîâ è âåëè÷èíû èñêîâ è ïàðàìåòð íåîïðåäåëåííîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Âîïðîñû ñòóäåíòàì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4 8 7.1 Ïîäñêàçêè äëÿ îòâåòîâ íà âîïðîñû . . . . . . . . . . 166 Îòâåòû íà âîïðîñû äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè . . . . . . . . . . . 167 IV 184 7 185 Îñíîâû òåîðèèÒåîðèÿ ðàçîðåíèÿ 1 2 3 4 8 Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Ïðîöåññ ôîðìèðîâàíèÿ ôîíäà ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ . . . . 186 2.1 Âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ â íåïðåðûâíîé ìîäåëè . . . 187 2.2 Âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ â äèñêðåòíîé ìîäåëè . . . . 188 Ïóàññîíîâñêèé è îáîáùåííûé ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññû . . . 190 3.1 Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 3.2 Ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 3.3 Îáîáùåííûé ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ . . . . . . . . . 194 3.4 Òåõíè÷åñêàÿ ñòîðîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè è íåðàâåíñòâî Ëóíäáåðãà . . . . . . 197 4.1 Íåðàâåíñòâî Ëóíäáåðãà . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 4.2 Êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ 1 2 3 4 5 6 201 Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Ðàçâèòèå ñóììàðíîãî èñêà, íåïðåðûâíàÿ è äèñêðåòíàÿ ïî âðåìåíè ìîäåëè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 2.1 Ðàçâèòèå ñóììàðíîãî èñêà (íåïðåðûâíàÿ ïî âðåìåíè ìîäåëü) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 3.1 Âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ (íåïðåðûâíàÿ ìîäåëü) . . . . 204 3.2 Âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ (äèñêðåòíàÿ ìîäåëü) . . . . 204 Âçàèìîñâÿçü ìåæäó âåðîÿòíîñòÿìè ðàçîðåíèÿ . . . . . . . . 204 4.1 Âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ â êîðîòêîì ïåðèîäå . . . . . 205 Ìîäåëè Ïóàññîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 5.1 Îáîáùåííûå ïóàññîíîâñêèå ïðîöåññû . . . . . . . . . 210 5.2 Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ îáîáùåííîãî ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ äëÿ äîëãîñðî÷íîãî ïåðèîäà. . . . . 211 6.1 Êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 6.2 Ñóùåñòâîâàíèå êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè . . . . . . . 214 6.3 Âåðõíÿÿ ãðàíèöà êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè . . . . . . 215 6.4 Íåðàâåíñòâî Ëóíäáåðãà . . . . . . . . . . . . . . . . 216 5 6.5 7 8 9 Âçàèìîñâÿçü êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè è âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 6.6 Èçìåíåíèå çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ . . . . . . . . . . . . 218 6.7 Ýôôåêò ïåðåñòðàõîâàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Êðàòêîå èçëîæåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Ôîðìóëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Ïðèëîæåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 V 9 229 Áàéåñîâñêèå ìåòîäû 1 2 3 4 5 6 7 8 9 230 Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Ïîäõîäû ê ñòàòè÷åñêèì âûâîäàì . . . . . . . . . . . . . . . 231 2.1 Êëàññè÷åñêèé ïîäõîä . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 2.2 Áàéåñîâñêèé ïîäõîä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Ôîðìóëà Áàéåñà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Ïîëó÷åíèå àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . 236 4.1 Äèñêðåòíîå àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå . . . . . . . . . 236 4.2 Íåïðåðûâíîå àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå . . . . . . . . 238 4.3 Ñîïðÿæåííûå ðàñïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . 239 4.4 Íåïîäõîäÿùèå àïðèîðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ . . . . . . . 240 Ôóíêöèÿ óùåðáà è Áàéåñîâñêèå îöåíêè . . . . . . . . . . . . 243 Îöåíêà ìåòîäà Áàéåñîâñêèõ îöåíîê . . . . . . . . . . . . . . 245 Áàéåñîâñêèå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû . . . . . . . . . . . . 247 Êðàòêîå èçëîæåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Ôîðìóëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 10 Îñíîâû òåîðèèÌåòîäû Áàéåñà 1 2 3 4 5 6 251 Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Òåîðåìà Áàéåñà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Àïðèîðíûå è àïîñòåðèîðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . 252 3.1 Çàìå÷àíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 3.2 Îïðåäåëåíèå àïîñòåðèîðíîé ïëîòíîñòè . . . . . . . . 253 Ôóíêöèÿ óùåðáà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 4.1 Êâàäðàòè÷íàÿ îøèáêà óùåðáà . . . . . . . . . . . . . 255 4.2 Àáñîëþòíàÿ îøèáêà óùåðáà . . . . . . . . . . . . . . 255 4.3 Áèíàðíàÿ îøèáêà óùåðáà . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Âîïðîñû ñòóäåíòàì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 5.1 Ïîäñêàçêè äëÿ îòâåòîâ íà âîïðîñû . . . . . . . . . . 258 Îòâåòû íà âîïðîñû äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè . . . . . . . . . . . 259 6 VI 264 11 Òåîðèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ 265 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Ïðàâäîïîäîáèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 2.1 Ôàêòîðû äîâåðèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 2.2 Ïîëíîå è ÷àñòè÷íîå äîâåðèå . . . . . . . . . . . . . . 268 2.3 Öåëè ìîäåëåé ïðàâäîïîäîáèÿ . . . . . . . . . . . . . 269 Áàéåñîâñêèé ïîäõîä ê ïðèíÿòèþ ðåøåíèé . . . . . . . . . . 270 3.1 Îáùèé ñïîñîá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 3.2 Ìîäåëü Ïóàññîíîâñêîãî/Ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ . . . . 271 3.3 Ìîäåëü Íîðìàëüíîãî/Íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ . 273 Ýìïèðè÷åñêèå áàéåñîâñêèå ìîäåëè . . . . . . . . . . . . . . 275 4.1 Ýìïèðè÷åñêèé áàéåñîâñêèé ïîäõîä . . . . . . . . . . 275 4.2 Ìîäåëü 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 4.3 Ìîäåëü 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Îñíîâû òåîðèè ïðàâäîïîäîáèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 5.1 Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Òåîðèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 6.1 Ôîðìóëà ñòðàõîâîé ïðåìèè . . . . . . . . . . . . . . . 295 6.2 Êîýôôèöèåíò äîâåðèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 Áàéåñîâñêàÿ òåîðèÿ äîâåðèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 7.1 Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 7.2 Ïóàññîíîâñêàÿ/ãàììà ìîäåëü . . . . . . . . . . . . . 298 7.3 ×èñëåííûå ïðèìåðû ïóàññîíîâñêîé/ãàììàìîäåëè . 300 7.4 Íîðìàëüíàÿ/íîðìàëüíàÿ ìîäåëü . . . . . . . . . . . 302 7.5 Äàëüíåéøèå çàìå÷àíèÿ îòíîñèòåëüíî íîðìàëüíîé/íîðìàëüíîé ìîäåëè . . . . . . . . . . . . . . . . 303 7.6 Îáñóæäåíèå áàéåñîâñêîãî ïîäõîäà ê òåîðèè äîâåðèÿ 305 Ýìïèðè÷åñêàÿ òåîðèÿ äîâåðèÿ Áàéåñà: Ìîäåëü 1 . . . . . . 306 8.1 Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 8.2 Ìîäåëü 1: îïèñàíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 8.3 Ìîäåëü 1: ïîëó÷åíèå ñòðàõîâîé ïðåìèè . . . . . . . . 308 8.4 Ìîäåëü 1: îöåíêà ïàðàìåòðîâ . . . . . . . . . . . . . 313 Ýìïèðè÷åñêàÿ òåîðèÿ äîâåðèÿ Áàéåñà: Ìîäåëü 2 . . . . . . 318 9.1 Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 9.2 Ìîäåëü 2: îïèñàíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 9.3 Ìîäåëü 2: ïîëó÷åíèå ñòðàõîâîé ïðåìèè . . . . . . . . 320 9.4 Ìîäåëü 2: îöåíêà ïàðàìåòðîâ . . . . . . . . . . . . . 323 7 VII 327 12 Âðåìåííûå ðÿäû 328 1 2 3 4 5 6 7 Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 Êîìïîíåíòû àääèòèâíîãî âðåìåííîãî ðÿäà . . . . . . . . . . 329 2.1 Îïðåäåëåíèå êîìïîíåíò àääèòèâíîãî âðåìåííîãî ðÿäà329 2.2 Ñòàöèîíàðíûé âðåìåííîé ðÿä . . . . . . . . . . . . . 333 2.3 Äèôôåðåíöèðîâàíèå âðåìåííûõ ðÿäîâ . . . . . . . . 334 2.4 Àâòîêîâàðèàöèÿ è àâòîêîððåëÿöèÿ . . . . . . . . . . 335 Ïðîöåññû âðåìåííîãî ðÿäà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 3.1 Îñíîâíûå ïðîöåññû âðåìåííîãî ðÿäà . . . . . . . . . 337 3.2 Ñìåøàííûå ïðîöåññû âðåìåííîãî ðÿäà . . . . . . . . 343 Êðàòêîå èçëîæåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 Ôîðìóëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 Âîïðîñû ñòóäåíòàì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 6.1 Ïîäñêàçêè äëÿ îòâåòîâ íà âîïðîñû . . . . . . . . . . 349 Îòâåòû íà âîïðîñû äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè . . . . . . . . . . . 350 13 Îñíîâû òåîðèè. Âðåìåííûå ðÿäû 1 356 6 Âðåìåííûå ðÿäû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 1.1 Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 Ïðîñòûå îïèñàòåëüíûå ñïîñîáû . . . . . . . . . . . . . . . . 358 Ïðîöåññû âðåìåííîãî ðÿäà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 Àâòîðåãðåññèâíûé ïðîöåññ (ÀÐ), ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî (ÑÑ) è àâòîðåãðåññèâíûé ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî (ÀÐÑÑ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 4.1 Àâòîðåãðåññèâíûé ïðîöåññ (ÀÐ) . . . . . . . . . . . . 360 4.2 Ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî (ÑÑ) . . . . . . . . . . 360 4.3 Àâòîðåãðåññèâíûé ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî (ÀÐÑÑ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 Äèôôåðåíöèðîâàíèå äàííûõ âðåìåííûõ ðÿäîâ è ÀÐÈÑÑ ïðîöåññû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 Íàõîæäåíèå àâòîêîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè: ïðèìåð . . . . . 362 VIII 365 2 3 4 5 14 Òðåóãîëüíèêè ðàçâèòèÿ 1 2 366 Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 Ïðîöåññ ðàñ÷åòà èñêîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 2.1 Òèïû ðåçåðâîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 8 3 4 5 6 2.2 Òàáëèöû òðåóãîëüíèêîâ ðàçâèòèÿ . . . . . . . . . . . 368 2.3 Êîýôôèöèåíòû ðàçâèòèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . 369 2.4 Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü äëÿ òðåóãîëüíèêîâ ðàçâèòèÿ 370 Ìåòîäû ïëàíèðîâàíèÿ èñêîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 3.1 Îñíîâíîé öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä . . . . . . . . . 371 3.2 Îñíîâíîé öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä ñ ïîïðàâêîé íà èíôëÿöèþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 3.3 Ïîïðàâêà äëÿ âñïîìîãàòåëüíûõ ïåðåìåííûõ . . . . . 380 3.4 Ìåòîä èíòåðâàëîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 Êðàòêîå èçëîæåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 Ôîðìóëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 Îòâåòû íà âîïðîñû äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè . . . . . . . . . . . 392 15 Îñíîâû òåîðèèÒðåóãîëüíèêè Ðàçâèòèÿ 1 2 3 4 Èñõîäíûå äàííûå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 1.1 Èñòîêè òðåóãîëüíèêîâ ðàçâèòèÿ . . . . . . . . . . . . 397 1.2 Ïðåäñòàâëåíèå èíôîðìàöèè ïî èñêàì . . . . . . . . . 397 Ïðîãíîçèðîâàíèå ñ ïîìîùüþ êîýôôèöèåíòîâ ðàçâèòèÿ . . . 399 2.1 Ïðèíöèï ðàçâèòèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 2.2 Òåõíèêà öåïî÷íî-ëåñòíè÷íîãî ìåòîäà . . . . . . . . . 400 2.3 Ìîäåëü ïðîâåðêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 2.4 Äðóãèå ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçâèòèÿ 403 2.5 Îáñóæäåíèå ïðåäïîëîæåíèé, ëåæàùèõ â îñíîâå öåïî÷íî-ëåñòíè÷íîãî ìåòîäà . . . . . . . . . . . . . . 404 Ïîïðàâêà íà èíôëÿöèþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 3.1 Öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä ñ ïîïðàâêîé íà èíôëÿöèþ404 Òåõíèêà ìåòîäà èíòåðâàëîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 IX 415 16 NCD ÑÈÑÒÅÌÛ 1 2 3 4 397 416 Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 Êàê èñïîëüçóþò NCD ñèñòåìû . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 2.1 NCD ïðàâèëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 Èñêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 3.1 ×àñòîòà èñêîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 3.2 Ðåøåíèå, ïîäàâàòü ëè èñê . . . . . . . . . . . . . . . 419 NCD ïðîãíîçèðîâàíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 4.1 Âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 9 4.2 5 6 Ïðîãíîçèðîâàíèå ïðè êîíå÷íîì ãîðèçîíòå ïðîãíîçèðîâàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 4.3 Ïðîãíîçèðîâàíèå ïðè áåñêîíå÷íîì ãîðèçîíòå ïðîãíîçèðîâàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 Êðàòêîå èçëîæåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 Ôîðìóëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 17 Îñíîâû òåîðèèNCD 1 2 3 4 5 6 425 NCD(ñêèäêè íà îòñóòñòâèå èñêîâ) ñèñòåìû . . . . . . . . . . 425 1.1 Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 Îïðåäåëåíèå NCD ñèñòåìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 2.1 Êàòåãîðèè ñêèäîê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 2.2 Ìàòðèöà ïåðåõîäîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 2.3 Ðàñïðåäåëåíèå çàñòðàõîâàííûõ ëèö . . . . . . . . . . 427 Àíàëèç óñòîé÷èâîãî ñîñòîÿíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 3.1 Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå . . . . . . . . . . . . . . 428 3.2 Íåîäíîðîäíîñòü ïîðòôåëÿ . . . . . . . . . . . . . . . 428 Âëèÿíèå NCD ñèñòåì íà ïðåäðàñïîëîæåííîñòü ê ïîäà÷å èñêà430 4.1 Ïåðåñìîòð âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà . . . . . . . . . . . 430 4.2 Ðàñ÷åò âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà . . . . . . . . . . . . . 431 Âîïðîñû ñòóäåíòàì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 5.1 Ïîäñêàçêè äëÿ îòâåòîâ íà âîïðîñû . . . . . . . . . . 434 Îòâåòû íà âîïðîñû äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè . . . . . . . . . . . 435 10 ×àñòü I 11 Ãëàâà 1 Ðàñïðåäåëåíèÿ óùåðáà Öåëè ãëàâû Ê êîíöó äàííîé ãëàâû âû áóäåòå óìåòü: • îïèñûâàòü è èñïîëüçîâàòü ïðîñòûå ôóíêöèè óùåðáà • îïèñûâàòü è ïðèìåíÿòü ñâîéñòâà ñòàíäàðòíûõ ôóíêöèé ïîòåðü 1 Ââåäåíèå Êîìïàíèÿì, çàíèìàþùèìñÿ îáùèìè âèäàìè ñòðàõîâàíèÿ, íåîáõîäèìî èññëåäîâàòü îïûò ñòðàõîâûõ âîçìåùåíèé è ïðèìåíÿòü ìàòåìàòè÷åñêèå ñðåäñòâà äëÿ ðàçëè÷íûõ öåëåé, âêëþ÷àþùèõ â ñåáÿ: • îïðåäåëåíèå ñòàâêè ñòðàõîâîãî âçíîñà (ò.å. ðåøåíèå êàêîé èìåííî ðàçìåð ïðåìèè íåîáõîäèìî âçèìàòü ñ âëàäåëüöåâ ñòðàõîâîãî ïîëèñà) • ðåçåðâèðîâàíèå (ò.å îïðåäåëåíèå âåëè÷èíû ñðåäñòâ, êîòîðûå äîëæíû áûòü ñîõðàíåíû äëÿ ïîêðûòèÿ ñòðàõîâûõ èñêîâ) • ïåðåñìîòð äîãîâîðîâ ïåðåñòðàõîâàíèÿ • ïðîâåðêó ïëàòåæåñïîñîáíîñòè (ò.å. îïðåäåëåíèå ôèíàíñîâîãî ïîëîæåíèå êîìïàíèè) Â äàííîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì ðàñïðåäåëåíèÿ óùåðáà, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì ìåòîäîì ìîäåëèðîâàíèÿ èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ. Áóäóò ââåäåíû íåñêîëüêî íîâûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ðàñïðåäåëåíèé, è ìû óâèäèì êàêèì îáðàçîì îíè ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû äëÿ ïîíèìàíèÿ èìåþùèõñÿ äàííûõ îá èñêàõ. Çàòåì ñîîòâåòñòâóþùèå ðàñïðåäåëåíèÿ áóäóò 12 áóäóò èñïîëüçîâàíû äëÿ îöåíêè âåðîÿòíîñòåé è äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåìèé çà îáùèå âèäû ñòðàõîâàíèÿ. Òåîðèþ, ðàçðàáîòàííóþ çäåñü, ìû èñïîëüçóåì â ñëåäóþùåé ãëàâå ïðè ðàññìîòðåíèè ýôôåêòîâ îò ïðèìåíåíèÿ ïåðåñòðàõîâàíèÿ è ïîëèñîâ ïðåâûøåíèÿ óùåðáà, à òàêæå â ãëàâå 3 (êîëëåêòèâíûå èñêè). Ïðàêòè÷åñêèå àñïåêòû óñòàíîâêè ðàçìåðîâ ïðåìèè çà îáùèå âèäû ñòðàõîâàíèÿ ðàññìîòðåíû â ðàçäåëå G Êðàòêèé êîíñïåêò ãëàâû íà÷èíàåòñÿ ñ ââåäåíèÿ òåðìèíîëîãèè, èñïîëüçóåìîé ïðè ðàññìîòðåíèè ðàñïðåäåëåíèé äëÿ äîëãîñðî÷íîãî ñòðàõîâàíèÿ. Çàòåì ñàìè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ áîëåå ïîäðîáíî. Äàëåå ñëåäóåò ðàçäåë, ïîñâÿùåííûé êîìïîçèöèÿì ðàñïðåäåëåíèé. Çàìåòèì, ÷òî îáîçíà÷åíèÿ, èñïîëüçóåìûå â êðàòêîì êîíñïåêòå ñëåãêà îòëè÷àþòñÿ îò èñïîëüçóåìûõ â îñòàëüíîé ÷àñòè êóðñà. Ýêçàìåíàöèîííûå âîïðîñû ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â ðàçëè÷íîì âèäå. Òåì íå ìåíåå, ýêçàìåíàòîðû òî÷íî îáúÿñíÿþò ñâîè îáîçíà÷åíèÿ. 2 Ðàñïðåäåëåíèÿ óùåðáà 2.1 Òèïè÷íûå ðàñïðåäåëåíèÿ óùåðáà Èíäèâèäóàëüíûå ïîòåðè Ïðè îáùåì ñòðàõîâàíèè èñêè îáû÷íî óäîâëåòâîðÿþòñÿ ïî ïðèíöèïó âîçìåùåíèÿ óùåðáà, ò.å. ðàçìåð âûïëàòû ðàâåí ñóììå, íåîáõîäèìîé äëÿ çàìåíû óòðà÷åííîãî èëè âîññòàíîâëåíèÿ ïîâðåæäåííîãî èìóùåñòâà. Òàêèì îáðàçîì âåëè÷èíà ñòðàõîâîãî âîçìåùåíèÿ áóäåò èçìåíÿòüñÿ îò èñêà ê èñêó â çàâèñèìîñòè îò ïðèðîäû è ñåðüåçíîñòè ïðè÷èíåííîãî óùåðáà. Èñêè ïî îáùèì âèäàì ñòðàõîâàíèÿ èçó÷àþòñÿ ïóòåì ïîñòðîåíèÿ ãèñòîãðàììû. Íàïðèìåð, íèæå ïðåäñòàâëåíà ãèñòîãðàììà, ïîêàçûâàþùàÿ êîëè÷åñòâî èñêîâ îïðåäåë¼ííîé âåëè÷èíû â òèïè÷íîì ïîðòôåëå, âêëþ÷àþùåì â ñåáÿ ñòðàõîâàíèå àâòîòðàíñïîðòà. 13 500 6 400 300 200 100 - 0 1000 2000 3000 4000 5000 Îñíîâíàÿ ÷àñòü âûïëàò ïðèõîäèòñÿ íà îòíîñèòåëüíî íåáîëüøèå ñóììû, íàïðèìåð ïîìÿòûå êðûëüÿ èëè óêðàäåííûå àâòîìàãíèòîëû. Â òî æå âðåìÿ èíîãäà ïðèñóòñòâóþò è çíà÷èòåëüíî áîëüøèå âûïëàòû, íàïðèìåð êîìïåíñàöèè ëþäÿì, êîòîðûå áûëè òðàâìèðîâàíû. Âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ ìîãóò áûòü îïèñàíû ìàòåìàòè÷åñêè ïóòåì ðàññìîòðåíèÿ ÷àñòîò âûïëàò òîãî èëè èíîãî ðàçìåðà. Ýòî îïðåäåëÿåò ðàñïðåäåëåíèå óùåðáà, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíîãî èñêà. Ðàñïðåäåëåíèå óùåðáà èìååò îáû÷íûå ñâîéñòâà ôóíêöèè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ, ò.å. èíòåãðàë ïî îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ðàâåí 1 è âåðîÿòíîñòè ìîãóò áûòü íàéäåíû ïóòåì èíòåãðèðîâàíèÿ. Íàïðèìåð, ðàñïðåäåëåíèå óùåðáà, îïðåäåëåííîå ôóíêöèåé, ïðåäñòàâëåííîé íà ãðàôèêå íèæå, ìîæåò ÿâëÿòüñÿ õîðîøåé ìîäåëüþ äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èñêîâ ïî àâòîñòðàõîâàíèþ, êîòîðîå ïîêàçàíî íà ãðàôèêå âûøå. 0.0005 6 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 0 - 1000 2000 3000 4000 14 5000 Îáû÷íî, ðàñïðåäåëåíèÿ óùåðáà èìåþò ïîëîæèòåëüíóþ àñèììåòðèþ. Íàèáîëüøåå ÷èñëî èñêîâ ïðèõîäèòñÿ íà öåíòðàëüíóþ ÷àñòü, íî â òî æå âðåìÿ ïðèñóòñòâóåò íåáîëüøîå ÷èñëî ãîðàçäî áîëåå çíà÷èòåëüíûõ èñêîâ âûòÿãèâàþùèõ 'õâîñò' ðàñïðåäåëåíèÿ. Àãðåãèðîâàííûå ïîòåðè Ìû òàêæå çàèíòåðåñóåìñÿ àãðåãèðîâàííûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè óùåðáà (ò.å. ñóììàðíîé âåëè÷èíîé èñêîâ). Íàïðèìåð, íà ãðàôèêå íèæå ïîêàçàíà ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé äëÿ àãðåãèðîâàííûõ èñêîâ â êàæäîì ìåñÿöå äëÿ ñòðàõîâîãî ïîðòôåëÿ, ðàññìîòðåííîãî âûøå. 0.5 6 0.4 0.3 0.2 0.1 4 6 8 10 - 0 2 2.2 Ìîìåíòû è ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ Åñëè ìû ðàññìàòðèâàåì êîíêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå óùåðáà, òî ìîæíî âû÷èñëèòü ìîìåíòû âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíîãî èñêà, à òàêæå çíà÷åíèå äèñïåðñèè. Îäíèì èç ñïîñîáîâ ñäåëàòü ýòî ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ. Ï ð è ì å ð 1.1 Âåëè÷èíà èíäèâèäóàëüíîãî èñêà ìîäåëèðóåòñÿ óñå÷åííûì ýêñïîíåíöèàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì ñ ïëîòíîñòüþ ðàâíîé: fX (x) = λe−λ(x−M ) , X > M Íàéòè ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ ìîìåíòîâ è âûâåñòè èç íå¼ ôîðìóëû äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíîãî èñêà. Ð å ø å í è å Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ïî îïðåäåëåíèþ åñòü: tX MX (t) = E(e Z∞ )= tX e λe −λ(x−M ) M λM Z∞ dx = λe M 15 e−(λ−t)x dx Âû÷èñëÿÿ èíòåãðàë (ïðè t < λ), èìååì: " MX (t) = λeλM e−(λ−t)x −(λ − t) #∞ " = λeλM M e−(λ−t)M 0+ λ−t # = λ tM e λ−t Â äàííîì ñëó÷àå íàèáîëåå ïðîñòûì ñïîñîáîì âû÷èñëåíèÿ ìîìåíòîâ ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè â âèäå ðÿäà, à çàòåì èñïîëüçîâàíèå å¼ ñâîéñòâ: MX (t) = t 1− λ −1 tM e = t t2 1 + + 2 + ··· λ λ t2 M 2 1 + tM + + ··· 2 Ò.å. 1 + tE(X) + t2 E(X 2 ) + . . . = 1 + t 2 1 +M λ + t2 1 M M2 + + λ2 λ 2 + ··· 2 Ñðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè t è t , íàõîäèì, ÷òî: 1 +M λ E(X) = è 1 M M2 1 E(X 2 ) = 2 + + ⇒ E(X 2 ) = 2 2 λ λ 2 1 M M2 + + λ2 λ 2 Òàêèì îáðàçîì, äèñïåðñèÿ ðàâíà: 2 2 V ar(X) = E(X ) − [E(X)] = 2 2M + + M2 2 λ λ − 1 2M + + M2 2 λ λ = 1 λ2 (Òàêæå ýòè ôîðìóëû ìîæíî áûëî ïîëó÷àòü èíà÷å, äèôôåðåíöèðóÿ ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ ìîìåíòîâ è ïîëàãàÿ t = 0) Â ñëó÷àå ðàñïðåäåëåíèé, íå èìåþùèõ ïðîñòîãî âûðàæåíèÿ äëÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè, ìîìåíòû íóæíî íàõîäèòü ïóòåì èíòåãðèðîâàíèÿ èëè ïðè ïîìîùè òàáëèö. Ï ð è ì å ð 1.2 Ðàçìåð èíäèâèäóàëüíîãî èñêà èìååò ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ " 1 √ 1 fX (x) = exp − 2 xσ 2π log x − µ σ 2 # , x>0 Íàéòè ñðåäíþþ âåëè÷èíó èñêà. Ðåøåíèå Ñðåäíÿÿ âåëè÷èíà èñêà ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X è îïðåäåëÿåòñÿ êàê: Z∞ E(X) = 1 √ " 1 x exp − 2 xσ 2π 0 16 log x − µ σ 2 # dx Èñïîëüçîâàíèå ïîäñòàíîâêè z = log x−µ dx µ+σz ) ïðèâîäèò (îòêóäà dz = σ xσ è x = e ê ñëåäóþùåìó âûðàæåíèþ: Z∞ E(X) = −∞ 1 2 1 eµ+σz √ e− 2 z dz 2π Ìû ìîæåì âû÷èñëèòü ýòîò èíòåãðàë, âûäåëÿÿ ïîëíûé êâàäðàò: Z∞ E(X) = −∞ 1 2 1 2 1 2 1 2 e √ e− 2 (z −2σz+σ )+ 2 σ dz = eµ+ 2 σ 2π µ Z∞ −∞ 1 1 2 √ e− 2 (z−σ) dz 2π Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èìåþùåé íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå N (σ, 1). Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåäíèé èíòåãðàë ðàâåí 1, è ìû ïîëó÷àåì, ÷òî: 1 E(X) = eµ+ 2 σ 2 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 1.1. Âûâåñòè ôîðìóëó äëÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò ðàñïðåäåëåíèå ëîããàììà ñ ïàðàìåòðàìè α è λ, åñëè log X èìååò ðàñïðåäåëåíèå Γ(α, λ). Âûâåñòè ôîðìóëó äëÿ ñðåäíåé âåëè÷èíû èñêà, åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èíäèâèäóàëüíîãî èñêà èìååò ðàñïðåäåëåíèå LogGamma(α, λ) Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 1.2. 2.3 Ñòàíäàðòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ óùåðáà Ìû óæå âñòðå÷àëèñü ñ íåêîòîðûìè ñòàíäàðòíûìè ñòàòèñòè÷åñêèìè ðàñïðåäåëåíèÿìè, êîòîðûå ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ èñêîâ. Íàïðèìåð, ãàììà è ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèÿ âåñüìà ÷àñòî îêàçûâàþòñÿ ïîäõîäÿùèìè. Èíîãäà è áîëåå ïðîñòûå ðàñïðåäåëåíèÿ, òàêèå êàê ýêñïîíåíöèàëüíîå (êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ãàììà ðàñïðåäåëåíèÿ) èëè íîðìàëüíîå ìîãóò îêàçàòüñÿ âïîëíå ïîäõîäÿùèìè. Ñòàòèñòèêàìè áûëè ïðåäëîæåíû íåñêîëüêî âèäîâ ðàñïðåäåëåíèé, ÿâëÿþùèõñÿ íàèáîëåå ïîäõîäÿùèìè äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ îòäåëüíûõ òèïîâ óùåðáà ïðè îáùåì ñòðàõîâàíèè. Òðè èç ýòèõ òèïîâ ðàñïðåäåëåíèé êðàòêî îïèñàíû íèæå. Îíè âêëþ÷åíû â ñïðàâî÷íûå òàáëèöû â Ïðèëîæåíèè. Ïðîñòîå âûðàæåíèå äëÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ ýòèõ ðàñïðåäåëåíèé îòñóòñòâóåò. 1. Ðàñïðåäåëåíèå Ïàðåòî1 Ðàñïðåäåëåíèå Ïàðåòî ïðåäñòàâëåíî â äâóõ ôîðìàõ: 1 Âèëôðåäî Ïàðåòî (1848-1923) áûë èòàëüÿíñêèì ýêîíîìèñòîì è ñîöèîëîãîì 17 • Ðàñïðåäåëåíèå Ïàðåòî (äâóõïàðàìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà) Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò ñëåäóþùèé âèä: fX (x) = αλα (λ + x)α+1 • Îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïàðåòî (òðåõïàðàìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà) Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò ñëåäóþùèé âèä: fX (x) = Γ(α + k)λα xk−1 , x>0 Γ(α)Γ(k)(λ + x)α+k Äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî ïðè k = 1. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 1.3. Ïðîâåðèòü ôîðìóëó äëÿ ìàòå- ìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî, ïðåäñòàâëåííóþ â "Òàáëèöàõ". Äëÿ êàêèõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ âåðíà äàííàÿ ôîðìóëà? 2. Ðàñïðåäåëåíèå Áóððà2 Ðàñïðåäåëåíèå Áóððà ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì äâóõïàðàìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî, â êîòîðîì ïåðåìåííàÿ x çàìåíåíà íà xγ . Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò ñëåäóþùèé âèä: αγλα xγ−1 , x>0 fX (x) = (λ + xγ )α+1 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 1.4. Ïðîâåðèòü, ÷òî ôîðìóëà äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Áóððà, ïðèâåäåííàÿ â "Òàáëèöàõ ñâîäèòñÿ ê ôîðìóëå äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî ïðè γ = 1 3. Ðàñïðåäåëåíèå Âåéáóëëà Ðàñïðåäåëåíèå Âåéáóëëà ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, â êîòîðîì ïåðåìåííàÿ x çàìåíåíà xγ . Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò ñëåäóþùèé âèä: γ fX (x) = cγxγ−1 e−cx , x > 0 2 Áóðð ïðåäëîæèë ýòî ðàñïðåäåëåíèå â 1942ã. 18 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 1.5. Âûâåñòè ôîðìóëó äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 1.6. Ïðîâåðèòü, ÷òî ôîðìóëà äëÿ äèñïåðñèè ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà, ïðèâåäåííàÿ â "Òàáëèöàõ ñâîäèòñÿ ê ôîðìóëå äëÿ äèñïåðñèè ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè γ = 1. Ôóíêöèè ïëîòíîñòè äâóõïàðàìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî, ðàñïðåäåëåíèÿ Áóððà è ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà ìîãóò áûòü ïðîèíòåãðèðîâàíû. Òàêèì îáðàçîì ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ èìåþò ïðîñòîé âèä è âåðîÿòíîñòè ìîãóò áûòü ëåãêî íàéäåíû. Ï ð è ì å ð 1.3 Íàéòè ôîðìóëó äëÿ ìåäèàíû äâóõïàðàìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî. Íà÷åðòèòå ãðàôèê ìåäèàíû è ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ êàê ôóíêöèé ïàðàìåòðà α è ïðîêîììåíòèðóéòå åãî. Ð å ø å í è å Ïî îïðåäåëåíèþ, ìåäèàíîé m ÿâëÿåòñÿ òî÷êà, â êîòîðîé P (X ⩽ m) = 12 . Ïîëàãàÿ α > 1, áóäåì èìåòü: 1 = 2 Zm α −α−1 αλ (λ + x) 0 m 1 dx = −λ =1− (λ + x)α 0 α λ λ+m α Äàííàÿ ôîðìóëà ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíà â ñëåäóþùåì âèäå: √ α m = λ( 2 − 1) Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàâíî: µ= λ α−1 Ãðàôèêè äëÿ m/λ (íèæíèé ãðàôèê) è µ/λ (âåðõíèé ãðàôèê) äëÿ çíà÷åíèé α > 1 ïîêàçûâàþò, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âñåãäà áîëüøå ìåäèàíû, ò.å. ðàñïðåäåëåíèå Ïàðåòî âñåãäà èìååò ïîëîæèòåëüíóþ àñèììåòðèþ. 19 2 6 1 0 1 2 3 4 5 - Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 1.7. Âû÷èñëèòü äîëþ èñêîâ â ðàçìåðå îò 2500 äî 5000, åñëè âåëè÷èíà èíäèâèäóàëüíîãî èñêà ïîä÷èíÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèþ Âåéáóëëà ñ ïàðàìåòðàìè c = 0.00001, γ = 1.5 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 1.8. Âû÷èñëèòü äîëþ èñêîâ ïðåâûøà- þùèõ 300000, åñëè âåëè÷èíà èíäèâèäóàëüíîãî èñêà (èçìåðåííàÿ â òûñÿ÷àõ) ïîä÷èíÿåòñÿ îáîáùåííîìó ðàñïðåäåëåíèþ Ïàðåòî ñ ïàðàìåòðàìè α = 5, λ = 200, k = 2 2.4 Âëèÿíèå èíôëÿöèè íà âåëè÷èíó ñòðàõîâûõ âûïëàò Ïóñòü äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ âîçìîæíûõ èñêîâ, âõîäÿùèõ â ñîñòàâ ñòðàõîâîãî ïîðòôåëÿ, èñïîëüçóåòñÿ ãàììà ðàñïðåäåëåíèå. Êàêîå âëèÿíèå îêàçûâàåò èíôëÿöèÿ íà íà ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíîãî ðèñêà? Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èíäèâèäóàëüíîãî èñêà â ãîäó 0 ïîä÷èíÿåòñÿ ãàììà ðàñïðåäåëåíèþ Γ(α, λ). Ïóñòü èíôëÿöèÿ ñîñòàâëÿåò 10% â ãîä, òîãäà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èñêà â ãîäó 1 áóäåò ðàâíà Y = 1.1X . Ìû ìîæåì âû÷èñëèòü ôóíêöèþ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïóòåì ïðåîáðàçîâàíèÿ èíòåãðàëà. Èñïîëüçóÿ çàìåíó ïåðåìåííûõ y = 1.1x, áóäåì èìåòü: Z∞ 1 α α−1 λx λ x e dx = Γ(α) Z∞ 1 α y α−1 −λy/1.1 dy λ e = Γ(α) 1.1 1.1 0 0 Z∞ = (λ/1.1)α α−1 − λ y y e 1.1 dy Γ(α) 0 20 Ñãðóïïèðîâàâ ÷ëåíû â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè, ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî îíî ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåé ãàììà ðàñïðåäåëåíèþ Γ(α, λ/1.1), ñëåäîâàòåëüíî, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y èìååò ýòî ðàñïðåäåëåíèå. Çàìåòèì, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ãàììà ðàñïðåäåëåíèÿ Γ(α, λ/1.1) ðàâíî 1.1α , ñëåäîâàòåëüíî, ñðåäíÿÿ âåëè÷èíà λ èñêà óâåëè÷èòñÿ íà 10%, êàê è îæèäàëîñü. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 1.9. Íàñêîëüêî âîçðàñòåò äèñïåðñèÿ âå- ëè÷èíû èíäèâèäóàëüíîãî èñêà? Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 1.10. Ïóñòü âåëè÷èíà èíäèâèäóàëüíîãî èñêà ïîä÷èíÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèþ Ïàðåòî P areto(α, λ). Êàêîìó ðàñïðåäåëåíèþ áóäåò ïîä÷èíÿòüñÿ âåëè÷èíà èíäèâèäóàëüíîãî èñêà, åñëè èíôëÿöèÿ ñîñòàâèëà 100k%? 2.5 Êðàòêîå èçëîæåíèå ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ Âû äîëæíû óìåòü âû÷èñëÿòü âåðîÿòíîñòè è íàõîäèòü ôîðìóëû äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè äëÿ âñåõ ñòàíäàðòíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ óùåðáà. Òàêæå âàì íåîáõîäèìî óìåòü íàõîäèòü ôîðìóëû äëÿ ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé íåêîòîðûõ ðàñïðåäåëåíèé. Åñëè íàõîæäåíèå íåêîòîðûõ èç íèõ âûçûâàåò ó âàñ ïðîáëåìû, òî íèæå ïðèâåäåí ñïèñîê ðåçóëüòàòîâ, êîòîðûå âû äîëæíû óìåòü äîêàçûâàòü, ñ ðåêîìåíäàöèÿìè î òîì, êàêèì ñïîñîáîì ìîæíî ýòî ñäåëàòü. Âû íå äîëæíû çàó÷èâàòü ñîäåðæèìîå ýòîé òàáëèöû íàèçóñòü. Ãîðàçäî âàæíåå ïîíèìàíèå èñïîëüçóåìûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ, òàê ÷òî âû ñìîæåòå èñïîëüçîâàòü èõ ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíûõ çàäà÷, ïðåäëîæåííûõ íà ýêçàìåíå. Ðàñïðåäåëåíèå Âåëè÷èíà Γ(α, λ) Âåðîÿòíîñòè Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ Exp(λ) Âåðîÿòíîñòè Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ Èñïîëüçîâàòü ðàñïðåäåëåíèå χ2 Ïðèâåñòè èíòåãðàë ê âèäó ãàììà ðàñïðåäåëåíèÿ Γ(α, λ − t) Èñïîëüçîâàòü ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ ìîìåíòîâ èëè... Ïðèâåñòè èíòåãðàë ê âèäó ãàììà ðàñïðåäåëåíèÿ Ïðÿìîå èíòåãðèðîâàíèå Òàê æå êàê è âåðîÿòíîñòè 21 Ðàñïðåäåëåíèå Âåëè÷èíà Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ P areto(α, λ) Âåðîÿòíîñòè Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ Îáîáùåííîå P areto(α, λ, k) N (µ, σ 2 ) LogN (µ, σ 2 ) Âåðîÿòíîñòè Ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ Ïðèâåñòè èíòåãðàë ê âèäó ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Exp(λ − t) Ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî ÷àñòÿì èëè ïðåäñòàâèòü ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ ìîìåíòîâ â âèäå ðÿäà Âûïîëíèòü çàìåíó u = λ + x Òàê æå êàê è âåðîÿòíîñòè Âûïîëíèòü çàìåíó u = λ + x, èëè èíòåãðèðîâàòü ïî ÷àñòÿì, èëè ïðåäñòàâèòü x â ÷èñëèòåëå êàê (λ + x) − λ è âû÷èñëèòü äâà ïîëó÷èâøèõñÿ èíòåãðàëà Âûïîëíèòü çàìåíó u = λ + x (ïîäõîäèò òîëüêî â ñëó÷àå "õîðîøèõ"çíà÷åíèé k ) Òàê æå êàê è âåðîÿòíîñòè Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ìàòåìàòè÷åñêîå Ïðèâåñòè èíòåãðàë ê âèäó îáîáîæèäàíèå è ùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî äèñïåðñèÿ ñ ïàðàìåòðàìè α − 1, λ, k + 1 (äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ) ëèáî α − 2, λ, k + 2 (äëÿ âû÷èñëåíèÿ äèñïåðñèè) Âåðîÿòíîñòè Èñïîëüçîâàòü òàáëèöû , à Ïðîèçâîäÿùàÿ Âûïîëíèòü çàìåíó z = x−µ σ ôóíêöèÿ ìî- çàòåì âûäåëèòü ïîëíûé êâàäðàò ìåíòîâ ïîä çíàêîì èíòåãðàëà Âåðîÿòíîñòè Èñïîëüçîâàòü ñîîòâåòñòâóþùåå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Íàïðèìåð, P (X > k) = P (N (µ, σ 2 ) > log k) Ìàòåìàòè÷åñêîå Èñïîëüçîâàòü ïðîèçâîäÿùóþ îæèäàíèå è ôóíêöèþ ìîìåíòîâ ñîîòâåòñòâóäèñïåðñèÿ þùåãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èëè âûïîëíèòü çàìåíó z = log σx−µ è ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî ÷àñòÿì 22 Ðàñïðåäåëåíèå Âåëè÷èíà W eibull(c, γ) Âåðîÿòíîñòè Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ Burr(α, λ, γ) Âåðîÿòíîñòè Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ 2.6 Ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ Âûïîëíèòü çàìåíó u = cxγ Òàê æå êàê è âåðîÿòíîñòè Âûïîëíèòü çàìåíó u = cxγ è ïðèâåñòè êîíå÷íûé èíòåãðàë ê âèäó ãàììà ðàñïðåäåëåíèÿ Âûïîëíèòü çàìåíó u = λ + xγ Òàê æå êàê è âåðîÿòíîñòè Âûïîëíèòü çàìåíó u = λ + xγ è ïðèâåñòè êîíå÷íûé èíòåãðàë ê âèäó ãàììà ðàñïðåäåëåíèÿ Ñìåøàííûå ðàñïðåäåëåíèÿ Äî íàñòîÿùåãî ìîìåíòà ìû ïîäðàçóìåâàëè, ÷òî âñå âîçìîæíûå èñêè èç ñòðàõîâîãî ïîðòôåëÿ áóäóò èìåòü îäíî è òî æå ðàñïðåäåëåíèå, êîòîðîå õàðàêòåðèçóåòñÿ îäíèì (âîçìîæíî íåèçâåñòíûì) íàáîðîì ïàðàìåòðîâ. Ýòî ïðåäïîëîæåíèå íåðåàëèñòè÷íî â òîì ñìûñëå, ÷òî ðàçëè÷íûå âèäû ñòðàõîâûõ ïîëèñîâ ìîãóò âåñòè ê èñêàì, âåëè÷èíû êîòîðûõ ïîä÷èíÿþòñÿ ðàçëè÷íûì ðàñïðåäåëåíèÿì. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïîðòôåëü, âêëþ÷àþùèé â ñåáÿ ïîëèñû ñòðàõîâàíèÿ àâòîòðàíñïîðòà. Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ðàçìåð âîçìîæíîãî èñêà ïî êàæäîìó ïîëèñó èìååò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Áîëåå ðåàëèñòè÷íûì ïðåäïîëîæåíèåì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ïàðàìåòð ýòîãî ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íå ôèêñèðîâàí è áóäåò èçìåíÿòüñÿ îò ïîëèñà ê ïîëèñó. Â ýòîì ñëó÷àå ñóììàðíîå ðàñïðåäåëåíèå óùåðáà áóäåò ÿâëÿòüñÿ ñìåñüþ óùåðáà èç áîëüøîãî äèàïàçîíà ðàçëè÷íûõ ýêñïîíåíöèàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé, êàæäîå èç êîòîðûõ ñî ñâîèì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ïàðàìåòðà. Âîçíèêàåò âîïðîñ: êàêîâî ñóììàðíîå ðàñïðåäåëåíèå óùåðáà îò ñòðàõîâîãî ïîðòôåëÿ? Îòâåò íà íåãî áóäåò çàâèñåòü îò òîãî, êàêèì îáðàçîì ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà ðàñïðåäåëåíû ñðåäè âëàäåëüöåâ ïîëèñîâ. Âìåñòî ðàññìîòðåíèÿ λ â êà÷åñòâå ôèêñèðîâàííîãî ïàðàìåòðà, íàì òåïåðü íåîáõîäèìà ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèé λ ïî âñåìó ñòðàõîâîìó ïîðòôåëþ. Ïóñòü λi ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ i-ãî âëàäåëüöà ïîëèñà, è ñóììàðíîå ðàñïðåäåëåíèå λi ÿâëÿåòñÿ ãàììà ðàñïðåäåëåíèåì Γ(α, σ). Ìîæåì ëè ìû íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ñóììàðíûõ ïîòåðü? 23 Ìû çíàåì, ÷òî óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå X|λ ÿâëÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíûì Exp(λ) è ÷òî λ èìååò ãàììà ðàñïðåäåëåíèå Γ(α, σ). Âçâåøèâàÿ èíäèâèäóàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè ïëîòíîñòè çíà÷åíèé ïàðàìåòðà, ïîëó÷èì ñëåäóþùåå áåçóñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå: Z∞ P (X = x) = fX|λ (x)fλ (λ)dλ 0 Íàéäåì áåçóñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå, 'èñêëþ÷àÿ èíòåãðèðîâàíèåì' ïàðàìåòð λ. Èìååì: Z∞ P (X = x) = λe−λx 1 α α−1 −δλ δ λ e dλ Γ(α) 0 Ïðèâîäÿ èíòåãðàë ê âèäó ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ãàììà ðàñïðåäåëåíèÿ Γ(α + 1, δ + x), áóäåì èìåòü: Γ(α + 1)δ α P (X = x) = Γ(α)(δ + x)α+1 Z∞ 1 (δ + x)α+1 λα e−(δ+x)λ dλ Γ(α + 1) 0 Íî èíòåãðàë ïðîñòî ðàâåí 1, òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåì, ÷òî: P (X = x) = αδ α , x>0 (δ + x)α+1 Ìû ïîëó÷èëè ôóíêöèþ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ P areto(α, δ). Òàêèì îáðàçîì ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî êîãäà ýêñïîíåíöèàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ óùåðáà ñìåøèâàþòñÿ ïðè ïîìîùè ãàììà ðàñïðåäåëåíèÿ, òî èòîãîâûì ðàñïðåäåëåíèåì áóäåò ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî P areto(α, δ). Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 1.11. Åæåãîäíîå êîëè÷åñòâî èñêîâ ïî èíäèâèäóàëüíûì ïîëèñàì, âõîäÿùèì â ñòðàõîâîé ïîðòôåëü, èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì θ. Èçìåíåíèå θ â çàâèñèìîñòè îò ïîëèñà ìîäåëèðóåòñÿ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî èíäèâèäóàëüíûå çíà÷åíèÿ θ èìåþò ãàììà ðàñïðåäåëåíèå Γ(α, δ) íà ñòðàõîâîì ïîðòôåëå. Âû÷èñëèòü ñìåøàííîå ðàñïðåäåëåíèå åæåãîäíîãî ÷èñëà èñêîâ ïî êàæäîìó èç ïîëèñîâ â ñòðàõîâîì ïîðòôåëå. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 1.12. ×èñëî èñêîâ ïî èíäèâèäóàëüíûì ïîëèñàì ñòðàõîâîãî ïîðòôåëÿ èìååò ðàñïðåäåëåíèå B(n, p). Èçìåíåíèå ïàðàìåòðà p ïîä÷èíÿåòñÿ áåòà ðàñïðåäåëåíèþ Beta(α, β). Íàéòè ñìåøàííîå ðàñïðåäåëåíèå. 24 3 Ïîäáîð ïîäõîäÿùåãî ðàñïðåäåëåíèÿ óùåðáà 3.1 Âûáîð ðàñïðåäåëåíèÿ Âûáîð ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîäõîäÿùåãî äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ îïðåäåëåííîãî ñòðàõîâîãî ïîðòôåëÿ, âêëþ÷àåò â ñåáÿ ñëåäóþùèå øàãè: 1. Îïðåäåëåíèå îáùåãî âèäà ðàñïðåäåëåíèÿ ðàçìåðîâ èñêà (íàïðèìåð, ïîäñ÷åò ÷èñëà èñêîâ, âåëè÷èíà êîòîðûõ ïîïàäàåò íà òîò èëè èíîé èíòåðâàë, è ïîñòðîåíèå ãèñòîãðàììû). 2. Âûáîð ñåìåéñòâà ðàñïðåäåëåíèé, èìåþùèõ ñõîæóþ ôîðìó. 3. Îöåíêà ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ (íàïðèìåð ìåòîäîì ìîìåíòîâ èëè ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ) 4. Ïðîâåðêà ãèïîòåçû äëÿ îïðåäåëåíèÿ òîãî, ÿâëÿåòñÿ ëè âûáðàííîå ðàñïðåäåëåíèå è åãî ïàðàìåòðû õîðîøåé ìîäåëüþ äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ âîçìîæíûõ èñêîâ (íàïðèìåð, èñïîëüçóÿ êðèòåðèé χ2 ) Ïðè âûáîðå ïîäõîäÿùåãî ñåìåéñòâà ðàñïðåäåëåíèé äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ óùåðáà íåîáõîäèìî ó÷åñòü ñëåäóþùèå ôàêòîðû: • Öåëü Ïðèãîäíîñòü êàæäîãî êîíêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ áóäåò çàâèñåòü îò öåëè àíàëèçà. Íàïðèìåð, åñëè ðàñïðåäåëåíèå èñïîëüçóåòñÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ áàçîâîé ïðåìèè, òî íàèáîëåå âàæíîé çàäà÷åé áóäåò ÿâëÿòüñÿ âûáîð ðàñïðåäåëåíèÿ, íàèáîëåå òî÷íî îïèñûâàþùåãî äèàïàçîí çíà÷åíèé, íà êîòîðûé ïðèõîäèòñÿ îñíîâíàÿ ÷àñòü èñêîâ. Â òî æå âðåìÿ, åñëè ðàñïðåäåëåíèå èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îáçîðà ïëàíîâ ïåðåñòðàõîâàíèÿ èëè îáäóìûâàíèÿ ýôôåêòîâ îò î÷åíü áîëüøèõ èñêîâ, òî ïðèîðèòåòíîé çàäà÷åé áóäåò ÿâëÿòüñÿ âûáîð ðàñïðåäåëåíèÿ, íàèáîëåå òî÷íî îïèñûâàþùåãî âåðõíþþ ãðàíèöó èñêîâ. • Îáùèé âèä Ðàñïðåäåëåíèå óùåðáà äîëæíî ñîîòâåòñòâîâàòü ðàññìàòðèâàåìîìó ðàñïðåäåëåíèþ èñêîâ ñ ó÷åòîì èíòåðâàëîâ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, äèñïåðñèè, àñèììåòðèè è îáùåãî âèäà. Íàïðèìåð, íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå îáû÷íî íå ÿâëÿåòñÿ ïîäõîäÿùèì äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíîãî èñêà, ò.ê. îíî âñåãäà ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì, â òî âðåìÿ êàê áîëüøèíñòâî ðàññìàòðèâàåìûõ èñêîâ èìåþò ïîëîæèòåëüíóþ àñèììåòðèþ. Òàê æå è ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå íå ÿâëÿåòñÿ ïðåäïî÷òèòåëüíûì ïðè 25 îïèñàíèè íåáîëüøèõ èñêîâ âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ óáûâàåò ìîíîòîííî, âìåñòî òîãî, ÷òîáû èìåòü "ãîðá â öåíòðå"êàê ó ìíîãèõ äðóãèõ ðàñïðåäåëåíèé. • "Õâîñòû" Âñëåäñòâèå òîãî ÷òî î÷åíü áîëüøèå ðèñêè îòíîñèòåëüíî ðåäêè, äîñòàòî÷íî ñëîæíî áûòü óâåðåííûì â òî÷íîñòè âèäà ðàñïðåäåëåíèÿ óùåðáà íà âåðõíåé ãðàíèöå. Â òî æå âðåìÿ êðàéíå âàæíî íå çàíèçèòü îöåíêó ÷èñëà èñêîâ, ïîïàäàþùèõ íà ýòó ÷àñòü ðàñïðåäåëåíèÿ, ò.ê. èìåííî îíè ïî îïðåäåëåíèþ âêëþ÷àþò â ñåáÿ íàèáîëüøóþ ÷àñòü ñðåäñòâ. Ôóíêöèè ïëîòíîñòè áîëüøèíñòâà ñòàíäàðòíûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ðàñïðåäåëåíèè âêëþ÷àþò â ñåáÿ ýêñïîíåíòó (íàïðèìåð, ãàììà ðàñïðåäåëåíèå ñîäåðæèò e−λx ). Âñëåäñòâèå òîãî ÷òî ýòè ðàñïðåäåëåíèå èìåþò ýêñïîíåíöèàëüíûé "õâîñò îíè óáûâàþò î÷åíü áûñòðî. Äðóãèå ðàñïðåäåëåíèÿ, òàêèå êàê Ïàðåòî èëè Áóððà, ñîäåðæàò x â íåêîòîðîé ñòåïåíè. Âñëåäñòâèå òîãî ÷òî ýòè ðàñïðåäåëåíèÿ èìåþò ïîëèíîìèàëüíûå õâîñòû, îíè óáûâàþò ñ ìåíüøåé ñêîðîñòüþ. Ðàñïðåäåëåíèÿ óùåðáà ñ ïîëèíîìèàëüíûìè "õâîñòàìè"ìîãóò áûòü áîëåå ïðèãîäíûìè äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ áîëüøèõ èñêîâ, ïîòîìó ÷òî èõ "òÿæåëûå õâîñòû"óìåíüøàþò ðèñê íåäîîöåíêè ÷àñòîòû áîëüøèõ èñêîâ. 3.2 Âûáîð çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ Êàê òîëüêî âèä ìîäåëèðóþùåãî ðàñïðåäåëåíèÿ âûáðàí, íåîáõîäèìî ðåøèòü êàêèì îáðàçîì îöåíèâàòü çíà÷åíèå êàæäîãî ïàðàìåòðà. Ìû ðàññìîòðèì òðè ìåòîäà îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí ïàðàìåòðîâ: 1. Ìåòîä ìîìåíòîâ 2. Îöåíêà ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ 3. Ìåòîä ïðîöåíòèëåé Äàëåå ïðèâîäèòñÿ êðàòêîå îïèñàíèå ýòèõ ìåòîäîâ. Ìåòîä ìîìåíòîâ Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíêè ïàðàìåòðà ïî ìåòîäó ìîìåíòîâ, íåîáõîäèìî ïðèðàâíÿòü âûáîðî÷íûå è òåîðåòè÷åñêèå íà÷àëüíûå ìîìåíòû. Íàïðèìåð, åñëè áû ìû ïûòàëèñü îöåíèòü çíà÷åíèå îäíîãî ïàðàìåòðà, òî ðåøàëè áû óðàâíåíèå: P xi E(X) = n 26 Ò.å. ïðèðàâíèâàëè áû ïåðâûå íà÷àëüíûå ìîìåíòû. Åñëè áû ìû ïûòàëèñü íàéòè îöåíêè äëÿ äâóõ ïàðàìåòðîâ (íàïðèìåð, åñëè áû ìû ïîäáèðàëè ãàììà ðàñïðåäåëåíèå è íàì íóæíî áûëî áû íàéòè îöåíêè äëÿ α è λ), òî ðåøàëè áû ñèñòåìó óðàâíåíèé: P  xi   E(X) = Pn 2  xi  E(X 2 ) = n Â äåéñòâèòåëüíîñòè â äâóõïàðàìåòðè÷åñêîì ñëó÷àå îöåíêè îáû÷íî ïîëó÷àþòñÿ ïðèðàâíèâàíèåì âûáîðî÷íûõ è òåîðåòè÷åñêèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé è äèñïåðñèé. Â òîì ñëó÷àå, åñëè â çíàìåíàòåëå âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè ñòîèò n, ìû áóäåì èìåòü òå æå ñàìûå îöåíêè, êîòîðûå áûëè áû ïîëó÷åíû ïðèðàâíèâàíèåì ïåðâûõ äâóõ íà÷àëüíûõ ìîìåíòîâ. Â áîëåå îáùåì ñëó÷àå, ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü ñòîëüêî óðàâíåíèé âèäà P k xi k E(X ) = n , k = 1, 2, . . ., ñêîëüêî íàì íåîáõîäèìî äëÿ âû÷èñëåíèÿ îöåíîê çíà÷èìûõ ïàðàìåòðîâ. Ï ð è ì å ð 1.4 Îñíîâûâàÿñü íà àíàëèçå ïðîøåäøèõ èñêîâ, ñòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ ñ÷èòàåò, ÷òî ñðåäíÿÿ âåëè÷èíà èíäèâèäóàëüíîãî èñêà â âûäåëåííîé êàòåãîðèè â ñëåäóþùåì ãîäó ñîñòàâèò 5000, à ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå 7500. Íåîáõîäèìî îöåíèòü äîëþ èñêîâ, ðàçìåð êîòîðûõ ïðåâûñèò 25000, åñëè âåëè÷èíà èíäèâèäóàëüíîãî èñêà èìååò ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ð å ø å í è å Âû÷èñëåíèå ôîðìóë äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è ñòàíäàðòíîãî îòêëîíåíèÿ ëîãíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèâîäèò ê ñëåäóþùèì âûðàæåíèÿì: 1 2 1 eµ+ 2 σ = 5000, eµ+ 2 σ 2 p eσ2 − 1 = 7500 Ðàçäåëèì âòîðîå âûðàæåíèå íà ïåðâîå. Áóäåì èìåòü: p eσ2 − 1 = 7500 = 1.5 ⇒ σ 2 = 1.179 5000 Òåïåðü ìû ìîæåì âû÷èñëèòü çíà÷åíèå µ: 1 µ = ln 5000 − 1.179 = 7.928 2 Äîëÿ èñêîâ, ïðåâûøàþùèõ 25000, ÿâëÿåòñÿ âñåãî ëèøü âåðîÿòíîñòüþ òîãî, ÷òî ðàçìåð èíäèâèäóàëüíîãî èñêà ïðåâûñèò çíà÷åíèå 25000: P (X > 25000) = P (ln X > ln 25000) = P N (7.928, 1.179) > ln 25000 = ln 25000 − 7.928 √ = P N (0, 1) > = 1 − Φ(2.025) = 0.021 1.179 Ò.å. ðàçìåð 2.1% èñêîâ ïðåâûñèò 25000. 27 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 1.13. Ïîâòîðèòå âû÷èñëåíèÿ, ñ÷èòàÿ, ÷òî âåëè÷èíà èñêà ïîä÷èíÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèþ Ïàðåòî. Ïðîêîììåíòèðóéòå ñâîé îòâåò. Îöåíêà ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ Íàõîæäåíèå îöåíêè ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ âêëþ÷àåò â ñåáÿ ñëåäóþùèå øàãè: 1. Âûïèøèòå ôóíêöèþ ïðàâäîïîäîáèÿ. Åñëè ïðàâäîïîäîáèå îñíîâàíî íà íàáîðå èçâåñòíûõ çíà÷åíèé x1 , x2 , . . . , xn , òî ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ ïðèìåò âèä f (x1 )f (x2 ) · · · f (xn ), ãäå f (x) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ (èëè ôóíêöèåé âåðîÿòíîñòè â äèñêðåòíîì ñëó÷àå), ïàðàìåòðû êîòîðîãî îöåíèâàþòñÿ. 2. Ïðîëîãàðèôìèðóéòå. Ýòî óïðîñòèò âû÷èñëåíèÿ. 3. Ïðîäèôôåðåíöèðóéòå ôóíêöèþ ïðàâäîïîäîáèÿ ïî êàæäîìó íåèçâåñòíîìó ïàðàìåòðó è ïðèðàâíÿéòå ïîëó÷åííîå(-ûå) âûðàæåíèå(-ÿ) ê íóëþ. 4. Ðåøèòå èòîãîâîå(-ûå) óðàâíåíèå(-ÿ) äëÿ íàõîæäåíèÿ îöåíêè ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ 5. Ïóòåì íàõîæäåíèÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé ïðîâåðüòå, ÷òî çíà÷åíèÿ, êîòîðûå âû íàøëè, ìàêñèìèçèðóþò ôóíêöèþ ïðàâäîïîäîáèÿ. Ï ð è ì å ð 1.5 Ñòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ ìîäåëèðóåò ñòîèìîñòü ðåìîíòà çàñòðàõîâàííûõ àâòîìîáèëåé, ïîïàâøèõ â àâàðèþ, èñïîëüçóÿ ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Íàéòè îöåíêó ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ñðåäíåé ñòîèìîñòè, åñëè ñðåäíÿÿ ñòîèìîñòü ðåìîíòà ñîñòàâèëà 2200 è áûëî îòðåìîíòèðîâàíî 1000 àâòîìîáèëåé. Ð å ø å í è å Ïóñòü X1 , X2 , . . . , Xn îçíà÷àåò èíäèâèäóàëüíóþ ñòîèìîñòü ðåìîíòà (ãäå n = 1000). L= n Y λe−λxi = λn e−λ P xi = λn e−λnx i=1 Ãäå x = n 1 P xi îçíà÷àåò ñðåäíþþ âåëè÷èíó èñêà. n i=1 Äëÿ íàõîæäåíèÿ îöåíêè ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ, íàì íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü çíà÷åíèå λ, ìàêñèìèçèðóþùåå âåëè÷èíó L èëè, èíà÷å, çíà÷åíèå, ìàêñèìèçèðóþùåå ln L: ln L = n ln λ − λnx 28 Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ýòî âûðàæåíèÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê: ∂ n ln L = − nx ∂λ λ Ïðèðàâíèâàÿ ëåâóþ ÷àñòü ê íóëþ, áóäåì èìåòü: b= 1 ⇒λ b = 1/2200 λ x Âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ∂2 ln L = − λn2 ∂λ2 < 0, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íàéäåííàÿ íàìè ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ìàêñèìóìà. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Exp(λ) ðàâíî 1/λ. Èñïîëüçóÿ òîò ôàêò, ÷òî îöåíêà ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ôóíêöèè ðàâíà ôóíêöèè îöåíêè, ïîëó÷àåì, ÷òî îöåíêà ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ ñðåäíåé âåëè÷èíû èñêà ðàâíà: b = x = 2200 1/λ Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 1.14. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò ðàñ- ïðåäåëåíèå Áóððà ñ ïàðàìåòðàìè γ = 2, λ = 500.Ïîêàçàòü, ÷òî îöåíêà ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ïàðàìåòðà α, îñíîâàííàÿ íà ñëó÷àéíîé âûáîðêå x1 , x2 , . . . , xn , ðàâíà α b = P ln(500+xn2 )−n ln 500 è âû÷èñëèòü å¼ çíà÷åi íèå, åñëè áûëà ïîëó÷åíà ñëåäóþùàÿ âûáîðêà: 52, 109, 114, 163, 181 Ìåòîä ïðîöåíòèëåé Ýòîò ìåòîä âêëþ÷àåò â ñåáÿ óñòàíîâëåíèå ðàâåíñòâà ìåæäó âûáîðî÷íûì è òåîðåòè÷åñêèì ïðîöåíòèëÿìè. Âûáîð ïðîöåíòèëåé áóäåò çàâèñåòü îò ÷èñëà îöåíèâàåìûõ ïàðàìåòðîâ. Â îäíîïàðàìåòðè÷åñêîì ñëó÷àå îáû÷íî èñïîëüçóþòñÿ âûáîðî÷íàÿ è òåîðåòè÷åñêàÿ ìåäèàíû. Â äâóõïàðàìåòðè÷åñêîì ñëó÷àå ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ êâàðòèëè. Ï ð è ì å ð 1.6 Èñïîëüçóéòå ìåòîä ïðîöåíòèëåé äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà, îñíîâûâàÿñü íà ñëåäóþùåé ñëó÷àéíîé âûáîðêå (çíà÷åíèÿ áûëè îòñîðòèðîâàíû ïî âîçðàñòàíèþ). Âåëè÷èíû èñêîâ âûðàæåíû â òûñÿ÷àõ. 0.1 0.5 2.2 4.1 28.1 0.2 0.7 2.6 5.9 30.0 0.2 0.9 2.9 6.2 49.2 0.3 1.3 3.2 12.1 63.8 0.4 1.8 3.3 15.2 118.0 Ðåøåíèå Òàê êàê ìû îöåíèâàåì äâà ïàðàìåòðà, òî áóäåì èñïîëüçîâàòü âåðõíþþ è íèæíþþ êâàðòèëè äëÿ íàõîæäåíèÿ îöåíîê c è γ â ðàñïðåäåëåíèè Âåéáóëëà. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò ñëåäóþùèé âèä: Zx γ γ cγtγ−1 e−ct dt = −e−ct 0 29 γ x = 1 − e−cx 0 Òàêèì îáðàçîì âåðõíÿÿ êâàðòèëü ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà çíà÷åíèå x, ÿâëÿþùååñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ: −cxγ 0.75 = 1 − e ⇒x= ln 4 c 1 γ −cxγ äëÿ íàõîæäåíèÿ íèæíåé êâàðòèëè äàñò Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ 0.25 = 1 − e íàì çíà÷åíèå: x= ln 4/3 c 1 γ Èñõîäÿ èç èìåþùèõñÿ 25 âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé, âûáîðî÷íûå êâàðòèëè áóäóò 1 1 4 ∗ 25 + 2 = 6.75, êîòîðîå ðàâíî 0.65, è çíà÷åíèþ 3 1 4 ∗ 25 + 2 = 19.25, êîòîðîå ðàâíî 12.875. Òàêèì îáðàçîì, ðåøàÿ ñèñòåìó óðàâ- ñîîòâåòñòâîâàòü çíà÷åíèþ íåíèé:  1  ln 4 γ    = 12.875  c 1  γ  ln 4/3   = 0.65  c ìû ïîëó÷èì èñêîìûå îöåíêè: γ b = 0.526, b c = 0.361 3.3 Ïðîâåðêà êà÷åñòâà âûáðàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Îäíèì èç ñïîñîáîâ ïðîâåðêè òîãî, ìîæåò ëè âûáðàííîå ðàñïðåäåëåíèå óùåðáà ñëóæèòü õîðîøåé ìîäåëüþ äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ âåëè÷èí èñêîâ, ÿâëÿåòñÿ êðèòåðèé χ2 . Ï ð è ì å ð 1.7 Àíàëèç ñòîèìîñòè ðåìîíòà â ïðèìåðå 1.5 äàåò íàì ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ â ðàçëè÷íûõ èíòåðâàëàõ: 0-1000: 200 1000-2000: 3000 2000-3000: 250 3000-4000: 150 4000-5000: 100 5000+: 0 Èñïîëüçóåì ýòó èíôîðìà- öèþ äëÿ ïðîâåðêè, ÿâëÿåòñÿ ëè ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå õîðîøåé ìîäåëüþ äëÿ ñòîèìîñòè èíäèâèäóàëüíîãî ðåìîíòà. Ð å ø å í è å Ìû ïðîâåðÿåì: H0 : Ñòîèìîñòü èìååò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. H1 : Ñòîèìîñòü èìååò íå ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. 2 Äëÿ ïðèìåíåíèÿ êðèòåðèÿ χ íàì íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü îæèäàåìûå çíà÷åíèÿ, ò.å. íàèáîëåå âåðîÿòíûå çíà÷åíèÿ â êàæäîì èíòåðâàëå, ïðè óñëîâèè, ÷òî öåíà ïîä÷èíÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ. Èñïîëüçóÿ íàøó îöåíêó ïàðàìåòðà λ = 1/2200, âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî öåíà èíäèâèäóàëüíîãî ðåìîíòà 30 ïîïàäåò íà èíòåðâàë 2000-3000, ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ñëåäóþùèì îáðàçîì: 3000 Z λeλx dx = −eλx 3000 2000 = 0.1472 2000 Òîãäà îæèäàåìîå ÷èñëî èñêîâ íà ýòîì èíòåðâàëå ðàâíî 1000 ∗ 0.1472 = 147.2 Îæèäàåìûå çíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ èíòåðâàëîâ ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû àíàëîãè÷íî: 365.3, 231.8, 147.2, 93.4, 59.3, 103.0 2 Òåïåðü ìîæíî âû÷èñëèòü çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè χ : χ2 = (200 − 365.3)2 (300 − 231.8)2 (0 − 103)2 + + ··· + = 331.89 365.3 231.8 103 Ó íàñ 6 èíòåðâàëîâ, íî ìû óñòàíîâèëè ðàâåíñòâî äëÿ èòîãîâûõ çíà÷åíèé è îöåíèëè îäèí ïàðàìåòð. Òàêèì îáðàçîì ó íàñ 6 − 1 − 1 = 4 ñòåïåíè ñâîáîäû. 2 íàìíîãî ïðåâûøàåò 14.86 íàèáîëüøåå çíà÷åíèå Âû÷èñëåííîå çíà÷åíèå χ 2 äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ χ ñ 4 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû ïðè äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè 99.5%. Òàêèì îáðàçîì ìû ìîæåì îòâåðãíóòü ãèïîòåçó Í0 ñ àáñîëþòíîé óâåðåííîñòüþ è ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ñòîèìîñòü ðåìîíòíûõ ðàáîò íå ïîä÷èíÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ. Ýòîò âûâîä òàêæå ïîäòâåðæäàåòñÿ ñëåäóþùèì íàáëþäåíèåì: åñëè áû çíà÷åíèÿ èìåëè ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî ìû îæèäàëè áû óâèäåòü ìîíîòîííîå óáûâàíèå îò èíòåðâàëà ê èíòåðâàëó. Â òî æå âðåìÿ, ìû âèäèì, ÷òî çíà÷åíèå â ïåðâîì èíòåðâàëå íà 100 ìåíüøå, ÷åì âî âòîðîì. 4 Âû÷èñëåíèå ïðåìèé 4.1 ×àñòîòû èñêîâ Ôàêòè÷åñêàÿ ÷àñòîòà èñêîâ äëÿ ãðóïïû ïîëèñîâ ñòðàõîâàíèÿ ýòî ñðåäíåå êîëè÷åñòâî èñêîâ íà ïîëèñ: Ôàêòè÷åñêàÿ ÷àñòîòà èñêîâ = ×èñëî èñêîâ Ñðåäíåå ÷èñëî ïîëèñîâ Îæèäàåìàÿ ÷àñòîòà èñêîâ äëÿ ãðóïïû ñòðàõîâûõ ïîëèñîâ ýòî îæèäàåìîå ÷èñëî èñêîâ íà ïîëèñ. Ï ð è ì å ð 1.8 Çà ïðîøåäøèå 5 ëåò ñòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ óäîâëåòâîðèëà 7000 èñêîâ, êàñàþùèõñÿ ìîëîäûõ âîäèòåëåé ñî ñòàðûìè àâòîìîáèëÿìè. Ñðåäíåå ÷èñëî çàñòðàõîâàííûõ âîäèòåëåé â äàííîé ãðóïïå çà ýòîò ïåðèîä ñîñòàâèëî 5000. Âû÷èñëèòå åæåãîäíóþ ÷àñòîòó èñêîâ äëÿ äàííîé êàòåãîðèè âîäèòåëåé. Ð å ø å í è å Ôàêòè÷åñêàÿ ÷àñòîòà èñêîâ çà 5 ëåò ñîñòàâèëà 7000/5000 = 1.4, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò åæåãîäíîé ÷àñòîòå èñêîâ 1.4/5 = 0.28, ò.å. 28% â ãîä. 31 5 Ðèñêîâûå ïðåìèè è îôèñíûå ïðåìèè Ðèñêîâàÿ ïðåìèÿ çà ïîëèñ îáùèõ âèäîâ ñòðàõîâàíèÿ ðàâíà îæèäàåìîé âåëè÷èíå èñêîâ: Ðèñêîâàÿ ïðåìèÿ = Îæèäàåìàÿ ÷àñòîòà èñêîâ ∗ Ñðåäíÿÿ âåëè÷èíà èñêà Ï ð è ì å ð 1.9 Âû÷èñëèòå ðèñêîâóþ ïðåìèþ íà ñëåäóþùèé ãîä, åñëè â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå ñòðàõîâùèê îæèäàåò, ÷òî ñðåäíÿÿ âåëè÷èíà âûïëàò äëÿ äàííîé êàòåãîðèè âîäèòåëåé ñîñòàâèò 1500. Ð å ø å í è å Ðèñêîâàÿ ïðåìèÿ íà ñëåäóþùèé ãîä ðàâíà: Îæèäàåìàÿ ÷àñòîòà èñêîâ ∗ Ñðåäíÿÿ âåëè÷èíà èñêà = 0.28 ∗ 1500 = 420 Ò.å. 420 â ãîä. Îôèñíàÿ ïðåìèÿ ðåàëüíàÿ ïðåìèÿ, âçèìàåìàÿ ñòðàõîâùèêîì. Òåîðåòè÷åñêàÿ îôèñíàÿ ïðåìèÿ ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïóòåì èçìåíåíèÿ ðèñêîâîé ïðåìèè (å¼ óâåëè÷åíèÿ) ñ ó÷åòîì èçäåðæåê, êîìèññèè, æåëàåìîé ïðèáûëè è ðàçëè÷íûõ íåïðåäâèäåííûõ ðàñõîäîâ è (å¼ óìåíüøåíèÿ) ñ ó÷åòîì èíâåñòèöèîííîé ïðèáûëè. Ï ð è ì å ð 1.10 Âû÷èñëèòå òåîðåòè÷åñêóþ îôèñíóþ ïðåìèþ, êîòîðóþ äîëæíà âçèìàòü êîìïàíèÿ â ñëåäóþùåì ãîäó ñ óïîìÿíóòîé â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå êàòåãîðèè âîäèòåëåé, åñëè: • èçäåðæêè íà óðåãóëèðîâàíèå êàæäîãî èñêà ðàâíû 100 • êîìèññèÿ ñîñòàâëÿåò 20% îò îôèñíîé ïðåìèè • êîìïàíèÿ õî÷åò èìåòü ïðèáûëü â ðàçìåðå 5% îò âåëè÷èíû îôèñíûõ ïðåìèé Èíâåñòèöèîííûé äîõîä íå ó÷èòûâàåòñÿ. Ð å ø å í è å Òåîðåòè÷åñêàÿ îôèñíàÿ ïðåìèÿ íà ñëåäóþùèé ãîä äîëæíà áûòü: P = 420 + 100 ∗ 0.28 + 0.2P + 0.05P ⇒ P = 448/0.75 = 597 Ò.å 597 â ãîä. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 1.15. Èñïîëüçóÿ èíôîðìàöèþ, ïðèâå- äåííóþ íèæå, âû÷èñëèòå îôèñíóþ ïðåìèþ äëÿ ïîëèñîâ â ýòîò ñòðàõîâîì ïîðòôåëå: Ñðåäíåå ÷èñëî äåéñòâèòåëüíûõ ñòðàõîâûõ ïîëèñîâ â ãîä Îáùåå ÷èñëî èñêîâ, ïîëó÷åííûõ çà ïîñëåäíèå 10 ëåò Ïðåäïîëàãàåìîå (òåêóùåå) ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû èñêà Ïðåäïîëàãàåìûå ðàñõîäû ïî óðåãóëèðîâàíèþ èñêà (êàæäîãî) Íàäáàâêà íà ïðèáûëü è êîìèññèÿ 32 6200 3150 Γ(50, 0.02) 50 35% Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 1.16. Íàçîâèòå òðè ïðè÷èíû, ïî êîòîðûì âû÷èñëåíèÿ â ïðåäûäóùåì âîïðîñå äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè ìîãóò íå äàòü íà ïðàêòèêå àäåêâàòíîãî ðåçóëüòàòà. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 1.17. Ïðè èññëåäîâàíèè âåëè÷èí ñòðà- õîâûõ âîçìåùåíèé, óïëà÷åííûõ êîìïàíèåé ïî ñòðàõîâûì ïîëèñàì, âõîäÿùèì â ïîðòôåëü, áûëè ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû: 0 − 500: 500 − 1000: 1000 − 1500: 1500 − 2000: 2000 − 2500: 120 386 490 322 62 Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðîâåðèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå àäåêâàòíîé ìîäåëüþ äëÿ ïðåäñòàâëåííûõ âåëè÷èí èñêîâ, èç èìåþùèõñÿ äàííûõ áûëè âû÷èñëåíû îöåíêè µ è σ 2 , à òàêæå ñîîòâåòñòâóþùèå îæèäàåìûå ÷àñòîòû äëÿ êàæäîé êàòåãîðèè: 104, 327, 564, 309, 76. Ïðîâåðüòå, ÿâëÿåòñÿ ëè íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå õîðîøåé ìîäåëüþ äëÿ äàííûõ èñêîâ. 33 Ãëàâà 2 Îñíîâû òåîðèèÐàñïðåäåëåíèÿ óùåðáà 1 Ââåäåíèå 1.1 Ñòðàõîâîå ìíîæåñòâî Ñóììàðíîå êîëè÷åñòâî èñêîâ â îòäåëüíûé ïåðèîä âðåìåíè ïðåäñòàâëÿåò ôóíäàìåíòàëüíóþ âàæíîñòü äëÿ ïðàâèëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèåé. Êëþ÷åâûì äîïóùåíèåì âî âñåõ ìîäåëÿõ, èçó÷àåìûõ çäåñü, ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïðåäúÿâëåíèÿ èñêà è âåëè÷èíó(ñóììó) èñêà ìîæíî èçó÷àòü îòäåëüíî. Òàêèì îáðàçîì, âåðîÿòíîñòü ïðåäúÿâëåíèÿ èñêà âû÷èñëÿåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ íåêîòîðîé ïðîñòîé ìîäåëüþ ñîáûòèé, ïîïàâøèõ â îïðåäåëåííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, è çàòåì âåëè÷èíà èñêà âûáèðàåòñÿ èç ðàñïðåäåëåíèÿ, îïèñûâàþùåãî ýòó âåëè÷èíó. 1.2 Ñòàòèñòè÷åñêèé ôîí Äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí ðÿä ñòàòèñòè÷åñêèõ ìåòîäîâ. Êîíå÷íàÿ öåëü ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû îïèñàòü êîëåáàíèÿ âåëè÷èí èñêîâ ñ ïîìîùüþ íàõîæäåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ óùåðáà, êîòîðîå â äîñòàòî÷íîé ìåðå îïèñûâàåò èñêè, èìåþùèåñÿ â äåéñòâèòåëüíîñòè. Êàê ïðàâèëî, ýòî îñóùåñòâëÿåòñÿ â äâà ýòàïà. Íà ïåðâîì ýòàïå, ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî èñêè ïðîèñõîäÿò, êàê ðåàëèçàöèè èçâåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Íàïðèìåð, ìîæíî äîïóñòèòü, ÷òî ëîãàðèôì âåëè÷èíû èñêà ñëåäóåò, â óìåðåííîì ïðèáëèæåíèè, íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ ñ èçâåñòíûì çíà÷åíèåì è èçâåñòíûì ñòàíäàðòíûì îòêëîíåíèåì. Çàâåðøèâ ïðîöåññ íàõîæäåíèÿ âåëè÷èíû èñêà, ìû ìîãëè 34 áû ïåðåêëþ÷èòü ñâîå âíèìàíèå íà åãî ðåçóëüòàòû, íóæíûå â ñòðàõîâàíèè. Íàïðèìåð, èñêè âûøå îïðåäåëåííîãî óðîâíÿ ìîãóò èíèöèèðîâàòü íåêîòîðûå ìåðû äëÿ ïåðåñòðàõîâàíèÿ, â òî âðåìÿ êàê èñêè íèæå îïðåäåëåííîãî óðîâíÿ ìîãóò áûòü íèêîãäà íå ïðåäúÿâëåíû, åñëè ôðàíøèçà áóäåò â ñèëå. Íà ïðàêòèêå æå, òî÷íîå ðàñïðåäåëåíèå, îïèñûâàþùåå èñêè, âðÿä ëè êîãäà-íèáóäü ñòàíåò èçâåñòíî. Íà âòîðîì ýòàïå, òèïè÷íûì ìåòîäîì äåéñòâèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî èñêîâîå ðàñïðåäåëåíèå - ýòî ÷ëåí íåêîòîðîãî ñåìåéñòâà. Ïàðàìåòðû ýòîãî ñåìåéñòâà äîëæíû áûòü îöåíåíû ñ èñïîëüçîâàíèåì âåëè÷èíû èñêà, çàïèñàííîé ñ ïîìîùüþ ñîîòâåòñòâóþùåãî ìåòîäà, òàêîãî êàê ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Ïðàâäà, åñëè êðóïíûå èñêè áóäóò îãðàíè÷åíû (ïåðåñòðàõîâàíèå) èëè íåêîòîðûå íåçíà÷èòåëüíûå èñêè íå áóäóò ïðåäúÿâëåíû (ôðàíøèçà), ïðè âû÷èñëåíèÿõ ìîãóò âîçíèêíóòü òðóäíîñòè. Ìîæíî ïðîâåñòè ìíîæåñòâî èññëåäîâàíèé õàðàêòåðà ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðîå èñïîëüçóåòñÿ, ÷òîáû îïèñàòü ïåðåìåííóþ âåëè÷èíû èñêà. È îñíîâíûì çàêëþ÷åíèåì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ó èñêîâûõ ðàñïðåäåëåíèé èìååòñÿ òåíäåíöèÿ áûòü ñîâåðøåííî àñèììåòðè÷íûìè è ñ "òÿæåëûìè õâîñòàìè". 1.3 Ïðèáëèçèòåëüíàÿ îöåíêà è êðèòåðèé ñîãëàñèÿ Ìåòîäû ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ, ìîìåíòîâ è ïðîöåíòèëåé ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ â ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàñïðåäåëåíèÿõ äëÿ ìíîæåñòâà ðàçíûõ âèäîâ èíôîðìàöèè. Ïðèåìëåìîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî ïðîâåðèòü ôîðìàëüíî, èñïîëüçóÿ êðèòåðèé χ2 . Ìåòîä ïðîöåíòèëåé îïèñûâàåòñÿ â ñåêöèè 2.3; äðóãèå ìåòîäû è êðèòåðèé χ2 ñîäåðæàòñÿ â òåìå C1. Ôîðìóëÿð äëÿ ïëîòíîñòåé, ìîìåíòîâ ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé (åñëè îíè ñóùåñòâóþò) äëÿ ðàñïðåäåëåíèé, îáñóæäàåìûõ â ýòîé ÷àñòè, ïðèâîäèòñÿ â Ôîðìóëÿðå è òàáëèöàõ äëÿ àêòóàðíûõ èññëåäîâàíèé. Ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì λ, åñëè F (x) = 1 − e−λx è, ìîæíî çàïèñàòü, X ∼ exp(λ). Äëÿ îöåíêè ïàðàìåòðà ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ (ÌÌÏ) èëè ìåòîä ìîìåíòîâ. 35 Ðàñïðåäåëåíèå Ïàðåòî Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè α è λ, åñëè α λ F (x) = 1 − λ+x è, ìîæíî çàïèñàòü, X ∼ P a(α, λ). Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå Ïàðåòî èìååò ôóíêöèþ ïëîòíîñòè αλα f (x) = , x > 0, α > 0, λ > 0. (λ + x)α+1 Ìåòîä ìîìåíòîâ î÷åíü ëåãêî ïðèìåíèòü â ñëó÷àå Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèé, íî îöåíêè, ïîëó÷åííûå òàêèì ñïîñîáîì, áóäóò ñîäåðæàòü äîâîëüíî ìíîãî ñòàíäàðòíûõ îøèáîê, ãëàâíûì îáðàçîì èç-çà S 2 , âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè, èìåþùåé î÷åíü áîëüøîå îòêëîíåíèå. Îäíàêî, ýòîò ìåòîä îáåñïå÷èâàåò íà÷àëüíûå îöåíêè äëÿ äàëüíåéøåãî èñïîëüçîâàíèÿ áîëåå ýôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ, êîòîðûå íå òàê ïðîñòû â ïðèìåíåíèè. Íàïðèìåð, ÌÌÏ, ãäå äëÿ ðåøåíèÿ ìîãóò ïîíàäîáèòüñÿ ÷èñëåííûå ìåòîäû. Ðàñïðåäåëåíèå Âåéáóëëà Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèå ýòî ðàñïðåäåëåíèå ñ âåðõíåé õâîñòîâîé ÷àñòüþ, êîòîðàÿ ñòðåìèòñÿ ê 0, êàê ñòåïåíü x. Ýòî äàåò ðàñïðåäåëåíèå ñ áîëåå òÿæåëîé õâîñòîâîé ÷àñòüþ, ÷åì ýêñïîíåíöèàëüíîå. Âûðàæåíèÿ äëÿ âåðõíèõ õâîñòîâ ýêñïîíåíöèàëüíîãî è Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèé òàêîâû ýêñïîíåíöèàëüíîå P (X > x) = exp(−λx) Ïàðåòî P (X > x) = (λ/(λ + x))α . Âîñïîëüçóåìñÿ äîïîëíèòåëüíîé âîçìîæíîñòüþ. Ïîëîæèì P (X > x) = exp(−λxγ ), γ > 0. Çäåñü ó íàñ åñòü äâà ñëó÷àÿ. Åñëè γ < 1, òî ïîëó÷àåì ðàñïðåäåëåíèå ñ õâîñòîâîé ÷àñòüþ, èìåþùåé ïðîìåæóòî÷íûé âåñ ìåæäó ýêñïîíåíöèàëüíûì è Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèÿìè, åñëè γ > 1, âåðõíÿÿ õâîñòîâàÿ ÷àñòü áóäåò ëåã÷å, ÷åì ó ýêñïîíåíöèàëüíîãî (äëÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ γ = 1). Ðàñïðåäåëåíèå õâîñòîâîé ÷àñòè îïðåäåëÿåò ðàñïðåäåëåíèå Âåéáóëëà, î÷åíü ãèáêîå ðàñïðåäåëåíèå, êîòîðîå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî êàê ìîäåëü äëÿ óùåðáà â ñòðàõîâàíèè, îáû÷íî ñ γ < 1. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò ðàñïðåäåëåíèå Âåéáóëëà ñ ïàðàìåòðàìè ñ è γ , åñëè F (x) = 1 − exp(−cxγ ) 36 è ìîæíî çàïèñàòü, ÷òî X ∼ W (c, γ). (Çàìåòèì, ÷òî èçìåíåíèÿ îò γ ê c îïèñàíû â Òàáëèöàõ äëÿ àêòóàðíûõ èññëåäîâàíèé ). Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè äëÿ W (c, γ) f (x) = cγxγ−1 exp(−cxγ ), x > 0, c > 0, γ > 0. Íè ìåòîä ìîìåíòîâ, íè ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ íå ìîãóò ïðèìåíÿòüñÿ, åñëè c è γ íå èçâåñòíû (õîòÿ íà ïðàêòèêå, åñëè åñòü êîìïüþòåð, ýòè óðàâíåíèÿ äîâîëüíî ëåãêî ðåøàåìû). Â ñëó÷àå, êîãäà γ ýòî èçâåñòíàÿ âåëè÷èíà γ ∗ , òî äîñòàòî÷íî ïðîñòûì îêàæåòñÿ ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ W (c, γ) ýòî ýëåìåíòàðíàÿ ôóíêöèÿ, è íà ýòîì ôàêòå ìîæåò áàçèðîâàòüñÿ ïðîñòîé ìåòîä îöåíêè äëÿ c è γ . Ìåòîä îñíîâàí íà ïðèðàâíèâàíèè ïîäîáðàííûõ âûáîðî÷íûõ ïðîöåíòèëåé ê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Íàïðèìåð, ïðèðàâíèâàíèå êâàðòèëåé, 25-îãî è 75-îãî ïðîöåíòèëåé, ê ïîïóëÿöèîííûì êâàðòèëÿì. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò ñïîñîáó, â êîòîðîì âûáîðî÷íûå ìîìåíòû ïðèðàâíèâàþòñÿ ê ïîïóëÿöèîííûì ìîìåíòàì â ìåòîäå ïðîöåíòèëåé. Ïåðâûå äâà ìîìåíòà (â ìåòîäå ìîìåíòîâ) èñïîëüçóþòñÿ, åñëè åñòü äâà íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðà, ýòî èíòóèòèâíî êàæåòñÿ î÷åâèäíûì (õîòÿ òåîðåòè÷åñêèé áàçèñ äëÿ ýòîãî íå òàê ïðîñò). Àíàëîãè÷íî ìîãëà áû áûòü èñïîëüçîâàíà ìåäèàíà, åñëè áû áûë òîëüêî îäèí ïàðàìåòð äëÿ îöåíêè. Ñ äâóìÿ ïàðàìåòðàìè, îïòèìàëüíàÿ ïðîöåäóðà ìåíåå ïðîñòà, íî ïîíèæåííûå è ïîâûøåííûå êâàðòèëè êàæóòñÿ âïîëíå ðàçóìíûì âûáîðîì. Ï ð è ì å ð 2.1 Îöåíèòü ñ è γ â ðàñïðåäåëåíèè Âåéáóëëà, èñïîëüçóÿ ìåòîä ïðîöåíòèëåé, ãäå ïåðâûé âûáîðî÷íûé êâàðòèëü ðàâåí 401 è òðåòèé êâàðòèëü ðàâåí 2836.75. Ð å ø å í è å Óðàâíåíèÿ äëÿ ñ è γ F (401) = 1 − exp(−c ∗ 401γ ) = 0.25 F (2836.75) = 1 − exp(−c ∗ 2836.75γ ) = 0.75, êîòîðûå ìîãóò áûòü ïåðåïèñàíû â âèäå −c ∗ 401γ = log(3/4) è −c ∗ 2836.75γ = log(1/4) Äåëèì îäíî óðàâíåíèå íà äðóãîå è ïîëó÷àåì, ÷òî γ e = 0.8038, ñëåäîâàòåëüíî e c = 0.002326, ãäå ∼ îçíà÷àåò ïðîöåíòèëüíóþ îöåíêó. Çàìåòèì, ÷òî γ e < 1 äàåò áîëåå òÿæåëóþ õâîñòîâóþ ÷àñòü, ÷åì ó ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. 37 Ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå Ñëó÷àéíàÿ ïåðåìåííàÿ X èìååò ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè α è λ, åñëè λα Γ(α) α−1 exp(−λx), x > 0 x è ìîæíî çàïèñàòü, ÷òî X ∼ G(α, λ). Ñðåäíåå çíà÷åíèå è âàðèàöèÿ X f (x) = α α ; V ar(X) = 2 λ λ Ìîìåíòû èìåþò ïðîñòóþ ôîðìó, ïîýòîìó ìåòîä ìîìåíòîâ ëåãêî ïðèìåíèì. Îöåíêè ÌÌÏ äëÿ ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ íå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû â êîíå÷íîé ôîðìå (â òåðìèíàõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé), íî ýòè îöåíêè ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ, êàê èñõîäíûå â ïîèñêå ÌÌÏ-îöåíîê. Áîëåå óäîáíî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ÌÌÏ-îöåíîê ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ èñïîëüçîâàòü ðàçëè÷íóþ ïàðàìåòðèçàöèþ. Ïîëîæèì µ = α/λ è îöåíèì e=α ïàðàìåòðû α è µ. Çàòåì âîññòàíîâèì ÌÌÏ-îöåíêó λ, ïîëîæèâ λ e/e µ. Çäåñü ìû èñïîëüçóåì ñâîéñòâî ïîñòîÿíñòâà ÌÌÏ-îöåíîê. E(X) = Ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Îïðåäåëåíèå ëîãíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ î÷åíü ïðîñòîå: X èìååò ëîãíîðîìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, åñëè log X èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Êîãäà log X ∼ N (µ, σ 2 ), X ∼ LogN (µ, σ 2 ). Îöåíêà ëîãíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé äî òåõ ïîð, ïîêà µ è σ 2 ìîãóò áûòü îöåíåíû ñ ïîìîùüþ ëîãîðèôìà ïðåîáðàçîâàííîé èíôîðìàöèè. Ïóñòü x1 , x2 , . . . , xn áóäóò íàáëþäàåìûìè ïåðåìåííûìè è ïóñòü yi = log xi . Îöåíêè µ è σ 2 â ÌÌÏ ýòî y è s2y , ãäå íèæíèé èíäåêñ y îáîçíà÷àåò âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ, âû÷èñëåííóþ íà çíà÷åíèÿõ y . Ñìåøàííûå ðàñïðåäåëåíèÿ Ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ýòî îäíà èç ïðîñòåéøèõ ìîäåëåé äëÿ ñòðàõîâûõ ïîòåðü. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êàæäûé èíäèâèäóàëüíûé èñê â áîëüøîì ñòðàõîâîì ïîðòôåëå òåðïèò óáûòêè â ñîîòâåòñòâèè ñ ýêñïîíåíöèàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì. Ïðàêòè÷åñêîå èçó÷åíèå ôàêòè÷åñêè ëþáîãî ñòðàõîâîãî ïîðòôåëÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî çíà÷åíèÿ ýòèõ ðàçëè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé áóäóò îòëè÷àòüñÿ ñðåäè äåðæàòåëåé ïîëèñîâ. Òàêèì îáðàçîì, îïèñàíèå óùåðáîâ äëÿ âñåãî ïîðòôåëÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî êàæäûé îòäåëüíûé óùåðá ñëåäóåò ñîáñòâåííîìó ýêñïîíåíöèàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ, òàê êàê çíà÷åíèÿ ýòèõ ðàñïðåäåëåíèé ðàçëè÷íû. 38 Ñåé÷àñ áóäåì èñêàòü îïèñàíèå îòêëîíåíèÿ îòäåëüíûõ ñðåäíèõ çíà÷åíèé. Îäèí èç ñïîñîáîâ ýòî ñäåëàòü ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ýêñïîíåíöèàëû ýòèõ çíà÷åíèé ñëåäóþò ðàñïðåäåëåíèþ. Â ýêñïîíåíöèàëüíîì ñëó÷àå, óäîáíî ñäåëàòü ñëåäóþùåå ïðåäïîëîæåíèå. Ïóñòü λi = 1/θi îïèñûâàåò âçàèìîäåéñòâèå ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì óùåðáà äëÿ i-îãî äåðæàòåëÿ ïîëèñà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âàðèàöèÿ äëÿ λi ìîæåò áûòü îïèñàíà èçâåñòíûì ãàììà-ðàñïðåäåëåíèåì G(α, δ), òî åñòü ïðåäïîëîæèì, ÷òî λ ∼ G(α, δ), ãäå δ α α−1 λ exp(−δλ), λ > 0. f (λ) = Γ(α) Îñîáî çàìåòèì, ÷òî ýòî ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè λ ñ èçâåñòíûìè çíà÷åíèÿìè α è δ . Òàêàÿ ôîðìóëèðîâêà èìååò ìíîãî îáùåãî ñ òåì, ÷òî èñïîëüçóåòñÿ â îöåíêå Áàéåca. Äåéñòâèòåëüíî, ôóíäàìåíòàëüíàÿ èäåÿ ýòîé îöåíêè ñîñòîèò â òîì, ÷òî èíòåðåñóþùèé ïàðàìåòð (çäåñü, λ)ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí êàê ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ èçâåñòíûì ðàñïðåäåëåíèåì. Çàìåòèì, îäíàêî, ÷òî öåëüþ çäåñü ÿâëÿåòñÿ íå îöåíèòü îòäåëüíîå λi , à îïèñàòü ñîâîêóïíîñòü óùåðáà äëÿ âñåãî ïîðòôåëÿ. Îòäåëüíîå λi ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî ñ ïîìîùüþ áàéåñîâñêîé îöåíêè, êîãäà ê G(α, δ) ðàñïðåäåëåíèþ ìîæíî áûëî áû îòíîñèòüñÿ, êàê ê îñíîâíîìó ðàñïðåäåëåíèþ. Â çàäà÷å îïèñàíèÿ óùåðáà äëÿ âñåãî ïîðòôåëÿ, G(α, δ) ðàñïðåäåëåíèå èñïîëüçóåòñÿ, ÷òîáû óñðåäíèòü ýêñïîíåíöèàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ; ê íåìó îòíîñÿòñÿ, êàê ê ñìåøèâàþùåìó ðàñïðåäåëåíèþ, è , ñëåäîâàòåëüíî, â òàêèõ ñëó÷àÿõ ðàñïðåäåëåíèå óùåðáà íàçûâàþò ñìåøàííûì. Ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå X Z fX (x) = fX,λ (x, λ)dλ Z = fλ (λ)fX|λ (x | λ)dλ Z ∞ = = δ α α−1 λ exp(−δλ) × λ exp(−λx))dλ Γ(α) 0 Z ∞ δα = λα exp{−(x + δ)λ}dλ Γ(α) 0 δα Γ(α + 1) × (G(α + 1, x + δ) − èíòåãðàë) Γ(α) (x + δ)α+1 = αδ α , (x + δ)α+1 39 x>0 ÷òî ÿâëÿåòñÿ Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèåì P a(α, δ). Òàêîé ðåçóëüòàò äàåò î÷åíü õîðîøóþ èíòåðïðåòàöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî: P a(α, δ) âîçíèêàåò, êîãäà ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäåëåííûå óùåðáû óñðåäíÿþòñÿ G(α, δ)ñìåøèâàþùèì ðàñïðåäåëåíèåì. Îáîáùåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî P a(α, λ) F (x) = 1 − λα (λ + x)α Äîïîëíèòåëüíûé ïàðàìåòð γ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí òàêèì îáðàçîì: F (x) = 1 − λα (λ + xγ )α Òàêàÿ ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ïðåîáðàçóåò ðàñïðåäåëåíèÿ Áóððà è Ïàðåòî. Äîïîëíèòåëüíûé ïàðàìåòð äàåò îñîáóþ ãèáêîñòü, êîãäà òðåáóåòñÿ ïîäñòðîèòñÿ ê èìåþùåéñÿ èíôîðìàöèè. Ñ òîãî ìîìåíòà, êàê ìû ïîëó÷èì ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ â êîíå÷íîì âèäå, ñòàíåò âîçìîæíûì ïðèáëèçèòü ðàñïðåäåëåíèå Áóððà ê èìåþùåéñÿ èíôîðìàöèè, èñïîëüçóÿ ìåòîäû ïðîöåíòèëåé. ÌÌÏ îáû÷íî òðåáóåò èñïîëüçîâàíèÿ êîìïüþòåðíûõ ïðîãðàìì, êîòîðûå ïîçâîëÿþò íåëèíåéíóþ îïòèìèçàöèþ. Âòîðîå îáîáùåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî çàäåéñòâóþò èäåþ ñìåøàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, îáñóæäåííîãî ðàíåå. Åñëè óùåðáû ýòî ýêñïîíåíöèàëû ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì 1/λ, è λ ∼ G(α, δ), òîãäà ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå óùåðáîâ ýòî P a(α, δ). Ìîæíî ñäåëàòü îáîáùåíèå, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïîòåðè ýòî G(k, λ) è λ ∼ G(α, δ). Â ÷àñòíîì ñëó÷àå, åñëè k = 1, òî P a(α, δ) ðàñïðåäåëåíèå ïîëó÷åíî òàêæå, êàê è ðàíåå Z fX (x) = fλ (λ)fX|λ (x | λ)dλ Z ∞ = λk δ α α−1 λ exp(−δλ) × ( xk−1 exp(−λx))dλ Γ(α) Γ k) 0 α k−1 Z ∞ δ x λα+k−1 exp{−(x + δ)λ}dλ = Γ(α)Γ(k) 0 = Γ(α + k)δ α xk−1 , Γ(α)Γ(k) (x + δ)α+k x > 0, ãäå êîíå÷íûé èíòåãðàë âû÷èñëÿåòñÿ îò G(α + k, δ + x) èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèè. À, çíà÷èò, ìû íàøëè ôóíêöèþ ïëîòíîñòè îáîáùåííîãî Ïàðåòîðàñïðåäåëåíèÿ. 40 Ìîìåíòû îáîáùåííîãî Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèÿ ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû R ëèáî íåïîñðåäñòâåííûì âû÷èñëåíèåì xf (x)dx, ëèáî èñïîëüçîâàíèåì óñëîâíîãî àðãóìåíòà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. ×òî êàñàåòñÿ îöåíêè, òàê êàê ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ íå îïðåäåëåíà, òî ìåòîä ïðîöåíòèëåé èñïîëüçîâàòü íåëüçÿ. ÌÌÏ ìîæåò áûòü ïðèìåíåí, íî, îïÿòü æå, íåîáõîäèìî ïîäõîäÿùåå ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå; ìåòîä ìîìåíòîâ ìîæåò îáåñïå÷èòü íà÷àëüíûå îöåíêè äëÿ ëþáîé èòåðàöèîííîé ñõåìû. 41 2 Ôîðìóëû Ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå fX (x) = λα α−1 −λx x e , Γ(α) x>0 Ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå fX (x) = 1 log x − µ 2 ) ], exp[− ( 2 σ xσ 2π 1 √ x>0 Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèå fX (x) = αλα , (λ + x)α+1 fX (x) = x>0 Γ(α + k)λα xk−1 , Γ(α)Γ(k)(λ + x)α+k äëÿ äâóõ ïàðàìåòðîâ x>0 îáùèé âèä Ðàñïðåäåëåíèå Áóððà fX (x) = αγλα xγ−1 , (λ + xγ )α+1 x>0 Èñêîâàÿ ÷àñòîòà Èñêîâàÿ ÷àñòîòà = êîëè÷åñòâî èñêîâ ñðåäíåå êîëè÷åñòâî ïîëèñîâ Ðèñêîâàÿ ïðåìèÿ Ðèñêîâàÿ ïðåìèÿ=Îæèäàåìàÿ ÷àñòîòà èñêà×Ñðåäíÿÿ âåëè÷èíà èñêà 42 3 Âîïðîñû ñòóäåíòàì Â1 Ïî÷åìó ðàññìàòðèâàåìûå ðàñïðåäåëåíèÿ íàçûâàþòñÿ ðàñïðåäåëåíèÿìè "óùåðáîâ à íå "èñêîâ"? O1 Óùåðá ýòî ïîëíàÿ ñòîèìîñòü âîññòàíîâëåíèÿ óùåðáà, òîãäà êàê èñêîâàÿ âåëè÷èíà ýòî òîëüêî äåéñòâèòåëüíàÿ âåëè÷èíà îïëà÷èâàåìîé ñóììû. Â ñëåäóþùåé ÷àñòè ìû óâèäèì, ÷òî ñòðàõîâùèê íå âñåãäà îáÿçàí âîçìåùàòü âñå ïîòåðè, íàïðèìåð, åñëè ïðèìåíÿåòñÿ ôðàíøèçà, åñëè óùåðá ïðåâûøàåò ñóììó, óêàçàííóþ â ïîëèñå èëè åñëè èñïîëüçîâàëîñü åùå êàêîå-ëèáî ñòðàõîâàíèå è ñòîèìîñòü ðàçäåëåíà. Ïîýòîìó âåëè÷èíà óùåðáà è âåëè÷èíà èñêà íå âñåãäà îäèíàêîâû. Â2 Âñå ëè îñíîâíûå ñòðàõîâûå èñêè îïëà÷èâàþòñÿ íà îñíîâå êîìïåíñàöèè óùåðáà? Î2 Ïîäàâëÿþùåå áîëüøèíñòâî äà. Îäíàêî, åñòü íåñêîëüêî ñèòóàöèé, êîãäà äåëî îáñòîèò èíà÷å. Íàïðèìåð: • Â ñòðàõîâàíèè èìóùåñòâà, ïîêðûòèå ìîæåò îáåñïå÷èâàòüñÿ íà îñíîâå ñèñòåìû íîâîå-çà-ñòàðîå, êîòîðàÿ îçíà÷àåò, ÷òî âñå ïðåäìåòû áóäóò çàìåíåíû íîâûìè ýêâèâàëåíòàìè(ïðåâûøàþùèìè ñòîèìîñòü ñòàðûõ ïðåäìåòîâ, êîòîðûå áûëè óòåðÿíû, óêðàäåíû èëè ïîâðåæäåíû). • Â ñòðàõîâàíèè îò íåñ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ âûïëà÷èâàþòñÿ çàðàíåå çàäàííûå ñóììû, åñëè çàñòðàõîâàííûé ÷åëîâåê ïîëó÷èë îïðåäåëåííûå òðàâìû, íàïðèìåð, ïîòåðþ êîíå÷íîñòè èëè ãëàçà. • Òðàâìèðîâàííûå ëþäè ìîãóò ïîëó÷èòü êîìïåíñàöèîííûå âûïëàòû, ïðåâûøàþùèå èõ äåéñòâèòåëüíûþ ìàòåðèàëüíóþ ñòîèìîñòü. Â3 Âåðíî ëè, ÷òî, åñëè äèñïåðñèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà áåñêîíå÷íîñòè, òî àñèììåòðèÿ òàêæå áóäåò áåñêîíå÷íîé? O3 Äà. Äëÿ òèïîâ ðàñïðåäåëåíèÿ óùåðáîâ, êîòîðûå ìû áóäåì èñïîëüçî- âàòü, îáíàðóæèòñÿ, ÷òî, êîãäà ìû ìåíÿåì ïàðàìåòðû, âûñøèå ìîìåíòû áóäóò "èäòè" âïåðåäè, òî åñòü ñíà÷àëà àñèììåòðèÿ ñòàíåò áåñêîíå÷íîé, çàòåì äèñïåðñèÿ, çàòåì ñðåäíåå çíà÷åíèå. Â4 Åñòü ëè ñìûñë â òîì, ÷òîáû ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå áûëî áîëüøå, ÷åì ñðåäíåå çíà÷åíèå? 43 O4 Äà. Ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðûå ìû ðàññìàòðèâàåì çäåñü, î÷åíü íåñèì- ìåòðè÷íûå, è íåò ïðè÷èí, ïî êîòîðûì ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå íå ìîãëî áû áûòü áîëüøå ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ. Â5 Äîëæíû ëè ìû ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå ðåàëüíûå ïåðèîäû âîçäåéñòâèÿ íà ïðèìåðå ÷àñòîòû èñêà? O5 Äà. ×òîáû íå óñëîæíÿòü ñèòóàöèþ, ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïðî- ôèëü äåðæàòåëÿ ïîëèñà îñòàíåòñÿ ïîñòîÿííûì íà ïðîòÿæåíèè âñåãî ïåðèîäà. Â6 Êàê ñèëüíî îòëè÷àþòñÿ ïðåìèè, ðåàëüíî ïðèñóòñòâóþùèå â îáùåì ñòðàõîâàíèè, ñ òåîðåòè÷åñêîé çíà÷åíèåì ïðåìèè? O6 Íà ïðàêòèêå, îáùèå ñòðàõîâûå ïðåìèè íàõîäÿòñÿ ïîä ñèëüíûì âëè- ÿíèåì êîíêóðåíòíîãî äàâëåíèÿ äðóãèõ êîìïàíèé. È äåéñòâèòåëüíûå ïðåìèè ìîãóò çíà÷èòåëüíî îòëè÷àòüñÿ îò òåîðåòè÷åñêèõ ïðåìèé. Òåì íå ìåíåå, âàæíî, ÷òî ñòðàõîâàòåëè îñîçíàþò, êàê ðåàëüíûå ïðåìèè ñîïîñòàâëÿþòñÿ ñ òåîðåòè÷åñêèìè, ïîýòîìó îíè ìîãóò ðàçäåëÿòü óùåðáû ïî îáëàñòÿì. 3.1 Ïîäñêàçêè äëÿ îòâåòîâ íà âîïðîñû 1. Âîïðîñû ê ýòîé òåìå îáû÷íî î÷åíü ïðîñòûå. Îäíàêî, âàì íóæíî ñ ëåãêîñòüþ óìåòü èíòåãðèðîâàòü ñòàíäàðòíûå ôóíêöèè, èíòåãðèðîâàòü ïî ÷àñòÿì èëè ñ ïîìîùüþ çàìåíû ïåðåìåííûõ. 2. Ïàðàìåòðû, èñïîëüçóåìûå â Ïàðåòî, Áóððà è Âåéáóëëà ðàñïðåäåëåíèÿõ, íå ÿâëÿþòñÿ ñòàíäàðòíûìè. Ïîýòîìó âîçüìèòå íà çàìåòêó êîíêðåòíûå ôóíêöèè ïëîòíîñòè, êîòîðûå çàäàíû â çàäà÷àõ, èñïîëüçóþùèõ ýòè ðàñïðåäåëåíèÿ. 44 4 Îòâåòû íà âîïðîñû äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè Ðåøåíèå 1.1 2 Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè äëÿ N (0, 1)-ðàñïðåäåëåíèÿ f (x) = √12π e−1/2x . Òîãäà ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ: M (t) = E(etX ) = Z∞ −∞ 1 2 etX √ e−1/2x = 2π 1/2t2 Z∞ =e −∞ Z∞ −∞ 1 2 √ e−1/2(x −2tx) dx 2π 1 2 √ e−1/2(x−t) dx 2π Íî ïîñëåäíèé èíòåãðàë ýòî èíòåãðàë ïî âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ N (t, 1), è ïîòîìó îí ðàâåí 1. Òîãäà ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà 2 e1/2t . Ðåøåíèå 1.2 Åñëè X èìååò LogGamma(α, λ) ðàñïðåäåëåíèå, òî Y = log X èìååò Gamma(α, λ) ðàñïðåäåëåíèå. Òîãäà, èñïîëüçóÿ ôóíêöèþ ïëîòíîñòè Gamma(α, λ) ðàñïðåäåëåíèÿ, íàéäåì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âåëè÷èíû èñêà: Z∞ λα α−1 −λy Y y e dy E(X) = E(e ) = ey Γ(α) 0 Ïðîñòåéøèé ñïîñîá âû÷èñëèòü ýòîò èíòåãðàë ýòî ïîäîáðàòü êîíñòàíòû òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ñäåëàòü åãî ïîõîæèì íà äðóãîå ãàììàðàñïðåäåëåíèå (â äàííîì ñëó÷àå, Gamma(α, λ − 1)-ðàñïðåäåëåíèå). ×òî äàåò (îáåñïå÷èâàÿ λ > 1): λα E(X) = (λ − 1)α Z∞ (λ − 1)α α−1 −(λ−1)y y e dy Γ(α) 0 λ = λ−1 α λ P [0 < Gamma(α, λ − 1) < ∞] = λ−1 α (Çàìåòèì, ÷òî âû ìîæåòå ïðèìåíÿòü ýòó ôîðìóëó äëÿ íàõîæäåíèÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ëîãíîðìàëüíîãî è ëîããàììà-ðàñïðåäåëåíèé, èñïîëüçóÿ ñëåäóþùèé ìåòîä: 45 Åñëè X èìååò LogN (µ, σ 2 ) ðàñïðåäåëåíèå, òî, ïî îïðåäåëåíèþ, Y = log X èìååò N (µ, σ 2 ) ðàñïðåäåëåíèå. Òîãäà ìîæíî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó äëÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ: 1 E(X) = E(eY ) = MY (1) = eµ+ 2 σ 2 Àíàëîãè÷íî, åñëè X èìååò LogGamma(α, λ) ðàñïðåäåëåíèå, òî, ïî îïðåäåëåíèþ, Y = log X èìååò Gamma(α, λ) ðàñïðåäåëåíèå: E(X) = E(eY ) = MY (1) = (1 − 1/λ)−α Õîòÿ ýòîò ìåòîä êàæåòñÿ äîâîëüíî êðàòêèì, îí íå ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ â êà÷åñòâå äîêàçàòåëüñòâà îñíîâíûõ ïðèíöèïîâ, òàê êàê ïðåäïîëàãàåò èçâåñòíîé ôîðìóëó äëÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ.) Ðåøåíèå 1.3 Ñðåäíåå çíà÷åíèå Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèÿ: R∞ xαλα (λ + x)−α−1 dx 0 Ñóùåñòâóþò äâà âîçìîæíûõ ñïîñîáà âû÷èñëåíèÿ ýòîãî èíòåãðàëà: (à) Âîñïîëüçóåìñÿ çàìåíîé t = λ + x: Z∞ −α−1 α xαλ (λ + x) Z∞ dx = (t − λ)αλα t−α−1 dx 0 λ = αλ α Z∞ −α t dt − αλ λ = αλ α α+1 Z∞ t−α−1 dt λ ∞ −α ∞ t α+1 t − αλ −α + 1 λ −α λ −α+1 αλ −λ α−1 λ = α−1 Ýòè âû÷èñëåíèÿ âîçìîæíû òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà èíòåãðàë ñõîäèòñÿ íà áåñêîíå÷íîñòè. Òàêîå óñëîâèå òðåáóåò, ÷òîáû âûðàæåíèÿ, íàõîäÿùèåñÿ â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ áûëè îòðèöàòåëüíû, ÷òî áóäåò âûïîëíÿòñÿ ïðè α > 1. = 46 (á) Çàïèøåì íà÷àëüíîå x â èíòåãðàëå, êàê (λ + x) − λ è ðàçîáüåì åãî íà äâà èíòåãðàëà, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàñïðåäåëåíèþ Ïàðåòî: Z∞ Z∞ xαλα (λ + x)−α−1 dx = [(λ + x) − λ]αλα (λ + x)−α−1 dx 0 0 αλ α−1 Z∞ Z∞ α−1 −α (α − 1)λ (λ + x) dx − λ αλα (λ + x)−α−1 dx 0 0 αλ P [0 < P areto(α − 1, λ) < ∞] − λP [0 < P areto(α, λ) < ∞] α−1 αλ = −λ α−1 λ = α−1 Êàê àëüòåðíàòèâíûé âàðèàíò âû ìîæåòå èñïîëüçîâàòü èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì, èëè çàïèñàòü ýòîò èíòåãðàë, êàê ôóíêöèþ ïëîòíîñòè îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî. Ðåøåíèå 1.4 Ôîðìóëà, äàííàÿ â Òàáëèöàõ äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Áóððà: λ1/γ Γ(α − 1/γ)Γ(1 + 1/γ) Γ(α) Êîãäà γ = 1, ïîëó÷àåì: λΓ(α − 1) × 1 λ λΓ(α − 1)Γ(2) = = , Γ(α) (α − 1)Γ(α − 1) α−1 ÷òî ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëîé äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî. Ðåøåíèå 1.5 Ñðåäíåå çíà÷åíèå ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà: Z∞ E(X) = γ xcγxγ−1 e−cx dx 0 47 Ïîäñòàâëÿÿ u = cxγ , ïîëó÷àåì, ÷òî du = cγxγ−1 , è, â èòîãå: dx Z∞ E(X) = xe −u Z∞ h i1/γ u e−u du du = c 0 0 Ïîïðîáóåì ïðåäñòàâèòü ýòîò èíòåãðàë â âèäå ôóíêöèè ïëîòíîñòè äëÿ Gamma(1 + 1/γ, 1) ðàñïðåäåëåíèÿ: E(X) = c−1/γ Γ(1 + 1/γ) Z∞ 1 u1/γ e−u du Γ(1 + 1/γ) 0 Γ(1 + 1/γ) Γ(1 + 1/γ) P [0 < Gamma(1 + 1/γ, 1) < ∞] = 1/γ c c1/γ Ýòî ñîîòâåòñòâóåò ôîðìóëå, ïðèâåäåííîé â Òàáëèöàõ, äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà. = Ðåøåíèå 1.6 Ôîðìóëà äëÿ äèñïåðñèè ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà, äàííàÿ â Òàáëèöàõ : 2 Γ(1 + 1/γ) Γ(1 + 2/γ) − c2/γ c1/γ Ïðè γ = 1: 2 2 Γ(3) Γ(2) 2 1 1 − = 2− = 2, 2 c c c c c ÷òî ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëîé äèñïåðñèè ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ λ = c. Ðåøåíèå 1.7 Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà: Zx FX (x) = γ cγxγ−1 e−cxγ dx = −e−cxγ 0x = 1 − e−cx 0 Òîãäà: 1.5 = 1 − 0.0291 = 0.9709 1.5 = 1 − 0.2865 = 0.7135 FX (5000) = 1 − e−0.00001×5000 FX (2500) = 1 − e−0.00001×2500 Ïîëó÷àåì òðåáóåìóþ âåðîÿòíîñòü: FX (5000) − FX (2500) = 0.9709 − 0.7135 = 0.2574 48 Ðåøåíèå 1.8 Ïðè k = 2 ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî: fX (x) = Γ(α + 2) α λ x(λ + x)−α−2 = (α + 1)αλα x(λ + x)−α−2 Γ(α)Γ(2) Âîñïîëüçóåìñÿ ïîäñòàíîâêîé t = λ + x è çàïèøåì âåðîÿòíîñòü èñêà, ïðåâûøàþùåãî M : Z∞ P (X > M ) = (α + 1)αλα x(λ + x)−α−2 dx M Z∞ = (α + 1)αλα (t − λ)t−α−2 dt λ+M = (α + 1)αλα Z∞ t−α−1 dt − (α + 1)αλα+1 λ+M Z∞ t−α−2 dt λ+M −α−1 ∞ −α ∞ t α+1 α t − (α + 1)αλ = (α + 1)αλ −α λ+M −α − 1 λ+M α α+1 λ λ = (α + 1) −α λ+M λ+M Ïîäñòàâëÿÿ α = 5, λ = 200 è M = 300 ïîëó÷àåì èñêîìóþ âåðîÿòíîñòü: λ (α + 1) λ+M α λ −α λ+M α+1 200 =6 200 + 300 5 200 −5 200 + 300 6 = 6 × 0.45 − 5 × 0.46 = 0.041, òî åñòü 4.1% èñêîâ áóäóò ïðåâûøàòü £300000. Ðåøåíèå 1.9 2 Äèñïåðñèÿ Gamma(α, λ/1.1) ðàñïðåäåëåíèÿ 1.1λ2 α 1.21× λα2 . Òî åñòü äèñïåðñèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ðàçìåðà èñêà âîçðàñòåò íà 21%. Åñëè ñðàâíèòü ýòî ñî ñòàíäàðòíûìè îòêëîíåíèÿìè, òî ìû óâèäèì, ÷òî ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå â äàííîì ñëó÷àå âîçðàñòåò íà 10%, â îòëè÷èå îò òîãî, êàê ìû ìîãëè áû îæèäàòü. 49 Ðåøåíèå 1.10 Ïóñòü Y = (1 + k)X . Ñäåëàåì ïîäñòàíîâêó y = (1 + k)x â èíòåãðàëå ôóíêöèè ïëîòíîñòè: Z∞ αλα dx = (λ + x)α+1 0 Z∞ 0 αλα dy = y α+1 (λ + 1+k ) 1+k Z∞ αλα (1 + k)α dy (λ(1 + k) + y)α+1 0 Ýòî ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè P areto(α, λ(1 + k)) ðàñïðåäåëåíèÿ. Çíà÷èò, ýòî ðàñïðåäåëåíèå èíôëÿöèîííûõ ðàçìåðîâ èñêà. Ðåøåíèå 1.11 Åñëè N ýòî îáùåå ÷èñëî èñêîâ, òî ìû èìååì: Z∞ P (N = n) = pN |θ (n)fθ (θ)dθ 0 Z∞ −θ n 1 α α−1 −δθ e θ = × δ θ e dθ n! Γ(α) 0 Ïðåîáðàçóåì ýòî âûðàæåíèå ê èíòåãðàëó Gamma(n + α, δ + 1) ðàñïðåäåëåíèÿ: Γ(n + α) δ α P (N = n) = n!(δ + 1)n+α Γ(α) Z∞ 1 (δ + 1)n+α θn+α−1 e−(δ+1)θ dθ Γ(n + α) 0 δα Γ(n + α) , n!Γ(α) (δ + 1)n+α n = 0, 1, 2, . . . Ïðåäñòàâèì åãî â âèäå: α n n+α−1 δ 1 P (N = n) = , n δ+1 δ+1 n = 0, 1, 2, . . . è ïîëó÷èì îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè δ è k = α. p = δ+1 50 Ðåøåíèå 1.12 Âîñïîëüçóåìñÿ òåì æå ñïîñîáîì: Z∞ P (X = x) = fX|p (x)fp (p)dp 0 Z∞ Γ(α + β) α−1 n x p (1 − p)n−x = p (1 − p)β−1 dp x Γ(α)Γ(β) 0 Ïðèâåäåì ýòî âûðàæåíèå ê âèäó Beta(x + α, n − x + β) ðàñïðåäåëåíèÿ: P (X = x) = Z1 Γ(x + α)Γ(n − x + β)Γ(α + β)n! × Γ(n + α+)Γ(α)Γ(β)(n − x)!x! Γ(n + α + β) px+α−1 (1 − p)n−x+β−1 dp Γ(x + α)Γ(n − x + β) × 0 Òîãäà îáùåå ðàñïðåäåëåíèå èñêîâ: P (X = x) = Γ(x + α)Γ(n − x + β)Γ(α + β)n! , Γ(n + α+)Γ(α)Γ(β)(n − x)!x! x = 0, 1, 2, . . . , n. Ðåøåíèå 1.13 Ïðèðàâíèâàåì ôîðìóëû ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ è ñòàíäàðòíîãî îòêëîíåíèÿ Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèÿ ê çàäàííûì âåëè÷èíàì: r λ λ α = 5000è = 7500 α−1 α−1 α−2 Äåëèì âòîðîå ðàâåíñòâî íà ïåðâîå: r α 7500 = = 1.5 α−2 5000 α Òîãäà α−2 = 1.52 = 2.25 α = 2.25(α − 2) ⇒ α = 4.5/1.25 = 3.6 Ìîæíî íàéòè λ: λ = 5000(3.6 − 1) = 13000 51 Äàëåå, ïðîöåíò èñêîâ, ïðåâûøàþùèõ £25000: Z∞ P (X > 25000) = αλα (λ + x)−α−1 dx 25000 = [−λα (λ + x)−α ]∞ 25000 α λ = λ + 25000 3.6 13000 = 0.021, = 13000 + 25000 òî åñòü 2,1% èñêîâ áóäóò ïðåâûøàòü £25000. Îáà îòâåòà îäèíàêîâûå. Çíà÷èò, £25000 ýòî êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà, â êîòîðîé âåðîÿòíîñòè ëþáûõ ðàñïðåäåëåíèé óùåðáà ðàâíû. Ðåøåíèå 1.14 Ïîäîáíàÿ ôóíêöèÿ: L(α, λ, γ) = αn γ n λnα Πxγ−1 Π(λ + xγi )−α−1 i Âîçüìåì ëîãàðèôì: log L = n log α + n log γ + nα log λ + (γ − 1) X log xi − (α + 1) X log(λ + xγi ) Äèôôåðåíöèðóåì ïî α: X n ∂ log L = + n log λ − log(λ + xγi ) ∂α α Óñòðåìëÿåì ðàâåíñòâî ê 0 è ïðåîáðàçóåì: α e= P n log(λ + xγi ) − n log λ Ïîäñòàíîâêà èçâåñòíûõ çíà÷åíèé λ = 500 è γ = 2 äàåò èñêîìûé ðåçóëüòàò. P Ïîñëå óïðîùåíèé ïîëó÷èì log(500 + x2i ) = 47.6245. Ïîäñòàâëÿÿ äàííîå çíà÷åíèå, íàõîäèì α e = 0.3021 52 Ðåøåíèå 1.15 Îæèäàåìàÿ ÷àñòîòà èñêà: 315 = 0.050806 6200 Ñðåäíÿÿ âåëè÷èíà èñêà ýòî ñðåäíåå çíà÷åíèå Gamma(50, 0.02) ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðàÿ ðàâíà: 50 = 2500 0.02 Òîãäà ðèñêîâàÿ ïðåìèÿ: 0.050806 × 2500 = £127.02 Òîãäà çíà÷åíèå ïðåìèè P óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó: P = 127.02 + 50 × 0.050806 + 0.35P Òî åñòü çíà÷åíèå ïðåìèè ðàâíî £199.32. Ðåøåíèå 1.16 Âîò ñïèñîê âîçìîæíûõ ïðè÷èí: 1. Òåêóùåå ðàñïðåäåëåíèå ðàçìåðà èñêà ìîæåò íå ïîäõîäèòü äëÿ èñêîâ, êîòîðûå áóäóò èìåòü ìåñòî â áóäóùåì. 2. Íåîáõîäèìîñòü êîíêóðåíöèè íà ðûíêå ìîæåò îçíà÷àòü, ÷òî òåîðåòè÷åñêàÿ ïðåìèÿ íå ñîîòâåòñòâóåò äåéñòâèòåëüíîé. 3. ×àñòîòà èñêà ìîæåò èçìåíÿòñÿ ñâåðõ îæèäàíèÿ. Åñëè çà ïîñëåäíèå íåñêîëüêî ëåò èìåëî ìåñòî 3150 èñêîâ, òî ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ÷àñòîòà èñêà âîçðàñòåò ñâåðõ îæèäàåìîé íîðìû, â ýòîì ñëó÷àå 0.050806 4. Çàêîíîäàòåëüñòâî ìîæåò ââîäèòü îãðàíè÷åíèÿ (âåðõíèå èëè íèæíèå) íà ïðåìèè. 5. Ýòè âû÷èñëåíèÿ èãíîðèðóþò âðåìåííûå äåíåæíûå õàðàêòåðèñòèêè (òàêèõ êàê äîëÿ (êàïèòàëà) â äåëå è èíôëÿöèÿ) 53 Ðåøåíèå 1.17 Ïðîâåðèì, ÷òî: H0 : N (µ, σ 2 ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óäà÷íóþ ìîäåëü äëÿ ýòèõ èñêîâ. H1 : N (µ, σ 2 ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåóäà÷íóþ ìîäåëü. Çíà÷åíèå òåñòîâîé ñòàòèñòèêè: 2 χ = X (O − E)2 E (120 − 104)2 (62 − 76)2 = + ... + = 25.94 104 76 Ñðàâíèâàÿ ýòî çíà÷åíèå ñ ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êîé χ22 ðàñïðåäåëåíèÿ (5 ýëåìåíòîâ ìèíóñ 2 îöåíî÷íûõ ïàðàìåòðà ìèíóñ 1), ìû ïîëó÷èì âåðîÿòíîñòíîå çíà÷åíèå, ãîðàçäî ìåíüøåå, ÷åì 0.005. Òîãäà äëÿ íàñ ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíîé íåîïòèìàëüíîñòü H0 , è ìîæíî ñäåëàòü çàêëþ÷åíèå, ÷òî íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå â äàííîì ñëó÷àå íå ÿâëÿåòñÿ ïîäõîäÿùèì. Çàêëþ÷åíèå ÷àñòè I Ðàçìåðû èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ ìîãóò áûòü îïèñàíû ñ ïîìîùüþ ðàññïðåäåëåíèé óùåðáà. Íàïðèìåð, ñòàíäàðòíûõ ðàñïðåäåëåíèé, òàêèõ êàê ëîãíîðìàëüíîå, Ãàììà, Ïàðåòî, ðàñïðåäåëåíèÿ Áóðà, Âåéáóëëà. Ðèñêîâàÿ ïðåìèÿ è òåîðåòè÷åñêàÿ îôèñíàÿ ïðåìèÿ ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû, çíàÿ ðàñïðåäåëåíèå óùåðáà è ÷àñòîòó èñêîâ. 54 ×àñòü II 55 Ãëàâà 3 Ïåðåñòðàõîâàíèå Öåëè ãëàâû Ê êîíöó äàííîé ãëàâû âû áóäåòå óìåòü: • îïèñûâàòü îñíîâíûå âèäû ïåðåñòðàõîâàíèÿ, èñïîëüçóåìûå ïðè îáùåì ñòðàõîâàíèè • îïèñûâàòü ïðèíöèï äåéñòâèÿ ýêñöåäåíòíîãî ïîëèñà • âûïîëíÿòü ïðîñòûå âû÷èñëåíèÿ, îòíîñÿùèåñÿ ê ïåðåñòðàõîâàíèþ è ýêñöåäåíòíûì ïîëèñàì 1 Ââåäåíèå Ïåðåñòðàõîâàíèå (reinsurance). Ñòðàõîâùèêè ÷àñòî ïîëüçóþòñÿ ñòðàõîâûìè óñëóãàìè äðóãèõ ñòðàõîâûõ êîìïàíèé äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðåäîñòåðå÷ü ñåáÿ îò ðàçëè÷íûõ ñëó÷àéíîñòåé, íàïðèìåð, âîçìîæíîñòè âîçíèêíîâåíèÿ ñëèøêîì êðóïíûõ èñêîâ. Ïðÿìîé ñòðàõîâùèê (direct insurer) ýòî ñòðàõîâùèê, äåÿòåëüíîñòü êîòîðîãî íàïðÿìóþ ñâÿçàíà ñî ñòðàõîâàòåëåì. Ïåðåñòðàõîâùèê (reunsurer) ýòî ñòðàõîâùèê, êîòîðûé ñîãëàñåí ïðèíÿòü ÷àñòü ðèñêà, ïåðåäàííîãî ïðÿìîìó ñòðàõîâùèêó. Ïðÿìîé ñòðàõîâùèê îáÿçóåòñÿ ïëàòèòü ïðåìèè ïåðåñòðàõîâùèêó è ïðèíèìàòü âîçìåùåíèÿ èñêîâ â ñëó÷àå, êîãäà èñêè ïðåâûøàþò äîïóñòèìîå çíà÷åíèå â ðàìêàõ äîãîâîðà ïåðåñòðàõîâàíèÿ. Ïåðåñòðàõîâàíèå ìîæåò äåéñòâîâàòü â ñîîòâåòñòâèè ñ äîãîâîðîì, ñîãëàñíî êîòîðîìó âñå ðèñêè èç îñîáîé êàòåãîðèè (íàïðèìåð, íåáîëüøèå àäìèíèñòðàòèâíûå çäàíèÿ â Ëîíäîíå) àâòîìàòè÷åñêè ïîêðûâàþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ñîãëàøåíèåì ïåðåñòðàõîâàíèÿ (ôàêóëüòàòèâíî), òàêèì îáðàçîì, ïåðåñòðàõîâàíèå êàæäîãî ðèñêà íîñèò èíäèâèäóàëüíûõ õàðàêòåð. 56 Ïðåìèè è èñêè õàðàêòåðèçóþòñÿ êàê íåòòî, åñëè îíè áûëè óñòàíîâëåíû ñ ó÷åòîì ïåðåñòðàõîâàíèÿ, è áðóòòî åñëè íåò. Íà ïðàêòèêå, ñòðàõîâùèê ìîæåò èìåòü íåñêîëüêî äîãîâîðîâ ïåðåñòðàõîâàíèÿ, äåéñòâóþùèõ îäíîâðåìåííî. Ïîëèñû îáùåãî ñòðàõîâàíèÿ ÷àñòî âêëþ÷àþò â ñåáÿ ôðàíøèçû, ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî ñòðàõîâàòåëü ñàì äîëæåí îïëàòèòü îïðåäåë¼ííóþ ÷àñòü ñòðàõîâîãî âîçìåùåíèÿ äî ïîêðûòèÿ ïîëíîãî óáûòêà. Â ñëó÷àå ïåðåñòðàõîâàíèÿ èëè ýêñöåäåíòíûõ ïîëèñîâ äîëæíû áûòü óñòàíîâëåíû ðèñêîâûå ïðåìèè ñòðàõîâùèêà, ò.ê. ñòðàõîâùèê íå áóäåò îáÿçàí âûïëà÷èâàòü ïîëíóþ ñòîèìîñòü êàæäîãî óáûòêà. Âîò òî, ÷òî ìû áóäåì îáñóæäàòü â ýòîé ãëàâå. Ïðàêòè÷åñêèå àñïåêòû ïåðåñòðàõîâàíèÿ èçëîæåíû â Ðàçäåëå G. Îñíîâû òåîðèè ýòîé ãëàâû îõâàòûâàþò ðàñ÷åòû, êàñàþùèåñÿ èíäèâèäóàëüíîãî ïåðåñòðàõîâàíèÿ ýêñöåäåíòà óáûòêà, à òàêæå êîðîòêèå ïàðàãðàôû î ïðîïîðöèîíàëüíîì ñòðàõîâàíèè è ýêñöåäåíòíûõ ïîëèñàõ. 2 Òèïû ïåðåñòðàõîâàíèÿ Ïåðåñòðàõîâàíèå ìîæåò áûòü äâóõ âèäîâ: ïðîïîðöèîíàëüíîå è íåïðîïîðöèîíàëüíîå. 2.1 Ïðîïîðöèîíàëüíîå ïåðåñòðàõîâàíèå Ñîãëàñíî äîãîâîðó ïðîïîðöèîíàëüíîãî ïåðåñòðàõîâàíèÿ, ïðÿìîé ñòðàõîâùèê è ïåðåñòðàõîâùèê ðàçäåëÿþò ïðåìèè è âåëè÷èíó êàæäîãî èñêà â îïðåäåë¼ííûõ ïðîïîðöèÿõ. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå ñòðàõîâàíèÿ êîíêðåòíîãî çäàíèÿ îò ïîæàðà ïðÿìîé, ñòðàõîâùèê ìîæåò óäåðæàòü 75% îò ïðåìèè è áóäåò îáÿçàí îïëàòèòü 75% îò êàæäîãî èñêà, êàê êðóïíîãî, òàê è íåò. Ïðîïîðöèîíàëüíîå ñòðàõîâàíèå áûâàåò äâóõ âèäîâ: • Êâîòíûé äîãîâîð ïåðåñòðàõîâàíèÿ, ãäå ïðîïîðöèè (äîëè) îäèíàêîâû äëÿ âñåõ ðèñêîâ. • Ïåðåñòðàõîâàíèå íà áàçå ýêñöåäåíòà ñóììû, ãäå äîëè óäåðæàíèÿ âàðüèðóþòñÿ îò ðèñêà ê ðèñêó. 2.2 Íåïðîïîðöèíàëüíîå ïåðåñòðàõîâàíèå Ñîãëàñíî äîãîâîðó íåïðîïîðöèîíàëüíîãî ïåðåñòðàõîâàíèÿ, ïðÿìîé ñòðàõîâùèê âûïëà÷èâàåò ôèêñèðîâàííóþ ïðåìèþ ïåðåñòðàõîâùèêó. 57 Åäèíñòâåííîå îáÿçàòåëüñòâî ïåðåñòðàõîâùèêà ïðîèçâîäèòü ïëàòåæè, êîãäà ÷àñòü âåëè÷èíû èñêà ïîïàäàåò â îòäåëüíûé óðîâåíü ïåðåñòðàõîâàíèÿ (íàïðèìåð, îò £1m äî £5m). Óðîâåíü îïðåäåëÿåòñÿ íèæíèì ïðåäåëîì - óðîâåíü ñîáñòâåííîãî óäåðæàíèÿ (retention limit) (íàïðèìåð, £1m) è âåðõíèì ïðåäåëîì (íàïðèìåð, £5m èëè "∞ åñëè âîçìåùåíèå íåîãðàíè÷åíî). Îáû÷íî, áîëüøèíñòâî èñêîâ óäîâëåòâîðÿþòñÿ â ïîëíîì ðàçìåðå ïðÿìûì ñòðàõîâùèêîì. Ìû ðàçáåð¼ì äâà âèäà äîãîâîðîâ íåïðîïîðöèîíàëüíîãî ñòðàõîâàíèå: • Äîãîâîð ïåðåñòðàõîâàíèÿ ýêñöåäåíòà óáûòêà (excess of loss - XOL). Ïåðåñòðàõîâùèê îáÿçàí ïðîèçâîäèòü âûïëàòû, êîãäà âåëè÷èíà èñêà ïðåâçîéäåò îïðåäåë¼ííóþ òî÷êó ýêñöåäåíòà (excess point èëè retention). Íàïðèìåð, ïåðåñòðàõîâùèê ìîæåò ñîãëàñèòüñÿ âûïëà÷èâàòü äîëþ ïðåâûøåíèÿ îò êàæäîãî ïîëèñà àâòîìîáèëüíîãî ñòðàõîâàíèÿ, ïðåâûøàþùåãî £50,000, íî íå áîëüøå îïðåäåë¼ííîãî ïðåäåëà - £2,000,000. • Äîãîâîð ïåðåñòðàõîâàíèÿ ýêñöåäåíòà óáûòî÷íîñòè (stop loss). Ïåðåñòðàõîâùèê îáÿçàí ïðîèçâîäèòü âûïëàòû, åñëè âåëè÷èíà ñóììû âñåõ èñêîâ îïðåäåë¼ííîé ãðóïïû ïîëèñîâ ïðåâçîéä¼ò êîíêðåòíóþ âåëè÷èíó (îáû÷íî âûðàæåííóþ â ïðîöåíòàõ îò áðóòòî-ïðåìèè). Íàïðèìåð, ïåðåñòðàõîâùèê ìîæåò ñîãëàñèòüñÿ îïëà÷èâàòü 90% îò âåëè÷èíû ïðåâûøåíèÿ, êîãäà âåëè÷èíà ñóììû èñêîâ äëÿ âñåõ äîãîâîðîâ àâòîìîáèëüíîãî ñòðàõîâàíèÿ ïðåâçîéä¼ò 105% îò îáùåé áðóòòîïðåìèè, áåç âåðõíåãî ïðåäåëà. Äèàãðàììû íèæå ïîêàçûâàþò âåëè÷èíû âûïëàò ïðÿìîãî ñòðàõîâùèêà è ïåðåñòðàõîâùèêà â ñëó÷àå (a) êâîòíîãî äîãîâîðà è (b) XOLäîãîâîðà ñ óðîâíåì ïåðåñòðàõîâàíèÿ £30,000 è óðîâíåì ïðåâûøåíèÿ £20,000. Âåëè÷èíû èñêîâ ñîñòàâëÿþò £30,000, £55,000, £15,000. Ò¼ìíûì öâåòîì âûäåëåíû âûïëàòû, ïðîèçâîäèìûå ïåðåñòðàõîâùèêîì. 60 6 50 40 30 20 10 0 - (a) 25% êâîòíûé äîãîâîð 58 60 6 50 40 30 20 10 0 - (b) XOL (£30,000 ñ ïðåâûøåíèåì £20,000) Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 3.1. Ñòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ À èìååò êâîò- íûé äîãîâîð ïåðåñòðàõîâàíèÿ, ñîãëàñíî êîòîðîìó ïåðåñòðàõîâùèê R ïðèíèìàåò 25% îò êàæäîãî ðèñêà. Ñòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ B èìååò äîãîâîð ïåðåñòðàõîâàíèÿ ýêñöåäåíòà óáûòêà (XOL), ïî êîòîðîìó ïåðåñòðàõîâùèê R îïëà÷èâàåò äîëþ ïðåâûøåíèÿ êàæäîãî èñêà, ïðåâîñõîäÿùåãî âåëè÷èíó £200,000, íî íå áîëåå £100,000. Â òå÷åíèå îäíîãî ìåñÿöà: Êîìïàíèè À áûëè ïðåäúÿâëåíû èñêè íà £400,000 è £10,000 Êîìïàíèè B áûëè ïðåäúÿâëåíû èñêè íà £250,000 è £75,000 Êàêóþ ñóììó îò êàæäîãî èç ýòèõ èñêîâ âûïëàòÿò A, B è R? 3 Ôðàíøèçû Òàê êàê áîëüøèíñòâî ñòðàõîâàòåëåé îáåñïîêîåíî ãëàâíûì îáðàçîì âîçìîæíîñòüþ áîëüøèõ ïîòåðü, ìíîãèå ñòðàõîâûå ïîëèñû âêëþ÷àþò ôðàíøèçû (policy excess) (êîòîðûå ìîãóò áûòü óñëîâíûìè èëè áåçóñëîâíûìè ñî ñòîðîíû ñòðàõîâàòåëÿ), ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî ñòðàõîâàòåëü ñàì äîëæåí îïëàòèòü îïðåäåë¼ííóþ ÷àñòü ñòðàõîâîãî âîçìåùåíèÿ äî ïîêðûòèÿ ïîëíîãî óáûòêà. Ñòðàõîâùèê îïëà÷èâàåò òîëüêî ÷àñòü óáûòêà, ïðåâîñõîäÿùóþ ôðàíøèçó. Íàïðèìåð, áîëüøèíñòâî ïîëèñîâ èíäèâèäóàëüíîãî àâòîìîáèëüíîãî ñòðàõîâàíèÿ âêëþ÷àþò îáÿçàòåëüíóþ ôðàíøèçó â £50 èëè £100. Êîãäà âåëè÷èíà ñóììû ïðåäúÿâëåííîãî èñêà îêàçûâàåòñÿ ìåíüøå óñòàíîâëåííîé ôðàíøèçû, ôàêòè÷åñêàÿ âåëè÷èíà âûïëàò ñòðàõîâùèêà ðàâíà íóëþ, ÷òî ïðèâîäèò ê íóëåâîìó èñêó (zero claim). 59 4 Ðàñïðåäåëåíèå íåòòî-èñêîâ Ìû ìîæåì íàõîäèòü ìîìåíòû äëÿ âåëè÷èíû íåòòî-ñóììû âûïëàò äëÿ ïðÿìîãî ñòðàõîâùèêà èëè ïåðåñòðàõîâùèêà, ðàññìàòðèâàÿ íåòòî-ñóììû, âûïëà÷èâàåìûå ïî áðóòòî-èñêàì ðàçëè÷íûõ ðàçìåðîâ. Ï ð è ì å ð 3.1 Ïåðåñòðàõîâùèê ñîãëàñåí ïðîèçâîäèòü ñëåäóþùèå âûïëàòû îòíîñèòåëüíî èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ, ïðåäúÿâëåííûõ ïðÿìîìó ñòðàõîâùèêó: íîëü, åñëè ðàçìåð èñêà ìåíüøå £5,000 âåëè÷èíó ïðåâûøåíèÿ £5,000, åñëè èñê îò £5,000 äî £10,000 ïîëîâèíó âåëè÷èíû èñêà, åñëè åãî ðàçìåð îò £10,000 äî £20,000 £10,000, åñëè âåëè÷èíà èñêà ïðåâûøàåò £20,000 Ïîñòðîèòü ãðàôèê, ïîêàçûâàþùèé âåëè÷èíó âûïëàò ïåðåñòðàõîâùèêà äëÿ èñêîâ, ïðåäúÿâëåííûõ ïðÿìîìó ñòðàõîâùèêó. Ð å ø å í è å Âûïëàòû ïåðåñòðàõîâùèêà ìîãóò áûòü îïèñàíû ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè g(x) , ãäå x - ðàçìåð îñíîâíîãî èêà  0    x − 5, 000 g(x) =  x/2   10, 000 åñëè åñëè åñëè åñëè x ≤ 5, 000 5, 000 < x ≤ 10, 000 10, 000 < x ≤ 20, 000 20, 000 < x Ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè èìååò ñëåäóþùèé âèä: 12000 6 10000 8000 6000 4000 2000 0 Ï ð è ì å ð 3.2 - 5000 10000 15000 20000 Çàïèñàòü â èíòåãðàëüíîé ôîðìå âûðàæåíèå äëÿ ñðåäíå- ãî çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû âûïëàò ïåðåñòðàõîâùèêà èç ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà, èñïîëüçóÿ f (x) äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé âåëè÷èíû îñíîâíûõ èñêîâ. Ð å ø å í è å Ñðåäíåå çíà÷åíèå âåëè÷èíû âûïëàò ïåðåñòðàõîâùèêà E[g(X)], 60 ãäå x îáîçíà÷àåò âåëè÷èíó áðóòòî-èñêà è g(x) - ôóíêöèÿ èç ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà. Çíà÷èò: Z∞ E[g(X)] = g(x)f (x)dx 0 Äëÿ ïîëó÷åíèÿ íåîáõîäèìîãî âûðàæåíèÿ, ðàçîáü¼ì ýòîò èíòåãðàë, ðàññìàòðèâàÿ ôóíêöèþ g(x) ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ x. Ïîëó÷èì: 10,000 Z 5,000 Z (x − 5, 000)f (x)dx+ 0f (x)dx + E[g(X)] = 5,000 0 20,000 Z + Z∞ x f (x)dx + 2 10,000 10, 000dx 2,000 Óïðîñòèì âûðàæåíèå, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïåðâûé èíòåãðàë ðàâåí íóëþ: 10,000 Z 20,000 Z (x − 5, 000)f (x)dx + E[g(X)] = 5,000 x f (x)dx + 2 10,000 Z∞ 10, 000dx 2,000 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 3.2. Çàïèøèòå â èíòåãðàëüíîé ôîðìå âûðàæåíèÿ äëÿ: a) ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû âîçìåùåíèÿ îñíîâíûõ èñêîâ äëÿ ïðÿìîãî ñòðàõîâùèêà b) ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ êâàäðàòà âåëè÷èíû âûïëàò ïðÿìîãî ñòðàõîâùèêà îòíîñèòåëüíî èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ c) äîëè îñíîâíûõ èñêîâ, êîòîðóþ ïîêðûâàåò ïåðåñòðàõîâùèê d) ÷àñòè èñêîâ, êîãäà íåòòî-ñóììà âûïëàò ïðÿìîãî ñòðàõîâùèêà ïðåâîñõîäèò £7,500 Ï ð è ì å ð 3.3 −λx , òî: (à) Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè f (x) = λ e ZU f (x)dx = e−λL − e−λU L è ZU xf (x)dx = 1 L+ λ −λL e L 61 1 − U+ λ e−λU (b) Èñõîäÿ èç ýòîãî, âû÷èñëèòü ñðåäíåå îæèäàåìîå íåòòî-ñóììû âûïëàò ïðÿìîãî ñòðàõîâùèêà èç Ïðèìåðà 3.1, åñëè ðàçìåðû îñíîâíûõ èñêîâ îïèñûâàþòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì ñî ñðåäíèì £4,000. Ðåøåíèå (a) Ïåðâûé ðåçóëüòàò ñëåäóåò èç íåïîñðåäñòâåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ: ZU λe−λx dx = −e−λx U = e−λL − e−λU L L Âòîðîé ðåçóëüòàò ìîæåò áûòü ïîëó÷åí ñ ïîìîùüþ èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì: ZU −λx xf (x)dx = x(−e U ) L L ZU − −e−λx dx = L 1 = (L e−λL − U e−λU ) + (e−λL − e−λU ) = λ 1 1 −λL e − U+ e−λU = L+ λ λ (b) Òåïåðü ìîæíî ïðèìåíèòü ýòè ôîðìóëû (ñî çíà÷åíèåì λ = 1/4, 000) äëÿ âû÷èñëåíèå ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû íåòòî-èñêà, èíòåãðàëüíàÿ ôîðìà êîòîðîãî äàíà â Ðåøåíèè 3.2(a): 5,000 Z E[h(X)] = 10,000 Z xf (x)dx + 0 20,000 Z + 10,000 5, 000f (x)dx+ 5,000 x f (x)dx + 2 Z∞ (x − 10, 000)f (x)dx = 20,000 −1.25 = (4, 000 − 9, 000 e ) + 5, 000(e−1.25 − e−2.5 )+ 1 + (14, 000 e−2.5 − 24, 000 e−5 ) + (24, 000 e−5 − 10, 000 e−5 ) = 2 = 1, 421.5 + 1, 022.1 + 493.7 + 94.3 = 3, 032 Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî óäîáíûõ èíòåãðàëüíûõ ôîðìóë, êîòîðûå óïðîùàþò âû÷èñëåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ êîíêðåòíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè. 62 4.1 Ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå êàñàåòñÿ ìîìåíòîâ ëîãíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ: Ñâîéñòâî ëîãíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Åñëè fX (x) ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé äëÿ LogNormal (µ, σ 2 ) - ðàñïðåäåëåíèÿ, òî: ZU 1 2 2 xk fX (x)dx = ekµ+ 2 k σ [Φ(Uk ) − Φ(Lk )] L ãäå Lk = log(L) − µ − kσ σ è Uk = log(U ) − µ − kσ σ è Φ(z) - ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî: Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå äëÿ fX (x) è ïðîèçâîäÿ çàìåíó t = log(x)−µ , ïîëóσ ÷èì: ZU ZU k x fX (x)dx = L ZUk k(µ+σt+kσ 2 ) e xk 1 √ xσ 2π 1 e− 2 ( log(x)−µ 2 σ ) dx = L 1 1 2 2 √ e− 2 (t+kσ ) dt = 2π Lk ZUk 1 2 1 2 2 1 2 2 √ ekµ+kσt+k σ e− 2 t −kσt− 2 k σ dt = 2π Lk 1 2 2 ekµ+ 2 k σ ZUk 1 2 1 2 2 1 √ e− 2 t dt = ekµ+ 2 k σ [Φ(Uk ) − Φ(Lk )] 2π Lk Åñëè L = 0 èëè U = 0, ýòó ôîðìóëó ìîæíî óïðîñòèòü, èñïîëüçóÿ òîò ôàêò, ÷òî Φ(−∞) = 0, Φ(0) = 1/2, Φ(∞) = 1 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 3.3. Íàéäèòå ñðåäíåå è äèñïåðñèþ, èñ- ïîëüçóÿ ôîðìóëó, äàííóþ âûøå. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 3.4. Åñëè f (x) ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ LogN ormal(7.5, 0.852 ), âû÷èñëèòå: 63 5,000 R (a) f (x)dx (b) 1,000 1,000 R xf (x)dx R∞ (c) 0 x2 f (x)dx 5,000 Åñëè â äàííîé âûøå ôîðìóëå ïîëîæèòü k = 1, ìû ñìîæåì íàéòè ñðåäíåå îæèäàåìîå âåëè÷èíû íåòòî-ñóììû èñêîâ, êîãäà îñíîâíûå èñêè èìåþò ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ï ð è ì å ð 3.4 Ñòðàõîâùèê ðàññìàòðèâàåò äâà âèäà äîãîâîðîâ ïåðåñòðàõîâàíèÿ: Äîãîâîð 1: 25% êâîòíûé äîãîâîð Äîãîâîð 2: äîãîâîð ïåðåñòðàõîâàíèÿ ýêñöåäåíòà óáûòêà ñ áåñêîíå÷íûì âåðõíèì ïðåäåëîì è óðîâíåì ñîáñòâåííîãî óäåðæàíèÿ 25,000. Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âåëè÷èíû íåòòî-âûïëàò, ïðîèçâîäèìûõ ñòðàõîâùèêîì: (à) áåç ïåðåñòðàõîâàíèÿ (b) ñ ïåðåñòðàõîâàíèåì ïî Äîãîâîðó 1 (ñ) ñ ïåðåñòðàõîâàíèåì ïî Äîãîâîðó 2 ïðè óñëîâèè, ÷òî èíäèâèäóàëüíûå ïîòåðè èìåþò ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè µ = 8.5 è σ 2 = 0.64. Ðåøåíèå (a) Áåç ïåðåñòðàõîâàíèÿ ñòðàõîâùèê îïëà÷èâàåò êàæäûé èñê â ïîëíîì îáú¼ìå. Òàêèì îáðàçîì, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàâíî: 1 2 1 E[X] = eµ+ 2 σ = e8.5+ 2 (0.64) = 6, 768 (b) Ïî Äîãîâîðó 1 ñòðàõîâùèê îïëà÷èâàåò 75% îò êàæäîãî èñêà. Âåëè÷èíà íåòòî-èñêà X1 = 0.75X è ñðåäíåå: E[X1 ] = 0.75E[X] = 0.75 ∗ 6, 768 = 5, 076 (c) Ïî Äîãîâîðó 2 ñòðàõîâùèê îïëà÷èâàåò 25,000 (îáîçíà÷èì óðîâåíü ñîáñòâåííîãî óäåðæàíèÿ ÷åðåç M ) îò êàæäîãî èñêà X . Ñëåäîâàòåëüíî, âåëè÷èíà íåòòî-èñêà X2 = min(X, M ). Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó, ïðèâåä¼ííóþ âûøå (ãäå M0 = (log 25, 000 − 8.5)/0.8 = 2.033 è M1 = M0 − 0.8 = 1.233 çàäàþò ñêîððåêòèðîâàííûå ïðåäåëû), íàéä¼ì ñðåäíåå: Z∞ ZM E[X2 ] = xfX (x)dx + M 0 µ+ 21 σ 2 e fX (x)dx = M [Φ(M1 ) − Φ(−∞)] + M [Φ(∞) − Φ(M0 )] = 6, 768 [Φ(1.233)] + 25, 000 [1 − Φ(2.033)] = 6, 557 64 Åñëè â ýòîé ôîðìóëå ïîëîæèòü k = 2, ìîæíî íàéòè âòîðîé íåöåíòðàëüíûé ìîìåíò âåëè÷èíû íåòòî-èñêà (ñëåäîâàòåëüíî, è äèñïåðñèþ), åñëè îñíîâíûå èñêè èìåþò ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ï ð è ì å ð 3.5 Íàéòè äèñïåðñèþ âåëè÷èíû íåòòî-ñóììû èñêîâ, âûïëà÷èâàåìûõ ñòðàõîâùèêîì (à) áåç ïåðåñòðàõîâàíèÿ (b) ñ ïåðåñòðàõîâàíèåì ïî Äîãîâîðó 1 (ñ) ñ ïåðåñòðàõîâàíèåì ïî Äîãîâîðó 2, èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà. Ðåøåíèå (a) Áåç ïåðåñòðàõîâàíèÿ ñòðàõîâùèê îïëà÷èâàåò êàæäûé èñê â ïîëíîì ðàçìåðå. Äèñïåðñèÿ â ýòîì ñëó÷àå ðàâíà: 2 2 V ar[X] = e2µ+σ (eσ − 1) = e2(8.5)+0.64 (e0.64 − 1) = (6, 408)2 (b) Ïî Äîãîâîðó 1 ñòðàõîâùèê îïëà÷èâàåò 75% îò êàæäîãî èñêà. Âåëè÷èíà íåòòî-èñêà X1 = 0.75X è äèñïåðñèÿ: V ar[X1 ] = 0.752 V ar[X] = 0.752 ∗ 6, 4082 = (4, 806)2 (c) Ïî Äîãîâîðó 2 ñòðàõîâùèê îïëà÷èâàåò 25,000 (îáîçíà÷èì óðîâåíü ñîáñòâåííîãî óäåðæàíèÿ ÷åðåç M ) îò êàæäîãî èñêà X . Ñëåäîâàòåëüíî, âåëè÷èíà íåòòî-èñêà X2 = min(X, M ). Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó, ïðèâåä¼ííóþ âûøå (M0 = (log 25, 000 − 8.5)/0.8 = 2.033 è M2 = M0 − 2(0.8) = 0.433), íàéä¼ì âòîðîé íåöåíòðàëüíûé ìîìåíò âåëè÷èíû íåòòî-èñêà: E[X22 ] = ZM Z∞ 2 x fX (x)dx + 0 2µ+2σ 2 e M 2 fX (x)dx = M 2 [Φ(M2 − Φ(−∞)] + M [Φ(∞) − Φ(M0 )] = 86, 876, 663 [Φ(0.433)] + (25, 000)2 [1 − Φ(2.033)] = 71, 135, 800 Òàêèì îáðàçîì, äèñïåðñèÿ ðàâíà: V ar[X2 ] = E[X22 ] − (E[X2 ])2 = 71, 135, 800 − (6, 557)2 = (5, 304)2 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 3.5. Íàéäèòå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå âåëè÷èíû èñêîâ, âûïëà÷èâàåìûõ ïåðåñòðàõîâùèêîâ â êàæäîì èç ýòèõ òð¼õ ñëó÷àåâ. 65 4.2 Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Ïîõîæàÿ ôîðìóëà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà äëÿ ïåðâîãî ìîìåíòà è â ñëó÷àå íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ: Ñâîéñòâî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Åñëè fX (x) ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé äëÿ N (µ, σ 2 ) - ðàñïðåäåëåíèÿ, òî: ZU xfX (x)dx = µ [Φ(U 0 ) − Φ(L0 )] − σ [φ(U 0 ) − φ(L0 )] L ãäå L0 = L−µ σ è U0 = U −µ σ è φ(z) è Φ(z) - ñîîòâåòñòâåííî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ è ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî: , ïîëó÷èì: Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå äëÿ fX (x) è ïðîèçâîäÿ çàìåíó z = x−µ σ ZU ZU xfX (x)dx = L L ZU 0 L0 ZU 0 1 x−µ 2 1 x √ e− 2 ( σ ) dx = σ 2π 1 2 1 (µ + σz) √ e− 2 z dz = 2π ZU 0 1 2 1 z√ e− 2 z dz = 2π L0 L0 U0 1 − 21 z 2 0 0 µ P (L < N(0,1) < U ) + σ − √ e = 2π L0 µ [Φ(U 0 ) − Φ(L0 )] − σ [φ(U 0 ) − φ(L0 )] = U −µ L−µ U −µ L−µ µ [Φ −Φ ] − σ [φ −φ ] σ σ σ σ µ 1 2 1 √ e− 2 z dz + σ 2π Åñëè L = −∞ èëè U = ∞, òî ýòó ôîðìóëó ìîæíî óïðîñòèòü, èñïîëüçóÿ òîò ôàêò, ÷òî φ(−∞) = φ(∞) = 0 66 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 3.6. Íàéäèòå âûðàæåíèå äëÿ RU x2 fX (x)dx, L ãäå fX (x) ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé N (µ, σ 2 ) ðàñïðåäåëåíèÿ. Åñëè äîãîâîð ýêñöåäåíòà óáûòêà èìååò âåðõíèé ïðåäåë ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ óñëîæíÿþòñÿ, íî îñíîâíîé ïîäõîä îñòà¼òñÿ ïðåæíèì. Ï ð è ì å ð 3.6 Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèÿ è äèñïåðñèþ âåëè÷èíû âûïëàò ñòðàõîâùèêà â Ïðèìåðå 3.5 â ñëó÷àå ïåðåñòðàõîâàíèÿ ïî Äîãîâîðó 2 ñ íåêîòîðûìè ïîïðàâêàìè: ïîêðûòèå ïî ýòîìó äîãîâîðó èìååò íèæíèé ïðåäåë 25,000 è âåðõíèé ïðåäåë 50,000, è äîëÿ ïðåâûøåíèÿ èñêà âåðõíåãî ïðåäåëà ïåðåõîäèò â îáÿçàòåëüñòâî ñòðàõîâùèêà. Ð å ø å í è å Âåëè÷èíà âûïëàò ñòðàõîâùèêà îïðåäåëÿåòñÿ òåïåðü òàê:   X M X2 =  X − (R − M ) X<M M ≤ x < R ãäå M = 25, 000 è R = 50, 000. åñëè x ≥ R Òàêèì îáðàçîì, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå X2 : åñëè åñëè ZM E[X2 ] = Z∞ ZR xfX (x)dx + M 0 M ZM 0 R Z∞ ZR xfX (x)dx + M Z∞ xfX (x)dx − (R − M ) fX (x)dx + M (x − R + M )fX (x)dx = fX (x)dx + R fX (x)dx R M0 = 2.033 è M1 = 1.233), è log 50,000−8.5 = 2.900 è R1 = R0 − 0.8 = 2.100, ïîëó÷èì: 0.8 Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå âûøå (ñ ïîëîæèâ R0 = 1 2 E[X2 ] = eµ+ 2 σ [Φ(M1 ) − Φ(−∞)] + M [Φ(R0 ) − Φ(M0 )]+ 1 2 eµ+ 2 σ [Φ(∞) − Φ(R1 )] − (R − M ) [Φ(∞) − Φ(R0 )] = 6, 768 [Φ(1.233)] + 25, 000 [Φ(2.900) − Φ(2.033)]+ 6, 768 [1 − Φ(2.100)] − 25, 000 [1 − Φ(2.900)] = 6, 585 4.3 Óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå èñêîâ Ïîêà íàñ èíòåðåñîâàëè òîëüêî âûïëàòû ñòðàõîâùèêà è ïåðåñòðàõîâùèêà, âûðàæåííûå êàê ñðåäíåå ïî îáùåìó êîëè÷åñòâó èñêîâ. Ñ÷èòàÿ îæèäàåìûå âûïëàòû ïåðåñòðàõîâùèêà, ìû îáúåäèíÿëè âñå èñêè, âêëþ÷àÿ òå, ïî êîòîðûì ïåðåñòðàõîâùèê âûïëàò íå ñîâåðøàë, ò.å. òå, ÷òî îêàçûâàëèñü íèæå ïðåäåëà óäåðæàíèÿ ýêñöåäåíòà óáûòêà. 67 Îäíàêî, ïåðåñòðàõîâùèêà áîëüøå èíòåðåñóþò íåíóëåâûå èñêè, ò.å. èñêè, ïî êîòîðûì ôàêòè÷åñêè îñóùåñòâëÿþòñÿ âûïëàòû. Â ñàìîì äåëå, ïåðåñòðàõîâùèê ìîæåò âîâñå íå çíàòü îá îñòàëüíûõ èñêàõ, ò.ê. ñòðàõîâùèê ìîã ïðîñòî íå ïðåäîñòàâèòü åìó ñîîòâåòñòâóþùåé èíôîðìàöèè. Ïîëîæèì, ÷òî îñíîâíûå èñêè ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê íàáëþäåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X , è ÷òî äîãîâîð ýêñöåäåíòà óáûòêà âêëþ÷àåò ïðåäåë óäåðæàíèÿ M . Òîãäà, ñ÷èòàÿ, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì âñå èñêè, âûïëàòû ñòðàõîâùèêà (I ) è ïåðåñòðàõîâùèêà (R) ðàâíû: X åñëè X ≤ M 0 åñëè X ≤ M I= R= M åñëè X > M X − M åñëè X > M Ìû ìîæåì íàéòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (âìåñòå ñ èõ ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè è äèñïåðñèÿìè), ïðè óñëîâèè, ÷òî íàì èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå X . Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ñ òî÷êè çðåíèÿ ïåðåñòðàõîâùèêà, ÷òî íàñ èíòåðåñóåò ðàñïðåäåëåíèå òîëüêî òåõ èñêîâ, ïî êîòîðûì ñîâåðøàþòñÿ âûïëàòû. Òîãäà ìû çíàåì, ÷òî ýòè èñêè ïðåâûøàþò âåëè÷èíó M . Èòàê, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, êîòîðàÿ íàñ èíòåðåñóåò, åñòü óñëîâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà: R = X − M |X > M Âîîáùå ãîâîðÿ, ýòà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà áóäåò èìåòü íå òàêîå ðàñïðåäåëåíèå, êàê ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà R âûøå. Ìû ìîæåì íàéòè å¼ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ, ðàññìàòðèâàÿ P (R < r): P (R < r) = P (X < r + M |X > M ) = r+M Z P (M < X < r + M ) = P (X > M ) fX (x) FX (r + M ) − FX (M ) dx = 1 − FX (x) 1 − FX (M ) M Äèôôåðåíöèðóÿ ïî r, ïîëó÷èì ôóíêöèþ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû R: fR (r) = fX (r + M ) 1 − FX (M ) Â ñëåäóþùåì ïðèìåðå ðàññìàòðèâàåòñÿ óñëîâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ò.ê. íàñ èíòåðåñóþò èñêè âûøå óðîâíÿ ïðåâûøåíèÿ. Áóäüòå âíèìàòåëüíû, îòâå÷àÿ íà ýêçàìåíàöèîííûå âîïðîñû, óòî÷íÿÿ, ðàñïðåäåëåíèå óñëîâíûõ èëè íåóñëîâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí òðåáóåòñÿ íàéòè. Êëþ÷åâûì âîïðîñîì ÿâëÿåòñÿ: "Âêëþ÷àåì ëè ìû íóëåâûå èñêè?". 68 Ï ð è ì å ð 3.7 Íàéòè ïëîòíîñòü õîâùèêà, åñëè çàäàíà ôðàíøèçà ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû âûïëàò ñòðà- E , è åñëè îñíîâíûå èñêè èìåþò Ïàðåòî- ðàñïðåäåëåíèå ñ ôóíêöèåé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ fX (x) = αλα (λ + x)−α−1 , x > 0. Ïîñëå ýòîãî íàéòè ñðåäíåå çíà÷åíèå âûïëàò ñòðàõîâùèêà (äëÿ èñêîâ, ïî êîòîðûì ñòðàõîâùèê îñóùåñòâëÿåò âûïëàòû). Ð å ø å í è å Ñòðàõîâùèê âûïëà÷èâàåò X − E îò êàæäîãî èñêà X , ïðåâûøàþùåãî E , è íîëü - â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Èòàê, åñëè Y îïðåäåëÿåò âåëè÷èíó âûïëàò ñòðàõîâùèêà, ìû äîëæíû íàéòè ïëîòíîñòü âåëè÷èíû Y = X − E , ó÷è- òûâàÿ, ÷òî X > E . Òàê êàê íåòòî-ñóììà èñêîâ y ñòðàõîâùèêà ñîîòâåòñòâóåò âåëè÷èíå áðóòòî-èñêà E + y , òî: fY (y) = fX (E + y) αλα (λ + E + y)−α−1 = ∞ = R P (X > E) α −α−1 αλ (λ + x) dx E αλα (λ + E + y)−α−1 λα (λ + E)−α Ñëåäîâàòåëüíî, ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íåòòî-âûïëàò ñòðàõîâùèêà ðàâíà: fY (y) = α(λ + E)α (λ + E + y)−α−1 , y > 0 Ìû ïîëó÷èëè Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì λ + E . Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ â ñëó÷àå Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèÿ, íàéä¼ì ñðåäíåå íåòòî-âûïëàò ñòàõîâùèêà (äëÿ íåíóëåâûõ èñêîâ): E[Y ] = λ+E α−1 Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ â ñëó÷àå óáûòêîâ (èìåþùèõ Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèå), ïðåâûøàþùèõ ïðåäåë óäåðæàíèÿ ïðè ïåðåñòðàõîâàíèè. 4.4 Èíôëÿöèÿ Ìû äåòàëüíî ðàññìîòðèì âëèÿíèå èíôëÿöèè íà äåéñòâèå êàæäîãî äîãîâîðà ïåðåñòðàõîâàíèÿ. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 3.7. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èñêè èç ñòðà- õîâîãî ïîðòôåëÿ èìåþò Exp (λ)ðàñïðåäåëåíèå. Äåéñòâóåò äîãîâîð ïðîïîðöèîíàëüíîãî ïåðåñòðàõîâàíèÿ ñ äîëåé óäåðæàíèÿ (êâîòîé), ðàâíîé α. Îïðåäåëèòå îæèäàåìû âûïëàòû ñòðàõîâùèêà: (à) íà äàííûé ìîìåíò (b) åñëè ðàçìåðû èñêîâ â ñëåäóþùåì ãîäó óâåëè÷àòñÿ ïîä äåéñòâèåì èíôëÿöèè ñ êîýôôèöèåíòîì k . 69 Âëèÿíèå èíôëÿöèè íà ðåçóëüòàò äåéñòâèÿ äîãîâîðà ïåðåñòðàõîâàíèÿ ýêñöåäåíòà óáûòêà ìîæåò áûòü íå ñòîëü î÷åâèäíà. Ï ð è ì å ð 3.8 Pareto (α, λ) 0 ïàðàìåòðû α = 6, λ = 1, 000. Äåéñòâóåò äîãîâîð Ïóñòü èñêè èç ñòðàõîâîãî ïîðòôåëÿ èìåþò ðàñïðåäåëåíèå. Â ãîäó ïåðåñòðàõîâàíèÿ ýêñöåäåíòà óáûòêà ñ ïðåäåëîì óäåðæàíèÿ 500. Óðîâåíü èíôëÿöèè íå èçìåíÿåòñÿ è ðàâåí 10%. (i) Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå âûïëàò ñòðàõîâùèêà â ãîäó 1 è 2 áåç ïåðåñòðàõîâàíèÿ. (ii) Íàéòè, âî ñêîëüêî ðàç óâåëè÷èòñÿ ñðåäíåå çíà÷åíèå íåòòî-âûïëàò ñòðàõîâùèêà (äëÿ êàæäîãî ãîäà). Ðåøåíèå (i) Ïóñòü X0 ðàçìåð èñêà â ãîäó 0 áåç ó÷¼òà ïåðåñòðàõîâàíèÿ. X0 èìååò Pareto (6,1000)ðàñïðåäåëåíèå, è X1 = kX0 ðàçìåð èñêà â ãîäó 1 áåç ïåðåñòðàõîâàíèÿ (ãäå k = 1.1). Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ðàñïðåäåëåíèå X1 , ïîëîæèì y = kx â èíòåãðàëå äëÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ: Z∞ 1= αλα dx = (λ + x)α+1 0 Z∞ αλα dy = (λ + y/k)α+1 k 0 Z∞ α(kλ)α dy (kλ + y)α+1 0 Ïîëó÷èëè ðàñïðåäåëåíèå X1 ∼ Pareto(α, kλ), ñëåäîâàòåëüíî, ðàñïðåäåëåíèå èñêîâ â ãîäó 1 Pareto (6,1100), à â ãîäó 2 Pareto (6,1210) (ii) Ñðåäíÿÿ âåëè÷èíà âûïëàò ñòðàõîâùèêà â ãîäó 0 ïîñëå äîãîâîðà ïåðåñòðàõîâàíèÿ, E[Y0 ], ðàâíà: Z500 E[Y0 ] = x αλα dx + 500 (λ + x)α+1 0 Z∞ αλα dx (λ + x)α+1 500 Ïåðâûé èíòåãðàë ìîæíî íàéòè, çíàÿ çíà÷åíèå ïîëíîãî èíòåãðàëà (ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå â ñëó÷àå Pareto ðàñïðåäåëåíèÿ): Z500 x αλα λ dx = − α+1 (λ + x) α−1 0 Z∞ 500 70 x αλα dx (λ + x)α+1 Âûïîëíèì çàìåíó u = x − 500: Z∞ 500 Z∞ αλα x dx = (λ + x)α+1 Z∞ (u + 500) 0 αλα du + 500 u (λ + 500 + u)α+1 λ λ + 500 Z∞ αλα du = (λ + 500 + u)α+1 0 0 αλα du = (λ + 500 + u)α+1 α Z∞ α(λ + 500)α u du + 500 (λ + 500 + u)α+1 λ λ + 500 α Z∞ 0 α(λ + 500)α du (λ + 500 + u)α+1 0 Òåïåðü ïåðâûé èíòåãðàë åñòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Pareto (α, (λ + 500))-ðàñïðåäåëåíèÿ, à âòîðîé ýòî îáëàñòü ïîä ôóíêöèåé ïëîòíîñòè òàêîãî æå ðàñïðåäåëåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî: Z500 x λ αλα dx = − (λ + x)α+1 α−1 λ λ + 500 α λ + 500 − 500 α−1 λ λ + 500 α 0 Âûïîëíÿÿ àíàëîãè÷íóþ çàìåíó äëÿ âòîðîãî èíòåãðàëà, ïîëó÷èì: Z∞ αλα dx = 500 (λ + x)α+1 500 Z∞ αλα du = 500 (λ + 500 + u)α+1 λ λ + 500 α 0 Îòñþäà ïîëó÷àåì: λ − E[Y0 ] = α−1 λ λ + 500 α λ + 500 α−1 Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ λ = 1, 000, α = 6, íàõîäèì E[Y0 ] = 173.66. Ñðåäíåå çíà÷åíèå âûïëàò â ïîñëåäóþùèå ãîäû ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ñ ïîìîùüþ çàìåíû λ íà kλ â ïîëó÷åííîé âûøå ôîðìóëå. Òàêèì îáðàçîì, â ãîäó 1: 1100 E[Y1 ] = − 5 1100 1600 6 1600 = 186.21 5 1210 E[Y2 ] = − 5 1210 1710 6 1710 = 199.07 5 â ãîäó 2: Ñðåäíåå çíà÷åíèå âûïëàò ñòðàõîâùèêà îò ãîäà 0 ê ãîäó 1 óâåëè÷èëîñü íà 7.2%, îò ãîäà 1 ê ãîäó 2 íà 6.9%. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 3.8. Íàéäèòå ïðåäåë çíà÷åíèÿ E[Yn ], åñëè n óñòðåìèòü ê áåñêîíå÷íîñòè. 71 4.5 Âû÷èñëåíèå íåïîëíûõ èíòåãðàëîâ Îäíîé èç îñíîâíûõ ïðîáëåì âû÷èñëåíèÿ ñðåäíèõ è äèñïåðñèé â ñëó÷àå äîãîâîðà ïåðåñòðàõîâàíèÿ ýêñöåäåíòà óáûòêà ÿâëÿåòñÿ âîçíèêíîâåíèå íåïîëíûõ èíòåãðàëîâ, ò.å. èíòåãðàëîâ, ïðåäåëû êîòîðûõ íå îïðåäåëÿþò ïîëíûé äèàïàçîí ïîäõîäÿùåãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Èíîãäà ýòó ïðîáëåìó ìîæíî ðåøèòü, èñïîëüçóÿ ñëåäóþùèé ìåòîä. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìååòñÿ äîãîâîð ýêñöåäåíòà óáûòêà ñ óðîâíåì óäåðàæíèÿ M . Òîãäà âåëè÷èíà èñêà Y , êîòîðóþ ñòðàõîâùèê óäåðæèâàåò, ðàâíà: X åñëè X ≤ M Y = M åñëè X > M Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Y ðàâíî: Z∞ ZM E[Y ] = xfX (x)dx + M 0 fX (x)dx M Ïðåäñòàâèì ïåðâûé èíòåãðàë â âèäå ðàçíîñòè äâóõ èíòåãðàëîâ: Z∞ E[Y ] = E[X] − Z∞ fX (x)dx = E[X] − xfX (x)dx + M M Z∞ M (x − M )fX (x)dx M Âûïîëíèì çàìåíó u = x − M : Z∞ E[Y ] = E[X] − ufX (u + M )du 0 Ìû ïîëó÷èëè âûðàæåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ E[Y ], â êîòîðîå âõîäÿò òîëüêî ïîëíûå èíòåãðàëû. Òåïåðü ìû áåç òðóäà ìîæåì îöåíèòü ýòî âûðàæåíèå. Ï ð è ì å ð 3.9 Ðèñêè èç ñòðàõîâîãî ïîðòôåëÿ èìåþò Pareto (α, λ)-ðàñïðåäåëåíèå, ãäå α = 3, λ = 10. Íàéòè ñðåäíåå çíà÷åíèå âåëè÷èíû âûïëàò ñòðàõîâùèêà â äâóõ ñëó÷àÿõ: êîãäà ïðåäåë óäåðæàíèÿ ðàâåí 8, êîãäà óäåðæàíèå íå èìååò ïðåäåëà. Ðåøåíèå Ñ áåñêîíå÷íûì ïðåäåëîì óäåðæàíèÿ ñðåäíåå çíà÷åíèå âûïëàò ñòðàõîâùèêà åñòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Pareto (3, 10)-ðàñïðåäåëåíèÿ: E[Y ] = 10 =5 3−1 72 Åñëè ïðåäåë óäåðæàíèÿ ðàâåí 8, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó, ïðèâåä¼ííóþ âûøå, à òàêæå ôîðìóëó äëÿ ôóíêöèè ïëîòíîñòè Pareto -ðàñïðåäåëåíèÿ, íàéä¼ì ñðåäíåå çíà÷åíèå: Z∞ E[Y ] = E[X] − Z∞ ufX (u + M )du = 5 − 0 u 3 ∗ 103 du (u + 18)4 0 Âûíîñÿ êîýôôèöèåíò çà çíàê èíòåãðàëà, ìû ìîæåì ïðèâåñòè ýòîò èíòåãðàë ê âèäó ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ Pareto (3, 18)-ðàñïðåäåëåíèÿ: E[Y ] = 5 − 10 18 3 Z∞ 3 ∗ 183 u du = 5 − (u + 18)4 10 18 3 18 = 3.4568 2 0 Èòàê, óñòàíîâëåíèå ïðåäåëà óäåðæàíèÿ, ðàâíîãî 8, óìåíüøèëî ñðåäíåå çíà÷åíèå âûïëàò ñ 5 äî 3.46. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 3.9. Íàéäèòå äèñïåðñèþ âåëè÷èíû âû- ïëàò ñòðàõîâùèêà ñ óñòàíîâëåííûì è áåñêîíå÷íûì ïðåäåëîì óäåðæàíèÿ. 4.6 Îöåíèâàíèå Ìû ìîæåì ïðèìåíÿòü îáà ñïîñîáà îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ðå÷ü èä¼ò î ðàñïðåäåëåíèÿõ, ïðèìåíÿþùèõñÿ â ïåðåñòðàõîâàíèè: - ìåòîä ìîìåíòîâ - ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 3.10. Ñëåäóþùèå âåëè÷èíû ïðåäñòàâ- ëÿþò ñîáîé ñëó÷àéíóþ âûáîðêó âûïëàò ïåðåñòðàõîâùèêà ñîãëàñíî äîãîâîðó ïðîïîðöèîíàëüíîãî ïåðåñòðàõîâàíèÿ: 4.6, 6.8, 22.9, 1.4, 3.8, 10.2, 19.4, 32.1 Åñëè âåëè÷èíà îñíîâíûõ èñêîâ èìååò Gamma (α, λ)-ðàñïðåäåëåíèå è äîëÿ óäåðæàíèÿ ðàâíà 80%, íàéäèòå îöåíêó äëÿ ïàðàìåòðîâ α è λ, èñïîëüçóÿ ìåòîä ìîìåíòîâ. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 3.11. Èñêè ñòðàõîâîãî ïîðòôåëÿ îïè2 ñûâàþòñÿ ñëåäóþùåé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ f (x) = 2cxe−cx , x ≥ 0. Èìååòñÿ äîãîâîð ýêñöåäåíòà óáûòêà èíäèâèäóàëüíîãî ïåðåñòðàõîâàíèÿ 73 ñ óðîâíåì óäåðæàíèÿ M = 3. Î ñëó÷àéíîé âûáîðêå âåëè÷èí âûïëàò ïåðåñòðàõîâùèêà èçâåñòíî: X X n = 10 yi = 8.7 yi2 = 92.3 Íàéäèòå îöåíêó ïàðàìåòðà c ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 3.12. Ïðîâåðüòå, ÷òî ôîðìóëà, ïðèâå- ä¼ííàÿ â Ïðèìåðå 3.7, îñòà¼òñÿ âåðíîé, êîãäà E = 0. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 3.13. Íàéäèòå îòíîøåíèå ðèñêîâûõ ïðå- ìèé ñ ýêñöåäåíòîì £100 è áåç íåãî, åñëè îñíîâíûå èñêè èìåþò Pareto ðàñïðåäåëåíèå, ãäå α = 2.5, λ = 5, 000. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 3.14. Åñëè îñíîâíûå óáûòêè èç ðèñêî- âîãî ïîðòôåëÿ èìåþò Exp (λ)-ðàñïðåäåëåíèå, ýêñöåäåíò ðàâåí E, êàêîå ðàñïðåäåëåíèå èìååò âåëè÷èíà íåòòî-ñóììû âûïëàò ñòðàõîâùèêà è êàêîãî åãî ñðåäíåå çíà÷åíèå? 74 Ãëàâà 4 Îñíîâû òåîðèèÏåðåñòðàõîâàíèå 1 Ïåðåñòðàõîâàíèå Èñêè, ïðåäúÿâëåííûå ñòðàõîâûì êîìïàíèÿì, äîëæíû óäîâëåòâîðÿòüñÿ ïîëíîñòüþ, è äëÿ òîãî, ÷òîáû çàùèòèòü ñåáÿ îò áîëüøèõ èñêîâ, ñàìà êîìïàíèÿ ìîæåò ñòðàõîâàòüñÿ, ýòî íàçûâàåòñÿ ïåðåñòðàõîâàíèå. Â äàííîé ÷àñòè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äîãîâîð ïåðåñòðàõîâàíèÿ áûâàåò äâóõ îñíîâíûõ òèïîâ: èíäèâèäóàëüíûé äîãîâîð ýêñöåäåíòà óáûòêà èëè ïðîïîðöèîíàëüíîãî ïåðåñòðàõîâàíèå. 1.1 Ýêñöåäåíò óáûòêà Â ñëó÷àå äîãîâîðà ýêñöåäåíòà óáûòêà, îò êàæäîãî ñòðàõîâîãî âîçìåùåíèÿ, ïðåâûøàþùåãî M - óðîâåíü óäåðæàíèÿ, ïåðåñòðàõîâùèêîì îïëà÷èâàåòñÿ âåëè÷èíà ïðåâûøåíèÿ. Ñîãëàøåíèå ïî ýêñöåäåíòó óáûòêà ïåðåñòðàõîâàíèÿ ìîæåò áûòü ñîñòàâëåíî ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè ïðåäúÿâëåí èñê íà ñóììó X , òî êîìïàíèÿ âûïëà÷èâàåò âåëè÷èíó Y , ãäå Y = X, åñëè X ⩽ M Y = M, åñëè X > M Ïåðåñòðàõîâùèê ïëàòèò ñóììó Z = X − Y . Îòâåòñòâåííîñòü ñòðàõîâùèêà èçìåíÿåòñÿ ïî äâóì îñíîâíûì íàïðàâëåíèÿì: 1. óìåíüøàåòñÿ ñðåäíåå çíà÷åíèå âåëè÷èíû âûïëàò 75 2. óìåíüøàåòñÿ äèñïåðñèÿ âåëè÷èíû âûïëàò Îáà ýòè âûâîäà - ïðîñòûå ñëåäñòâèÿ òîãî ôàêòà, ÷òî ýêñöåäåíò óáûòêà çàäàåò âåðõíþþ ãðàíèöó êðóïíûõ èñêîâ. Îáå âåëè÷èíû, ñðåäíåå çíà÷åíèå X è ñðåäíåå çíà÷åíèå âåëè÷èíû Y , âûïëà÷èâàåìîé ñòðàõîâîé êîìïàíèåé ïî äîãîâîðó ýêñöåäåíòó óáûòêà, òåïåðü ìîæíî îïðåäåëèòü. Êàê âèäíî, ñðåäíåå çíà÷åíèå, âûïëà÷èâàåìîå ñòðàõîâùèêîì áåç ïåðåñòðàõîâàíèÿ ðàâíî: Z∞ E(X) = (4.1) xf (x)dx 0 ãäå f (x) ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ñóììû èñêà X. Ñ óðîâíåì óäåðæàíèÿ Ì ñðåäíåå çíà÷åíèå Y ñòàíîâèòñÿ: ZM E(Y ) = xf (x)dx + M P (X > M ) (4.2) 0 Â áîëåå øèðîêîì ñìûñëå, ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ âåëè÷èíû Y , ñóììû, âûïëà÷èâàåìîé ñòðàõîâùèêîì, ðàâíà: tY ZM MY (t) = E(e ) = etx f (x)dx + etM P (X > M ) (4.3) 0 Ôîðìóëû (4.1) è (4.2) èëëþñòðèðóþò îñíîâíóþ òðóäíîñòü ïðè ïåðåñòðàõîâàíèè ýêñöåäåíòà óáûòêà. Â (4.2) èíòåãðàë íåïîëíûé (ò.å. ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ îò 0 äî Ì, à íå äî ∞). Òà æå òðóäíîñòü âîçíèêíåò è ïðè ñòðàõîâàíèè ñ ýêñöåäåíòîì. Ïðè ïåðåñòðàõîâàíèè ýêñöåäåíòà óáûòêà åñòü ìåòîä, ïîçâîëÿþùèé ïåðåéòè îò íåïîëíîãî èíòåãðàëà ê ïîëíîìó. Èñïîëüçóåì (4.2): Z∞ Z∞ xf (x)dx − E(Y ) = 0 Z∞ xf (x)dx + M M Z∞ = E(X) − f (x)dx = M (x − M )f (x)dx M Ïîëíûé èíòåãðàë ïîëó÷èòñÿ, åñëè ââåñòè z = x − M . Òàêèì îáðàçîì, Z∞ E(Y ) = E(X) − zf (z + M )dz 0 76 (4.4) ïðîñòàÿ, íî âàæíàÿ ôîðìóëà. Óìåíüøåíèå îæèäàåìîé ñóììû èñêà: Z∞ (4.5) zf (z + M )dz 0 Íî åñòü ïðîáëåìà èíôëÿöèè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èñê X ïîäâåðæåí èíôëÿöèè ñ òåìïîì k , à óäåðæàíèå M îñòàåòñÿ ôèêñèðîâàííûì. Êàê ýòî ïîâëèÿåò íà ñîãëàøåíèå? Ñóììà èñêà òåïåðü kX , à ñóììà, âûïëà÷èâàåìàÿ ñòðàõîâùèêîì, Y : Y = kX, åñëè kX ⩽ M Y = M, åñëè kX > M Ñðåäíÿÿ ñóììà, âûïëà÷èâàåìàÿ ñòðàõîâùèêîì, ðàâíà: M/k Z E(Y ) = kxf (x)dx + M P (X > M/k) (4.6) 0 Òåì æå îáðàçîì, êàêèì áûëî ïîëó÷åíî (4.4), ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü (4.6) â ïîëíûé èíòåãðàë. (4.6) ìîæíî çàïèñàòü êàê: Z∞ Z∞ kxf (x)dx − E(Y ) = 0 Z∞ kxf (x)dx + M M/k f (x)dx. M/k Z∞ = kE(X) − k (x − M/k)f (x)dx M/k Íîâàÿ ñðåäíÿÿ ñóììà, âûïëà÷èâàåìàÿ ñòðàõîâùèêîì, ðàâíà: Z∞ E(Y ) = k(E(X) − yf (y + M/k)dy) (4.7) 0 Îòìåòèì, ÷òî èíòåãðàë â (4.7) èìååò òîò æå âèä, ÷òî â (4.4). Åùå âàæíî îòìåòèòü, ÷òî íîâàÿ ñðåäíÿÿ âåëè÷èíà èñêà (4.7) íå â k ðàç áîëüøå ñðåäíåé âåëè÷èíû èñêà áåç ó÷åòà èíôëÿöèè. Àíàëîãè÷íûé ïîäõîä ìîæíî èñïîëüçîâàòü â ñèòóàöèÿõ, êîãäà óðîâåíü óäåðæàíèÿ ïðèâÿçàí ê íåêîòîðîìó òåìïó èíôëÿöèè. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îöåíèâàíèÿ ïðè ïåðåñòðàõîâàíèè ýêñöåäåíòà óáûòêà. Ïóñòü â äàííûõ èñêàõ ïîêàçàíû òîëüêî èñêè, óïëà÷åííûå ñòðàõîâùèêîì. Îáû÷íî äàííûå çàïèñûâàþòñÿ â âèäå x1 , x2 , M, x3 , M, x4 , x5 , ... 77 (4.8) è òðåáóåòñÿ îöåíêà ðàñïðåäåëåíèÿ îñíîâíîãî áðóòòî-èñêà. Ìåòîä ìîìåíòîâ íå ïðèìåíèì, ò.ê. äàæå ñðåäíþþ ñóììó èñêà íåëüçÿ âû÷èñëèòü. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä ïðîöåíòèëåé áåç èçìåíåíèÿ, íàïðèìåð, åñëè óðîâåíü óäåðæàíèÿ Ì âûñîêèé è òîëüêî áîëåå âûñîêèå âûáîðî÷íûå ïðîöåíòèëè áûëè ïîäâåðãíóòû (íåñêîëüêèì) èñêàì ïåðåñòðàõîâàíèÿ. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ òåðìèíîëîãèÿ äëÿ âûáîðêè ôîðìû (4.8) öåíçóðèðîâàíèå. Â îáùåì ñëó÷àå, öåíçóðèðîâàííàÿ âûáîðêà âñòðå÷àåòñÿ, êîãäà íåêîòîðûå âåëè÷èíû çàïèñàíû òî÷íî, à ïðî îñòàëüíûå èçâåñòíî òîëüêî, ÷òî îíè ïðåâîñõîäÿò íåêîå ÷àñòíîå çíà÷åíèå, â äàííîì ñëó÷àå óðîâåíü óäåðæàíèÿ Ì. Ê öåíçóðèðîâàííûì âûáîðêàì ìîæíî ïðèìåíèòü ìàêñèìàëüíîå ïðàâäîïîäîáèå. Îíî ñîñòîèò èç äâóõ ñëàãàåìûõ. Âåëè÷èíû, çàïèñàííûå òî÷íî, âõîäÿò â ïåðâîå ñëàãàåìîå: L1 (θ) = n Y f (xi ; θ) i=1 ãäå n âåëè÷èí, xi , èçâåñòíî òî÷íî. À öåíçóðèðîâàííûå âåëè÷èíû âõîäÿò âî âòîðîå ñëàãàåìîå: m Y L2 (θ) = P (X > M ) i=1 ò.å. [P (X > M )] , ãäå m èñêîâ ïåðåñòðàõîâàíèÿ. Ïîëíîå ïðàâäîïîäîáèå: m L(θ) = n Y f (xi ; θ) × [(1 − F (M ; θ))]m (4.9) i=1 ãäå F (x; θ) - ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èñêîâ. Òåïåðü ðàññìîòðèì ïåðåñòðàõîâàíèå ñ òî÷êè çðåíèÿ ïåðåñòðàõîâùèêà. Ïåðåñòðàõîâùèê ìîæåò èìåòü ó÷åò òîëüêî òåõ èñêîâ, êîòîðûå áîëüøå Ì. Åñëè èñê ìåíüøå Ì, ïåðåñòðàõîâùèê ìîæåò äàæå íå çíàòü, ÷òî èñê èìååò ìåñòî. Ïåðåñòðàõîâùèê òàêèì îáðàçîì èìååò çàäà÷ó îöåíêè ðàñïðåäåëåíèÿ áðóòòî-èñêîâ, òîëüêî êîãäà ðàññìàòðèâàþòñÿ èñêè áîëüøå Ì. Ïîëüçóÿñü ñòàòèñòè÷åñêîé òåðìèíîëîãèåé, ïåðåñòðàõîâùèê íàáëþäàåò èñêè èç óñå÷åííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Äîïóñòèì, ÷òî ñóììà áðóòòî - èñêîâ èìååò ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé f (x) è ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x). Äîïóñòèì, ÷òî ïåðåñòðàõîâùèê èíôîðìèðîâàí îá èñêàõ, áîëüøèõ óðîâíÿ óäåðæàíèÿ M , è èìååò ó÷åò z = x − M . Êàêîâà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ g(z) äëÿ ñóììû z , âûïëà÷èâàåìîé ïåðåñòðàõîâùèêîì? 78 Ðåøåíèå: z+M Z P (Z < z) = P (X < z + M |X > M ) = f (x) dx = 1 − F (M ) M F (z + M ) − F (M ) = 1 − F (M ) Äèôôåðåíöèðóÿ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ èñêîâ ïåðåñòðàõîâùèêà g(z) = 1.2 f (z + M ) , 1 − F (M ) z>0 (4.10) Ïðîïîðöèîíàëüíîå ïåðåñòðàõîâàíèå Â ïðîïîðöèîíàëüíîì ïåðåñòðàõîâàíèè ñòðàõîâùèê ïëàòèò ôèêñèðîâàííóþ ÷àñòü èñêà, íåçàâèñèìî îò ðàçìåðà ïëàòåæà. Èñïîëüçóÿ òå æå îáîçíà÷åíèÿ, ÷òî è âûøå, ïðîïîðöèîíàëüíîå ïåðåñòðàõîâàíèå ìîæåò áûòü îïèñàíî ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè ïðåäúÿâëåí èñê íà ñóììó X , òî êîìïàíèÿ ïëàòèò Y ãäå Y = αX, 0<α<1 Ïàðàìåòð α èçâåñòåí êàê óðîâåíü óäåðæàíèÿ, ñëåäóåò èìåòü ââèäó, ÷òî òåðìèí óðîâåíü óäåðæàíèÿ èñïîëüçóåòñÿ êàê ïðè ñòðàõîâàíèè ñ ýêöåäåíòîì, òàê è â ïðîïîðöèîíàëüíîì ïåðåñòðàõîâàíèè Ò.ê. ñóììà, âûïëà÷èâàåìàÿ ñòðàõîâùèêîì ïî èñêó X ðàâíà αX è ñóììà, âûïëà÷èâàåìàÿ ïåðåñòðàõîâùèêîì, ðàâíà (1−α)X , òî ðàñïðåäåëåíèå îáåèõ ñóìì ìîæíî íàéòè ïðîñòîé çàìåíîé ïåðåìåíîé. 1.3 Ïîëèñû ñ ýêñöåäåíòîì óáûòêà Ñòðàõîâûå ïîëèñû ñ ýêñöåäåíòîì óáûòêà ïðèñóùè ñòðàõîâàíèþ àâòîòðàíñïîðòà è ìíîãèì äðóãèì òèïàì ñòðàõîâàíèÿ èìóùåñòâà è íåñ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ. Ïî ýòîìó òèïó ïîëèñîâ ñòðàõîâàòåëü ñîãëàøàåòñÿ ïîíåñòè ïîëíîñòüþ óùåðá äî ïðåäåëüíîé ñóììû L. Åñëè óùåðá íà ñóììó X ïðåâîñõîäèò L, òî äåðæàòåëü ïîëèñà ïðåäúÿâëÿåò èñê òîëüêî íà ñóììó X−L. Åñëè Y ñóììà, âûïëà÷èâàåìàÿ ñòðàõîâùèêîì, òî â ýòîì ñëó÷àå: Y = 0, X⩽L Y = X − L, 79 X>L ßñíî, ÷òî ñòðàõîâàÿ ïðåìèÿ ïî ëþáîìó ïîëèñó ñ ýêöåäåíòîì áóäåò ìåíüøå, ÷åì ïî ïîëèñó áåç ýêöåäåíòà. Ïîëîæåíèå ñòðàõîâùèêà ïî ïîëèñó ñ ýêöåäåíòîì òî÷íî òàêîå æå, êàê ó ïåðåñòðàõîâùèêà â ñëó÷àå ïåðåñòðàõîâàíèÿ ïî äîãîâîðó ýêñöåäåíòà óáûòêà. Ïîëîæåíèå äåðæàòåëÿ ïîëèñà êàê äëÿ ñòðàõîâùèêà ñ äîãîâîðîì ïåðåñòðàõîâàíèÿ ýêñöåäåíòà óáûòêà, ïîñêîëüêó óáûòêè îïèñûâàþòñÿ òî÷íî òàê æå. 2 Âîïðîñû ñòóäåíòàì Â1 Íå ñòðàííî ëè, ÷òî íåòòî-ñòàâêà (ñòðàõîâîãî âçíîñà) ìîæåò îçíà÷àòü "èãíîðèðîâàòü ïåðåñòðàõîâàíèå èëè "èãíîðèðîâàòü ðàñõîäû (èçäåðæêè)" Î1 Äà, êîãäà âñòðå÷àåøü ñëîâà íåòòî, áðóòòî, âñåãäà ñïðàøèâàé ñåáÿ, íåòòî èëè áðóòòî ÷åãî? Â êîíòåêñòå ñòàíîâèòñÿ ÿñíî, îòíîñèòñÿ ýòî ê èçäåðæêàì, ïåðåñòðàõîâàíèþ, èëè íàëîãàì. Íàïðèìåð, íåòòîïðîöåíòíàÿ ñòàâêà áóäåò îçíà÷àòü "çà âû÷åòîì íàëîãîâ â òî âðåìÿ êàê èñê áðóòòî áóäåò îçíà÷àòü "äî âû÷åòà âîçìåùåíèÿ ïåðåñòðàõîâàíèÿ" Â2 Åñòü ëè äðóãèå ôîðìû ïåðåñòðàõîâàíèÿ? Î2 Âñå ôîðìû ïåðåñòðàõîâàíèÿ â îñíîâíîì èëè ïðîïîðöèîíàëüíîãî, èëè íåïðîïîðöèîíàëüíîãî òèïîâ. Îäíàêî åñòü ìíîãî âàðèàöèé è ìíîãî îòäåëüíûõ âèäîâ ïåðåñòðàõîâàíèÿ, òàêèå êàê ïåðåñòðàõîâàíèå êàòàñòðîô, êîòîðîå çàùèùàåò ïðîòèâ îãðîìíûõ óáûòêîâ, ñëó÷àþùèõñÿ çà êîðîòêèé ïåðèîä (íàïðèìåð, óùåðá ïîñëå óðàãàíà) Â3 Ìîãóò ëè êâîòíûé äîãîâîð è äîãîâîð ýêñöåíäåíòíîãî ïåðåñòðàõîâàíèÿ â ïðèìåðå 2.4 äåéñòâîâàòü îäíîâðåìåííî? Î3 Íà ïðàêòèêå îáû÷íî äëÿ ðèñêîâ, ïîêðûâàåìûõ íåñêîëüêèìè âçà- èìîäåéñòâóþùèìè äîãîâîðàìè âàæíî, ÷òîáû ïîðÿäîê, â êîòîðîì äîãîâîðû ïðèìåíÿþòñÿ, áûë ÿñíî îïðåäåëåí, ò.ê. ïëàòåæè îò ïåðåñòðàõîâàòåëåé çàâèñÿò îò òîãî, êòî ïëàòèò ïåðâûì. Îáû÷íàÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà åñòü íåñêîëüêî îòäåëüíûõ äîãîâîðîâ ýêñöåíäåíòíîãî ïåðåñòðàõîâàíèÿ "îäèí íàä äðóãèì îáåñïå÷èâàþùèå ïîêðûòèå ðàçëè÷íûõ óðîâíåé, íàïðèìåð Äîãîâîð 1: Äîãîâîð 2: Äîãîâîð 3: Äîãîâîð 4: £25,000 - £50,000 £50,000 - £250,000 £250,000 - £1,000,000 £1,000,000+ 80 Îáû÷íî ïîêðûòèå ýêñöåíäåíòà óáûòêà ïðèìåíÿþò ïåðåä ïðîïîðöèîíàëüíûì ïåðåñòðàõîâàíèåì. (Äëÿ ëþáîçíàòåëüíûõ ñòóäåíòîâ - ïîâòîðèòü âû÷èñëåíèÿ â Ïðèìåðå 2.4 ñ äîãîâîðàìè 1 è 2, äåéñòâóþùèìè âìåñòå, è ñðàâíèòü ðåçóëüòàòû) 2.1 Ïîäñêàçêè äëÿ îòâåòîâ íà âîïðîñû 1. Îáû÷íî ýêçàìåíàöèîííûé âîïðîñ ïî ýòîé òåìå âêëþ÷àåò àëãåáðàè÷åñêóþ ÷àñòü, ãäå íóæíî âûâåñòè èíòåãðàëüíóþ ôîðìóëó ( ïðèìåðíî òðåòü îáùåé îöåíêè), çàòåì ÷èñëåííàÿ çàäà÷à, ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóë. Íóæíî óìåòü äîêàçûâàòü èíòåãðàëüíûå ôîðìóëû, èñïîëüçóåìûå â ýêñöåäåíòàõ è óäåðæàíèÿõ äëÿ ëîãàðèôìè÷åñêè íîðìàëüíûõ è íîðìàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé. 2. Íóæíî óìåòü óâåðåííî èíòåãðèðîâàòü, èñïîëüçóÿ ïîäñòàíîâêè è èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì. Åñëè íå ìîæåòå ïðèäóìàòü, êàêóþ ïîäñòàíîâêó ïðèìåíèòü äëÿ óïðîùåíèÿ èíòåãðàëà, îáû÷íî ïîäñêàçêó ìîæíî íàéòè â ïðåäåëàõ. 3. Íóæíî óìåòü óâåðåííî ðàáîòàòü ñ óñëîâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè ïðè íàõîæäåíèè ñðåäíåé ñóììû ïëàòåæà, êîòîðóþ ïëàòèò ïåðåñòðàõîâùèê, ïîäóìàéòå, ýòî ñðåäíÿÿ ñóììà ïî íà÷àëüíîìó èñêó èëè ñðåäíåå ïî íåíóëåâîìó èñêó. 4. Ìíîãî ýêçàìåíàöèîííûõ âîïðîñîâ êîìáèíèðóþò ìåòîäû ýòîé ãëàâû ñ ìîäåëÿìè äëÿ ñîâîêóïíûõ èñêîâ, êîòîðûå ðàññìîòðèì â ÷àñòè 3. Ïîýòîìó ìîæíî áóäåò âåðíóòüñÿ ê òîìó, ÷òî ñäåëàíî çäåñü, ïåðåä òåì êàê èäòè äàëüøå. 3 Îòâåòû íà âîïðîñû äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè Ðåøåíèå 3.1 Ñóììà èñêà £400.000 £10,000 £250,000 £75,000 Total Êåì çàñòðàõîâàíî Company A Company A Company B Company B 81 A £300,000 £7,500 £307,500 B £100,000 £75,000 £175,000 R £J100,000 £2,500 £150,000 £0 £252,500 Ðåøåíèå 3.2 a) Íåòòî - ñóìà, êîòîðóþ ïëàòèò ïðÿìîé ñòðàõîâùèê, îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé  x åñëè x ⩽ £5,000    5,000 åñëè £5,000 < x ⩽ £10,00 h(x) = x/2 åñëè £10,000 < x ⩽ £20,000    x-10,000 åñëè £20,000 < x ñðåäíÿÿ ñóììà íåòòî-èñêà: 5000 10000 Z Z E[h(X)] = xf (x)dx + 5000f (x)dx 0 20000 Z + 5000 x f (x)dx + 2 10000 Z∞ (x − 10000)f (x)dx 20000 b) ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå E([h(X)]2 ) íàõîäèòñÿ âîçâåäåíèåì â êâàäðàò ñóìì â êàæäîì èíòåãðàëå 5000 10000 Z Z 2 2 E([h(X)] ) = x f (x)dx + 50002 f (x)dx 0 5000 Z∞ 20000 Z + x 2 2 f (x)dx + 10000 (x − 10000)2 f (x)dx 20000 ( Ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ òàêèì âèäîì âû÷èñëåíèé äëÿ êðàòêîñòè - âû÷èñëÿòü äèñïåðñèþ ñóììû íåòòî-èñêà) c) Ïåðåñòðàõîâùèê äîëæåí äåëàòü ïëàòåæ, êàê òîëüêî ñóììà áðóòòîèñêà ïðåâûñèò £5000. ×àñòü èñêà, ïðåâûøàþùàÿ £5000 - ïðîñòî âåðîÿòíîñòü, ÷òî èñê ïðåâçîéäåò £5000, êîòîðóþ ìîæíî íàéòè, èíòåãðèðóÿ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé. Z∞ P (X > 5000) = f (x)dx 5000 82 d) Íà ãðàôèêå âèäíî, ÷òî ñóììà íåòòî-èñêà ïðåâûøàåò £7500 âñÿêèé ðàç, êîãäà ñóììà áðóòòî-èñêà ïðåâûøàåò £15000. Âåðîÿòíîñòü ýòîãî: Z∞ P (X > 15000) = f (x)dx 15000 Ðåøåíèå 3.3 Äëÿ ñðåäíåãî èñïîëüçóåì ôîðìóëó ñ L = 0, U = ∞ è k = 1: 2 E(X) = eµ+1/2σ [φ(∞) − φ(−∞)] = eµ+1/2σ 2 Äëÿ âòîðîãî íåöåíòðàëüíîãî ìîìåíòà èñïîëüçóåì òå æå çíà÷åíèÿ L è U ïðè k = 2: 2 E(X 2 ) = e2µ+2σ [φ(∞) − φ(−∞)] = e2µ+2σ 2 Òîãäà äèñïåðñèÿ: 2 2 2 2 V ar(X) = e2µ+2σ − e2µ+σ = e2µ+σ (eσ − 1) Ýòî ôîðìóëû ñîãëàñóþòñÿ ñ îáû÷íûìè ðåçóëüòàòàìè Ðåøåíèå 3.4 (a) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó ïðè k = 0: 5000 Z f (x)dx 1000 =φ log 5000 − 7.5 0.85 −φ log 1000 − 7.5 0.85 = φ(1.197) − φ(−0.697) = 0.88435 − 0.24290 = 0.641 (b) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó ïðè k − 1: 1000 Z xf (x)dx 0 2 = e7.5+1/2×0.85 [φ( log 1000 − 7.5 − 0.85) − φ(−∞)] 0.85 83 = e7.86125 [φ(−1.547) − 0] = 2, 594.76 × 0.06093 = 158.1 (c) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó ïðè k = 2: Z∞ x2 f (x)dx 5000 2 = e2(7.5)+2×0.85 [φ(∞) − φ( log 5000 − 7.5 − 2(0.85))] 0.85 = e16/445 (1 − φ((−0.503)) = 2, 594.76 × 0.06093 = 158.1 = 13, 866, 688(1 − 0.30749) = 9.603 Ðåøåíèå 3.5 Ïîñêîëüêó ñòðàõîâùèê è ïåðåñòðàõîâùèê âìåñòå ïëàòÿò ïîëíûé èñê, ñðåäíèå ñóììû, âûïëà÷èâàåìûå ïåðåñòðàõîâùèêîì, íàõîäÿòñÿ âû÷èòàíèåì: Äîãîâîð 1: 6, 768 − 5, 07 = 1, 692 Äîãîâîð 2: 5, 758 − 6, 557 = 211 Ïî Äîãîâîðó 1 ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå äëÿ ñóìì, êîòîðûå ïëàòèò ïåðåñòðàõîâùèê 0.25 × 408 = 1, 602 Ïî Äîãîâîðó 2, ïåðåñòðàõîâùèê ïëàòèò ÷àñòü Y ñ ïðåâûøåíèåì 25, 000 äëÿ êàæäîãî óùåðáà X , ïîýòîìó: Z∞ E(Y ) = (x − M )2 fX (x)dx 2 M Z∞ = M x2 fX (x)dx − 2M Z∞ xfX (x)dx + M 2 Z∞ fX (x)dx M M 2 2 = e2µ+2σ [1 − Φ(M2 ) − 2M eµ+1/2σ [1 − Φ(M1 )] + M 2 [1 − Φ(M0 )] = 86, 876, 663[1 − Φ(0.433)1 − 2(25, 000)(6, 768)[1 − Φ(1.333)] +(25, 000)2 [1 − Φ(2.033)] = 5, 217, 100 84 V ar(Y ) = E(Y 2 ) − [E(Y )]2 = 5, 217, 100 − (211)2 = (2, 274)2 Îòìåòèì, ÷òî ïî XOL, ïåðåñòðàõîâùèêó äîñòàåòñÿ áîëüøàÿ ÷àñòü èçìåí÷èâîñòè â ñóììàõ èñêà. Ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå (2, 274) èñêà ïåðåñòðàõîâùèêà, ñî ñðåäíèì 211, ñîðàçìåðíû çíà÷èòåëüíî ëó÷øå, ÷åì ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå (6, 408) ïðÿìîãî èñêà ñî ñðåäíèì 6, 768. Ðåøåíèå 3.6 Ïîïðîáóåì âû÷èñëèòü èíòåãðàë ZU I= 1 x−µ 2 1 x2 √ e− 2 ( σ ) dx σ 2π L x−µ σ Äåëàåì çàìåíó z = X − P (òî÷íî òàê æå, êàê â ïðåäûäóùåì äîêàçàòåëüñòâå), ïîëó÷àåì : z= ZU I= 1 2 1 (µ + σz)2 √ e− 2 z dz 2π L ðàñêðûâàåì: I = µ2 ZU 1 2 √ e−1/2z dz + 2µσ 2π ZU 1 2 z √ e−1/2z dz+ 2π L L σ2 ZU 1 2 z 2 √ e−1/2z dz 2π L Ïåðâûå äâà èíòåãðàëà ìîæíî âû÷èñëèòü, èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå âûøå. Ïîñëåäíèé èíòåãðàë ìîæíî âû÷èñëèòü, èñïîëüçóÿ èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì: ZU L U ZU 1 1 1 2 2 2 z √ ze−1/2z dz = z − √ ze−1/2z − √ e−1/2z dz = 2π 2π 2π L L 85 = −[U Φ(U ) − L(Φ(L)] + Φ(U ) − Φ(L) Îáúåäèíÿÿ ýòè òðè èíòåãðàëà, ïîëó÷àåì: ZU x2 fX (x)dx = µ2 [Φ( U −µ L−µ U −µ L−µ ) − Φ( )] − 2µσ[Φ( ) − Φ( )]+ σ σ σ σ L U −µ L−µ ) − Φ( )]− σ σ U −µ U −µ L−µ L−µ −[( )Φ( )−( )Φ( )]} σ σ σ σ +σ 2 {[Φ( Ðåøåíèå 3.7 (a) åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èñêà ðàâíà X , òî äîëÿ óäåðæàíèÿ ðàâíà Y = αX . Òîãäà: E(Y ) = E(αX) = αE(X) = α/λ (b) Ðàñïðåäåëåíèå èñêîâ áóäóùåãî ãîäà kX , ãäå X ∼ Exp(λ). Òîãäà äîëÿ óäåðæàíèÿ Y = αkX , è: E(Y ) = E(αkX) = αkE(X) = αk/λ Ðåøåíèå 3.8 Â êîíå÷íîì ñ÷åòå, äèñïåðñèÿ èñêîâ, ñóììà êîòîðûõ ìåíüøå 500, áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ. Òîãäà ñòðàõîâùèê áóäåò ïëàòèòü 500 ïî êàæäîìó èñêó. Òîãäà ïðåäåë E(Yn ) ïðè n ñòðåìÿùåìñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè áóäåò ðàâåí 500. Ðåøåíèå 3.9 Åñëè âåëè÷èíà óäåðæàíèÿ íå èìååò ïðåäåëà, äèñïåðñèÿ îïëàòû èñêà ýòî ïðîñòî äèñïåðñèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî (3,19): V ar(X) = 3 × 102 αλ2 = = 75 (α − 1)2 (α − 2) 4×1 Ñ êîíå÷íûì óäåðæàíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êâàäðàòà îïëàòû èñêà: Z8 Z∞ α αλ αλα 2 E(Y 2 ) = x2 dx + 8 dx (λ + x)a+1 (λ + x)α + 1 0 8 86 Ìû ìîæåì ïðÿìî ïîñ÷èòàòü âòîðîé èíòåãðàë: Z∞ 8 α ∞ 3 αλα λ 10 8 dx = 64 − = 64 × 8 = 10.9739 (λ + x)α + 1 λ+x 1 8 2 Ìû ìîæåì ïîñ÷èòàòü ïåðâûé èíòåãðàë, ñäåëàâ åãî ïîëíûì è èñïîëüçóÿ ôàêò, ÷òî âòîðîé íåöåíòðàëüíûé ìîìåíò â ðàñïðåäåëåíèè Ïàðåòî 2λ2 : [E(X)]2 + V ar(X) = (α−1)(α−2) Z8 αλα dx = E(X 2 ) − 1 α+1 (λ + x) 0 Z∞ 82 αλα dx (λ + x)α + 1 8 Çàìåíÿÿ u = x − 8: Z 8 0 x2 αλα dx = (λ + x)α+1 Z ∞ αλα dx = (u + 18)α+1 0 Z ∞ Z ∞ αλα αλα 2 2 u = E(X ) − u dx + 16 dx (u + 18)α+1 (u + 18)α+1 0 0 Z ∞ αλα dx = +64 (u + 18)α+1 0 α Z ∞ α Z ∞ αλα αλα 2λ2 10 10 2 u u = − dx + 16 × dx+ (α − 1)α − 2) 18 (u + 18)α+1 18 (u + 18)α+1 0 0 α Z ∞ 10 αλα 64 × dx = 18 (u + 18)α+1 0 3 2 × 102 10 18 2 × 182 = − + 16 × + 64 × 1 = 8.78 2×1 18 2×1 2 2 = E(X ) − (u + 8)2 Òîãäà: E(Y 2 ) = 8.78 + 10.9739 = 19.753 Òîãäà äèñïåðñèÿ Y : V ar[Y ] = E[Y 2 ] − (E[Y ])2 = 19.75 − 3.45682 − 7.804 87 Ðåøåíèå 3.10 Åñëè âîçìåùåíèå îñíîâíîãî èñêà X ∼ Gamma(α, λ), òî âîçìåùåíèÿ ïåðåñòðàõîâùèêà èìåþò ðàñïðåäåëåíèå Y = 0.2X . Äåëàÿ çàìåíó y = 0.2x: Z∞ 1 α α−1 −λx λ x e dx = Γ(α) 0 Z∞ 1 α λ (5y)α−1 e−5λy 5dy = Γ(α) 0 Z∞ = 1 (5λ)α y α−1 e−5λy dy Γ(α) 0 Ýòî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ α α è äèñïåðñèÿ 25λ Gamma(α, 5λ), ó êîòîðîãî ñðåäíåå 5λ 2 . Íî ñðåäíåå è äèñïåðñèÿ âûáîðêè (çíàìåíàòåëü n) : i x= Σx = 101.2 = 12.65 8 8 Σxi 2 − 12.652 = 104.855 è s = 8 −x= 2119.02 8 Òîãäà óðàâíåíèå äëÿ α è λ : α α = 12.65 è 25λ 2 = 104.855 5λ Ðåøèâ åãî, íàõîäèì α = 1.526 è λ = −0.024. Ðåøåíèå 3.11 Íåîáõîäèìî íàéòè ðàñïðåäåëåíèå âûïëàò ïî èñêàì ïåðåñòðàõîâùèêà, ó êîòîðîãî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé: g(y) = f (y + M ) 1 − F (M ) 2 Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà F (x) = 1 − e−cx Òîãäà: 2 2c(y + M )e−c(y+M ) 2 g(y) = = c(2y + 6)e−c(y +6y) 2 cM e Òîãäà ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ îñíîâûâàåòñÿ íà ñëó÷àéíîé âûáîðêå ðàçìåðà n : L(c) = cn Π(2yi + 6) × e−cΣ(yi2 + 6yi ) ëîãàðèôìèðóåì: log L(c) = n log c + Σ log(2yi + 6) − cΣ(yi2 + 6yi ) 88 äèôôåðåíöèðóåì ïî c: δ n log L = − Σ(yi2 + 6yi ) δc c ïðèðàâíèâàåì ê íóëþ è ðåøàåì, ïîëó÷àåì: c = Σ(y2n+6yi ) i Ïîäñòàâèì ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ: 10 = 0.692 c = 92.3+6×8.7 Ïðîâåðèì, ÷òî ýòî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå: δ2 n log L = − 2 2 δc c Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå îòðèöàòåëüíî ïðè ëþáîì çíà÷åíèè c. Ïîýòîìó ýòî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå äëÿ ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ Ðåøåíèå 3.12 Åñëè E = 0, ïî ôîðìóëå ïîëó÷àåì : fY (y) = αλα (λ + y)−α−1 , y > 0, ÷òî òî æå ñàìîå, ÷òî èñõîäíîå ðàñïðåäåëåíèå óáûòêîâ. Ýòî âåðíî, ïîñêîëüêó ñòðàõîâùèê äîëæåí îïëàòèòü ïîëíûé óùåðá. Àíàëîãè÷íî, ñðåäíÿÿ ñóììà, âûïëà÷èâàåìàÿ ïåðåñòðàõîâùèêîì, ðàâλ , ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ñðåäíåìó çíà÷åíèþ â ðàñïðåäåëåíèè Pareto. íà α−1 Ðåøåíèå 3.13 Áåç ýêñöåäåíòà, ñðåäíÿÿ ñóììà ïëàòåæà ñòðàõîâùèêà ïî îòíîøåíèþ ê êàæäîìó ïðåäúÿâëåííîìó èñêó: Z∞ xαλα (λ + x)−α−1 dx = λ α−1 0 (èñïîëüçóåì ôîðìóëó äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Pareto ). Ñ ýêñöåäåíòîì E , ñðåäíÿÿ ñóììà ïëàòåæà ñòðàõîâùèêà ïî îòíîøåíèþ ê êàæäîìó ïðåäúÿâëåííîìó èñêó : Z∞ (x − E)αλα (λ + x)−α−1 dx E Äåëàåì çàìåíó y − x − E , òî åñòü: Z∞ λ α yxαλα (λ + x + y)−α−1 dy = ( ) λ+E 0 Z∞ 0 89 yxαλα (λ + x + y)−α−1 dy λ αλ + E ) λ+E α−1 (èñïîëüçóåì ôîðìóëó äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ P areto ñ ïàðàìåòðîì λ + E ). Èòàê, îòíîøåíèå ðèñêîâûõ ïðåìèé áóäåò: α 2.5−1 λ+E λ λ α−1 5000 λ / = = = 0.971 λ+E α−1 α−1 λ+E 5000 + 100 =( ò.å. óìåíüøèòñÿ íà 2.9%. Ðåøåíèå 3.14 Ðàñïðåäåëåíèå ñóìì, âûïëà÷èâàåìûõ ñòðàõîâùèêîì, êàê è ðàíüøå, ðàâíî Y = X − E | X > E Òàêèì îáðàçîì: fY (y) = λe−λ(E+y) fX (E + y) λe−λ(E+y) = R∞ = λe−λy = −λE P (X > E) e λe−λx dx E Òàêèì îáðàçîì, íåòòî-ñóììà, âûïëà÷èâàåìàÿ ñòðàõîâùèêîì, òîæå Exp(λ) ðàñïðåäåëåíèå, òàê ÷òî ñðåäíåå íåòòî-ðàñïðåäåëåíèÿ òàêæå ðàâíî λ1 . 90 ×àñòü III 91 Ãëàâà 5 Ñóììàðíûå ñòðàõîâûå âûïëàòû Öåëè ãëàâû Ê êîíöó äàííîé ãëàâû âû áóäåòå óìåòü: • îïèñûâàòü ñâîéñòâà îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ • îïèñûâàòü è èñïîëüçîâàòü ìîäåëè èíäèâèäóàëüíîãî è êîëëåêòèâíîãî ðèñêà • ïîäáèðàòü è ïðèìåíÿòü íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå è ñìåùåííîå ãàììàðàñïðåäåëåíèå 1 Ââåäåíèå Â ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì ïîíÿòèå îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (compound distribution). Ìû îïðåäåëèì è â äàëüíåéøåì áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîáùåííîå ïóàññîíîâñêîå, îáîáùåííîå áèíîìèàëüíîå è îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèÿ. Òàêæå ìû ðàññìîòðèì äâå ìîäåëè ðèñêà: ìîäåëü èíäèâèäóàëüíîãî ðèñêà è ìîäåëü êîëëåêòèâíîãî ðèñêà, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ äëÿ îïèñàíèÿ ñóììàðíûõ âûïëàò (aggregate claims), òî åñòü îáùåãî ÷èñëà âñåõ âûïëàò çà êîíêðåòíûé ïåðèîä îò îòäåëüíîé ãðóïïû ñòðàõîâûõ ïîëèñîâ. Â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå âûïëàòû ïåíñèé, êàæäûé ïîëèñ ìîæåò ïðèâîäèòü íå áîëåå ÷åì ê îäíîìó ïëàòåæó, è âåëè÷èíû âûïëàò óêàçûâàþòñÿ çàðàíåå (ñòðàõîâàÿ ñóììà). Âåëè÷èíà ïåíñèè ìîæåò áûòü îäèíàêîâîé äëÿ âñåõ ïîëèñîâ, à ìîæåò ðàçëè÷àòüñÿ îò ïîëèñà ê ïîëèñó. Â îáùåì ñòðàõîâàíèè ïîëèñû ìîãóò ïðèâîäèòü ê áîëåå ÷åì îäíîìó ïëàòåæó è ñòðàõîâàÿ ñóììà îáû÷íà íå èçâåñòíà çàðàíåå. 92 Â ýòîé ãëàâå áóäåì ðàññìàòðèâàòü êîðîòêèé ïåðèîä âðåìåíè, â òå÷åíèè êîòîðîãî ïîñòóïàþò èñêè. Â ñëåäóþùåé ãëàâå áóäóò ïðåäñòàâëåíû ìîäåëè, â êîòîðûõ ïåðèîä ïîñòóïëåíèÿ èñêîâ ñ÷èòàåòñÿ áåñêîíå÷íûì. Â ýòîé îáøèðíîé ÷àñòè ââîäèòñÿ ìíîãî íîâûõ ïîíÿòèé, èìåþùèõ áîëüøîå çíà÷åíèå âî âñåì êóðñå. Âòîðàÿ ÷àñòü ýòîé ãëàâû (Îñíîâû òåîðèè) òàêæå ñîäåðæèò ìíîãî âàæíîé èíôîðìàöèè. Íà÷èíàåòñÿ îíà ñ êîðîòêîãî ïàðàãðàôà î ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ñåìèèíâàðèàíòîâ, äàëåå â íåì ïîäðîáíî îïèñûâàåòñÿ ìîäåëü èíäèâèäóàëüíîãî ðèñêà. Ïîñëåäíèé ïàðàãðàô ñîäåðæèò íåñêîëüêî ïðèìåðîâ ñ ðåøåíèÿìè, â êîòîðûõ ïðèìåíÿåòñÿ ïîãðåøíîñòü ïàðàìåòðîâ. 2 Îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå 2.1 Îïðåäåëåíèå Îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå. Ïóñòü S = X1 + X2 + ... + XN , ãäå Xi íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåë¼ííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, N ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, íåçàâèñÿùàÿ îò Xi äëÿ ëþáîãî i, òîãäà S èìååò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå. (Åñëè N ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 0, òî S íóëåâàÿ ñóììà è å¼ çíà÷åíèå ñ÷èòàåòñÿ ðàâíûì íóëþ.) "Îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå ýòî ñóììà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, êîëè÷åñòâî êîòîðûõ N åñòü òîæå ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà." Ï ð è ì å ð 5.1 Ïðèâåñòè ïðèìåð îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ð å ø å í è å Åñëè ãðóïïà îäíîòèïíûõ ïîëèñîâ îáùåãî ñòðàõîâàíèÿ ïðèâîäèò N âûïëàòàì â òå÷åíèå äàííîãî ãîäà è Xi âåëè÷èíà i-îé âûïëàòû, òîãäà S = X1 + X2 + ... + XN åñòü âåëè÷èíà îáùåãî ÷èñëà ñòðàõîâûõ âûïëàò (âåê ëè÷èíà ñóììàðíîãî èñêà) è èìååò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå . Ò.ê. îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå âñòðå÷àåòñÿ îáû÷íî â îáùåì ñòðàõîâàíèè, â äàëüíåéøåì ïîä ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé N áóäåì èìåòü ââèäó "êîëè÷åñòâî èñêîâ"è ïîä ðàñïðåäåëåíèåì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1 , X2 , ... "ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû ðàçìåðà èñêà". Äàæå åñëè ðå÷ü îá îáîáùåííîì ðàñïðåäåëåíèè áóäåò èäòè â äðóãîì êîíòåêñòå. Äëÿ òîãî, ÷òî íàéòè îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå, âàì íåîáõîäèìî çíàòü: • ðàñïðåäåëåíèå N (êîòîðîå äîëæíî áûòü äèñêðåòíûì) • ðàñïðåäåëåíèå Xi (êîòîðîå ìîæåò áûòü ëþáûì) Çàìåòèì, ÷òî åñëè ðàñïðåäåëåíèå Xi íåïðåðûâíîå, òî S èìååò ñìåøàííîå ðàñïðåäåëåíèå. 93 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.1. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà N ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 0, 1 è 2 ñ âåðîÿòíîñòÿìè 1/2, 1/4 è 1/4 ñîîòâåòñòâåííî è Xi èìååò U (0, 10, )ðàñïðåäåëåíèå. Ïîñòðîéòå ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû S . Êîãäà â ÷àñòíîñòè ðàñïðåäåëåíèå N èçâåñòíî îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå íîñèò íàçâàíèå ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, íàïðèìåð îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà. Ñíà÷àëà ìû ðàçáåð¼ì ñâîéñòâà ïðîèçâîëüíîãî îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, à ïîòîì ðàññìîòðèì îáîáù¼ííûå ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîñòðîåííûå íà êîíêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèÿõ N . 2.2 Ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ñëåäóþùåå îáîáùåííîå ñâîéñòâî ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè âåðîÿòíîñòåé è ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ: Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñóììàðíîãî èñêà Åñëè X1 , X2 , X3 , ..., Xn íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåë¼ííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è N íå çàâèñèò îò Xi (äëÿ âñåõ i), òîãäà ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ âåðîÿòíîñòåé S = X1 + X2 + ... + XN : GS (t) = GN [GX (t)] "Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ âåðîÿòíîñòåé ñóììàðíîãî èñêà åñòü ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ âåðîÿòíîñòåé ÷èñëà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îò ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí." Äîêàçàòåëüñòâî (1 ñïîñîá): Ïðè âñåâîçìîæíûõ çíà÷åíèÿõ N : GS (t) = E[tS ] = E[tX1 +X2 +...+XN ] = = P (N = 0)E[t0 ] + P (N = 1)E[tX1 ] + P (N = 2)E[tX1 +X2 ] + ... = P (N = 0)1 + P (N = 1)E[tX1 ] + P (N = 2)E[tX1 ]E[tX2 ] + ... = P (N = 0)1 + P (N = 1)GX (t) + P (N = 2)(GX (t))2 + ... = E[(GX (t))N ] = GN [GX (t)] Äîêàçàòåëüñòâî òàêæå ìîæíî ïðîâåñòè, èñïîëüçóÿ óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå. Îòìåòèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåéñòâèé "àëüòåðíàòèâíîãî"äîêàçàòåëüñòâà òî÷íî òàêàÿ æå. Ðàçíèöà ëèøü â ñèñòåìå îáîçíà÷åíèé. 94 Äîêàçàòåëüñòâî (2 ñïîñîá): Ïðè âñåâîçìîæíûõ çíà÷åíèÿõ N : GS (t) = E[tS ] = E[E[tS |N ]] = E[E[tX1 +X2 +...+XN |N ]] = = E[E[tX ]N ] = E[(GX (t))N ] = GN [GX (t)] Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.2. Îïèøèòå ïîäðîáíî ïîëó÷åíèå êàæäîé ñòðî÷êè Äîêàçàòåëüñòâà 1 ñïîñîáîì. Âûñêàæèòå âñå âîçìîæíûå ïðåäïîëîæåíèÿ. Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñóììàðíîãî èñêà Åñëè X1 , X2 , X3 , ..., Xn íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåë¼ííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è N íå çàâèñèò îò Xi (äëÿ âñåõ i), òîãäà ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ S = X1 + X2 + ... + XN : MS (t) = MN [log MX (t)] "Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ ñóììàðíîãî èñêà åñòü ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ âåðîÿòíîñòåé ÷èñëà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îò ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí." Èç ýòîãî ñðàçó æå ñëåäóåò ôîðìóëà äëÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîì îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ: Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ S = X1 + X2 + ... + XN : MS (t) = MN [log MX (t)] èëè MS = GN [MX (t)] ãäå MX (t) ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ äëÿ Xi è GN (t) ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ âåðîÿòíîñòåé äëÿ N . Äîêàçàòåëüñòâî: Ïåðâàÿ ôîðìóëà ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç ïðåäûäóùåãî óòâåðæäåíèÿ è îïðåäåëåíèÿ îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Âòîðàÿ ôîðìóëà ñëåäóåò èç ïåðâîé ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàâåíñòâà: M (log s) = G(s) Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.3. Çàïèøèòå ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ ìîìåíòîâ îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà, â êîòîðîì âåëè÷èíà èíäèâèäóàëüíîãî èñêà èìååò ðàñïðåäåëåíèå Gamma (α, β ) è ïàðàìåòð Ïóàññîíà ðàâåí λ. 95 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.4. Çàïèøèòå ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ âåðîÿòíîñòåé îáîáùåííîãî îòðèöàòåëüíîãî áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè k è p, â êîòîðîì âåëè÷èíà èíäèâèäóàëüíîãî èñêà èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè m è q . (Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî çäåñü ïàðàìåòðû p è q íèêàê íå ñâÿçàíû). 2.3 Ìîìåíòû îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ôîðìóëà äëÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äà¼ò âîçìîæíîñòü âûâåñòè ôîðìóëû äëÿ ìîìåíòîâ ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÷åðåç ìîìåíòû ñîñòàâëÿþùèõ åãî ðàñïðåäåëåíèé: Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ñðåäíåå è äèñïåðñèÿ îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ S = X1 + X2 + ... + XN ðàâíû: E[S] = E[N ]E[X] V ar[S] = E[N ]V ar[X] + V ar[N ](E[X])2 Äîêàçàòåëüñòâî (1 ñïîñîá): Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ ñóììàðíîãî èñêà S : MS = GN [MX (t)] Äèôôåðåíöèðóåì MS êàê ñëîæíóþ ôóíêöèþ: MS0 (t) = G0N [MX (t)]MX0 (t) Ïîëîæèì t = 0: MS0 (0) = G0N (1)MX0 (0) òî åñòü E[S] = E[N ]E[X] Äèôôåðåíöèðóåì ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ åù¼ ðàç: MS00 (t) = G00N [MX (t)][MX0 (t)]2 + G0N [MX (t)]MX00 (t) Ïîëîæèì t = 0: MS00 (0) = G00N (1)[MX0 (0)]2 + G0N (1)MX00 (0) òî åñòü E[S 2 ] = (E[N 2 ] − E[N ])(E[X])2 + E[N ]E[X 2 ] 96 Òàêèì îáðàçîì: V ar[S] = E[S 2 ] − (E[S])2 = (E[N 2 ] − E[N ])(E[X])2 + E[N ]E[X 2 ] − (E[N ]E[X])2 = = E[N ]E[X 2 ] − E[N ](E[X])2 + E[N 2 ](E[X])2 − (E[N ])2 (E[X])2 = = E[N ](E[X 2 ] − (E[X])2 ) + (E[N 2 ] − (E[N ])2 )(E[X])2 = = E[N ]V ar[X] + V ar[N ](E[X])2 Âòîðîé ñïîñîá äîêàçàòåëüñòâà îñíîâàí íà èñïîëüçîâàíèè óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ: Äîêàçàòåëüñòâî (2 ñïîñîá): E[S] = E[E[S|N ]] = E[E[X1 + X2 + ... + XN |N ]] = E[N E[X]] = E[X]E[N ] Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîëó÷èëè, èñõîäÿ èç òîãî, ÷òî E[X] êîíñòàíòà â E[N E[X]]. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.5. Ïîëó÷èòå âûðàæåíèå äëÿ äèñïåð- ñèè S , èñïîëüçóÿ óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå. 2.4 Ïðèìåðû îáîáùåííûõ ðàñïðåäåëåíèé Â ýòîì ðàçäåëå ìû ðàññìîòðèì îáîáùåííûå ðàñïðåäåëåíèÿ ñ êîíêðåòíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè âåëè÷èíû N . Â ñëåäóþùåé òàáëèöå ïðèâåäåíû ïðèìåðû ðàñïðåäåëåíèé N , êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ ÷àùå âñåãî, âìåñòå ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ïðîèçâîäÿùèìè ôóíêöèÿìè ìîìåíòîâ: Ðàñïðåäåëåíèå Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû N MS (t) îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ λn e−λ n! eλ[MX (t)−1] Ïóàññîíà Îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå k+n−1 k n p q n Ãåîìåòðè÷åñêîå Áèíîìèàëüíîå (n = 0, 1, 2, ...) (n = 0, 1, 2, ...) pq n (n = 0, 1, 2, ...) m n m−n p q n (n = 0, 1, 2, ...) 97 h p 1−qMX (t) h ik p 1−qMX (t) i [q + pMX (t)]m Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.6. Çàïèøèòå ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ ìîìåíòîâ îáîáùåííîãî ãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, åñëè âåëè÷èíà èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ èìååò Exp(β ) ðàñïðåäåëåíèå. Òàêæå ìû ìîæåì ïîëó÷èòü ôîðìóëû äëÿ ìîìåíòîâ êîíêðåòíûõ îáîáùåííûõ ðàñïðåäåëåíèé, èñïîëüçóÿ ìîìåíòû âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ: Ï ð è ì å ð 5.2 Íàéòè âûðàæåíèÿ äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ è äèñïåðñèè îáîáùåííîãî ïóàññîíîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì λ ÷åðåç ìîìåíòû ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ. Ð å ø å í è å Èñïîëüçóÿ îáùèå ôîðìóëû äëÿ ñðåäíåãî è äèñïåðñèè îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîëó÷èì: E[S] = E[N ]E[X] = λE[X] V ar[S] = E[N ]V ar[X] + V ar[N ](E[X])2 = λ(V ar[X] + (E[X])2 ) = λE[X 2 ] Â òàáëèöå, äàííîé íèæå, ïðåäñòàâëåíû îñíîâíûå ôîðìóëû äëÿ òðåõ îáîáùåííûõ ðàñïðåäåëåíèé (Ïóàññîíà, îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå è áèíîìèàëüíîå), êîòîðûå îáû÷íî èñïîëüçóþòñÿ. k -ûé íåöåíòðàëüíûé ìîìåíò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X áóäåì ñîêðàùåííî îáîçíà÷àòü mk . Òàêèì îáðàçîì, m2 = E[X 2 ]. Îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà Îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå Áèíîìèàëüíîå Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ N λn e−λ n! (n = 0, 1, 2, ...) k+n−1 k n p q n m n m−n p q n Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ eλ[MX (t)−1] Ñðåäíåå λm1 (n = 0, 1, 2, ...) h p 1−qMX (t) kq m1 p 98 ik (n = 0, 1, ...m) [q + pMX (t)]m mpm1 Äèñïåðñèÿ λm2 2 kq m2 + kq m21 p p2 Òðåòèé öåíòðàëüíûé ìîìåíò (àñèììåòðèÿ ) (skew[X]) λm3 kq 3kq 2 2kq 3 3 m + m m + m1 3 2 1 2 p p p3 mpm2 − mp2 m21 mpm3 +2mp3 m31 − 3mp2 m2 m1 Â êàæäîì ñëó÷àå ôîðìóëà äëÿ êîýôôèöèåíòà àñèììåòðèè ðàâíà: Àñèììåòðèÿ (Äèñïåðñèÿ)1.5 Ï ð è ì å ð 5.3 Íàéòè âûðàæåíèÿ äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ è äèñïåðñèè îáîáùåííîãî áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (ñ ïàðàìåòðàìè k è p) ÷åðåç ìîìåíòû ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ. Ð å ø å í è å Èñïîëüçóÿ îáùèå ôîðìóëû äëÿ ñðåäíåãî è äèñïåðñèè îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, äàííûå âûøå, ïîëó÷èì: E[S] = E[N ]E[X] = kq m1 p V ar[S] = E[N ]V ar[X] + V ar[N ](E[X])2 = = kq kq (m2 − m21 ) + 2 m21 = p p kq kq kq 2 kq m2 + 2 (1 − p)m21 = m2 + 2 m21 p p p p Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.7. Ïîëó÷èòå ôîðìóëû äëÿ ñðåäíåãî è äèñïåðñèè îáîáùåííîãî áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè m è p, åñëè âåëè÷èíà èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ èìååò ðàñïðåäåëåíèå ñ ïåðâûì è âòîðûì ìîìåíòàìè, ðàâíûìè m1 è m2 ñîîòâåòñòâåííî. Ôîðìóëà äëÿ çíà÷åíèÿ àñèììåòðèè ðàñïðåäåëåíèÿ (skew[X]) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ãîðàçäî ïðîùå, èñïîëüçóÿ ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ ñåìèèíâàðèàíòîâ : 99 Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ñåìèèíâàðèàíòîâ Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ñåìèèíâàðèàíòîâ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: KX (t) = log MX (t) Ñðåäíåå, äèñïåðñèÿ è àñèììåòðèÿ, âûðàæåííûå ÷åðåç KX (t) Åñëè ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ñåìèèíâàðèàíòîâ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ðàâíà KX (t), òî: 0 E[X] = KX (0) 00 V ar[X] = KX (0) 000 skew[X] = KX (0) Äîêàçàòåëüñòâî: Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ñåìèèíâàðèàíòîâ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X : KX (t) = log MX (t). Äèôôåðåíöèðóåì å¼ êàê ñëîæíóþ ôóíêöèþ: 0 KX (t) = MX0 (t) Ïîëîæèì t = 0: 0 KX (0) = 1 MX (t) = MX0 (t) MX (t) MX0 (0) E[X] = = E[X] MX (0) 1 Äèôôåðåíöèðóåì åù¼ ðàç: 00 KX (t) = MX00 (t) 1 MX (t) + MX0 (t) −MX0 (t) MX00 (t) (MX0 (t))2 = − (MX (t))2 MX (t) (MX (t))2 Ïîëîæèì t = 0: 00 KX (0) = MX00 (0) (MX0 (0))2 − = E[X 2 ] − (E[X])2 = V ar[X] MX (0) (MX (0))2 Äèôôåðåíöèðóÿ åù¼ ðàç è óïðîùàÿ, ïîëó÷èì: 000 (t) = KX MX000 (t) (MX0 (t))3 M 00 (t)MX0 (t) −3 X + 2 MX (t) (MX (t))2 (MX (t))3 Ïîëîæèì t = 0: 000 KX (0) = MX000 (0) M 00 (0)MX0 (0) (MX0 (0))3 −3 X + 2 = MX (0) (MX (0))2 (MX (0))3 = E[X 3 ] − 3E[X 2 ]E[X] + 2(E[X])3 = skew[X] 100 Ï ð è ì å ð 5.4 Íàéòè âûðàæåíèå äëÿ àñèììåòðèè (òðåòüåãî öåíòðàëüíîãî ìîìåíòà) îáîáùåííîãî îòðèöàòåëüíîãî áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè k è p ÷åðåç ìîìåíòû ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ. Ð å ø å í è å Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ îáîáùåííîãî îòðèöàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà: k p MS (t) = 1 − qMX (t) Òàêèì îáðàçîì: KS (t) = log MS (t) = k log p − k log[1 − qMX (t)] Äèôôåðåíöèðóåì ïî t: KS0 (t) = kqMS0 (t) 1 − qMX (t) Äèôôåðåíöèðóåì åù¼ ðàç: KS00 (t) = kqMS00 (t) kq 2 [MS0 (t)]2 − 1 − qMX (t) [1 − qMX (t)]2 Äèôôåðåíöèðóåì òðåòèé ðàç: KS000 (t) = 0 (t) kqMS000 (t) kq 2 MS00 (t)MX kq 3 [MS0 (t)]3 +3 + 2 1 − qMX (t) [1 − qMX (t)]2 [1 − qMX (t)]3 Ïîëîæèì t = 0: skew[X] = KS000 (0) = kq 3kq 2 2kq 3 m3 + 2 m2 m1 + 3 m31 p p p Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.8. Ïîêàæèòå, ÷òî àñèììåòðèÿ îáîá- ùåííîãî ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà ñ ïàðàìåòðîì λ ðàâíà λm3 , ãäå m3 = E[X 3 ] Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.9. Ïîëó÷èòå ôîðìóëó äëÿ ïðîèçâîäÿ- ùåé ôóíêöèè ñåìèèíâàðèàíòîâ îáîáùåííîãî áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è èç íå¼ âûâåäèòå ôîðìóëó äëÿ êîýôôèöèåíòà àñèììåòðèè îáîáùåííîãî áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. (Êîýôôèöèåíò àñèììåòðèè ðàâåí îòíîøåíèþ àñèììåòðèè ê êóáó ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ.) Îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì àääèòèâíîñòè: Ñóììà îáîáùåííûõ ðàñïðåäåëåíèé Ïóàññîíà Åñëè íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû S1 , S2 , ..., Sk èìåþò îáîáùåííîå 101 ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà êàæäàÿ ñ ïàðàìåòðàìè λ1 , λ2 , ..., λk ñîîòâåòñòâåííî è ðàñïðåäåëåíèÿ ðàçìåðîâ èñêà èìåþò ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè ìîìåíòîâ MX1 (t), MX2 (t), ..., MXk (t), òîãäà ñóììà Y = S1 + S2 + ... + Sk òàêæå èìååò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà. Ïàðàìåòð Ïóàññîíà è ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ âåëè÷èíû W èíäèâèäóàëüíîãî èñêà äëÿ Y ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû: λ = λ1 + λ2 + ... + λk λMW (t) = λ1 MX1 (t) + λ2 MX2 (t) + ... + λk MXk (t) Äîêàçàòåëüñòâî: Ìû ìîæåì íàéòè ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ âåëè÷èíû Y : MY (t) = E[etY ] = E[et(S1 +S2 +...+Sk ) ] = = E[etS1 ]E[etS2 ] · · · E[etSk ] = eλ1 [MX1 (t)−1] eλ2 [MX2 (t)−1] · · · eλk [MXk (t)−1] = = e[λ1 MX1 (t)+λ2 MX2 (t)+...+λk MXk (t)]−(λ1 +λ2 +...+λk ) = eλ[MW (t)−1] Ãäå λ è MW (t) âåëè÷èíû, îïðåäåëåííûå âûøå. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.10. Îáëàäàåò ëè ñâîéñòâîì àääèòèâ- íîñòè îáîáùåííîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå? Åñëè äà ñôîðìóëèðóéòå òî÷íî âñå óñëîâèÿ, íåîáõîäèìûå äëÿ âûïîëíåíèÿ ýòîãî ñâîéñòâà. Ýòîò ðåçóëüòàò ìîæåò áûòü ïîëó÷åí òàêæå ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ. Ñóììà îáîáùåííûõ ðàñïðåäåëåíèé Ïóàññîíà (âòîðîå ïðåäñòàâëåíèå) Åñëè íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû S1 , S2 , ..., Sk èìåþò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà êàæäàÿ ñ ïàðàìåòðàìè λ1 , λ2 , ..., λk ñîîòâåòñòâåííî è ðàñïðåäåëåíèÿ ðàçìåðîâ èñêà èìåþò ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FX1 (t), FX2 (t), ..., FXk (t), òîãäà ñóììà Y = S1 + S2 + ... + Sk òàêæå èìååò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà. Ïàðàìåòð Ïóàññîíà è ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû W èíäèâèäóàëüíîãî èñêà äëÿ Y ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû: λ = λ1 + λ2 + ... + λk λFW (t) = λ1 FX1 (t) + λ2 FX2 (t) + ... + λk FXk (t) 102 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.11. Äâå âåëè÷èíû ñóììàðíûõ èñêîâ, îáîçíà÷åííûå çà S1 è S2 , èìåþò ñëåäóþùèå ðàñïðåäåëåíèÿ: S1 èìååò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì 100 è ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F1 (x) = 1 − exp(−x/α), x > 0, S2 èìååò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì 200 è ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F2 (x) = 1 − exp(−x/β), x > 0. Åñëè S1 è S2 íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû S1 + S2 . 3 Ìîäåëü èíäèâèäóàëüíîãî ðèñêà 3.1 Ïðåäïîëîæåíèÿ Ìîäåëü èíäèâèäóàëüíîãî ðèñêà íàèáîëåå ïðèãîäíàÿ äëÿ îïèñàíèÿ èñêîâ ïî ïîëèñàì ñòðàõîâàíèÿ æèçíè, ãäå êàæäûé ïîëèñ âëå÷åò çà ñîáîé íå áîëåå îäíîãî èñêà (òàêæå îíà ìîæåò ïðèìåíÿòüñÿ è â äðóãèõ ñëó÷àÿõ). Ïðåäïîëîæåíèÿ â ìîäåëè èíäèâèäóàëüíîãî ðèñêà Ñîãëàñíî ýòîé ìîäåëè, âåëè÷èíà S ñóììàðíûõ âûïëàò çà îïðåäåëåííûé ïåðèîä îòíîñèòåëüíî ãðóïïû ïîëèñîâ ñòðàõîâàíèÿ ðàâíà: S = X1 + X2 + ... + Xn ãäå Xi âåëè÷èíà âûïëàò çà îïðåäåë¼ííûé ïåðèîä îòíîñèòåëüíî i-ãî ïîëèñà è n êîëè÷åñòâî ïîëèñîâ â ãðóïïå. Ìîäåëü ïðåäïîëàãàåò, ÷òî: 1. Èñêè îò êàæäîãî ïîëèñà íåçàâèñèìû. 2. Êîëè÷åñòâî ïîëèñîâ â ãðóïïå ôèêñèðîâàíî â òå÷åíèå âñåãî ïåðèîäà. 3. Âðåìåííàÿ ñòîèìîñòü äåíåã èãíîðèðóåòñÿ (òî åñòü ïðîöåíòû íå íàêàïëèâàþòñÿ). "Ìîäåëü èíäèâèäóàëüíîãî ðèñêà ðàññìàòðèâàåò êàæäûé ïîëèñ èç ãðóïïû." Åñëè ïåðèîä ñòðàõîâàíèÿ íå î÷åíü äëèòåëüíûé è ÷àñòîòà èñêîâ íå ñëèøêîì âåëèêà áîëüøèíñòâî Xi áóäåò íóëåâîå, òàê êàê áîëüøèíñòâî ïîëèñîâ íå áóäåò èìåòü ñòðàõîâûõ ñëó÷àåâ. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.12. Ñòðàõîâùèê îáåñïå÷èâàåò ñòðàõî- âîé çàùèòîé 5 êîìïàíèé A, B, C, D, E . Çà ïðîøëûé ãîä ïðîèçîøëî òðè ñòðàõîâûõ ñëó÷àÿ: 103 • Êîìïàíèÿ B ïðåäúÿâèëà òðåáîâàíèå íà £2, 500 â ñåíòÿáðå • Êîìïàíèÿ E ïðåäúÿâèëà òðåáîâàíèå íà £8, 000 â ìàðòå • Êîìïàíèÿ E ïðåäúÿâèëà òðåáîâàíèå íà £12, 000 â íîÿáðå Ïîêàæèòå, êàê òàêàÿ ñèòóàöèÿ áûëà áû ïðåäñòàâëåíà â ìîäåëè èíäèâèäóàëüíîãî ðèñêà. 3.2 Ðàñïðåäåëåíèå ñóììàðíîãî ÷èñëà èñêîâ Åñëè íàì èçâåñòíà âåðîÿòíîñòü âîçíèêíîâåíèÿ èñêà ïî êàæäîìó ïîëèñó, ìû ìîæåì óñòàíîâèòü ðàñïðåäåëåíèå êîëè÷åñòâà ïîëèñîâ, îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ ðàññìàòðèâàþòñÿ èñêè (òî åñòü êîëè÷åñòâî íåíóëåâûõ Xi ). Ðàñïðåäåëåíèå ñóììàðíîãî ÷èñëà èñêîâ Åñëè âåðîÿòíîñòü q âîçíèêíîâåíèÿ ñòðàõîâîãî ñëó÷àÿ îäíà è òà æå äëÿ âñåõ n ïîëèñîâ, òî âåëè÷èíà N îáùåãî ÷èñëà èñêîâ èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå: N ∼ Binomial (n, q). Äîêàçàòåëüñòâî: Ýòî óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Åñëè âåðîÿòíîñòü âîçíèêíîâåíèÿ èñêà î÷åíü ìàëà äëÿ âñåõ ïîëèñîâ, à êîëè÷åñòâî ïîëèñîâ âåëèêî, òî ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïóàññîíîâñêîå ïðèáëèæåíèå. Ï ð è ì å ð 5.5 Ïåíñèîííûé ôîíä îáåñïå÷èâàåò åäèíîâðåìåííî âûïëà÷èâàåìûìè ïîñîáèÿìè ïî ñìåðòè âñåõ ñëóæàùèõ. Ðàçìåðû ïîñîáèé îòëè÷àþòñÿ äëÿ ðàáî÷èõ è øòàòíûõ ñîòðóäíèêîâ. Êîëè÷åñòâî Ñòðàõîâîå ïîñîáèå Âåðîÿòíîñòü ñìåðòè Øòàòíûå ñîòðóäíèêè 500 2,500 £50, 000 £25, 000 0.005 Ðàáî÷èå 0.010 Íàéòè ïðèáëèæ¼ííóþ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðîèçîéä¼ò 25 ñòðàõîâûõ ñëó÷àåâ â ïåíñèîííîì ôîíäå çà äàííûé ãîä. Ð å ø å í è å Îæèäàåìîå êîëè÷åñòâî ñìåðòåé â ãîä: E[N ] = X qi = 500 ∗ 0.005 + 2, 500 ∗ 0.010 = 27.5 i Òàêèì îáðàçîì, èñïîëüçóÿ ïóàññîíîâñêóþ àïïðîêñèìàöèþ, ïîëó÷èì: P (N = 25) ≈ 27.525 e−27.5 = 0.0707 25! 104 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.13. Êàêîâî òî÷íîå çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî â òå÷åíèå îäíîãî ãîäà ïðîèçîéä¼ò ðîâíî 5 ñìåðòåé èç ÷èñëà øòàòíûõ ñîòðóäíèêîâ è 20 èç ÷èñëà ðàáî÷èõ? 3.3 Ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíîãî èñêà Â ñëó÷àå ïðîñòîãî ïîñîáèÿ ïî ñìåðòè êàæäàÿ âåëè÷èíà Xi èëè ñîîòâåòñòâóåò ðàçìåðó ïîñîáèÿ (ò.å. ñòðàõîâàÿ ñóììà), èëè ðàâíà íóëþ. Â ýòîì ñëó÷àå ìû ìîæåì ïîëó÷èòü ôîðìóëó äëÿ ñðåäíåãî è äèñïåðñèè âåëè÷èíû âûïëà÷èâàåìîãî âîçìåùåíèÿ ïî êàæäîìó ïîëèñó: Ìîìåíòû âåëè÷èíû èñêîâ (äëÿ ïîëèñîâ èíäèâèäóàëüíîãî ñòðàõîâàíèÿ): Åñëè Xi èìååò ôóíêöèþ âåðîÿòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ: b ñ âåðîÿòíîñòüþ q Xi = 0 ñ âåðîÿòíîñòüþ p ãäå q âåðîÿòíîñòü ñìåðòè â òå÷åíèå äàííîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè, p = 1 − q âåðîÿòíîñòü âûæèòü ê êîíöó ïåðèîäà, b âåëè÷èíà âîçìåùåíèÿ, âûïëà÷èâàåìîãî ïî ñìåðòè (ñòðàõîâàÿ ñóììà). Òîãäà: E[Xi ] = bq V ar[Xi ] = b2 q(1 − q) Äîêàçàòåëüñòâî: Ýòî óòâåðæäåíèå ïðîùå äîêàçàòü, îïðåäåëèâ âñïîìîãàòåëüíóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó I , êîòîðàÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1 òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ïðîèçîøåë ñòðàõîâîé ñëó÷àé, è 0 åñëè íåò. Âåëè÷èíà Xi â òàêîì ñëó÷àå îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: Xi = bI . Ðàñïðåäåëåíèå I : 1 ñ âåðîÿòíîñòüþ q I= 0 ñ âåðîÿòíîñòüþ p òî åñòü I èìååò B( 1, q ) ðàñïðåäåëåíèå. Èç ñâîéñòâ áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìû çíàåì, ÷òî: E[I] = q V ar[I] = q(1 − q) Çíà÷èò, ñðåäíåå è äèñïåðñèÿ Xi ðàâíû: E[Xi ] = E[bI] = bE[I] = bq 105 V ar[Xi ] = V ar[bI] = b2 V ar[I] = b2 q(1 − q) Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, òàêèå êàê I , êîòîðûå "óêàçûâàþò ïðîèçîøåë ñòðàõîâîé ñëó÷àé èëè íåò, î÷åíü ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ â ñòàòèñòèêå. Îíè íàçûâàþòñÿ èíäèêàòîðíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.14. Äîêàæèòå ôîðìóëó äëÿ ñðåäíåãî è äèñïåðñèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Xi áåç èñïîëüçîâàíèÿ èíäèêàòîðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.15. Ïîêàæèòå, ÷òî òðåòèé öåíòðàëü- íûé ìîìåíò âåëè÷èíû Xi ðàâåí: skew[X] = b3 q(1 − q)(1 − 2q) 3.4 Ìîìåíòû âåëè÷èíû ñóììàðíîãî èñêà Òàê êàê ìîäåëü èíäèâèäóàëüíîãî ðèñêà ïðåäïîëàãàåò, ÷òî ïîëèñû äåéñòâóþò íåçàâèñèìî, ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü ñâîéñòâî àääèòèâíîñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, äèñïåðñèè è òðåòüåãî öåíòðàëüíîãî ìîìåíòà ñóììàðíîãî èñêà S , êîãäà âåëè÷èíà ñòðàõîâûõ âûïëàò ôèêñèðîâàíà. Ìîìåíòû âåëè÷èíû ñóììàðíîãî èñêà Åñëè ïî êàæäîìó ïîëèñó ìîæåò ïðîèçîéòè íå áîëåå îäíîãî èñêà, òî: X X E[S] = b i qi V ar[S] = b2i qi (1 − qi ) i skew[S] = i X b3i qi (1 − qi )(1 − 2qi ) i ãäå qi âåðîÿòíîñòü âîçíèêíîâåíèÿ èñêà ïî i-ìó ïîëèñó â òå÷åíèå âñåãî ïåðèîäà, bi âåëè÷èíà ñòðàõîâîé âûïëàòû ïî i-ìó ïîëèñó. Äîêàçàòåëüñòâî: Òàê êàê âñå Xi ïðåäïîëàãàþòñÿ íåçàâèñèìûìè,òî: E[S] = E[X1 + X2 + ... + Xn ] = E[X1 ] + E[X2 ] + ... + E[Xn ] V ar[S] = V ar[X1 + X2 + ... + Xn ] = V ar[X1 ] + V ar[X2 ] + ... + V ar[Xn ] skew[S] = skew[(X1 + X2 + ... + Xn ] = = skew[X1 ] + skew[X2 ] + ... + skew[Xn ] Îòñþäà íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþò âûøåíàïèñàííûå ôîðìóëû. 106 Ï ð è ì å ð 5.6 Âû÷èñëèòü ñðåäíåå, äèñïåðñèþ è àñèììåòðèþ âåëè÷èíû ñóììàðíûõ âûïëàò çà ãîä, èñïîëüçóÿ äàííûå äëÿ ïåíñèîííîãî ôîíäà èç Ïðèìåðà 5.5. Ð å ø å í è å Ïî ôîðìóëàì, äîêàçàííûì âûøå, ìîìåíòû âåëè÷èíû S ñóììàðíûõ âûïëàò ðàâíû: E[S] = X bi qi = 500 ∗ 50, 000 ∗ 0.005 + 2, 500 ∗ 25, 000 ∗ 0.010 = £750, 000 i V ar[S] = X b2i qi (1 − qi ) = 500 ∗ 50, 0002 ∗ 0.005(1 − 0.005)+ i +2, 500 ∗ 25, 0002 ∗ 0.010(1 − 0.010) = (£147, 267)2 X skew[S] = b3i qi (1 − qi )(1 − 2qi ) = i = 500 ∗ 50, 0003 ∗ 0.005(1 − 0.005)(1 − 2 ∗ 0.005)+ +2, 500 ∗ 25, 0003 ∗ 0.010(1 − 0.010)(1 − 2 ∗ 0.010) = (£88, 229)3 Åñëè ñòðàõîâûå âûïëàòû ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ìû ìîæåì íàéòè ìîìåíòû èñïîëüçóÿ èíäèêàòîðíóþ ôóíêöèþ, à òàêæå ôîðìóëû äëÿ óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè. Óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèå è óñëîâíàÿ äèñïåðñèÿ E[X] = E[E[X|Y ]] Ï ð è ì å ð 5.7 V ar[X] = E[V ar[X|Y ]] + V ar[E[X|Y ]] Ñòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ îïåðèðóåò ïîðòôåëåì ïîëèñîâ îáùåãî ñòðàõîâàíèÿ, ñîãëàñíî êîòîðîìó ñòðàõîâûå ñëó÷àè ïðîèñõîäÿò îòíîñèòåëüíî ðåäêî. Ñòðàõîâùèê äîïóñêàåò, ÷òî äëÿ êàæäîãî èç 5,000 ïîëèñîâ èç ïîðòôåëÿ âåðîÿòíîñòü âîçíèêíîâåíèÿ îäíîãî ñòðàõîâîãî ñëó÷àÿ â ãîä ðàâíà 0.5%, à âåðîÿòíîñòü âîçíèêíîâåíèÿ áîëåå îäíîãî ñòðàõîâîãî ñëó÷àÿ ïðåíåáðåæèìî ìàëà. Âåëè÷èíà èíäèâèäóàëüíîãî èñêà ïî ïðåäïîëîæåíèþ èìååò Gamma (1.5, 0.0002)ðàñïðåäåëåíèå. Âû÷èñëèòü ñðåäíåå è äèñïåðñèþ åæåãîäíûõ ñóììàðíûõ âûïëàò ïî ýòîìó ïîðòôåëþ. Ð å ø å í è å Âåëè÷èíà ñóììàðíûõ âûïëàò: S = X1 + X2 + ... + X5000 Xi ñòðàõîâîãî âîçìåùåíèÿ ïî i-ìó ïîëèñó, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü âûðàæåíà êàê BI , ãäå I èíäèêàòîð ïðåäúÿâëåíèÿ èñêà, B ïðåäñòàâëÿåò âåëè÷èíó âûïëàòû. Ìû çíàåì, ÷òî I èìååò B(1, q)ðàñïðåäåëåíèå è B|I = 1 èìååò Gamma( 1.5, 0.0002) ðàñïðåäåëåíèå. Íàéä¼ì ñíà÷àëà ñðåäíåå è äèñïåðñèþ óñëîâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû BI|I . Åñëè ìû çíàåì, ÷òî I = 0 (òî åñòü ïî i-ìó ïîëèñó íå áûëî ïðåäúÿâëåíî íè îäíîãî èñêà), òîãäà BI = 0. Èòàê: E[BI|I = 0] = 0 107 Åñëè ìû çíàåì, ÷òî I = 1 (áûë ïðåäúÿâëåí èñê), òîãäà BI = B (òàê êàê ìû ïðåäïîëàãàåì âîçìîæíîñòü ïðåäúÿâëåíèÿ ëèøü îäíîãî èñêà), êîòîðàÿ èìååò Gamma( 1.5, 0.0002) ðàñïðåäåëåíèå. Èòàê: E[BI|I = 1] = 1.5/0, 0002 = 7, 500 Îáúåäèíèâ ýòè ðåçóëüòàòû, ïîëó÷èì: E[BI|I] = 7, 500I Àíàëîãè÷íî: V ar[BI|I] = 37, 500, 000I Òàêèì îáðàçîì, ñðåäíåå è äèñïåðñèÿ âåëè÷èíû âûïëàò ïî i-ìó ïîëèñó ðàâíà: E[Xi ] = E[E[Xi |I]] = E[E[BI|I]] = E[7, 500I] = 7, 500 ∗ 0.005 = 37.5 V ar[Xi ] = E[V ar[Xi |I]] + V ar[E[Xi |I]] = E[V ar[BI|I]] + V ar[E[BI|I]] = = E[37, 500, 000I] + V ar[7, 500I] = = 37, 500, 000 ∗ 0.005 + 7, 5002 ∗ 0.005(1 − 0.005) = 467, 344 Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ïîëèñû íåçàâèñèìû, ñðåäíåå è äèñïåðñèÿ åæåãîäíûõ ñóììàðíûõ âûïëàò ðàâíû: E[S] = E[X1 + X2 + ... + X5000 ] = 5, 000E[Xi ] = 5, 000 ∗ 37.5 = £187, 500 V ar[S] = 5, 000V ar[Xi ] = 5, 000 ∗ 467, 344 = (£48, 340)2 Ýòîò ðåçóëüòàò ìîæíî îáîáùèòü äëÿ íàõîæäåíèÿ ñðåäíåãî è äèñïåðñèè âåëè÷èíû ñóììàðíûõ âûïëàò â ñëó÷àå óñëîâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðàçìåðà èñêà. Ñðåäíåå è äèñïåðñèÿ âåëè÷èíû ñóììàðíîãî èñêà (ðàçìåð èñêà - ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà) Åñëè ïîðòôåëü ñîäåðæèò n íåçàâèñèìûõ ïîëèñîâ, âåðîÿòíîñòü ïðåäúÿâëåíèÿ èñêà ïî i-ìó ïîëèñó ðàâíà qi , à ñðåäíåå è äèñïåðñèÿ âåëè÷èíû Bi èíäèâèäóàëüíîãî èñêà ðàâíû E[Bi ] = µi è V ar[Bi ] = σi2 , òîãäà ñðåäíåå è äèñïåðñèÿ âåëè÷èíû S ñóììàðíûõ âûïëàò ðàâíû: X X E[S] = µi qi è V ar[S] = [σi2 qi + µ2i qi (1 − qi )] i i Äîêàçàòåëüñòâî: Ðàññìîòðèì i-ûé ïîëèñ (îïóñòèì íèæíèé èíäåêñ). Åñëè I êîëè÷åñòâî èñêîâ ïî ðàññìàòðèâàåìîìó ïîëèñó, òî I èìååò B(1, q) ðàñïðåäåëåíèå. Ñëåäîâàòåëüíî: E[X] = E[E[X|I] = E[µI] = µE[I] = µq 108 V ar[X] = E[V ar[X|I]] + V ar[E[X|I]] = E[σ 2 I] + V ar[µI] = = σ 2 E[I] + µ2 V ar[I] = σ 2 q + µ2 q(1 − q) Âåëè÷èíà ñóììàðíîãî èñêà S = X1 + X2 + ... + Xn . Òàêèì îáðàçîì, âîçâðàùàÿñü âíîâü ê íèæíèì èíäåêñàì è ñóììèðóÿ ïî âñåì ïîëèñàì, ïîëó÷èì: X X E[S] = µi qi è V ar[S] = [σi2 qi + µ2i qi (1 − qi )] i i Ýòè ôîðìóëû èñïîëüçóþòñÿ, êîãäà âåëè÷èíà ñòðàõîâûõ âûïëàò ïî êàæäîìó ïîëèñó íå ôèêñèðîâàíà, íî èìååò êîíêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèÿ. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.16. Âåðîÿòíîñòü âîçíèêíîâåíèÿ èñ- êà ïî êàæäîìó ïîëèñó èç ïîðòôåëÿ ðàâíà 0.004. Ïîðòôåëü ñîñòîèò èç 1,000 ïîëèñîâ îäíîãîäè÷íîãî ñòðàõîâàíèÿ. Âåëè÷èíà èñêîâ èìååò Gamma (5, 0.002)ðàñïðåäåëåíèå. Íàéäèòå ñðåäíåå çíà÷åíèå è äèñïåðñèþ âåëè÷èíû ñóììàðíîãî èñêà. 4 Ìîäåëü êîëëåêòèâíîãî ðèñêà 4.1 Ïðåäïîëîæåíèÿ Ìîäåëü êîëëåêòèâíîãî ðèñêà íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ïðè îïèñàíèè èñêîâ ïî ïîëèñàì îáùåãî ñòðàõîâàíèÿ, êîãäà ïî êàæäîìó èç ïîëèñîâ ìîæåò áûòü ïðåäúÿâëåíî áîëüøå îäíîãî èñêà. Ïðåäïîëîæåíèÿ â ìîäåëè êîëëåêòèâíîãî ðèñêà Ñîãëàñíî ìîäåëè êîëëåêòèâíîãî ðèñêà, âåëè÷èíà S ñóììàðíûõ âûïëàò çà îïðåäåëåííûé ïåðèîä îòíîñèòåëüíî ãðóïïû ïîëèñîâ ñòðàõîâàíèÿ ðàâíà: S = X1 + X2 + ... + XN ãäå Xi âåëè÷èíà âûïëàò çà îïðåäåëåííûé ïåðèîä îòíîñèòåëüíî i-ãî èñêà è N ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà êîëè÷åñòâà èñêîâ çà âåñü ïåðèîä. Ìîäåëü ïðåäïîëàãàåò, ÷òî: 1. Xi îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû. 2. Xi è N íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû . 109 3. Âðåìåííàÿ ñòîèìîñòü äåíåã èãíîðèðóåòñÿ (òî åñòü ïðîöåíòû íå íàêàïëèâàþòñÿ). "Ìîäåëü èíäèâèäóàëüíîãî ðèñêà ðàññìàòðèâàåò êàæäûé èñê â îòäåëüíîñòè." Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.17. Ïîêàæèòå, êàê ñèòóàöèÿ, îïèñàí- íàÿ â Âîïðîñå äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.12, áóäåò âûãëÿäåòü, åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ ìîäåëü êîëëåêòèâíîãî ðèñêà. 4.2 Ðàñïðåäåëåíèå îáùåãî ÷èñëà èñêîâ Ðàñïðåäåëåíèå îáùåãî ÷èñëà èñêîâ N ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ïðåäïîëîæåíèé â ìîäåëè êîëëåêòèâíîãî ðèñêà. N îáû÷íî èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà èëè îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. 4.3 Ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíîãî èñêà Ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû Xi èíäèâèäóàëüíîãî èñêà òàêæå ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ïðåäïîëîæåíèé â äàííîé ìîäåëè. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî Xi èìååò îäíî èç ñòàíäàðòíûõ ðàñïðåäåëåíèé óùåðáà, êîòîðûå áûëè îïèñàíû â I ÷àñòè (íàïðèìåð, ðàñïðåäåëåíèå Ïàðåòî). 4.4 Ìîìåíòû âåëè÷èíû ñóììàðíîãî èñêà Òàê êàê âåëè÷èíà ñóììàðíîãî èñêà ýòî ñóììà ñëó÷àéíîãî ÷èñëà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, òî îíà èìååò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå. Ìû ìîæåì ïîëó÷èòü ôîðìóëó äëÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ âåëè÷èíû ñóììàðíîãî èñêà, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ï ð è ì å ð 5.8 âåëè÷èíû åò Íàéòè âûðàæåíèå äëÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ ñóììàðíîãî èñêà, åñëè B(100,0.01)ðàñïðåäåëåíèå, à ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà âåëè÷èíà ÷èñëà èíäèâèäóàëüíîãî èñêîâ èñêà èìåèìååò Gamma (10,0.2)ðàñïðåäåëåíèå. Íàéòè ñðåäíåå è äèñïåðñèþ âåëè÷èíû ñóììàðíîãî èñêà. Ð å ø å í è å Âîñïîëüçóåìñÿ óæå ïîëó÷åííûìè ðàíåå ôîðìóëàìè äëÿ ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé ìîìåíòîâ: MX (t) = t 1− 0.2 −10 MN (t) = (0.99 + 0.01et )100 110 Âñïîìíèì, ÷òî MS (t) = MN [log MX (t)]. Ñëåäîâàòåëüíî: MS (t) = [0.99 + 0.01(1 − 5t)−10 ]100 Ñðåäíåå çíà÷åíèå è äèñïåðñèÿ îáîáùåííîãî áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâ- 2 2 íû mpm1 è mpm2 − mp m1 ñîîòâåòñòâåííî. Òàêèì îáðàçîì: E[S] = 100 ∗ 0.01 ∗ 10 = 50 0.2 10 ∗ 11 V ar[S] = 100 ∗ 0.01 ∗ − 100 ∗ 0.012 ∗ 0.22 10 0.2 2 = 2725 Òàêæå ìû ìîæåì ïîëó÷èòü ôîðìóëû äëÿ ìîìåíòîâ ñóììàðíîãî èñêà â ñëó÷àå ïåðåñòðàõîâàíèÿ, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû, ïîëó÷åííûå ðàíåå. Ï ð è ì å ð 5.9 Íàéòè âûðàæåíèå äëÿ äèñïåðñèè âåëè÷èíû ñóììàðíûõ âûïëàò, îñóùåñòâëÿåìûõ ïåðåñòðàõîâùèêîì ïî äîãîâîðó ïåðåñòðàõîâàíèÿ ýêñöåäåíòà óáûòêà ñ ïðåäåëîì óäåðæàíèÿ L, ïðåäïîëàãàÿ ÷òî âåëè÷èíà ÷èñëà èñêîâ (îñíîâíûõ) èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λ è âåëè÷èíà èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ èìååò Exp (α)ðàñïðåäåëåíèå óáûòêîâ. Ðåøåíèå Ôîðìóëà äëÿ äèñïåðñèè îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà ðàâíà: V ar[S] = λm2 ãäå m2 âòîðîé ìîìåíò âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ. Äëÿ ïåðåñòðàõîâùèêà âòîðîé ìîìåíò âåëè÷èíû íåòòî-èñêîâ ðàâåí: Z∞ m2 = (x − L)2 αe−αx dx L Âîñïîëüçóåìñÿ çàìåíîé t = x − L: Z∞ m2 = 2 −α(t+L) t αe 2e−αL dt = α2 0 Z∞ α3 2 −αt 2e−αL t e dt = Γ(3) α2 0 (òàê êàê ïîñëåäíèé èíòåãðàë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëíóþ âåðîÿòíîñòü äëÿ Gamma (3, α)ðàñïðåäåëåíèÿ). Èòàê, äèñïåðñèÿ âåëè÷èíû ñóììàðíûõ âûïëàò äëÿ ïåðåñòðàõîâùèêà ðàâíà: V ar[S] = 2λe−αL α2 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.18. Ïîêàæèòå, ÷òî ïî äîãîâîðó ïðî- ïîðöèîíàëüíîãî ñòðàõîâàíèÿ, ñîãëàñíî êîòîðîìó ÷àñòü óäåðæàíèÿ ïðÿìîãî ñòðàõîâùèêà ðàâíà k , ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ MD (t) âåëè÷èíû D èíäèâèäóàëüíûõ íåòòî-èñêîâ, îïëà÷èâàåìûõ ïðÿìûì ñòðàõîâùèêîì, ðàâíà MX (kt). Çàòåì íàéäèòå âûðàæåíèå äëÿ ïðîèçâîäÿùåé 111 ôóíêöèè ìîìåíòîâ âåëè÷èíû ñóììàðíîãî èñêà, åñëè âåëè÷èíà ÷èñëà èñêîâ èìååò Poisson( λ)ðàñïðåäåëåíèå. Ñëåäóþùèé Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè âåñüìà ñîäåðæàòåëüíûé. Òàêîãî ïëàíà âîïðîñû âàì ìîãóò ïîïàñòüñÿ íà ýêçàìåíå. Ïîïðîáóéòå íàïèñàòü ðåøåíèå ñàìîñòîÿòåëüíî, íå ïîäñìàòðèâàÿ â îòâåòû. (Îáðàòèòå âíèìàíèå ýòî ìîæåò çàíÿòü ó âàñ ìíîãî âðåìåíè. Íà ýêçàìåíå âû äîëæíû áûòü ãîòîâû, ÷òî âàì ïîíàäîáèòñÿ ïî ìåíüøåé ìåðå ïîë÷àñà äëÿ ïîäãîòîâêè îòâåòà íà òàêîãî ðîäà âîïðîñ.) Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.19. Ñóììàðíûé èñê èìååò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà. Âåëè÷èíà èíäèâèäóàëüíîãî èñêà èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïàðåòî ñ ïàðàìåòðàìè α = 3, λ = 1, 000. Ñòðàõîâùèê âû÷èñëÿåò ïðåìèè, èñïîëüçóÿ íàãðóçêó íà ïðåìèè, ðàâíóþ 0.2. Ñòðàõîâùèê ðàññìàòðèâàåò äåéñòâóþùèé äîãîâîð ïåðåñòðàõîâàíèÿ ñ óðîâíåì óäåðæàíèÿ £1, 000. Ïðåìèè ïåðåñòðàõîâùèêà ðàññ÷èòûâàþòñÿ ñ íàãðóçêîé, ðàâíîé 0.3. (i) Îïðåäåëèòå (â ïðîöåíòíîì ñîîòíîøåíèè) óìåíüøåíèå îæèäàåìîé ïðèáûëè ñòðàõîâùèêà â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ ïåðåñòðàõîâàíèÿ. (ii) Îïðåäåëèòå (â ïðîöåíòíîì ñîîòíîøåíèè) óìåíüøåíèå ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ ïðèáûëè ñòðàõîâùèêà â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ ïåðåñòðàõîâàíèÿ. 5 Ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû ñóììàðíîãî èñêà Äî ñèõ ïîð ìû ðàññìàòðèâàëè, êàê íàõîäèòü ìîìåíòû âåëè÷èíû ñóììàðíîãî èñêà. Îäíàêî, ìû íå ðàññìîòðåëè ñàìîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðîå íàì ïîíàäîáèòñÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ âåðîÿòíîñòåé, îòíîñÿùèõñÿ ê âåëè÷èíå ñóììàðíîãî èñêà. Âñå ìåòîäû è ïðèåìû, îïèñàííûå â ýòîé ãëàâå ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ êàê â ìîäåëè èíäèâèäóàëüíîãî ðèñêà, òàê è â ìîäåëè êîëëåêòèâíîãî ðèñêà. 5.1 Ðåêóðñèâíàÿ ôîðìóëà Îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà Â ñëó÷àå îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà, â êîòîðîì âåëè÷èíà èíäèâèäóàëüíîãî èñêà èìååò äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå, ìû ìîæåì 112 íàéòè òî÷íûå âåðîÿòíîñòè äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììàðíîãî èñêà (êîòîðîå òàêæå ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíûì), èñïîëüçóÿ ñëåäóþùóþ èòåðàöèîííóþ ôîðìóëó: Ðåêóðñèâíàÿ ôîðìóëà (Îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà) Åñëè S = X1 + X2 + ... + XN èìååò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λ, Xi äèñêðåòíûå íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ïðèíèìàþùèå íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû S ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà, èñïîëüçóÿ ñëåäóþùèå ðåêóðñèâíûå ôîðìóëû: pS (0) = e−λ pS (s) = λ X x 0<x≤s s pX (x)pS (s − x), s = 1, 2, ... ãäå ñóììà áåð¼òñÿ ïî âñåì çíà÷åíèÿì x, ïðè êîòîðûõ pS (s − x) íå ðàâíî íóëþ. Äëÿ óïðîùåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî Xi ïðèíèìàþò òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå öåëî÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ. Îäíàêî, ýòè ôîðìóëû ìîæíî òàêæå ïðèìåíÿòü, êîãäà Xi ìîãóò ïðèíèìàþò íåöåëûå (íî äèñêðåòíûå) çíà÷åíèÿ. Åñëè Xi èìåþò íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå, ôîðìóëû òàêæå ìîæíî ïðèìåíÿòü, åñëè íàéòè òàêîå äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå, êîòîðîå áëèçêî àïïðîêñèìèðóåò íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå Xi . Â òàêèõ ñëó÷àÿõ îáû÷íî îáðàùàþòñÿ ê êîìïüþòåðíûì âû÷èñëåíèÿì. Äîêàçàòåëüñòâî: Ïðè äîêàçàòåëüñòâå èñïîëüçóåòñÿ ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ âåðîÿòíîñòåé: GS (t) = E[tS ] = P (S = 0) + tP (S = 1) + t2 P (S = 2) + ... = = pS (0) + tps (1) + t2 pS (2) + ... Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé äëÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè âåðîÿòíîñòåé ñóììû S : GS (t) = GN [Gx (t)] = eλ[GX (t)−1] Ïðîëîãàðèôìèðóåì: log GS (t) = λ[GX (t) − 1] 113 Äèôôåðåíöèðóåì ïî t: G0S (t) = λG0X (t) GS (t) Âûïèñûâàÿ ïîëíîñòüþ ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ, ïîëó÷èì: pS (1) + 2tpS (2) + 3t2 pS (3) + ... = = λ[pX (1) + 2tpX (2) + 3t2 pX (3) + ...] ∗ [pS (0) + tpS (1) + t2 pS (2) + ...] Òàê êàê ýòî ðàâåíñòâî âåðíî äëÿ âñåõ t èç îáëàñòè çíà÷åíèé, ïðèðàâíÿåì êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ t: t0 : pS (1) = λpX (1)pS (0) t1 : 2pS (2) = λ[pX (1)pS (1) + 2pX (2)pS (0)] t2 : 3pS (3) = λ[pX (1)pS (2) + 2pX (2)pS (1) + 3pX (3)pS (0)] Â îáùåì ñëó÷àå, ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ts−1 , ïîëó÷èì: spS (s) = λ[pX (1)pS (s−1)+2pX (2)pS (s−2)+3pX (3)pS (s−3)+...+spX (s)pS (0)] = =λ s X xpX (x)pS (s − x) x=1 Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà íà s, ïîëó÷èì îêîí÷àòåëüíóþ ôîðìóëó. Ï ð è ì å ð 5.10 Ñîãëàñíî òåêóùåìó âûïóñêó Âûèãðûøíûõ îáëèãàöèé â Âåëèêîáðèòàíèè, ðàñïðåäåëåíèå íåáîëüøèõ ïðåìèé ìîæåò áûòü àïïðîêñèìèðîâàíî ïðè óñëîâèè, ÷òî (ïî äàííûì êàæäîãî ìåñÿöà) êàæäàÿ îáëèãàöèÿ èìååò: âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà £ 50, ðàâíóþ 1/16,000 âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà £ 100, ðàâíóþ 1/240,000 Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çà îïðåäåëåííûé ìåñÿö âûèãðûø âëàäåëüöà 1,000 îáëèãàöèé ñîñòàâèò: (à) £0 (b) ðîâíî £50 (c) ðîâíî £100 (d) ðîâíî £150 (e) ïî êðàéíåé ìåðå £200. Ð å ø å í è å Âåëè÷èíà ñóììàðíîãî âûèãðûøà äåðæàòåëÿ îáëèãàöèé çà ìåñÿö ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ñëåäóþùèì îáðàçîì: S = X1 + X2 + ... + XN , ãäå Xi âåëè÷èíà i-ãî âûèãðûøà. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Xi îïðåäåëÿåòñÿ íàáîðîì óñëîâíûõ âåðîÿòíîñòåé (óêàçûâàþùèõ íà ôàêò âûèãðûøà). Òàê êàê 114 âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äàííàÿ îáëèãàöèÿ ïðèíåñåò âûèãðûø, ðàâíà 1/16,000 + 1/240,000 = 1/15,000, òî PX (50) = (1/16, 000)/(1/15, 000) = 15/16 PX (100) = (1/240, 000)/(1/15, 000) = 1/16 Ïàðàìåòð Ïóàññîíà ðàâåí îáùåé "èíòåíñèâíîñòè âûèãðûøà"(äëÿ âñåõ îáëèãàöèé) çà ìåñÿö: λ = 1, 000 ∗ 1/15, 000 = 1, 000/15, 000 Èñïîëüçóÿ ðåêóðñèâíóþ ôîðìóëó äëÿ S = 0, ïîëó÷èì: pS (0) = e−λ = e−1/15 = 0.93551 Èñïîëüçóÿ ðåêóðñèâíóþ ôîðìóëó äëÿ äðóãèõ çíà÷åíèé S , ïîëó÷èì: pS (50) = λpX (50)pS (0) = (1, 000/15, 000) ∗ (15/16) ∗ 0.93551 pS (100) = λ [pX (50)pS (50) + 2pX (100)pS (0)] = 0.00573 2 λ [pX (50)pS (100) + 2pX (100)pS (50) + 0] = 0.00028 3 (Îòìåòèì, ÷òî ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå, ñîîòâåòñòâóþùåå X = 150, ðàâíî íóëþ, òàê êàê ïî óñëîâèþ íåò âûèãðûøà, ðàâíîãî £150). Èòàê: P (S ≥ 200) = 1 − 0.93551 − 0.05847 − 0.00573 − 0.00028 = 0.00001 pS (150) = Ñëåäîâàòåëüíî, âåðîÿòíîñòè ðàâíû: (à) 93.6% (b) 5.8% (c) 0.6% (d) 0.03% (e) 0.001%. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.20. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çà îäèí ãîä äåðæàòåëü 1,000 îáëèãàöèé ïîëó÷èò âûèãðûø â ðàçìåðå: (à) £0 (b) ðîâíî £50 (c) ðîâíî £100 (d) ðîâíî £150 (e) ïî êðàéíåé ìåðå £200. Äðóãèå îáîáùåííûå ðàñïðåäåëåíèÿ Â äåéñòâèòåëüíîñòè ðåçóëüòàò, ïðèâåäåííûé âûøå, ìîæåò áûòü îáîáùåí. Ïîäîáíàÿ ðåêóðñèâíàÿ ôîðìóëà ñóùåñòâóåò äëÿ ëþáîãî äèñêðåòíîãî îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, êîãäà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ÷èñëà èñêîâ ìîæåò áûòü íàéäåíà, èñïîëüçóÿ ïðîñòóþ èòåðàöèîííóþ ôîðìóëó. Ýòîò êëàññ ðàñïðåäåëåíèé âêëþ÷àåò â ñåáÿ îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå, ãåîìåòðè÷åñêîå è áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ôóíêöèè âåðîÿòíîñòåé, óäîâëåòâîðÿþùèå ôîðìóëå 115 èòåðàöèîííîé Ôóíêöèÿ âåðîÿòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ pN (n) äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà, îòðèöàòåëüíîãî áèíîìèàëüíîãî, ãåîìåòðè÷åñêîãî è áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïîä÷èíÿåòñÿ èòåðàöèîííîé ôîðìóëå: b pN (n) = pN (n − 1) ∗ a + , n = 1, 2, ... n ãäå a è b íåêîòîðûå êîíñòàíòû. Çíà÷åíèÿ êîíñòàíò a è b äëÿ êîíêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïðèâåäåíû â ñëåäóþùåé òàáëèöå: Ðàñïðåäåëåíèå Ôóíêöèÿ âåðîÿòíîñòåé N λn e−λ n! Ïóàññîíà Îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå (n = 0, 1, 2, ...) k+n−1 k n p q n (n = 0, 1, 2, ...) Êîíñòàíòà Êîíñòàíòà a b a=0 b=λ a=q b = (k − 1)q Ãåîìåòðè÷åñêîå p q n (n = 0, 1, 2, ...) a=q b=0 Áèíîìèàëüíîå m n m−n p q (n = 0, 1, ...m) n a = − pq b = (m+1)p q Ï ð è ì å ð 5.11 Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ âåðîÿòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ îòðèöàòåëüíîãî áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ óäîâëåòâîðÿåò èòåðàöèîííîé ôîðìóëå, è îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ êîíñòàíò. Ð å ø å í è å Ôóíêöèÿ âåðîÿòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ îòðèöàòåëüíîãî áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ: pN (n) = k+n−1 k n p q , (n = 0, 1, 2, ...) n 116 Òîãäà (äëÿ n ≥ 1 è k = 1, 2, ...): k+n−1 k n k + n − 2 k n−1 p q p q = n n−1 (k + n − 1)! k n (k + n − 2)! k n−1 p q p q = n!(k − 1)! (n − 1)!(k − 1)! k+n−1 (k + n − 1)! (n − 1)!(k − 1)! q ∗ q= n!(k − 1)! (k + n − 2)! n pN (n) = pN (n − 1) Ïåðåïèøåì ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî â ñëåäóþùåì âèäå: pN (n) (k − 1)q =q+ pN (n − 1) n Ýòà èòåðàöèîííàÿ ôîðìóëà ñ êîíñòàíòàìè: a=q b = (k − 1)q è Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.21. Ïðîâåðüòå èòåðàöèîííóþ ôîðìóëó äëÿ äðóãèõ ðàñïðåäåëåíèé. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.22. Ôóíêöèÿ âåðîÿòíîñòåé ðàñïðåäå- ëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: pN (n) = 1 23n+1/2 2n , n n = 0, 1, 2, ... Ðàññìàòðèâàÿ îòíîøåíèå ôóíêöèè âåðîÿòíîñòåé äëÿ äâóõ ñîñåäíèõ öåëûõ çíà÷åíèé, ïîëó÷èòå öåëîå ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò äàííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, è âûðàçèòå çíà÷åíèå ïàðàìåòðîâ äëÿ ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè âåðîÿòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèé, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò ðåêóðñèâíîìó ñîîòíîøåíèþ, îáëàäàþò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: Ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè âåðîÿòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ èòåðàöèîííîé ôîðìóëå Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà N èìååò äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå, ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ n = 0, 1, 2, ..., è ôóíêöèÿ âåðîÿòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ óäîâëåòâîðÿåò ðåêóðñèâíîìó ñîîòíîøåíèþ: b pN (n) = pN (n − 1) ∗ a + , n = 1, 2, ... n 117 ñ íåêîòîðûìè êîíñòàíòàìè a è b, òî ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ âåðîÿòíîñòåé GN (t) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó ñîîòíîøåíèþ: a+b 0 GN (t) = GN (t) 1 − at Äîêàçàòåëüñòâî: Ôóíêöèÿ âåðîÿòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ óäîâëåòâîðÿåò ðåêóðñèâíîìó ñîîòíîøåíèþ: b , n = 1, 2, ... pN (n) = pN (n − 1) ∗ a + n Äîìíîæèì ýòî ðàâåíñòâî íà tn è ïðîñóììèðóåì ïî âñåì n = 1, 2, ...: ∞ ∞ X X b n n t pN (n − 1) ∗ a + t pN (n) = n n=1 n=1 Ýòî ìîæåò çàïèñàíî êàê: ∞ X n t pN (n) = at ∞ X n−1 t pN (n − 1) + b n=1 n=1 ∞ n X t n n=1 pN (n − 1) Òàê êàê ñóììà â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà åñòü GN (t) áåç ïåðâîãî ñëàãàåìîãî è ïåðâàÿ ñóììà â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà åñòü GN (t), òî: GN (t) − pN (0) = atGN (t) + b ∞ n X t n n=1 pN (n − 1) Ýòî ìîæåò áûòü çàïèñàíî òàê: (1 − at)GN (t) = pN (0) + b ∞ n X t n n=1 pN (n − 1) Äèôôåðåíöèðóåì ïî t: −aGN (t) + (1 − at)G0N (t) = b ∞ X tn−1 pN (n − 1) n=1 òàê êàê ïîñëåäíÿÿ ñóììà ðàâíà GN (t), òî: −aGN (t) + (1 − at)G0N (t) = bGN (t) 118 Ãðóïïèðóÿ, ïîëó÷èì: G0N (t) = a+b 1 − at GN (t) Ï ð è ì å ð 5.12 Ïîêàçàòü, ÷òî ñðåäíåå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû N , ôóíêöèÿ âåðîÿòíîñòåé êîòîðîé óäîâëåòâîðÿåò èòåðàöèîííîé ôîðìóëå, ðàâíî: a+b 1−a Ð å ø å í è å Èç ïðåäûäóùåãî ðåçóëüòàò ïîëó÷àåì: G0N (t) = G0N (1) = Ïîëîæèì t = 1: a+b 1 − at a+b 1−a GN (t) GN (1) 0 Èç ñâîéñòâ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè âåðîÿòíîñòåé, GN (1) = E[N ] è GN (1) = 1, ïîëó÷èì: E[N ] = a+b 1−a Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.23. Ïîêàæèòå, ÷òî ýòà ôîðìóëà äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ âåðíà äëÿ îñòàëüíûõ âûøåóêàçàííûõ ÷åòûðåõ ðàñïðåäåëåíèé. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.24. Ïîêàæèòå, ÷òî äèñïåðñèÿ ñëó÷àé- íîé âåëè÷èíû N , ôóíêöèÿ âåðîÿòíîñòåé êîòîðîé óäîâëåòâîðÿåò èòåðàöèîííîé ôîðìóëå, ðàâíà: a+b (1 − a)2 Èñïîëüçóÿ ýòî ñâîéñòâî, ìû ìîæåì íàéòè ðåêóðñèâíóþ ôîðìóëó äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû ñóììàðíîãî èñêà. Ðåêóðñèâíàÿ ôîðìóëà Åñëè S = X1 +X2 +...XN èìååò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå è Xi äèñêðåòíûå íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ïðèíèìàþùèå òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ1 , òî ôóíêöèÿ âåðîÿòíîñòåé âåëè÷èíû S ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ñ ïîìîùüþ ðåêóðñèâíûõ ôîðìóë: pS (0) = pN (0) 1 Ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì òîëüêî íåíóëåâûå èñêè, ò.å. ñòðîãî ïîëîæèòåëüíûå. Åñëè ïðèñóòñòâóþò íóëåâûå èñêè, òî ìû ìîæåì èõ èñêëþ÷èòü è çàïèñàòü ôóíêöèþ âåðîÿòíîñòåé óæå äëÿ ñêîððåêòèðîâàííîãî ÷èñëà èñêîâ è èõ âåëè÷èí. 119 pS (s) = s X x=1 S: x a+b pX (x)pS (s − x), s = 1, 2, ... s Äîêàçàòåëüñòâî: Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ âåðîÿòíîñòåé âåëè÷èíû GS (t) = E[tS ] = pS (0) + tpS (1) + t2 pS (2) + ... Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó äëÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè âåðîÿòíîñòåé ñóììû S , ïîëó÷èì: GS (t) = GN [GX (t)] Äèôôåðåíöèðóåì ïî t ñëîæíóþ ôóíêöèþ: G0S (t) = G0N [GX (t)]G0X (t) . . . (1) Òàê êàê ðàñïðåäåëåíèå ïîä÷èíÿåòñÿ èòåðàöèîííîìó îòíîøåíèþ, òî: a+b 0 GN (s) GN (s) = 1 − as Ïîëîæèì s = GX (t), òîãäà: a+b a+b 0 GN [GX (t)] = GN [GX (t)] = GS (t) 1 − aGX (t) 1 − aGX (t) Òåïåðü (1) ïåðåïèøåì â âèäå: a+b 0 GS (t)G0X (t) GS (t) = 1 − aGX (t) Ýòî ðàâåíñòâî ìîæåò áûòü çàïèñàíî â ñëåäóþùåì âèäå: G0S (t)[1 − aGX (t)] = (a + b)GS (t)G0X (t) Ðàñïèøåì ïîëíîñòüþ ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè (ïîìíèì, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì òîëüêî íåíóëåâûå èñêè, òî åñòü pX (0) = 0): [pS (1) + 2tpS (2) + 3t2 pS (3) + ...] ∗ [1 − atpX (1) − at2 pX (2) − ...] = = (a + b)[pS (0) + tpS (1) + t2 pS (2) + ...] ∗ [pX (1) + 2tpX (2) + 3t2 pX (3) + ...] Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ts−1 , ìû ïîëó÷èì: −a s−1 X (s − x)pX (x)pS (s − x) + spS (s) = (a + b) x=1 s X x=1 120 xpX (x)pS (s − x) Ãðóïïèðóÿ ñëàãàåìûå è óïðîùàÿ, ïîëó÷èì: spS (s) = (a + b) s X xpX (x)pS (s − x) + a x−1 = s X (s − x)pX (x)pS (s − x) = x=1 (ax + bx)pX (x)pS (s − x) + x−1 = s−1 X s−1 X (as − ax)pX (x)pS (s − x) = x=1 s−1 X (ax + bx)pX (x)pS (s − x) + (as + bs)pX (s)pS (0) x−1 Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå ýòî ñëàãàåìîå èç ïåðâîé ñóììû, ñîîòâåòñòâóþùåå x = s. Òàê êàê îíî èìååò òàêîé æå âèä, ÷òî âñå ñëàãàåìûå â ïîñëåäíåé ñóììå, ìû ìîæåì çàïèñàòü: spS (s) = s X (ax + bx)pX (x)pS (s − x) x−1 Îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò ïîëó÷èì, ðàçäåëèâ âñå íà s. Ýòî ôîðìóëà íîñèò íàçâàíèå ðåêóðñèâíàÿ ôîðìóëà Ïåéíäæåðà (Panjer`s recursion formula). Ï ð è ì å ð 5.13 Âûâåñòè ðåêóðñèâíóþ ôîðìóëó äëÿ âåðîÿòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììàðíîãî èñêà, åñëè ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíîãî èñêà ïðèíèìàåò òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå öåëûå çíà÷åíèÿ è âåëè÷èíà ÷èñëà èñêîâ èìååò îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ð å ø å í è å Â ñëó÷àå îòðèöàòåëüíîãî áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ a = q è b = (k − 1)q . Çíà÷èò, ðåêóðñèâíûå ôîðìóëû èìåþò âèä: pS (0) = pk s X x pX (x)pS (s − x), s = 1, 2, ... pS (s) = q 1 + (k − 1) s x=1 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.25. Èíäèâèäóàëüíûå èñêè èç ïîðòôå- ëÿ ïðèíèìàþò çíà÷åíèå 1 è 2 ñ âåðîÿòíîñòÿìè 0.4 è 0.6 ñîîòâåòñòâåííî. ×èñëî èñêîâ èìååò îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè k = 2 è p = 0.4. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå ñóììàðíîãî èñêà äî pS (2) âêëþ÷èòåëüíî. 121 5.2 Àïïðîêñèìàöèÿ íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì Òàê êàê âåëè÷èíà ñóììàðíîãî èñêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó áîëüøîãî ÷èñëà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, òî ÷àñòî íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ìîæåò õîðîøî àïïðîêñèìèðîâàòü ðàñïðåäåëåíèå ñóììàðíîãî èñêà (êàê ñëåäñòâèå Öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû). Ïàðàìåòðû íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìîãóò áûòü îöåíåíû, èñïîëüçóÿ ìåòîä ìîìåíòîâ (îñíîâàííûé íà ïåðâûõ äâóõ ìîìåíòàõ). Ï ð è ì å ð 5.14 Ñòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ ïðîäàëà 10,000 ïîëèñîâ ñòðàõîâàíèÿ æèçíè êëèåíòàì â âîçðàñòå îò 25 äî 30 ëåò. Ïîëèñ îáåñïå÷èâàåò åäèíîâðåìåííóþ âûïëàòó ïî ñìåðòè â ðàçìåðå 25, 000 â òå÷åíèå ïîñëåäóþùåãî ãîäà. Âåðîÿòíîñòü ñìåðòè â òå÷åíèå ãîäà äëÿ êàæäîãî ñòðàõîâàòåëÿ ðàâíà 0.0015 è ñìåðòíîñòè äëÿ êàæäîãî ïîëèñîäåðæàòåëÿ áóäåì ïðåäïîëàãàòü íåçàâèñèìûìè. Èñïîëüçóÿ íîðìàëüíóþ àïïðîêñèìàöèþ, íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îáùèå âûïëàòû ñòðàõîâîé êîìïàíèè ñîñòàâÿò îò £300, 001 è äî £399, 999. Ñðàâíèòå âàø îòâåò ñ íèæåèçëîæåííûì ðåøåíèåì. Ð å ø å í è å Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû, ïðèìåíèìûå â ìîäåëè èíäèâèäóàëüíîãî ðèñêà, ñðåäíåå è äèñïåðñèÿ âåëè÷èíû T ñóììàðíîãî èñêà ðàâíû: E[T ] = 10, 000 ∗ 25, 000 ∗ 0.0015 = £375, 000 V ar[T ] = 10, 000 ∗ 25, 0002 ∗ 0.0015(1 − 0.0015) = (£96, 752)2 Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì àïïðîêñèìèðîâàòü ðàñïðåäåëåíèå ñóììàðíîãî èñêà, èñïîëüçóÿ íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ òàêèìè æå ïî çíà÷åíèþ ñðåäíèì è äèñïåðñèåé, ò.å. T ∼ N (375, 000, 96, 7522 ). Èç íåïðåðûâíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ è èç òîãî ôàêòà, ÷òî âåëè÷èíà ñóììàðíûõ âûïëàò ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ, êðàòíûå £25, 000, ïîëó÷èì: P (300, 000 < T < 400, 000) + P (312, 500 < N (375, 000, 96, 7522 ) < 387, 500) = 378, 500 − 375, 000 312, 500 − 375, 000 < N (0, 1) < = =P 96, 752 96, 752 = Φ(0.1292) − Φ(−0.6460) = 0.551 − 0.259 = 0.292 Òî÷íàÿ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îáùèå âûïëàòû ñòðàõîâîé êîìïàíèè ñîñòàâÿò îò £300, 000 è äî £400, 000, ìîæíî íàéòè, åñëè ÷èñëî ñòðàõîâûõ ñëó÷àå áóäåò ðàâíî 13, 14 èëè 15. Òàê êàê âåëè÷èíà ÷èñëà èñêîâ èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå B(10, 000, 0.0015), òî÷íàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà: 15 X 10, 000 k=13 k ∗ 0.0015k ∗ (1 − 0.0015)10,000−k = 0.301 Êàê âèäíî, â ýòîì ñëó÷àå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå äàåò õîðîøåå ïðèáëèæåíèå. 122 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.26. S èìååò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëå- íèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λ è F (x) èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïàðåòî ñ ïàðàìåòðàìè α = 4 è λ = 3. Ïðè óñëîâèè, ÷òî S àïïðîêñèìèðîâàíà íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì, íàéäèòå âåëè÷èíó x òàêóþ, ÷òî: (a) P (S ≤ x) = 0.95 â äâóõ ñëó÷àÿõ: 5.3 (i) λ = 10 è è (b) P (S ≤ x) = 0.99 (ii) λ = 50. Àïïðîêñèìàöèÿ ñìåùåííûì ãàììàðàñïðåäåëåíèåì Òàê êàê íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñèììåòðè÷íîå, òî àïïðîêñèìàöèÿ íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì ìîæåò äàâàòü ïëîõèå ðåçóëüòàòû, êîãäà ðàññìàòðèâàþòñÿ ñèëüíî íåñèììåòðè÷íûå ðàñïðåäåëåíèÿ èëè êîãäà âû÷èñëÿþò âåðîÿòíîñòè äëÿ "õâîñòîâ"ðàñïðåäåëåíèÿ. Â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñìåùåííîå ãàììàðàñïðåäåëåíèå. Ñìåùåííîå ãàììàðàñïðåäåëåíèå Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò ñìåùåííîå ãàììàðàñïðåäåëåíèå Gamma(α, λ, k), åñëè X − k èìååò ãàììàðàñïðåäåëåíèå Gamma(α, λ), ãäå k êîíñòàíòà (êîòîðàÿ ìîæåò ïðèíèìàòü ïîëîæèòåëüíûå èëè îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ). Ñìåùåííîå ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ èç äèàïàçîíà k < X < ∞. "Ñìåùåííîå ãàììàðàñïðåäåëåíèå ýòî îáû÷íîå ãàììàðàñïðåäåëåíèå, ñäâèíóòîå âïðàâî íà âåëè÷èíó k 1 ." Íèæå ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè äâóõ ñìåùåííûõ ãàììà-ðàñïðåäåëåíèé: 0.005 6 0.004 0.003 0.002 0.001 0 - 200 400 600 1 èëè âëåâî, åñëè âåëè÷èíà k îòðèöàòåëüíàÿ 123 800 1000 Îäíî èç ýòèõ ðàñïðåäåëåíèé ñèììåòðè÷íîå, à äðóãîå èìååò çàìåòíóþ àñèììåòðèþ. Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ ñ áîëåå âûñîêèì ãðàôèêîì: k = 200, α = 4, λ = 0.02. Êðîìå òîãî, ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü ìåòîä ìîìåíòîâ (îñíîâàííûé íà ïåðâûõ òð¼õ ìîìåíòàõ) äëÿ òîãî, ÷òîáû íóæíûì îáðàçîì ïîäîáðàòü ñìåùåííîå ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììàðíîãî èñêà. Ìîìåíòû ñìåùåííîãî ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ Åñëè S èìååò ñìåùåííîå ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå Gamma( α, λ, k ), òî E[X] = α + k, λ V ar[X] = α , λ2 skew[X] = 2α λ3 Äîêàçàòåëüñòâî: Ìû ìîæåì íàéòè ìîìåíòû ñìåùåííîãî ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ, çíàÿ ìîìåíòû îáû÷íîãî ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ, ñëåäóþùèì îáðàçîì: Åñëè X ∼ Gamma( α, λ, k ) è Y = X − k , òî Y ∼ Gamma( α, λ). Èòàê: E[X] = E[Y + k] = E[Y ] + k = α +k λ Äèñïåðñèÿ è àñèììåòðèÿ öåíòðàëüíûå ìîìåíòû, ïîýòîìó èõ çíà÷åíèÿ íå èçìåíÿòñÿ ïðè ñìåùåíèè: V ar[X] = V ar[Y + k] = V ar[Y ] = α λ2 skew[X] = skew[Y + k] = skew[Y ] = 2α λ3 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.27. Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè . Y ∼ Gamma(α, λ), òî: skew[Y ] = 2α λ3 Îáðàòèì âíèìàíèå íà ñëåãêà äðóãîé ïîäõîä ê ðåøåíèþ, êîòîðûé èñïîëüçóåò ñðåäíåå, äèñïåðñèþ è êîýôôèöèåíò àñèììåòðèè äëÿ íàõîæäåíèÿ çíà÷åíèé α, λ, k . Êîýôôèöèåíò àñèììåòðèè ñìåùåííîãî ãàììàðàñïðåäåëåíèÿ ðàâåí √2α . Îáà ìåòîäà äàþò îäèíàêîâûå ðåçóëüòàòû. Âåðîÿòíîñòè äëÿ ñìåùåííîãî ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ ìîãóò áûòü íàéäåíû, èñïîëüçóÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: 124 Âû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòåé ñìåùåííîãî ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ Åñëè X èìååò ñìåùåííîå ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå Gamma( α, λ, k ), òîãäà: 2λ(X − k) ∼ χ22α Äîêàçàòåëüñòâî: Åñëè X ∼ Gamma( α, λ, k ) è Y = X − k , òîãäà Y ∼ Gamma( α, λ,). Ìû ìîæåì íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû T = 2λ(X − k) = 2λY , èñïîëüçóÿ çàìåíó t = 2λy â èíòåãðàëå, ïðåäñòàâëÿþùåì ðàñïðåäåëåíèå Y : Z∞ 1= λα α−1 −λy y e dy = Γ(α) Z∞ λα Γ(α) t 2λ α−1 1 e− 2 t dt = 2λ 0 0 Z∞ = (1/2)α α−1 − 1 t t e 2 dt Γ(α) 0 Òàêèì îáðàçîì T ∼ Gamma( α, 1/2). Òàê êàê χ2n =Gamma( n/2, 1/2), òî ïîëó÷åííîå ðàñïðåäåëåíèå åñòü χ22α . (Àíàëîãè÷íî, ýòîò ðåçóëüòàò ìîæåò áûòü ïîëó÷åí, åñëè ïîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ 2λ(X − k) ïîäîáíà ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ χ22α ðàñïðåäåëåíèÿ.) Ï ð è ì å ð 5.15 Íàéòè àïïðîêñèìàöèþ äëÿ âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî îá- ùèå èñêè èç ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà ïðåâûñÿò £600, 000, èñïîëüçóÿ ñìåùåííîå ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå. Ñðàâíèòå âàøå ðåøåíèå ñ ðåøåíèåì, ïðåäñòàâëåííûì íèæå. Ð å ø å í è å Ìû óæå íàõîäèëè ñðåäíåå è äèñïåðñèþ T . Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó, äàííóþ â ïàðàãðàôå 3.4, ïîëó÷èì: skew[T ] = 10, 000 ∗ 25, 0003 ∗ 0.0015 ∗ (1 − 0.0015)(1 − 2 ∗ 0.0015) = (£61, 563)3 Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì àïïðîêñèìèðîâàòü ðàñïðåäåëåíèå ñóììàðíîãî èñêà, èñïîëüçóÿ ñìåùåííîå ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå ñ òàêèìè æå ïî çíà÷åíèþ ñðåäíèì, äèñïåðñèåé è àñèììåòðèåé. Ñëåäîâàòåëüíî: α + k = 375, 000, λ α = (96, 752)2 , λ2 2α = (61, 563)3 λ3 Ðàçäåëèâ âòîðîå ðàâåíñòâî íà òðåòüå, ïîëó÷èì: 96, 7522 λ = = 0.0000401 ⇒ λ = 0.0000802 2 61, 5633 125 Âòîðîå ðàâåíñòâî äàåò: α = 96, 7522 λ2 = 60.27 Èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà ïîëó÷àåì: k = 375, 000 − Èòàê: T ∼ Gamma( 60.27, α = −376, 100 λ 0.0000802, −376, 100) Èñïîëüçóÿ óòâåðæäåíèå î ðàñïðåäåëåíèå õè-êâàäðàò, ïîëó÷èì: P (T > 600, 000) = P [2λ(T − k) > 2 ∗ 0.0000802(600, 000 + 376, 100)] + (χ2120.54 > 156.7) Çíà÷åíèå äëÿ 120 ñòåïåíåé ñâîáîäû äàíî â Òàáëèöå. Èòàê, ìû ïîëó÷èëè àïïðîêñèìèðîâàííóþ âåðîÿòíîñòü, ðàâíóþ 1%. Òî÷íàÿ âåðîÿòíîñòü ìîæåò áûòü íàéäåíà, åñëè çàìåòèòü, ÷òî âåëè÷èíà ñóììàðíîãî èñêà ïðåâûñèò £600, 000 òîãäà, êîãäà ÷èñëî ñìåðòåé ïðåâûñèò 24. Òàêèì îáðàçîì, òî÷íàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà: 1− 24 X 10, 000 k=0 k ∗ 0.0015k ∗ (1 − 0.0015)10,000−k = 0.0111 Êàê âèäíî, â ýòîì ñëó÷àå ñìåùåííîå ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå äàåò âåñüìà êîððåêòíóþ àïïðîêñèìàöèþ. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.28. S èìååò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëå- íèå Ïóàññîíà, äàííîå â Âîïðîñå äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 5.26. Äëÿ λ = 10 è λ = 50 íàéäèòå ïàðàìåòðû ñìåùåííîãî ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû S è, èñïîëüçóÿ òàáëèöó çíà÷åíèé äëÿ χ2 , îöåíèòå çíà÷åíèÿ x, òàêèõ ÷òî: (a) P (S ≤ x) = 0.95 6 (b) P (S ≤ x) = 0.99 Ôîðìóëû Ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ GS (t) = GN [GX (t)] MS (t) = MN [log MX (t)] = GN [MX (t)] Ñðåäíåå è äèñïåðñèÿ îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ E[S] = E[N ]E[X] V ar[S] = E[N ]V ar[X] + V ar[N ](E[X])2 Îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà E[S] = λm1 V ar[S] = λm2 126 skew[S] = λm3 Îáîáùåííîå îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå kq kq 2 2 V ar[S] = m2 + 2 m1 p p kq E[S] = m1 p Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ñåìèèíâàðèàíòîâ 0 E[X] = KX (0) KX (t) = log MX (t) 00 V ar[X] = KX (0) 000 skew[X] = KX (0) Ñóììà îáîáùåííûõ ðàñïðåäåëåíèé (íåçàâèñèìûå) λ = λ1 + λ2 + ... + λk λMW (t) = λ1 MX1 (t) + λ2 MX2 (t) + ... + λk MXk (t) Ìîäåëü èíäèâèäóàëüíîãî ðèñêà S = X1 + X2 + ... + Xn X N ∼ Binomial (n, q) N + Poisson qi (n âåëèêî) X X X E[S] = bi qi V ar[S] = b2i qi (1−qi ) skew[S] = b3i qi (1−qi )(1−2qi ) i i E[S] = X µi q i i V ar[S] = X i [σi2 qi + µ2i qi (1 − qi )] i Ìîäåëü êîëëåêòèâíîãî ðèñêà S = X1 + X2 + ... + XN Ðåêóðñèâíàÿ ôîðìóëà (îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà) pS (0) = e−λ pS (s) = λ X x s 0<x≤s pX (x)pS (s − x), s = 1, 2, ... Èòåðàöèîííàÿ ôîðìóëà äëÿ âåðîÿòíîñòíîé ôóíêöèè b pN (n) = pN (n − 1) ∗ a + n , n = 1, 2, ... Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ âåðîÿòíîñòåé G0N (t) = a+b 1 − at 127 GN (t) Ðåêóðñèâíàÿ ôîðìóëà (îáùèé ñëó÷àé îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ) pS (0) = pN (0) s X x pX (x)pS (s − x), s = 1, 2, ... pS (s) = a+b s x=1 Ñìåùåííîå ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå E[X] = α +k λ V ar[X] = α λ2 2λ(X − k) ∼ χ22α 128 skew[X] = 2α λ3 Ãëàâà 6 Îñíîâû òåîðèèÑóììàðíûå ñòðàõîâûå âûïëàòû Ìîäåëè ðèñêà 1 Ââåäåíèå Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ íàì äîëæíû áûòü èçâåñòíû. Ñâîéñòâî î òîì, ÷òî äâà ðàçëè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèÿ íå ìîãóò èìåòü îäíó è òó æå ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ ìîìåíòîâ, áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ ïîçæå â ýòîé ãëàâå. Ïóñòü X ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, M (t) å¼ ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ. Èçâåñòíîå íàì ñâîéñòâî, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n: dn M (t) |t=0 = E[X n ] dtn (6.1) Ìåíåå èçâåñòíîå ñâîéñòâî, íî íå ìåíåå øèðîêî ïðèìåíèìîå, òî, ÷òî äëÿ n = 2 è n = 3: dn log M (t) |t=0 = E[(X − E[X])n ] (6.2) dtn log M (t) åñòü ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ñåìèèíâàðèàíòîâ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X . Ïðåèìóùåñòâî ôîðìóëû (6.2) ïåðåä (6.1) â òîì, ÷òî öåíòðàëüíûå ìîìåíòû ïðåäñòàâëÿþò äëÿ íàñ áîëüøèé èíòåðåñ, ÷åì íåöåíòðàëüíûå ìîìåíòû. À äëÿ n = 2 è n = 3 ýòè öåíòðàëüíûå ìîìåíòû äàåò íàì êàê ðàç ôîðìóëà (6.2). 129 Â ýòîé ãëàâå áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ ñâåðòêè ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî {Xi }ni=1 íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ îáùåé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F (x). Òîãäà n P ∗ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììû Xi , îáîçíà÷åííàÿ êàê F n (x): i=1 ∗ F n (x) = P (X1 + X2 + ... + Xn ≤ x) 2 Ìîäåëè äëÿ êðàòêîñðî÷íîãî ñòðàõîâàíèÿ 2.1 Îñíîâíàÿ ìîäåëü Ìíîãèå ôîðìû ñòðàõîâàíèÿ, íå ñâÿçàííûå ñ æèçíüþ (non-life insurance ), íàïðèìåð àâòîñòðàõîâàíèå, ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê êðàòêîñðî÷íîå ñòðàõîâàíèå, òàêæå êàê è íåêîòîðûå ôîðìû ñòðàõîâàíèÿ æèçíè (life insurance ), íàïðèìåð ãðóïïîâîå ñòðàõîâàíèå æèçíè èëè îäíîãîäè÷íûé ñòðàõîâîé ïîëèñ. Êðàòêîñðî÷íîå ñòðàõîâàíèå ìîæíî îïðåäåëèòü ñëåäóþùèìè åãî ñâîéñòâàìè: - Ïîëèñ äåéñòâóåò â òå÷åíèå ôèêñèðîâàííîãî, îòíîñèòåëüíî êîðîòêîãî, ïåðèîäà âðåìåíè, îáû÷íî â òå÷åíèå ãîäà. - Ñòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ ïîëó÷àåò ïðåìèè îò ñòðàõîâùèêîâ ïîëèñîäåðæàòåëåé (policyholder ). - Â ñâîþ î÷åðåäü, ñòðàõîâùèê îïëà÷èâàåò âñå èñêè ñîãëàñíî êóïëåííûì ïîëèñàì. Â êîíöå ïåðèîäà äåéñòâèÿ ïîëèñà ñòðàõîâàòåëü ìîæåò ïðîäëèòü èëè íå ïðîäîëæàòü ñðîê äåéñòâèÿ; â ñëó÷àå ïðîäëåíèÿ ñðîêà, ïðåìèè, âûïëà÷èâàåìûå ñòðàõîâàòåëåì, ìîãóò áûòü òàêîé æå âåëè÷èíû èëè äðóãîé. Ñòðàõîâùèê ìîæåò ïåðåäàòü ÷àñòü ïðåìèé ïåðåñòðàõîâùèêó; â ñâîþ î÷åðåäü, ïåðåñòðàõîâùèê ïîêðûâàåò ÷àñòü èñêîâ â òå÷åíèå âðåìåíè äåéñòâèÿ ïîëèñà ñîãëàñíî íåêîòîðîìó óñòàíîâëåííîìó ñîãëàøåíèþ. Âàæíàÿ îñîáåííîñòü äîãîâîðà êðàòêîñðî÷íîãî ñòðàõîâàíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî âåëè÷èíà ïðåìèé óñòàíàâëèâàåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû òîëüêî ïîêðûòü èñêè, âîçíèêàþùèå â òå÷åíèå äåéñòâèÿ ïîëèñà. Òàêîé âèä äîãîâîðà âìåñòå ñ ïîëèñàìè ñòðàõîâàíèÿ æèçíè, ãäå êîýôôèöèåíò 130 ñìåðòíîñòè ðàñòåò ñ óâåëè÷åíèåì âîçðàñòà, îçíà÷àåò, ÷òî ãîäè÷íûé ñòðàõîâîé âçíîñ â ðàííèå ãîäû áîëåå ÷åì äîñòàòî÷åí, ÷òîáû ïîêðûòü îæèäàåìûå èñêè â ýòîì âîçðàñòå. Âåëè÷èíà ïðåâûøåíèÿ çàòåì îòêëàäûâàåòñÿ â êà÷åñòâå ðåçåðâîâ, èñïîëüçóåìûõ â áîëåå ïîçäíåì âîçðàñòå, êîãäà âåëè÷èíû ïðåìèé óæå íå áóäåò äîñòàòî÷íî äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîêðûòü îæèäàåìûå èñêè. Òåïåðü áîëåå ïîäðîáíî, ðàññìîòðèì ñòðàõîâàíèå ðèñêà ïî äîãîâîðó êðàòêîñðî÷íîãî ñòðàõîâàíèÿ. Ðèñê âêëþ÷àåò â ñåáÿ îòäåëüíî êàæäûé ïîëèñ èëè îïðåäåëåííóþ ãðóïïó ïîëèñîâ. Äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñðîê äåéñòâèÿ äîãîâîðà ðàâåí îäíîìó ãîäó, íî ëþáîé äðóãîé êîðîòêèé ïåðèîä, íàïðèìåð øåñòü ìåñÿöåâ, òàêæå ìîæåò ïîäîéòè. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà S ïîêàçûâàåò ñóììàðíûå âûïëàòû ñòðàõîâùèêà çà ãîä îòíîñèòåëüíî äàííîãî ðèñêà. Âñå ìîäåëè áóäóò ïîñòðîåíû äëÿ ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Â ñëåäóþùèõ äâóõ ïàðàãðàôàõ áóäåò èçó÷åíà ìîäåëü êîëëåêòèâíîãî ðèñêà. Ïîçæå, â 4 ïàðàãðàôà, èäåÿ ìîäåëè êîëëåêòèâíîãî ðèñêà ðàñïðîñòðàíèòñÿ è íà ìîäåëü èíäèâèäóàëüíîãî ðèñêà. Ïåðâûì ïóíêòîì â ïîñòðîåíèè ìîäåëè êîëëåêòèâíîãî ðèñêà ÿâëÿåòñÿ çàïèñü âåëè÷èíû S äëÿ ÷èñëà èñêîâ çà óêàçàííûé ãîä, ýòó ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó îáîçíà÷èì çà N , è äëÿ âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíîãî èñêà. Ïóñòü Xi îáîçíà÷àåò âåëè÷èíó i-ãî èñêà. Òîãäà: N X S= Xi i=1 Ïîñòàâëåííàÿ çàäà÷à ñîñòîèò â ñëåäóþùåì îïðåäåëèòü ìîìåíòû è óñòàíîâèòü ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû S ÷åðåç ìîìåíòû è ðàñïðåäåëåíèÿ N è Xi . Ïîñòàâëåííóþ çàäà÷ó áóäåì ðàññìàòðèâàòü â óñëîâèÿõ ïåðåñòðàõîâàíèÿ è áåç. Äëÿ ïåðåñòðàõîâùèêà òàêæå îïðåäåëèì ìîìåíòû è ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû ñóììàðíûõ âûïëàò çà ãîä îòíîñèòåëüíî äàííîãî ðèñêà. 2.2 Ðàññìîòðåíèå óïðîùåíèé â îñíîâíîé ìîäåëè Ìîäåëü êðàòêîñðî÷íîãî ñòðàõîâàíèÿ, îïèñàííàÿ â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, ñîäåðæèò íåñêîëüêî óïðîùåíèé îòíîñèòåëüíî ðåàëüíîãî ïðîöåññà ñòðàõîâàíèÿ. Âî-ïåðâûõ, îáû÷íî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ìîìåíòû, è èíîãäà ðàñïðåäåëåíèÿ, âåëè÷èí N è Xi òî÷íî èçâåñòíû. Íà ïðàêòèêå èõ îáû÷íî îöåíèâàþò ïî ñóùåñòâóþùèì äàííûì, èñïîëüçóÿ ìåòîäû, óæå èçó÷åííûå â I ×àñòè. 131 Âî-âòîðûõ, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ïî êðàéíåé ìåðå íåÿâíî, ÷òî ðàçìåð èñêà íå èçìåíååòñÿ, ïî êðàéíåé ìåðå ïîñëå òîãî, êàê ñòðàõîâîé ñëó÷àé, âûçâàâøèé èñê, ïðîèçîøåë. Òî åñòü, íàïðèìåð, ïðèáûëü ñòðàõîâùèêà ê êîíöó ãîäà òî÷íî èçâåñòíà. Íà ïðàêòèêå òðåáóåòñÿ, êàê ìèíèìóì, êîêðîòêèé ïðîìåæóòîê âðåìåíè íà óðåãóëèðîâàíèå ðàçìåðà òðåáîâàíèÿ, à â íåêîòîðîûõ ñëó÷àÿõ íà óðåãóëèðîâàíèå óõîäÿò ãîäû. Ýòî ìîæåò ïðîèçîéòè, åñëè ðàçìåð óùåðáà ñëîæíî îïðåäåëèòü, íàïðèìåð, åñëè âîçíèêàþò ñóäåáíûå ðàçáèðàòåëüñòâà. Ýòà ìîäåëü âîîáùå íå âêëþ÷àåò â ñåáÿ ðàññìîòðåíèå ðàñõîäîâ. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïðåìèè èäóò íà ïîêðûòèå óùåðáîâ è ñîäåðæàò íàãðóçêó äëÿ ïðèáûëè ñòðàõîâîé êîìïàíèè. Íà ñàìîì äåëå, ïðåìèè, âûïëà÷èâàåìûå ñòðàõîâùèêîì, òàêæå ñîäåðæàò íàãðóçêó íà èçäåðæêè. Ó÷åò èçäåðæåê ìîæíî âêëþ÷èòü â ìîäåëü ïðîñòûì ñïîñîáîì. Âàæíûì ìîìåíòîì â ìîäåëÿõ äîëãîñðî÷íîãî ñòðàõîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ïðîöåíòíîé ñòàâêè (interest rate ), ò.ê. (êàê áûëî ñêàçàíî âûøå) äîõîä îò íàãðóæåííîé ïðåìèè ìîæåò áûòü èíâåñòèðîâàí íà ñîçäàíèå ðåçåðâîâ. Ñàì ïðîöåíò (interest ) ìåíåå âàæåí, íî âñå æå îñòàåòñÿ çíà÷èìûì â êðàòêîñðî÷íîì ñòðàõîâàíèè. Â ìîäåëÿõ äëÿ êðàòêîñðî÷íîãî ñòðàõîâàíèÿ âîçìîæíî âêëþ÷åíèå ïðîöåíòà, íî îáû÷íî åãî íå ó÷èòûâàþò, ïî êðàéíåé ìåðå â ñàìûõ ïðîñòûõ ìîäåëÿõ. 2.3 Çàìå÷àíèÿ è ïðåäïîëîæåíèÿ Â ïðîäîëæåíèå âñåé ãëàâû áóäóò ñäåëàíû ñëåäóþùèå äâà âàæíûõ ïðåäïîëîæåíèÿ: - ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû {Xi }∞ i=1 íåçàâèñèìûå è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíûå - ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà N íå çàâèñèò îò {Xi }∞ i=1 Èíà÷å ãîâîðÿ, ýòè ïðåäïîëîæåíèÿ îçíà÷àþò: 1. ÷èñëî èñêîâ íå âëèÿåò íà ðàçìåð èíäèâèäóàëüíîãî èñêà 2. âåëè÷èíà îäíîãî èíäèâèäóàëüíîãî èñêà íå âëèÿåò íà âåëè÷èíó ëþáîãî äðóãîãî èíäèâèäóàëüíîãî èñêà 3. ðàñïðåäåëåíèå èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ íå èçìåíÿåòñÿ â òå÷åíèå âñåãî (êîðîòêîãî) ïðîìåæóòêà âðåìåíè äåéñòâèÿ ïîëèñà 132 Â òå÷åíèå âñåé ãëàâû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âñå èñêè ïðèíèìàþò íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, òàê ÷òî P (Xi ≤ x) = 0, äëÿ x < 0. Ìíîãèå ôîðìóëû â ýòîé ãëàâå áóäóò ïîëó÷åíû, èñïîëüçóÿ ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè ìîìåíòîâ S, N è Xi . Ýòè ôóíêöèè áóäåì îáîçíà÷àòü MS (t), MN (t) è MX (t) ñîîòâåòñòâåííî, à òàêæå áóäåì ïðåäïîëàãàòü èõ ñóùåñòâîâàíèå äëÿ íåêîòîðîãî ïîëîæèòåëüíîãî çíà÷åíèÿ ôèêòèâíîé ïåðåìåííîé t. Ñóùåñòâîâàíèå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ íåîòðèöàòåëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû äëÿ ïîëîæèòåëüíîãî çíà÷åíèÿ t, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ äîêàçàííûì ôàêòîì. Íàïðèìåð, ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè ìîìåíòîâ Ïàðåòî è ëîãíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèé íå ñóùåñòâóþò äëÿ êàêîãî-ëèáî ïîëîæèòåëüíîãî çíà÷åíèÿ t. Îäíàêî, âñå ôîðìóëû, ïîëó÷åííûå â ýòîé ãëàâå ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé ìîìåíòîâ, ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû (õîòÿ è ìåíåå ïðîñòî) áåç ïðåäïîëîæåíèÿ î ñóùåñòâîâàíèè ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ äëÿ t > 0. G(x) è F (x) áóäóò îáîçíà÷àòü ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ S è Xi ñîîòâåòñòâåííî, òàê ÷òî: G(x) = P (S ≤ x) è F (x) = P (Xi ≤ x) Äëÿ óäîáñòâà áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) ñóùåñòâóåò, è áóäåì îáîçíà÷àòü å¼ f (x). Â ñëó÷àå, êîãäà ïëîòíîñòü íå áóäåò ñóùåñòâîâàòü, ò.å. êîãäà Xi èìååò äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå èëè ñìåøàííîå íåïðåðûâíîå/äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå, âûðàæåíèå âèäà Z∞ xf (x)dx 0 áóäåì èíòåðïðåòèðîâàòü íàäëåæàùèì îáðàçîì. Çíà÷åíèå áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ â êîíòåêñòå. k -ûé öåíòðàëüíûé ìîìåíò Xi , k = 1, 2, 3, ... áóäåì îáîçíà÷àòü mk . 3 Ìîäåëü êîëëåêòèâíîãî ðèñêà 3.1 Ìîäåëü êîëëåêòèâíîãî ðèñêà Âåðíåìñÿ ê ïàðàãðàôó 2.1, ãäå S ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê ñóììà N ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Xi , ãäå Xi îáîçíà÷àåò ðàçìåð i-ãî èñêà. Òàêèì îáðàçîì: S = X1 + X2 + ... + XN 133 è S = 0 åñëè N = 0. Îòìåòèì, ÷òî ÷èñëî N èñêîâ èç ðèñêîâîãî ïîðòôåëÿ îáùåå äëÿ âñåé ãðóïïû (â îòëè÷èè îò ÷èñëà èñêîâ â ñëó÷àå èíäèâèäóàëüíîãî ïîëèñà), ÷òî äàåò òàêîå íàçâàíèå ìîäåëè "Ìîäåëü êîëëåêòèâíîãî ðèñêà". Â ðàìêàõ ýòîé ìîäåëè ìîãóò áûòü âûâåäåíû âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, äèñïåðñèè è ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ S . Âûðàæåíèå äëÿ G(x), ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ S , ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî, åñëè ðàññìîòðåòü ñîáûòèå {S ≤ x}. Çàìåòèì, ÷òî åñëè ýòî ñîáûòèå ïðîèçîøëî, òî âîçìîæåí îäèí, è òîëüêî îäèí, èç ñëåäóþùèõ âàðèàíòîâ: {S ≤ x è N = 0} (ò.å. íåò íè îäíîãî èñêà) èëè {S ≤ x è N = 1} (ò.å. îäèí èñê ðàçìåðà ≤ x) èëè {S ≤ x è N = 2} .. . (ò.å. äâà èñêà îáùåãî ðàçìåðà ≤ x) èëè {S ≤ x è N = r} .. . (ò.å. r èñêîâ îáùåãî ðàçìåðà ≤ x) è òàê äàëåå. Ýòè ñîáûòèÿ âçàèìîèñêëþ÷àþùèå è èñ÷åðïûâàþùèå. Òàêèì îáðàçîì ∞ [ {S ≤ x} = {S ≤ x è N = n} n=0 è ñëåäîâàòåëüíî P (S ≤ x) = ∞ X P (S ≤ x è N = n) = ∞ X P (N = n)P (S ≤ x|N = n) n=0 n=0 Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî åñëè N = n, òî S ñóììà ôèêñèðîâàííîãî ÷èñëà n ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, {Xi }ni=1 , è çíà÷èò: ∗ P (S ≤ x|N = n) = F n (x) ∗ ãäå F n (x) n-êðàòíàÿ ñâåðòêà ðàñïðåäåëåíèÿ F (x). (Îòìåòèì, ÷òî ∗ ∗ F 1 (x)åñòü F (x) è, äëÿ ïðîñòîòû, ïóñòü F 0 (x) ðàâíÿåòñÿ 1 äëÿ âñåõ ∗ íåîòðèöàòåëüíûõ x. Â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ F 0 (x) = 0.) Òàêèì îáðàçîì: G(x) = ∞ X ∗ P (N = n)F n (x) n=0 134 (6.3) Ôîðìóëà (3.1) ÿâëÿåòñÿ â îáùåì âèäå âûðàæåíèåì äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ S . Íè ðàñïðåäåëåíèå N íè Xi íå áûëè îïðåäåëåíû. Çàìåòèì, ÷òî êîãäà Xi ïðèíèìàåò öåëî÷èñëåííûå ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ, P (S = x) ìîæíî ëåãêî íàéòè äëÿ x = 1, 2, 3, ..., òàê êàê P (S = x) = G(x) − G(x − 1) = = ∞ X ∗ ∗ P (N = n){F n (x) − F n (x − 1)} n=1 òî åñòü P (S = x) = ∞ X ∗ (6.3) P (N = n)fxn n=1 ∗ ∗ ∗ ãäå fxn = F n (x) − F n (x − 1) ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ n P Xi . Êàê i=1 è â ñëó÷àå íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Xi , P (S = 0) = P (N = 0). Ðàíåå óæå îáñóæäàëèñü ñóùåñòâîâàíèå è ìåòîäû àïïðîêñèìàöèè äëÿ îöåíèâàíèÿ G(x). Ìåòîä àïïðîêñèìàöèè òðåáóåò çíàíèå ìîìåíòîâ S . Îáñóäèì ýòî áîëåå äåòàëüíî. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìîìåíòîâ S èñïîëüçóåòñÿ óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïðè óñëîâèè N . Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè E[S], âîñïîëüçóåìñÿ ðàâåíñòâîì: E[S] = E[E[S|N ]] n P Òîãäà E[S|N = n] = E[Xi ] = nm1 . Ñëåäîâàòåëüíî E[S|N ] = N m1 . È òîãäà i=1 E[S] = E[N m1 ] = E[N ]m1 (6.3) Ôîðìóëà (3.1) èìååò âåñüìà ïîíÿòíóþ èíòåðïðåòàöèþ. Îíà îçíà÷àåò, ÷òî îæèäàåìàÿ âåëè÷èíà ñóììàðíûõ èñêîâ åñòü ðåçóëüòàò îæèäàåìîãî ÷èñëà èñêîâ è îæèäàåìîé âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíîãî èñêà. Äëÿ âûðàæåíèÿ V ar[S] âîñïîëüçóåìñÿ ðàâåíñòâîì: V ar[S] = E[V ar[S|N ]] + V ar[E[S|N ]] 135 V ar[S|N ] ìîæíî íàéòè, èñïîëüçóÿ ïðåäïîëîæåíèå î íåçàâèñèìîñòè âåëè÷èí èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ: " n # n X X V ar[S|N = n] = V ar Xi = V ar[Xi ] = n(m2 − m21 ) i=1 i=1 òàêèì îáðàçîì V ar[S|N ] = N (m2 − m21 ). Ñëåäîâàòåëüíî: V ar[S|N ] = E[N (m2 − m21 )] + V ar[N m1 ] òî åñòü V ar[S|N ] = E[N ](m2 − m21 ) + V ar[N ]m1 (6.3) Â îòëè÷èè îò âûðàæåíèÿ äëÿ E[S], ôîðìóëà (3.1) íå èìååò î÷åâèäíîé èíòåðïðåòàöèè. Äèñïåðñèÿ S âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ñðåäíåå è äèñïåðñèþ è ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû N , è ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Xi . Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ S ìîæåò áûòü òàêæå íàéäåíà, èñïîëüçóÿ óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå. Ïî îïðåäåëåíèþ, MS (t) = E[exp{tS}]. Òàêèì îáðàçîì: MS (t) = E[E[exp{tS}|N ]] (6.3) E[exp{tS}|N = n] = E[exp{tX1 + tX2 + ... + tXn }], è òàê êàê {Xi }ni=1 íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, òî: E[exp{tX1 + tX2 + ... + tXn }] = n Y E[exp{tXi }] i=1 Òàê êàê {Xi }ni=1 îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû îíè èìåþò îäèíàêîâûå ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè ìîìåíòîâ, MX (t), ïîýòîìó: n Y i=1 E[exp{tXi }] = n Y MX (t) = [MX (t)]n i=1 Ñëåäîâàòåëüíî: E[exp{tS}|N ] = [MX (t)]N (6.3) Ïîäñòàâëÿÿ (3.1) â (3.1), ïîëó÷èì: MS (t) = E[(MX (t))n ] = E[exp{N log MX (t)}] = MN (log MX (t)) 136 (6.3) Òàêèì îáðàçîì, ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ S âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè ìîìåíòîâ N è Xi . Êàê â ïðåäûäóùåì ðåçóëüòàòå, ðàñïðåäåëåíèÿ N è Xi íå óêàçàíû òî÷íî. Ñóùåñòâóåò îäèí ñïåöèàëüíûé ñëó÷àé, êîòîðûé ïðåäñòàâëÿåò îñîáûé èíòåðåñ. Ñëó÷àé, êîãäà âñå èñêè èìåþò îäèíàêîâûé ôèêñèðîâàííûé ðàçìåð. Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì ïîðòôåëü îäíîãîäè÷íîãî ñòðàõîâàíèÿ ñ îäèíàêîâîé âåëè÷èíîé òðåáîâàíèÿ. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî âåðîÿòíîñòü âîçíèêíîâåíèÿ èñêà ðàçìåðà B ðàâíà 1 (ò.å. P (Xi = B) = 1), ïîëó÷èì m1 = B è m2 = B 2 . Òîãäà S ìîæåò ïðèíèìàòü ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: 0, B, 2B, .... Ôàêòè÷åñêè S = BN , çíà÷èò: P (S ≤ Bx) = P (N ≤ x) è ðàñïðåäåëåíèå S ñëåäóåò èç ðàñïðåäåëåíèÿ N . Ôîðìóëû (3.1) è (3.1) äàþò ñðåäíåå è äèñïåðñèþ S , íî òàê êàê S = BN ãîðàçäî ïðîùå îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî E[S] = E[N ]B è V ar[S] = V ar[N ]B 2 . Â ñëåäóþùèõ òðåõ ïàðàãðàôàõ ðàññìàòðèâàåòñÿ îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå, èñïîëüçóÿ ðàçëè÷íûå ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ÷èñëà èñêîâ, N . 3.2 Îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà âåëè÷èíó ñóììàðíûõ èñêîâ, êîãäà N èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì λ. Îáîçíà÷èì N ∼ P (λ). S òîãäà áóäåò èìåòü îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðàìè λ è F (x). Äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà äëÿ N èçâåñòíî: E[N ] = V ar[N ] = λ MN (t) = exp{λ(et − 1)} Ýòè ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâëåíû â òàáëèöå. Ýòè ðàâåíñòâà ìîæíî îáúåäèíèòü ñ ðåçóëüòàòàìè, ïîëó÷åííûìè â ïàðàãðàôå 3.1, èñïîëüçóÿ (3.1): E[S]=λm1 (6.3) èñïîëüçóÿ (3.1): Var[S]=λm2 (6.3) 137 èñïîëüçóÿ (3.1): MS (t) = exp{λ(MX (t) − 1)} (6.3) Ýòè ôîðìóëû äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ è äèñïåðñèè èìåþò î÷åíü ïðîñòîé âèä. Çàìåòèì, ÷òî äèñïåðñèÿ S âûðàæàåòñÿ ÷åðåç âòîðîé öåíòðàëüíûé ìîìåíò Xi , à íå ÷åðåç äèñïåðñèþ Xi . Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî öåíòðàëüíûé ìîìåíò S ðàâåí λm3 , âîñïîëüçóåìñÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé ñåìèèíâàðèàíòîâ (ôîðìóëà (6.2) äëÿ n = 3), òî åñòü: d3 log MS (t)|t=0 dt3 Òàê êàê log MS (t) = λ(MX (t) − 1), òî: E[(S − λm1 )3 ] = d3 d3 log M (t)| = λ MX (t)|t=0 = λm3 S t=0 dt3 dt3 òî åñòü E[(S − λm1 )3 ] = λm3 è êîýôôèöèåíò àñèììåòðèè ðàâåí λm3 /(λm2 )3/2 . Ýòîò ðåçóëüòàò ïîêàçûâàåò, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå S èìååò ïîëîæèòåëüíóþ àñèììåòðèþ, ò.ê. m3 òðåòèé öåíòðàëüíûé ìîìåíò Xi è, ñëåäîâàòåëüíî, áîëüøå íóëÿ, ò.ê. Xi ïðèíèìàåò íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå S èìååò ïîëîæèòåëüíóþ àñèììåòðèþ äàæå òîãäà, êîãäà ðàñïðåäåëåíèå Xi èìååò îòðèöàòåëüíóþ àñèììåòðèþ. Êîýôôèöèåíò àñèììåòðèè S ðàâåí λm3 /(λm2 )3/2 , à ñëåäîâàòåëüíî, ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè λ −→ ∞. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ áîëüøèõ çíà÷åíèé λ ðàñïðåäåëåíèå S ïî÷òè ñèììåòðè÷íî. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå ñâîéñòâî îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà. Ñóììà íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà, ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé ñ îáîáùåííûì ðàñïðåäåëåíèåì Ïóàññîíà. Ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå ýòîãî ñâîéñòâà ñëåäóþùåå: Ïóñòü S1 , S2 , ..., Sn íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Si èìååò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðàìè λi è Fi (x). Îïðåäåëèì ñëåäóþùóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó A = S1 + S2 + ... + Sn . Òîãäà A áóäåò èìåòü îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðàìè Λ è F (x), ãäå Λ= n X i=1 n λi è 1X λi Fi (x) F (x) = Λ i=1 138 Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé î÷åíü âàæíîå ñâîéñòâî. Â äàëüíåéøåì îíî íàì ïðèãîäèòüñÿ. Îáîçíà÷èì åãî êàê Ðåçóëüòàò 1. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ñâîéñòâà, ïðåæäå âñåãî, çàìåòèì, ÷òî F (x) ñðåäíåå âçâåøåííîå ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ è ýòè âåñà ïðèíèìàþò ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ, à â ñóììå äàþò åäèíèöó. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî F (x) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ è ýòî ðàñïðåäåëåíèå èìååò ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ ìîìåíòîâ. Z∞ M (t) = 0 n 1X λi fi (x)dx exp{tx} Λ i=1 ãäå fi (x) ïëîòíîñòü Fi (x). Ñëåäîâàòåëüíî: n 1X λi M (t) = Λ i=1 Z∞ 0 n 1X exp{tx}fi (x)dx = λi Mi (t) Λ i=1 (6.3) ãäå Mi (t) ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ ðàñïðåäåëåíèÿ Fi (t). Ïóñòü MA (t) ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ A. Òîãäà MA (t) = E[exp{tA}] = E[exp{tS1 + tS2 + ... + tSn }]. Èç íåçàâèñèìîñòè {Si }ni=1 : MA (t) = n Y E[exp{tSi }] = exp{λi (Mi (t) − 1)} i=1 Òàêèì îáðàçîì: MA (t) = n Y exp{λi (Mi (t) − 1)} = exp{ i=1 n Y λi (Mi (t) − 1)} i=1 Òî åñòü: ãäå Λ = n P i=1 MA (t) = exp{Λ(M (t) − 1)} n P λi è M (t) = Λ1 λi Mi (t). i=1 (6.3) Ñîãëàñíî âçàèìíî-îäíîçíà÷íîìó ñîîòâåòñòâèþ ìåæäó ïðîèçâîäÿùèìè ôóíêöèÿìè ìîìåíòîâ, ôîðìóëà (3.2) ïîêàçûâàåò, ÷òî A èìååò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì Λ. Èç (3.2) ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíîãî èñêà ðàâíî F (t). 139 3.3 Îáîáùåííîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ â êà÷åñòâå ðàñïðåäåëåíèÿ N öåëåñîîáðàçíî âûáðàòü áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Íàïðèìåð, ñîãëàñíî ãðóïïå ïîëèñîâ ñòðàõîâàíèÿ n æèçíåé, ÷èñëî ñìåðòåé â ãîä èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî êàæäàÿ çàñòðàõîâàííàÿ æèçíü ïîä÷èíÿåòñÿ îäíîìó çàêîíó ñìåðòíîñòè è âñå îíè íåçàâèñèìû îòíîñèòåëüíî ñìåðòíîñòè. Äëÿ áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ N áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ îáîçíà÷åíèåì N ∼ b(n, q). Îñíîâíûìè ðåçóëüòàòàìè äëÿ ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå ôîðìóëû: E[N ] = nq V ar[N ] = nq(1 − q) MN (t) = (qet + 1 − q)n Ýòè ôîðìóëû ïðåäñòàâëåíû â òàáëèöå. Åñëè N èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî S èìååò îáîáùåííîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Âàæíûì ìîìåíòîì îòíîñèòåëüíî âûáîðà áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ N ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî êîëè÷åñòâî èñêîâ èìååò âåðõíèé ïðåäåë, n. Çàïèøåì âûðàæåíèÿ äëÿ ñðåäíåãî, äèñïåðñèè è ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ÷åðåç n, q, m1 , m2 è MX (t), åñëè N ∼ b(n, q). Ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (3.1) è (3.1) ïîëó÷èì: E[S] = nqm1 (6.3) V ar[S] = nq(m2 − m21 ) + nq(1 − q)m21 = nqm2 − nq 2 m21 (6.3) Èç ôîðìóëû (3.1): MS (t) = (qMX (t) + 1 − q)n Òðåòèé öåíòðàëüíûé ìîìåíò íàéä¼ì ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ñåìèèíâàðèàíòîâ (èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (6.2)). 140 d3 d3 log M (t) = n log(qMX (t) + p) = { ãäå p = 1 − q} = S 3 dt3 dt d d2 −1 = MX (t) (qMX (t) + p) = 2 nq dt dt ( ) 2 d2 d d nq = MX (t) (qMX (t) + p)−1 − n q MX (t) (qMX (t) + p)−2 = dt dt2 dt 3 d = nq MX (t) (qMX (t) + p)−1 − dt3 2 d d 2 −2 MX (t) + −3nq MX (t) (qMX (t) + p) dt2 dt 3 d +2n q MX (t) (qMX (t) + p)−3 dt Ïîëîæèì t = 0: E[(S − nqm1 )3 ] = nqm3 − 3nq 2 m2 m1 + 2nq 3 m31 (6.3) Êîýôôèöèåíò àñèììåòðèè, ñëåäîâàòåëüíî, ðàâåí: nqm3 − 3nq 2 m2 m1 + 2nq 3 m31 (nqm2 − nq 2 m21 )3/2 Èç ôîðìóëû (3.3) ñëåäóåò, ÷òî îáîáùåííîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ìîæåò èìåòü îòðèöàòåëüíóþ àñèììåòðèþ. Ïðîñòîé ïðèìåð, èëëþñòðèðóþùèé ýòîò ôàêò, êîãäà âñå èñêè èìåþò ðàçìåð B . Òîãäà S = BN è E[(S − E[S])3 ] = B 3 E[(N − E[N ])3 ] òàêèì îáðàçîì, êîýôôèöèåíò àñèììåòðèè S êðàòåí ñîîòâåòñòâóþùåìó êîýôôèöèåíòó àñèììåòðèè N . Åñëè q > 0.5, òî áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå N èìååò îòðèöàòåëüíóþ àñèììåòðèþ. 3.4 Îáîáùåííîå îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Ïîñëåäíåå ðàñïðåäåëåíèå äëÿ N , êîòîðîå ìû ðàññìîòðèì, îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, êîòîðîå èìååò âåðîÿòíîñòíóþ ôóíêöèþ: k+n−1 k n P (N = n) = p q äëÿ n = 0, 1, 2, ... n 141 Ïàðàìåòðû ðàñïðåäåëåíèÿ k > 0 è p, ïðè÷åì p + q = 1 è 0 < p < 1. Äëÿ ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ââåäåì îáîçíà÷åíèå N B(k, p). Åñëè N ∼ N B(k, p): E[N ] = kq/p V ar[N ] = kq/p2 MN (t) = pk (1 − qet )−k ×àñòíûé ñëó÷àé ïðè k = 1 äàåò ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå. Åùå ðàç îòìåòèì, ÷òî ýòè ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâëåíû â Òàáëèöå. Îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ àëüòåðíàòèâíûì äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà äëÿ âåëè÷èíû N . Íî îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå èìååò ïðåèìóùåñòâî ïåðåä ðàñïðåäåëåíèåì Ïóàññîíà, ò.ê. äèñïåðñèÿ ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ áîëüøå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Ýòè äâå âåëè÷èíû ðàâíû äðóã äðóãó äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà. Òàêèì îáðàçîì, îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå äàåò ëó÷øåå ñîîòâåòñòâèå íàáîðó äàííûõ, êîòîðûå èìåþò âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ, ïðåâûøàþùóþ âûáîðî÷íîå ñðåäíåå. Íà ïðàêòèêå, òàêàÿ ñèòóàöèÿ âñòðå÷àåòñÿ ÷àñòî. Â ïàðàãðàôå 6.2 ïðèâåäåíà ñèòóàöèÿ, êîãäà ïðèìåíÿåòñÿ îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå N . Åñëè N èìååò îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî S èìååò îáîáùåííîå îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Âûðàæåíèÿ äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ, äèñïåðñèè è ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ S , åñëè N ∼ N B(k, p), âûòåêàþò íåïîñðåäñòâåííî èç ôîðìóë (3.1),(3.1) è (3.1): kq E[S] = m1 p kq kq 2 kq kq V ar[S] = (m2 − m21 ) + 2 m21 = m2 + 2 m21 p p p p k p MS (t) = (1 − qMX (t))k Êàê è ðàíüøå, òðåòèé öåíòðàëüíûé ìîìåíò S ìîæåò áûòü íàéäåí, èñïîëüçóÿ ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ ñåìèèíâàðèàíòîâ S , ñëåäóþùèì îáðàçîì: d d log MS (t) = (k log p − k log(1 − qMX (t))) = dt dt kq d = MX (t) 1 − qMX (t) dt 142 Òîãäà d2 log MS (t) = kq 2 dt2 è 2 2 d 1 d kq MX (t) + MX (t) dt (1 − qMX (t))2 1 − qMX (t) dt2 2 d d 1 d3 2 MX (t) log MS (t) = 3kq MX (t) + 3 2 dt dt dt (1 − qMX (t))2 3 3 2kq 3 d kq d + MX (t) + MX (t) (1 − qMX (t))3 dt 1 − qMX (t) dt3 Ïîëîæèì t = 0 äëÿ òðåòüåé ïðîèçâîäíîé è ïîëó÷èì: E[(S − E[S])3 ] = 3kq 2 m1 m2 2kq 3 m31 kqm3 + + p2 p3 p (6.3) Ïàðàìåòðû k è p ïîëîæèòåëüíû, êàê è ìîìåíòû F (x). Òîãäà èç ôîðìóëû (3.4) ñëåäóåò, ÷òî îáîáùåííîå îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå èìååò ïîëîæèòåëüíóþ àñèììåòðèþ. Êîýôôèöèåíò àñèììåòðèè ìîæåò áûòü íàéäåí ïî ôîðìóëå E[(S − E[S])3 ]/(V ar[S])3/2 . 3.5 Ðàñïðåäåëåíèå ñóììàðíîãî èñêà ñîãëàñíî äîãîâîðó ïåðåñòðàõîâàíèÿ ýêñöåäåíòà óáûòêà è ïðîïîðöèîíàëüíîìó äîãîâîðó ïåðåñòðàõîâàíèÿ Ïðîïîðöèîíàëüíîå ïåðåñòðàõîâàíèå Ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà èñêîâ â îòíîøåíèè ïåðåñòðàõîâùèêà òàêîå æå, êàêîå è ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà èñêîâ ñòðàõîâùèêà, òàê êàê êàæäûé ïëàòèò îïðåäåëåííóþ ïðîïîðöèþ êàæäîãî èñêà. Äëÿ óðîâíÿ óäåðæàíèÿ, ðàâíîãî α (0 α 1), âåëè÷èíà èíäèâèäóàëüíîãî èñêà äëÿ ñòðàõîâùèêà ðàñïðåäåëåíà êàê αXi è äëÿ ïåðåñòðàõîâùèêà êàê (1 − α)Xi . Âåëè÷èíû ñóììàðíîãî èñêà ðàñïðåäåëåíû êàê αS è (1 − α)S ñîîòâåòñòâåííî. Ïåðåñòðàõîâàíèå ýêñöåäåíòà óáûòêà Âåëè÷èíà âûïëàò ñòðàõîâùèêà ïî êàæäîìó i-ìó èñêó, ñîãëàñíî äîãîâîðó ïåðåñòðàõîâàíèÿ ýêñöåäåíòà óáûòêà ñ óðîâíåì óäåðæàíèÿ M , ðàâíà Yi = min(Xi , M ). Âåëè÷èíà âûïëàò ïåðåñòðàõîâùèêà ðàâíà Zi = max(0, Xi − M ). 143 Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíà ñóììàðíîãî íåòòî-èñêà ñòðàõîâùèêà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ñëåäóþùèì îáðàçîì: SI = Y1 + Y2 + ...YN è ñóììàðíîãî èñêà ïåðåñòðàõîâùèêà: SR = Z1 + Z2 + ...ZN Åñëè, íàïðèìåð, N ∼ P (λ), òî SI èìååò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì Ïóàññîíà λ, à âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ ðàñïðåäåëåíû êàê Yi . Àíàëîãè÷íî, SR èìååò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì Ïóàññîíà, ðàâíûì λ, è âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ ðàñïðåäåëåíû êàê Zi . Îòìåòèì, îäíàêî, åñëè F (M ) > 0, ÷òî áóäåò ÷àñòî âñòðå÷àòüñÿ, òî âåðîÿòíîñòü (òî åñòü F (M )) òîãî, ÷òî Zi = 0, îòëè÷íà îò íóëÿ. Äðóãèìè ñëîâàìè, 0 ñ÷èòàåòñÿ âîçìîæíûì èñêîì äëÿ ïåðåñòðàõîâùèêà. Ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, òàêîå îïðåäåëåíèå SR âåñüìà èñêóññòâåííî. Ñòðàõîâùèê çíàåò íàáëþäàåìóþ âåëè÷èíó ÷èñëà èñêîâ N , íî ïåðåñòðàõîâùèê çíàåò òîëüêî î òåõ èñêàõ, âåëè÷èíà êîòîðûõ ïðåâûñèëà óðîâåíü M , ò.ê. ñòðàõîâùèê ìîæåò óâåäîìèòü ïåðåñòðàõîâùèêà òîëüêî î íàëè÷èè èñêîâ, ïðåâûøàþùèõ M . Ï ð è ì å ð 6.16 Âåëè÷èíà åæåãîäíîãî ñóììàðíîãî èñêà èìååò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì 10. Âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû íà (0,2000). Äåéñòâóåò äîãîâîð ïåðåñòðàõîâàíèÿ ýêñöåäåíòà óáûòêà ñ óðîâíåì ïðåâûøåíèÿ 1,600. Âû÷èñëèòå ñðåäíåå çíà÷åíèå, äèñïåðñèþ è êîýôôèöèåíò àñèììåòðèè ñóììàðíîãî èñêà äëÿ ñòðàõîâùèêà è äëÿ ïåðåñòðàõîâùèêà, ñîãëàñíî äåéñòâóþùåìó äîãîâîðó. Ð å ø å í è å Ïóñòü SI è SR âåëè÷èíû, îïðåäåëåííûå âûøå. Äëÿ òîãî, ÷òî íàéòè E[SI ], âû÷èñëèì E[Yi ]: ZM E[Yi ] = xf (x)dx + M P (Xi > M ) 0 ãäå f (x) = 0.0005 ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ U (0, 2000) è M = 1, 600. Ó÷èòûâàÿ ýòî, ïîëó÷èì: E[Yi ] = 0.0005x2 M 0 + 0.2M = 960 2 è çíà÷èò E[SI ] = 10E[Yi ] = 9, 600 2 ×òîáû íàéòè V ar[SI ], âû÷èñëèì E[Yi ]. E[Yi2 ] = ZM x2 f (x)dx + M 2 P (Xi > M ) = 0 144 = 0.0005x3 M 2 0 + 0.2M = 1, 194, 666.7 3 è çíà÷èò V ar[SI ] = 10E[Yi2 ] = 11, 946, 667 ×òîáû íàéòè êîýôôèöèåíò àñèììåòðèè âåëè÷èíû èñêîâ ñòðàõîâùèêà, âû÷èñ- 3 ëèì E[Yi ]: E[Yi3 ] = ZM x3 f (x)dx + M 3 P (Xi > M ) = 0 = 0.0005x4 M 3 0 + 0.2M = 1, 638, 400, 000 4 Òàêèì îáðàçîì: E[(SI − E[SI ])3 ] = 10E[Yi3 ] = 16, 384, 000, 000 è êîýôôèöèåíò àñèììåòðèè ðàâåí 16, 384, 000, 000/(11, 946, 667)3/2 = 0.397 Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè E[SR ], çàìåòèì, ÷òî îæèäàåìàÿ âåëè÷èíà ñóììàðíîãî èñêà çà âåñü ðèñê ðàâíà 10,000. Òîãäà E[SR ] = 10, 000 − E[SI ] = 400 2 ×òîáû íàéòè V ar[SR ], âû÷èñëèì E[Zi ]: 2000 Z 2000−M Z M 0 E[Zi2 ] = (x − M )2 f (x)dx = {y = x − M } = = 0.0005y 2 dy = 0.0005y 3 200−M = 10, 666.7 0 3 Òàêèì îáðàçîì V ar[SR ] = 10E[Zi2 ] = 106, 667 Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè êîýôôèöèåíò àñèììåòðèè âåëè÷èíû èñêîâ äëÿ ïåðå- 3 ñòðàõîâùèêà, âû÷èñëèì E[Zi ]: E[Zi3 ] = 2000 Z (x − M )3 f (x)dx = {y = x − M } = M 2000−M Z = 0.0005y 3 dy = 3, 200, 000 0 145 è ñëåäîâàòåëüíî E[(SR − E[SR ])3 ] = 10E[Zi3 ] = 32, 000, 000 êîýôôèöèåíò àñèììåòðèè ðàâåí 32, 000, 000/(106, 667)3/2 = 0.92 Ñóììàðíûå èñêè ïåðåñòðàõîâùèêà ìîãóò áûòü òàêæå ïðåäñòàâëåíû ñëåäóþùèì îáðàçîì: SR = W1 + W2 + ...WN R (6.3) ãäå ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà N R îáîçíà÷àåò ÷èñëî äåéñòâèòåëüíûõ (íåíóëåâûõ) âûïëàò, ïðîèçâîäèìûõ ïåðåñòðàõîâùèêîì. Íàïðèìåð, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïî ðèñêó èç ïðîøëîãî ïðèìåðà çà êîíêðåòíûé ãîä áûëî ïðåäúÿâëåíî âîñåìü òðåáîâàíèé, ñëåäóþùèõ ðàçìåðîâ: 403 1490 1948 443 1866 1704 1221 823 Òîãäà â ôîðìóëå (??) íàáëþäàåìàÿ âåëè÷èíà N ðàâíà 8, òðåòèé, ïÿòûé è øåñòîé èñêè ïðèâîäÿò ê âûïëàòàì ïåðåñòðàõîâùèêà ñëåäóþùèõ ðàçìåðîâ 348, 266 è 104 ñîîòâåòñòâåííî. "Âûïëàòû"ïåðåñòðàõîâùèêà ïî îñòàëüíûì ïÿòè èñêàì ðàâíû 0. Â ôîðìóëå (3.5) íàáëþäàåìàÿ âåëè÷èíà N R ðàâíà 3, à âåëè÷èíû W1 , W2 è W3 ðàâíû 348, 266 è 104 ñîîòâåòñòâåííî. Îòìåòèì, ÷òî âåëè÷èíà SR îäèíàêîâà (òî åñòü ðàâíà 718) äëÿ äâóõ ïðåäñòàâëåíèé. Âî II ×àñòè áûëî ïîêàçàíî, ÷òî Wi èìååò ñëåäóþùóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ: f (w + M ) , w>0 p(w) = 1 − F (M ) Äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ SR âèäå (3.5) íåîáõîäèìî çíàòü ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû N R. Åãî ìîæíî íàéòè ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îïðåäåëèì N R = I1 + I2 + ...IN ãäå N îáîçíà÷àåò ÷èñëî èñêîâ ïî äàííîìó ðèñêó (êàê è îáû÷íî). Ij èíäèêàòîðíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, êîòîðàÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1, åñëè 146 ïåðåñòðàõîâùèê ñîâåðøàåò (íåíóëåâûå) âûïëàòû ïî j -ìó èñêó, è çíà÷åíèå 0 â äðóãîì ñëó÷àå. Òàêèì îáðàçîì, N R äàåò ÷èñëî âûïëàò, ñîâåðøàåìûõ ïåðåñòðàõîâùèêîì. Òàê êàê Ij ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1 òîëüêî åñëè Xj > M , òî: P (Ij = 1) = P (Xj > M ) = π (òàê îáîçíà÷èì), è P (Ij = 0) = 1 − π Êðîìå òîãî, Ij èìååò ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ ìîìåíòîâ: MI (t) = π exp{t} + 1 − π è ïî ôîðìóëå (3.1) N R èìååò ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ ìîìåíòîâ: MN R (t) = MN (log MI (t)) Ï ð è ì å ð 6.17 Ïðîäîëæàÿ ïðåäûäóùèé ïðèìåð è èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3.5) â êà÷åñòâå ïðåäñòàâëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû SR , ìîæíî óâèäåòü, ÷òî SR èìååò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì Ïóàññîíà, ðàâíûì 0.2*10=2. Èíäèâèäóàëüíûå èñêè, Wi , èìåþò ñëåäóþùóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ: p(w) = f (w + M ) = 0.0005/0.2 = 0.0025, 1 − F (M ) äëÿ 0 < w < 400 2 ò.å. Wi ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû íà (0,400). E[Wi ] = 200, E[Wi ]53, 333.33 è E[Wi3 ] = 16, 000, 000 äàþò òàêèå æå ðåçóëüòàòû, ÷òî è ðàíüøå. Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóåò äâà ñïîñîáà çàäàâàòü è óñòàíàâëèâàòü ðàñïðåäåëåíèå SR . 4 Òî÷íûå è ïðèáëèæåííûå âû÷èñëåíèÿ G(x) â ìîäåëè êîëëåêòèâíîãî ðèñêà 4.1 Ââåäåíèå Â ýòîì ïàðàãðàôå áóäóò ïðîâåäåíû âû÷èñëåíèÿ è ïðèáëèæåííîå ïðåäñòàâëåíèå G(x), ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììàðíîãî èñêà äëÿ ìîäåëè êîëëåêòèâíîãî ðèñêà. Â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ âîçìîæíî äîâîëüíî ëåãêî íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ôóíêöèè G(x), íàïðèìåð, åñëè âñå èñêè îäíîãî ðàçìåðà, íî ïðåäïîëîæåíèÿ, ñäåëàííûå â ýòèõ ñëó÷àÿõ, áóäóò ñëèøêîì îãðàíè÷èâàþùèìè, ÷òîáû ïðåäñòàâëÿòü èíòåðåñ ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ. Â ïàðàãðàôå 4.2 áóäåò âûâåäåíà ðåêóðñèâíàÿ ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ G(x). Â ïàðàãðàôå 4.3 ôóíêöèÿ G(x) áóäåò àïïðîêñèìèðîâàíà 147 íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì. È íàêîíåö, â ïàðàãðàôå 4.4 G(x) áóäåò àïïðîêñèìèðîâàíà (ñìåùåííûì) ãàììà-ðàñïðåäåëåíèåì. Â ïàðàãðàôå 4.2 ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà èñêîâ è ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû èñêîâ èçâåñòíû; â ïàðàãðàôàõ 4.3 è 4.4 ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî òîëüêî ïåðâûå äâà èëè òðè ìîìåíòà ýòèõ ðàñïðåäåëåíèé èçâåñòíû. 4.2 Ðåêóðñèâíàÿ ôîðìóëà äëÿ G(x) Â ýòîì ïàðàãðàôå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ, F (x), äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå, ïðèíèìàþùåå ïîëîæèòåëüíûå öåëûå çíà÷åíèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èíäèâèäóàëüíûå èñêè ìîãóò ïðèíèìàòü ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: 1,2,3,... è, ñëåäîâàòåëüíî, âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ñóììàðíîãî èñêà: 0,1,2,3,... . Êðîìå òîãî, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ íå èìååò ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ (ò.ê. êàæäàÿ âåëè÷èíà Xi äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà). Ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ âåðîÿòíîñòíûõ ôóíêöèé âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíîãî èñêà è ñóììàðíîãî èñêà ñîîòâåòñòâåííî. fk = P (Xi = k) k = 1, 2, 3, ... gk = P (S = k) k = 0, 1, 2, ... Åñëè ðàñïðåäåëåíèå èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ íå ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíûì ñ ïîëîæèòåëüíûìè öåëûìè çíà÷åíèÿìè (÷òî ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ), òî îíî ìîæåò áûòü âñåãäà àïïðîêñèìèðîâàíî ïîäõîäÿùèì ðàñïðåäåëåíèåì. Çàäà÷à âû÷èñëåíèÿ G(x) ñîãëàñíî ñäåëàííûì ïðåäïîëîæåíèÿì ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ gk äëÿ k ≤ x. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî: - ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà èñêîâ èçâåñòíî - ðàñïðåäåëåíèå èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ (ò.å. fk ) èçâåñòíî Ïåðåä äîêàçàòåëüñòâîì ðåêóðñèâíîé ôîðìóëû, èëè äàæå äî ôîðìóëèðîâêè ýòîé ôîðìóëû, íåîáõîäèìî ñäåëàòü îäíî ïðåäïîëîæåíèå îòíîñèòåëüíî ðàñïðåäåëåíèÿ N , ÷èñëà èñêîâ. Îáîçíà÷èì P (N = r) ÷åðåç pr è ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå a è b, ÷òî: pr = (a + b/r)pr−1 äëÿ r = 1, 2, 3, ... (6.3) Âñå òðè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà èñêîâ, ðàññìîòðåííûå â ãëàâå 3, óäîâëåòâîðÿþò Ïðåäïîëîæåíèþ (4.2). Ôîðìóëà äëÿ gr : 148 (6.3) g0 = p0 gr = r X (a + bj/r)fj gr−j äëÿ r = 1, 2, ... (6.3) j=1 Ôîðìóëà (4.2) ñëåäóåò èç òîãî ôàêòà, ÷òî ìèíèìàëüíûé ðàçìåð èñêà ðàâåí 1. Ñóììàðíûé èñê ðàâåí íóëþ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè íå áûëî ïðåäúÿâëåíî íè îäíîãî èñêà. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóëû (4.2) áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå òðè ôîðìóëû, äëÿ n = 2, 3, ...: " # n X (6.3) E X1 | Xi = r = r/n i=1 " E X1 | n X # Xi = r = i=1 pn frn∗ = r X (n−1)∗ j fj fr−j (6.3) /frn∗ j=1 r−1 X (n−1)∗ (6.3) (a + bj/r) fj pn−1 fr−j j=1 Ôîðìóëû (4.2) è (4.2) ñïðàâåäëèâû äëÿ ëþáûõ çíà÷åíèé r, äëÿ êîòîðûõ frn∗ íå ðàâíî íóëþ; (4.2) ñïðàâåäëèâà äëÿ r = 1, 2, ..., â ëþáîì ñëó÷àå. Ôîðìóëà (4.2) ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî X1 , X2 , ..., Xn îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû, è åñëè èõ ñóììà ðàâíà r, òî îæèäàåìîå çíà÷åíèå ëþáîãî èç íèõ äîëæíî áûòü ðàâíî r/n. ×òîáû óâèäåòü, ïî÷åìó ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà (4.2), çàìåòèì, ÷òî (n−1)∗ fj fr−j /frn∗ (óñëîâíàÿ) âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî X1 ðàâíî j ïðè n P óñëîâèè, ÷òî Xj = r. (Â (4.2) ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âåðîÿòíîñòü òîãî, j=1 ÷òî n P Xi = r, ò.å. frn∗ , íå ðàâíà íóëþ.) Ó÷èòûâàÿ, ÷òî i=1 n P Xj = r, j=1 çíà÷åíèå X1 íå ìîæåò áûòü áîëüøå r. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðàâàÿ ÷àñòü (4.2) åñòü ñóììà ïî êàæäîìó çíà÷åíèþ X1 ýòîãî çíà÷åíèÿ, óìíîæåííîãî íà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî X1 ïðèíèìàåò ýòî çíà÷åíèå, óñëîâèå ðàâåíñòâà r n P âåëè÷èíû Xj . Ýòà ñóììà ðàâíÿåòñÿ ëåâîé ÷àñòè (4.2). j=1 149 Òåïåðü ïîëó÷èì (4.2). Âî-ïåðâûõ, çàìåòèì, ÷òî (4.2) ñïðàâåäëèâà, åñëè frn∗ ðàâíî íóëþ, ò.ê. â ýòîì ñëó÷àå äëÿ ëþáûõ çíà÷åíèé j = 1, 2, ..., r, (n−1)∗ ëèáî îäíà èç âåëè÷èí fj èëè fr−j ðàâíà íóëþ, ëèáî îáå äîëæíû áûòü n∗ ðàâíû íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè fr ðàâíà íóëþ, îáå ÷àñòè (4.2) ðàâíû íóëþ. Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî frn∗ íå ðàâíî íóëþ. Òîãäà èñïîëüçóÿ (4.2) pn frn∗ = pn−1 (a + b/n)frn∗ = èñïîëüçóÿ (4.2) = pn−1 E[a + bX1 /r| n P Xi = r]frn∗ = i=1 èñïîëüçóÿ (4.2) r P = pn−1 (n−1)∗ (a + bj/r)fj fr−j = j=1 = pn−1 r−1 P (n−1)∗ (a + bj/r)fj fr−j (n−1)∗ (ò.ê. f0 = 0) j=1 Íàêîíåö, òåïåðü ìîæåì ïîëó÷èòü (4.2). Äëÿ r = 1, 2, ... èñïîëüçóÿ (3.1) ∞ P gr = pn frn∗ = n=1 = p1 fr + ∞ P (n+1)∗ pn+1 fr = n=1 èñïîëüçóÿ (4.2) = (a + b)p0 fr + ∞ r−1 P P n∗ = (a + bj/r)fj pn fr−j n=1 j=1 = (a + b)g0 fr + r−1 P n∗ = pn fr−j n=1 j=1 èñïîëüçóÿ (3.1) ∞ P (a + bj/r)fj = (a + b)g0 fr + r−1 P (a + bj/r)fj gr−j = j=1 = r P (a + bj/r)fj gr−j j=1 Ôîðìóëà (4.2) äîêàçàíà. Â ñëó÷àÿ, êîãäà N èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà (a = 0 è b = λ), ôîðìóëû èìåþò ñëåäóþùèé âèä: g0 = e−λ r λX gr = j fj gr−j r j=1 150 4.3 Àïïðîêñèìàöèÿ G(x) íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì Ðåêóðñèâíàÿ ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ G(x), äîêàçàííàÿ â ïàðàãðàôå 4.2, ÿâëÿåòñÿ î÷åíü ïîëåçíûì "èíñòðóìåíòîì íî îíà èìååò íåêîòîðûå íåäîñòàòêè. Âî-ïåðâûõ, îíà ìîæåò ïîòðåáîâàòü çíà÷èòåëüíîãî âðåìåíè äëÿ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé äëÿ G(x) íà êîìïüþòåðå. Âî-âòîðûõ, å¼ íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü, åñëè ðàñïðåäåëåíèÿ N è Xi íå èçâåñòíû, èëè, ïî êðàéíåé ìåðå, íå ìîãóò áûòü îöåíåíû äîâîëüíî òî÷íî. Â ýòîì ïàðàãðàôå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âñ¼, ÷òî èçâåñòíî (èëè ìîæåò áûòü äîâîëüíî òî÷íî îöåíåíî), íàñ÷åò S ýòî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Òàê êàê äîâîëüíî ìíîãî ðàçëè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé èìåþò îäèíàêîâûå ñðåäíèå çíà÷åíèÿ è äèñïåðñèè, G(x) íåëüçÿ íàéòè òîëüêî ïî ýòîé èíôîðìàöèè. Îäèí èç ñïîñîáîâ àïïðîêñèìèðîâàòü G(x) â ýòîé ñèòóàöèè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî S àïïðîêñèìèðîâàíî íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì. Áîëåå ôîðìàëüíî, ïóñòü Φ(z) ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì 0 è äèñïåðñèåé 1. Òàêèì îáðàçîì: 1 Φ(z) = √ 2π Zz exp{−x2 /2}dx −∞ Òåïåðü ïóñòü µ è σ 2 îáîçíà÷àþò ñðåäíåå è äèñïåðñèþ S . Ïî ïðåäïîëîæåíèþ â ýòîì ïàðàãðàôå, ÷òî S àïïðîêñèìèðîâàíà íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì µ è äèñïåðñèåé σ 2 , ïîëó÷èì, ÷òî äëÿ ëþáîãî x: G(x) = P (S ≤ x) = P ((S − µ)/σ ≤ (x − µ)/σ) ≈ Φ((x − µ)/σ) Äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ëåãêî ïîëó÷èòü çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé. S ñóììà ñëó÷àéíîãî ÷èñëà íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïî Öåíòðàëüíîé Ïðåäåëüíîé Òåîðåìå ìîæíî èñïîëüçîâàòü àïïðîêñèìàöèþ íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì. ×åì áîëüøå (îæèäàåìîå) çíà÷åíèå N (÷èñëî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí), òåì ëó÷øå áóäåò ýòî ïðèáëèæåíèå. 151 4.4 Àïïðîêñèìàöèÿ G(x) ñìåùåííûì ãàììà-ðàñïðåäåëåíèåì Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì èçâåñòíû, èëè ìîãóò áûòü äîñòàòî÷íî òî÷íî îöåíåíû, ïåðâûå òðè ìîìåíòà S . Äðóãîé ñïîñîá àïïðîêñèìàöèè ðàñïðåäåëåíèÿ S ïðèáëèæåíèå ñìåùåííûì ãàììà-ðàñïðåäåëåíèåì. Ïóñòü µ, σ 2 è β îáîçíà÷àþò ñðåäíåå, äèñïåðñèþ è êîýôôèöèåíò àñèììåòðèè S ñîîòâåòñòâåííî. Äëÿ àïïðîêñèìàöèè ñìåùåííûì ãàììàðàñïðåäåëåíèåì ïðåäïîëîæèì, ÷òî S èìååò ïðèáëèæåííî òî æå ñàìîå ðàñïðåäåëåíèå, ÷òî è ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y + k , ãäå k íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà è Y èìååò ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè α è δ . Ïàðàìåòðû k ,α è δ ïîäîáðàíû òàê, ÷òîáû âåëè÷èíà k + Y èìåëà òàêèå æå ïåðâûå òðè ìîìåíòà, ÷òî è S . Îòìåòèì, ÷òî k + Y ýòî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y , êîòîðàÿ èìååò ïðîñòîå ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå, ñìåùåííàÿ íà ïîëîæèòåëüíóþ èëè îòðèöàòåëüíóþ âåëè÷èíó k . Îäíà èç ïðè÷èí, ïî÷åìó ñìåùåííîå ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå äàåò ïðèáëèæåíèå ëó÷øå, ÷åì íîðìàëüíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ, ýòî ïîëîæèòåëüíàÿ àñèììåòðèÿ ó ñìåùåííîãî ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðàÿ ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ íà ïðàêòèêå. Êîýôôèöèåíò √àñèììåòðèè, β , ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè α è δ ðàâåí 2/ α. Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû àñèììåòðèè, ñðåäíèå çíà÷åíèÿ è äèñïåðñèè S è k + Y , ïîëó÷èì ñëåäóþùèå ôîðìóëû: √ β = 2/ α σ 2 = α/δ 2 µ = k + α/δ èç êîòîðûõ α, δ è çàòåì k ìîãóò áûòü íàéäåíû ÷åðåç èçâåñòíûå âåëè÷èíû: β, σ 2 , µ. Îñíîâàíèå äëÿ àïïðîêñèìàöèè ðàñïðåäåëåíèÿ S ñìåùåííûì ãàììà, èëè íîðìàëüíûì, ðàñïðåäåëåíèåì ýòî òî, ÷òî çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé òàêèõ êàê P (a < k +Y < b) ìîãóò áûòü ëåã÷å íàéäåíû, ÷åì P (a < S < b). Âåðîÿòíîñòè äëÿ ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ ëåãêî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ ìíîãèõ ñòàòèñòè÷åñêèõ êîìïüþòåðíûõ ïàêåòîâ. Â íåêîòîðûõ ïðîñòåéøèõ ñëó÷àÿõ âîçìîæíî îöåíèòü âåðîÿòíîñòè äëÿ ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ èç òàáëèö âåðîÿòíîñòåé äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ χ2 . Åñëè Y èìååò gamma (α, δ)ðàñïðåäåëåíèå è 2αöåëîå ÷èñëî, òî 2δY 152 èìååò χ22α ðàñïðåäåëåíèå. Ýòî ñâîéñòâî ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ, äàæå åñëè 2α íå ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì, ò.ê. ìîæíî èíòåðïîëèðîâàòü ìåæäó ñîñåäíèìè öåëûìè ÷èñëàìè. 5 Ìîäåëü èíäèâèäóàëüíîãî ðèñêà Ñîãëàñíî ýòîé ìîäåëè, ðàññìàòðèâàåòñÿ ïîðòôåëü, ñîñòîÿùèé èç ôèêñèðîâàííîãî ÷èñëà ðèñêîâ. Ýòî ïðåäïîëàãàåò ñëåäóþùåå: - ýòè ðèñêè íåçàâèñèìû - âåëè÷èíû èñêîâ ïî äàííûì ðèñêàì íå ÿâëÿþòñÿ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè - ÷èñëî ðèñêîâ íå èçìåíÿåòñÿ â òå÷åíèå âñåãî ïåðèîäà ñòðàõîâàíèÿ. Êàê è ïðåæäå, ñóììàðíûõ èñê ïî äàííîìó ïîðòôåëþ îáîçíà÷èì çà S . Òàêèì îáðàçîì: S = Y1 + Y2 + ... + Yn ãäå Yj îáîçíà÷àåò âåëè÷èíó èñêà ïî j -ìó ðèñêó è n îáîçíà÷àåò ÷èñëî ðèñêîâ. Âîçìîæíî, ÷òî ïî íåêîòîðûì èñêàì íå ïðåäúÿâëåíî íè îäíîãî èñêà. Ñëåäîâàòåëüíî, íåêîòîðûå íàáëþäàåìûå âåëè÷èíû èç {Yj }nj=1 ìîãóò áûòü ðàâíû íóëþ. Äëÿ êàæäîãî ðèñêà ñäåëàåì ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ: − êîëè÷åñòâî èñêîâ ïî j -ìó ðèñêó, Nj , ðàâíî 0 èëè 1 (6.3) − âåðîÿòíîñòü âîçíèêíîâåíèÿ èñêà ïî j -ìó ðèñêó ðàâíà qj (6.3) Åñëè ïî j -ìó ðèñêó ïðåäúÿâëåí èñê, òî âåëè÷èíó èñêà îáîçíà÷èì çà Xj . Ïóñòü Fj (x), µj è σj2 îáîçíà÷àþò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ, ñðåäíåå è äèñïåðñèþ Xj ñîîòâåòñòâåííî. Ïðåäïîëîæåíèå (5) âåñüìà îãðàíè÷èâàþùåå. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïî êàæäîìó ðèñêó ìîæåò áûòü ïðåäúÿâëåí ìàêñèìóì îäèí èñê. Ýòà ìîäåëü âêëþ÷àåò â ñåáÿ òàêèå ðèñêè, êàê îäíîãîäè÷íîå ñòðàõîâàíèå, íî íå âêëþ÷àåò ìíîãèå äðóãèå ðàñïðîñòðàíåííûå òèïà ñòðàõîâàíèÿ. Íàïðèìåð, ïðè ñòðàõîâàíèå æèëèùíîãî èìóùåñòâà íåò îãðàíè÷åíèé íà ÷èñëî ïðåäúÿâëåííûõ èñêîâ çà ãîä. 153 Ìåæäó ìîäåëüþ êîëëåêòèâíîãî ðèñêà è ìîäåëüþ èíäèâèäóàëüíîãî ðèñêà ñóùåñòâóþò òðè âàæíûõ ðàçëè÷èÿ: (1) Êîëè÷åñòâî ðèñêîâ â ïîðòôåëå îïðåäåëåíî ïî-ðàçíîìó. Â ìîäåëè êîëëåêòèâíîãî ðèñêà íåò íåîáõîäèìîñòè îïðåäåëÿòü ýòî ÷èñëî, òàê êàê îíî ôèêñèðîâàíî â òå÷åíèå âñåãî ïåðèîäà ñòðàõîâàíèÿ (íî íå òîãäà, êîãäà ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî N ∼ b(n, q)). (2) ×èñëî èñêîâ ïî êàæäîìó èíäèâèäóàëüíîìó ðèñêó îãðàíè÷åíî. Â ìîäåëè èíäèâèäóàëüíîãî ðèñêà ýòî ÷èñëî íåîãðàíè÷åíî. (3) Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èíäèâèäóàëüíûå ðèñêè íåçàâèñèìû. Â ìîäåëè êîëëåêòèâíîãî ðèñêà íåçàâèñèìûìè ÿâëÿþòñÿ âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ. Èç ïðåäïîëîæåíèé (5) è (5) ñëåäóåò, ÷òî Nj ∼ b(1, qj ). Òàêèì îáðàçîì, ðàñïðåäåëåíèå Yj îáîáùåííîå áèíîìèàëüíîå, â êîòîðîì èíäèâèäóàëüíûå èñêè ðàñïðåäåëåíû êàê Xj . Èç ôîðìóë (3.3) è (3.3) ñëåäóåò: E[Yj ] = qj µj (6.3) V ar[Yj ] = qj σj2 + qj (1 − qj )µ2j (6.3) S ñóììà n íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ îáîáùåííîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Â ïàðàãðàôå 3.4 áûëî çàìå÷åíî, ÷òî íåò îáùåãî ðåçóëüòàò äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ òàêîé ñóììû. Ýòî ðàñïðåäåëåíèå ìîæåò áûòü óñòàíîâëåíî òîëüêî òîãäà, êîãäà îáîáùåííûå áèíîìèàëüíûå âåëè÷èíû îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû, à òàêæå íåçàâèñèìû. Ìîæíî, õîòÿ è çàòðóäíèòåëüíî, íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ S ïî îïðåäåëåííûì óñëîâèÿì. Îäíàêî, ëåãêî íàéòè ñðåäíåå è äèñïåðñèþ S . E[S] = E[ n X j=1 Yj ] = n X E[Yj ] = j=1 n X qj µj (6.3) j=1 Ïðåäïîëîæåíèå î íåçàâèñèìîñòè èíäèâèäóàëüíûõ ðèñêîâ íåîáõîäèìî äëÿ: n n n X X X V ar[S] = V ar[ Yj ] = V ar[Yj ] = (qj σj2 + qj (1 − qj )µ2j ) j=1 j=1 (6.3) j=1 Â ñëó÷àå, êîãäà {Yj }nj=1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ, à òàêæå íåçàâèñèìûõ, ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, òîãäà äëÿ êàæäîãî 154 ïîëèñà âåëè÷èíû qj , µj è σj2 îäèíàêîâû, îáîçíà÷èì èõ çà q, µ è σ 2 . Êðîìå òîãî, Fj (x) íå çàâèñèò îò j , îáîçíà÷èì çà F (x). Ñëåäîâàòåëüíî, S èìååò îáîáùåííîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ áèíîìèàëüíûìè ïàðàìåòðàìè n è q , èíäèâèäóàëüíûå èñêè èìåþò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x). Ýòîò ñëó÷àé ñâîäèòñÿ ê ìîäåëè êîëëåêòèâíîãî ðèñêà è èç (5), (5) âèäíî, ÷òî: E[S] = nqµ V ar[S] = nqσ 2 + nq(1 − q)µ2 êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò (3.3) è (3.3) ñîîòâåòñòâåííî. 6 Ïàðàìåòð èçìåí÷èâîñòü/íåîïðåäåëåííîñòü 6.1 Ââåäåíèå Äî ñèõ ïîð ðèñêîâûå ìîäåëè èçó÷àëèñü, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ïàðàìåòðû (à èìåííî ìîìåíòû è â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ äàæå ðàñïðåäåëåíèÿ) ÷èñëà èñêîâ è âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíîãî èñêà òî÷íî èçâåñòíû. Âîîáùå ãîâîðÿ, ýòè ïàðàìåòðû íå èçâåñòíû, íî äîëæíû áûòü îöåíåíû ñ ïîìîùüþ ïîäõîäÿùèõ íàáîðîâ äàííûõ. Â ýòîì ïàðàãðàôå ìû ðàññìîòðèì êàê ââîäÿòñÿ ìîäåëè äî òîãî, êàê èõ ìîæíî áóäåò äîîïðåäåëèòü, ó÷èòûâàÿ ïàðàìåòð èçìåí÷èâîñòè/ðàçáðîñà. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ. Áîëüøèíñòâî, íî íå âñå, èç ýòèõ ïðèìåðîâ áóäóò ðàññìàòðèâàòü ðàçáðîñ â ðàñïðåäåëåíèè ÷èñëà èñêîâ, ò.ê. åìó óäåëÿåòñÿ áîëüøåå âíèìàíèå â àêòóàðíîé ëèòåðàòóðå, ÷åì ðàñïðåäåëåíèþ èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ. Âñå ðàññìàòðèâàåìûå ïðèìåðû îñíîâûâàþòñÿ íà òîì, ÷òî ÷èñëî èñêîâ èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà. 6.2 Íåîïðåäåëåííîñòü â íåîäíîðîäíîì ïîðòôåëå Ðàññìîòðèì ïîðòôåëü, ñîäåðæàùèé n íåçàâèñèìûõ ïîëèñîâ. Ñóììàðíûå èñêè ïî i-ìó ïîëèñó îáîçíà÷èì çà Si , ãäå Si èìååò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðàìè λi è F (x). Áóäåì ñ÷èòàòü äëÿ ïðîñòîòû, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ, F (x), îäèíàêîâî äëÿ âñåõ ïîëèñîâ. Â ýòîì ïðèìåðå ðàñïðåäåëåíèå èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ, ò.å. F (x), ïðåäïîëàãàåòñÿ èçâåñòíûì, íî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ Ïóàññîíà, λi , íå èçâåñòíû. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû λi ïðåäïîëàãàþòñÿ íåçàâèñèìûìè ñ îäèíàêîâûì (èçâåñòíûì) ðàñïðåäåëåíèåì. Äðóãèìè ñëîâàìè, {λi }ni=1 òðàêòóåòñÿ êàê íàáîð íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ èçâåñòíûì ðàñïðåäåëåíèåì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè ïîëèñ âûáðàí 155 èç ïîðòôåëÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì, òî ïàðàìåòð Ïóàññîíà äëÿ ýòîãî ïîëèñà íå èçâåñòåí, íî ìîæíî ñäåëàòü âåðîÿòíîñòíûå ïðåäïîëîæåíèÿ î íåì. Íàïðèìåð, "âåðîÿòíîñòü 50%, ÷òî çíà÷åíèå ïàðàìåòðà Ïóàññîíà ëåæèò ìåæäó 3 è 5". Ýòî âàæíî äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîíÿòü, ÷òî ïàðàìåòð Ïóàññîíà äëÿ âûáðàííîãî èç ïîðòôåëÿ ïîëèñà ôèêñèðîâàííàÿ âåëè÷èíà; ïðîáëåìà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ýòî âåëè÷èíà íàì íå èçâåñòíà. Ï ð è ì å ð 6.18 Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïàðàìåòðû Ïóàññîíà äëÿ ïîðòôåëÿ ïîëèñîâ ñòðàõîâàíèÿ íå èçâåñòíû, íî ñ ðàâíîé âåðîÿòíîñòüþ ìîãóò ïðèíèìàòü äâà çíà÷åíèÿ: 0.1 èëè 0.3. (i) Íàéòè ñðåäíåå è äèñïåðñèþ (÷åðåç m1 è m2 ) ñóììàðíîãî èñêà ïî âûáðàííîìó ñëó÷àéíûì îáðàçîì èç ïîðòôåëÿ ïîëèñó. (ii) Íàéòè ñðåäíåå è äèñïåðñèþ (÷åðåç m1 , m2 è n) ñóììàðíîãî èñêà ïî âñåìó ïîðòôåëþ. Ïóñòü äàííàÿ ìîäåëü îïèñûâàåò àâòîñòðàõîâàíèå. Âñå ïîëèñû ïî âñåìó ïîðòôåëþ áûëè ðàçáèòû íà ãðóïïû ñ ó÷åòîì òàêèõ ïîêàçàòåëåé êàê: "âîçðàñò âîäèòåëÿ "òèï àâòîìîáèëÿ"è äàæå "ñòàòèñòèêà ïðåäúÿâëåííûõ èñêîâ â ïðîøëîì". Ïîëèñû êàæäîé ãðóïïû èç ïîðòôåëÿ èìåþò èäåíòè÷íûå çíà÷åíèÿ ïî êàæäîìó èç ýòèõ ïîêàçàòåëåé. Îäíàêî, ñóùåñòâóþò íåêîòîðûå ïîêàçàòåëè, òàêèå êàê "ñïîñîáíîñòü ê âîæäåíèþ êîòîðûå ñëîæíî èçìåðèòü è ïîýòîìó îíè íå ìîãóò áûòü ÿâíî ó÷òåíû. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îäíè ñòðàõîâùèêè èç äàííîé ãðóïïû ïîëèñîâ "óìåëûå"âîäèòåëè, à äðóãèå "íåóìåëûå"âîäèòåëè. Ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ äëÿ âñåõ âîäèòåëåé èç ãðóïïû îäèíàêîâîå, íî "óìåëûå"âîäèòåëè ïðåäúÿâëÿþò ìåíüøå èñêîâ (â ñðåäíåì 0.1 åæåãîäíî), ÷åì "íåóìåëûå"âîäèòåëè (â ñðåäíåì 0.3 â ãîä). Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïî êàêèì-òî äàííûõ èçâåñòíî, ÷òî ñòðàõîâùèê èç äàííîé ãðóïïû ñ ðàâíîé âåðîÿòíîñòüþ ìîæåò áûòü êàê "óìåëûì òàê è "íåóìåëûì"âîäèòåëåì, íî íå èçâåñòíî òî÷íî, ÿâëÿåòñÿ ëè îòäåëüíûé ñòðàõîâùèê "óìåëûì"èëè "íåóìåëûì"âîäèòåëåì. Ð å ø å í è å Ïóñòü λi , i = 1, 2, ..., n ïàðàìåòð Ïóàññîíà äëÿ i-ãî ïîëèñà ∞ èç ïîðòôåëÿ. {λi }i=1 íàáîð íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, êàæäàÿ èç êîòîðûõ èìååò ñëåäóþùåå ðàñïðåäåëåíèå: P (λi = 0.1) = 0.5 P (λi = 0.3) = 0.5 Îòñþäà ñëåäóåò,÷òî: E[λi ] = 0.2 V ar[λi ] = 0.01 156 (i) Ìîìåíòû Si ìîãóò áûòü íàéäåíû ïðè óñëîâèè λi . Ò.ê. Si |λi èìååò ïðÿìîå îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà, òî, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (3.2) è (3.2), ïîëó÷èì: E[Si ] = E[E[Si |λi ]] = E[λi m1 ] = 0.2m1 V ar[Si ] = E[V ar[Si |λi ]] + V ar[E[Si |λi ]] = = E[λi m2 ] + V ar[λi m1 ] = 0.2m2 + 0.01m21 n (ii) Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû {Si }i=1 íåçàâèñèìûå è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå, êàæäàÿ ñ ðàñïðåäåëåíèåì, äàííûì â ïóíêòå (i). Ñëåäîâàòåëüíî, èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû èç ïóíêòà (i), ïîëó÷èì: E " n X # Si = nE[Si ] = 0.2nm1 i=1 V ar " n X # Si = nV ar[Si ] = 0.2nm2 + 0.01nm21 i=1 Ï ð è ì å ð 6.19 Ïóñòü ïàðàìåòðû Ïóàññîíà èìåþò ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè α è δ . Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà èñêîâ ïî ïîëèñó, âûáðàííîìó èç ïîðòôåëÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì. Ð å ø å í è å Ïóñòü Ni îáîçíà÷àþò ÷èñëî èñêîâ ïî i-ìó ïîëèñó èç ñòðàõîâîãî ïîðòôåëÿ è λi èõ ïàðàìåòðû Ïóàññîíà. Òîãäà Ni èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λi , íî ïðîáëåìà â òîì, ÷òî (ïî ïðåäïîëîæåíèþ) çíà÷åíèå λi íàì íå èçâåñòíî. À èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå, ïî êîòîðîìó áûë âûáðàí ïàðàìåòð λi . Â èòîãå, çàäà÷à ìîæåò áûòü ïîñòàâëåíà ñëåäóþùèì îáðàçîì: Ó÷èòûâàÿ, ÷òî: Ni |λi ∼ P (λi ) è λi ∼ G(α, δ) íàéäåì áåçóñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå Ni . Ýòà çàäà÷à ìîæíî ðåøèòü, èçáàâëÿÿñü îò óñëîâèé ñòàíäàðòíûì ñïîñîáîì: Äëÿ x = 0, 1, 2, ... Z∞ P (Ni = x) = exp{−λ} λx δ α α−1 λ exp{−δλ}dλ = x! Γ(α) 0 δα = Γ(α)x! Z∞ exp{−λ(δ + 1)}λx+α−1 dλ 0 157 Âû÷èñëèì èíòåãðàë, ñðàâíèâ ïîäûíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ ñ ïëîòíîñòüþ ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ,è ïîëó÷èì, ÷òî: P (Ni = x) = Γ(x + α) δα Γ(α)x! (δ + 1)x+α Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîêàçûâàåò, ÷òî áåçóñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå Ni îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå ñ ïàðàìåòðàìè α è δ/(δ + 1). 6.3 Èçìåí÷èâîñòü â îäíîðîäíîì ïîðòôåëå Òåïåðü ðàññìîòðèì äðóãîé ïðèìåð. Ïóñòü, êàê è ðàíüøå, ñòðàõîâîé ïîðòôåëü ñîñòîèò èç n ïîëèñîâ. Ñóììàðíûé èñê ïî êàæäîìó îòäåëüíîìó ïîëèñó èìååò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà c ïàðàìåòðàìè λ è F (x). Ýòè ïàðàìåòðû îäèíàêîâû äëÿ âñåõ ïîëèñîâ â ïîðòôåëå. Åñëè çíà÷åíèå λ èçâåñòíî, òî ñóììàðíûå èñêè ïî ðàçëè÷íûì ïîëèñàì áóäóò íåçàâèñèìûõ âåëè÷èíàìè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çíà÷åíèå λ íå èçâåñòíî, âîçìîæíî, ïîòîìó ÷òî ýòî çíà÷åíèå èçìåíÿåòñÿ îò ãîäà ê ãîäó, íî åñòü íåêîòîðûé âåðîÿòíîñòíûé ïðèçíàê, ÷òî çíà÷åíèå λ áóäåò íàõîäèòüñÿ â äàííîì äèàïàçîíå. Òàê æå êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, ïðåäïîëîæèì äëÿ ïðîñòîòû, ÷òî íàì èçâåñòíû ìîìåíòû è ðàñïðåäåëåíèå èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ, ò.å. F (x). Íåèçâåñòíîñòü çíà÷åíèÿ λ ìîæíî ïðåäñòàâèòü, êàê ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó λ ñ èçâåñòíûì ðàñïðåäåëåíèåì. Ï ð è ì å ð 6.20 Ïóñòü ïàðàìåòð Ïóàññîíà, λ, ïðèíèìàåò äâà çíà÷åíèÿ 0.1 èëè 0.3 ñ ïðèáëèçèòåëüíî îäèíàêîâîé âåðîÿòíîñòüþ. (i) Íàéòè ñðåäíåå è äèñïåðñèþ (÷åðåç m1 è m2 ) ñóììàðíîãî èñêà ïî âûáðàííîìó ñëó÷àéíûì îáðàçîì èç ïîðòôåëÿ ïîëèñó. (ii) Íàéòè ñðåäíåå è äèñïåðñèþ (÷åðåç m1 , m2 è n) ñóììàðíîãî èñêà ïî âñåìó ïîðòôåëþ. Ð å ø å í è å Èñïîëüçóÿ òå æå îáîçíà÷åíèÿ, ÷òî è ðàíüøå, ïóñòü Si îáîçíà÷àåò ñóììàðíûé èñê ïî i-ìó ïîëèñó èç ïîðòôåëÿ. Òîãäà çàäà÷à ñòàâèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû {Si |λ}ni=1 íåçàâèñèìûå è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå, êàæäàÿ èç êîòîðûõ èìååò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðàìè λ è F (x). Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà λ èìååò ñëåäóþùåå ðàñïðåäåëåíèå: P (λ = 0.1) = 0.5 P (λ = 0.3) = 0.5 158 (i) Ïðè óñëîâèè λ E[Si ] = E[E[Si |λ]] = E[λm1 ] = 0.2m1 V ar[Si ] = E[V ar[Si |λ]] + V ar[E[Si |λ]] = = E[λm2 ] + V ar[λm1 ] = 0.2m2 + 0.01m21 (ii) E " n X # Si = nE[S1 ] = 0.2nm1 (ò.ê. {Si }ni=1 îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû) i=1 V ar " n X i=1 # " Si = E V ar " n X ## Si |λ " " n ## X + V ar E Si |λ = i=1 i=1 = E[nλm2 ] + V ar[nλm1 ] = 0.2nm2 + 0.01n2 m21 Ïîëåçíî ñðàâíèòü ðåçóëüòàòû ñ ïðîøëûìè ðåçóëüòàòàìè Ïðèìåðà 6.19. Çíà÷åíèÿ ñðåäíåãî è äèñïåðñèè, êîãäà ðàññìàòðèâàåòñÿ îòäåëüíî êàæäûé ïîëèñ (ïóíêò (i)), âî äâóõ ñëó÷àÿõ îäèíàêîâû. Ðàçëè÷èÿ ïðîèñõîäÿò, êîãäà ðàññìàòðèâàþò áîëåå îäíîãî ïîëèñà. Â ýòîì ñëó÷àå âòîðîé ïðèìåð äàåò áîëüøóþ äèñïåðñèþ. Âàæíî ïîíÿòü ðàçíèöó (à òàêæå ñõîäñòâî) ìåæäó äâóìÿ ïðèìåðàìè. Íà ïðàêòèêå âòîðîé ïðèìåð ìîæåò áûòü ïðèìåíåí, åñëè ðàññìàòðèâàòü ïîëèñû ïîðòôåëÿ ñòðàõîâàíèÿ çäàíèé íåêîòîðîé îáëàñòè. ×èñëî èñêîâ ìîæåò çàâèñåòü, íàðÿäó ñ äðóãèìè ôàêòîðàìè, îò ïîãîäíûõ óñëîâèé â òå÷åíèå ãîäà; íåîáû÷íî áîëüøîå ÷èñëî óðàãàíîâ ìîæåò ïðèâåñòè ê áîëüøîìó îæèäàåìîìó ÷èñëó èñêîâ (ò.å. áîëüøîå çíà÷åíèå λ) äëÿ âñåõ ïîëèñîâ âìåñòå. 6.4 Èçìåí÷èâîñòü ÷èñëà èñêîâ è âåëè÷èíû èñêîâ è ïàðàìåòð íåîïðåäåëåííîñòè Ýòîò ïàðàãðàô ñîäåðæèò åù¼ äâà ïðèìåðà. Ïåðâûé âåñüìà ñëîæíûé ïðèìåð, âêëþ÷àþùèé â ñåáÿ íåîïðåäåëåííîñòü êàê ÷èñëà èñêîâ, òàê è âåëè÷èí èñêîâ. Ï ð è ì å ð 6.21 Ñòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ ìîäåëèðóåò èñêè, êàñàþùèåñÿ êîì- ïåíñàöèè óùåðáà ïðè âîçíèêíîâåíèÿ óðàãàíà, ñîãëàñíî ïîëèñàì ñòðàõîâàíèÿ èìóùåñòâà, èñïîëüçóÿ ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ. ×èñëî óðàãàíîâ åæåãîäíî, K , ïî ïðåäïîëîæåíèþ èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λ. 159 ×èñëî èñêîâ çà i-ûé óðàãàí, Ni , i = 1, 2, ..., K , ïî ïðåäïîëîæåíèþ èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì Θi . Ïóñòü ïàðàìåòðû Θi , i = 1, 2, ..., K , íåçàâèñèìûå è îäèíàêîâî ðàñïðåäå2 ëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ñ E[Θi ] = n è V ar[Θi ] = s1 . Âåëè÷èíà j -ãî èñêà çà i-ûé óðàãàí,Xij , j = 1, 2, ..., Ni , èìååò ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè µi è σ , ãäå σ ñ÷èòàåòñÿ èçâåñòíîé âåëè÷èíîé. Ñðåäíèå çíà÷åíèÿ âåëè÷èí èñêîâ,Λi = exp(µi + σ 2 /2), ïî ïðåäïîëîæåíèþ ÿâ- ëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè 2 ñî ñðåäíèì p è äèñïåðñèåé s2 . Òàêæå ïðåäïîëîæèì, ÷òî Θi è Λi íåçàâèñèìû. (i) Ïîêàçàòü, ÷òî E[Xij ] = p è V ar[Xij ] = exp{σ 2 }(p2 + s2 ) − p2 . 2 (ii) Ïóñòü Si îáîçíà÷àåò ñóììàðíûé èñê â ñëåäñòâèè i-ãî óðàãàíà, òàê ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Si |{Θi , Λi } èìååò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà. Ïîêàçàòü, ÷òî E[Si ] = np è V ar[Si ] = (p 2 + s2 )(n2 + s2 + n exp{σ 2 }) − n2 p2 . 2 1 (iii) Íàéòè âûðàæåíèå äëÿ ñðåäíåãî è äèñïåðñèè åæåãîäíîãî ñóììàðíîãî èñêà â ñëåäñòâèè âñåõ ïðîèçîøåäøèõ óðàãàíîâ. Ðåøåíèå (i) E[Xij ] = E[E[Xij |Λi ]] = E[Λi ] = p V ar[Xij ] = E[V ar[Xij |Λi ]] + V ar[E[Xij |Λi ]] = = E[Λ2i (exp{σ 2 } − 1)] + V ar[Λi ] = = (p2 + s22 )(exp{σ 2 } − 1) + s22 = = (p2 + s22 ) exp{σ 2 } − p2 (ii) E[Si ] = E[E[Si |Θi , Λi ]] = E[Θi Λi ] = np ò.ê. Θi è Λi íåçàâèñèìû. Ò.ê. Si |{Θi , Λi } èìååò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà, òî: 2 V ar[Si |Θi , Λi ] = Θi E[Xij |Λi ] = Θi (Λi exp{σ 2 }) è òîãäà E[V ar[Si |Θi , Λi ]] = n(p2 + s22 ) exp{σ 2 } 160 À òàêæå V ar[E[Si |Θi , Λi ]] = V ar[Θi Λi ] = E[Θ2i Λ2i ] − n2 p2 = = (n2 + s21 )(p2 + s22 ) − n2 p2 Îáúåäèíÿÿ ïîñëåäíèå äâà ðåçóëüòàòà, ïîëó÷èì: V ar[Si ] = (n2 + s21 )(p2 + s22 ) − n2 p2 + n(p2 + s22 ) exp{σ 2 } (iii) Ïóñòü R ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, îáîçíà÷àþùàÿ åæåãîäíûé ñóììàðíûé èñê â ñëåäñòâèè âñåõ ïðîèçîøåäøèõ óðàãàíîâ. Òîãäà R ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ñëåäóþùèì îáðàçîì: R= K X Si i=1 ãäå K èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà è ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû {Si } íåçàâèñèìûå è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå. Ñëåäîâàòåëüíî, R èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà è E[R] = λE[Si ] = λnp V ar[R] = λE[Si2 ] = λ(V ar[Si ] + E[Si ]2 ) = = λ(p2 + s22 )(n2 + s21 + n exp{σ 2 }) Ï ð è ì å ð 6.22 Êàæäûé ãîä ñòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ ïðîäàåò áîëüøîå ÷èñëî ïîëèñîâ ñòðàõîâàíèÿ æèëèùíîãî èìóùåñòâà, åæåãîäíàÿ ïðåìèÿ ïî êàæäîìó èç êîòîðûõ ðàâíà £80. Åæåãîäíûé ñóììàðíûé èñê ïî êàæäîìó ïîëèñó èìååò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà; ïàðàìåòð Ïóàññîíà ðàâåí 0.4 è âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ èìåþò ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè α è λ. Ðàñõîäû, âêëþ÷åííûå â âûïëàòû ïî èñêó, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííóþ ìåæäó £50 è £b (> £50). Âåëè÷èíà ðàñõîäîâ íå çàâèñèò îò âåëè÷èíû èñêà, ñâÿçàííîãî ñ ýòèìè ðàñõîäàìè. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà S ïðåäñòàâëÿåò îáùèé ñóììàðíûé èñê âìåñòå ñ ðàñõîäàìè çà îäèí ãîä ïî äàííîìó ïîðòôåëþ ñòðàõîâàíèÿ. Ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî S èìååò ïðèáëèçèòåëüíî íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. (i) Ïîëîæèì, ÷òî α = 1; λ = 0.01; b = 100 Ïîêàçàòü, ÷òî êîìïàíèÿ äîëæíà ïðîäàòü ïî êðàéíåé ìåðå 884 ïîëèñà â ãîä, ÷òîáû áûòü õîòÿ áû íà 99% óâåðåííîé, ÷òî âåëè÷èíà ïîëó÷åííûõ ïðåìèé ïðåâûñèò âåëè÷èíó èñêîâ è ðàñõîäîâ çà ãîä. 161 (ii) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåëè÷èíû α, λ è b íå èçâåñòíû òî÷íî, íî ìîãóò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ èç çàäàííûõ äèàïàçîíîâ: 0.95 ≤ α ≤ 1.05; 0.009 ≤ λ ≤ 0.011; 90 ≤ b ≤ 110 Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî α, λ è b ïðèíèìàþò íàèõóäøèå (äëÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè) çíà÷åíèÿ, íàéòè ÷èñëî ïîëèñîâ, êîòîðîå äîëæíà ïðîäàòü ñòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ, ÷òîáû áûòü ïî êðàéíåé ìåðå íà 99% óâåðåííîé, ÷òî âåëè÷èíà ïîëó÷åííûõ ïðåìèé ïðåâûñèò âåëè÷èíó èñêîâ è ðàñõîäîâ çà ãîä. Ð å ø å í è å Ïóñòü Xi âåëè÷èíà i-ãî èñêà è Yi âåëè÷èíà ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàñõîäîâ. Ïóñòü N îáùåå ÷èñëî èñêîâ ïî âñåìó ñòðàõîâîìó ïîðòôåëþ è ïóñòü n ÷èñëî ïîëèñîâ â ýòîì ïîðòôåëå. Òîãäà N èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì 0.4n è S ìîæíî çàïèñàòü òàê: S= N X (Xi + Yi ) i=1 ∞ ãäå {Xi + Yi }i=1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, íåçàâèñèìûõ îò N . Èç ýòîãî ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî S èìååò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà, ãäå (Xi + Yi ) ïðåäñòàâëÿåò "âåëè÷èíó i-ãî èíäèâèäóàëüíîãî èñêà". Èñïîëüçóÿ èçâåñòíûå ôîðìóëû, ìîæåì çàïèñàòü âûðàæåíèÿ äëÿ ìîìåíòîâ âåëè÷èíû S : E[S] = 0.4nE[Xi + Yi ] V ar[S] = 0.4nE[(Xi + Yi )2 ] = = 0.4n(E[Xi2 ] + 2E[Xi Yi ] + E[Yi2 ]) Çàïèñûâàÿ ìîìåíòû Xi è Yi ÷åðåç α, λ è b, ïîëó÷èì: E[Xi ] = α/λ E[Xi2 ] = α(α + 1)/λ2 E[Yi ] = (b + 50)/2 E[Yi2 ] = (b2 + 50b + 2500)/3 E[Xi Yi ] = E[Xi ]E[Yi ] Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç íåçàâèñèìîñòè Xi è Yi . (i) Ïîëîæèì α = 1; λ = 0.01; b = 100 Òîãäà ìîæíî çàïèñàòü E[S] = 70n è V ar[S] = 127.802 n Ñëåäîâàòåëüíî, S èìååò ïðèáëèçèòåëüíî íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñî √ ñðåäíèì çíà÷åíèåì 70n è ñòàíäàðòíûì îòêëîíåíèåì 127.80 162 n. Âåëè÷èíà ïîëó÷åííûõ ïðåìèé ðàâíà 80n. Òîãäà íàèìåíüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå n íàéäåì èç óñëîâèÿ: P (S < 80n) ≥ 0.99 Ïðèâîäÿ ê íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ ñòàíäàðòíûì ñïîñîáîì, ïîëó÷èì: (S − 70n) (80n − 70n) √ < √ P ≥ 0.99 127.80 n 127.80 n Äëÿ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ 99-ÿ ïðîöåíòèëü ðàâíà 2.326. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ n: (80n − 70n) √ ≥ 2.326 127.80 n ñëåäîâàòåëüíî n ≥ 883.7 (èëè n ≥ 884, îêðóãëÿÿ äî öåëîãî ÷èñëà ñâåðõó). (ii) Äëÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè íàèõóäøàÿ êîìáèíàöèÿ çíà÷åíèé äëÿ α, λ è b ýòî êîìáèíàöèÿ, ïðè êîòîðîé E[S] è V ar[S] ïðèíèìàþò ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ýòî óâèäåòü, ïðåäïîëîæèì, ÷òî µ è σ îáîçíà÷àþò ñðåäíåå è ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå âåëè÷èíû ñóììàðíîãî èñêà è ðàñõîäîâ ïî êàæäîìó ïîëèñó ñîîòâåòñòâåííî. Ñëåäîâàòåëüíî: E[S] = nµ è V ar[S] = nσ 2 Àíàëîãè÷íî ñëåäóÿ âñåì øàãàì èç ïóíêòà (i), ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ n: √ (80 − µ) n ≥ 2.326 σ Òàêèì îáðàçîì: n ≥ [2.326σ/(80 − µ)]2 Ñëåäîâàòåëüíî, íàèáîëüøåå çíà÷åíèå n ïîëó÷àåòñÿ ïðè ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèÿõ µ è σ (ïðè óñëîâèè, ÷òî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå µ ìåíüøå 80). Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî µ = 0.4E[Xi + Yi ] σ 2 = 0.4E[(Xi + Yi )2 ] è Èç ôîðìóë (äàííûõ âûøå) äëÿ ìîìåíòîâ Xi è Yi , µ è σ ïðèíèìàþò íàèáîëüøèå çíà÷åíèÿ, êîãäà α è b ïðèíèìàþò ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ, à λ ìèíèìàëüíî âîçìîæíîå, ò.å. êîãäà α = 1.05; λ = 0.009; b = 110 Ýòîò íàáîð çíà÷åíèé äàåò ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû äëÿ µ è σ : µ = 78.67 è σ = 144.14 Ïîäñòàâëÿÿ ýòè çíà÷åíèÿ â âûðàæåíèå äëÿ n, ïîëó÷èì, ÷òî åñëè n áóäåò ðàâíî íå ìåíüøå, ÷åì 63,546, òî ñòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ áóäåò óâåðåíà, ïî êðàéíåé ìåðå íà 99%, ÷òî âåëè÷èíà ïîëó÷åííûõ ïðåìèé ïðåâûñèò âåëè÷èíó èñêîâ è ðàñõîäîâ çà ãîä. 163 7 Âîïðîñû ñòóäåíòàì Â1 Ìîäåëè èíäèâèäóàëüíîãî è êîëëåêòèâíîãî ðèñêà êàæóòñÿ î÷åíü ïîõîæèìè. Êàêèå îñíîâíûå îòëè÷èÿ ìåæäó íèìè? O1 Îáå ìîäåëè â îñíîâíîì ïîõîæè. Ãëàâíûì îòëè÷èåì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ìîäåëü èíäèâèäóàëüíîãî ðèñêà ðàññìàòðèâàåò êàæäûé ïîëèñ, òîãäà êàê ìîäåëü êîëëåêòèâíîãî ðèñêà ðàññìàòðèâàåò îòäåëüíî êàæäûé èñê. Â2 Âû ïîëó÷èëè îáùèå ôîðìóëû äëÿ ñðåäíåãî è äèñïåðñèè ñóììàðíîãî èñêà â ìîäåëè êîëëåêòèâíîãî ðèñêà. Ñóùåñòâóåò ëè ïîõîæàÿ ôîðìóëà äëÿ âåëè÷èíû àñèììåòðèè? Î2 Äà. Âîò îíà: skew[S] = E[N ]skew[X] + 3V ar[N ]E[X]V ar[X] + skew[N ](E[X])3 Íî äëÿ ýêçàìåíà âû íå îáÿçàíû å¼ çíàòü. Â3 Åñòü ëè åù¼ êàêèå-íèáóäü ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðûå ìîæíî âû÷èñëèòü ñ ïîìîùüþ èòåðàöèîííîé ôîðìóëû? O3 Ñóùåñòâóåò åù¼ íåñêîëüêî ðàñïðåäåëåíèé, âåðîÿòíîñòíûå ôóíêöèè êîòîðûõ ìîãóò áûòü âûðàæåíû â èòåðàöèîííîé ôîðìå. Îäíàêî, äèñêðåòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðûå ìîæíî âû÷èñëèòü, èñïîëüçóÿ èòåðàöèîííóþ ôîðìóëó, ïðèâåäåííóþ çäåñü, äîëæíû áûòü ðàñïðåäåëåíèåì Ïóàññîíà, îòðèöàòåëüíûì áèíîìèàëüíûì èëè áèíîìèàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì. (Ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé îòðèöàòåëüíîãî áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè k = 1.) Äèàãðàììà, ïðèâåäåííàÿ íèæå, ïîêàçûâàåò çíà÷åíèÿ a è b, äëÿ êîòîðûõ ðàñïðåäåëåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò èòåðàöèîííîé ôîðìóëå, âìåñòå ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ðàñïðåäåëåíèÿìè. Ïîäõîäÿùèå ðàñïðåäåëåíèÿ îáîçíà÷åíû ÷åðíûìè ëèíèÿìè è çàøòðèõîâàííîé îáëàñòüþ. Íà÷àëî êîîðäèíàò ñîîòâåòñòâóåò "âûðîæäåííîìó ðàñïðåäåëåíèþ êîòîðîå âñåãäà ïðèíèìàåò çíà÷åíèå íîëü. Íåçàøòðèõîâàííûå îáëàñòè ñîîòâåòñòâóþò çíà÷åíèÿì a è b, êîòîðûå íå äàþò ïîäõîäÿùóþ âåðîÿòíîñòíóþ ôóíêöèþ (íàïðèìåð, êîãäà ôîðìóëà äàåò îòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå èëè êîãäà ñóììà âåðîÿòíîñòåé íå ñõîäèòñÿ). Ñïëîøíàÿ ëèíèÿ ñ íàêëîííûìè ëèíèÿìè ñîîòâåòñòâóþò áèíîìèàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ ñ n = 1, n = 2, ... 164 â çàâèñèìîñòè îò íàêëîíà. ×åì áîëüøå n, òåì áëèæå íàêëîííûå ëèíèè ê âåðòèêàëüíîé ïðÿìîé, ñîîòâåòñòâóþùåé ðàñïðåäåëåíèþ Ïóàññîíà. bp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp C B pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp A B C @ p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p A BC @ ppÏpp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp A BC @ póp Îòðèöàòåëüíîå p p p p p p p p p p p p p p p p p p Áèíîìèàëüíîå ppàpp pp áèíîìèàëüíîå p p p p p p p p p p p p p p p p p A BC @ ñp p p pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp @ A B C ppñpp pp pp pp pp (k>1) p p p p p p p p p p p p p p @ A BC pî p p p p p pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp í @ ABC pppàppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp @ABC pp Ãåîìåòðè÷åñêîå p p p p p p p p p p p p p p p p p p p ABCw p p p p p p p p p p p p p p p p p p p a @ p pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp p p p p p p p p p p p p p p p p pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp Îòðèöàòåëüíîå p p p p p p p p p p p p áèíîìèàëüíîå p pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp (k<1)p p p p p p p p p p pp pp pp pp pp pp pp p p p p p p p pp pp pp pp p p p p pp @ A a=1,b=-1 Â4 Ïðèìåíÿþòñÿ ëè ýòè ðåêóðñèâíûå ôîðìóëû íà ïðàêòèêå? O4 Äà, îíè ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììàðíîãî èñêà íà êîìïüþòåðàõ. Îäíàêî, ñóùåñòâóåò îäíà ïðîáëåìà, êîòîðàÿ ìîæåò âîçíèêíóòü, êîãäà ðàçìåð èíäèâèäóàëüíîãî èñêà ìîæåò ïðèíèìàòü î÷åíü ìíîãî ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé. Ðåêóðñèâíûé òèï ôîðìóëû îçíà÷àåò, ÷òî ëþáûå íåáîëüøèå îøèáêè îêðóãëåíèÿ, êîòîðûå âîçíèêàþò, èìåþò òåíäåíöèþ ê óâåëè÷åíèþ íà êàæäîì øàãå âû÷èñëåíèÿ. Ýòî ìîæåò ïðèâåñòè ê êàòàñòðîôè÷åñêîìó ðåçóëüòàòó. Òàê ÷òî âû äîëæíû óäîñòîâåðèòüñÿ, ÷òî àðèôìåòèêà, èñïîëüçóåìàÿ âàøèì êîìïüþòåðîì, äîñòàòî÷íî òî÷íà (íàïðèìåð, òî÷íîñòü äî 15 çíàêîâ), è âû äîëæíû ïðîâåðÿòü, ÷òî âû÷èñëÿåìûå âåðîÿòíîñòè ïðèíèìàþò êîððåêòíûå çíà÷åíèÿ (â ñóììå äàþò åäèíèöó), è ÷òî ñðåäíåå çíà÷åíèå îáùåãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèíèìàåò êîððåêòíîå çíà÷åíèå. Â5 Êàê ïîäîáðàòü õè-êâàäðàò âåðîÿòíîñòè äëÿ ñìåùåííîãî ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ, êîãäà îíè íå ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ, 165 áëèçêèå ê 5%, 1% è ò.ä.? O5 Åñëè ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû äîñòàòî÷íî âåëèêî, âû ìîæåòå àïïðîê- ñèìèðîâàòü õè-êâàäðàò ðàñïðåäåëåíèå íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì; ò.å. χ2n ∼ N (n, 2n). Â6 Åñëè ìû äîëæíû èñïîëüçîâàòü íîðìàëüíóþ àïïðîêñèìàöèþ â ñëó÷àå, îïèñàííîì â ïðåäûäóùåì âîïðîñå, ïî÷åìó ìû ñðàçó íå ïðèìåíÿåì íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå? O6 Ïîäáîð ïîäõîäÿùåãî ñìåùåííîãî ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ â ñóùíîñòè ðàñòÿãèâàåò è ñæèìàåò èñõîäíîå ðàñïðåäåëåíèå òàê, ÷òîáû èõ àñèììåòðèÿ óìåíüøàëàñü. Îêîí÷àòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ ïî÷òè ñîâñåì ñèììåòðè÷íûì, òàê ÷òî íîðìàëüíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ ïðåîáðàçîâàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ áîëåå òî÷íà. Â7 Ê êàêîìó ðàñïðåäåëåíèþ ïðèáëèæàåòñÿ ñìåùåííîå ãàììàðàñïðåäåëåíèå, êîãäà àñèììåòðèÿ ñëèøêîì ìàëà? O7 Åñëè ïàðàìåòð k â ñìåùåííîì ãàììà-ðàñïðåäåëåíèè ñòðåìèòñÿ ê −∞, ïðè ïîñòîÿííûõ ñðåäíåì è äèñïåðñèè èñõîäíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, àñèììåòðèÿ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ è ðàñïðåäåëåíèå ïðèáëèæàåòñÿ ê íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ. Â8 Äåéñòâèòåëüíî ëè îáîáùåííûå ðàñïðåäåëåíèÿ îòëè÷íû îò "èñõîäíûõ èëè îíè ýòî òîëüêî ñëîæíûå ñïîñîá ïðåäñòàâèòü "èñõîäíûå"ðàñïðåäåëåíèÿ. O8 Âîîáùå ãîâîðÿ, îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå ýòî ðàñïðåäåëåíèå, îò- ëè÷àþùååñÿ îò ëþáîãî ñòàíäàðòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ò.å. íå ÿâëÿþòñÿ ëèøü ñëîæíûì ïðåäñòàâëåíèåì ïðîñòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. 7.1 Ïîäñêàçêè äëÿ îòâåòîâ íà âîïðîñû 1. Âîïðîñû â ýòîé òåìå ãëàâíûì îáðàçîì àëãåáðàè÷åñêèå. 2. Îòìåòèì, ÷òî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âû ñïîñîáíû âîñïðîèçâåñòè âñå äîêàçàòåëüñòâà èç äàííîé ãëàâû. 3. Çíà÷åíèÿ âåëè÷èí, ïðåäñòàâëåííûõ â ñòàòèñòè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòàõ, ÷àñòî ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âåùåñòâåííûå ÷èñëà, êîòîðûå èìåþò èçìåðåíèÿ, íàïðèìåð, äëèíû ìîãóò áûòü âûðàæåíû â ìåòðàõ. Êàê íàïðèìåð â ôèçè÷åñêèõ ôîðìóëàõ, óðàâíåíèÿ â ñòàòèñòèêå îñíîâûâàþòñÿ íà òàêèõ âåëè÷èíàõ, êîòîðûå äîëæíû áûòü ñîãëàñîâàíû 166 ñ ðàçìåðíîñòüþ. Ýòî ïðàâèëî èíîãäà èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ïðîâåðêè ñëîæíûõ âûðàæåíèé èëè äëÿ ïîìîùè â çàïîìèíàíèè ôîðìóë. Íàïðèìåð, åñëè âû èçìåðÿåòå äëèíó â åäèíèöàõ L (íàïðèìåð, â ìåòðàõ), òî: • âñå âåðîÿòíîñòè äîëæíû áûòü áåçðàçìåðíûìè, ò.å. L0 • ñðåäíåå çíà÷åíèå è ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ äîëæíû áûòü èìåòü òó æå ðàçìåðíîñòü, ÷òî è èçìåðÿåìàÿ âåëè÷èíà, ò.å. L • äèñïåðñèÿ äîëæíà èìåòü ðàçìåðíîñòü â êâàäðàòå, ò.å. L2 Ï ð è ì å ð 6.23 Åñëè îáîáùåííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà S = X1 + X2 + ... + XN , òî äèñïåðñèÿ ðàâíà • (à) V ar[S] = E[N ]V ar[X] + V ar[N ](E[X])2 èëè • (b) V ar[S] = (E[N ])2 V ar[X] + V ar[N ]E[X]? Ð å ø å í è å N ýòî ñ÷åò÷èê, ïîýòîìó äîëæåí áûòü áåçðàçìåðíûì. Âåëè÷èíû X è S âûðàæåíû â äåíåæíûõ åäèíèöàõ, â £ ñêàæåì. Ïðîâåðèì ðàçìåðíîñòü äâóõ ïðåäñòàâëåííûõ àëüòåðíàòèâ: • (à) £2 = £0 £2 + £0 £2 X • (b) £2 = £0 £2 + £0 £1 × Òàêèì îáðàçîì, ïåðâàÿ ôîðìóëà âåðíàÿ. 8 Îòâåòû íà âîïðîñû äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè Ðåøåíèå 5.1 Åñëè N = 0, òî S = 0. Òîãäà èìååò "òî÷å÷íóþ"âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî S = 0. Åñëè N = 1, òî S èìååò U (0, 10)ðàñïðåäåëåíèå. Ýòî ïðîèñõîäèò ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/4. Åñëè N = 2, òî S åñòü ñóììà äâóõ íåçàâèñèìûõ U (0, 10)ðàñïðåäåëåíèé. Ýòî ðàñïðåäåëåíèå èìååò ôîðìó ñèììåòðè÷íîãî òðåóãîëüíèêà íà èíòåðâàëå (0,20). Îáúåäèíÿÿ âñå ýòî, ìû ïîëó÷èì îáùåå ðàñïðåäåëåíèå, ãðàôèê êîòîðîãî 167 ïðåäñòàâëåí íèæå: 6 1 2 y 1 20 1 40 H HH H HH H H 10 20 - Ðåøåíèå 5.2 1. E[tS ] îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè âåðîÿòíîñòåé S . 2. Âìåñòî S ïîäñòàâëÿåì X1 + X2 + ... + XN . 3. Ñëåäóþùèé øàã äîêàçàòåëüñòâà ïîëó÷àåòñÿ, ó÷èòûâàÿ âñåâîçìîæíûå çíà÷åíèÿ N , ò.å.: ∞ X E[tX1 +X2 +...+XN |N = n]P (N = n) n=0 ÷òî ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ïðè N = n, óìíîæåííûõ íà âåðîÿòíîñòü P (N = n). 4. Ñëåäóþùèé øàã ïîëó÷àåòñÿ ðàçëîæåíèåì íà ìíîæèòåëè ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé, ïîñêîëüêó Xi íå çàâèñèìû. 5. Äàëåå, ïîñêîëüêó Xi îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû, ïîëó÷àåì, ÷òî E[tXi ] ýòî ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X , êîòîðàÿ èìååò òî æå ðàñïðåäåëåíèå, ÷òî è Xi . 6. Ñëåäóþùåå äåéñòâèå ïîëó÷àåòñÿ èç îïðåäåëåíèÿ E[(GX (t))N ], âûïèñàííîãî ïîëíîñòüþ: ∞ X (GX (t))n P (N = n) n=0 168 7. E[(GX (t))N ] ýòî îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè âåðîÿòíîñòåé âåëè÷èíû N , íî âìåñòî t ïîäñòàâèëè GX (t). Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷èëè GN (GX (t)). Ðåøåíèå 5.3 Èñïîëüçóÿ âòîðóþ ôîðìóëó: α β MS (t) = GN (MX (t)) = exp(λ(MX (t) − 1)) = exp λ −1 β−t Ðåøåíèå 5.4 Ìû èìååì: GN (t) = p 1 − (1 − p)t k è GX (t) = (1 − q + qt)m Îáúåäèíÿÿ ýòî, ïîëó÷èì: GS (t) = GN (GX (t)) = p 1 − (1 − p)(1 − q + qt)m k Áóäüòå âíèìàòåëüíû. Ðàçëè÷àéòå ïðàâèëüíî p è q . Ðåøåíèå 5.5 Ïðè óñëîâèè âñåõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé N , ïîëó÷àåì: V ar[S] = E[V ar[S|N ]] + V ar[E[S|N ]] = = E[V ar[X1 + X2 + ...XN |N ]] + V ar[E[X1 + X2 + ...XN |N ]] = = E[N V ar[X]] + V ar[N E[X]] = = V ar[X]E[N ] + (E[X])2 V ar[N ] Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî â ñèëó òîãî, ÷òî V ar[X] è E[X] ýòî êîíñòàíòû â âûðàæåíèÿõ E[N V ar[X]] è V ar[N E[X]]. Ðåøåíèå 5.6 Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó èç òàáëèöû äëÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ îáîáùåííîãî ãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîëó÷èì: p p = 1 − qMX (t) 1 − qβ/(β − t) 169 Ðåøåíèå 5.7 Èñïîëüçóåì îáùèå ôîðìóëû: E[S] = E[N ]E[X] = mpm1 è V ar[S] = E[N ]V ar[X] + V ar[N ](E[X])2 = = mp(m2 − m21 ) + mpqm21 = mpm2 − mp2 m21 Ðåøåíèå 5.8 Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà: MS (t) = eλ[MX (t)−1] Òîãäà ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ñåìèèíâàðèàíòîâ: KS (t) = log MS (t) = λ[MX (t) − 1] Äèôôåðåíöèðóÿ ïî t, ïîëó÷èì: KS0 (t) = λMX0 (t) Äèôôåðåíöèðóåì åù¼ ðàç ïî t: KS00 (t) = λMX00 (t) È åù¼ ðàç äèôôåðåíöèðóåì ïî t: KS000 (t) = λMX000 (t) Ïîëîæèì t = 0: skew[S] = KS000 (0) = λm3 Ðåøåíèå 5.9 Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ñåìèèíâàðèàíòîâ: K(t) = log(q + pM (t))m = m log(q + pM (t)) Äèôôåðåíöèðóåì ýòî âûðàæåíèå ïî t: K 0 (t) = mpM 0 (t)[q + pM (t)]−1 170 Äèôôåðåíöèðóåì ñíîâà: K 00 (t) = mpM 00 (t)[q + pM (t)]−1 − mp2 [M 0 (t)]2 [q + pM (t)]−2 È ñíîâà: K 000 (t) = mpM 000 (t)[q + pM (t)]−1 − mp2 M 0 (t)M 00 (t)[q + pM (t)]−2 + +2mp3 [M 0 (t)]3 [q + pM (t)]−3 − 2mp2 M 0 (t)M 00 (t)[q + pM (t)]−2 Ïîëîæèì t = 0: K 000 (0) = mpm3 − 3mp2 m1 m2 + 2mp3 m31 Ñëåäîâàòåëüíî, êîýôôèöèåíò àñèììåòðèè ðàâåí: mpm3 − 3mp2 m1 m2 + 2mp3 m31 [mpm2 − mp2 m21 ]3/2 Ðåøåíèå 5.10 Äà, ïðè óñëîâèè, ÷òî ïàðàìåòð p â ðàñïðåäåëåíèè ÷èñëà èñêîâ îäèíàêîâûé äëÿ äâóõ ðàñïðåäåëåíèé, è ÷òî ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ îäèíàêîâû. Åñëè ýòè óñëîâèÿ âûïîëíåíû, òî îáîáùåííîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå îáëàäàåò ñâîéñòâîì àääèòèâíîñòè, ò.å. åñëè S1 èìååò îáîáùåííîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè m è p, è ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû èñêà èìååò ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ ìîìåíòîâ MX (t), è S2 èìååò îáîáùåííîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè n è p, è ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû èñêà èìååò ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ ìîìåíòîâ MX (t), è S1 è S2 íåçàâèñèìû, òîãäà S1 + S2 òàêæå èìååò îáîáùåííîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè m+n è p, è âåëè÷èíà èñêà èìååò ðàñïðåäåëåíèå ñ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé ìîìåíòîâ MX (t). (Âû ìîæåòå äîêàçàòü ýòî, èñïîëüçóÿ ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè ìîìåíòîâ). Ðåøåíèå 5.11 Ïóñòü S = S1 +S2 . Òîãäà S èìååò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðàìè 300 è F (x), ãäå 2 1 2 1 F (x) = F1 (x) + F2 (x) = 1 − exp(−x/α) − exp(−x/β) 3 3 3 3 F (x) ïðèìåð ñìåøàííîãî ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ìû ìîæåì èíòåðïðåòèðîâàòü ðàñïðåäåëåíèå S ñëåäóþùèì îáðàçîì. ×èñëî èñêîâ èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì 300. Ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/3 171 âåëè÷èíà èíäèâèäóàëüíîãî èñêà ïîëó÷àåòñÿ èç ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì α, ñ âåðîÿòíîñòüþ 2/3 âåëè÷èíà èíäèâèäóàëüíîãî èñêà ïîëó÷àåòñÿ èç ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì β. Ðåøåíèå 5.12 Èòàê, ìû èìååì 5 ïîëèñîâ ("èíäèâèäóàëüíûå ðèñêè"). Òîãäà n = 5. Êîìïàíèè A, C è D íå ïðåäúÿâëÿëè èñêîâ. Ñëåäîâàòåëüíî: X1 = X3 = X4 = 0 Êîìïàíèÿ B ïðåäúÿâèëà èñê â ðàçìåðå £2, 500. Ñëåäîâàòåëüíî: X2 = 2, 500 Êîìïàíèÿ E ïðåäúÿâèëà äâà èñêà îáùåãî ðàçìåðà £20, 000. Ñëåäîâàòåëüíî: X5 = 20, 000 Ðåøåíèå 5.13 Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðîèçîéäåò ðîâíî 5 ñìåðòíûõ ñëó÷àåâ ñðåäè øòàòíûõ ñîòðóäíèêîâ, ïîä÷èíÿåòñÿ áèíîìèàëüíîìó çàêîíó: 500 ∗ 0.0055 ∗ (1 − 0.005)500−5 = 5 = 500 ∗ 499 ∗ 498 ∗ 497 ∗ 496 (0.005)5 (0.995)495 = 5∗4∗3∗2∗1 = 0.0667 è âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðîèçîéäåò ðîâíî 20 ñìåðòåé ñðåäè ÷èñëà ðàáî÷èõ, åñòü: 2, 500 ∗ 0.01020 ∗ (1 − 0.010)2,500−20 = 20 2, 500 ∗ 2, 499 ∗ ... ∗ 2, 481 (0.010)20 (0.990)2,480 20! Òàêèì îáðàçîì, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñëó÷àè ñìåðòè íåçàâèñèìû, îáùàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà 0.0035, ò.å. 0.35%. = Ðåøåíèå 5.14 Xi èìååò ñëåäóþùóþ ôóíêöèþ âåðîÿòíîñòåé: b ñ âåðîÿòíîñòüþ q Xi = 0 ñ âåðîÿòíîñòüþ p 172 Òàêèì îáðàçîì: E[Xi ] = q ∗ b + p ∗ 0 = qb À òàêæå: E[Xi2 ] = q ∗ b2 + p ∗ 02 = qb2 Òîãäà: V ar[Xi ] = E[Xi2 ] − (E[Xi ])2 = b2 q − (bq)2 = b2 q(1 − q) Ðåøåíèå 5.15 Àíàëîãè÷íî: E[Xi3 ] = q ∗ b3 + p ∗ 03 = qb3 Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì: skew[Xi ] = E[Xi3 ] − 3E[Xi2 ]E[Xi ] + 2(E[Xi ])3 = = b3 q − 3(b2 q)(bq) + 2(bq)3 = = b3 q(1 − q)(1 − 2q) (Â êà÷åñòâå àëüòåðíàòèâû âû ìîæåòå âû÷èñëèòü E[(Xi − µ)3 ] íåïîñðåäñòâåííî). Ðåøåíèå 5.16 Ìû èìååì: 5 = 2, 500 0.002 5 σ2 = = 1, 250, 000 0.0022 Òîãäà ñðåäíåå çíà÷åíèå è äèñïåðñèÿ âåëè÷èíû ñóììàðíîãî èñêà áóäóò ðàâíû: E[S] = 1000 ∗ 2500 ∗ 0.004 = 10, 000 µ= V ar[S] = 1000 ∗ [1, 250, 000 ∗ 0.004 + 2, 5002 ∗ 0.004 ∗ 0.996] = (£5, 468)2 Ðåøåíèå 5.17 Ìû ðàññìàòðèâàåì òðè èñêà. Òîãäà N = 3. Ïåðâûé èñê (ïðåäúÿâëåííûé êîìïàíèåé E â ìàðòå) áûë â ðàçìåðå £8, 000. Ñëåäîâàòåëüíî: X1 = 8, 000 Âòîðîé èñê (ïðåäúÿâëåííûé êîìïàíèåé B â ñåíòÿáðå) áûë â ðàçìåðå £2, 500. Ñëåäîâàòåëüíî: X2 = 2, 500 Òðåòèé èñê (ïðåäúÿâëåííûé êîìïàíèåé E â íîÿáðå) áûë â ðàçìåðå £12, 000. Ñëåäîâàòåëüíî: X3 = 12, 000 173 Ðåøåíèå 5.18 Ñîãëàñíî òàêîìó äîãîâîðó, åñëè áðóòòî-âåëè÷èíà èíäèâèäóàëüíîãî èñêà ðàâíà X , òîãäà íåòòî-âûïëàòû ïðÿìîãî ñòðàõîâùèêà ðàâíû D = kX . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ áóäåò ðàâíà: MD (t) = E[etD ] = E[etkX ] = E[e(kt)X ] = MX (kt) Òàêèì îáðàçîì, ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ âåëè÷èíû ñóììàðíîãî èñêà ðàâíà: log MD (t) −1] MSnet (t) = MN [log MD (t)] = eλ[e = eλ[MX (kt)−1] Ðåøåíèå 5.19 Ïóñòü S îáîçíà÷àåò âåëè÷èíó ñóììàðíîãî èñêà äî ïåðåñòðàõîâàíèÿ. Òîãäà: S = X1 + X2 + ... + XN ãäå X èìååò ðàñïðåäåëåíèå Pareto( α, λ) è α = 3, λ = 1000. Òàêèì îáðàçîì: E[X] = λ = 500 α−1 è V ar[X] = αλ2 = 750, 000 (α − 1)2 (α − 2) Òîãäà, åñëè ïàðàìåòð Ïóàññîíà (çíà÷åíèå êîòîðîãî òî÷íî íå èçâåñòíî) îáîçíà÷èòü çà µ, òî ïîëó÷èì: E[S] = 500µ è V ar[S] = µE[X 2 ] = µ(750, 000 + 5002 ) = 1, 000, 000µ (i) Îæèäàåìàÿ ïðèáûëü ñòðàõîâùèêà áåç ïåðåñòðàõîâàíèÿ ðàâíà ðàçíîñòè ïîëó÷åííûõ ïðåìèé è îæèäàåìûõ èñêîâ. Íî åñëè èñïîëüçóåòñÿ êîýôôèöèåíò íàãðóçêè íà ïðåìèè, ðàâíûé 0.2, òî ñóììàðíàÿ ïðåìèÿ áóäåò ðàâíà 1.2 ∗ 500µ, è îæèäàåìàÿ ïðèáûëü ñòðàõîâùèêà ðàâíà 600µ − 500µ = 100µ. Òåïåðü ðàññìîòðèì ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ ïåðåñòðàõîâàíèÿ. Äëÿ êàæäîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Xi èìååì Xi = Yi + Zi , ãäå Yi = Xi Yi = 1, 000 Zi = 0 Zi = Xi − 1, 000 åñëè Xi < 1, 000 åñëè Xi ≥ 1, 000 è (ðàñïðåäåëåíèå èñêîâ ñòðàõîâùèêà) åñëè Xi < 1, 000 (ðàñïðåäåëåíèå åñëè Xi ≥ 1, 000 èñêîâ ïåðåñòðàõîâùèêà) 174 Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïåðåñòðàõîâùèêà îáùèé ñóììàðíûé èñê ïðåäñòàâëÿåò ñëåäóþùóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó: SR = Z1 + Z2 + ... + ZN ñ îáîáùåííûì ðàñïðåäåëåíèåì Ïóàññîíà, â êîòîðîì êàæäàÿ âåëè÷èíà Zi èìååò ðàñïðåäåëåíèå, äàííîå âûøå. Ïðåìèè äëÿ ïåðåñòðàõîâùèêà ðàâíû 1.3E[SR ], ãäå E[SR ] = E[Z]E[N ] = µE[Z] Z∞ (x − 1, 000) E[Z] = 3 ∗ 1, 0003 dx (1, 000 + x)4 1,000 Ïîëîæèì u = x − 1, 000 â ýòîì èíòåãðàëå: Z∞ E[Z] = 3 ∗ 1, 0003 u du = (2, 000 + u)4 1, 000 2, 000 0 3 Z∞ 3 ∗ 2, 0003 du u (2, 000 + u)4 0 Ïîñëåäíèé èíòåãðàë åñòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Pareto( 3, 2, 000) ðàñïðåäåëåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæåì çàïèñàòü: 3 1 2000 = 125 E[Z] = ∗ 2 3−1 Òîãäà: E[SR ] = 125µ Ñëåäîâàòåëüíî, ïðåìèè ïåðåñòðàõîâùèêà ðàâíû 162.5µ. Èòàê, îæèäàåìàÿ ïðèáûëü ñòðàõîâùèêà ðàâíà 600µ − 162.5µ − E[S − SR ], ò.ê. S − SR ýòî âåëè÷èíà âûïëàò ñòðàõîâùèêà ïî èñêàì â ðåçóëüòàòå ïåðåñòðàõîâàíèÿ. Íî E[S − SR ] = E[S] − E[SR ] = 375µ Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì, ÷òî îæèäàåìàÿ ïðèáûëü ñòðàõîâùèêà ðàâíà 62.5µ, è óìåíüøåíèå (â ïðîöåíòíîì ñîîòíîøåíèè) îæèäàåìîé ïðèáûëè áåç ïðèìåíåíèÿ ïåðåñòðàõîâàíèÿ (êîòîðàÿ ðàâíà 100µ) ðàâíî 37.5%. 175 (ii) Òåïåðü ðàññìîòðèì äèñïåðñèþ ïðèáûëè, ñíà÷àëà áåç ïåðåñòðàõîâàíèÿ. Ïðèáûëü ñòðàõîâùèêà ðàâíà ðàçíîñòè ïîëó÷åííûõ ïðåìèé ñ ó÷åòîì íàãðóçêè è âûïëàò ïî èñêàì, òàê ÷òî äèñïåðñèÿ ïðèáûëè (äî ïåðåñòðàõîâàíèÿ) ðàâíà: V ar[S] = 1, 000, 000µ Òîãäà ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå âåëè÷èíû ïðèáûëè ðàâíî √ 1, 000 µ. Ñ ó÷åòîì ïåðåñòðàõîâàíèÿ, ïðèáûëü ñòðàõîâùèêà ðàâíà ðàçíîñòè íàãðóæåííûõ ïðåìèé è íåòòî-âûïëàò ïî èñêàì. Òîãäà, åñëè âåëè÷èíà ñóììàðíûõ íåòòî-âûïëàò ïî èñêàì ðàâíà SI , òî äèñïåðñèÿ ïðèáûëè ðàâíà äèñïåðñèè SI (ò.ê. äðóãèå âûðàæåíèÿ êîíñòàíòû). Çíà÷èò: SI = Y1 + Y2 + ... + YN èìååò åù¼ îäíî ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà. Äèñïåðñèÿ SI ðàâíà V ar[SI ] = µm2 , ãäå m2 = E[Y 2 ] è E[Y 2 ] = 1,000 Z Z∞ 0 1,000 3 ∗ 1, 0003 dx + x2 (1, 000 + x)4 3 1,000 Z = 3 ∗ 1, 000 1, 0002 x2 dx + 3 ∗ 1, 0005 4 (1, 000 + x) 0 3 ∗ 1, 0003 dx = (1, 000 + x)4 1,000 Z 1 dx (1, 000 + x)4 1,000 Âòîðîé èíòåãðàë ðàâåí: ∞ (1, 000 + x)−3 1 = −3 3 ∗ 2, 0003 1,000 Äëÿ ïåðâîãî èíòåãðàëà ïîëîæèì u=1,000+x è ïîëó÷èì: 2,000 Z 1,000 2,000 (u − 1, 000)2 1 1, 000 1, 000, 000 1 du = − + − = 4 2 3 u u u 3u 24, 000 1,000 176 Îòñþäà ïîëó÷àåì E[Y 2 ]: E[Y 2 ] = 3 ∗ 1, 0003 3 ∗ 1, 0005 + = 250, 000 24, 000 3 ∗ 2, 0003 Îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò: V ar[SI ] = 250, 000µ, ñðåäíåêâàäðà√ òè÷íîå îòêëîíåíèå ðàâíî 500 µ. Òàêèì îáðàçîì, óìåíüøåíèå (â ïðîöåíòíîì ñîîòíîøåíèè) ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ ðàâíî 50%. Ðåøåíèå 5.20 Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè âåðîÿòíîñòè âûèãðûøåé çà îäèí ãîä, âîñïîëüçóåìñÿ ðåøåíèåì ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà. Åäèíñòâåííîå îòëè÷èå ñîñòîèò â òîì, ÷òî "ïàðàìåòð âûèãðûøà"óâåëè÷èòñÿ â 12 ðàç, òàê ÷òî: λ = 12, 000/15, 000. Ñëåäîâàòåëüíî: pS (0) = e−λ = e−12,000/15,000 = 0.4493 pS (50) = λpX (50)pS (0) = (12, 000/15, 000) ∗ (15/16) ∗ 0.4493 = 0.3370 pS (100) = λ [pX (50)pS (50) + 2pX (100)pS (0)] = 0.1488 2 λ [pX (50)pS (100) + 2pX (100)pS (50) + 0] = 0.0484 3 Òîãäà: P (S ≥ 200) = 1 − 0.4493 − 0.3370 − 0.1488 − 0.0484 = 0.0165. pS (150) = Èòàê, âåðîÿòíîñòè ðàâíû: (a) 44.9% (b) 33.7% (c) 14.9% (d) 4.8% Ðåøåíèå 5.21 Äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà: pN (n) λ = pN (n − 1) n Òàêèì îáðàçîì, a = 0, b = λ. 177 (e) 1.7% Äëÿ ãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, êîãäà k = 1): pN (n) = pq n /pq n−1 = q pN (n − 1) Òàêèì îáðàçîì, a = q, b = 0. Äëÿ áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ: pN (n) = pN (n − 1) m n m−n p q n = m n−1 q m−n+1 p n−1 (n − 1)!(m − n + 1)! p m! = = n!(m − n)! m! q m+1 p = −1 + n q m−n+1 n p = q Òàêèì îáðàçîì, a = − pq , b = (m+1)p . q Ðåøåíèå 5.22 Îòíîøåíèå âåðîÿòíîñòíûõ ôóíêöèé íà äâóõ ñîñåäíèõ çíà÷åíèÿõ (äëÿ n = 1, 2, ...) ðàâíî: 1 (2n)! pN (n) = 3n+1/2 pN (n − 1) 2 n!2 1 23n−2 2 (2n)! (n − 1)!2 (2n − 2)! = = 1 23n+1/2 (2n − 2)! n!2 23n−2 2 (n − 1)!2 1 1 1 1 1 ∗ 2n(2n − 1) ∗ 2 = − 8 n 2 4n b Ïîëó÷èëè âûðàæåíèå âèäà a + n , ãäå a = 1/2, b = −1/4. = Ñðàâíèâàÿ ýòè çíà÷åíèÿ ñî çíà÷åíèÿìè èç òàáëèöû, ìû âèäèì, ÷òî äàííîå ðàñïðåäåëåíèå ñîîòâåòñòâóåò îòðèöàòåëüíîìó áèíîìèàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ (åäèíñòâåííîå ðàñïðåäåëåíèå, êîòîðîå èìååò ïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå a è íåíóëåâîå b) ñ ïàðàìåòðàìè p = q = 1/2, k = 1/2. (×òîáû ïðîâåðèòü, äåéñòâèòåëüíî ëè ýòî îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, ìû äîëæíû ïðîâåðèòü çíà÷åíèå pN (0) è ñðàâíèòü åãî ñ íîðìèðóþùåé ïîñòîÿííîé.) 178 Ðåøåíèå 5.23 Äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà a = 0, b = λ. Ñëåäîâàòåëüíî: a+b 0+λ E[N ] = = =λ X 1−a 1−0 Äëÿ îòðèöàòåëüíîãî áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ a = q, b = (k − 1)q . Ñëåäîâàòåëüíî: a+b q + (k − 1)q kq = = X 1−a 1−q p Äëÿ ãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ a = q, b = 0. Ñëåäîâàòåëüíî: E[N ] = E[N ] = a+b q+0 q = = 1−a 1−q p X Äëÿ áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ a = − pq , b = (m+1)p . q Ñëåäîâàòåëüíî: a+b E[N ] = = 1−a p (m + 1)p − + q q p 1+ q mp = q q+p q = mp X Ðåøåíèå 5.24 Íà÷íåì ñ òîãî, ÷òî G0N (t) = a+b 1 − at GN (t) Äèôôåðåíöèðóÿ ïî t, ïîëó÷èì: G00N (t) = Ïîëîæèì t = 1: a(a + b) GN (t) + (1 − at)2 a+b 1 − at G0N (t) 2 a+b (1 − a) 1−a Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó äëÿ âûðàæåíèÿ äèñïåðñèè ÷åðåç ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ âåðîÿòíîñòåé, óïðîùàÿ, ïîëó÷èì: a(a + b) + G00N (1) = 2 V ar[N ] = G00N (1) + G0N (1) − [G0N (1)]2 = 2 2 a(a + b) a+b a+b a+b a+b = + + − = 2 (1 − a) 1−a 1−a 1−a (1 − a)2 179 Ðåøåíèå 5.25 Èñïîëüçóÿ ðåêóðñèâíóþ ôîðìóëó, ïîëó÷èì: pS (0) = pk = 0.42 = 0.16 1 pS (1) = q 1 + pX (1)pS (0) = 0.6 ∗ 2 ∗ 0.4 ∗ 0.16 = 0.0768 1 1 2 pS (2) = q 1 + pX (1)pS (1) + q 1 + pX (2)pS (0) = 2 2 3 = 0.6 ∗ ∗ 0.4 ∗ 0.0768 + 0.6 ∗ 2 ∗ 0.6 ∗ 0.16 = 0.1428 2 Ðåøåíèå 5.26 Äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî ñ ïàðàìåòðàìè 4 è 3 ïîëó÷èì m1 = 1 è m2 = 3. (i) Åñëè λ = 10, èñïîëüçóÿ ñòàíäàðòíûå ôîðìóëû, ñðåäíåå è äèñïåðñèÿ S ðàâíû 10 è 30 ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà x − 10 x − 10 P (S ≤ x) + P (N (10, 30) ≤ x) = P N (0, 1) ≤ √ =Φ 5.477 30 (a) Èç Òàáëèöû ïîëó÷àåì çíà÷åíèå Φ(1.645) = 0.95. Òàêèì îáðàçîì: x − 10 = 1.645 5.477 Ïîëó÷àåì x = 19.01. (b) Ò.ê. Φ(2.326) = 0.99, àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì: x − 10 = 2.326 5.477 Íàõîäèì x = 22.74. (ii) Äëÿ λ = 50 èñïîëüçóåì òîò æå ñàìûé ñïîñîá äëÿ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèÿ x. Ñðåäíåå è äèñïåðñèÿ S ðàâíû 50 è 150 ñîîòâåòñòâåííî. (a) (b) x − 50 √ = 1.645 150 ⇒ x = 70.15 x − 50 √ = 2.326 150 ⇒ x = 78.49 180 Ðåøåíèå 5.27 k -ûé ìîìåíò Gamma (α, λ)-ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâåí: k Z∞ E[X ] = xk λα α−1 −λx x e dx = Γ(α) 0 1 Γ(α + k) = k λ Γ(α) Z∞ xk λα+k xα−1 e−λx dx = Γ(α + k) 0 1 Γ(α + k) 1 Γ(α + k) P (0 < Gamma(α + k, λ) < ∞) = k k λ Γ(α) λ Γ(α) Ñëåäîâàòåëüíî: = skew[Xi ] = E[Xi3 ] − 3E[Xi2 ]E[Xi ] + 2E[Xi ]3 = 3 1 Γ(α + 3) 1 Γ(α + 2) 1 Γ(α + 1) 1 Γ(α + 1) = = 3 −3 2 +2 λ Γ(α) λ Γ(α) λ Γ(α) λ Γ(α) α 3 (α + 2)(α + 1)α (α + 1)α α = − 3 + 2 = λ3 λ2 λ λ α3 + 3α2 + 2α − 3α3 − 3α2 + 2α3 2α = = 3 3 λ λ Ðåøåíèå 5.28 Ñíà÷àëà âû÷èñëèì m3 , òðåòèé öåíòðàëüíûé ìîìåíò âåëè÷èíû Xi . Îí âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå: 3 Z∞ E[X ] = 4 ∗ 34 dx x (3 + x)5 3 0 Ðàññìîòðèì ýòîò èíòåãðàë â êà÷åñòâå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè âåðîÿòíîñòåé îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî ñ ïàðàìåòðàìè k = 4, λ = 3 è α = 1. À òàêæå ó÷òåì, ÷òî: Z∞ Γ(5) 3x3 dx = 1 Γ(1)Γ(4) (3 + x)5 0 Òàêèì îáðàçîì: E[X 3 ] = Γ(1)Γ(4) ∗ 4 ∗ 34 = 27 Γ(5) ∗ 3 181 (i) Åñëè λ = 10, òî óðàâíåíèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïàðàìåòðîâ ñìåùåííîãî ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ èìåþò âèä: 2α = 270 λ3 α = 30 λ2 α + k = 10 λ Ðåøàÿ ñèñòåìó èç òðåõ óðàâíåíèé, ïîëó÷èì: α = 1.481 λ = 0.222 k = 3.333 Ò.ê. 2α = 2.962 + 3, òî 2λ(S − k) èìååò ïðèáëèæåííî χ23 ðàñïðåäåëåíèå. Òîãäà P (S ≤ x) = P (2λ(S − k) ≤ 2λ(x − k)) + + P (χ23 ≤ 0.444(x − 3.333)) (a) Èç Òàáëèöû ïîëó÷èì P (χ23 ≤ 7.815) = 0.95, òîãäà 0.444(x − 3.333) = 7.815. Èç ýòîãî âûðàæåíèÿ íàõîäèì çíà÷åíèå x = 20.93. (b) Àíàëîãè÷íî: P (χ23 < 11.34) = 0.99 Ñëåäîâàòåëüíî, 0.444(x − 3.333) = 11.34 è x = 28.87. (ii) Åñëè λ = 50, óðàâíåíèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïàðàìåòðîâ ñìåùåííîãî ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ èìåþò âèä: 2α = 1350 λ3 α = 150 λ2 α + k = 50 λ Ðåøàÿ ñèñòåìó èç òðåõ óðàâíåíèé, ïîëó÷èì: α = 7.407 λ = 0.222 k = 16.67 Â ýòîì ñëó÷àå 2α = 14.814, è çíà÷èò, ðàñïðåäåëåíèå 2λ(S −k) ðàñïîëîæåíî ìåæäó χ214 ðàñïðåäåëåíèåì è χ215 ðàñïðåäåëåíèåì. Èç Òàáëèöû ïîëó÷èì çíà÷åíèÿ: P (χ214 ≤ 23.68) = 0.95 P (χ214 ≤ 29.14) = 0.99 P (χ215 ≤ 25.00) = 0.95 P (χ215 ≤ 30.31) = 0.99 Èñïîëüçóÿ ëèíåéíóþ èíòåðïîëÿöèþ: P (2λ(S − k) ≤ 24.75) + 0.95 182 P (2λ(S − k) ≤ 30.31) + 0.99 ò.ê. P (S ≤ x) + P (2λ(S − k) ≤ 2λ(x − k)), ïîëó÷èì: 2λ(x − k) = 24.75 ⇒ x = 72.41 è 2λ(x − k) = 30.31 ⇒ x = 84.94 Çàêëþ÷åíèå ÷àñòè III Îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå åñòü ñóììà ñëó÷àéíîãî ÷èñëà íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Êîíêðåòíûå ïðèìåðû îáîáùåííûõ ðàñïðåäåëåíèé âêëþ÷àþò â ñåáÿ îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà, îáîáùåííûå áèíîìèàëüíîå, îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå è ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèÿ. Äëÿ îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî íàéòè âûðàæåíèÿ äëÿ ìîìåíòîâ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ. Âåëè÷èíà ñóììàðíîãî èñêà äëÿ ñòðàõîâîãî ïîðòôåëÿ ìîæåò áûòü îïèñàíà, èñïîëüçóÿ ìîäåëü èíäèâèäóàëüíîãî ðèñêà èëè ìîäåëü êîëëåêòèâíîãî ðèñêà. Ìîäåëü èíäèâèäóàëüíîãî ðèñêà ðàññìàòðèâàåò âûïëàòû ïî êàæäîìó ïîëèñó (ðèñêó). À ìîäåëü êîëëåêòèâíîãî ðèñêà ðàññìàòðèâàåò âûïëàòû ïî êàæäîìó èñêó. Åñëè âåëè÷èíà èñêîâ ïðèíèìàåò äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ, äëÿ íàõîæäåíèÿ âåðîÿòíîñòíîé ôóíêöèè ñóììàðíîãî èñêà ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà ðåêóðñèâíàÿ ôîðìóëà. Ìåòîä ìîìåíòîâ èñïîëüçóåòñÿ äëÿ àïïðîêñèìàöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû ñóììàðíîãî èñêà íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì èëè ñìåùåííûì ãàììà-ðàñïðåäåëåíèåì. 183 ×àñòü IV 184 Ãëàâà 7 Îñíîâû òåîðèèÒåîðèÿ ðàçîðåíèÿ 1 Ââåäåíèå Ó÷òåì, ÷òî f(x) ìàëà â îêðåñòíîñòè íóëÿ, ïîýòîìó f (x) =0 x→0 x lim Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ Óñëîâíûå îáîçíà÷åíèÿ Â ïðåäûäóùåé ÷àñòè áûëè èçó÷åíû ñóììàðíûå èñêè, ïîðîæäåííûå ñòðàõîâûì ïîðòôåëåì â îòäåëüíûé ïåðèîä âðåìåíè. Â àêòóàðíîé ëèòåðàòóðå ñëîâî "ðèñê"÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ âìåñòî ôðàçû ïîðòôåëü ïîëèñîâ. Â ýòîé ÷àñòè áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ îáà òåðìèíà, òàê ÷òî ïîä "ðèñêîì"áóäåò ïîäðàçóìåâàòüñÿ ëèáî îòäåëüíûé ïîëèñ, ëèáî ñîâîêóïíîñòü ïîëèñîâ. Çäåñü ìû ïåðåéäåì ê ñëåäóþùåìó ýòàïó èçó÷åíèÿ è áóäåì ðàññìàòðèâàòü èñêè, ïîðîæäåííûå ïîðòôåëåì â ïîñëåäîâàòåëüíûå ïåðèîäû âðåìåíè. Íàì ïîíàäîáÿòñÿ íåêîòîðûå óñëîâíûå îáîçíà÷åíèÿ. N (t) ÷èñëî èñêîâ, ïîðîæäåííûõ ïîðòôåëåì âî âðåìåííîì èíòåðâàëå [0, t], äëÿ âñåõ t ⩾ 0. Xi âåëè÷èíà i-îãî èñêà, i = 1, 2, 3, . . . S(t) ñóììàðíûå èñêè âî âðåìåííîì èíòåðâàëå [0, t], äëÿ âñåõ t ⩾ 0. {Xi }∞ i=1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. {N (t)}t⩾0 è {S(t)}t⩾0 ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, äëÿ êàæäîé èç 185 êîòîðûõ t ⩾ 0; äðóãèìè ñëîâàìè, {N (t)}t⩾0 è {S(t)}t⩾0 ñëó÷àéíûå ïðîöåññû. Ëåãêî óâèäåòü, ÷òî S(t) = N (t) P Xi , i=1 ó÷èòûâàÿ, ÷òî S(t) ðàâíî íóëþ, åñëè N (t) ðàâíî íóëþ. Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ {S(t)}t⩾0 , ïî îïðåäåëåíèþ, èçâåñòåí êàê ïðîöåññ ñóììàðíûõ èñêîâ äëÿ ðèñêà. Ñëó÷àéíûå ïåðåìåííûå N (1) è S(1) ïîêàçûâàþò ÷èñëî èñêîâ è ñóììàðíûå èñêè ñîîòâåòñòâåííî äëÿ äàííîãî ïîðòôåëÿ â ïåðâóþ åäèíèöó âðåìåíè. Ýòè äâå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñîîòíîñÿòñÿ ñî ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè N è S ñîîòâåòñòâåííî, ââåäåííûìè â Ãëàâå 3. Ñòðàõîâùèê ýòîãî ïîðòôåëÿ áóäåò ïîëó÷àòü ïðåìèè îò äåðæàòåëåé ïîëèñà. Íà ïðîòÿæåíèè âñåé ýòîé ÷àñòè ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ïðåìèè ïîñòóïàþò íåïðåðûâíî è ñ ïîñòîÿííîé èíòåíñèâíîñòüþ. Ïóñòü c− èíòåíñèâíîñòü ïðåìèàëüíîãî äîõîäà â åäèíèöó âðåìåíè, òàê ÷òî ñîâîêóïíûé ïðåìèàëüíûé äîõîä, ïîëó÷åííûé â èíòåðâàë [0, t] ðàâåí ct. Êðîìå òîãî, ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî c ñòðîãî ïîëîæèòåëüíà. 2 Ïðîöåññ ôîðìèðîâàíèÿ ôîíäà ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ Äîïóñòèì, ÷òî â ìîìåíò 0 ñòðàõîâùèê èìååò íåêîòîðóþ ñóììó äåíåã, îòëîæåííóþ äëÿ äàííîãî ïîðòôåëÿ. Ýòà ñóììà äåíåã íàçûâàåòñÿ íà÷àëüíûé ôîíä ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ (îñòàòîê) è îáîçíà÷àåòñÿ U . Â äàëüíåéøåì äëÿ êðàòêîñòè áóäåì íàçûâàòü ýòîò ôîíä êàïèòàëîì. Âñåãäà ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî U ⩾ 0. Ñòðàõîâùèê íóæäàåòñÿ â ýòîì íà÷àëüíîì îñòàòêå, ïîòîìó ÷òî áóäóùèå äîõîäû îò ïðåìèé ìîãóò áûòü íå äîñòàòî÷íû, ÷òîáû ïîêðûòü áóäóùèå èñêè. Êàïèòàë ñòðàõîâùèêà â ëþáîé áóäóùèé ìîìåíò t(> 0) ýòî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, òàê êàê åãî çíà÷åíèå çàâèñèò îò ïðàêòèêè âûïëàòû ñòðàõîâûõ âîçìåùåíèé ê ìîìåíòó âðåìåíè t. Çíà÷åíèå êàïèòàëà â ìîìåíò âðåìåíè t îáîçíà÷àåòñÿ U (t). Ìîæíî çàïèñàòü äëÿ U (t) ñëåäóþùóþ ôîðìóëó: U (t) = U + ct − S(t) Èíûìè ñëîâàìè, êàïèòàë ñòðàõîâùèêà â ìîìåíò âðåìåíè t ýòî íà÷àëüíûé îñòàòîê ïëþñ ïðåìèàëüíûé äîõîä ê ìîìåíòó t ìèíóñ ñóììàðíûå èñêè ê ýòîìó ìîìåíòó. Çàìåòèì, ÷òî íà÷àëüíûé îñòàòîê è ïðåìèàëüíûé äîõîä íå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, òàê êàê îíè îïðåäåëÿþòñÿ äî íà÷àëà ïðîöåññà ðèñêà. Âûøåóêàçàííàÿ ôîðìóëà îáîñíîâàíà äëÿ t ⩾ 0, ñ ó÷åòîì 186 òîãî, ÷òî U (0) = U . Äëÿ äàííîãî çíà÷åíèÿ t, U (t) ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ïîòîìó ÷òî S(t) ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Ñëåäîâàòåëüíî, {U (t)}t⩾0 ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, êîòîðûé èçâåñòåí êàê ïðîöåññ äâèæåíèÿ äåíåæíûõ ñðåäñòâ èëè ïðîöåññ ôîðìèðîâàíèÿ ôîíäà ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ. Ðèñóíîê 1 ïîêàçûâàåò îäèí èç âîçìîæíûõ ðåçóëüòàòîâ òàêîãî ïðîöåññà. Èñêè ïðîèñõîäÿò â ìîìåíòû âðåìåíè T1 , T2 , T3 , è T4 è â ýòè ìîìåíòû êàïèòàë íåïîñðåäñòâåííî ïîíèæàåòñÿ íà âåëè÷èíó èñêà. Ìåæäó èñêàìè êàïèòàë âîçðàñòàåò ñ ïîñòîÿííîé èíòåíñèâíîñòüþ c â åäèíèöó âðåìåíè. Ìîäåëü, èñïîëüçóåìàÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ êàïèòàëà ñòðàõîâùèêà, âêëþ÷àåò â ñåáÿ ìíîæåñòâî óïðîùåíèé, êàê è ëþáàÿ äðóãàÿ ìîäåëü êîìïëåêñíîé ðåàëüíîé îïåðàöèè. Íåêîòîðûå âàæíûå óïðîùåíèÿ ñîñòîÿò â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî èñêè îïëà÷èâàþòñÿ ñðàçó, êàê òîëüêî ïðîèñõîäÿò, è ÷òî êàïèòàë ñòðàõîâùèêà íå ïóñêàåòñÿ â îáîðîò äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðîöåíòîâ. Íåñìîòðÿ íà ñâîþ ïðîñòîòó, ýòà ìîäåëü ìîæåò äàòü ñîäåðæàòåëüíîå ïîíèìàíèå ìàòåìàòèêè ñòðàõîâîé îïåðàöèè. P uc.1 V (t) 6 U - T1 2.1 T2 T3 T4 t Âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ â íåïðåðûâíîé ìîäåëè Èç Ðèñóíêà 1 âèäíî, ÷òî êàïèòàë ñòðàõîâùèêà îïóñêàåòñÿ íèæå íóëÿ â ðåçóëüòàòå èñêà, ïðîèçîøåäøåãî â ìîìåíò T3 . Ãîâîðÿ îáùèìè ñëîâàìè, â òîò ìîìåíò, êîãäà êàïèòàë îïóñòèòñÿ íèæå íóëÿ, äåíüãè ñòðàõîâùèêà èññÿêíóò, è ãîâîðÿò, ÷òî íàñòóïèò ðàçîðåíèå. Â ýòîé óïðîùåííîé ìîäåëè, ñòðàõîâùèê õî÷åò ñäåëàòü âåðîÿòíîñòü ýòîãî ñîáûòèÿ, òî åñòü âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ, íàñòîëüêî ìàëåíüêîé, íàñêîëüêî ýòî âîçìîæíî, èëè, ïî êðàéíåé ìåðå, íèæå íåêîòîðîé çàðàíåå îïðåäåëåííîé âåëè÷èíû. Ãîâîðÿ åùå áîëåå îáùèì ÿçûêîì, ðàçîðåíèå ìîæåò ïîíèìàòüñÿ â çíà÷åíèè áàíêðîòñòâà, õîòÿ, íà ïðàêòèêå, îïðåäåëåíèå, ÿâëÿåòñÿ ëè ñòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ áàíêðîòîì èëè íåò, î÷åíü ñëîæíàÿ ïðîáëåìà. Äðóãîé ñïîñîá ðàññìîòðåíèÿ âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ ýòî ïðåäñòàâèòü åå, êàê âåðîÿò187 íîñòü òîãî, ÷òî, â íåêîòîðûé áóäóùèé ìîìåíò âðåìåíè, ñòðàõîâîé êîìïàíèè áóäåò íóæíî ïðåäîñòàâèòü áîëüøåå ñîñòîÿíèå, ÷òîáû ôèíàíñèðîâàòü îïðåäåëåííûé ñòðàõîâîé ïîðòôåëü. Äàäèì áîëåå òî÷íîå îïðåäåëåíèå. Ñëåäóþùèå äâå âåðîÿòíîñòè îïðåäåëÿþòñÿ òàê: ψ(U ) = P [U (t) < 0, äëÿ íåêîòîðûõ t, 0 < t < ∞] ψ(U, t) = P [U (τ ) < 0, äëÿ íåêîòîðûõ τ, 0 < τ < t]. ψ(U ) ýòî âåðîÿòíîñòü îêîí÷àòåëüíîãî ðàçîðåíèÿ (ñ äàííûì íà÷àëüíûì îñòàòêîì U ) è ψ(U, t) âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ â ìîìåíò âðåìåíè t (ñ äàííûì íà÷àëüíûì îñòàòêîì U ). Ê ýòèì âåðîÿòíîñòÿì èíîãäà îòíîñÿòñÿ, êàê ê âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ çà íåîãðàíè÷åííûé ïåðèîä âðåìåíè è âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ çà îãðàíè÷åííûé ïåðèîä âðåìåíè. Ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî âàæíûõ ëîãè÷åñêèõ îòíîøåíèé ìåæäó ýòèìè âåðîÿòíîñòÿìè äëÿ 0 < t1 ⩽ t2 < ∞ è äëÿ 0 ⩽ U1 ⩽ U2 : ψ(U2 , t) ⩽ ψ(U1 , t) (7.0) ψ(U2 ) ⩽ ψ(U1 ) (7.0) ψ(U, t1 ) ⩽ ψ(U, t2 ) ⩽ ψ(U ) (7.0) lim ψ(U, t) = ψ(U ) (7.0) t→∞ Èíòóèòèâíûå îáúÿñíåíèÿ äëÿ ýòèõ ôîðìóë: Äëÿ áîëüøåãî íà÷àëüíîãî îñòàòêà ìåíåå âåðîÿòíî, ÷òî ðàçîðåíèå ïðîèçîéäåò çà êîíå÷íûé ïåðèîä âðåìåíè, ñëåäîâàòåëüíî, (2.1) èëè çà áåñêîíå÷íûé ïåðèîä âðåìåíè, ñëåäîâàòåëüíî, (2.1). Äëÿ äàííîãî íà÷àëüíîãî îñòàòêà U , äëÿ áîëåå äîëãîãî ïåðèîäà ðàññìîòðåíèÿ íàèáîëåå âåðîÿòíî, ÷òî ïðîèçîéäåò ðàçîðåíèå, îòñþäà (2.1). Íàêîíåö, âåðîÿòíîñòü îêîí÷àòåëüíîãî ðàçîðåíèÿ ìîæåò áûòü ïðèáëèçèòåëüíî íàéäåíà ñ ïîìîùüþ âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ çà êîíå÷íûé ïåðèîä âðåìåíè t, ïðè óñëîâèè, ÷òî t äîñòàòî÷íî áîëüøîå, ïîýòîìó (2.1). 2.2 Âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ â äèñêðåòíîé ìîäåëè Äâå âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ, ðàññìàòðèâàåìûå äî ýòîãî ìîìåíòà, ÿâëÿþòñÿ âåðîÿòíîñòÿìè äëÿ íåïðåðûâíîé ìîäåëè, íàçûâàåìûå òàê ïîòîìó, ÷òî îíè êîíòðîëèðóþò ðàçîðåíèå íåïðåðûâíî. Íà ïðàêòèêå, ìîæåò áûòü âîçìîæíûì (èëè äàæå æåëàòåëüíûì) êîíòðîëèðîâàòü ðàçîðåíèå òîëüêî â äèñêðåòíûå èíòåðâàëû âðåìåíè. 188 Äëÿ äàííîãî èíòåðâàëà âðåìåíè, îáîçíà÷åííîãî h, îïðåäåëåíû ñëåäóþùèå äâå âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ äëÿ äèñêðåòíîé ìîäåëè: ψh (U ) = P [U (t) < 0, äëÿ íåêîòîðûõ t, t = h, 2h, 3h, . . .] ψh (U, t) = P [U (τ ) < 0, äëÿ íåêîòîðûõ τ, τ = h, 2h, 3h, . . . , t − h, t]. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ óäîáñòâà îïðåäåëåíèÿ ψh (U, t) ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî t êðàòíî h. Ðèñóíîê 2 ïîêàçûâàåò òàêóþ æå ðåàëèçàöèþ ïðîöåññà ôîðìèðîâàíèÿ êàïèòàëà, êàê è èçîáðàæåííàÿ íà Ðèñóíêå 1, íî ñ ïðåäïîëîæåíèåì, ÷òî ýòîò ïðîöåññ êîíòðîëèðóåòñÿ òîëüêî â äèñêðåòíûå âðåìåííûå èíòåðâàëû. ×åðíûå ìåòêè ïîêàçûâàþò çíà÷åíèÿ ïðîöåññà â öåëûå âðåìåííûå èíòåðâàëû (òî åñòü h = 1); ÷åðíûå ìåòêè âìåñòå ñ áåëûìè ïîêàçûâàþò çíà÷åíèÿ ïðîöåññà â èíòåðâàëû äëèííîé 21 . P uc.2 6 t=h t = 2h t = 3h t = 4h t = 5h - Èç Ðèñóíêà 2 ìîæíî óâèäåòü, ÷òî â äèñêðåòíûõ ìîìåíòàõ ñ h = 1, äëÿ ýòîé ðåàëèçàöèè ïðîöåññà ðàçîðåíèÿ íå ïðîèçîéäåò äî ìîìåíòà 5, à äëÿ äèñêðåòíûõ ìîìåíòîâ ñ h = 12 ðàçîðåíèå ïðîèçîéäåò (â ìîìåíò 2 12 ). Íèæå ïåðå÷èñëåíû ïÿòü îòíîøåíèé ìåæäó ðàçëè÷íûìè äèñêðåòíûìè âåðîÿòíîñòÿìè ðàçîðåíèÿ äëÿ 0 ⩽ U1 ⩽ U2 è äëÿ 0 ⩽ t1 ⩽ t2 < ∞. Ôîðìóëû (2.2), (2.2), (2.2) è (2.2) äèñêðåòíûå âåðñèè ôîðìóë (2.1), (2.1), (2.1) è (2.1) è èõ èíòóèòèâíûå îáúÿñíåíèÿ ïîõîæè. Èíòóèòèâíîå îáúÿñíåíèå ôîðìóëû (2.2) îòîáðàæåíî íà Ðèñóíêå 2. ψh (U2 , t) ⩽ ψh (U1 , t) (7.0) ψh (U2 ) ⩽ ψh (U1 ) (7.0) ψh (U, t1 ) ⩽ ψh (U, t2 ) ⩽ ψh (U ) (7.0) lim ψh (U, t) = ψh (U ) (7.0) ψh (U, t) ⩽ ψ(U ) (7.0) t→∞ 189 Èíòóèòèâíî îæèäàåòñÿ, ÷òî ñëåäóþùèå äâà îòíîøåíèÿ âåðíû, òàê êàê âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ â íåïðåðûâíîé ìîäåëè ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü âåðîÿòíîñòüþ ðàçîðåíèÿ äèñêðåòíîé ìîäåëè, ñ òàêèì æå íà÷àëüíûì îñòàòêîì U è âðåìåííûì ãîðèçîíòîì t, ïðè óñëîâèè, ÷òî ðàçîðåíèå êîíòðîëèðóåòñÿ äîñòàòî÷íî ÷àñòî, òî åñòü ÷òî h äîñòàòî÷íî ìàëî. lim ψh (U, t) = ψ(U, t) (7.0) lim ψh (U ) = ψ(U ) (7.0) h→0+ h→0+ Ôîðìóëû (2.2) è (2.2) âåðíû, íî èõ äîêàçàòåëüñòâà äîâîëüíî ãðîìîçäêè è íå áóäóò ïðèâîäèòüñÿ çäåñü. Äî ñèõ ïîð íå áûëî ñäåëàíî íèêàêèõ ïðåäïîëîæåíèé îòíîñèòåëüíî ðàñïðåäåëåíèÿ S(t). Ñäåëàâ ýòè ïðåäïîëîæåíèÿ, ìîæíî ïîëó÷èòü áîëåå äåòàëüíûå ðåçóëüòàòû, â îòëè÷èå îò î÷åíü îáùèõ ðåçóëüòàòîâ, ïðåäñòàâëåííûõ â ýòîì ïàðàãðàôå. Òàêèå ïðåäïîëîæåíèÿ ñäåëàíû â ñëåäóþùåì ðàçäåëå. 3 Ïóàññîíîâñêèé è îáîáùåííûé ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññû 3.1 Ââåäåíèå Â ýòîì ðàçäåëå áóäóò ñäåëàíû íåêîòîðûå ïðåäïîëîæåíèÿ î ñëó÷àéíîì ïðîöåññå ÷èñëà èñêîâ {N (t)}t⩾0 è ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èñêîâûõ âåëè÷èí {Xi }∞ i=1 . Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ÷èñëà èñêîâ ìîæåò, ïðåäïîëîæèòåëüíî, áûòü ïóàññîíîâñêèì ïðîöåññîì, âåäóùèì ê îáîáùåííîìó ïóàññîíîâñêîìó ïðîöåññó {S(t)}t⩾0 äëÿ ñóììàðíûõ èñêîâ. Ïðåäïîëîæåíèÿ, ñäåëàííûå â ýòîì ðàçäåëå, ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ íà íà âñþ ãëàâó â öåëîì. 3.2 Ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ Ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ ýòî ïðèìåð âû÷èñëèòåëüíîãî ïðîöåññà. Çäåñü íàñ èíòåðåñóåò êîëè÷åñòâî èñêîâ, âîçíèêàþùèõ äëÿ êàêîãî-ëèáî ðèñêà. Òàê êàê êîëè÷åñòâî èñêîâ ïîäñ÷èòûâàåòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè, ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ÷èñëà èñêîâ {N (t)}t⩾0 äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: i) N (0) = 0, òî åñòü â ìîìåíò 0 èñêîâ íå áóäåò ii) äëÿ ëþáîãî t > 0, N (t) äîëæíî èìåòü öåëîå çíà÷åíèå 190 iii) åñëè s < t, òî N (s) ⩽ N (t), òî åñòü ÷èñëî èñêîâ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè íå óáûâàåò iv) åñëè s < t, òî N (t) − N (s) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷èñëî èñêîâ, ïðîèçîøåäøèõ âî âðåìåííîì èíòåðâàëå (s, t). Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ {N (t)}t⩾0 ÿâëÿåòñÿ ïóàññîíîâñêèì ïðîöåññîì ñ ïàðàìåòðîì λ, åñëè îí óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: i) N (0) = 0, è N (s) ⩽ N (t) ïðè s < t ii) P [N (t + h) = r|N (t) = r] = 1 − λh + o(h) P [N (t + h) = r + 1|N (t) = r] = λh + o(h) P [N (t + h) > r + 1|N (t) = r] = o(h) iii) ïðè s < t ÷èñëî èñêîâ â èíòåðâàëå (s, t] íå çàâèñèò îò ÷èñëà èñêîâ ê ìîìåíòó s. Óñëîâèå (ii) óòâåðæäàåò, ÷òî â î÷åíü êîðîòêèé èíòåðâàë äëèíû h âîçìîæíîå ÷èñëî èñêîâ ýòî òîëüêî íîëü èëè îäèí. Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèå (ii) òàêæå ïîäðàçóìåâàåò, ÷òî ÷èñëî èñêîâ â èíòåðâàëå äëèíû h íå çàâèñèò îò òîãî, â êàêîé ìîìåíò ìû ýòîò èíòåðâàë ðàññìàòðèâàåì. Ïðè÷èíà, ïî êîòîðîé ïðîöåññ, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿì (i) è (iii) íàçûâàåòñÿ ïóàññîíîâñêèì ïðîöåññîì, çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî äëÿ ôèêñèðîâàííîãî çíà÷åíèÿ t, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà N (t) èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λt. Ýòî äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: Ïóñòü pn (t) = P [N (t) = n]. Òîãäà pn (t) = exp(−λt) (λt)n n! (7.0) ÷òî ìîæåò áûòü äîêàçàíî âûâåäåíèåì è ðåøåíèåì äèôôåðåíöèàëüíîðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ. Äëÿ ôèêñèðîâàííîãî çíà÷åíèÿ t > 0 è ìàëîãî ïîëîæèòåëüíîãî çíà÷åíèÿ h, ïîñòàâèì óñëîâèÿ äëÿ ÷èñëà èñêîâ â ìîìåíò t è çàïèøåì pn (t + h) = pn−1 (t)[λh + o(h)] + pn (t)[1 − λh + o(h)] + o(h) = = λhpn−1 (t) + [1 − λh]pn (t) + o(h). Òàêèì îáðàçîì, pn (t + h) − pn (t) = λh[pn−1 (t) − pn (t)] + o(h) 191 (7.0) è ýòî òîæäåñòâî âåðíî äëÿ n = 1, 2, 3, . . . . Òåïåðü ðàçäåëèì (3.2) íà h è óñòðåìèì h ê íóëþ ñâåðõó, ÷òîáû ïîëó÷èòü äèôôåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå d pn (t) = λ[pn−1 (t) − pn (t)] dt (7.0) Ïðè n = 0 òîæäåñòâåííûé àíàëèç ïðèâîäèò ê ðåçóëüòàòó d p0 (t) = −λp0 (t) dt (7.0) Ðåøåíèå äëÿ pn (t) ïîëó÷èì ñ ïîìîùüþ ââåäåíèÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè âåðîÿòíîñòè G(s, t), îïðåäåëåííîé êàê G(s, t) = ∞ X sn pn (t) n=0 Òîãäà ∞ X d d sn pn (t) G(s, t) = dt dt n=0 Äàëåå óìíîæàåì (3.2) íà sn è ñóììèðóåì ïî âñåì çíà÷åíèÿì n, ÷òîáû ïîëó÷èòü ∞ ∞ ∞ X X X n n d pn (t) = λ s pn−1 (t) − λ sn pn (t). s dt n=1 n=1 n=0 Ïðèáàâëÿåì (3.2) ê ýòîìó òîæäåñòâó è èìååì ∞ X n=0 sn ∞ ∞ X X d sn pn (t), pn (t) = λ sn pn−1 (t) − λ dt n=0 n=1 ÷òî ìîæåò áûòü çàïèñàíî êàê d G(s, t) = λsG(s, t) − λG(s, t), dt èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî, 1 d G(s, t) = λ(s − 1) G(s, t) dt (7.0) Òàê êàê ëåâàÿ ÷àñòü (3.2) òî æå ñàìîå, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ ïî t îò log G(s, t), (3.2) ìîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü è íàéòè, ÷òî log G(s, t) = λt(s − 1) + c(s), 192 ãäå c(s) íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ îò s. c(s) ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà èç òåõ ñîîáðàæåíèé, ÷òî ïðè t = 0 p0 (t) = 1 è pn (t) = 0 äëÿ n = 1, 2, 3, . . . . Ñëåäîâàòåëüíî, G(s, 0) = 1 è log G(s, 0) = 0 = c(s). Òàêèì îáðàçîì, G(s, t) = exp{λt(s − 1)}, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λt. Òàê êàê ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ â äàííîì ñëó÷àå äîëæíû áûòü îäèíàêîâûìè, ïîëó÷èì, ÷òî N (t) èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λt. Èçó÷åíèå ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà çàâåðøèì ðàññìîòðåíèåì ðàñïðåäåëåíèåì âðåìåíè äî íà÷àëà ïåðâîãî èñêà è èíòåðâàëàìè ìåæäó èñêàìè. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà T1 îáîçíà÷àåò âðåìÿ ïåðâîãî èñêà. Çàòåì, ôèêñèðóåì ïåðåìåííóþ t. Åñëè ê ìîìåíòó t íå ïðîèçîøëî íè îäíîãî èñêà, òî T1 > t. Ñëåäîâàòåëüíî, P [T1 > t] = P [N (t) = 0] = exp{−λt} è P [T1 ⩽ t] = 1 − exp{−λt}, òî åñòü T1 èìååò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì λ. Ïóñòü äëÿ i = 1, 2, 3, . . ., ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Ti îáîçíà÷àþò âðåìÿ ìåæäó (i − 1)-ûì è i-ûì èñêàìè. Òîãäà P [Tn+1 > t| n X Ti = r] = P [ i=1 n+1 X Ti > t + r| n X i=1 Ti ] i=1 = P [N (t + r) = n|N (r) = n] = P [N (t + r) − N (r) = 0|N (r) = n]. Èç óñëîâèÿ (2.2), P [N (t + r) − N (r) = 0|N (r) = n] = P [N (t + r) − N (r) = 0]. Íàêîíåö, P [N (t + r) − N (r) = 0] = P [N (t) = 0] = exp{−λt}, òàê êàê ÷èñëî èñêîâ âî âðåìåííîì èíòåðâàëå äëèíû r íå çàâèñèò îò òîãî, â êàêîé ìîìåíò íà÷èíàåò ðàññìàòðèâàòüñÿ ýòîò èíòåðâàë (óñëîâèå (ii)). Òàêèì îáðàçîì, èíòåðâàëû ìåæäó ìîìåíòàìè ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèé òàêæå èìåþò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì λ. 193 3.3 Îáîáùåííûé ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ Â ýòîì ðàçäåëå ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ äëÿ ÷èñëà èñêîâ áóäåò ñêîìáèíèðîâàí ñ ðàñïðåäåëåíèåì âåëè÷èíû èñêà, ÷òîáû îïðåäåëèòü îáîáùåííûé ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ äëÿ ïðîöåññà ñóììàðíûõ èñêîâ, êàê ñêàçàíî â ðàçäåëå 1.1. Ñäåëàåì íåñêîëüêî âàæíûõ ïðåäïîëîæåíèé: • ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû {Xi }∞ i=1 íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû • ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû {Xi }∞ i=1 íå çàâèñÿò îò N (t) äëÿ âñåõ t ⩾ 0 • ñëó÷àéíûé ïðîöåññ {N (t)}t⩾0 ýòî ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ ñ ïàðàìåòðîì λ. Êàê áûëî ïîêàçàíî â ðàçäåëå 2.2, ïîñëåäíåå ïðåäïîëîæåíèå îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî t ⩾ 0 ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà N (t) èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λt, òàê ÷òî P [N (t) = k] = exp{−λt} (λt)k k! äëÿ k = 0, 1, 2, . . . Ïðè òàêèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ïðîöåññ ñóììàðíûõ èñêîâ {S(t)}t⩾0 íàçûâàåòñÿ îáîáùåííûì ïóàññîíîâñêèì ïðîöåññîì ñ ïóàññîíîâñêèì ïàðàìåòðîì λ. Ñðàâíèâàÿ ýòè ïðåäïîëîæåíèÿ ñ äàííûìè èç ïðåäûäóùåé ÷àñòè (Ðàçäåëû 1.3 è 2.2), ìîæíî óâèäåòü âçàèìîñâÿçü ìåæäó íèìè: åñëè {S(t)}t⩾0 îáîáùåííûé ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ ñ ïàðàìåòðîì λ, òî, äëÿ ôèêñèðîâàííîãî çíà÷åíèÿ t (t ⩾ 0), S(t) èìååò îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λt. (Çàìåòèì, ÷òî â òåðìèíîëîãèè åñòü íåáîëüøîå èçìåíåíèå: "ïàðàìåòð λ"ñòàíîâèòñÿ "ïàðàìåòðîì λt òî åñòü èçìåíåíèå ïðîöåññà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ è íà ðàñïðåäåëåíèå.) Îáùóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ Xi -ûõ áóäåì îáîçíà÷àòü F (x) è äëÿ îñòàâøåéñÿ ÷àñòè ýòîé ãëàâû ïðåäïîëîæèì, ÷òî F (0) = 0, òàê ÷òî âñå èñêè ÿâëÿþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè âåëè÷èíàìè. Ôóíêöèþ ïëîòíîñòè äëÿ Xi , åñëè îíà ñóùåñòâóåò, îáîçíà÷èì f (x) è k -ûé ìîìåíò äëÿ Xi â îêðåñòíîñòè íóëÿ, åñëè îí ñóùåñòâóåò, áóäåì îáîçíà÷àòü mk , òàê ÷òî mk = E[Xik ] äëÿ k = 1, 2, 3, . . . Åñëè îáùàÿ ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ äëÿ Xi ñóùåñòâóåò, òî åå çíà÷åíèå â òî÷êå r áóäåì îáîçíà÷àòü MX (r). 194 Òàê êàê äëÿ ôèêñèðîâàííîãî çíà÷åíèÿ t, S(t) èìååò îáîáùåííîå ïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå, èç ×àñòè 3 (ðàçäåëà 2.2) ñëåäóåò, ÷òî ïðîöåññ {S(t)}t⩾0 èìååò ñðåäíåå çíà÷åíèå λtm1 , äèñïåðñèþ λtm2 , è ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ ìîìåíòîâ MS (r), ãäå MS (r) = exp{λt(MX (r) − 1)} Äëÿ îñòàâøåéñÿ ÷àñòè ýòîé ãëàâû ñäåëàåì ñëåäóþùåå (èíòóèòèâíî ñïðàâåäëèâîå) ïðåäïîëîæåíèå, êàñàþùååñÿ èíòåíñèâíîñòè ïðåìèàëüíîãî äîõîäà: c > λm1 , (7.0) òàê ÷òî ïðåìèàëüíûé äîõîä ñòðàõîâùèêà (â åäèíèöó âðåìåíè) áîëüøå, ÷åì îæèäàåìûå èñêîâûå çàòðàòû (â åäèíèöó âðåìåíè). Èíîãäà c ìîæåò áûòü çàïèñàíî êàê c = (1 + θ)λm1 , ãäå θ(> 0) îòíîñèòåëüíàÿ áåçîïàñíàÿ íàãðóçêà ïðåìèè. 3.4 Òåõíè÷åñêàÿ ñòîðîíà Â ñëåäóþùåì ðàçäåëå íàì ïîíàäîáèòñÿ òåõíè÷åñêèé ðåçóëüòàò, êàñàþùèéñÿ MX (r) (ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíîãî èñêà), êîòîðûé, äëÿ óäîáñòâà, áóäåò ïðåäñòàâëåí çäåñü. Äî êîíöà ýòîé ãëàâû áóäåò äåéñòâîâàòü ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ñóùåñòâóåò íåêîòîðîå ÷èñëî γ (0 < γ ⩽ ∞), òàêîå ÷òî MX (r) êîíå÷íî äëÿ âñåõ r > γ è lim− MX (r) = ∞ (7.0) r→γ (Íàïðèìåð, åñëè Xi (s) îãðàíè÷åíî íåêîòîðûì êîíå÷íûì çíà÷åíèåì, òî γ áóäåò ∞; åñëè Xi (s) èìååò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì α, òî γ áóäåò ðàâíî α). Â ñëåäóþùåì ðàçäåëå íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò: lim (λMX (r) − cr) = ∞ r→γ − (7.0) Åñëè γ êîíå÷íî, (3.4) ñðàçó ñëåäóåò èç (3.4). Òåïåðü ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî (3.4) èìååò ìåñòî ïðè áåñêîíå÷íîì γ . Ýòî òðåáóåò íåìíîãî áîëüøå âíèìàíèÿ. Âî-ïåðâûõ, çàäàäèì ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ε, òàêîå ÷òî P [Xi > ε] > 0. 195 Ýòî âîçìîæíî ïîòîìó, ÷òî âñå âåëè÷èíû èñêîâ ïîëîæèòåëüíû. Îáîçíà÷èì òàêóþ âåðîÿòíîñòü π . Òîãäà MX (r) ⩾ erε π. Ñëåäîâàòåëüíî, lim (λMX (r) − cr) ⩾ lim− (λerε π − cr) = ∞. r→γ − r→γ 196 4 Êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè è íåðàâåíñòâî Ëóíäáåðãà 4.1 Íåðàâåíñòâî Ëóíäáåðãà Íåðàâåíñòâî Ëóíäáåðãà óòâåðæäàåò, ÷òî ψ(U ) ⩽ exp{−RU }, ãäå U ýòî íà÷àëüíûé îñòàòîê ñòðàõîâùèêà. R ýòî ïàðàìåòð, ñâÿçàííûé ñ îñòàòî÷íûì ïðîöåññîì, èçâåñòíûé êàê êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè. Åãî çíà÷åíèå çàâèñèò îò ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììàðíûõ èñêîâ è èíòåíñèâíîñòè ïðåìèàëüíîãî äîõîäà. Äî òîãî, êàê îïðåäåëèòü R è äîêàçàòü íåðàâåíñòâî Ëóíäáåðãà, ïðîèëëþñòðèðóåì âàæíîñòü ýòîãî ðåçóëüòàòà è íåêîòîðûå õàðàêòåðèñòèêè êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè. Íà Ðèñóíêå 3 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé exp{−RU } è ψ(U ) äëÿ U , êîãäà èñêîâûå âåëè÷èíû ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäåëåíû ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì 1 è êîãäà ïðåìèàëüíûé êîýôôèöèåíò íàãðóçêè 10%. (Ðåøåíèå äëÿ R áóäåò íàéäåíî â ðàçäåëå 4.2. Ôîðìóëà äëÿ ψ(U ) äàíà â ðàçäåëå 4.) Ëåãêî óâèäåòü, ÷òî äëÿ áîëüøèõ çíà÷åíèé U , ψ(U ) î÷åíü áëèçêî ê âåðõíåé ãðàíèöå, òàê ÷òî ψ(U ) ≃ exp{−RU }. 1 0.9 6 P uc.3 exp{−RU } 0.5 Ψ(u) 0 - 5 10 15 20 25 Â àêòóàðíîé ëèòåðàòóðå, exp{−RU } ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ êàê ïðèáëèæåíèå ψ(U ). R ìîæåò èíòåðïðåòèðîâàòüñÿ êàê èçìåðèòåëüíûé ðèñê. Áîëüøåå çíà÷åíèå R áóäåò ìåíüøèì çíà÷åíèåì âåðõíåé ãðàíèöû äëÿ ψ(U ). Ñëåäîâàòåëüíî, ψ(U ) áóäåò çàêîíîìåðíî óìåíüøàòüñÿ, êîãäà R áóäåò âîçðàñòàòü. R ýòî ôóíêöèÿ îò ïàðàìåòðîâ, êîòîðûå âëèÿþò íà âåðîÿòíîñòü 197 ðàçîðåíèÿ, è ïîâåäåíèå R, êàê ôóíêöèè ýòèõ ïàðàìåòðîâ ìîæåò áûòü èññëåäîâàíî. R(θ) 6 P uc.4 ii) i) - θ Ðèñóíîê 4 ïîêàçûâàåò ãðàôèê R, êàê ôóíêöèþ îòíîñèòåëüíîé áåçîïàñíîé íàãðóçêè, θ, êîãäà i) ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû èñêà ýêñïîíåíöèàëüíîå ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì 10, è ii) âñå èñêè èìåþò âåëè÷èíó 10. Çàìåòèì, ÷òî â îáîèõ ñëó÷àÿõ R âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ îò θ. Çàêîíîìåðíî, ÷òî ψ(U ) óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ îò θ, è, òàê êàê ψ(U ) ≃ exp{−RU }, ëþáîé êîýôôèöèåíò, âûçûâàþùèé óáûâàíèå ψ(U ), âûçûâàåò âîçðàñòàíèå R. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî çíà÷åíèå R, êîãäà èñêîâûå âåëè÷èíû ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäåëåíû, ìåíüøå, ÷åì, êîãäà âåëè÷èíû èñêîâ ðàâíû 10. Îïÿòü æå, òàêîé ðåçóëüòàò íå óäèâèòåëåí. Îáà ðàñïðåäåëåíèÿ èñêîâûõ âåëè÷èí èìåþò îäèíàêîâîå ñðåäíåå çíà÷åíèå, íî ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå èìååò áîëüøåå íåïîñòîÿíñòâî. Áîëüøåå íåïîñòîÿíñòâî ñâÿçàíî ñ áîëüøèì ðèñêîì, è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ çàêîíîìåðíî áîëüøåå çíà÷åíèå ψ(U ) è ìåíüøåå çíà÷åíèå R. Ýòîò ïðèìåð èëëþñòðèðóåò, ÷òî R íàõîäèòñÿ ïîä âëèÿíèåì îòíîñèòåëüíîé áåçîïàñíîé íàãðóçêè è õàðàêòåðèñòèê ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ. Â îáùåì-òî, ìû îïðåäåëèëè è ââåëè R, ÷òîáû îáúåäèíèòü âñå êîýôôèöèåíòû, âëèÿþùèå íà ïðîöåññ ôîðìèðîâàíèÿ êàïèòàëà. 4.2 Êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè Ïðîöåññ ôîðìèðîâàíèÿ êàïèòàëà çàâèñèò îò íà÷àëüíîãî îñòàòêà, ïðîöåññà ñóììàðíûõ èñêîâ è èíòåíñèâíîñòè ïðåìèàëüíîãî äîõîäà. Êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè ýòî ïàðàìåòð, ñâÿçàííûé ñ ïðîöåññîì ôîðìèðîâàíèÿ 198 êàïèòàëà, êîòîðûé ó÷èòûâàåò äâà èç ýòèõ ôàêòîðîâ: ñóììàðíûå èñêè è ïðåìèàëüíûé äîõîä. Êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè äàåò ìåðó ðèñêà äëÿ ïðîöåññà ôîðìèðîâàíèÿ êàïèòàëà. Åñëè ñóììàðíûå èñêè ÿâëÿþòñÿ îáîáùåííûì ïóàññîíîâñêèì ïðîöåññîì, êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè îïðåäåëÿåòñÿ â òåðìèíàõ ïóàññîíîâñêîãî ïàðàìåòðà, ìîìåíòà ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíîãî èñêà è ïðåìèàëüíîãî äîõîäà â åäèíèöó âðåìåíè. Êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè, îáîçíà÷àåìûé R, îïðåäåëÿåòñÿ êàê åäèíñòâåííûé ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü óðàâíåíèÿ λMX (r) − λ − cr = 0. (3.1) λMX (r) = λ + cr. (3.2) Ïðåîáðàçóåì åãî, Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (3.1) ïîäðàçóìåâàåò, ÷òî çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè çàâèñèò îò ïóàññîíîâñêîãî ïàðàìåòðà, ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíîãî èñêà è èíòåíñèâíîñòè ïðåìèàëüíîãî äîõîäà. Îäíàêî, çàïèñàâ c = (1 + θ)λm1 , ïîëó÷èì MX (r) = 1 + (1 + θ)λm1 r, òàê ÷òî R íå çàâèñèò îò ïàðàìåòðà Ïóàññîíà è çàâèñèò òîëüêî îò îòíîñèòåëüíîé áåçîïàñíîé íàãðóçêè, θ, è îò ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíîãî èñêà. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèå (3.1) äåéñòâèòåëüíî èìååò òîëüêî îäèí ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü. Îïðåäåëèì g(r) = λMX (r) − λ − cr è ðàññìîòðèì ãðàôèê g(r) íà èíòåðâàëå [0, γ]. Çàìåòèì, âî-ïåðâûõ, ÷òî g(0) = 0. Äàëåå, g(r) â íóëå óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ, òàê êàê d d g(r) = λ MX (r) − c, dr dr òàê ÷òî ïðîèçâîäíàÿ g(r) â òî÷êå r = 0 ðàâíà λm1 − c, ÷òî, ïî ïðåäïîëîæåíèþ ìåíüøå íóëÿ (2.8). Òàêæå ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî, åñëè ôóíêöèÿ g(r) èìååò ýêñòðåìóì, òî îí áóäåò ìèíèìóìîì ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ ñëàáî âûïóêëà â ðàéîíå íóëÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæåò ñóùåñòâîâàòü òîëüêî îäèí ýêñòðåìóì, òàê êàê ëþáîé ýêñòðåìóì çäåñü ÿâëÿåòñÿ ìèíèìóìîì. ×òîáû ïîêàçàòü, ÷òî îí ñóùåñòâóåò, çàìåòèì èç (2.10), ÷òî lim− g(r) = ∞. r→γ Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî R, óäîâëåòâîðÿþùåå óðàâíåíèþ (3.1). 199 Óðàâíåíèå (3.1) íåÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ R. Äëÿ íåêîòîðûõ âèäîâ F (x) ñóùåñòâóåò ÿâíîå ðåøåíèå äëÿ R; äëÿ äðóãèõ óðàâíåíèå ïðèõîäèòñÿ ðåøàòü â ÷èñëàõ. Ðàññìîòðèì ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, ãäå F (x) = 1 − e−αx . α Äëÿ ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, MX (r) = α−r , òîãäà λ + cr = λα α−R λα − λR + cRα − cR2 = λα ⇒ R2 − (α − λ/c)R = 0 ⇒ ⇒ R = α − λ/c, òàê êàê R ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü óðàâíåíèÿ (3.1). Åñëè c = (1 + θ)λ/α, òî R = αθ/(1 + θ). 200 Ãëàâà 8 Âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ Öåëè ãëàâû Ïîñëå èçó÷åíèÿ ýòîé ãëàâû âû ñìîæåòå: • îïèñàòü ìîäåëü ðàçâèòèÿ ñóììàðíîãî èñêà • íàõîäèòü è èñïîëüçîâàòü êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè, óçíàåòå åãî ñâîéñòâà • âû÷èñëÿòü âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ â ïðîñòûõ ñëó÷àÿõ, âêëþ÷àÿ ñëó÷àè ñ ïåðåñòðàõîâàíèåì 1 Ââåäåíèå Â ïîñëåäíåé ãëàâå ìû èñïîëüçîâàëè ìîäåëü êîëëåêòèâíîãî èñêà, ÷òîáû ðàññìîòðåòü ñóììàðíûé èñê S , âîçíèêøèé â òå÷åíèå ôèêñèðîâàííîãî ïåðèîäà âðåìåíè. S çàäàåòñÿ ðàâåíñòâîì S = X1 + X2 + · · · + XN , ãäå N îçíà÷àåò êîëè÷åñòâî èñêîâ, ïðîèçîøåäøèõ çà äàííûé ïåðèîä. Â ýòîé ãëàâå ìû ðàñøèðèì íàøó ìîäåëü, ðàññìàòðèâàÿ S(t) êàê ôóíêöèþ âðåìåíè. Òîãäà ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî S = X1 + X2 + · · · + XN (t) , ãäå N (t) îçíà÷àåò êîëè÷åñòâî èñêîâ, ñëó÷èâøèõñÿ äî ìîìåíòà âðåìåíè t. Ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü ýòó ìîäåëü, çàâèñÿùóþ îò âðåìåíè, ÷òîáû îïèñàòü êîëè÷åñòâî íàëè÷íûõ ñðåäñòâ ñòðàõîâùèêà è îïðåäåëèòü îñîáåííîñòè âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ â êîðîòêîì è äîëãîñðî÷íîì ïåðèîäàõ. Òåîðèÿ ýòîé ãëàâû î÷åíü . Â îñîáåííîñòè îáðàòèòå âíèìàíèå íà ðàçäåë î ðåçóëüòàòå èçìåíåíèÿ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ è íà ðàçäåë î ïåðåñòðàõîâàíèè. 201 2 Ðàçâèòèå ñóììàðíîãî èñêà, íåïðåðûâíàÿ è äèñêðåòíàÿ ïî âðåìåíè ìîäåëè Â äàííîé ãëàâå ðàññìàòðèâàåòñÿ èçìåíåíèå âåëè÷èíû ôîíäà ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ â çàâèñèìîñòè îò èçìåíåíèÿ âåëè÷èíû ñóììàðíîãî èñêà. Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü äâå ìîäåëè, îïèñûâàåìûõ çàâèñèìîñòüþ ñòðàõîâûõ èñêîâ îò âðåìåíè. Â íåïðåðûâíîé ìîäåëè ñèòóàöèÿ îïèñûâàåòñÿ íåïðåðûâíî. Â äèñêðåòíîé ìîäåëè ñèòóàöèÿ îïèñûâàåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî èíòåðâàëàìè âðåìåíè. Ðàçâèòèå ñóììàðíîãî èñêà â ñëó÷àå íåïðåðûâíîé ìîäåëè ìàòåìàòè÷åñêè ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíî ñëåäóþùèì îáðàçîì: 2.1 Ðàçâèòèå ñóììàðíîãî èñêà (íåïðåðûâíàÿ ïî âðåìåíè ìîäåëü) Ðàçâèòèå ñóììàðíîãî èñêà îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì: U (t) = u + ct − S(t), t⩾0 Ãäå U (t) ýòî ôîíä ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ ñòðàõîâùèêà â ìîìåíò âðåìåíè t u ýòî íà÷àëüíûé ôîíä ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 c ýòî íîðìà ïðèòîêà (íåòòî) ïðåìèé, ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ïðåìèè ïîñòóïàþò ïîñòîÿííî S(t) ýòî ñóììàðíûé èñê ê ìîìåíòó âðåìåíè t Ïðåìèè è èñêè ñ÷èòàþòñÿ íåòòî,ò.å. áåç ó÷åòà èçäåðæåê è ïðåìèé ïåðåñòðàõîâàíèÿ. Ìîäåëü èãíîðèðóåò ïðîöåíòû íà ôîíä ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ. Ï ð è ì å ð 8.1 Äàéòå ëîãè÷åñêîå îáîñíîâàíèå óðàâíåíèþ, îïðåäåëÿþùåìó ðàçâèòèå ñóììàðíîãî èñêà. Ð å ø å í è å Ôîíä ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ ñòðàõîâùèêà U (t) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåòòî íàëè÷íûå ñðåäñòâà â ìîìåíò âðåìåíè t. Íà÷àëüíûé ôîíä ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ îáîçíà÷åí ÷åðåç u, ïðåìèè ïîñòóïàþò ïîñòîÿííî ðàçìåðà c, ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî îáùèé äîõîä çà ïåðèîä âðåìåíè t ðàâíÿåòñÿ u+ct. S(t) îáîçíà÷àåò ñóììàðíûé èñê, îïëà÷åííûé ê ìîìåíòó âðåìåíè t. Òàêèì îáðàçîì ôîíä ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ ñòðàõîâùèêà â ìîìåíò âðåìåíè t ðàâíÿåòñÿ ðàçíîñòè ìåæäó îáùèì äîõîäîì è îáùèì ðàñõîäîì, ò.å. u + ct − S(t) Äëÿ íåïðåðûâíîé ìîäåëè U (t) èìååò, êàê ïîêàçàíî íèæå, ïèëîâèäíûé ãðàôèê, ãäå ôîíä ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ ìîíîòîííî âîçðàñòàåò , íî ðåçêî ïàäàåò êàæäûé ðàç, êîãäà âîçíèêàåò èñê. 202 P uc.1 V (t) 6 U - T1 T2 T3 t T4 Ìû áóäåì èíòåðåñîâàòüñÿ âû÷èñëåíèåì âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ, òî åñòü âåðîÿòíîñòüþ òîãî, ÷òî ôîíä ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ óïàäåò íèæå íóëÿ. Â äàííîì ñëó÷àå ñòðàõîâùèê ðàçîðÿåòñÿ â ìîìåíò âðåìåíè 3. Â ñîîòâåòñòâóþùåé äèñêðåòíîé ìîäåëè ãðàôèêà (èñïîëüçóþòñÿ ðàâíûå èíòåðâàëû â 1 åäèíèöó) ðàçîðåíèå íå íàáëþäàåòñÿ â òå÷åíèå íàáëþäàåìîãî ïåðèîäà1 , ïîýòîìó ìû íå îòìå÷àåì, ÷òî ïðîèñõîäèò ìåæäó òî÷êàìè âðåìåíè. P uc.2 6 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 - Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 8.1. Íàéäèòå çíà÷åíèÿ u è c äëÿ ðàç- âèòèÿ èñêà, èçîáðàæåíîãî íà íåïðåðûâíîì ãðàôèêå, è ïðîâåðüòå òî, ÷òî ñîîòíîøåíèå âûïîëíÿåòñÿ ïðè t = 5. 3 Âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ Â ýòîì ïàðàãðàôå îïðåäåëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ â áåñêîíå÷íîì/êîíå÷íîì è íåïðåðûâíîì/äèñêðåòíîì ñëó÷àÿõ, ôîðìóëèðóåòñÿ è 1 Ôîíä ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ ïàäàåò íèæå íóëÿ äî òîãî, êàê ñòðàõîâùèê ïîíèìàåò, ÷òî îí ðàçîðåí. 203 îáúÿñíÿåòñÿ âçàèìîñâÿçü ìåæäó ðàçëè÷íûìè âåðîÿòíîñòÿìè ðàçîðåíèÿ. Ìû áóäåì èíòåðåñîâàòüñÿ îïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ äëÿ íåïðåðûâíîé è äèñêðåòíîé ìîäåëè â ñëó÷àÿõ êîíå÷íîãî è áåñêîíå÷íîãî âðåìåíè. Ðàçëè÷íûå âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ, êîòîðûå îáîçíà÷àþòñÿ ψ (ïðîèçíîñèòñÿ "psi") îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: 3.1 Âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ (íåïðåðûâíàÿ ìîäåëü) Âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ â ñëó÷àå êîíå÷íîãî âðåìåíè ψ(u, t0 )- ýòî âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ôîíä ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ óïàäåò íèæå íóëÿ â êàêîé-òî ìîìåíò âðåìåíè äî t0 , ïðè íà÷àëüíîì êàïèòàëå u: ψ(u, t0 ) = P [U (t) < 0 ïðè íåêîòîðîì t ⩽ t0 ] Âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ â ñëó÷àå áåñêîíå÷íîãî âðåìåíè ψ(u, t0 )- ýòî âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ôîíä ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ óïàäåò íèæå íóëÿ â êàêîé-òî ìîìåíò âðåìåíè ïðè íà÷àëüíîì ôîíäå ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ u: ψ(u) = P [U (t) < 0 ïðè íåêîòîðîì t] 3.2 Âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ (äèñêðåòíàÿ ìîäåëü) Âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ â ñëó÷àå êîíå÷íîãî âðåìåíè ψh (u, t0 )- ýòî âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ôîíä ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ óïàäåò íèæå íóëÿ â êàêîéòî ìîìåíò âðåìåíè äî t0 , ïðè íà÷àëüíîì ôîíäå ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ u, è êîãäà èñïîëüçóþòñÿ âðåìåííûå èíòåðâàëû â h åäèíèö: ψh (u, t0 ) = P [U (t) < 0 ïðè íåêîòîðîì t = h, 2h, 3h, . . . è t ⩽ t0 ] Âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ â ñëó÷àå áåñêîíå÷íîãî âðåìåíè ψh (u, t0 )- ýòî âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ôîíä ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ óïàäåò íèæå íóëÿ â êàêîé-òî ìîìåíò âðåìåíè äî t0 , ïðè íà÷àëüíîì êàïèòàëå u, è êîãäà èñïîëüçóþòñÿ âðåìåííûå èíòåðâàëû â h åäèíèö: ψh (u) = P [U (t) < 0 ïðè íåêîòîðîì t = h, 2h, 3h, . . .] 4 Âçàèìîñâÿçü ìåæäó âåðîÿòíîñòÿìè ðàçîðåíèÿ Âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ äëÿ íåïðåðûâíîé è äèñêðåòíîé ìîäåëè â ñëó÷àÿõ êîíå÷íîãî è áåñêîíå÷íîãî âðåìåíè ñâÿçàíû ñëåäóþùèìè íåðàâåíñòâàìè è ñîîòíîøåíèÿìè: 204 Âçàèìîñâÿçü ìåæäó âåðîÿòíîñòÿìè ðàçîðåíèÿ (íåïðåðûâíûé/äèñêðåòíûé ñëó÷àé) Ðàñøèðèì ðàññìàòðèâàåìûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè (0 ⩽ t1 ⩽ t2 < ∞): ψ(u, t1 ) ⩽ ψ(u, t2 ) ⩽ ψ(u) ψh (u, t1 ) ⩽ ψh (u, t2 ) ⩽ ψh (u) lim ψ(u, t) = ψ(u) t→∞ Ðàñøèðèì íà÷àëüíûé ôîíä ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ (0 ⩽ u1 ⩽ u2 ): ψ(u2 , t) ⩽ ψ(u1 , t) ψ(u2 ) ⩽ ψ(u1 ) ψh (u2 , t) ⩽ ψh (u1 , t) ψh (u2 ) ⩽ ψh (u1 ) lim ψ(u, t) = 0 u→∞ Ðàçäåëèì íà èíòåðâàëû âðåìåíè (n=1,2,3,. . . ): ψh/n (u, t) ⩾ ψh (u, t) ψh/n (u) ⩾ ψh (u) lim ψh/n (u, t) = ψ(u, t) n→∞ Äîêàçàòåëüñòâî Âñå ýòè ñîîòíîøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþò îáùåìó ñìûñëó: • Óâåëè÷èâàÿ äëèíó ðàññìàòðèâàåìîãî ïåðèîäà, óâåëè÷èâàåòñÿ âîçìîæíîñòü òîãî, ÷òî ñëó÷èòñÿ ðàçîðåíèå • ×åì áîëüøå çíà÷åíèå íà÷àëüíîãî ôîíäà ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ, òåì áîëüøå òðåáóåòñÿ óáûòêîâ, ÷òîáû ïðîèçîøëî ðàçîðåíèå • Óìåíüøàÿ èíòåðâàëû âðåìåíè äëÿ äèñêðåòíîé ìîäåëè óâåëè÷èâàåòñÿ âîçìîæíîñòü òîãî, ÷òî ðàçîðåíèå áóäåò íàáëþäàòüñÿ ìåæäó òî÷êàìè âðåìåíè 4.1 Âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ â êîðîòêîì ïåðèîäå Åñëè ìû çíàåì ðàñïðåäåëåíèå ñóììàðíîãî èñêà S(t), òî ÷àñòî ìû ìîæåì ñðàçó îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ äëÿ äèñêðåòíîé ìîäåëè â ñëó÷àå êîíå÷íîãî âðåìåíè (áåç ññûëêè íà ìîäåëè), ðàññìàòðèâàÿ èñïîëüçóåìûå íàëè÷íûå ñðåäñòâà. Ï ð è ì å ð 8.2 Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñóììàðíûé èñê, ïîëó÷åííûé â òå÷åíèå êàæäîãî ãîäà îò îòäåëüíûõ âèäîâ ãîäè÷íûõ ñòðàõîâûõ ïîëèñîâ, èìååò 205 íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì 0.7P è ñðåäíèì îòêëîíåíèåì 2.0P , ãäå P ýòî ïðåìèè çà ãîä. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî èñêè âîçíèêàþò íåçàâèñèìî. Ñòðàõîâùèêè õîòÿò îöåíèòü ñâîþ ïëàòåæåñïîñîáíîñòü â êîíöå êàæäîãî ãîäà. Ìåëêèé ñòðàõîâùèê ñ íà÷àëüíûì ôîíäîì ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ 0.1 ìèëëèîíà £ïðåäïîëàãàåò ïî îïðåäåëåííîìó âèäó ñòðàõîâàíèÿ ïðîäàòü 100 ïîëèñîâ â íà÷àëå ñëåäóþùåãî ãîäà, ãîäîâàÿ ïðåìèÿ ïî êàæäîìó èç ýòèõ ðèñêîâ ñîñòàâëÿåò 5000£. Ñòðàõîâùèê òåðïèò èçäåðæêè â 0.2P íà îôîðìëåíèå êàæäîãî ïîëèñà. Âû÷èñëèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñòðàõîâùèê îêàæåòñÿ íåïëàòåæåñïîñîáíûì ê êîíöó ñëåäóþùåãî ãîäà. Íå ó÷èòûâàéòå ïðîöåíòû íà ôîíä ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ. Ð å ø å í è å Èñïîëüçóÿ óñëîâèå ïîëó÷àåì, ÷òî ôîíä ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ ñòðàõîâùèêà ê êîíöó ñëåäóþùåãî ãîäà áóäåò ðàâíÿòüñÿ: U1 = íà÷àëüíûé ôîíä ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ + ïðåìèè − èçäåðæêè − óáûòêè = 0.1m + 100 × 5000 − 100 × 0.2 × 5000 − S(1) = 0.5m − S(1) Ðàñïðåäåëåíèå S(1) ÿâëÿåòñÿ: S(1) ∼ N (100 × 0.7 × 5000, 100 × (2.0 × 5000)2 ) = N (0.35m, (0.1m)2 ) Ñëåäîâàòåëüíî âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çíà÷åíèå ôîíäà ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ áóäåò ìåíüøå íóëÿ: P [U (1) < 0] = P [S(1) > 0.5m] = P [N (0.35m, (0.1m)2 ) > 0.5m] 0.5m − 0.35m =1−Φ 0.1m = 1 − Φ(1.5) = 1 − 0.93319 = 0.067 Ñëåäîâàòåëüíî èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíÿåòñÿ 6.7% Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 8.2. Åñëè ñòðàõîâùèê ïðåäïîëàãàåò ïðî- äàòü 200 ïîëèñîâ â òå÷åíèå âòîðîãî ãîäà çà òå æå ïðåìèè è îæèäàåò òàêóþ æå ñòàâêó èçäåðæåê, òî âû÷èñëèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñòðàõîâùèê îêàæåòñÿ íåïëàòåæåñïîñîáíûì ê êîíöó âòîðîãî ãîäà. 5 Ìîäåëè Ïóàññîíà Â íåïðåðûâíîé ìîäåëè ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî èñêè ñëó÷àþòñÿ ñîãëàñíî ïðåäïîëîæåíèÿì ìîäåëè Ïóàññîíà. Ýòî îòäåëüíîå ïðèëîæåíèå ìîäåëåé êîëëåêòèâíîãî ðèñêà, êîòîðûå ìû èçó÷àëè â ïðåäûäóùåé ãëàâå. 206 Â ýòîì ïàðàãðàôå îïðåäåëÿåòñÿ ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ, ïîëó÷àþò ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà ñîáûòèé íà çàäàííîì èíòåðâàëå, âûâîäÿò ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè ìåæäó ñîáûòèÿìè è ïðèìåíÿþò ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû. Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî êîëè÷åñòâî ïðåäúÿâëåííûõ èñêîâ ñîîòâåòñòâóåò ïóàññîíîâñêîìó ïðîöåññó. Ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ Îáùåå ÷èñëî ñîáûòèé N (t) íà âðåìåííîì èíòåðâàëå (0, t) èìååò âèä ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà, åñëè: • Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â òå÷åíèå êàêîãî-òî êîðîòêîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè (t, t + h) ïðîèçîéäåò îäíî ñîáûòèå, ðàâíÿåòñÿ λh òî åñòü P [ Â òî÷íîñòè 1 ñîáûòèå íà (t, t + h)] = λh + o(h)2 • Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â òå÷åíèå ýòîãî èíòåðâàëà ïðîèçîéäåò áîëåå 1 ñîáûòèÿ, íåçíà÷èòåëüíà â ñðàâíåíèè ñ âåðîÿòíîñòüþ îäíîãî ñîáûòèÿ òî åñòü P [ Áîëåå 1 ñîáûòèÿ íà (t, t + h)] = o(h) • Ñîáûòèÿ â ðàçíûå âðåìåííûå èíòåðâàëû ñëó÷àþòñÿ íåçàâèñèìî. Ï ð è ì å ð 8.3 Îáúÿñíèòå, êàê èñêè àâòîìîáèëüíîãî ñòðàõîâàíèÿ ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû ïóàññîíîâñêèì ïðîöåññîì. Ð å ø å í è å Â äàííîì ñëó÷àå ñîáûòèÿìè ÿâëÿþòñÿ ñëó÷èâøèåñÿ èñêè (òî åñòü íåñ÷àñòíûå ñëó÷àè, ïîæàðû, êðàæè) èëè èñêè, ñîîáùåííûå ñòðàõîâùèêó. Ïàðàìåòð λ îçíà÷àåò ñðåäíþþ íîðìó ñëó÷èâøèõñÿ èñêîâ (íàïðèìåð 50 â äåíü). Ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî íà äîñòàòî÷íî êîðîòêîì èíòåðâàëå âðåìåíè ìîæåò ñëó÷èòüñÿ íå áîëåå îäíîãî èñêà, âûïîëíÿåòñÿ, åñëè ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ñîáûòèÿ, ïîâëåêøèå çà ñîáîé èñê íå ìîãóò ïðèâåñòè ê ìíîãîêðàòíûì èñêàì (òî åñòü íå ðàññìàòðèâàþòñÿ àâàðèè íà àâòîìàãèñòðàëÿõ è ò.ä.). ×èñëî ñîáûòèé çà äàííûé ïåðèîä âðåìåíè Äëÿ ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà ñ ïàðàìåòðîì λ ÷èñëî ñîáûòèé N (t), ïðîèçîøåäøèõ íà èíòåðâàëå (0, t) èìååò P oisson(λt) ðàñïðåäåëåíèå, òî åñòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðîèçîøëî òî÷íî x ñîáûòèé: P [N (t) = x] = px (t) = (λt)x e−λt x! (x = 0, 1, 2, . . .) 2 Îáîçíà÷åíèå o(h) îçíà÷àåò âåëè÷èíó "ìåíüøåãî ïîðÿäêà, ÷åì λh òî åñòü ýòà âåëè÷èíà ïðè h ñòðåìÿùåìñÿ ê íóëþ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ áûñòðåå, ÷åì λh. 207 "×èñëî èñêîâ èìååò ïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì, ðàâíûì îæèäàåìîìó ÷èñëó èñêîâ" Äîêàçàòåëüñòâî Â òå÷åíèå íåáîëüøîãî èíòåðâàëà âðåìåíè (t, t + h) ìîæåò áûòü ëèáî ðîâíî îäíî ñîáûòèå (ñ âåðîÿòíîñòüþ λh+o(h)), ëèáî íè îäíîãî ñîáûòèÿ (ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 − λh + o(h)). Ýòî ïðèâîäèò íàñ ê ñëåäóþùåìó íàáîðó ðàâåíñòâ, ñâÿçûâàþùèõ ÷èñëî ñîáûòèé, ïðîèçîøåäøèõ ê ìîìåíòó âðåìåíè t + h, ñ ÷èñëîì ñîáûòèé, ïðîèçîøåäøèõ ê ìîìåíòó âðåìåíè t: p0 (t + h) = (1 − λh + o(h))p0 (t) p1 (t + h) = (λh + o(h))p0 (t) + (1 − λh + o(h))p1 (t) p2 (t + h) = (λh + o(h))p1 (t) + (1 − λh + o(h))p2 (t) è ò.ä. Ïåðåíåñåì ñëàãàåìûå, êîòîðûå íå ñîäåðæàò h, èç ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ, â ëåâóþ è ïîäåëèì íà h, ïîëó÷àåì: [p0 (t + h) − p0 (t)]/h = −λp0 (t) + o(t) [p1 (t + h) − p1 (t)]/h = λp0 (t) − λp1 (t) + o(1) [p2 (t + h) − p1 (2)]/h = λp1 (t) − λp2 (t) + o(1) è ò.ä. Óñòðåìëÿåì h → 0, ïîëó÷àåì: p00 (t) = −λp0 (t) p01 (t) = λp0 (t) − λp1 (t) p02 (t) = λp1 (t) − λp2 (t) è ò.ä. Ýòè äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ìîæíî ðåøèòü, èñïîëüçóÿ ðàçëè÷íûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû (ñìîòðè âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 8.4 â êîíöå ýòîãî ïàðàãðàôà), è òîãäà ïîëó÷àåì: px (t) = (λt)x e−λt x! (x = 0, 1, 2, . . .) Ìû òàêæå ìîæåì íàéòè ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè ìåæäó ïîñëåäîâàòåëüíî ïðîèçîøåäøèìè ñîáûòèÿìè: 208 Âðåìÿ ìåæäó ñîáûòèÿìè Äëÿ ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà ñ ïàðàìåòðîì λ âðåìÿ ìåæäó ñîáûòèÿìè T , òî åñòü âðåìÿ äî íàñòóïëåíèÿ ñëåäóþùåãî ñîáûòèÿ, èìååò Exp(λ) ðàñïðåäåëåíèå, òî åñòü åãî ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíÿåòñÿ: fT (t) = λe−λt (t > 0) Äîêàçàòåëüñòâî Òàê êàê âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îæèäàåìîå âðåìÿ ïðåâûñèò t, ýòî åñòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â òå÷åíèå èíòåðâàëà âðåìåíè (0, t) íå ïðîèçîéäåò íè îäíîãî ñîáûòèÿ, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ îæèäàåìîãî âðåìåíè ðàâíÿåòñÿ: FT (t) = P (T ⩽ t) = 1 − P (T > t) = 1 − P [N (t) = 0] = 1 − e−λt Äèôôåðåíöèðóÿ, ïîëó÷àåì ôóíêöèþ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ: fT (t) = FT0 (t) = λe−λt (t > 0) êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ïëîòíîñòè Exp(λ) ðàñïðåäåëåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî âðåìÿ ìåæäó ñîáûòèÿìè íå çàâèñèò îò îáùåãî âðåìåíè. Äðóãèìè ñëîâàìè âðåìÿ äî íàñòóïëåíèÿ ñëåäóþùåãî ñîáûòèÿ èìååò òàêîå æå ðàñïðåäåëåíèå, íåçàâèñèìî îò âðåìåíè ïîñëåäíåãî ñîáûòèÿ èëè ÷èñëà ñîáûòèé, êîòîðûå óæå ïðîèçîøëè. Ýòî îïèðàåòñÿ íà îòñóòñòâèå ïîñëåäåéñòâèÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 8.3. Åñëè ïðåäúÿâëåííûå èñêè îïèñû- âàþòñÿ ïóàññîíîâñêèì ïðîöåññîì ñ ïàðàìåòðîì 5 â äåíü (è ñòðàõîâàòåëü èìååò êðóãëîñóòî÷íóþ òåëåôîííóþ "ãîðÿ÷óþ ëèíèþ"), òî âû÷èñëèòå: 1. âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî áóäåò ñîîáùåíî ìåíåå ÷åì î äâóõ èñêàõ â äåíü 2. âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî åù¼ îá îäíîì èñêå áóäåò ñîîáùåíî â òå÷åíèå ñëåäóþùåãî ÷àñà. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 8.4. Ðåøèòå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâ- íåíèÿ, èñïîëüçóåìûå ïðè âûâåäåíèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà ñîáûòèé. 209 5.1 Îáîáùåííûå ïóàññîíîâñêèå ïðîöåññû Â ýòîì ïàðàãðàôå îïðåäåëÿåòñÿ îáîáùåííûé ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ è ïîëó÷àþò ìîìåíòû è ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ ìîìåíòîâ äëÿ ýòîãî ïðîöåññà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåëè÷èíà ïðåäúÿâëåííûõ èñêîâ ñîîòâåòñòâóåò îáîáùåííîìó ïóàññîíîâñêîìó ïðîöåññó. Îáîáùåííûé ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ Îáùàÿ ñóììà èñêà S(t) çà èíòåðâàë âðåìåíè (0, t) ñîîòâåòñòâóåò îáîáùåííîìó ïóàññîíîâñêîìó ïðîöåññó, åñëè: • Èñêè ñëó÷àþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ïóàññîíîâñêèì ïðîöåññîì. • Âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ X íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû. • Âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ X íå çàâèñÿò îò ÷èñëà èñêîâ N (t) Ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ äëÿ ìîäåëè êîëëåêòèâíîãî ðèñêà, ÷òîáû ïîëó÷èòü ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ ìîìåíòîâ ñóììàðíîãî èñêà çà äàííûé ïåðèîä âðåìåíè: 5.2 Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ îáîáùåííîãî ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà Åñëè èñêè ñëó÷àþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ îáîáùåííûì ïóàññîíîâñêèì ïðîöåññîì ñ ïàðàìåòðîì λ è ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ åñòü MX (u)3 , òîãäà ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ äëÿ S(t) áóäåò: MS(t) (u) = eλt[MX (u)−1] Äîêàçàòåëüñòâî Ñóììàðíûé èñê ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â òåðìèíàõ ìîäåëè êîëëåêòèâíîãî èñêà êàê: S(t) = X1 + X2 + . . . + XN (t) Ýòî ñëó÷àéíàÿ ñóììà íåçàâèñèìûõ è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí(Xi ) è N (t) èìååò ïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñî ñðåäíèì 3 Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü u â êà÷åñòâå ôèêòèâíîé ïåðåìåííîé ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ â ýòîì ïàðàãðàôå, ÷òîáû èçáåãàòü ïóòàíèöû ñ t. 210 çíà÷åíèåì λt. Ïîýòîìó S(t) èìååò îáîáùåííîå ïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå, è ôîðìóëà ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ ñëîæíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äàåò: log MX (u) −1] MS(t) (u) = MN (t) [log MX (u)] = eλt[e = eλt[MX (u)−1] Ï ð è ì å ð 8.4 Åñëè èñêè ñëó÷àþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ îáîáùåííûì ïóàññîíîâñêèì ïðîöåññîì ñ ïàðàìåòðîì µ è âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ èìåþò Gamma(α, λ) ðàñïðåäåëåíèå, íàéäèòå âûðàæåíèå äëÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ ñóììàðíîãî èñêà S(t) íà èíòåðâàëå (0, t). Ð å ø å í è å Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó äëÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ äëÿ S(t) (è ó÷èòûâàÿ, ÷òî λ èìååò òåïåðü îñîáîå çíà÷åíèå): MS(t) (u) = eµt[MX (u)−1] = eµt[(1−u/λ) −α −1] Ìû òàêæå ìîæåì èñïîëüçîâàòü ñâîéñòâà îáîáùåííûõ ðàñïðåäåëåíèé, âûâåäåííûå ðàíüøå, ÷òîáû ïîëó÷èòü ôîðìóëó äëÿ ìîìåíòîâ âåëè÷èíû ñóììàðíîãî èñêà: Ñðåäíåå çíà÷åíèå è äèñïåðñèÿ âåëè÷èíû ñóììàðíîãî èñêà Äëÿ îáîáùåííûõ ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà S(t) ñðåäíåå çíà÷åíèå è äèñïåðñèÿ âåëè÷èíû ñóììàðíîãî èñêà ðàâíÿåòñÿ: E[S(t)] = λtE[X] V ar[S(t)] = λtE[X 2 ] Äîêàçàòåëüñòâî Ýòè ðåçóëüòàòû íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþò èç ôîðìóëû ìîìåíòîâ îáîáùåííîãî ïóàññîíîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 8.5. Ïðîâåðüòå, ÷òî íåïîñðåäñòâåííî èç ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ ýòè ôîðìóëû âåðíû äëÿ ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà. 6 Âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ äëÿ äîëãîñðî÷íîãî ïåðèîäà. Â ýòîì ïàðàãðàôå îïðåäåëÿåòñÿ êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè äëÿ îáîáùåííîãî ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà, ïîêàçûâàåò, ÷òî îí ñóùåñòâóåò, åãî âû÷èñëÿþò â ïðîñòûõ ñëó÷àÿõ è ïîëó÷àþò ïðîñòûå îãðàíè÷åíèÿ è îöåíêè. 211 6.1 Êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè Âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ðàçîðåíèÿ äëÿ îáîáùåííîãî ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà âêëþ÷àåò â ñåáÿ âåëè÷èíó, íàçûâàåìóþ êîýôôèöèåíòîì ïîïðàâêè. Êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòè îêîí÷àòåëüíîãî ðàçîðåíèÿ â îòäåëüíûõ ñëó÷àÿõ èëè äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ãðàíèö îöåíîê â áîëåå ñëîæíûõ ñèòóàöèÿõ. Êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè Êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè r äëÿ îáîáùåííîãî ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà ýòî íàèìåíüøåå ïîëîæèòåëüíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ: λ + cr = λMX (r) ãäå λ- ýòî ÷àñòîòà èñêîâ, òî åñòü íîðìà ïðîèñøåñòâèÿ èñêîâ. c- ýòî òåêóùàÿ ñòàâêà ïðèòîêà ïðåìèé (âêëþ÷àÿ ïîïðàâêè íà áåçîïàñíóþ íàãðóçêó è ïåðåñòðàõîâàíèå). MX (r)- ýòî ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ âåëè÷èí òåêóùèõ èíäèâèäóàëüíûõ ðàñïðåäåëåííûõ èñêîâ X , ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ ïðè t = r, òî åñòü E(erX ) (âêëþ÷àÿ ïîïðàâêè íà ïåðåñòðàõîâàíèå). ×àñòî áåçîïàñíàÿ íàãðóçêà âêëþ÷àåòñÿ â òåêóùèå ïðåìèè, ÷òîáû ïðèáûëè è èçäåðæêè îáåñïå÷èâàëè ïîâûøåííóþ ñîõðàííîñòü. Ï ð è ì å ð 8.5 Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè òåêóùàÿ ïðåìèÿ ñîñòàâëÿåò ïðåìèþ çà ðèñê ñ îòíîñèòåëüíîé áåçîïàñíîé íàãðóçêîé θ , òîãäà êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè óäîâëåòâîðÿåò: 1 + (1 + θ)E(X)r = MX (r) Ð å ø å í è å Ïðåìèÿ çà ðèñê: ÷àñòîòà èñêîâ × ñðåäíÿÿ âåëè÷èíà èñêà = λE(X) Ñ îòíîñèòåëüíîé áåçîïàñíîé íàãðóçêîé θ ñòàâêà òåêóùåãî ãîäîâîãî äîõîäà ïðåìèé áóäåò: c = (1 + θ)λE(X) Óðàâíåíèå êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè λ + cr = λMX (r) áóäåò: λ + (1 + θ)λE(X)r = λMX (r) Ñîêðàòèâ íà λ, ïîëó÷èì: 1 + (1 + θ)E(X)r = MX (r) Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 8.6. Ïîêàæèòå, ÷òî r = 0 âñåãäà ÿâëÿ- åòñÿ òðèâèàëüíûì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè. 212 Ìû ÷àñòî ìîæåì èñïîëüçîâàòü òîò ôàêò, ÷òî r = 0 âñåãäà ÿâëÿåòñÿ òðèâèàëüíûì ðåøåíèåì, äëÿ óïðîùåíèÿ âû÷èñëåíèé, âêëþ÷åííûõ â ðåøåíèå óðàâíåíèÿ êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè. Ï ð è ì å ð 8.6 Âûâåäèòå ôîðìóëó äëÿ êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè, åñëè èñêè ñëó÷àþòñÿ ñîãëàñíî îáîáùåííîìó ïóàññîíîâñêîìó ïðîöåññó ñ ïàðàìåòðîì λ è âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ X èìåþò Exp(β) ðàñïðåäåëåíèå, è îôèñíàÿ ïðåìèÿ ðàâíÿåòñÿ ïðåìèè çà ðèñê ïëþñ áåçîïàñíàÿ íàãðóçêà θ . Íå ó÷èòûâàéòå ïåðåñòðàõîâàíèå. Ð å ø å í è å Êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè óäîâëåòâîðÿåò: 1 + (1 + θ)E(X)r = MX (r) Òàê êàê âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ X èìåþò Exp(β) ðàñïðåäåëåíèå: E(X) = 1 β è MX (t) = β (êîòîðîå âûïîëíÿåòñÿ ïðè t < β) β−t Ïîýòîìó óðàâíåíèå êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè áóäåò: β 1 1 + (1 + θ) r = β β−r Óìíîæàÿ íà β(β − r), ïîëó÷àåì: β(β − r) + (1 + θ)(β − r)r = β 2 2 Ñîêðàòèâ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà β , ïîëó÷àåì: −βr + (1 + θ)(β − r)r = 0 Ïîäåëèì íà r (êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò òðèâèàëüíîìó ðåøåíèþ r = 0) ïîëó÷àåì: β + (1 + θ)(β − r) = 0 Âûðàçèì r : β 1 βθ r=β− =β 1− = 1+θ 1+θ 1+θ Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 8.7. Íàïèøèòå óðàâíåíèå êîýôôèöèåí- òà ïîïðàâêè äëÿ èñêîâ ëè÷íîãî ñòðàõîâàíèÿ îò íåñ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ, åñëè 90% èñêîâ â 10000£è 10% èñêîâ â 25000£, îòíîñèòåëüíóþ áåçîïàñíóþ íàãðóçêó âîçüìèòå â 20%. Ïîêàæèòå, ÷òî ýòî óðàâíåíèå èìååò ðåøåíèå â èíòåðâàëå: 0.00002599 < r < 0.00002601 213 6.2 Ñóùåñòâîâàíèå êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè Òàê êàê ìû íå ó÷èòûâàåì ïðîöåíòû, òî ñòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ ìîæåò îñòàâàòüñÿ â áèçíåñå â äîëãîñðî÷íîì ïåðèîäå, åñëè ñòàâêà òåêóùåé ïðåìèè áîëüøå, ÷åì ñòàâêà ïðåìèè çà ðèñê, òî åñòü ñðåäíåé ñòîèìîñòè èñêîâ. Ñîãëàñíî ýòîìó ïðåäïîëîæåíèþ êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè íåíóëåâîé è îïðåäåëåí åäèíñòâåííûì îáðàçîì. Ñóùåñòâîâàíèå êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè Åñëè ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ âåëè÷èí èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ MX (r) îïðåäåëåíà ïðè r < γ , ãäå γ ýòî ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà è ñòàâêà òåêóùåé ïðåìèè áîëüøå, ÷åì ñòàâêà ïðåìèè çà ðèñê (òî åñòü c > λE(X)), òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå r, êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè λ + cr = λMX (r) ïðè 0 < r < γ. Åñëè ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ îïðåäåëåíà ïðè íåêîòîðûõ ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ, òî êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè åäèíñòâåíåí Äîêàçàòåëüñòâî èñïîëüçóåò ãðàôèê, ïðèâåäåííûé íèæå. Äîêàçàòåëüñòâî Êîãäà ìû èçó÷àëè ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè ìîìåíòîâ, ìû ðàññìàòðèâàëè, ÷òî ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ MX (r) (è, ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè) îïðåäåëåíà ïðè r < γ , ãäå γ ýòî ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà (êîòîðàÿ ìîæåò áûòü +∞). Äîêàçàòåëüñòâî îñóùåñòâëÿåòñÿ äåìîíñòðàöèåé òîãî, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè g(r) = λMX (r) − λ − cr (òî åñòü ðàçíîñòü ïðàâîé è ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè) èìååò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: • (a)íà÷èíàåòñÿ â òî÷êå (0,0) ñ îòðèöàòåëüíûì íàêëîíîì • (b)ñòðåìèòñÿ ê ∞ ïðè r ñòðåìÿùåìñÿ ê γ • (c)åãî íàêëîí âñåãäà âîçðàñòàåò, ïîýòîìó ìîæåò áûòü òîëüêî îäèí ýêñòðåìóì Ïîýòîìó ãðàôèê ïåðåñåêàåò îñü x òîëüêî îäèí ðàç ïðè r < γ , òî åñòü ñóùåñòâóåò ðîâíî îäíî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè. Äîêàçàòåëüñòâî îñóùåñòâëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: • (a) Òàê êàê r = 0 âñåãäà ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè: g(0) = 0 214 Ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè g(r) áóäåò: Ñëåäîâàòåëüíî: g 0 (r) = λMX0 (r) − c g 0 (0) = λE(X) − c < 0 • (b) Ìû äîëæíû ïîêàçàòü, ÷òî: lim g(r) = +∞ r→γ Åñëè γ < ∞ (òî åñòüγ êîíå÷íîå),òî ýòî íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî MX (γ) = +∞ è âñå îñòàëüíûå ýëåìåíòû â óðàâíåíèè äëÿ g(r) îñòàþòñÿ êîíå÷íûìè. Åñëè γ = ∞, òî ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü òîò ôàêò, ÷òî E(erX ) äîëæíî áûòü áîëüøå ëþáûõ äðóãèõ ýëåìåíòîâ â ðàçëîæåíèè 1+rE(X)+ 1/2r2 E(X 2 ) + . . . (òàê êàê r è X îáà ïîëîæèòåëüíûå). Èñïîëüçóÿ êâàäðàò ýëåìåíòà, ïîëó÷àåì: g(r) = λE(er X) − λ − cr > λ r2 E(X 2 ) − λ − cr 2 Ïðè r ñòðåìÿùåìñÿ ê ∞, ïåðâîå ñëàãàåìîå ïðàâîé ÷àñòè, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòíûì îòíîñèòåëüíî r ñ ïîëîæèòåëüíûì êîýôôèöèåíòîì, áóäåò ïðåâîñõîäèòü äðóãèå äâà ñëàãàåìûå, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè ôóíêöèÿìè r. Ïîýòîìó g(r) áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê +∞. • (ñ) Âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè g(r) áóäåò: g 00 (r) = λMX00 (r) = λE(X 2 erX ) > 0 òàê êàê ýëåìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîëîæèòåëüíû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íàêëîí ãðàôèêà âñåãäà âîçðàñòàåò. 6.3 Âåðõíÿÿ ãðàíèöà êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè Â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ íåâîçìîæíî íåïîñðåäñòâåííî ðåøèòü óðàâíåíèå êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè. Ïîýòîìó ïðèìåíÿþòñÿ ÷èñëåííûå ìåòîäû. Íà÷àëüíàÿ îöåíêà äëÿ çíà÷åíèÿ ìîæåò áûòü íàéäåíà èç ñëåäóþùåãî íåðàâåíñòâà. Âåðõíÿÿ ãðàíèöà êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè. Êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó: r< 2[c/λ − E(X)] E(X 2 ) 215 Äîêàçàòåëüñòâî Óðàâíåíèå êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè åñòü: λ + cr = λMX (r) Ïðåîáðàçóÿ ïðàâóþ ÷àñòü, ïîëó÷àåì: λ + cr = λE(erX ) = λ[1 + rE(X) + r2 E(X 2 ) + . . .] 2 Òàê êàê âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ X ïðèíèìàþò ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ, òî ñëàãàåìûå ïðàâîé ÷àñòè ïîëîæèòåëüíû. Ïîýòîìó, ïðåíåáðåãàÿ ñëàãàåìûìè, ñòåïåíü êîòîðûõ âûøå X 2 , ïîëó÷àåì: r2 λ + cr > λ[1 + rE(X) + E(X 2 )] 2 Ñîêðàòèâ íà λ ñ êàæäîé ñòîðîíû: cr > λ[rE(X) + r2 E(X 2 )] 2 Ðàçäåëèâ íà r (êîòîðîå äîëæíî áûòü ïîëîæèòåëüíûì): r c > λ[E(X) + E(X 2 )] 2 Ïðåîáðàçóåì, ÷òîáû ïîëó÷èòü íåðàâåíñòâî äëÿ r: r< 2[c/λ − E(X)] E(X 2 ) Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 8.8. Íàéäèòå âåðõíþþ ãðàíèöó äëÿ êî- ýôôèöèåíòà ïîïðàâêè â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå. Çàìåòèì, ÷òî ñîãëàñíî îïðåäåëåííûì îáñòîÿòåëüñòâàì, ìû òàêæå ìîæåì íàéòè íèæíþþ ãðàíèöó äëÿ êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè. Ñìîòðè ïàðàãðàô 3.2 Îñíîâíîé Ëåêöèè äëÿ äîïîëíèòåëüíûõ ïîäðîáíîñòåé. 6.4 Íåðàâåíñòâî Ëóíäáåðãà Çäåñü ûâîäèòñÿ íåðàâåíñòâî Ëóíäáåðãà äëÿ îáîáùåííîãî ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà è îáúÿñíÿåòñÿ ñìûñë êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè. Îäíèì î÷åíü ïîëåçíûì ðåçóëüòàòîì ÿâëÿåòñÿ íåðàâåíñòâî Ëóíäáåðãà. Íåðàâåíñòâî Ëóíäáåðãà 216 Íåðàâåíñòâî Ëóíäáåðãà 4 ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ψ(u) ⩽ e−ru Îáúÿñíåíèå Íåðàâåíñòâî Ëóíäáåðãà ñëåäóåò èç òî÷íîé ôîðìóëû, êîòîðàÿ áûëà ïîëó÷åíà äëÿ âåðîÿòíîñòè îêîí÷àòåëüíîãî ðàçîðåíèÿ äëÿ îáîáùåííîãî ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà, êîòîðàÿ ôîðìóëèðóåòñÿ òàê: ψ(u) = e−ru E[e−ru(T ) | T < ∞] Â ýòîé ôîðìóëå T îáîçíà÷àåò âðåìÿ, êîãäà íàñòóïàåò ðàçîðåíèå (åñëè ýòî êîãäà ëèáî ñëó÷àåòñÿ) è u(t) îáîçíà÷àåò âåëè÷èíó äåôèöèòà íåïîñðåäñòâåííî ïîñëå òîãî, êàê ñëó÷èëñÿ èñê, ïðèâåäøèé ê ðàçîðåíèþ. Òàê êàê äåôèöèò u(T ) äîëæåí áûòü îòðèöàòåëüíûé, −ru(T ) äîëæíî áûòü ïîëîæèòåëüíîé âåëè÷èíîé è e−ru(T ) äîëæíî áûòü áîëüøå 1. Ïîýòîìó óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå â çíàìåíàòåëå òàêæå äîëæíî áûòü áîëüøå 1, è ïîëó÷àåòñÿ íåðàâåíñòâî Ëóíäáåðãà. Äèôôåðåíöèðîâàíèå íåðàâåíñòâà Ëóíäáåðãà ïðèâîäèòñÿ â Ïðèëîæåíèè Â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ çíàìåíàòåëü î÷åíü áëèçîê ê 1, ïîýòîìó çíàê íåðàâåíñòâà áëèçîê ê çíàêó ðàâåíñòâà, òî åñòü ψ(u) ñîâñåì íåíàìíîãî ìåíüøå e−ru . Ýòî çíà÷èò, ÷òî e−ru äàåò õîðîøóþ îöåíêó äëÿ ψ(u). 6.5 Âçàèìîñâÿçü êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè è âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ ψ(u) = e−ru "Ïðè óâåëè÷åíèè êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè, óìåíüøàåòñÿ âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ" Ï ð è ì å ð 8.7 Íà÷åðòèòå ãðàôèê âåðîÿòíîñòè îêîí÷àòåëüíîãî ðàçîðåíèÿ ψ(u), êàê ôóíêöèþ íà÷àëüíîãî ôîíäà ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ u, äëÿ ñèòóàöèè −1 è θ = 0.2 èç ïðèìåðà 4.6, äàíî, ÷òî: β = 0.001 â åäèíèöàõ £ 4 Ôèëèïï Ëóíäáåðã øâåäñêèé ìàòåìàòèê. Îí îïóáëèêîâàë ýòè ðåçóëüòàòû â 1909 ãîäó. 217 Ð å ø å í è å Â ýòîì ñëó÷àå êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè: r= βθ 0.001 × 0.2 = = 0.0001667 1+θ 1.2 −ru = e−0.0001667u Ïîýòîìó: ψ(u) = e Ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì: 6.6 Èçìåíåíèå çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ Â ýòîì ïóíêòå îïèñûâàåòñÿ ýôôåêò âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ, â ñëó÷àÿõ êîíå÷íîãî è áåñêîíå÷íîãî âðåìåíè, ïðè èçìåíåíèè çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ. Çíà÷èìîñòü ðåçóëüòàòîâ Ëóíäáåðãà â òîì, ÷òî ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè êàê èíäèêàòîð ïëàòåæåñïîñîáíîñòè ñòðàõîâùèêà. Áîëüøîå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè îçíà÷àåò íèçêóþ âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ. Ï ð è ì å ð 8.8 Îáúÿñíèòå ýôôåêò èçìåíåíèÿ êàæäîãî èç ïàðàìåòðîâ: u, θ , β è λ äëÿ âåðîÿòíîñòè îêîí÷àòåëüíîãî ðàçîðåíèÿ äëÿ ñèòóàöèè èç Ïðèìåðà 4.6. βθ Ð å ø å í è å Êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè: 1+θ Ðåçóëüòàòû Ëóíäáåðãà ïîêàçûâàþò íàì, ÷òî âåðîÿòíîñòü îêîí÷àòåëüíîãî ðàçîðåíèÿ ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíÿåòñÿ: βθ . ψ(u) = exp − u 1+θ çäåñü âìåñòî = äîëæíî áûòü ðàâíî ñ òî÷êîé. Èçìåíåíèå u: Óâåëè÷åíèå u äàåò óìåíüøåíèå çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ. Ýòî ëîãè÷íî, òàê êàê, ÷åì áîëüøå íà÷àëüíîå çíà÷åíèå u, òåì áîëüøå âåëè÷èíà ôîíäà ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ. Ïîýòîìó ñòðàõîâùèê ìîæåò îïëàòèòü äîïîëíèòåëüíûå óáûòêè ïðåæäå, ÷åì îêàæåòñÿ ïëàòåæåñïîñîáíûì. Èçìåíåíèå θ : Òàê êàê θ 1 1+θ = 1 − 1+θ , òî óâåëè÷åíèå θ äàåò óìåíüøåíèå çíà- ÷åíèÿ âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ. È ñíîâà ýòî ëîãè÷íî, òàê êàê ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñòðàõîâùèê âêëþ÷àåò áîëüøóþ áåçîïàñíóþ íàãðóçêó. Ïîýòîìó íàãðóæåííûå ïðåìèè ïðåâûøàþò ïðåìèþ çà ðèñê íà áîëüøóþ âåëè÷èíó. Èçìåíåíèå β : Óâåëè÷åíèå β äàåò óìåíüøåíèå çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ. È ñíîâà ýòî ëîãè÷íî, òàê êàê ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñðåäíåå çíà÷åíèå âåëè÷èíû èñêà 1 β óìåíüøàåòñÿ. Ïîýòîìó ñóììà, âûïëà÷èâàåìàÿ ñòðàõîâùèêîì ïî èñêàì, óìåíüøàåòñÿ. Èçìåíåíèå λ: Òàê êàê ôîðìóëà íå ñîäåðæèò êàêóþ áû òî íè áûëî λ, òî èçìåíåíèå çíà÷åíèÿ λ íèêàê íå âëèÿåò íà âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ. Ýòî ëîãè÷íî, åñëè ìû ïîíèìàåì, ÷òî λ îçíà÷àåò. λ ýòî íîðìà ïðîèñøåñòâèÿ èñêîâ, âûðàæåííàÿ â òåðìèíàõ ïðîèçâîëüíûõ ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè, íàïðèìåð 100 èñêîâ â ãîä. Åñëè, ñêàæåì, λ óâåëè÷èëè äî 100 èñêîâ â ìåñÿö, òî âåðîÿòíîñòü îêîí÷àòåëüíîãî ðàçîðåíèÿ äëÿ íåïðåðûâíîé ìîäåëè áóäåò òî÷íî òàêàÿ æå, òàê êàê 218 ðàçëè÷èå áóäåò òîëüêî â òîì, ÷òî âñå áóäåò ïðîèñõîäèòü â 12 ðàç áûñòðåå. Ïîýòîìó ðàçîðåíèå ìîæåò ïðîèçîéòè â òî÷íî òàêèõ æå îáñòîÿòåëüñòâàõ, ðàçíèöà áóäåò òîëüêî â òîì, ÷òî, åñëè ýòî ïðîèçîéäåò, ýòî ïðîèçîéäåò â 1/12 âðåìåíè. (Çàìåòèì, ÷òî âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ äëÿ êîíå÷íîãî ïåðèîäà âðåìåíè çàâèñèò îò çíà÷åíèÿ λ.) 6.7 Ýôôåêò ïåðåñòðàõîâàíèÿ Ýòîò ïîäïàðàãðàô àíàëèçèðóåò âëèÿíèå êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè è, ñëåäîâàòåëüíî, íà âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ ïðè ïðîñòûõ ñîãëàøåíèÿõ ïåðåñòðàõîâàíèÿ. Êîãäà èñêè ïåðåñòðàõîâàíû, âû÷èñëåíèÿ òî÷íî òàêèå æå, êàê è ðàíüøå, èñêëþ÷àÿ òî, ÷òî ïðåìèè è èñêè, èñïîëüçóåìûå â âû÷èñëåíèÿõ äîëæíû áûòü èñïðàâëåíû òàê, ÷òî îíè äîëæíû áûòü ÷èñòûìè îò ïåðåñòðàõîâàíèÿ. Ï ð è ì å ð 8.9 (example(4.9)) Èñêè ñëó÷àþòñÿ ñîãëàñíî ïóàññîíîâñêîìó ïðîöåññó ñ ïàðàìåòðîì λ, è âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ X èìåþò Exp(β) ðàñïðåäåëåíèå. Îôèñíûå ïðåìèè âêëþ÷àþò â ñåáÿ áåçîïàñíóþ íàãðóçêó θ1 . Äåéñòâóåò äîãîâîð ýêñöåäåíòà èíäèâèäóàëüíîãî óáûòêà, ñîãëàñíî êîòîðîìó ïåðåñòðàõîâùèê îïëà÷èâàåò ýêñöåäåíò èíäèâèäóàëüíîãî óáûòêà, ïðåâûøàþùåãî âåëè÷èíó M , â îïëàòó çà ïðåìèþ, ðàâíóþ ïðåìèè çà ðèñê ïåðåñòðàõîâàíèÿ óâåëè÷åííóþ íà îòíîñèòåëüíóþ áåçîïàñíóþ íàãðóçêó θ2 . Âûâåäèòå óðàâíåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå êîýôôèöèåíòó ïîïðàâêè, äëÿ ïðÿìîãî ñòðàõîâùèêà. Ð å ø å í è å Óðàâíåíèå êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè λ + cr = λMX (r) Íåòòî-ñòàâêà äîõîäà îò ïðåìèé äëÿ ïðÿìîãî ñòðàõîâùèêà ðàâíÿåòñÿ ñòàâêå ïðåìèè, íàãðóæåííîé äëÿ ñòðàõîâàòåëÿ, ìèíóñ ñòàâêà ïðåìèé, âûïëà÷èâàåìàÿ ïåðåñòðàõîâùèêó. 1 c = (1 + θ1 )λ − (1 + θ2 )λ β Z∞ (x − M )βe−βx dx M Âòîðîå ñëàãàåìîå ìîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü, èñïîëüçóÿ çàìåíó y = x − M . Ïîëó÷àåì: 1 c = λ [(1 + θ1 ) − (1 + θ2 )e−βM ] β Èíäèâèäóàëüíûå íåòòî èñêè ýòî èñêè, âûïëà÷èâàåìûå ñòðàõîâàòåëþ, ìèíóñ ïîêðûòèÿ ïåðåñòðàõîâàíèÿ. Ïîýòîìó ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ (êîòîðàÿ îïðåäåëåíà ïðè r < ∞) áóäåò: ZM MX (r) = rx e βe 0 −βx Z∞ dx + erM βe−βx dx = M 219 1 [β − re−(β−r)M ] β−r Ïîýòîìó óðàâíåíèå êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè: 1 1 λ + λ [(1 + θ1 ) − (1 + θ2 )e−βM ]r = λ [β − re−(β−r)M ] β β−r Ñîêðàùàÿ íà λ è óìíîæàÿ íà β(β − r), ïîëó÷àåì: β(β − r) + (β + r)[(1 + θ1 ) − (1 + θ2 )e−βM ]r = β[β − re−(β−r)M ] Ñîêðàùàÿ íà β 2 ñ êàæäîé ñòîðîíû: −βr + (β − r)[(1 + θ1 ) − (1 + θ2 )e−βM ]r = −βre−(β−r)M Ñîêðàòèì íà r , èñêëþ÷àÿ òðèâèàëüíîå ðåøåíèå, ïîëó÷èì: −β + (β + r)[(1 + θ1 ) − (1 + θ2 )e−βM ] = −βe−(β−r)M Êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè r ýòî ìèíèìàëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ. Óðàâíåíèå êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè îáû÷íî íå ìîæåò áûòü ðåøåíî ÿâíî ñ ïîìîùüþ àëãåáðû. Ïîýòîìó îáû÷íî èñïîëüçóþòñÿ ÷èñëåííûå ìåòîäû. Ï ð è ì å ð 8.10 Èñïîëüçóÿ ïðèáëèæåíèå ex = 1 + x + x2 /2 íàéäèòå ïðèáëèçèòåëüíîå ÷èñëåííîå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè äëÿ ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà ïðè β = 0.05, θ1 = 0.3, θ2 = 0.4 è M = 10 Ð å ø å í è å Èñïîëüçóÿ äàííûå çíà÷åíèÿ, óðàâíåíèå êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè áóäåò: −0.5 + (0.05 + r)(1.3 − 1.4e−0.5 ) = −0.05e−0.5+10r 0.5 , ÷òîáû èçáàâèòüñÿ îò íåêîòîðûõ äðîáåé, ïîëó÷àåì: Óìíîæàÿ íà −20e e0.5 − (1 − 20r)(1.3e0.5 − 1.4) = e10r Ðàñêðûâàåì ñêîáêè â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà è èñïîëüçóåì ïðèáëèæåíèå â ïðàâîé: 0.90538 + 14.8668r = 1 + 10r + 50r2 òî åñòü − 0.09462 + 4.8668r − 50r2 = 0 Ðåøàåì, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó äëÿ êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ (âûáèðàåì íàèìåíüøèé ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü), ïîëó÷àåì: r= −4.8668 + p 4.86682 − 4(−50)(0.09462) = 0.0268 2(−50) 220 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 8.9. Íàéäèòå íàèëó÷øåå ïðèáëèæåíèå êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè äëÿ ýòîãî ïðèìåðà, èñïîëüçóÿ ìåòîä ÍüþòîíàÐàôñîíà. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 8.10. Âûâåäèòå ôîðìóëó êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè ïåðåñòðàõîâùèêà äëÿ ïðèìåðà 8.9 è îáúÿñíèòå ñâîé îòâåò. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 8.11. Âûâåäèòå ôîðìóëó êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè ïðÿìîãî ñòðàõîâùèêà äëÿ ïðèìåðà 8.9, åñëè äåéñòâóåò êâîòíûé äîãîâîð ïåðåñòðàõîâàíèÿ, ñîãëàñíî êîòîðîìó ïåðåñòðàõîâùèê îïëà÷èâàåò äîëþ 1 − k âñåõ èñêîâ è ïîëó÷àåò äîëþ 1 − k âñåõ ïðåìèé. 221 7 Êðàòêîå èçëîæåíèå Ìîäåëü ôîíäà ñîáñòâåííûõ ñðåäñòâ îñíîâíîãî ñòðàõîâùèêà â áóäóùåì ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ñ ïîìîùüþ ìîäåëè ðàçâèòèÿ ñóììàðíîãî èñêà, êîòîðàÿ èñïîëüçóåòñÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ â ñëó÷àÿõ êîíå÷íîãî è áåñêîíå÷íîãî âðåìåíè äëÿ íåïðåðûâíîé è äèñêðåòíîé ìîäåëè. ×èñëî èñêîâ ìîæåò áûòü ñìîäåëèðîâàíî, èñïîëüçóÿ ïðîöåññ Ïóàññîíà. Îáùèå ñóììû èñêîâ ìîãóò áûòü ñìîäåëèðîâàíû, èñïîëüçóÿ îáîáùåííûé ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ. Äëÿ íåïðåðûâíîé ìîäåëè â ñëó÷àå áåñêîíå÷íîãî âðåìåíè íåðàâåíñòâî Ëóíäáåðãà, êîòîðîå èñïîëüçóåò ïàðàìåòð, íàçûâàåìûé êîýôôèöèåíòîì ïîïðàâêè, îáåñïå÷èâàåò õîðîøóþ îöåíêó âåðîÿòíîñòè îêîí÷àòåëüíîãî ðàçîðåíèÿ. Âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ ìîæíî òàêæå âû÷èñëèòü, êîãäà äåéñòâóåò ïåðåñòðàõîâàíèå, ðàáîòàÿ ñ íåòòî-èñêàìè è íåòòî-ïðåìèÿìè. 8 Ôîðìóëû Ïðîöåññ ñóììàðíûõ èñêîâ U (t) = u + ct − S(t), ( íåïðåðûâíûé ñëó÷àé ) t⩾0 Âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ ψ(u) = P [U (t) < 0 äëÿ íåêîòîðûõ t] íåïðåðûâíûé ñëó÷àé ψ(u, t0 ) = P [U (t) < 0 äëÿ íåêîòîðûõ t ⩽ t0 ] ψh (u) = P [U (t) < 0 äëÿ íåêîòîðûõ t = h, 2h, 3h, . . .] äèñêðåòíûé ñëó÷àé ψh (u) = P [U (t) < 0 äëÿ íåêîòîðûõ t = h, 2h, 3h, . . . è t ⩽ t0 ] Ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ P [N (t) = x] = px (t) = (λt)x e−λt x! fT (t) = λe−λt (x = 0, 1, 2, . . .) (t > 0) Ñìåøàííûé ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ MS(t) (u) = eλt[Mx (u)−1] E[S(t)] = λtE(X) 222 V ar[S(t)] = λtE(X 2 ) Êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè λ + cr = λMX (r) 2[c/λ − E(X)] E(X 2 ) r< Íåðàâåíñòâî Ëóíäáåðãà ψ(u) ⩽ e−ru ψ(u) = e−ru E[e−ru(T ) | T < ∞] . ψ(u) = e−ru Íåðàâåíñòâî Ëóíäáåðãà x∗ = x − f (x) = 0 223 f (x) f 0 (x) 9 Ïðèëîæåíèå Â îñíîâíîì òåêñòå ìû èñïîëüçîâàëè íåðàâåíñòâî Ëóíäáåðãà áåç äîêàçàòåëüñòâà. Äîêàçàòåëüñüòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ïðèâîäèòñÿ íèæå. Ðàáîòà íàä äîêàçàòåëüñòâîì ïîêàçûâàåò, ïî÷åìó êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè îïðåäåëÿåòñÿ òàêèì ñïîñîáîì. Âû äîëæíû óìåòü âîñïðîèçâåñòè ýòî äîêàçàòåëüñòâî íà ýêçàìåíå. Íåðàâåíñòâî Ëóíäáåðãà Äëÿ ñìåøàííîãî ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà: ψ(u) ⩽ e−ru Äîêàçàòåëüñòâî (ñõåìà) Äîêàçàòåëüñòâî èñïîëüçóåò ìàòåìàòè÷åñêóþ èíäóêöèþ. Ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà: 1. Ïîêàçûâàåì, ÷òî ðåçóëüòàò ýêâèâàëåíòåí äîêàçàòåëüñòâó òîãî, ÷òî ψn (u) ⩽ e−ru äëÿ n = 1, 2, . . . ,, ãäå ψn (u) âåðîÿòíîñòü, ÷òî ðàçîðåíèå ïðîèçîéäåò íå ïîçäíåå n-îãî èñêà.5 2. Âûâîä âûðàæåíèÿ äëÿ ψ1 (u) â òåðìèíàõ èíòåãðàëîâ. 3. Ïîêàçûâàåì (èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòà êîððåêöèè), ÷òî ψ1 (u) ⩽ e−ru , òî åñòü, ÷òî íåðàâåíñòâî âåðíîå äëÿ n = 1. 4. Âûðàæåíèå ψn+1 (u) ÷åðåç ψn (u), îïðåäåëÿþùååñÿ âðåìåíåì è âåëè÷èíîé ïåðâîãî èñêà. 5. Èñïîëüçîâàíèå ýòîãî îòíîøåíèÿ , ÷òîáû ïîêàçàòü , ÷òî, åñëè ψn (u) ⩽ e−ru , òî ψn+1 (u) ⩽ e−ru . (Ïðîöåññ, ïðîèñõîäÿùèé íà ýòîé ñòàäèè î÷åíü ïîõîæ íà ñòàäèþ 3.) 5 Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî èñïîëüçóåìîå çäåñü ψ (u) îòëè÷àåòñÿ îò ψ (u), êîòîðîå ìû n h èñïîëüçîâàëè ðàíåå äëÿ âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ â äèñêðåòíîé ìîäåëè. Ðåçóëüòàò æå Ëóíäáåðãà ïðèìåíÿåòñÿ òîëüêî äëÿ íåïðåðûâíîé ìîäåëè. Ýòî íå äîëæíî âûçûâàòü ïóòàíèöó. 224 Äåòàëè êàæäîé èç ñòóïåíåé äîêàçàòåëüñòâà òàêîâû: Ñòóïåíü 1 Åñëè ïðîèñõîäèò ðàçîðåíèå, òî îíî äîëæíî ñëó÷èòñÿ âî âðåìÿ èñêà. Åñëè ìû çàäàäèì ψn (u), ÷òîáû îïðåäåëèòü ðàçîðåíèå, êîòîðîå ñëó÷èòüñÿ âî âðåìÿ èëè äî n-îãî èñêà, òîãäà âåðîÿòíîñòü îêîí÷àòåëüíîãî ðàçîðåíèÿ ψ(u) = lim ψn (u) è íåðàâåíñòâî ψ(u) ⩽ e−ru ýêâèâàëåíòíî óòâåðæäån→∞ íèþ, ÷òî ψn (u) ⩽ e−ru äëÿ âñåõ çíà÷åíèé n=1,2,. . . . Ñòóïåíü 2 Ñ òîãî ìîìåíòà êàê ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî èñêè ïðîèñõîäÿò â ñîîòâåòñòâèè ñ ïóàññîíîâñêèì ïðîöåññîì, âðåìÿ, êîòîðîå ïðîéäåò äî ïåðâîãî èñêà èìååò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ êîýôôèöèåíòîì λ. Òîãäà âåðîÿòíîñòü, ÷òî èñê ñëó÷èòñÿ â êîðîòêèé âðåìåííîé èíòåðâàë (t, t + dt), ðàâíà λe−λt dt Ðàçîðåíèå íàñòóïèò â ýòîì ïðîìåæóòêå, åñëè u + ct − x < 0, ãäå x îáîçíà÷àåò âåëè÷èíó ïåðâîãî èñêà. ×òî ýêâèâàëåíòíî: x > u + ct Òîãäà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïåðâûé èñê ïðîèçîéäåò âî âðåìåííîì èíòåðâàëå (t, t + dt) è ÷òî îí áóäåò äîñòàòî÷íî áîëüøèì, ÷òîáû âûçâàòü ðàçîðåíèå ðàâíà: Z∞ λe−λt dt × fX (x)dx u+ct Èíòåãðèðîâàíèå ïî âñåì áóäóùèì âðåìåííûì èíòåðâàëàì, â òå÷åíèå êîòîðûõ ìîæåò ïðîèçîéòè ïåðâûé èñê, äàåò âûðàæåíèå äëÿ âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî îí âûçîâåò ðàçîðåíèå: Z∞ ψ1 (u) = λe 0 −λt Z∞ fX (x)dxdt u+ct Ñòóïåíü 3 Âíóòðåííèé èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî ïåðåìåííûì x, äëÿ êîòîðûõ x > u + ct, òî åñòü u + ct − x < 0. Òàê êàê ïîïðàâî÷íûé êîýôôèöèåíò äëÿ ýòèõ x áîëüøå èëè ðàâåí 0, èìååì íåðàâåíñòâî −r(u + ct − x) ⩾ 0, êîòîðîå îçíà÷àåò, ÷òî e−r(u+ct−x) ⩾ 1. 225 Òîãäà, åñëè ìû ââåäåì äîïîëíèòåëüíûé êîýôôèöèåíò e−r(u+ct−x) âî âíóòðåííèé èíòåãðàë, ýòî ìîæåò òîëüêî óâåëè÷èòü åãî çíà÷åíèå. Èòàê: Z∞ ψ1 (u) = λe −λt 0 Z∞ e−r(u+ct−x) fX (x)dxdt u+ct Òàê êàê ýêñïîíåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ âñåãäà èìååò ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ, êîýôôèöèåíò e−r(u+ct−x) áóäåò òàêæå ïîëîæèòåëüíûì, êîãäà x ⩽ u + ct. Åñëè ìû ðàñøèðèì èíòåãðàë, ÷òîáû âêëþ÷èòü ñþäà òàêæå è ýòîò ðÿä ïåðåìåííûõ, ýòî, îïÿòü æå, ìîæåò òîëüêî óâåëè÷èòü åãî çíà÷åíèå (òàê êàê fX (x) òîæå âñåãäà ïîëîæèòåëüíà). Òîãäà: Z∞ ψ1 (u) = λe −λt 0 Z∞ e−r(u+ct−x) fX (x)dxdt . . . (2) 0 Âûâîäèì çà çíàê èíòåãðàëà âåëè÷èíû, íå çàâèñÿùèå îò x è îò t: ψ1 (u) = e−ru Z∞ λe−(λ+cr)t 0 Z∞ erx fX (x)dxdt 0 Ñåé÷àñ ìû âèäèì, ÷òî âíóòðåííèé èíòåãðàë ýòî MX (r), òî åñòü ìîìåíò ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè âåëè÷èíû èíäèâèäóàëüíîãî èñêà, îöåíåííûì çíà÷åíèåì êîýôôèöèåíòà ïîïðàâêè. −ru Z∞ ψ1 (u) = e λMX (r)e−(λ+cr)t dt 0 Òàê êàê ïîïðàâî÷íûé êîýôôèöèåíò îïðåäåëÿåòñÿ êàê êîðåíü óðàâíåíèÿ λMX (r) = λ + cr:6 Z∞ ψ1 (u) = e−ru (λ + cr)e−(λ+cr)t dt 0 Òàê êàê èíòåãðàë ñîîòâåòñòâóåò ôóíêöèè ïëîòíîñòè ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì λ+cr, ïðîèíòåãðèðîâàííîé ïî âñåé îáëàñòè, îí ðàâåí 1. Ïîëó÷àåì ψ1 (u) ⩽ e−ru 6 Ýòî è åñòü ïðè÷èíà, ïî êîòîðîé êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè îïðåäåëÿåòñÿ òàêèì îáðàçîì 226 Ñòóïåíü 4 Ìû ìîæåì óñòàíîâèòü îòíîøåíèå ìåæäó ψn+1 (u) è ψn (u), áàçèðóÿñü íà âðåìåíè è âåëè÷èíå ïåðâîãî èñêà. Åñëè ïåðâûé èñê ïðîèçîøåë â ìîìåíò âðåìåíè t, òî (à) âåëè÷èíà èñêà áóäåò òàêîé, ÷òî x > u + ct, â òàêîì ñëó÷àå ðàçîðåíèå íàñòóïèò â ýòîò ìîìåíò. èëè (á) âåëè÷èíà èñêà áóäåò òàêîé, ÷òî x ⩽ u + ct, òîãäà ïðîöåññ áóäåò ïðî- äîëæàòüñÿ, íà÷èíàÿ ñ îñòàòêà u + ct − x â ìîìåíò âðåìåíè t. Òîãäà ψn+1 (u), âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ðàçîðåíèå íàñòóïèò íà èëè äî n + 1îãî èñêà, ìîæåò áûòü âûðàæåíî êàê ñóììà äâóõ êîìïîíåíòîâ: (à) âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïåðâûé èñê áóäåò äîñòàòî÷íî áîëüøèì, ÷òîáû âûçâàòü ðàçîðåíèå, ïðåîáëàäàþùàÿ ñ êîýôôèöèåíòîì 1 (òàê êàê ðàçîðåíèå áåññïîðíî â ýòîì ñëó÷àå) è (á) âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïåðâûé èñê íå îêàæåòñÿ íàñòîëüêî âåëèê, ÷òî- áû âûçâàòü ðàçîðåíèå, ïðåîáëàäàþùàÿ ñ êîýôôèöèåíòîì ψn (u+ct− x) (òî åñòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ðàçîðåíèå âïîñëåäñòâèè ïðîèçîéäåò äî èëè íà n-îì èñêå, íà÷èíàÿ ñ íîâîãî îñòàòêà u + ct − x). Âûðàæàÿñü ìàòåìàòè÷åñêè, ýòî íàáëþäåíèå ïðèâåäåò íàñ ê ñëåäóþùåìó îòíîøåíèþ, ãäå ïåðâûé äâîéíîé èíòåãðàë îòíîñèòñÿ ê ñëó÷àþ (à) è âòîðîé îòíîñèòñÿ ê ñëó÷àþ (á): Z∞ ψn+1 (u) = λe 0 −λt Z∞ u+ct Z∞ 1fX (x)dxdt + λe 0 −λt u+ct Z ψn (u + ct − x)fX (x)dxdt 0 Ñòóïåíü 5 ×òîáû âûïîëíèòü øàã èíäóêöèè, ìû ïðåäïîëîæèì (óñëîâíî), ÷òî ýòîò ðåçóëüòàò âåðåí äëÿ îïðåäåëåííîãî çíà÷åíèÿ n, òî åñòü ψn (u) ⩽ e−ru (ïðè êàêîì-ëèáî îñòàòêå u). B ÷àñòíîñòè, ýòî ïðåäïîëàãàåò, ÷òî: ψn (u + ct − x) ⩽ e−r(u+ct−x) 227 Òîãäà, èç îòíîøåíèÿ, âûâåäåííîãî â Ñòóïåíè 4: Z∞ ψn+1 (u) = λe 0 −λt Z∞ Z∞ 1fX (x)dxdt + u+ct λe −λt u+ct Z e−r(u+ct−x) fX (x)dxdt 0 0 Îïÿòü æå, ââåäåíèå äîïîëíèòåëüíîãî êîýôôèöèåíòà e−r(u+ct−x) âî âíóòðåííèé èíòåãðàë ìîæåò òîëüêî óâåëè÷èòü åãî çíà÷åíèå. Åñëè ìû ñäåëàåì ýòî, ïðàâàÿ ñòîðîíà ñòàíåò òàêîé: Z∞ λe 0 −λt Z∞ −r(u+ct−x) e Z∞ fX (x)dxdt + u+ct λe −λt 0 u+ct Z e−r(u+ct−x) fX (x)dxdt 0 Òàê êàê ôóíêöèè, èíòåãðèðóåìûå â ýòèõ äâóõ äâîéíûõ èíòåãðàëàõ òåïåðü îäèíàêîâû, ìû ìîæåì ñêîìáèíèðîâàòü èõ, ÷òîáû ïîëó÷èòü: Z∞ ψn+1 (u) = 0 λe−λt Z∞ e−r(u+ct−x) fX (x)dxdt 0 Ýòî òîò æå èíòåãðàë, êîòîðûé ó íàñ áûë â íåðàâåíñòâå (2) â Ñòóïåíè 3. Òîãäà: ψn+1 (u) ⩽ e−ru Èòàê, ìû ïîêàçàëè, ÷òî íåðàâåíñòâî âåðíîå äëÿ n = 1 è ÷òî, åñëè îíî âåðíî äëÿ n, òî îíî òàêæå âåðíî äëÿ n + 1. Èç ïðèíöèïà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ñëåäóåò, ÷òî îíî âåðíîå äëÿ âñåõ çíà÷åíèé n = 1, 2, . . . òî åñòü ψn (u) ⩽ e−ru äëÿ n = 1, 2, . . . ⇒ ψ(u) ⩽ e−ru Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 8.12. Çàïèøèòå èíòåãðàëüíîå ñîîòíî- øåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ψ(u), âåðîÿòíîñòè îêîí÷àòåëüíîãî ðàçîðåíèÿ. 228 ×àñòü V 229 Ãëàâà 9 Áàéåñîâñêèå ìåòîäû Öåëü ãëàâû: Ïîñëå èçó÷åíèÿ äàííîé ãëàâû âû ñìîæåòå: • Îïèñûâàòü îöåíêó ïðèáëèæåíèÿ ïî Áàéåñó • Ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé Áàéåñà äëÿ ðàñ÷åòà ïðîñòûõ âåðîÿòíîñòåé • Ïîíèìàòü âçàèìîîòíîøåíèÿ ìåæäó àïðèîðíûì ðàñïðåäåëåíèåì ïàðàìåòðà, ôóíêöèåé ïðàâäîïîäîáèÿ è àïîñòåðèîðíûì ðàñïðåäåëåíèåì • Îïðåäåëÿòü àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå â ïðîñòûõ ñëó÷àÿõ • Îïèñûâàòü è ïîëüçîâàòüñÿ íàèáîëåå îáùèìè òèïàìè ôóíêöèè óùåðáà • Ïðèìåíÿòü Áàéåñîâñêèå ìåòîäû äëÿ îïðåäåëåíèÿ òî÷åê è èíòåðâàëîâ îöåíêè ïàðàìåòðîâ 1 Ââåäåíèå Äî ñèõ ïîð ìû ðàññìàòðèâàëè êëàññè÷åñêóþ îöåíêó ñòàòèñòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ. Â ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì Áàéåñîâñêèå ìåòîäû ïðåäîñòàâëÿþùèå àëüòåðíàòèâíóþ îöåíêó ïðèáëèæåíèÿ. Ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ Áàéåñîâñêèì ïîäõîäîì â Ãëàâå 6 (Òåîðèÿ Äîñòîâåðíîñòè (âåðîÿòíîñòè)). Ñîäåðæàíèå ãëàâû Ñore reading ââîäèò íàñ â îñíîâíûå èäåè Áàéåñîâñêîé 230 ñòàòèñòèêè. Çàòåì â íåé ôîðìóëèðóåòñÿ Òåîðåìà Áàéåñà è ïðèâîäÿòñÿ ïðèìåðû åå ïðèìåíåíèÿ. Â ïîñëåäóþùèõ ÷àñòÿõ ðàññìàòðèâàþòñÿ àïðèîðíîå è àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèÿ è ïðèìåíåíèå ðàçëè÷íûõ ôóíêöèé óùåðáà. Â ôèíàëüíîé ÷àñòè äåìîíñòðèðóåòñÿ ïðèìåíåíèå áåòà/áèíîìèàëüíîé ìîäåëè â Áàéåñîâñêîé ñòàòèñòèêå. 2 Ïîäõîäû ê ñòàòè÷åñêèì âûâîäàì 2.1 Êëàññè÷åñêèé ïîäõîä ×àñòî èññëåäîâàòåëè, èçó÷àþùèå íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, ïîëó÷àþò èíôîðìàöèþ èç äðóãèõ èñòî÷íèêîâ ïåðåä íà÷àëîì ðàáîòû ïðåäñòàâëÿþùèé ÷åòêèå ïðèçíàêè òåõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà, êîòîðûå îí âåðîÿòíî ìîæåò ïðèíèìàòü. Ýòà äîïîëíèòåëüíàÿ èíôîðìàöèÿ ìîæåò áûòü â òàêîé ôîðìå, ÷òî åå íåëüçÿ íåïîñðåäñòâåííî âñòàâèòü â ýòó ðàáîòó. Êëàññè÷åñêèé ñòàòèñòè÷åñêèé ïîäõîä íå ïðåäîñòàâëÿåò èíäèêàòîðîâ, ïî êîòîðûì èññëåäîâàòåëü ìîæåò ñäåëàòü âûâîä ìîæíî ëè ó÷èòûâàòü ýòó äîïîëíèòåëüíóþ èíôîðìàöèþ. Ïðèìåðîì ýòîãî ÿâëÿåòñÿ òî, êîãäà ñòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ ïåðåñìàòðèâàåò ñòàâêè ñòðàõîâîãî âçíîñà äëÿ îòäåëüíîãî òèïà ñòðàõîâîãî ïîëèñà è ïðè ýòîì èìååò äîñòóï ê ðåçóëüòàòàì äðóãèõ ñòðàõîâûõ êîìïàíèé, â òîé æå ñòåïåíè êàê è ê äàííûì ñîáñòâåííûõ äåðæàòåëåé ñòðàõîâûõ ïîëèñîâ. Ýòè äàííûå íåëüçÿ ñðàâíèâàòü íåïîñðåäñòâåííî, ïîòîìó ÷òî ñðîêè è óñëîâèÿ ïîëèñîâ äðóãèõ êîìïàíèé ìîãóò ñëåãêà îòëè÷àòüñÿ. Îäíàêî â ýòèõ äîïîëíèòåëüíûõ äàííûõ ìîæåò ñîäåðæàòüñÿ ìíîãî ïîëåçíîé èíôîðìàöèè, êîòîðîé íå ñëåäóåò ïðåíåáðåãàòü. 2.2 Áàéåñîâñêèé ïîäõîä Áàéåñîâñêèé ìåòîä äàåò áîëåå ãèáêèé ïîäõîä, ïîçâîëÿþùèé èññëåäîâàòåëþ ñî÷åòàòü ëþáóþ äîñòóïíóþ àïðèîðíóþ èíôîðìàöèþ ñ ðåçóëüòàòàìè èññëåäîâàíèé äëÿ ñîçäàíèÿ ïîëíîé îáùåé êàðòèíû. Ñîãëàñíî áàéåñîâñêîìó ïîäõîäó ïàðàìåòðû ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, êîòîðûå îáû÷íî íåèçâåñòíû, ñ÷èòàþòñÿ òàê, êàê åñëè áû îíè ÿâëÿëèñü ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè, ò.å. îíè ìîäåëèðóþòñÿ, èñïîëüçóÿ âåðîÿòíîñòíóþ ôóíêöèþ èëè ôóíêöèþ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè, 231 îòðàæàþùèå ñòåïåíü âåðîÿòíîñòè, ñ êîòîðîé îíè ìîãóò ïðèíèìàòü îïðåäåëåííûå çíà÷åíèÿ, îïèðàÿñü íà äîñòóïíóþ èíôîðìàöèþ. Áàéåñîâñêèé ïîäõîä âêëþ÷àåò ñëåäóþùèå øàãè: Øàã 1 (âûáîð ïàðàìåòðà àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ) Êàæäûé íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð ïåðâîíà÷àëüíî ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî îí ïîëó÷àåòñÿ èç îòäåëüíîãî àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, âûáðàííîãî äî òîãî, êàê èññäåëîâàíèå áûëî ñäåëàíî. Âûáðàííîå àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå îòðàæàåò ïåðâîíà÷àëüíîå "ìíåíèå"èññëåäîâàòåëÿ îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðà, îñíîâàííîå íà ëþáîé äîñòóïíîé äîñòîâåðíîé êëþ÷åâîé èíôîðìàöèè. Øàã 2(îïðåäåëåíèå ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ) Çàòåì ïðîâîäèòñÿ èññëåäîâàíèå/ýêñïåðèìåíò äëÿ ïîëó÷åíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ äàííûõ î íåèçâåñòíîì ïàðàìåòðå. Äëÿ ëþáîãî óêàçàííîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ ïîëó÷åíèÿ îòäåëüíîãî ðåçóëüòàòà â èññëåäîâàíèè. Øàã 3 (îïðåäåëåíèå àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðà) Àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ïàðàìåòðà äëÿ íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ îïðåäåëÿåòñÿ äàëåå ñî÷åòàÿ àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ïàðàìåòðà ñ ôóíêöèåé ïðàâäîïîäîáèÿ ðåçóëüòàòîâ. Àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå îòðàæàåò ìíåíèå èññëåäîâàòåëÿ îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðà ïîñëå ïðîâåäåíèÿ èññëåäîâàíèÿ. Øàã 4 (âûáîð ôóíêöèè óùåðáà) Âûáèðàåòñÿ ôóíêöèè óùåðáà, êîòîðàÿ îòðàæàåò íàñêîëüêî "ñåðüåçíû"ëþáûå ðàñõîæäåíèÿ ìåæäó îöåíèâàåìûì çíà÷åíèåì ïàðàìåòðà è äåéñòâèòåëüíûì çíà÷åíèåì ïàðàìåòðà. Øàã 5 (îöåíêà íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà) Çàòåì àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ñî÷åòàåòñÿ ñ ôóíêöèåé ïîòåðè äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíêè íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà. 1 1 Òîìàñ Áåéåñ Thomas Bayes (1702-1761) àíãëèéñêèé òåîëîã è èññëåäîâàòåëü òåîðèè âåðîÿòíîñòè. 232 3 Ôîðìóëà Áàéåñà Îäíèì èç êëþ÷åâûõ øàãîâ â Áàéåñîâñêîì ïîäõîäå ÿâëÿåòñÿ ñî÷åòàíèå àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðà ñ ôóíêöèåé ïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðà. Ýòî îñóùåñòâëÿåòñÿ c èñïîëüçîâàíèåì ðåçóëüòàòîâ òåîðèè âåðîÿòíîñòè, èçâåñòíûõ êàê Ôîðìóëà Áàéåñà, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíà òàê: Ôîðìóëà Áàéåñà (äèñêðåòíàÿ ôîðìà) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ó íàñ åñòü íàáîð âçàèìîèñêëþ÷àþùèõ è ñîñòàâëÿþùèõ ïîëíóþ ãðóïïó ñîáûòèé, òàê ÷òî A1, A2, ..., Am è äðóãîå ñîáûòèå B òàêîå ÷òî P (B) 6= 0. Òîãäà ìû ìîæåì âû÷èñëèòü P (Ai |B)ñëåäóþùèì îáðàçîì: i )P (Ai ) P (Ai |B) = ΣPi P(B|A (B|Ai )P (Ai ) Äîêàçàòåëüñòâî Ðåçóëüòàò ïîëó÷àåòñÿ ñðàçó, êàê òîëüêî ìû âñòàâëÿåì ïðîìåæóòî÷íûé øàã: i ∧B) i )P (Ai ) P (Ai |B) = P (A = ΣPi P(B|A P (B) (B|Ai )P (Ai ) Ïåðâîå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè P (Ai |B). Âòîðîå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ P (B|Ai ) â ÷èñëèòåëå è ïðèâåäåíèÿ êàæäîãî èç âîçìîæíûõ ñîáûòèé Ai â çíàìåíàòåëå. Â ñèòóàöèè, êîãäà ôîðìóëà Áàéåñà èñïîëüçóåòñÿ òàì, ãäå åñòü íàáîð óñëîâíûõ âåðîÿòíîñòåé, êîòîðûå ìû äîëæíû ïðèâåñòè "ðàçâåðíóòîìó âèäó". Ï ð è ì å ð 9.1 Ïðîèçâîäñòâåííàÿ êîìïàíèÿ ïîêóïàåò 80% ñâîèõ êîìïëåêòóþùèõ ó ïîñòàâùèêà X è 20% ó ïîñòàâùèêà Y . Â ïðîøëîì ãîäó 5% êîìïëåêòóþùèõ ïîëó÷åííûõ îò ïîñòàâùèêà X áûëè ñ äåôåêòîì è 1% êîìïëåêòóþùèõ îò ïîñòàâùèêà Y ÿâëÿëèñü äåôåêòíûìè. Â êàêèõ ïðîïîðöèÿõ äåôåêòíûå êîìïîíåíòû áûëè ïîñòàâëåíû ïîñòàâùèêîì X ? Â ýòîì, íàì ãîâîðèòñÿ, ÷òî âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî êîìïîíåíò ïîëó÷åííûé îò îòäåëüíîãî ïîñòàâùèêà îêàæåòñÿ äåôåêòíûì, è íàì òðåáóåòñÿ îáðàòèòü ýòî äëÿ íàõîæäåíèÿ âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî ýòîò êîìïîíåíò áûë ïîëó÷åí îò äàííîãî êîíêðåòíîãî ïîñòàâùèêà. Ìû ìîæåì ðåøèòü ýòî ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Áàéåñà êàê îïèñàíî íèæå: 233 Ð å ø å í è å Ìåòîä 1. Åñëè ìû îïðåäåëèì ñëåäóþùèå ñîáûòèÿ: AX : Ïîñòàâùèê X ïîñòàâèë îòäåëüíûé êîìïîíåíò AY : Ïîñòàâùèê Y ïîñòàâèë îòäåëüíûé êîìïîíåíò D : Îòäåëüíûé êîìïîíåíò ÿâëÿåòñÿ äåôåêòíûì Òîãäà âîïðîñ ãîâîðèò íàì î ñëåäóþùèõ âåðîÿòíîñòÿõ: P (D|AX ) = 0.05 P (AX ) = 0.80 P (D|AY ) = 0.01 P (AY ) = 0.20 Ìû õîòèì íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî êîìïîíåíò, îêàçàâøèéñÿ äåôåêòíûì, ïðèøåë îò ïîñòàâùèêà X . Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Áàéåñà, ïîëó÷àåì: P (AX |D) = P (D|AX )P (AX ) 00.5 ∗ 0.80 = = 0.952 P (D|AX )P (AX ) + P (D|AY )P (AY ) 0.05 ∗ 0.80 + 0.01 ∗ 0.20 Èòàê, òðåáóåìàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà 95.2%. Ìû òàêæå ìîãëè áû ðåøèòü ýòó ïðîáëåìó èñïîëüçóÿ ñëåäóþùèé áîëåå èíòóèòèâíûé ïîäõîä: Ìåòîä 2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîèçâîäñòâåííàÿ êîìïàíèÿ êóïèëà 1000 âñåãî êîìïîíåíòîâ â ïðîøëîì ãîäó. Òàê êàê ïîñòàâùèê X ñíàáæàåò 80% èç íèõ, ìû çíàåì, ÷òî 800 ïðèáûëè îò X , è 200 ïðèáûëè îò Y . Ñðåäè 800 êîìïîíåíòîâ, ïîñòóïèâøèõ îò X 5 %, ò.å. 40 áûëè äåôåêòíû è ò.ä. Òàê ÷òî ìû ìîæåì ïîëó÷èòü ñëåäóþùèé òàáëèöó: Äåôåêòíûõ Áåç äåôåêòà Âñåãî Ïîñòàâùèê X 40 760 800 Ïîñòàâùèê Y 2 198 200 Âñåãî 42 958 1000 Òàêèì îáðàçîì, 40 èç 42, ò. å. 95.2 % äåôåêòíûõ êîìïîíåíòîâ ïðèáûëè îò ïîñòàâùèêà X . Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî â èñïîëüçîâàíèè ýòîãî ïîäõîäà îáùåå êîëè÷åñòâî, ìû åãî ïðèíÿëè ðàâíûì 1000, ïðîèçâîëüíî, ò.ê. âñå ïðîïîðöèîíàëüíî. Ýòîò ôàêò 234 ïîçâîëèò íàì èñïîëüçîâàòü ñîêðàùåíèÿ, ÷òîáû îïðåäåëèòü àïîñòåðèîðíîå âåðîÿòíîñòíîå ðàñïðåäåëåíèå. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 9.1. Íà êîíôåðåíöèè ïðèñóòñòâóþò 100 àêòóàðèåâ è 200 áóõãàëòåðîâ. 60% àêòóàðèåâ è 40% áóõãàëòåðîâ ìîãóò ñäåëàòü ïðîñòóþ óìñòâåííóþ àðèôìåòèêó ïðàâèëüíî. Âî âðåìÿ îáåäà âû ïîäñëóøèâàåòå îäíî èç âûñêàçûâàíèé ïðåäñòàâèòåëåé "Òðè èç ìîèõ ÷åòûðåõ äåòåé, áûëè ðîæäåíû íà Ðîæäåñòâî, è áëèçíåöû áûëè ðîæäåíû â íîâîãîäíèé äåíü. "Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ýòîò ïðåäñòàâèòåëü ÿâëÿåòñÿ àêòóàðèåì? Ñëåäóþùåå óïðàæíåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ìû ìîæåì òàêæå ïðèìåíèòü ôîðìóëó Áàåñà, êîãäà ñëó÷àé B ñîîòâåòñòâóåò íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå, ïðèíèìàþùåé îïðåäåëåííûå çíà÷åíèÿ. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 9.2. Èñêè, ïðèøåäøèå èç îïðåäåëåííîãî êëàññà îáùåãî ñòðàõîâàíèÿ, ìîãóò êëàññèôèöèðîâàòüñÿ â òðè âçàèìíî èñêëþ÷àþùèõ òèïà: S , M è L. Ðàçìåðû èñêîâ â êàæäîé êàòåãîðèè ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 80 %, 15 % è 5 %. Ðàñïðåäåëåíèå êîëè÷åñòâà èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ â êàæäîé êàòåãîðèè ìîæåò áûòü ñìîäåëèðîâàíî ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè ïëîòíîñòè fx (x) = 2θ2 /x3 , (x > θ), ãäå X ÿâëÿåòñÿ ðàçìåðîì èíäèâèäóàëüíîãî èñêà. Ïàðàìåòðû äëÿ ýòèõ òðåõ êàòåãîðèé - θS =$100,θM =$1000 è θL =$2500 Ó÷èòûâàÿ , ÷òî èíäèâèäóàëüíûé èñê áûë ðàâåí $5000, íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ýòîò èñê ïðèíàäëåæèò êàæäîé èç ýòèõ òðåõ êàòåãîðèé. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïàðàìåòð θ â ïîñëåäíåì ïðèìåðå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé âåëè÷èíîé, â îòëè÷àå îò òðåõ äèñêðåòíûõ ïåðåìåííûõ, êîòîðûå ìû èñïîëüçîâàëè, ìû ïîëó÷àåì íåïðåðûâíóþ ôîðìó ôîðìóëû Áàéåñà: Ôîðìóëà Áàéåñà(íåïðåðûâíàÿ ôîðìà) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû èìååì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó θ ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ f (θ) è ñëó÷àåì B , òàêîé ÷òî P (B) 6= 0. Òîãäà, ìû ìîæåì âû÷èñëèòü óñëîâíóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ θ äàííîãî B ñëåäóþùèì îáðàçîì: P (B|θ)f (θ) f (θ|B) = R f (θ|B)f (θ)dθ 235 4 Ïîëó÷åíèå àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ 4.1 Äèñêðåòíîå àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå Ñëåäóþùèé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, êàê ìû ìîæåì ïîëó÷èòü àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ï ð è ì å ð 9.2 Âû êóïèëè êîðîáêó ëàìïî÷åê íà ðûíêå íåñêîëüêî ìåñÿöåâ íàçàä. Âû çíàåòå, ÷òî ëàìïî÷êè èìåþò ëèáî ìàëåíüêóþ ñðåäíþþ ïðîäîëæèòåëüíîñòü ðàáîòû 500 ÷àñîâ ëèáî áîëüøóþ - 2 500 ÷àñîâ, íî âû íå ìîæåòå ñêàçàòü òî÷íî, ïîòîìó ÷òî íà êîðîáêå íå áûëî ÿðëûêà. Ïîñêîëüêó âû áûâàëè íà ýòîì ðûíêå ïðåæäå, âû ïåðâîíà÷àëüíî íå èìååòå íèêàêîãî ìíåíèÿ îòíîñèòåëüíî òîãî, ìîãëè ëè âàñ îáìàíóòü. Ïðèáëèçèòåëüíî ïîñëå 300 ÷àñîâ, ýòè 5 ëàìïî÷åê , êîòîðûå âû èñïîëüçîâàëè, âñå åùå íå ïåðåãîðåëè. Ïðèíèìàÿ, âðåìÿ ðàáîòû îòäåëüíîé ëàìïî÷êè èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, îöåíèòå âåðîÿòíîñòü ÷òî, âû êóïèëè ëàìïî÷êè ñ áîëüøîé ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ ðàáîòû. Ð å ø å í è å Â ýòîì ïðèìåðå, ìû ïåðâîíà÷àëüíî ñ÷èòàåì àëüòåðíàòèâû ðàâíî2 âåðîÿòíûìè, òîãäà àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå äëÿ λ , ïàðàìåòðà ðàñïðåäåëåíèÿ ñðîêîâ ñëóæáû ëàìïî÷êè, ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíûì ðàñïðåäåëåíèåì: λ= 1/500, ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/2 1/2500, ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/2 Âåðîÿòíîñòü, ÷òî îòäåëüíàÿ ëàìïî÷êà ñ ïàðàìåòðîì ðàñïðåäåëåíèÿ λ (ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âðåìåíè ðàáîòû 1/λ)áóäåò ðàáîòàòü áîëåå 300 ÷àñîâ ðàâíà: Z∞ λe−λx dx = e−300λ 300 Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ òîãî, ÷òî âñå 5 ëàìïî÷åê áóäóò ðàáîòàòü â ýòîò ìîìåíò ðàâíà: e−300λ 5 = e−1500λ Èòàê ìû èìååì: P (5 ðàáîòàþò |λ = 1/500) = e−1500/500 = e−3 = 0.04979 P (5 ðàáîòàþò |λ = 1/2500) = e−1500/2500 = e−0.6 = 0.54881 Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Áàéåñà, ïîëó÷àåì: 2 Ò.ê. ìíîãèå ñòóäåíòû ïëîõî âîñïðèíèìàþò çàãëàâíûå ãðå÷åñêèå áóêâû, â ýòîé ãëàâå àâòîð èñïîëüçóåò ñòðî÷íûå äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. 236 P (λ = 1/500|5 ðàáîòàþò) P (5 ðàáîòàþò|λ=1/500)P (λ=1/500) = P (5 ðàáîòàþò|λ=1/500)P (λ=1/500)+P (5 ðàáîòàþò|λ=1/2500)P (λ=1/2500) 0.04979∗1/2 = 0.08318 = 0.04979∗1/2+0.54881∗1/2 Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî çíàìåíàòåëè äëÿ îáåèõ âåðîÿòíîñòåé äëÿ àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ áûëè òå æå ñàìûå. Òàê ÷òî ìû, òîëüêî ÷òî âû÷èñëèëè íóìåðàòîðû è çàòåì èñïîëüçîâàëè ôàêò, ÷òî àïîñòåðèîðíûå âåðîÿòíîñòè äîëæíû ðàâíÿòüñÿ 1, ÷òîáû íàéòè ôàêòè÷åñêèå âåðîÿòíîñòè. Åñëè ìû ñìîòðèì íà íóìåðàòîð, ìû âèäèì, ÷òî ýòî - òîëüêî ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ P (5 ðàáîòàþò|λ = 1/500) ìîìåíòîâ âðåìåíè, êîãäà P (λ = 1/500). Ýòî âåäåò íàñ ê ñëåäóþùåìó ðåçóëüòàòó: Íàõîæäåíèå àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ∝ Àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ∗ Ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ (∝) óêàçûâàåò, ÷òî ëþáûå ôàêòîðû, êîòîðûå ãäå çíàê ïðîïîðöèîíàëüíîñòè íå çàâèñÿò îò íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ, ìîæíî ðàññìîòðåòü êàê êîíñòàíòû è ñëåäîâàòåëüíî îïóùåííûìè. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ðåøèòü çàäà÷ó áîëåå ïðîñòûì îáðàçîì: Àïðèîðíîå ðàñïðå- ∗ Ôóíêöèÿ äåëåíèå ∝ Àïîñòåðèîðíîå ðàñ- Ôàêòè÷åñêîå ïðåäåëåíèå àïîñòåðèîðíîå ïðàâäîïîäîáèÿ ðàñïðåäåëåíèå λ = 1/500: 1/2 e−1500/500 0.04979 = 0.02490 0.08319 λ = 1/500 1/2 e−1500/2500 0.54881 = 0.27441 0.91681 0.29931 1.00000 Âñåãî Ðåçóëüòàòû ïîñëåäíåé êîëîíêè áûëè ïîëó÷åíû äåëåíèåì ïðåäûäóùåé êîëîíêè íà 0.29931. 237 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 9.3. Ôîêóñíèê ñìåøàë 5 êîëîä êàðò òàê, ÷òî â êàæäîé êîëîäå ñîäåðæèòñÿ 52 êàðòû è êîëîäû ñîäåðæàò 0, 13, 26, 39 è 52 êðàñíûå êàðòû ñîîòâåòñòâåííî. Âàì ïðåäëîæèëè âûáðàòü îäíó êîëîäó è èç íåå âûáðàòü 3 êàðòû (âû íå çíàåòå êàêèå êàðòû ñîäåðæàòñÿ â êàæäîé êîëîäå). Ñðåäè âûáðàííûõ êàðò îêàçàëèñü 1 êðàñíàÿ è 2 ÷åðíûå êàðòû. Ïðåäïîëàãàÿ. ×òî ôîêóñíèê ãîâîðèò ïðàâäó, îïðåäåëèòü àïîñòåðèîðíóþ âåðîÿòíîñòü, ÷òî âû âûáðàëè êàæäóþ èç êîëîä. 4.2 Íåïðåðûâíîå àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå Òå æå ðàññóæäåíèÿ ïðèìåíÿþòñÿ â ñëó÷àå, ãäå íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð èìååò íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå. Òàê, ñíîâà, ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó "Àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå∝ Àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ∗ Ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ ÷òîáû íàéòè ðàñïðåäåëåíèå àïîñòåðèîðíîãî ïàðàìåòðà. Àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëåäóþùèé: Øàã 1(âûáîð àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ) Çàïèøèòå àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà. Ïîìíèòå, ÷òî íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð áåðåò ìåñòî "x"â ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Øàã 2(îïðåäåëåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ) Çàïèøèòå (îáúåäèíåííóþ) ôóíêöèþ ïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ íàáëþäåíèÿ(é). Øàã 3(îïðåäåëåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ àïîñòåðèîðíîãî ïàðàìåòðà) Óìíîæèòå àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ïàðàìåòðà è ôóíêöèþ ïðàâäîïîîáèÿ, ÷òîáû íàéòè ôîðìó àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðà. Âû ìîæåòå ïðîèãíîðèðîâàòü ëþáûå ìíîæèòåëè, êîòîðûå íå ñîäåðæàò íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð. Îíè áóäóò "ïîãëîùåíû"â îòíîøåíèè ïðîïîðöèîíàëüíîñòè. Øàã 4(èäåíòèôèêàöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ àïîñòåðèîðíîãî ïàðàìåòðà) Èëè ïðîñìîòðèòå ñòàíäàðòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðûå èìåþò ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïîäîáíîé àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìîé è äèàïàçîíîì çíà÷åíèé êàê è íàéäåííàÿ âàìè ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ,ò.å ñðàâíèòå ñ ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ â òàáëèöàõ. 238 Èëè (åñëè íàéäåííîå ðàñïðåäåëåíèå íå ïîõîæå íè íà îäíî èç ñòàíäàðòíûõ ðàñïðåäåëåíèé)ïðîèíòåãðèðóéòå èëè ïðîñóììèðóéòå íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð, ÷òîáû íàéòè íîðìàëèçîâàííóþ êîíñòàíòó àïîñòåðèîðíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ï ð è ì å ð 9.3 Ïðåäïîëîæèì X - ÷èñëî óñïåõîâ, äîñòèãíóòûõ â ïîñëåäî- âàòåëüíîñòè èç n èñïûòàíèé ñ ïîñòîÿííîé íåèçâåñòíîé âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà p ,è ÷òî àïðèîðíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ p - Beta(α, β). Îïðåäåëèòü àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå p. Ð å ø å í è å Ôîðìóëà àïðèîðíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ p - Beta(α, β), èñêëþ÷àÿ ìíîæåòèëè, íå ñîäåðæàùèå p, ñëåäóþùàÿ: pα−1 (1 − p)β−1 ,0 < p < 1 X èìååò Beta(n, p) ðàñïðåäåëåíèå, ñëåäîâàòåëüíî ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ, èñêëþ÷àÿ ìíîæåòèëè, íå ñîäåðæàùèå p, ñëåäóþùàÿ: px (1 − p)n−x Ñóììèðóÿ ïîëó÷àåì, ÷òî àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ïðîïîðöèîíàëüíî px+α−1 (1 − p)n−x+β−1 , 0 < p < 1 Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííóþ ôîðìóëó ñ ôîðìóëàìè ðàñïðåäåëåíèé èç òàáëèöû, âèäèì, ÷òî òàêóþæå ôîðìóëó è äèàïàçîí çíà÷åíèé èìååò Beta- ðàñïðåäåëåíèå (ïîìíèì, ÷òî p - ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà)ñ ïàðàìåòðàìè x + α è n − x + β . Èòàê, àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå p - Beta(x + α, n − x + β) Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 9.4. Åñëè x1 , x2 , ..., xn ñëó÷àéíàÿ âûáîð- êà Exp(λ) ðàñïðåäåëåíèÿ,ãäå ïàðàìåòð λ íåèçâåñòåí, íàéòè àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå äëÿ λ, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå Exp(λ0 ). Òàáëèöà â êîíöå ýòîé ãëàâû ïîêàçûâàåò íåêîòîðûå àïîñòåðèîðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ äëÿ ÷àñòî âñòðå÷àþùèõñÿ êîìáèíàöèé ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ è àïðèîðíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Íåò íåîáõîäèìîñòè çàïîìèíàòü ýòó òàáëèöó. Îäíàêî, ðåêîìåíäóåòñÿ ïðîâåðèòü ðåçóëüòàòû, êîòîðûå âû ìîæåòå ïîëó÷èòü èç òàáëèöû, ðàçáèðàÿ ïðèìåð 5.3. 4.3 Ñîïðÿæåííûå ðàñïðåäåëåíèÿ (l2) Îáúÿñíåíèå òîãî, ÷òî ïîäðàçóìåâàþò ïîä ñîïðÿæåííûì àïðèîðíûì ðàñïðåäåëåíèåì. 239 Èíîãäà àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå è àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ïðèíàäëåæàò ê îäíîìó ñåìåéñòâó ðàñïðåäåëåíèé, íàïðèìåð îáà ìîãëè áû áûòü ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿìè. Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî îíè ôîðìèðóþò ñîïðÿæåííóþ ïàðó. Â òàáëèöå ñîïðÿæåííûå ðàñïðåäåëåíèÿ áûëè îòìå÷åíû ñî çâåçäî÷êîé. Ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ îïðåäåëÿåò, êàêîå ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé ïðèâåäåò ê ñîïðÿæåííîé ïàðå. Ñîïðÿæåííûå ðàñïðåäåëåíèÿ ìîãóò áûòü íàéäåíû ñ ïîìîùüþ âûáîðà ñåìåéñòâà ðàñïðåäåëåíèé, êîòîðûå èìåþò îäèíàêîâûå ôîðìóëû ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ, ðàññìàòðèâàÿ íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð êàê ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó. Ï ð è ì å ð 9.4 x1 , x2 , ..., xn - íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå (ÍÎÐÍ) íàáëþäåíèÿ, èìåþùèå Geo(p) ðàñïðåäåëåíèå, ãäå p íåèçâåñòíî. Íàéòè ñå- ìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé, êîòîðîìó ïðèíàäëåæàò ñîïðÿæåííûå àïðèîðíîå è àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèÿ. Ð å ø å í è å Ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ èìååò âèä n Q p(1−p)xi −1 = pn (1−p)Σxi −n i=1 Èòàê, íàì íåîáõîäèìî íàéòè ñåìåéñòâî ôóíêöèé âèäà p ÷òî-òî (1 − p)÷òî-òî , ãäå 0 < p < 1, ò.å. íóæíî èñïîëüçîâàòü beta-ðàñïðåäåëåíèå. Èñïîëüçîâàíèå ñîïðÿæåííûõ ðàñïðåäåëåíèé ÷àñòî äåëàåò Áàéåñîâñêèå âû÷èñëåíèÿ áîëåå ïðîñòûìè. Îíè òàêæå ïîäõîäÿò äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ â ñëó÷àå ñåìåéñòâà ðàñïðåäåëåíèé, êîòîðûå ìîãëè áû áûòü îïðåäåëåíû äëÿ îáåñïå÷åíèÿ "åñòåñòâåííîé"ìîäåëè äëÿ íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà, íàïðèìåð, â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, ãäå ïàðàìåòð p ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ â äèàïàçîíå 0 < p < 1. 4.4 Íåïîäõîäÿùèå àïðèîðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ Èíîãäà ïîëåçíî èñïîëüçîâàòü íåèíôîðìàòèâíîå àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå, êîòîðîå ïðåäïîëàãàåò, ÷òî íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð îäèíàêîâî âåðîÿòíî ïðèìåò ëþáîå çíà÷åíèå. Íàïðèìåð, ìû ìîãëè áû èìåòü ïëîòíîñòü íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì µ, ãäå ìû íè÷åãî íå çíàåì î µ.Ýòî âåäåò ê ïðîáëåìå â ýòîì ïðèìåðå, ïîòîìó ÷òî ìû áûëè áû äîëæíû ïðèíÿòü U (∞, ∞) çà ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ µ, ÷òî íå èìååò ñìûñëà, òàê êàê ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ýòîé ïëîòíîñòè áûëà áû âñþäó ðàâíà 0 . Ìû ìîæåì ëåãêî îáîéòè ýòó ïðîáëåìó, èñïîëüçóÿ ðàñïðåäåëåíèå U (−N, N ), ãäå N - ïðèíèìàåò î÷åíü áîëüøèå çíà÷åíèÿ, è çàòåì óñòðåìèòü N ê áåñêîíå÷íîñòè. Òîãäà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ - 1/2N , ÿâëÿåòñÿ 240 êîíñòàíòîé. Åñëè ìû èñïîëüçóåì "ïðîïîðöèîíàëüíûé"ìåòîä, îïèñàííûé âûøå, ñ àïðèîðíûì ðàñïðåäåëåíèåì, ïðîïîðöèîíàëüíûì 1, âñå óäàåòñÿ ëåãêî âû÷èñëèòü, äàæå ïðè òîì, ÷òî äèàïàçîí çíà÷åíèé â ýòîì ñëó÷àå áåñêîíå÷íûé. 241 Ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ âûáîðêè ÍÎÐÑ âåëè÷èí X1 , ..., Xn Íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð P osson(λ) λ>0 Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðà àïðèîðíàÿ àïîñòåðèîðíàÿ Exp(λ0 ) Gamma(Σx + 1, n + λ0 ) Exp(λ) Gamma(n + 1, Σx + λ0 ) Gamma(α, λ) Gamma(αn + 1, Σx + λ0 ) Exp(λ) Gamma(α0 , λ0 ) Gamma(n + α0 , Σx + λ0 ) * λ>0 Gamma(αn + α0 , Σx + λ0 ) * Gamma(α, λ) B(m, p) Beta(α0 , β 0 ) 0<p<1 Beta(n + α0 , Σx − n + β 0 ) * Geo(p) 2 N (µ, σ ) LogN (µ, σ 2 ) −∞ < µ < ∞ −∞ < µ < ∞ 0 02 N (µ , σ ) U (−∞, ∞) N , 1 n 1 2 + 02 σ * σ 2 N ( n1 Σ log x, σn ) 2 U (0, ∞) λ>0 Gamma(α, λ) Geo(p) 0 + µ02 σ2 σ n + 102 σ2 σ Σx N ( n1 Σx, σn ) N (µ, σ 2 ) Exp(λ) Beta(Σx + α0 , nm − Σx + β 0 ) * Gamma(n + 1, Σx) Gamma(αn + 1, Σx+) 0<p<1 U (0, 1) Beta(n + 1, nm − Σx − n + 1) B(m, p) Beta(Σx + 1, nm − Σx + 1) N B(K, p) Beta(nk + 1, nm − Σx + 1) 242 5 Ôóíêöèÿ óùåðáà è Áàéåñîâñêèå îöåíêè ×òîáû ïðèìåíÿòü ìåòîä Áàéåñà äëÿ ïîëó÷åíèÿ âûâîäîâ î íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðàõ, ìû äîëæíû âûáðàòü ôóíêöèþ óùåðáà. Ôóíêöèÿ óùåðáà ïîêàçûâàåò íàñêîëüêî ñåðüåçíîé áûëà áû "îøèáêà åñëè áû âìåñòî èñòèííîãî ïàðàìåòðà θ ïðèíÿëè θ . Ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå äëÿ ïàðàìåòðà, ÷òîáû íàéòè îæèäàåìóþ ïîòåðþ, åñëè ìû èñïîëüçóåì â êà÷åñòâå îöåíêè θ. Åñëè ôóíêöèÿ ðàâíÿåòñÿ Loss(θ, θ) , òî îæèäàåìàÿ ïîòåðÿ áóäåò ðàâíà: Z∞ Loss(θ, θ)fpost (θ)dθ E[Loss(θ, θ)] = −∞ Îöåíêà Áàéåñà ïðîõîäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì: Íàõîæäåíèå îöåíêè Áàéåñà Áàéåñîâñêàÿ îöåíêà íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà - çíà÷åíèå ïàðàìåòðà, êîòîðîå ìèíèìèçèðóåò îæèäàåìûå ïîòåðè, áàçèðóþùååñÿ íà àïîñòåðèîðíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ï ð è ì å ð 9.5 x1 , x2 , ..., xn - ÍÎÐÍ, èìåþùèå N (µ, σ 2 ) ðàñïðåäåëåíèå, ãäå µ íåèçâåñòíî, à µ èçâåñòíî. àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå µ - U (∞, ∞). Íàéòè âûðàæåíèå äëÿ îæèäàåìûõ ïîòåðü, åñëè ïîòåðè ïðè îöåíêå µ ñ ïîìîùüþ µ ðàâíû (µ − µ)2 . Íàéäèòå çíà÷åíèå µ, êîòîðîå ìèíèìèçèðóåò îæèäàåìûå ïîòåðè. Ð å ø å í è å Èç òàáëèöû ñëåäóåò, ÷òî àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå äëÿ µ - N (x, σ 2 /n) Èñïîëüçóÿ ôóíêöèþ óùåðáà (µ − µ)2 , îæèäàåìûå ïîòåðè ðàâíû: E[(µ − µ)2 ] = µ2 − 2µE(µ) + E(µ2 ) = µ2 − 2µx + x2 + σ2 σ2 = (µ − x)2 + n n Îæèäàåìûå ïîòåðè ïðèìóò íàèìåíüøåå çíà÷åíèå, êîãäà µ = x. Â ýòîì ïðèìåðå ïðè èñïîëüçîâàíèè êâàäðàòè÷íàÿ ôóíêöèè óùåðáà Áàéåñîâñêàÿ îöåíêà µ îêàçàëàñü ðàâíà x. Íà ïðàêòèêå, îáû÷íî èñïîëüçóþòñÿ òðè òèïà ôóíêöèè óùåðáà, îêàçûâàåòñÿ, êàæäàÿ èç ýòèõ ôóíêöèé äàåò ïðîñòóþ Áàéåñîâñêóþ îöåíêó, áàçèðóþùóþñÿ íà àïîñòåðèîðíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ýòî ïîêàçàíî â ñëåäóþùåé òàáëèöå: 243 Ôóíêöèÿ óùåðáà Áàéåñîâñêàÿ îöåíêà θ Êâàäðàòè÷íàÿ îøèáêà óùåðáà (θ − θ)2 ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå àïîñòåðèîðíîé ôóíêöèè âåðîÿòíîñòè Àáñîëþòíàÿ îøèáêà óùåðáà |θ − θ| ìåäèàíà àïîñòåðèîðíîé ôóíêöèè âåðîÿòíîñòè Áèíàðíàÿ îøèáêà óùåðáà I[θ 6= θ] ìîäà àïîñòåðèîðíîé ôóíêöèè âåðîÿòíîñòè Áèíàðíàÿ îøèáêà óùåðáà îïðåäåëåíà ÷åðåç ôóíêöèþ-èíäèêàòîð I[θ 6= θ], êîòîðàÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 0, åñëè ïðèñóòñòâóåò îøèáêà, è 1 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ï ð è ì å ð 9.6 Ïîêàçàòü, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè óùåðáà, íåïðåðûâíûé ïàðàìåòð θ äîëæåí áûòü îöåíåí ñ ïîìîùüþ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ àïîñòåðèîðíîé ôóíêöèè. Ðåøåíèå Ìû äîëæíû âûáðàòü òàêîå θ , êîòîðîå ìèíèìèçèðóåò îæèäàåìûå ïîòåðè E = E[(θ − θ)2 ]. Ìû ìîæåì ðàñêðûòü ýòî âûðàæåíèå 2 E = θ − 2θE[Θ] + E[Θ2 ] Äëÿ íàõîæäåíèÿ ìèíèìóìà, ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî θ dE = 2θ − 2E[Θ] dθ Âûðàæåíèå ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 0 ïðè θ = E[Θ], ò.å. θ ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåì àïîñòåðèîðíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Äîêàçàòåëüñòâîì, ÷òî ìû ïîëó÷èëè ìèíèìóì ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ: d2 E dθ 2 =2>0 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 9.5. Ïîêàçàòü,÷òî èñïîëüçóÿ ôóíêöèþ áèíàðíîé îøèáêè óùåðáà, äèñêðåòíûé ïàðàìåòð θ äîëæåí áûòü îöåíåí ñ ïîìîùüþ ìîäû àïîñòåðèîðíîé ôóíêöèè. 244 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 9.6. Ïîêàçàòü,÷òî èñïîëüçóÿ ôóíêöèþ àáñîëþòíîé îøèáêè óùåðáà, íåïðåðûâíûé ïàðàìåòð θ äîëæåí áûòü îöåíåí ñ ïîìîùüþ ìåäèàíû àïîñòåðèîðíîé ôóíêöèè. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû óïðîùàþò íàõîæäåíèå Áàéåñîâñêîé îöåíêè. Ï ð è ì å ð 9.7 x1 , x2 , ..., xn - ÍÎÐÍ, èìåþùèå Gamma(α, λ) ðàñïðåäåëåíèå, λ íåèçâåñòíà, à α èçâåñòíà. Àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå λ - Exp(θ), ãäå θ èçâåñòíàÿ êîíñòàíòà. Íàéòè Áàéåñîâñêóþ îöåíêó λ, èñïîëüçóÿ áèíàðíóþ ãäå îøèáêó óùåðáà Ð å ø å í è å Ïðåäøåñòâóþùàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ λ : e−θλ Ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà: n Y λα e−λxi = λnα e−λΣxi i=1 Òîãäà àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ïðîïîðöèîíàëüíî : λnα e−λΣxi ∗ e−θλ = λnα e−λ(Σxi +θ) ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ðàñïðåäåëåíèþ Gamma(nα + 1, Σxi + θ) Èñïîëüçóÿ áèíàðíóþ îøèáêó óùåðáà, íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð îöåíèâàåòñÿ ìîäîé àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ïîñëå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ëîãàðèôìà îò ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è ïðèðàâíèâàíèÿ âûðàæåíèÿ ê 0, íàõîäèì ìîäó ðàñïðåäåëåíèÿ Gamma(α, λ). Îíà ðàâíà α−1 λ Òîãäà Áàéåñîâñêàÿ îöåíêà λ èìååò âèä: λ= nα Σxi + θ Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 9.7. Äåñÿòü ÍÎÐÍ, èìåþùèõ ðàñïðåäå- ëåíèå P oisson(λ), ðàâíÿþòñÿ 3,4,3,1,5,5,2,3,3,2. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå λ - Exp(0.2), íàéòè Áàéåñîâñêóþ îöåíêó λ, èñïîëüçóÿ êâàäðàòè÷íóþ îøèáêó óùåðáà. 6 Îöåíêà ìåòîäà Áàéåñîâñêèõ îöåíîê Àíàëîãè÷íûå ïðîöåäóðû, èñïîëüçóþùèåñÿ äëÿ îöåíêè ýôôåêòèâíîñòè (MLE), ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû è ê Áàéåñîâñêèì îöåíêàì. Ìû ìîæåì 245 ðàññìîòðåòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êâàäðàòè÷íîé îøèáêè ïîëó÷àåìûõ îöåíîê è îöåíèòü íà ñîñòîÿòåëüíîñòü,ýôôåêòèâíîñòü è îòêëîíåíèå. Ï ð è ì å ð 9.8 Åäèíè÷íîå íàáëþäåíèå èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îöåíêè ïàðàìåòðà áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ B(n, θ) x n 1. Ïîêàæåì, ÷òî MLE ðàâíî θ = 2. Ïîêàæåì, ÷òî Áàéåñîâñêàÿ îöåíêà, èñïîëüçóþùàÿ íåèíôîðìàòèâíîå e= ïðåäûäóùåå ðàñïðåäåëåíèå, ðàâíà θ x+1 n+2 3. Íàéäåì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êâàäðàòè÷íûõ îøèáîê îáåèõ îöåíîê è ñðàâíèì èõ ýôôåêòèâíîñòü â ñëó÷àå n = 100. n Ð å ø å í è å (1) Ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ ðàâíà L(θ) = k θ x (1 − θ)n−x Òîãäà ïðîëîãîðèôìèðîâàâ, ïîëó÷èì log L = constant + x log θ + (n − x) log(1 − θ) Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî θ d x n−x log L = − dθ θ 1−θ Ïðèðàâíèâàÿ ïîëó÷åííîå ê 0 è óïðîñòèâ âûðàæåíèå, ïîëó÷èì: θ= x n Èñïîëüçóÿ ïðåäûäóùóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðàÿ îäíîðîäíà íà (0,1), ïîëó÷àåì: P ost(θ) = constant ∗ θx (1 − θ)n−x , 0 ⩽ θ ⩽ 1 Ïîëó÷èëè ôîðìóëó beta-ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè λ = x+1 è β = n−x+1. Òàêèì îáðàçîì, Áàéåñîâñêàÿ îöåíêà ñ èñïîëüçîâàíèåì êâàäðàòè÷íîé îøèáêè óùåðáà ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì beta-ðàñïðåäåëåíèÿ: θe = α x+1 x+1 = = α+β x+1+n−x+1 n+2 (3) Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ íàáëþäåíèé áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ B(n, θ) ðàâíû E(X) = nθ è V ar(X) = nθ(1 − θ) ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà äëÿ θ èìååì: E(θ) = 1 E(X) = θ n 246 Òîãäà θ íå èñêàæåíî äëÿ θ è ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êâàäðàòè÷íîé îøèáêè ðàâíî: V ar(θ) = 1 1 θ(1 − θ) V ar(X) = 2 nθ(1 − θ) = 2 n n n e èìååì: Äëÿ θ e =x E(θ) X +1 n+2 = nθ + 1 6= θ n+2 e èìååò èñêàæåíèå ðàâíîå: Òîãäà θ nθ + 1 1 − 2θ −θ = n+2 n+2 e: Òîãäà ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êâàäðàòè÷íîé îøèáêè θ e = V ar(θ) e + [Bias(θ)] e 2 = V ar M SE(θ) 1 V ar(X) + = (n + 2)2 1 − 2θ n+2 2 = X +1 n+2 + 1 − 2θ n+2 2 1 + (n − 4)θ − (n − 4)θ2 (n + 2)2 Ïðè n = 100 MSE ðàâíû: M SE(θ) = 2 θ(1 − θ) e = 1 + 96θ − 96θ è M SE(θ) 100 1022 Ìû ìîæåì íàéòè çíà÷åíèå θ . äëÿ êîòîðîãî M SE(θ) ìåíüøå : θ(1 − θ) 1 + 96θ − 96θ2 ⩽ ⇒ 1000 − 804θ + 804θ2 ⩾ 0 100 1022 Ðåøèâ êâàäðàòíîå íåðàâåíñòâî, ïîëó÷èì: θ ⩽ 0.146 èëè θ ⩾ 0.854. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ áîëüøèõ è ìàëåíüêèõ çíà÷åíèé θ (θ ⩽ 0.146 èëè θ ⩾ 0.854), θ èìååò ìåíüøåå MSE è ÿâëÿåòñÿ áîëåå ýôôåêòèâíîé îöåíêîé. Äëÿ çíà÷åíèé θ ìåæäó 0.146 è 0,854, θe èìååò ìåíüøåå MSE è ÿâëÿåòñÿ áîëåå ýôôåêòèâíîé îöåíêîé. 7 Áàéåñîâñêèå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû Ìû èñïîëüçîâàëè àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå, ÷òîáû íàéòè òî÷êè îöåíêè ïàðàìåòðà ðàñïðåäåëåíèÿ, èñïîëüçóÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, ìåäèàíó èëè ìîäó àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ìû ìîæåì òàêæå èñïîëüçîâàòü àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå, ÷òîáû íàéòè îöåíêó èíòåðâàëà çíà÷åíèé ïàðàìåòðà, èñïîëüçóÿ ñòàíäàðòíûé 247 ïîäõîä ïðèìåíåíèÿ äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ. Äåéñòâèòåëüíî, âûðàæåíèÿ òèïà P (1.54 < θ < 2.68) = 0.95, ÿâëÿþòñÿ òåïåðü çíà÷àùèìè, òàê êàê ìû ðàññìàòðèâàåì θ êàê ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, òîãäà êàê èñïîëüçóÿ òðàäèöèîííûé ïîäõîä çíà÷åíèå θ áûëà ôèêñèðîâàííîé, íî íåèçâåñòíîé. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 9.8. Èñïîëüçóÿ äàííûå çàäà÷è 5.7, íàéòè ïðèáëèçèòåëüíûé íà 95% Áàéåñîâñêèé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ λ Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 9.9. Èç LogN (µ, 8) ðàñïðåäåëåíèÿ áûë âçÿòà âûáîðêà îáúåìîì, ðàâíûì 10. Èç âûáîðêè ñëåäóåò, ÷òî Σ log xi = 49.32. Èñïîëüçóÿ ìåòîä Áàéåñîâñêîãî àíàëèçà ñ íåèíôîðìàòèâíîé àïðèîðíîé ôóíêöèåé, íàéòè 95% äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ µ. Â çàêëþ÷åíèè ýòîé ãëàâû ïðèâåäåì ïðèìåð òèïè÷íîãî âîïðîñà íà ýêçàìåíå ïî òðåòüåé ãëàâå. Ï ð è ì å ð 9.9 Ïóñòü X1 , ..., Xn - ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà, èìåþùàÿ ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì θ > 0, èìåþùàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ: f (x|θ) = θe−θx , x > 0 1. à Ïîêàæèòå, ÷òî ñîïðÿæåííàÿ ïðåäûäóùàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ - Gamma(α, λ), è ñëåäîâàòåëüíî îïðåäåëèòå ïîëíîñòüþ àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå θ . á Â ÷àñòíîì ñëó÷àå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå ïðåäûäóùåé ôóíêöèè ðàâíî 2.0 è 0.2, ñîîòâåòñòâåííî. Çàïèøèòå ñîîòâåòñòâóþùóþ ïðåäûäóùóþ Gamma ôóíêöèþ. 2. à Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âûáîðêè îáúåìà 50 ðàâíî x = 0.48. Èñïîëüçóÿ ïðåäûäóùóþ ôóíêöèþ èç ÷àñòè (1)(á), ïîëó÷èòå àïîñòåðèîðíóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ θ è ñëåäîâàòåëüíî îïðåäåëèòå Áàéåñîâñêóþ îöåíêó θ , èñïîëüçóÿ êâàäðàòè÷íóþ îøèáêó óùåðáà. á Îáúÿñíèòå, ïî÷åìó àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ìîæåò áûòü àïïðîêñèìèðîâàíî ïîäõîäÿùèì íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì. â Èñïîëüçóéòå íîðìàëüíóþ àïïðîêñèìàöèþ äëÿ îïðåäåëåíèÿ 95% Áàéåñîâñêîãî èíòåðâàëà äëÿ θ . Ð å ø å í è å (1)(à) Ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ ðàâíà: L(θ) = θe−θx1 θe−θx2 ...θe−θxn = θn e−θ 248 P xi Ðàññìàòðèâàÿ íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð θ êàê ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, ïîëó÷àåì âûðàæåíèå â ôîðìå Gamma - ðàñïðåäåëåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî Gamma - ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ ñîïðÿæåííûì àïðèîðíûì ðàñïðåäåëåíèåì â äàííîì ñëó÷àå. Èñïîëüçóÿ Gamma(α, λ) â êà÷åñòâå àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ θ , ïîëó÷èì àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå, ïðîïîðöèîíàëüíîå àïðèîðíîìó ðàñïðåäåëåíèþ, ïîìíîæåííîìó íà ôóíêöèþ ïðàâäîïîäîáèÿ: P P 1 α α−1 −λθ λ θ e ∗ θn e−θ xi ∝ θn+α−1 e−(λ+ xi )θ Ã(α) P Ýòî äðóãîå Gamma-ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè n = α è λ + xi . P ost(θ) ∝ (á) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè, ïîëó÷àåì: α α 2 λ = 2.0 λ2 = 0.2 Ðåøàÿ óðàâíåíèÿ ïîëó÷èì α = 100 è λ = 50 (2)(à) Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû, èìååì àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå - Gamma-ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè: n + α = 150 è λ + P xi = 74 Òîãäà Áàéåñîâñêàÿ îöåíêà θ ñ èñïîëüçîâàíèåì êâàäðàòè÷íîé îøèáêè óùåðáà - ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Gamma(150, 74). θ= 150 = 2.027 74 (á) Êîýôôèöèåíò àñèììåòðèè Gamma-ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâåí √ 2/ α, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ íåáîëüøèì äëÿ α. Ò.ê. α = 150 è êîýôôèöèåíò ðàñïðåäåëåíèå ìàë, àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì. Ñëåäîâàòåëüíî õîðîøî ïîäõîäèò íîðìàëüíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ. Â êà÷åñòâå àëüòåðíàòèâû, ìîæíî ïðåäñòàâèòü ýòî Gamma-ðàñïðåäåëåíèå êàê ñóììà 150 ýêñïîíåíöèàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé, êàæäîå èç êîòîðûõ èìååò ïàðàìåòð λ = 74. Ò.ê. ìû ñóììèðóåì áîëüøîå êîëè÷åñòâî îäèíàêîâûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èç öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî è ðåçóëüòèðóþùåå ðàñïðåäåëåíèå òàêæå áóäåò íîðìàëüíûì. (â) 95% äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ N (µ, σ 2 ) ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâåí µ ± 1.96σ . Ìû èñïîëüçîâàëè íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ òàêèìè æå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåì è äèñïåðñèåé êàê è ó àïîñòåðèîðíîãî Gamma-ðàñïðåäåëåíèÿ, ò.å. µ = 2.027 è σ 2 = 150 = 0.02739 742 249 Ñëåäîâàòåëüíî, Áàéåñîâñêèé èíòåðâàë äëÿ θ ðàâåí: √ 2.027 ± 1.96 0.02739 = (1.703, 2.351) 8 Êðàòêîå èçëîæåíèå Áàåñîâñêèé ïîäõîä ê ñòàòèñòè÷åñêîìó âûâîäó, êîòîðûé áàçèðóåòñÿ íà Áàåñîâñêîé ôîðìóëå, ïðåäïîëàãàåò àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå äëÿ íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà. Ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ â ýòîì ñëó÷àå îïðåäåëÿåòñÿ íà îñíîâå ìíîæåñòâà íàáëþäåíèé. Îáúåäèíÿÿ ïîëó÷åííîå, âûâîäèòñÿ àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå äëÿ íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà. Âî ìíîãèõ ñèòóàöèÿõ åñòü åñòåñòâåííîå àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå, èñïîëüçîâàíèå êîòîðîãî âåäåò ê ñîïðÿæåííîìó àïðèîðíîìó è àïîñòåðèîðíîìó ðàñïðåäåëåíèþ. Ôóíêöèÿ óùåðáà, íàïðèìåð êâàäðàòè÷íàÿ îøèáêà óùåðáà, àáñîëþòíàÿ îøèáêà óùåðáà èëè áèíàðíàÿ îøèáêà óùåðáà, âûáèðàåòñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñåðüåçíîñòè íåïðàâèëüíîé îöåíêè. 9 Ôîðìóëû Ôîðìóëà Áàéåñà P (B|Ai )P (Ai ) P (Ai |B) = P äèñêðåòíàÿ ôîðìà P (B|Ai )P (Ai ) i f (θ|B) = R P (B|θ)f (θ) íåïðåðûâíàÿ ôîðìà P (B|θ)f (θ)dθ Àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå Àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ∝ Àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ∗ Ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ 250 Ãëàâà 10 Îñíîâû òåîðèèÌåòîäû Áàéåñà 1 Ââåäåíèå Áàéåñîâñêàÿ òåîðèÿ ïðåäëàãàåò ñîâåðøåííî äðóãîé ïîäõîä ê ñòàòèñòèêå. Áàéåñîâñêàÿ âåðñèÿ îöåíêè, ðàññìîòðåííàÿ çäåñü, êàñàåòñÿ îñíîâíûõ ñèòóàöèé îöåíêè ïàðàìåòðà ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âûáîðêè. Êëàññè÷åñêàÿ îöåíêà çàêëþ÷àåòñÿ â ìåòîäå íàõîæäåíèÿ ìàêñèìóìà ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ. Ôóíäàìåíòàëüíîå ðàçëè÷èå â Áàåéñîâñêîãî ïîäõîäà îò êëàññè÷åñêîãî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïàðàìåòð θ ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Â êëàññè÷åñêîé ñòàòèñòèêå θ ôèêñèðîâàíà, íî íåèçâåñòíàÿ âåëè÷èíà. Äàííîå ïðåäïîëîæåíèå ïðèâîäèò ê òðóäíîñòÿì â èíòåðïðåòàöèè, òðåáóþùåéñÿ äëÿ êëàññè÷åñêèõ äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûìè. Ïîñëå âçÿòèÿ äàííûõ ïî íàáëþäåíèÿì è ðàñ÷åòà ÷èñëîâîãî èíòåðâàëà, îòïàäàåò ïðåäïîëîæåíèå î âåðîÿòíîñòè. Ò.å. âûðàæåíèå P (10.45 < θ < 13.26) = 0.95 íå èìååò ñìûñëà, ò.ê. θ íå ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Â Áàéåñîâñêîé ñòàòèñòèêå òàêèõ òðóäíîñòåé íå âîçíèêàåò, è âåðîÿòíîñòíûå óòâåðæäåíèÿ ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû îòíîñèòåëüíî çíà÷åíèé ïàðàìåòðà θ. 251 2 Òåîðåìà Áàéåñà Ïóñòü B1 , ..., Bk íåêîòîðûå ïîïàðíî íåñîâìåñòèìûå ñîáûòèÿ ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé S , òàêèå ÷òî P (Bi ) 6= 0 äëÿ i = 1, ..., k , òîãäà äëÿ íåêîòîðîãî ñîáûòèÿ A ∈ S è P (A) 6= 0 âåðíî: k X P (A|Br )P (Br ) ,ãäå P (A) = P (A|Bi )P (Bi ) P (Br |A) = P (A) i=1 äëÿ r = 1, ..., k Ï ð è ì å ð 10.10 Òðè èçãîòîâèòåëÿ ïîñòàâëÿþò îäåæäó ðîçíè÷íîìó ïðîäàâöó. 60 % îäåæäû ïðèáûâàþò îò èçãîòîâèòåëÿ 1, 30 % îò èçãîòîâèòåëÿ 2 è 10 % îò èçãîòîâèòåëÿ 3. 10 % îäåæäû îò èçãîòîâèòåëÿ 1, 5% îò èçãîòîâèòåëÿ 2 è 15% îò èçãîòîâèòåëÿ 3 ÿâëÿþòñÿ äåôåêòíûìè. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü, ïîñòóïëåíèÿ äåôåêòíîé îäåæäû îò èçãîòîâèòåëÿ 3. Ð å ø å í è å Ïóñòü A - ñîáûòèå, ÷òî ïðèáûëà äåôåêòíàÿ îäåæäà. Ïóñòü Bi - ñîáûòèå, ïðèáûëà îäåæäà îò ïðîèçâîäèòåëÿ i. Ñîãëàñíî Áàéå- ñîâñêîé òåîðåìå ïîëó÷àåì: P (B3 |A) = (0.15)(0.1) 0.015 = = 0.167 (0.1)(0.6) + (0.05)(0.3) + (0.15)(0.1) 0.09 Õîòÿ ïðîèçâîäèòåëü 3 ïîñòàâëÿåò òîëüêî 10% îäåæäû, åãî äîëÿ â ïîñòàâêå äåôåêòíîé îäåæäû ñîñòàâëÿåò îêîëî 17%. 3 Àïðèîðíûå è àïîñòåðèîðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ Ïðåäïîëîæèì, ÷òî X = (X1 , ..., Xn ) ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà ñ ïëîòíîñòüþ èëè ôóíêöèåé âåðîÿòíîñòè f (x; θ) è òðåáóåòñÿ îöåíèòü ïàðàìåòð θ. Ò.ê ïàðàìåòð θ - ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, îíà áóäåò èìåòü ðàñïðåäåëåíèå. Ýòî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü ëþáûå äîñòóïíûå ïðåäïîëîæåíèÿ î âîçìîæíûõ çíà÷åíèÿõ äëÿ θ äî ïîëó÷åíèÿ êàêèõ-ëèáî çíà÷åíèé. Ýòè ïðåäïîëîæåíèÿ âûðàæàþòñÿ ÷åðåç àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå . Çàòåì ïîñëå ïîëó÷åíèÿ ïîäõîäÿùèõ çíà÷åíèé, îïðåäåëÿåòñÿ àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå θ, è ôîðìèðóþòñÿ îñíîâíûå âûâîäè êàñàþùèåñÿ θ. 252 3.1 Çàìå÷àíèÿ Ò.ê θ - ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, îíà äîëæíà îáîçíà÷àòüñÿ Θ è åå àïðèîðíàÿ ïëîòíîñòü äîëæíà çàïèñûâàòüñÿ êàê fΘ (θ). Îäíàêî, äëÿ ïðîñòîòû íåò ìû íå ðàçëè÷àåì Θ è θ, ïëîòíîñòü ïàðàìåòðà îáîçíà÷àåòñÿ êàê f (θ). Çàìåòèì, ÷òî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî θ íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Ýòî ïðåäïîëîæåíèå îñòàåòñÿ âåðíûì, äàæå â ñëó÷àå åñëè X äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, íàïðèìåð èìåþùàÿ Áèíîìèàëüíîå èëè Ïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè (p èëè λ), ïðèíèìàþùèìè íåïðåðûâíîå çíà÷åíèå ((0,1) è (0, ∞) ñîîòâåòñòâåííî). 3.2 Îïðåäåëåíèå àïîñòåðèîðíîé ïëîòíîñòè Ïðåäïîëîæèì X ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà ñ f (x|θ) è θ èìååò àïðèîðíóþ ïëîòíîñòü f (θ). Àïîñòåðèîðíàÿ ïëîòíîñòü θ|X îïðåäåëÿåòñÿ, èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå óñëîâíîé ïëîòíîñòè: f (θ|X) = f (X|θ)f (θ) f (θ, X) = f (X) f (X) R Çàìåòèì, ÷òî f (X) = f (X|θ)f (θ)dθ. Ýòîò ðåçóëüòàò àíàëîãè÷åí íåïðåðûâíîé âåðñèè Áàéåñîâñêîé òåîðåìû. ×àñòî óäîáíî çàïèñàòü ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò â òåðìèíàõ ñòàòèñòèêè, îáîçíà÷àÿ ñëó÷àéíóþ âûáîðêó X : f (θ|X) = f (X|θ)f (θ) f (X) Íà ïðàêòèêå ýòè îáîçíà÷åíèÿ ýêâèâàëåíòíû. Óäîáíûì ñïîñîáîì îáîçíà÷åíèÿ àïîñòåðèîðíîé ïëîòíîñòè - èñïîëüçîâàíèå ïðîïîðöèîíàëüíîñòè. f (X) íå îïðåäåëÿåò θ åäèíñòâåííûì îáðàçîì. Äëÿ äîñòèæåíèÿ åäèíñòâåííîñòè òðåáóåòñÿ îïðåäåëåíèå êîíñòàíòû. Ñëåäîâàòåëüíî: f (θ|X) ∝ f (X|θ)f (θ) Òàêæå çàìåòèì, ÷òî f (X) - ñîâìåñòíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåìåíòîâ âûáîðêè íå ÿâëÿåòñÿ ÷åì-òî îòëè÷íûì îò ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ. Òàêèì îáðàçîì àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ïðîïîðöèîíàëüíî ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ. 253 Äëÿ äàííîé ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ, åñëè àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ïðèâîäèò ê àïîñòåðèîðíîìó ðàñïðåäåëåíèþ, ïðèíàäëåæàùåìó òîìó æå ñåìåéñòâó, ÷òî è àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå, òîãäà àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå íàçûâàþò ñîïðÿæåííûì àïðèîðíûì äëÿ ýòîé ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ. 4 Ôóíêöèÿ óùåðáà ×òîáû ïîëó÷èòü îöåíêó ïàðàìåòðà θ, íåîáõîäèìî äëÿ íà÷àëà îïðåäåëèòü ôóíêöèþ óùåðáà. Ýòî ìåðà ïîíåñåííûõ óùåðáà, ïðè èñïîëüçîâàíèè g(X) â êà÷åñòâå îöåíêè ïàðàìåòðà θ. Ôóíêöèÿ óùåðáà âûáðàíà òàê, ÷òî îíà ïðèíèìàåò çíà÷åíèå íîëü, êîãäà îöåíêà òî÷íà, ÷òî çíà÷èò g(X) = θ, è ïðèíèìàåò ïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå è íå âîçðàñòàåò, êîãäà g(X) äàëåêà îò θ. Ñóùåñòâóåò îäíà íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìàÿ ôóíêöèÿ óùåðáà, íàçûâàåìàÿ êâàäðàòè÷íàÿ îøèáêà óùåðáà. Äâå îñòàëüíûå òàêæå ïðèìåíÿþòñÿ íà ïðàêòèêå. Òàêèì îáðàçîì, Áàéåñîâñêàÿ îöåíêà g(X) ìèíèìèçèðóåò îæèäàåìûå ïîòåðè ïðè âûâîäå àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ãëàâíàÿ ôóíêöèÿ óùåðáà - êâàäðàòè÷íûå ïîòåðè îïðåäåëåíà ôîðìóëîé: L(g(x), θ) = [g(x) − θ]2 àíàëîãîì åå â êëàññè÷åñêîé ñòàòèñòèêå ÿâëÿåòñÿ ñðåäíåêâàäðàòè÷íàÿ îøèáêà. Âòîðàÿ ôóíêöèÿ óùåðáà - àáñîëþòíàÿ îøèáêà óùåðáà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé: L(g(x), θ) = |g(x) − θ| Òðåòüÿ ôóíêöèÿ óùåðáà - "0/1" èëè "âñå-íè÷åãî" ïîòåðÿ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé: 0, ïðè g(x) = θ L(g(x), θ) = 1, ïðè g(x) 6= θ Áàéåñîâñêîé îöåíêîé, êîòîðàÿ äîñòèãàåòñÿ ìèíèìèçàöèåé îæèäàåìûõ ïîòåðü, äëÿ êàæäîé èç ýòèõ òðåõ ôóíêöèé óùåðáà ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, ìåäèàíà è ìîäà àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî. Îæèäàåìûå àïîñòåðèîðíûå ïîòåðè ðàâíû: Z EP L = E[L(g(x), θ)] = L(g(x), θ)f (θ|x)dθ 254 4.1 Êâàäðàòè÷íàÿ îøèáêà óùåðáà Äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ïèñàòü g âìåñòî g(x). Z EP L = (g − θ)2 f (θ|x)dθ Z d EP L = 2 (g − θ)f (θ|x)dθ dg R R Ïðèðàâíèâàíèå ê íóëþ ⇒ g f (θ|x)dθ = θf (θ|x)dθ íî R f (θ|x)dθ = 1 áîëåå òîãî g = R θf (θ|x)dθ = E[θ|x]. ßñíî, ÷òî ýòî ìèíèìèçèðóåò EPL/ Ïîëó÷èëè, ÷òî Áàéåñîâñêàÿ îöåíêà ñ èñïîëüçîâàíèåì êâàäðàòè÷íîé ïîòåðè ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåì àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. 4.2 Àáñîëþòíàÿ îøèáêà óùåðáà Ñíîâà äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ïèñàòü g âìåñòî g(x). Z EP L = |g − θ|f (θ|x)dθ Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî θ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ èç èíòåðâàëà (−∞, ∞), ïîëó÷àåì: Zg Z∞ (g − θ)f (θ|x)dθ + (θ − g)f (θ|x)dθ EP L = −∞ g Áîëåå òîãî: Zg d EP L = dg Z∞ f (θ|x)dθ − −∞ d [Èñïîëüçóåòñÿ ôîðìóëà dy b(y) R f (θ|x)dθ g f (x, y)dx = a(y) b(y) R ∂ f (x, y)dx+b0 (y)f (b(y), y)− ∂y a(y) a0 f (a(y), y)] ïðèðàâíèâàÿ ê íóëþ ïîëó÷àåì: Zg Z∞ f (θ|x)dθ = f (θ|x)dθ −∞ g 255 Ñëåäîâàòåëüíî P (θ ⩽ g) = P (θ ⩾ g) îòêóäà ñëåäóåò ìåäèàíà àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. 4.3 Áèíàðíàÿ îøèáêà óùåðáà Âìåñòî ïîäõîäà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ áóäåò èñïîëüçîâàí ïðÿìîé ïîäõîä ñ îãðàíè÷åíèÿìè. Ðàññìîòðèì L(g(x), θ) = 0, ïðè g − < θ < g + 1, èíà÷å Òîãäà ïðè → 0 ïîëó÷àåì òðåáóåìóþ ôóíêöèþ óùåðáà. Zg+ f (θ|x)dθ = 1 − 2f (θ|x) EP L = 1 − g− äëÿ ìàëåíüêèõ çíà÷åíèé . Ïðèðàâíÿâ g ê ìîäå f (θ|x) ïîëó÷èì ìèíèìóì ýòîãî âûðàæåíèÿ. Ï ð è ì å ð 10.11 Äëÿ îöåíêè áèíîìèàëüíîé âåðîÿòíîñòè θ åäèíè÷íîãî íàáëþäåíèÿ X ñ àïðèîðíûì ðàñïðåäåëåíèåì θ - Beta(α, β) èññëåäóéòå ôîðìó àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ θ è îïðåäåëèòå Áàéåñîâñêóþ îöåíêó θ , èñïîëüçóÿ êâàäðàòè÷íóþ îøèáêó óùåðáà. Ð å ø å í è å Èñïîëüçóÿ îòíîøåíèå ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, ìîæåì îïóñòèòü ëþáûå êîíñòàíòû. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì: Àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå: f (θ) ∝ θ α−1 (1 − θ)β−1 ,îïóñêàÿ êîíñòàíòó Ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ: f (θ|X) ∝ θ Ñëåäîâàòåëüíî f (θ|X) ∝ θ Ã(α+β) Ã(α)Ã(β) x (1 − θ)n−x , ïðîïóñêàÿ êîíñòàíòó n k . x (1 − θ)n−x θ α−1 (1 − θ)β−1 = θ x+α−1 (1 − θ)n−x+β−1 ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî íå ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ïðîïóùåííûå êîíñòàíòû, ïîëó÷àåì ïëîòíîñòü Beta - ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Áîëåå òîãî ïîëó÷àåì àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå θ ñ ïàðàìåòðàìè (x + α) è (n − x + β). 256 Òàêæå ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî àïîñòåðèîðíàÿ ïëîòíîñòü è àïðèîðíàÿ ïëîòíîñòü ïðèíàäëåæàò ïðÿæåííîå - îäíîìó àïðèîðíîå Beta-ðàñïðåäåëåíèå. íîé îøèáêè óùåðáà ñåìåéñòâó ðàñïðåäåëåíèå Áàéåñîâñêàÿ - ðàñïðåäåëåíèé. äëÿ îöåíêà ìàòåìàòè÷åñêîå Ñëåäîâàòåëüíî, áèíîìèàëüíîãî ñ ðàñïðåäåëåíèÿ èñïîëüçîâàíèåì îæèäàíèå ýòîãî ñî- êâàäðàòè÷- ðàñïðåäåëåíèÿ: x+α x+α (x+α)(n−x+β) = n+α+β 5 Âîïðîñû ñòóäåíòàì Â1 Èñïîëüçóåòñÿ ëè ìåòîä Áàéåñà? Î1 Ìåòîä äîñòàòî÷íî ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ, íàïðèìåð, â îáùåì ñòðàõîâà- íèè â òåîðèè äîâåðèÿ, êîòîðóþ ìû ðàññìîòðèì â ãëàâå 6. Â2 Íå ÿâëÿåòñÿ ëè ìåòîä Áàéåñà ïðîèçâîëüíûì, ò.ê. âû ìîæåòå âûáðàòü ëþáóþ àïðèîðíóþ è àïîñòåðèîðíóþ ôóíêöèþ? Î2 Âî ìíîãèõ ñèòóàöèÿõ àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå âûáèðàåòñÿ ñîãëàñíî ôàêòè÷åñêè íàáëþäàåìîìó ðàñïðåäåëåíèþ, êàê ïîêàçàíî â íàøèõ ïðèìåðàõ. Ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ äîëæíà îñíîâûâàòüñÿ íà ñåðüåçíîñòè íåäîîöåíêè èñòèííîãî çíà÷åíèÿ, íàïðèìåð, ñíèæåíèå ïðèáûëè êîìïàíèè â ñëó÷àå ïëàíèðîâàíèÿ íà îñíîâå ëîæíûõ çíà÷åíèé. Òàêèì îáðàçîì, ïðåäïîëîæåíèÿ íå íàñòîëüêî ïðîèçâîëüíû, êàê ìîæåò ïîêàçàòüñÿ íà ïåðâûé âçãëÿä. Îäíàêî, ñóùåñòâóåò íåêîòîðàÿ ñòåïåíü ïðîèçâîëüíîñòè â ëþáûõ ìåòîäàõ ñòàòèñòè÷åñêîé îöåíêè. Íàïðèìåð, ìåòîä ìîìåíòîâ ïðîèçâîëüíî ïðèñâàèâàåò îæèäàåìóþ ñòåïåíü, âìåñòî íåêîòîðîãî äðóãîãî íàáîðà ôóíêöèé. Â òî æå âðåìÿ, ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ïîäðàçóìåâàåò èñïîëüçîâàíèå íåèíôîðìàòèâíîé àïðèîðíîé ôóíêöèè è ôóíêöèè áèíàðíîé îøèáêè óùåðáà, ïîëó÷àåìûå ÷åðåç ïðåäïîëîæåíèÿ. Áàéåñîâñêèé ïîäõîä ïûòàåòñÿ îõâàòèòü âñþ äîñòóïíóþ èíôîðìàöèþ, äåëàÿ î÷åâèäíûå ïðåäïîëîæåíèÿ. Â3 Ôóíêöèÿ áèíàðíàÿ îøèáêè óùåðáà, êàæåòñÿ, íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì ðàñïðåäåëåíèåì. Ò.ê. âû íå ìîæåòå òî÷íî 257 îöåíèòü íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð, âû óâåðåíû, ÷òî íå îøèáàåòåñü êàæäûé ðàç? Î3 Âû ïðàâû. Äëÿ íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé ôóíêöèÿ áèíàðíàÿ îøèáêè óùåðáà ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîé èäåàëèçàöèåé. Îíà ïîõîæà íà îáîáùåííóþ ôóíêöèþ Äèðàêà äåëüòà δ(x − a), êîòîðàÿ èñïîëüçóåòñÿ â ôèçèêå. Ýòà ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 0 âåçäå, êðîìå òî÷êè x = a, à â ýòîé òî÷êå îíà íåîïðåäåëåíà. Îäíàêî, îíà R∞ èìååò ïîëåçíîå ñâîéñòâî: δ(x − a)f (x)dx = f (a), ÷òî ìîæåò áûòü −∞ èñïîëüçîâàíî äëÿ óïðîùåíèÿ âû÷èñëåíèé. 5.1 Ïîäñêàçêè äëÿ îòâåòîâ íà âîïðîñû 1. Îñíîâíûå âîïðîñû ïî äàííîé ãëàâå çàêëþ÷àþòñÿ â íàõîæäåíèè àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è äàëüíåéøåãî åãî èñïîëüçîâàíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è. 2. Ïðè íàõîæäåíèè àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò ó÷èòûâàòü ñëåäóþùåå: • â àïðèîðíîé è àïîñòåðèîðíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ñëåäîâàòåëüíî ýòîò ïàðàìåòð çàíèìàåò ìåñòî x â ôîðìóëå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. • ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî îäèíàêîâûõ ïî çíà÷åíèþ ïåðåìåííûõ, íàïðèìåð λ è λ0 èëè µ è m. Ïîýòîìó âàæíî ïîíèìàòü çíà÷åíèå ïåðåìåííûõ è ïîìíèòü: • â àïðèîðíîì è àïîñòåðèîðíîì ðàñïðåäåëåíèè âû ïðèíèìàåòå ïàðàìåòð ðàñïðåäåëåíèÿ (íàïðèìåð θ) çà ñëó÷àéíóþ ïåðåìåííóþ • è ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ - ôóíêöèÿ îò íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà, à íàáëþäàåìàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðèíèìàåòñÿ çà êîíñòàíòó. 3. Ôóíêöèÿ êâàäðàòè÷íîé îøèáêè óùåðáà - íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìàÿ ôóíêöèÿ, ïîýòîìó óáåäèòåñü, ÷òî âû ïðàâèëüíî ïîíÿëè åå ïðèìåíåíèå. 258 4. Çàìåòèì, ÷òî âàì íåò íåîáõîäèìîñòè çàïîìèíàòü òàáëèöó ñîïðÿæåííûõ ôóíêöèé, íî íà ýêçàìåíå âàñ ìîãóò ñïðîñèòü èõ âûâîä. 6 Îòâåòû íà âîïðîñû äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè Ðåøåíèå 5.1 ×èñëî ëþäåé, äåëàþùèõ âû÷èñëåíèÿ áåç îøèáîê ðàâíî: Ìîãóò Íå ìîãóò Âñåãî Àêòóàðèè 60 40 100 Áóõãàëòåðà 80 120 200 Âñåãî 140 160 300 Èòàê âåðîÿòíîñòü, ÷òî ïðåäñòàâèòåëü, êòî äóìàåò, ÷òî 2 + 3 = 4 ÿâëÿåòñÿ àêòóàðèåì ðàâíà 40/160 = 1/4 Ðåøåíèå 5.2 Îïðåäåëèì ñëåäóþùèå ñîáûòèÿ (ãäå h ìàëà) AS : èíäèâèäóàëüíûé èñê òèïà S AM : èíäèâèäóàëüíûé èñê òèïà M AL : èíäèâèäóàëüíûé èñê òèïà L B : ðàçìåð èíäèâèäóàëüíîãî èñêà ëåæèò ìåæäó $5000 è $(5000 + h) Äëÿ äàííîãî θ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ B ðàâíà: 5000+h Z P (B|Θ = θ) = 2θ2 dx x3 5000 Ìû ìîæåì àïïðîêñèìèðîâàòü èíòåãðàë, èñïîëüçóÿ òèïè÷íîå çíà÷åíèå ôóíêöèè, óìíîæåííîå íà äëèíó èíòåðâàëà 2θ2 h · 50003 · P (B|Θ = θ) = Îòñþäà ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå âåðîÿòíîñòè: P (B|Θ = θS ) = 2 ∗ 1002 h = 0.00000016h 50003 2 ∗ 10002 P (B|Θ = θM ) = h = 0.000016h 50003 259 P (B|Θ = θL ) = 2 ∗ 25002 h = 0.0001h 50003 Èçâåñòíî, ÷òî P (Θ = θS ) = 0.80 P (Θ = θM ) = 0.15 P (Θ = θL ) = 0.05 Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Áàéåñà, ïîëó÷àåì: P (Θ = θS |B) (B|Θ=θS )P (Θ=θS ) = P (B|Θ=θS )P (Θ=θS )+PP(B|Θ=θ M )P (Θ=θM )+P (B|Θ=θL )P (Θ=θL ) 0.00000016h∗0.80 = 0.00000016h∗0.80+0.000016h∗0.15+0.0001h∗0.05 = 0.0170 Àíàëîãè÷íî: P (Θ = θM |B) = 0.3188 P (Θ = θL |B) = 0.6642 Èòàê, àïîñòåðèîðíàÿ âåðîÿòíîñòü òèïà S,L è M ðàâíà 1.70%, 31.88% è 66.42%. (Äàëåå ìû ðàññìîòðèì áîëåå ëåãêèé ïîäõîä ê ðåøåíèþ ïîäîáíîé ïðîáëåìû ÷åðåç ïðîïîðöèè.) Ðåøåíèå 5.3 Âåðîÿòíîñòü âûáðàòü 1 êðàñíóþ è 2 ÷åðíûõ êàðòû èç êîëîäû, ñîñòîÿùåé èç R êðàñíûõ êàðò ðàâíà: 3∗ R(52 − R)(51 − R) 52 ∗ 51 ∗ 50 ò.ê. êàæäàÿ èç ñèòóàöèé : (RBB),(BRB),(BBR) - èìååò îäèíàêîâóþ âåðîÿòíîñòü. Ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ ðàâíà: P (1êð. + 2÷åð.|R = 0) = 0 P (1êð. + 2÷åð.|R = 13) = 3(13)(39)(38)/(52)(51)(50) = 114k P (1êð. + 2÷åð.|R = 26) = 3(26)(26)(25)/(52)(51)(50) = 100k P (1êð. + 2÷åð.|R = 39) = 3(39)(13)(12)/(52)(51)(50) = 36k P (1êð. + 2÷åð.|R = 52) = 0 3∗132 ãäå k = 52∗51∗50 260 Ôóíêöèÿ àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé (1/5 â êàæäîì ñëó÷àå), ò.ê. âûáèðàåòñÿ îäèí ñëó÷àéíûì îáðàçîì. Òîãäà èç ôîðìóëû "Àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå∝ Àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ∗ Ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå òîãî, ÷òî R = 0, 13, 26, 39, 52 ñëåäóþùåå: 0, 45.6%, 40%, 14.4%, 0 Ðåøåíèå 5.4 Àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå λ Exp(λ0 ) ïëîòíîñòüþ 0 eλ λ , λ > 0 Xi èìåþò Exp(λ) ðàñïðåäåëåíèå, ïîýòîìó ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà −(P xi +λ0 )λ λn e λ>0 Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííóþ ôîðìóëó ñ ðàñïðåäåëåíèÿìè â òàáëèöå, âèäèì, ÷òî îíà èìååò òó æå ôîðìó è çíà÷åíèÿ, ÷òî è Gamma-ðàñïðåäåëåíèå (ïîìíèòå, ÷òî λ - ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà) ñ ïàðàìåòðàìè n + 1 è P xi + λ0 261 Ðåøåíèå 5.5 Íàì íåîáõîäèìî âûáðàòü òàêîå θ, ÷òîáû ìèíèìèçèðîâàòü îæèäàåìûå ïîòåðè E = E[I(θ 6= θ)]. Èç îïðåäåëåíèÿ ñîîòíîøåíèÿ è èíäèêàòîðà ñëåäóåò, ÷òî âûðàæåíèå ðàâíî 1 ∗ P (θ 6= θ). Èòàê íàì íåîáõîäèìî âûáðàòü òàêîå θ, ÷òîáû ìèíèìèçèðîâàòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îíà íå ðàâíà θ èëè ìàêñèìèçèðîâàòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îíà ðàâíà θ. Ïî îïðåäåëåíèþ ýòî äîñòèãàåòñÿ âûáîðîì ìîäû àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ θ. Ðåøåíèå 5.6 Íàì íåîáõîäèìî âûáðàòü òàêîå θ, ÷òîáû ìèíèìèçèðîâàòü îæèäàåìûå ïîòåðè E = E[|θ − θ|]. Åñëè f (θ) àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå, ìû ìîæåì ðàçäåëèòü ñîîòíîøåíèå íà äâå ÷àñòè: Rθ R∞ (θ − θ)f (θ)dθ − (θ − θ)f (θ)dθ E= −∞ θ Äèôôåðåíöèðóÿ ïî θ, ïîëó÷àåì: Rθ R∞ E f (θ)dθ − f (θ)dθ = dθ −∞ θ Ïðèðàâíèâàÿ ê íóëþ, ïîëó÷àåì: Rθ R∞ f (θ)dθ = f (θ)dθ −∞ θ Èòàê,θ - ìåäèàíà àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ðåøåíèå 5.7 Àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ Ïóàññîíîâñêîé ôóíêöèè ïðàâäîïîP äîáèÿ è àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå äàíû â òàáëèöå, êàê Gamma( x + 0 1, n + λP ) (Ïðîâåðüòå, ÷òî âû ìîæåòå ïîëó÷èòü ýòè ðåçóëüòàòû). Èìååì n = 10, x = 31, λ0 = 0.2. Ñëåäîâàòåëüíî àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå äëÿ λ - Gamma(32, 10.2). Èñïîëüçóÿ êâàäðàòè÷íóþ ôóíêöèþ óùåðáà, ïîëó÷àåì, ÷òî Áàéåñîâñêàÿ îöåíêà - ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ò.å. 32 λ = 10.2 = 3.14 262 Ðåøåíèå 5.8 Àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå äëÿ λ - Gamma(32, 10.2). Èñïîëüçóÿ òî, ÷òî åñëè X èìååò Gamma(α, δ), òîãäà 2δX - χ22α , èìååì 20.4λ èìååò χ264 ðàñïðåäåëåíèå. Èíòåðïîëèðóÿ äàííûå òàáëèöû ìåæäó χ260 è χ270 ïîëó÷àåì · 0.95 = P (43.79 < 20.4λ < 87.99) = P (2.15 < λ < 4.31) · Òàêèì îáðàçîì 95% Áàéåñîâñêèé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ λ ðàâåí (2.15,4.31). Ðåøåíèå 5.9 Èç òàáëèö ðåçóëüòàòîâ, ïðåäñòàâëåííûõ ðàíüøå â ãëàâå, ïîëó÷àåì, ÷òî 8 , 10 = N (4.932, 0.8). àïîñòåðèîðíàÿ âåðîÿòíîñòü äëÿ µ ðàâíà N 49.32 10 Èòàê 95% äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë ðàâåí: √ 4.932 ± 1.96 ∗ 0.8 = (3.18, 6.69) 263 ×àñòü VI 264 Ãëàâà 11 Òåîðèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ Öåëè ãëàâû Ê êîíöó äàííîé ãëàâû âû áóäåòå óìåòü: • îáúÿñíÿòü è èñïîëüçîâàòü ôàêòîðû äîâåðèÿ • âû÷èñëÿòü ôàêòîðû äîâåðèÿ è ïðàâäîïîäîáíûå ïðåìèè, èñïîëüçóÿ áàéåñîâñêèé ïîäõîä • îïèñûâàòü è ïðèìåíÿòü ìîäåëè Ïóàññîíîâñêîãî/Ãàììà è Íîðìàëüíîãî/Íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèé • îïèñûâàòü è ïðèìåíÿòü äâå ýìïèðè÷åñêèå áàéåñîâñêèå ìîäåëè 1 Ââåäåíèå Â äàííîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì òåîðèþ ïðàâäîïîäîáèÿ, ïðåäñòàâëÿþùóþ èç ñåáÿ òåõíèêó äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåìèé èëè ÷àñòîò èñêîâ ïðè îáùèõ âèäàõ ñòðàõîâàíèÿ. Áóäåò ðàññìîòðåí áàéåñîâñêèé ïîäõîä ê ïðàâäîïîäîáèþ, à òàêæå äâå ìîäåëè, íàçûâàåìûå ýìïèðè÷åñêèìè áàéåñîâñêèìè ìîäåëÿìè ïðàâäîïîäîáèÿ. Òåîðèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ èçó÷àåòñÿ ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ â ïðèëîæåíèè G. Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü òåîðèþ áàéåñîâñêîé îöåíêè, ðàññìîòðåííóþ â ïðåäûäóùåé ãëàâå (Áàéåñîâñêèå ìåòîäû). Âàì ñëåäóåò êðàòêî ïðîñìîòðåòü å¼, åñëè âû ÷òî-òî çàáûëè. Àëãåáðà, èñïîëüçóåìàÿ â ýìïèðè÷åñêèõ áàéåñîâñêèõ ìîäåëÿõ ïðàâäîïîäîáèÿ, êîòîðûå ìû èçó÷èì â ýòîé ãëàâå, î÷åíü ñëîæíà äëÿ ïîíèìàíèÿ, è âñå ñòóäåíòû íàõîäÿò äàííóþ òåìó äîñòàòî÷íî ñëîæíîé. Íå ïîçâîëÿéòå 265 ñåáå ñëèøêîì ãëóáîêî óâÿçíóòü â ìàòåìàòèêå â ýòîé ÷àñòè è íå çàó÷èâàéòå ôîðìóëû (áîëüøèíñòâî èç íèõ ïðèâåäåíû â Òàáëèöàõ ). Ñêîíöåíòðèðóéòåñü íà ïîíèìàíèè ðàçíèöû ìåæäó ðàçëè÷íûìè ìîäåëÿìè è íà õîäå ðåøåíèÿ ÷èñëîâûõ ïðèìåðîâ. Êðàòêèé êîíñïåêò ãëàâû òàêæå äîñòàòî÷íî ñëîæåí. Îïÿòü æå, ïîñòàðàéòåñü ðàçðàáàòûâàòü óìåíèå ïîíèìàòü ðàçëè÷èÿ ìåæäó ìîäåëÿìè äëÿ óëó÷øåíèÿ ñâîåãî ïîíèìàíèÿ òåîðèè. 2 Ïðàâäîïîäîáèå 2.1 Ôàêòîðû äîâåðèÿ Êîìïàíèè, îñóùåñòâëÿþùèå îáùèå âèäû ñòðàõîâàíèÿ, îáû÷íî îïðåäåëÿþò âåëè÷èíû ïðåìèé äëÿ êîíêðåòíîãî âèäà ðèñêà ïóòåì àíàëèçà ïîëó÷åííûõ èñêîâ è èçäåðæåê äëÿ ýòîãî òèïà ðèñêà. Â òî æå âðåìÿ, âî ìíîãèõ ñèòóàöèÿõ ñòðàõîâùèê íå èìååò â íàëè÷èè äîñòàòî÷íîãî êîëè÷åñòâà äàííûõ, îòíîñÿùèõñÿ ê êîíêðåòíîìó òèïó ðèñêà (ïðÿìûõ äàííûõ ), äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåëè÷èíû ïðåìèè ñ äîñòàòî÷íîé óâåðåííîñòüþ. Òåì íå ìåíåå, ñòðàõîâùèê ìîæåò ðàñïîëàãàòü äðóãîé èíôîðìàöèåé (ñîïóòñòâóþùèå èëè âñïîìîãàòåëüíûå äàííûå ), êîòîðàÿ, âîçìîæíî, äàñò õîðîøåå óêàçàíèå îòíîñèòåëüíî âåðíîãî ðàçìåðà ïðåìèè. Â èäåàëüíîì ñëó÷àå, ñòðàõîâùèê õîòåë áû èñïîëüçîâàòü âñþ èìåþùóþñÿ èíôîðìàöèþ ïóòåì îáúåäèíåíèÿ ïðÿìûõ è âñïîìîãàòåëüíûõ äàííûõ. Ï ð è ì å ð 11.1 Îïèøèòå òðè ñèòóàöèè, óïîìèíàÿ êîíêðåòíûå âèäû ñòðàõîâàíèÿ, â êîòîðûõ ñòðàõîâùèê ìîæåò îïðåäåëÿòü âåëè÷èíó ïðåìèè, îáúåäèíÿÿ ïðÿìûå äàííûå îòíîñèòåëüíî ðèñêà ñî âñïîìîãàòåëüíûìè. Ðåøåíèå Íîâûé âèä ïîêðûòèÿ Ñòðàõîâùèê, ïðåäëàãàþùèé íîâûé âèä ïîêðûòèÿ (íàïðèìåð, çàùèòà îò ïîâðåæäåíèé, âûçâàííûõ ïàäåíèåì ñïóòíèêîâîé òàðåëêè), èçíà÷àëüíî íå áóäåò èìåòü äîñòàòî÷íî ïðÿìûõ äàííûõ îò èñêîâ ïî íîâûì ïîëèñàì äëÿ òî÷íîãî îïðåäåëåíèÿ ïðåìèè. Ñòðàõîâùèê ìîæåò èñïîëüçîâàòü äàííûå îá èñêàõ â áëèçêèõ, õîðîøî îïðåäåëåííûõ òèïàõ ïîêðûòèé (íàïðèìåð, ïàäåíèå ÒÂ àíòåíí), êàê ñîïóòñòâóþùóþ èíôîðìàöèþ â òå÷åíèå ïåðâûõ íåñêîëüêèõ ëåò. Êàê òîëüêî êîìïàíèÿ ïðîäàñò äîñòàòî÷íîå êîëè÷åñòâî íîâûõ ïîëèñîâ, ìîäåëü èñêîâ, âûçâàííûõ ñïóòíèêîâûìè òàðåëêàìè, ñòàíåò ÿñíåå è ñòðàõîâùèê ñìîæåò äåëàòü áîëüøèé àêöåíò íà ïðÿìûõ äàííûõ. Íåîáû÷íûå ðèñêè Ñòðàõîâùèê, ñòðàõóþùèé íåáîëüøîå êîëè÷åñòâî èíîñòðàííûõ àâòîìîáèëåé îïðåäåëåííîé ìîäåëè, íå áóäåò èìåòü äîñòàòî÷íî ïðÿìûõ äàííûõ äëÿ ýòîé ìîäåëè àâòîìîáèëåé äëÿ óñòàíîâêè ñîîòâåòñòâóþùåé ïðåìèè. Îí ìîæåò èñ- 266 ïîëüçîâàòü îïûò ïðîøëûõ èñêîâ ïî áëèçêèì òèïàì èíîñòðàííûõ àâòîìîáèëåé êàê âñïîìîãàòåëüíûå äàííûå Ñòðàõîâùèê ìîæåò íèêîãäà è íå ïîëó÷èòü äîñòàòî÷íîå êîëè÷åñòâî äàííûõ äëÿ òî÷íîãî îïðåäåëåíèÿ ðèñêà íà îñíîâå ïðÿìûõ äàííûõ. Îïûòíàÿ îöåíêà Ñòðàõîâùèê, ñòðàõóþùèé ïàðê àâòîìîáèëåé, èñïîëüçóåìûõ êîìïàíèåé ñðåäíåé âåëè÷èíû, âîçìîæíî çàõî÷åò âçèìàòü ïðåìèþ íà îñíîâå ñîïóòñòâóþùèõ äàííûõ, ïîëó÷åííûõ îò ïàðêà àâòîìîáèëåé êàê åäèíîãî öåëîãî, íî â òî æå âðåìÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ è ïðîøëûé îïûò, ïîëó÷åííûé ñ ïîìîùüþ ïðÿìûõ äàííûõ äëÿ êîíêðåòíîãî ïàðêà. Åñëè ñòàòèñòèêà àâàðèé äëÿ êîìïàíèè áûëà õîðîøåé, òî îíà çàïëàòèò ïðåìèþ ìåíüøå ñðåäíåé. Îäíèì èç ñïîñîáîâ îáúåäèíåíèÿ ïðÿìûõ è âñïîìîãàòåëüíûõ äàííûõ äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû ïðåìèè ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå âçâåøåííîé ñðåäíåé ïðåìèè, ïîëó÷åííîé ñ ïîìîùüþ ïðÿìûõ è âñïîìîãàòåëüíûõ äàííûõ. Ôîðìóëà ïðàâäîïîäîáèÿ Åñëè Z åñòü ôàêòîð äîâåðèÿ, òî ïðåìèÿ âû÷èñëÿåòñÿ êàê: P = ZX + (1 − Z)µ ãäå X ïðåìèÿ, îñíîâàííàÿ íà ïðÿìûõ äàííûõ, à µ ïðåìèÿ, îñíîâàííàÿ íà âñïîìîãàòåëüíûõ äàííûõ Ôîðìóëà ïðàâäîïîäîáèÿ òàêæå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ îöåíêè êàê ÷àñòîòû èñêîâ, òàê è ðèñêîâûõ ïðåìèé. Ñâîéñòâà ôàêòîðà äîâåðèÿ Âåëè÷èíà ïðåìèè P ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé ôóíêöèåé ôàêòîðà äîâåðèÿ Z . Ôàêòîð äîâåðèÿ Z ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ èç äèàïàçîíà 0 ⩽ Z ⩽ 1 Èíòåðïðåòàöèÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ôàêòîðà äîâåðèÿ ïðåäñòàâëåíà â ñëåäóþùåé òàáëèöå. Ôàêòîð äîâåðèÿ Z=1 Äîâåðèå Ïðåìèÿ Ôîðìóëà Ïîëíîå äîâåðèå P =X 0<Z<1 ×àñòè÷íîå äîâåðèå Z=0 Îòñóòñòâèå äîâåðèÿ Ïðåìèÿ öåëèêîì îïðåäåëÿåòñÿ èñõîäÿ èç ïðÿìûõ äàííûõ Ïðåìèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê âçâåøåííàÿ ñóììà Ïðåìèÿ öåëèêîì îïðåäåëÿåòñÿ èç âñïîìîãàòåëüíûõ äàííûõ 267 P = ZX + (1 − Z)µ P =µ Äîêàçàòåëüñòâî. Ýòè ñâîéñòâà íàïðÿìóþ âûòåêàþò èç ôîðìóëû P = ZX + (1 − Z)µ Ï ð è ì å ð 11.2 Ñïåöèàëèñò ñòðàõîâùèêà, îñóùåñòâëÿþùåãî ñòðàõîâàíèå îò ïîëîìîê êîïèðîâàëüíîãî îáîðóäîâàíèÿ, âû÷èñëÿåò ïðåìèè, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó ïðàâäîïîäîáèÿ. Îñíîâûâàÿñü íà ïîñëåäíåì îïûòå êîìïàíèè îòíîñèòåëüíî âñåõ ìîäåëåé êîïèðîâ, ïðåìèÿ íà òåêóùèé ãîä äîëæíà ðàâíÿòüñÿ 100 çà îäèí êîïèð. Îïûò êîìïàíèè îòíîñèòåëüíî íîâîé ìîäåëè êîïèðà, êîòîðûé ñ÷èòàåòñÿ áîëåå íàäåæíûì, ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðåìèÿ äîëæíà áûòü ðàâíîé 60 çà îäíó ìàøèíó. Êàêóþ âåëè÷èíó ïðåìèè äîëæåí âçèìàòü ñòðàõîâùèê çà ñòðàõîâàíèå íîâîé ìîäåëè, åñëè âåëè÷èíà ôàêòîðà äîâåðèÿ ðàâíà 0.75? Ð å ø å í è å Ïðåìèÿ, îñíîâàííàÿ íà âñïîìîãàòåëüíûõ äàííûõ (âêëþ÷àÿ âñå ìàøèíû), ðàâíà µ = 100 Ïðåìèÿ, îñíîâàííàÿ íà ïðÿìûõ äàííûõ (íîâàÿ ìîäåëü) X = 60 Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëà ïðàâäîïîäîáèÿ ïðè Z = 0.75 äàåò íàì ñëåäóþùóþ âåëè÷èíó ïðåìèè: P = 0.75 ∗ 60 + 0.25 ∗ 100 = 70 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 11.1. Íà÷åðòèòå ãðàôèê âçèìàåìîé ïðå- ìèè êàê ôóíêöèè ôàêòîðà äîâåðèÿ äëÿ äàííîãî ïðèìåðà. 2.2 Ïîëíîå è ÷àñòè÷íîå äîâåðèå Êîãäà ñòðàõîâùèêè èñïîëüçóþò ôîðìóëó ïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåìèé èëè îïðåäåëåíèÿ ðàçìåðîâ áîíóñîâ, âûïëà÷èâàåìûõ âëàäåëüöàì ïîëèñîâ â ñîîòâåòñòâèè ñ ðåéòèíãîâîé ñèñòåìîé, îíè äîëæíû âû÷èñëÿòü âåëè÷èíó ôàêòîðà äîâåðèÿ, èñïîëüçóÿ ïîäõîäÿùóþ ñòàòèñòè÷åñêóþ ôîðìóëó. Ï ð è ì å ð 11.3 Ïîêàçàòü ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ôîðìóëû: Z1 = min n o m0 + φ M , 1 , Z2 = min (M/m0 )1/2 , 1 m0 M + φ ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ïîäõîäÿùèå äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ïðè âû÷èñëåíèè ôàêòîðîâ äîâåðèÿ äëÿ äàííîãî ðèñêà. M îçíà÷àåò ÷èñëî ïîäàííûõ èñêîâ ïî äàííîìó ïîëèñó, à φ è m0 - ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû. Ð å ø å í è å Ýòè ôîðìóëû îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè, êîòîðûå äîëæíà èìåòü ôîðìóëû ïðàâäîïîäîáèÿ 1. Çíà÷åíèÿ Z1 è Z2 äîëæíû ëåæàòü â äèàïàçîíå îò 0 äî 1 0. Äëÿ êàæäîãî èç îïðåäåëåíèé ôàêòîð äîâåðèÿ ðàâåí 0 ïðè M = 0 è ðàâåí 1 ïðè M ⩾ m0 2. Âû÷èñëÿåìûå çíà÷åíèÿ âîçðàñòàþò òàê æå êàê è îáúåì äàííûõ, îòíîñÿùèõñÿ ê ðèñêó (îòîáðàæàþòñÿ âåëè÷èíîé M ). 268 3. Ôóíêöèè õîðîøî ñåáÿ "âåäóò"ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ è ïðîñòû äëÿ âû÷èñëåíèÿ. Ôîðìóëû, èñïîëüçóåìûå äëÿ âû÷èñëåíèÿ ôàêòîðà äîâåðèÿ, îáû÷íî ìîãóò ïðèíèìàòü çíà÷åíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ïîëíîìó äîâåðèþ (ôàêòîð äîâåðèÿ ïðè ýòîì ðàâåí 1). Â òî æå âðåìÿ ðàäè óïðîùåíèÿ (à òàê æå ïî ðûíî÷íûì ïðè÷èíàì) ñòðàõîâùèêè îáû÷íî ðåøàþò, ÷òî êîãäà ôàêòîð äîâåðèÿ ïðåâûøàåò îïðåäåëåííûé óðîâåíü (áëèçêèé ê 1), òî ðèñê èìååò ïîëíîå äîâåðèå, ò.å. ïðè ðàñ÷åòàõ èñïîëüçóåòñÿ ôàêòîð äîâåðèÿ ðàâíûé 1. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 11.2. Ïîëíûì äîâåðèåì ê áîëüøèì ðèñ- êàì, âõîäÿùèì â îäèí êëàññ, ñòðàõîâùèêîì ñ÷èòàåòñÿ òî, ÷òî åñëè ñòàòèñòèêà ïîëíîñòüþ äîñòîâåðíà (5%,90%), ò.å. åñëè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ðåàëüíîå ÷èñëî èñêîâ â îïðåäåëåííîì ãîäó ëåæèò â ïðåäåëàõ 5% îòêëîíåíèÿ îò îæèäàåìîãî ÷èñëà ðàâíà êàê ìèíèìóì 90%. Ñòðàõîâùèê ïðåäïîëàãàåò, ÷òî ÷èñëî èñêîâ èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà P oisson(λ) â ëþáîì ãîäó (ãäå λ ôèêñèðîâàíî, íî íåèçâåñòíî.) Ïîêàæèòå, ÷òî, èñïîëüçóÿ ýòîò êðèòåðèé, ðèñê ìîæíî ñ÷èòàòü ïîëíîñòüþ äîñòîâåðíûì ïðè óñëîâèè, ÷òî ÷èñëî ïðîøåäøèõ èñêîâ ñîñòàâèëî íå ìåíåå 1082. 2.3 Öåëè ìîäåëåé ïðàâäîïîäîáèÿ Ìîäåëè ïðàâäîïîäîáèÿ èñïîëüçóþòñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî óðîâíÿ ïðåìèé äëÿ ñòðàõîâîãî ïîðòôåëÿ, â êîòîðîì óðîâåíü ðèñêà ðàçëè÷åí äëÿ ðàçëè÷íûõ òèïîâ ðèñêà1 Ìû ðàññìîòðèì äâà ðàçëè÷íûõ ïîäõîäà: Áàéåñîâñêèé ïîäõîä è Ýìïèðè÷åñêîå áàéåñîâñêîå ïðàâäîïîäîáèå (ÅÂÑ). Öåëü ìîäåëåé îöåíèòü îäíî èç ñëåäóþùèõ çíà÷åíèé äëÿ êàæäîãî èíäèâèäóàëüíîãî ðèñêà: • îæèäàåìàÿ ÷àñòîòà èñêîâ ïî ðèñêó, êîòîðîå çàòåì ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî ñîâìåñòíî ñî ñðåäíåé âåëè÷èíîé èñêà äëÿ âû÷èñëåíèÿ "èñòèííîé"ïðåìèè çà ðèñê. • îæèäàåìàÿ ñóììàðíàÿ âåëè÷èíà èñêà ïî êîíêðåòíîìó âèäó ðèñêà, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò "èñòèííóþ"ïðåìèþ íàïðÿìóþ. 1 Çäåñü ñëîâî "ðèñê"îçíà÷àåò èíäèâèäóàëüíûé ïîëèñ èëè ãðóïïó ïîëèñîâ ñ áëèçêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè 269 Â ìîäåëÿõ èñïîëüçóåòñÿ ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî âîçìîæíûå èñêè ïî êàæäîìó êîíêðåòíîìó ïîëèñó çàâèñÿò îò ïàðàìåòðà ðèñêà (îáîçíà÷àåìîãî θ), êîòîðûé èçìåíÿåòñÿ îò ïîëèñà ê ïîëèñó. Âî âñåõ ìîäåëÿõ θ ñ÷èòàåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Ðàçëè÷íûå ìîäåëè ñòðîÿò ðàçëè÷íûå ïðåäïîëîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñòàòèñòè÷åñêèõ ñâîéñòâ θ è åãî îòíîøåíèÿ ê âîçìîæíûì èñêàì ïî êàæäîìó ïîëèñó. Îñíîâíîå îòëè÷èå ìåæäó áàéåñîâñêèì ïîäõîäîì è ÅÂÑ çàêëþ÷àåòñÿ â ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ. Áàéåñîâñêèé ïîäõîä ïðåäïîëàãàåò îïðåäåëåííûé âèä ðàñïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðà θ è óñëîâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èñêîâ äëÿ ðèñêà ïðè ôèêñèðîâàííîì θ. ÅÂÑ ìîäåëè íå äåëàþò êàêèõ-ëèáî ñïåöèôè÷åñêèõ ïðåäïîëîæåíèé îòíîñèòåëüíî ðàñïðåäåëåíèÿ θ è èñïîëüçóþò òîëüêî ãëîáàëüíûå ñâîéñòâà (ñðåäíåå è äèñïåðñèþ) óñëîâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èñêîâ. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 11.3. Çàïèøèòå êàæäîå èç ñëåäóþùèõ âûðàæåíèé â áîëåå ïðîñòîì âèäå, êîòîðûé ìîæåò áûòü ëåã÷å äëÿ âû÷èñëåíèÿ.X è Y ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè. f è g - ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè. Óêàæèòå, ÿâëÿåòñÿ ëè êàæäîå èç âûðàæåíèé ôóíêöèåé îò X , Y èëè íè òîãî, íè äðóãîãî. 1. E[E(X|Y )] 2. V ar[E(X|Y )] + E[V ar(X|Y )] 3. E[f (X)g(X, Y )|X] 3 Áàéåñîâñêèé ïîäõîä ê ïðèíÿòèþ ðåøåíèé 3.1 Îáùèé ñïîñîá Áàéåñîâñêèé ïîäõîä ê ïðàâäîïîäîáèþ âêëþ÷àåò â ñåáÿ ñëåäóþùèå ýëåìåíòû: Àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ïàðàìåòðà Àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ïàðàìåòðà ïîäîáðàíî äëÿ îïèñàíèÿ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà èñõîäÿ èç àíàëèçà ÷àñòîòû èñêîâ. Ôîðìà àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äîëæíà áûòü ïîëó÷åíà èç èíôîðìàöèè, ïðåäîñòàâëåííîé âñïîìîãàòåëüíûìè äàííûìè. Ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ Äëÿ ëþáîãî çàäàííîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà ñóùåñòâóåò îïðåäåëåííàÿ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ÷àñòü èñêîâ, ïðèñóòñòâóþùèõ â ïðÿìûõ äàííûõ, ñîîòâåòñòâóåò ýòîìó çíà÷åíèþ. Ýòî îïðåäåëÿåò âåðîÿòíîñòü äàííîé ãðóïïû èñêîâ êàê ôóíêöèþ íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà. 270 Àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ïàðàìåòðà Àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ïàðàìåòðà ìîæíî ñîâìåñòèòü ñ ôóíêöèåé ïðàâäîïîäîáèÿ, èñïîëüçóÿ áàéåñîâñêóþ ôîðìóëó äëÿ îïðåäåëåíèÿ àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðà Ôóíêöèÿ óùåðáà Ôóíêöèÿ óùåðáà âûáèðàåòñÿ äëÿ èçìåðåíèÿ òîãî, íàñêîëüêî ñåðüåçíîé áóäåò îøèáêà îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðà. Ôóíêöèÿ óùåðáà äîëæíû âûáèðàòüñÿ èç êîììåð÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé îòíîñèòåëüíî ôèíàíñîâîãî ýôôåêòà îò íåâåðíîé îöåíêè ïàðàìåòðà è, ñëåäîâàòåëüíî, âåëè÷èíû ïðåìèè íà áèçíåñ ñòðàõîâùèêà. Îöåíêà ïàðàìåòðà Ôóíêöèÿ óùåðáà ïðèìåíÿåòñÿ ê àïîñòåðèîðíîìó ðàñïðåäåëåíèþ äëÿ îïðåäåëåíèÿ áàéåñîâñêîé îöåíêè íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà. Áàéåñîâñêàÿ îöåíêà ýòî çíà÷åíèå ïàðàìåòðà, ìèíèìèçèðóþùåå îæèäàåìûå ïîòåðè, èñõîäÿ èç àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðà. Â ýòîì ïàðàãðàôå ìû ðàññìîòðèì äâå ñïåöèôè÷åñêèå ìîäåëè, îñíîâàííûå íà áàéåñîâñêîì ïîäõîäå: • Ìîäåëü Ïóàññîíîâñêîãî/Ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ, â êîòîðîé ðàññìàòðèâàþòñÿ ÷àñòîòû èñêîâ. • Ìîäåëü Íîðìàëüíîãî/Íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, â êîòîðîé ðàññìàòðèâàþòñÿ âåëè÷èíû èñêîâ. 3.2 Ìîäåëü Ïóàññîíîâñêîãî/Ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ Îäíîé èç ìîäåëåé, êîòîðûå ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñóììàðíîãî ÷èñëà èñêîâ, ÿâëÿåòñÿ ìîäåëü Ïóàññîíîâñêîãî/Ãàììàðàñïðåäåëåíèÿ. Ìîäåëü Ïóàññîíîâñêîãî/Ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ Ìîäåëü âêëþ÷àåò â ñåáÿ ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ: 1. Ôèêñèðîâàííàÿ, íî íåèçâåñòíàÿ ÷àñòîòà èñêîâ λ (êîòîðàÿ âàðüèðóåòñÿ ñðåäè ïîëèñîâ) ìîäåëèðóåòñÿ ñ ïîìîùüþ àïðèîðíîãî Γ(α, β) ðàñïðåäåëåíèÿ 2. Äëÿ äàííîãî çíà÷åíèÿ λ ÷èñëî èñêîâ Xj |λ â òå÷åíèå ïåðèîäà j (ãäå 1 ⩽ j ⩽ n) èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà P oisson(λ). 3. Â êà÷åñòâå ôóíêöèè óùåðáà èñïîëüçóåòñÿ êâàäðàòè÷íàÿ îøèáêà. 271 Ï ð è ì å ð 11.4 Íàéäèòå áàéåñîâñêóþ îöåíêó ÷àñòîòû èñêîâ äëÿ ìîäåëè Ïóàññîíîâñêîãî/Ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ. Ð å ø å í è å Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó äëÿ ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ, ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÷àñòîòû èñêîâ λ, îñíîâàííàÿ íà âñïîìîãàòåëüíûõ äàííûõ, áóäåò èìåòü âèä: β α α−1 −βλ λ e , 0<λ<∞ Γ(α) Âåðîÿòíîñòü ñëåäîâàíèÿ Xi èç i-ãî ïîëèñà ðàâíà (èñïîëüçóÿ ïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå): L= n Y e−λ λxj xj ! j=1 = e−nλ λ P xj ∗C Èõ ïåðåìíîæåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿ àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äàåò íàì: λα−1 e−βλ ∗ e−nλ λ P xj ∗C =λ P xj +α−1 −(n+β)λ ∗C P Çàìåòèì, ÷òî ýòî ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ Γ( xj + α, n + β) λ e Èñïîëüçîâàíèå â êà÷åñòâå ôóíêöèè óùåðáà êâàäðàòè÷íîé îøèáêè ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî áàéåñîâñêàÿ îöåíêà íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà λ ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ: P b= λ xj + α n+β Ïðåäëîæèòå äðóãèå ñòàòèñòè÷åñêèå ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðûå ìîæíî èñïîëüçîâàòü âìåñòî ãàììàðàñïðåäåëåíèÿ è ïóàññîíîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ â áàéåñîâñêîì ïîäõîäå. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 11.4. Äëÿ äàííîé ìîäåëè áàéåñîâñêàÿ îöåíêà íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà ìîæåò áûòü âûðàæåíà â âèäå îöåíêè ïðàâäîïîäîáèÿ, ò.å. êàê âçâåøåííîå ñðåäíåå îöåíêè, ïîëó÷åííîé èç ïðÿìûõ äàííûõ, è îöåíêè, ïîëó÷åííîé èç âñïîìîãàòåëüíûõ äàííûõ. Ï ð è ì å ð 11.5 Ïîêàæèòå, ÷òî îöåíêà ÷àñòîòû èñêîâ â ìîäåëè Ïóàññîíîâñêîãî / Ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæåò áûòü âûðàæåíà â âèäå îöåíêè ïðàâäîïîäîáèÿ. Ð å ø å í è å Åñòåñòâåííîé îöåíêîé, èñïîëüçóåìîé ïðè îöåíèâàíèè ÷àñòîòû èñêîâ, îñíîâûâàÿñü òîëüêî íà ïðÿìûõ äàííûõ, ÿâëÿåòñÿ ñðåäíåå ÷èñëî èñêîâ íà ïîëèñ: n 1X Xj X= n j=1 272 (Ôàêòè÷åñêè äàííàÿ îöåíêà ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî îöåíêîé ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ è îöåíêîé ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïóàññîíîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ â ìåòîäå ìîìåíòîâ) Ñðåäíÿÿ ÷àñòîòà èñêîâ, îñíîâàííàÿ èñêëþ÷èòåëüíî íà âñïîìîãàòåëüíûõ äàííûõ, ÿâëÿåòñÿ ñðåäíèì àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è ðàâíî: µ= α β Z Åñëè áàéåñîâñêàÿ îöåíêà ìîæåò áûòü âûðàæåíà â âèäå îöåíêè ïðàâäîïîäîáèÿ, òî å¼ ìîæíî çàïèñàòü â òåðìèíàõ âçâåøåííîãî ñðåäíåãî, îñíîâûâàÿñü íà ôàêòîðå äîâåðèÿ Z . b = ZX + (1 − Z)µ λ b è µ äàåò íàì: Ïîäñòàíîâêà âûðàæåíèé äëÿ λ nX + α α = ZX + (1 − Z) n+β β Ðàçáèâ ëåâóþ ÷àñòü íà äâà ñëàãàåìûõ áóäåì èìåòü: nX + α nX α n α n = + = X + 1− n+β n+β n+β n+β n+β β Òàêèì îáðàçîì áàéåñîâñêàÿ îöåíêà ìîæåò áûòü çàïèñàíà â ôîðìå îöåíêè ïðàâäîïîäîáèÿ, îñíîâàííîé íà ôàêòîðå äîâåðèÿ Z = n n+β . Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 11.5. Ïðîâåðüòå ÷èñëåííî, ÷òî ôîðìóëà ïðàâäîïîäîáèÿ ðàáîòàåò â ñëó÷àå, ãäå n = 500 è X = 0.072 (äëÿ ïðÿìûõ äàííûõ) è α = 3.5 è β = 45 (äëÿ âñïîìîãàòåëüíûõ äàííûõ) 3.3 Ìîäåëü Íîðìàëüíîãî/Íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ñóììàðíóþ âåëè÷èíó èñêà ìîæíî ìîäåëèðîâàòü, èñïîëüçóÿ ìîäåëü Íîðìàëüíîãî/Íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìîäåëü Íîðìàëüíîãî/Íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ìîäåëü âêëþ÷àåò â ñåáÿ ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ: 1. Ôèêñèðîâàííûé, íî íåèçâåñòíûé ïàðàìåòðµ (êîòîðûé èçìåíÿåòñÿ ñðåäè ïîëèñîâ), ìîäåëèðóåòñÿ ñ ïîìîùüþ íîðìàëüíîãî àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ N (µ0 , σ02 ) 2. Äëÿ äàííîãî çíà÷åíèÿ µ ñóììàðíûå âåëè÷èíû èñêîâ Xj |µ çà ïåðèîä j (ãäå 1 ⩽ j ⩽ n) èìåþò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå N (µ, σ 2 ) 3. Â êà÷åñòâå ôóíêöèè óùåðáà èñïîëüçóåòñÿ êâàäðàòè÷íàÿ îøèáêà. 273 Ï ð è ì å ð 11.6 Íàéäèòå áàéåñîâñêóþ îöåíêó ðèñêîâîé ïðåìèè äëÿ ìîäåëè Íîðìàëüíîãî/Íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ð å ø å í è å Ò.ê. Xj |µ èìåþò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå N (µ, σ 2 ), òî ïàðàìåòð µ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé "èñòèííóþ"ðèñêîâóþ ïðåìèþ äëÿ äàííîãî òèïà ðèñêà. Òàêèì îáðàçîì, íàì íóæíî îöåíèòü µ, îñíîâûâàÿñü íà X1 , X2 , . . . , Xn . 2 Àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå µ: N (µ0 , σ0 ). 2 Âåðîÿòíîñòü âåëè÷èíû èñêà Xj |µ äëÿ êàæäîãî ïåðèîäà âðåìåíè: N (µ, σ ). Èç ôîðìóë â Òàáëèöàõ ñëåäóåò, ÷òî àïîñòåðèîðíûì ðàñïðåäåëåíèåì θ ÿâëÿåòñÿ N (µ∗ , σ∗2 ), ãäå . n nX µ0 . n 1 1 2 µ∗ = , σ∗ = 1 + 2 + + σ2 σ 2 σ02 σ 2 σ02 σ0 Èñïîëüçîâàíèå â êà÷åñòâå ôóíêöèè óùåðáà êâàäðàòè÷íîé îøèáêè ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî áàéåñîâñêàÿ îöåíêà íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà µ ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è ðàâíî µ∗ . Òàêèì îáðàçîì îöåíêîé èñòèííîé ðèñêîâîé ïðåìèè ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå âûðàæåíèå: E(µ|X1 , X2 , . . . , Xn ) + nX µ0 + 2 2 σ σ0 . n 1 + 2 2 σ σ0 nXσ02 + µ0 σ 2 nσ02 + σ 2 = Ï ð è ì å ð 11.7 Âûâåñòè ôîðìóëû äëÿ µ∗ è σ∗2 ,ïðèâåäåííûå â Òàáëèöàõ Ð å ø å í è å Íåèçâåñòíûì ïàðàìåòðîì ÿâëÿåòñÿ µ, èìåþùåì àïðèîðíîå ðàñ2 ïðåäåëåíèå N (µ0 , σ0 ) Òàêèì îáðàçîì, åãî ïëîòíîñòü ïðîïîðöèîíàëüíà (çà èñêëþ÷åíèåì êîíñòàíò íå ñîäåðæàùèõ µ): " 1 exp − 2 µ − µ0 σ0 2 # Xj |µ èìååò ðàñïðåäåëåíèå N (µ, σ 2 ). Òàêèì îáðàçîì ñóììàðíàÿ ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà: n Y j=1 " exp − 1 2 xj − µ σ  2 # = exp − n 1 X xj − µ 2  2  j=1 σ Òîãäà àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ïðîïîðöèîíàëüíî ïðîèçâåäåíèþ:  exp − 1 2 µ − µ0 σ0 2 − 274 n 1 X xj − µ 2  2  j=1 σ Òàê êàê ýêñïîíåíòà â ýòîì âûðàæåíèè ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèåé µ, òî îíà ïðîïîðöèîíàëüíà âûðàæåíèþ: " 1 exp − 2 µ − µ∗ σ∗ 2 # 2 êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ïëîòíîñòè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ N (µ∗ , σ∗ ) 2 2 ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ µ∗ è σ∗ . Äëÿ íàõîæäåíèÿ çíà÷åíèé µ∗ è σ∗ ïðèðàâ- 2 íÿåì êîýôôèöèåíòû ïðè µ è µ â ýòèõ äâóõ âûðàæåíèÿõ. Ýòî äàñò íàì (ïîñëå îòáðàñûâàíèÿ ìíîæèòåëåé 1 2 ): n n 1 1 µ0 1 X µ∗ µ : 0 + 2 = 2, µ : 2 + 2 xj = 2 σ σ σ∗ σ σ∗ σ0 j=1 2 2 Èç äàííûõ âûðàæåíèé ìîãóò áûòü íàéäåíû çíà÷åíèÿ µ∗ è σ∗ , ïðèâåäåííûå â Òàáëèöàõ. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 11.6. Ïîêàæèòå, ÷òî îöåíêà ðèñêîâîé ïðåìèè â ìîäåëè Íîðìàëüíîãî/Íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæåò áûòü âûðàæåíà â ôîðìå îöåíêè ïðàâäîïîäîáèÿ, çàïèñàííîé êàê ôîðìóëà îò Z. 4 Ýìïèðè÷åñêèå áàéåñîâñêèå ìîäåëè 1. Îáúÿñíèòå ïðèìåíåíèå ýìïèðè÷åñêîãî áàéåñîâñêîãî ïîäõîäà ê òåîðèè ïðàâäîïîäîáèÿ, è îñîáåííî åãî ñõîäñòâî ñ è îòëè÷èå îò áàéåñîâñêîãî ïîäõîäà. 2. Èñïîëüçóÿ ýìïèðè÷åñêèé áàéåñîâñêèé ïîäõîä âûâåäèòå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðàâäîïîäîáíîé ïðåìèè â äâóõ ìîäåëÿõ, îäíà èç êîòîðûõ âêëþ÷àåò âåëè÷èíû ðèñêà, à äðóãàÿ íåò. 3. Óêàæèòå ïðåäïîëîæåíèÿ, ëåæàùèå â îñíîâå äâóõ ýìïèðè÷åñêèõ áàéåñîâñêèõ ìîäåëÿõ. 4. Âû÷èñëèòå ïðàâäîïîäîáíûå ïðåìèè äëÿ äâóõ ýìïèðè÷åñêèõ áàéåñîâñêèõ ìîäåëåé. 4.1 Ýìïèðè÷åñêèé áàéåñîâñêèé ïîäõîä Â ýòîì ïàðàãðàôå ìû îáñóäèì äâå ýìïèðè÷åñêèå áàéåñîâñêèå ìîäåëè (ÅÂÑ). Òàê æå êàê è ìîäåëè Ïóàññîíîâñêîãî/Ãàììà è Íîðìàëüíîãî/Íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèé ýòè ìîäåëè èñïîëüçóþòñÿ äëÿ îöåíêè 275 "èñòèííîé"÷àñòîòû èñêîâ è ðèñêîâîé ïðåìèè, îñíîâûâàÿñü íà ñóììàðíûõ âåëè÷èíàõ èñêîâ â ñëåäóþùèõ äðóã çà äðóãîì ïåðèîäàõ. Â ìîäåëè 1 êàæäûé ðèñê â êàæäîì ãîäó èìååò îäèíàêîâûé âåñ. Ìîäåëü 2 ÿâëÿåòñÿ áîëåå ñëîæíîé è ó÷èòûâàåò îáúåì áèçíåñà ïî êàæäîìó èç ðèñêîâ â êàæäîì ãîäó. Îñíîâíûå îáùèå è îòëè÷èòåëüíûå ÷åðòû áàéåñîâñêèõ è ÅÂÑ ìîäåëåé ïðèâåäåíû íèæå. Ïàðàìåòð ðèñêà Îáà ïîäõîäà èñïîëüçóþò äîïîëíèòåëüíûé ïàðàìåòð ðèñêà θ.Â áàéåñîâñêîì ïîäõîäå ìû îöåíèâàåì âåëè÷èíó θ, â òî âðåìÿ êàê â ÅÂÑ ìîäåëÿõ ýòî m(θ), ò.å. ôóíêöèÿ θ. Â îòëè÷èå îò áàéåñîâñêîãî ïîäõîäà, ìû íå ïðåäïîëàãàåì êàêîãî-ëèáî ñïåöèôè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ θ. Óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå èñêîâ Îáà ïîäõîäà ïîäðàçóìåâàþò, ÷òî óñëîâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Xj |θ íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû. Â îòëè÷èå îò áàéåñîâñêîãî ïîäõîäà, â ÅÂÑ ìîäåëÿõ íå ïîäðàçóìåâàåòñÿ êàêîãî-ëèáî ñïåöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ Xj |θ. Âìåñòî ýòîãî ôîðìóëû âûâîäÿòñÿ èñõîäÿ èç ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå m(θ) è äèñïåðñèÿ s2 (θ)2 âåëè÷èíû Xj |θ ìîãóò áûòü âûðàæåíû êàê ôóíêöèè θ. Çàòåì â ìîäåëÿõ îöåíèâàþòñÿ âåëè÷èíû m2 (θ) è s2 (θ). Ôîðìóëà ïðàâäîïîäîáèÿ Â îáîèõ ïîäõîäàõ èòîãîâàÿ ôîðìóëà äëÿ îöåíêè ÷àñòîòû èñêîâ èëè ðèñêîâîé ïðåìèè çà êîíêðåòíûé ðèñê ìîæåò áûòü âûðàæåíà ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóëû ïðàâäîïîäîáèÿ, ò.å. êàê ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ (âçâåøåííîå ñðåäíåå) ñðåäíåãî, âû÷èñëåííîãî èç ïðîøëûõ èñêîâ, è ñóììàðíîãî ñðåäíåãî. 4.2 Ìîäåëü 1 ÅÂÑ ìîäåëü 1 ðàññìàòðèâàåò ÷èñëî èëè ñóììàðíóþ âåëè÷èíó èñêîâ îòíîñèòåëüíî êîíêðåòíîãî ðèñêà â òå÷åíèå n ðàçëè÷íûõ ïåðèîäîâ âðåìåíè. Ýìïèðè÷åñêîå áàéåñîâñêîå ïðàâäîïîäîáèå (ìîäåëü 1) Â ýìïèðè÷åñêîé áàéåñîâñêîé ìîäåëè ïðàâäîïîäîáèÿ 1 Xj îçíà÷àåò ñóììàðíóþ âåëè÷èíó èñêîâ (ëèáî ñóììàðíîå ÷èñëî èñêîâ) äëÿ êîíêðåòíîãî ðèñêà çà îïðåäåëåííûé ïåðèîä j (ãäå 1 ⩽ j ⩽ n). Ìîäåëü âêëþ÷àåò â ñåáÿ ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ: 1. Xj îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû (íî íåîáÿçàòåëüíî íåçàâèñèìû). 2 Äëÿ òîãî ÷òîáû èçáåæàòü ñëèøêîì áîëüøîãî ÷èñëà ñêîáîê, ìû áóäåì èñïîëüçî2 2 2 âàòü m (θ) è s (θ) äëÿ îáîçíà÷åíèÿ [m(θ)] 2 è [s(θ)] 276 2. Ðàñïðåäåëåíèå êàæäîãî Xj çàâèñèò îò çíà÷åíèÿ ôèêñèðîâàííîãî, íî íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà θ, íàçûâàåìîãî ïàðàìåòðîì ðèñêà, ÿâëÿþùåãîñÿ ìåðîé íåêîòîðûõ íåîòúåìëåìûõ õàðàêòåðèñòèê êàæäîãî ðèñêà. 3. Íåîïðåäåëåííîñòü θ (ò.å. èçìåíåíèå θ îò ðèñêà ê ðèñêó) ìîäåëèðóåòñÿ ðàññìîòðåíèåì θ êàê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, èìåþùåé îïðåäåëåííîå (íî íåèçâåñòíîå) ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé. 4. Óñëîâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Xj |θ íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû ñî ñðåäíèì m(θ) = E(Xj |θ) è äèñïåðñèåé s2 (θ) = V ar(Xj |θ). Ìû õîòèì èñïîëüçîâàòü ìîäåëü äëÿ îöåíêè èñòèííîé ÷àñòîòû èñêîâ èëè ðèñêîâîé ïðåìèè äëÿ îïðåäåëåííîãî ðèñêà. Åñëè íàñòîÿùèé (íåèçâåñòíûé) ïàðàìåòð ðèñêà äëÿ äàííîãî ðèñêà ðàâåí θ, òî ðàññìîòðèì m(θ), ò.å. E(Xj |θ). Òàê êàê ìû íå çíàåì èñòèííîãî çíà÷åíèÿ θ, òî ìû äîëæíû îñíîâûâàòü íàøè âû÷èñëåíèÿ íà îöåíêå, ïîëó÷åííîé èç äàííûõ çà ïåðèîäû → − íàáëþäåíèÿ. Óäîáíî èñïîëüçîâàòü âåêòîðíîå îáîçíà÷åíèå X , êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ñîêðàùåííûì âàðèàíòîì çàïèñè âûðàæåíèÿ X1 , X2 , . . . , Xn (ãäå - n ÷èñëî ïåðèîäîâ) äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ äàííûõ î ñëó÷èâøèõñÿ èñêàõ ïî ðèñêó. Òàêèì îáðàçîì, íåîáõîäèìî íàéòè âåëè÷èíó m(θ) èç äàííûõ çà → − ïåðèîäû íàáëþäåíèÿ, ò.å. E[m(θ)| X ]. Ôîðìóëà ïðàâäîïîäîáèÿ, êîòîðóþ ìû âûâåäåì, ïîçâîëèò âûðàçèòü → − E[m(θ)| X ] êàê âçâåøåííóþ ñóììó ñðåäíåãî X , ïîëó÷åííîãî èç ïðîøåäøèõ èñêîâ, è ñóììàðíîãî ñðåäíåãî m(θ), ò.å. E[m(θ)]. Ïðèìåð 11.8 Ñïåöèàëèñò ñòðàõîâîé êîìïàíèè ñêîíöåíòðèðîâàë ñâîè óñèëèÿ íà ïðåäîñòàâëåíèè òðåòüåé ñòîðîíå ñòðàõîâêè äëÿ âîäèòåëåé îïðåäåëåííîãî òèïà àâòîìîáèëåé, ïðîæèâàþùèõ â Ëîíäîíå. Îáúÿñíèòå, ÷òî áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé êàæäàÿ èç ïåðåìåííûõ è ôóíêöèé ÅÂÑ ìîäåëè 1, åñëè ìîäåëü èñïîëüçîâàëàñü äëÿ îïèñàíèÿ ÷èñëà ñòðàõîâûõ ñëó÷àåâ, âûçâàííûõ ðàçëè÷íûìè âîäèòåëÿìè â ðàçíûå ãîäû. Åäèíñòâåííûì ôàêòîðîì ðèñêà, èìåþùåì ê íåé îòíîøåíèå, ÿâëÿåòñÿ ñòàíäàðò áåçîïàñíîñòè, ïðèíÿòûé êàæäûì âîäèòåëåì. Ðåøåíèå Â äàííîì ñëó÷àå ïàðàìåòð ðèñêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé "êîýô- ôèöèåíò áåçîïàñíîñòè"êàæäîãî îòäåëüíîãî âîäèòåëÿ. Ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî êàæäûé âîäèòåëü èìååò ïðèñóùèé åìó óðîâåíü áåçîïàñíîñòè, êîòîðûé (òåîðåòè÷åñêè) ìîæåò áûòü èçìåðåí íåêîòîðûìè ñðåäíèìè. Âåëè÷èíà êîíêðåòíîãî âîäèòåëÿ îêàçûâàåò âëèÿíèå íà âåðîÿòíîå ÷èñëî (θ) äëÿ ñòðàõîâûõ ñëó÷àåâ, êîòîðûå ìîãóò ñëó÷èòüñÿ ïî åãî âèíå. Íàïðèìåð, çíà÷åíèå (θ) = 1 ìîæåò îçíà÷àòü, ÷òî âîäèòåëü "100% áåçîïàñåí"(ò.å. íèêîãäà íå ïîïàäàåò â àâàðèè), â òî âðåìÿ êàê (θ) = 0 ìîæåò îçíà÷àòü âîäèòåëÿ ñ óðîâíåì "0% áåçîïàñíîñòè"(ò.å. ïîïàäàåò â àâàðèè ïðè ëþáîì èñïîëüçîâàíèè ìàøèíû). 277 Ðàñïðåäåëåíèå çíà÷åíèé (θ), èçìåíÿþùåãîñÿ îò âîäèòåëÿ ê âîäèòåëþ, îïðåäåëÿåòñÿ íåêîòîðûì (íåèçâåñòíûì) ðàñïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòåé. Xj - ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé ÷èñëî ñòðàõîâûõ ñëó÷àåâ, âûçâàííûõ îïðåäåëåííûì âîäèòåëåì çà ãîä j . Xj |θ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷èñëî ñòðàõîâûõ ñëó÷àåâ, âûçâàííûõ îïðåäåëåííûì âîäèòåëåì ñ êîýôôèöèåíòîì áåçîïàñíîñòè (θ). m(θ) = E(Xj |θ) - ñðåäíåå (òåîðåòè÷åñêîå) ÷èñëî èñêîâ ïî âèíå âîäèòåëÿ ñ êîýôôèöèåíòîì áåçîïàñíîñòè (θ). Â äàííîì ïðèìåðå m(θ) áóäåò ÿâëÿòüñÿ óáûâàþùåé ôóíêöèåé (θ), òàê êàê áîëüøåå çíà÷åíèå êî2 ýôôèöèåíòà áåçîïàñíîñòè óìåíüøèò ñðåäíåå ÷èñëî èñêîâ. s (θ) = V ar(Xj |θ) äèñïåðñèÿ (òåîðåòè÷åñêàÿ) ÷èñëà èñêîâ ïî âèíå âîäèòåëÿ ñ êîýôôèöèåíòîì 2 áåçîïàñíîñòè (θ) çà ðàçëè÷íûå ãîäû. s (θ) áóäåò ïðèíèìàòü ìåíüøèå çíà÷åíèÿ äëÿ âîäèòåëåé ñ âûñîêèì êîýôôèöèåíòîì áåçîïàñíîñòè, òàê êàê îíè, âåðîÿòíî, íå âûçîâóò ñòðàõîâûõ ñëó÷àåâ èëè, âîçìîæíî, îäèí èñê åæåãîäíî, â òî âðåìÿ êàê ÷èñëî åæåãîäíûõ èñêîâ îò âîäèòåëåé ñ íèçêèì êîýôôèöèåíòîì áåçîïàñíîñòè ìîæåò èçìåíÿòüñÿ îò íóëÿ äî ïÿòè è áîëåå. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 11.7. Îïèøèòå, ÷òî áóäåò ïðåäñòàâëÿòü êàæäàÿ èç ïåðåìåííûõ è ôóíêöèé â ÅÂÑ ìîäåëè 1, åñëè ìîäåëü èñïîëüçîâàëàñü äëÿ èçó÷åíèÿ íàáðàííûõ ðàçëè÷íûìè èãðîêàìè â ãîëüô î÷êîâ â ðàçëè÷íûå äíè, ïðè óñëîâèè, ÷òî êîëè÷åñòâî î÷êîâ èãðîêà çàâèñèò îò åãî "íåäîñòàòêîâ". Íàõîæäåíèå ôàêòîðà äîâåðèÿ (ìîäåëü 1) Èñòèííàÿ ïðåìèÿ ìîæåò áûòü âûðàæåíà â òåðìèíàõ ôîðìóëû ïðàâäîïîäîáèÿ. Ôîðìóëà äëÿ ôàêòîðà äîâåðèÿ (ìîäåëü 1) Ôàêòîð äîâåðèÿ äëÿ ÅÂÑ ìîäåëè 1 âû÷èñëÿåòñÿ ïî ñëåäóþùåé ôîðìóëå: . E[s2 (θ)] Z=n n+ V ar[m(θ)] Äîêàçàòåëüñòâî (îñíîâíûå ïóíêòû). Äîêàçàòåëüñòâî âêëþ÷àåò â ñåáÿ ñëåäóþùèå øàãè: 1. Îáîñíîâàíèå òîãî, ÷òî ôîðìóëà ïðàâäîïîäîáèÿ äîëæíà èìåòü âèä a+bX ãäå a è b ÿâëÿþòñÿ êîíñòàíòàìè (ò.å. îíè íå çàâèñÿò îò θ). Êîíñòàíòà b ñîîòâåòñòâóåò ôàêòîðó äîâåðèÿ Z . 2. Îáîñíîâàíèå òîãî, ÷òî ðåøåíèå ïðîáëåìû âêëþ÷àåò â ñåáÿ íàõîæäåíèå çíà÷åíèé a è b, ìèíèìèçèðóþùèõ ñëåäóþùóþ âåëè÷èíó: h 2 i Q2 = E m(θ) − (a + bX) 3. Íàõîæäåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé, ðåøåíèå êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ a è b (ïóòåì ïðèðàâíèâàíèÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ê íóëþ). 278 4. Âûâîä âçàèìîîòíîøåíèé äëÿ óïðîùåíèÿ ôîðìóë. 5. Óïðîùåíèå èòîãîâûõ âûðàæåíèé äëÿ a è b Äîêàçàòåëüñòâî (øàã 1). Òàê êàê ìû èùåì ôîðìóëó ïðàâäîïîäîáèÿ â âèäå ëèíåéíîé ôóíêöèè îò Xj , òî ôîðìóëà äëÿ ïðàâäîïîäîáíîé ïðåìèè äîëæíà èìåòü âèä: P = a0 + a1 X1 + a2 X2 + · · · + an Xn ãäå a ÿâëÿþòñÿ êîíñòàíòàìè. Ò.ê. ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ Xj íå èìååò çíà÷åíèÿ, òî ôîðìóëà äîëæíà áûòü ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî Xj . Òàêèì îáðàçîì çíà÷åíèÿ a1 , . . . , an äîëæíû áûòü îäíèìè è òåìè æå, òîãäà ïðàâäîïîäîáíàÿ ïðåìèÿ çàïèøåòñÿ â âèäå: P = a + bX ãäå X ÿâëÿåòñÿ ñðåäíèì çíà÷åíèåì Xj Äîêàçàòåëüñòâî (øàã 2). Òàê æå êàê è â áàéåñîâñêèõ ìîäåëÿõ, ìû áóäåì îöåíèâàòü ïàðàìåòðû, èñïîëüçóÿ â êà÷åñòâå ôóíêöèè óùåðáà êâàäðàòè÷íóþ îøèáêó. Ýòî òðåáóåò îò íàñ íàõîæäåíèÿ çíà÷åíèé êîíñòàíò a è b, ìèíèìèçèðóþùèõ âûðàæåíèå: 2 → − Q1 = E E[m(θ)| X ] − (a + bX) Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî Q1 ìîæåò áûòü çàïèñàíî â áîëåå ïðîñòîì (íî ýêâèâàëåíòíîì) âèäå Q2 , â êîòîðîì îïóùåíî îäíî èç îæèäàíèé: h 2 i Q2 = E m(θ) − (a + bX) Âûðàæåíèå m(θ) − (a + bX) ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå A + B , ãäå → − → − A = m(θ) − E[m(θ)| X ], B = E[m(θ)| X ] − (a + bX) Òàêèì îáðàçîì: Q2 = E[(A + B)2 ] = E(A2 ) + 2E(AB) + E(B 2 ) Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî E(AB) = 0 ïóòåì íàõîæäåíèÿ óñëîâíûõ îæèäàíèé: → − → − − → E(A| X ) = E(m(θ) − E[m(θ)| X ]| X ) = → − → − − → → − → − = E[m(θ)| X ] − E(E[m(θ)| X ]| X ) = E[m(θ)| X ] − E[m(θ)| X ] = 0 279 → − Ò.ê. B ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé, çàâèñÿùåé òîëüêî îò X , òî: → − → − E(AB) = E[E(AB| X )] = E[BE(A| X )] = 0 Òàê êàê âûðàæåíèå â îïðåäåëåíèè Q1 åñòü ïðîñòî B 2 , òî: Q2 = E(A2 ) + 2E(AB) + E(B 2 ) = E(A2 ) + 0 + Q1 Òàê êàê îïðåäåëåíèå A íå çàâèñèò îò êîíñòàíò a è b, òî ìèíèìèçàöèÿ Q1 ýêâèâàëåíòíà ìèíèìèçàöèè Q2 . Äîêàçàòåëüñòâî (øàã 3). Çíà÷åíèÿ êîíñòàíò a è b, ìèíèìèçèðóþùèå Q2 , ìîæíî íàéòè, ïðèðàâíÿâ ê íóëþ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå. ∂Q2 = −2E m(θ) − (a + bX) = 0 ∂a ∂Q2 = −2E X m(θ) − (a + bX) = 0 ∂b Ýòî ïðèâîäèò ê ñèñòåìå óðàâíåíèé: ( a + bE(X) = E[m(θ)] 2 aE(X) + bE(X ) = E[Xm(θ)] Å¼ ðàçðåøåíèå îòíîñèòåëüíî b, à çàòåì è îòíîñèòåëüíî a, äàñò íàì: . 2 b = E[Xm(θ)] − E(X)E[m(θ)] E(X ) − [E(X)]2 a = E[m(θ)] − bE(X) Äîêàçàòåëüñòâî (øàã 4). Ýòè âûðàæåíèÿ ìîæíî óïðîñòèòü, âûðàçèâ èõ â òåðìèíàõ ñëåäóþùèõ âåëè÷èí: E[m(θ)], V ar[m(θ)] è E[s2 (θ)]. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùèõ ñîîòíîøåíèé: 1. E(X) = E[m(θ)] 2. E[Xm(θ)] = E[m2 (θ)] 2 3. E(X ) − [E(X)]2 = n1 E[s2 (θ)] + V ar[m(θ)] 1. Òàê êàê Xj îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû, òî: E(X) = E(Xj ) = E[E(Xj |θ)] = E[m(θ)] 280 2. Ò.ê. m(θ) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òîëüêî îò (θ), òî: E[Xm(θ)] = E E[Xm(θ)|θ] = E m(θ)E[X|θ] = E[m2 (θ)] 2 3. E(X ) − [E(X)]2 åñòü ïðîñòî äèñïåðñèÿ V ar(X), êîòîðóþ ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè êàê: V ar(X) = E V ar(X|θ) + V ar E(X|θ) = 1 1 =E V ar(Xj |θ) + V ar [E(Xj |θ)] = E[s2 (θ)] + V ar[m(θ)] n n Äîêàçàòåëüñòâî (øàã 5). Çàòåì ìû ìîæåì çàïèñàòü îöåíåííûå ïàðàìåòðû a è b â ñëåäóþùåì âèäå: . E[s2 (θ)] b=n n+ , a = (1 − b)E[m(θ)] V ar[m(θ)] Òàêèì îáðàçîì ïðàâäîïîäîáíàÿ ïðåìèÿ a + bX çàïèøåòñÿ êàê: X . E[m(θ)]E[s2 (θ)]/V ar[m(θ)] + Xj n + E[s2 (θ)]/V ar[m(θ)] êîòîðàÿ èìååò âèä ZX + (1 − Z)E[m(θ)], ãäå . E[s2 (θ)] Z=n n+ V ar[m(θ)] Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 11.8. Ïîêàæèòå òî, ÷òî òîëüêî ÷òî äî- êàçàííàÿ ôîðìóëà äëÿ Z â ÅÂÑ ìîäåëè 1, òàêæå âåðíà äëÿ ôàêòîðà äîâåðèÿ â ñëó÷àå ìîäåëè Ïóàññîíîâñêîãî/Ãàììà-ðàñïðåäåëåíèé. Îöåíêà ïàðàìåòðîâ (ìîäåëü 1) Â òîëüêî ÷òî ïîëó÷åííîé ôîðìóëå äëÿ ôàêòîðà ïðàâäîïîäîáèÿ âåëè÷èíû E[s2 (θ)] è V ar[m(θ)] ÿâëÿþòñÿ êîíñòàíòàìè. Òàêèì îáðàçîì, çíà÷åíèå ôàêòîðà ïðàâäîïîäîáèÿ çàâèñèò òîëüêî îò âåëè÷èíû n, ò.å. îò ÷èñëà ëåò, äëÿ êîòîðûõ ìû ðàñïîëàãàåì ñòàòèñòèêîé ïî ðàññìàòðèâàåìîìó ðèñêó. Îäíàêî, äëÿ òîãî ÷òîáû ìîæíî áûëî ÷åòêî âû÷èñëèòü ôàêòîð äîâåðèÿ, ìû äîëæíû óìåòü îöåíèâàòü äâå âåëè÷èíû: E[s2 (θ)] è V ar[m(θ)]. Äëÿ òîãî ÷òîáû ñäåëàòü ýòî, íàì íóæíî èñïîëüçîâàòü äàííûå îò íåêîòîðîãî ÷èñëà ðàçëè÷íûõ ðèñêîâ. Íàïðèìåð, îöåíêè ìîãóò áûòü îñíîâàíû íà äàííûõ ïî âñåì îñòàëüíûì ïîëèñàì ñòðàõîâùèêà â òîì æå 281 êëàññå èëè æå íà äàííûõ îò êîìïàíèé, îñóùåñòâëÿþùèõ ñòðàõîâàíèå ïîõîæèõ ðèñêîâ. Ìû óæå èñïîëüçîâàëè íèæíèé èíäåêñ j äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïåðèîäîâ âðåìåíè. Äîïîëíèòåëüíûé íèæíèé èíäåêñ i èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ âåëè÷èí, îòíîñÿùèõñÿ ê i-ìó ðèñêó (1 ⩽ i ⩽ N ). Çíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ïàðàìåòðà ðèñêà θi (êîòîðûå â äåéñòâèòåëüíîñòè ôèêñèðîâàíû, íî íåèçâåñòíû) ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûìè çíà÷åíèÿìè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû θ. Ôîðìóëû äëÿ îöåíîê (ìîäåëü 1) Ñëåäóþùèå îöåíêè (ÿâëÿþùèåñÿ îáúåêòèâíûìè) èñïîëüçóþòñÿ â ÅÂÑ ìîäåëè 1: Âåëè÷èíà Îöåíêà E[m(θ)] X - ñóììàðíîå ñðåäíåå âñåõ ðàññìàòðèâàåìûõ çíà÷åíèé ïî âñåì ðèñêàì N n P P 1 1 E[s2 (θ)] (Xij − X i )2 - ñðåäíåå îò âûáîðî÷íûõ N n−1 i=1 j=1 äèñïåðñèé ðàññìàòðèâàåìûõ çíà÷åíèé äëÿ êàæäîãî ðèñêà. N N n P P P 1 1 1 2 (X (Xij − X i )2 − X) − i N −1 Nn n−1 V ar[m(θ)] i=1 n P 1 ãäå X i = n è X = N1 j=1 Ñðåäíÿÿ âåëè÷èíà ðàññìàòðèâàåìûõ çíà÷åíèé äëÿ i-ãî ðèñêà Xij i=1 N P i=1 ñóììàðíîå ñðåäíåå âñåõ ðàññìàòðèâàåìûõ çíà÷åíèé ïî âñåì ðèñêàì Ñ ïîìîùüþ ýòèõ îöåíîê ìîæíî âû÷èñëèòü ôàêòîð äîâåðèÿ è ïðàâäîïîäîáíûå ïðåìèè äëÿ èíäèâèäóàëüíûõ ðèñêîâ. Xi i=1 Ï ð è ì å ð 11.9 Òàáëèöà, ïðèâåä¼ííàÿ íèæå, ïîêàçûâàåò àãðåãèðîâàííûå âåëè÷èíû èñêîâ (â ìëí. £) äëÿ ñòðàõîâîãî ïîðòôåëÿ ìåæäóíàðîäíîé êîìïàíèè, âêëþ÷àþùåãî â ñåáÿ ðèñêè âîçíèêíîâåíèÿ ïîæàðà, çà 5-ëåòíèé ïåðèîä âìåñòå ñ íåêîòîðîé èòîãîâîé ñòàòèñòèêîé. Çàïîëíèòå ïðîïóùåííûå ÿ÷åéêè è 2 âû÷èñëèòå E[m(θ)] è E[s (θ)], èñïîëüçóÿ ÅÂÑ ìîäåëü 1. 282 Ñòðàíà (i) Ãîä (j) Xi 5 1 P (Xij − X i )2 4 j=1 39.3 1 2 3 4 5 1 48 53 42 50 59 50.4 2 64 71 64 73 70 68.4 17.3 3 85 54 76 65 90 74.0 215.5 4 44 52 69 55 71 ? ? Ð å ø å í è å Â äàííîì ïðèìåðå n = 5 îçíà÷àåò ÷èñëî ëåò, à N = 4 - êîëè÷åñòâî ðèñêîâ (=ñòðàí). X i ïðîñòî ñðåäíÿÿ âåëè÷èíà èñêà äëÿ i-ãî ðèñêà çà 5-ëåòíèé ïåðèîä. Òàê ÷òî ïðîïóùåííàÿ ñðåäíÿÿ âåëè÷èíà ðàâíà: X 4 = (44 + 52 + 69 + 55 + 71)/5 = 58.2 Ìû ìîæåì âû÷èñëèòü è äðóãîå ïðîïóùåííîå çíà÷åíèå: 5 1X 1 (Xij − X i )2 = (44 − 58.22 ) + · · · + (71 − 58.2)2 = 132.7 4 4 j=1 Äëÿ íàõîæäåíèÿ îöåíîê íàì íåîáõîäèìî çíàòü X , êîòîðîå ðàâíî: 4 X= 1X X i = (50.4 + 68.4 + 74.0 + 58.2)/4 = 62.75 4 j=1 Òåïåðü ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû íåïîñðåäñòâåííî îöåíêè: E[m(θ)] + X = 62.75 E[s2 (θ)] + 4 5 j=1 j=1 1X1X (Xij − X i )2 = (39.3 + 17.3 + 215.5 + 132.7)/4 = 101.2 4 4 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 11.9. Íàéòè îöåíêó äëÿ V ar[m(θ)] Ï ð è ì å ð 11.10 Íàéäèòå ôàêòîð äîâåðèÿ äëÿ ýòîãî ïðèìåðà è îòñþäà âû÷èñëèòå ÅÂÑ ïðåìèþ äëÿ êàæäîé ñòðàíû â òåêóùåì ãîäó. Ð å ø å í è å Îöåíêè, âû÷èñëåííûå ðàíåå, ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ íàõîæäåíèÿ ôàêòîðà äîâåðèÿ: Z= n E[s2 (θ)] n + V ar[m(θ)] = 5 5 + 101.2 90.33 = 0.8169 Ò.ê. ó íàñ îäèíàêîâîå ÷èñëî âðåìåííûõ ïåðèîäîâ äëÿ êàæäîé èç ñòðàí, òî ôàêòîð äîâåðèÿ äëÿ êàæäîé èç íèõ áóäåò îäíèì è òåì æå. 283 P = ZX i + (1 − Z)E[m(θ)] äëÿ íàõîæäåíèÿ ÅÂÑ ïðåìèè äëÿ êàæäîé ñòðàíû: Ñòðàíà 1 P = 0.8169 ∗ 50.4 + (1 − 0.8169) ∗ 62.75 = 52.66 Ñòðàíà 2 P = 0.8169 ∗ 68.4 + (1 − 0.8169) ∗ 62.75 = 67.37 Ñòðàíà 3 P = 0.8169 ∗ 74.0 + (1 − 0.8169) ∗ 62.75 = 67.37 Ñòðàíà 4 P = 0.8169 ∗ 58.2 + (1 − 0.8169) ∗ 62.75 = 67.37 Ìîæíî èñïîëüçîâàòü îñíîâíóþ ôîðìóëó ïðàâäîïîäîáèÿ Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 11.10. ßâëÿþòñÿ ëè ñëåäóþùèå óòâåð- æäåíèÿ âåðíûìè èëè ëîæíûìè äëÿ ÅÂÑ ìîäåëè 1? 1. θ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé "èñòèííóþ"ðèñêîâóþ ïðåìèþ äëÿ äàííîãî ðèñêà. 2. Äèñïåðñèÿ Xj |θ íå çàâèñèò îò θ. 3. Íè äëÿ îäíîé èç ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí èëè ïàðàìåòðîâ ìîäåëè íå äåëàåòñÿ ïðåäïîëîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî íîðìàëüíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ. 4.3 Ìîäåëü 2 EBC ìîäåëü 2 ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ÅÂÑ ìîäåëè 1 ñ ó÷åòîì èçìåíåíèé â âåëè÷èíå áèçíåñà. Ýìïèðè÷åñêîå áàéåñîâñêîå ïðàâäîïîäîáèå (ìîäåëü 2) Â ýìïèðè÷åñêîé áàéåñîâñêîé ìîäåëè ïðàâäîïîäîáèÿ 2: • Yj îçíà÷àåò ñóììàðíóþ âåëè÷èíó èñêà (èëè ñóììàðíîå ÷èñëî èñêîâ) çà ïåðèîä j • Pj îçíà÷àåò êîíñòàíòó, ïðåäñòàâëÿþùóþ îáúåì áèçíåñà çà ïåðèîä j • Xj = Yj /Pj îçíà÷àåò ñóììàðíóþ âåëè÷èíó èñêà â ðàñ÷åòå íà åäèíèöó îáúåìà çà ïåðèîä j Ìîäåëü ïðåäïîëàãàåò, ÷òî: 1. Ðàñïðåäåëåíèå Xj çàâèñèò îò âåëè÷èíû ôèêñèðîâàííîãî, íî íåèçâåñòíîãî, ïàðàìåòðà θ. 2. Èçìåí÷èâîñòü θ ìîäåëèðóåòñÿ ïóòåì òðàêòîâêè å¼ êàê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, óäîâëåòâîðÿþùåé îïðåäåëåííîìó ðàñïðåäåëåíèþ. 284 3. Óñëîâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Xj |θ íåçàâèñèìû (íî íåîáÿçàòåëüíî îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû) è èìåþò ñðåäíåå è äèñïåðñèþ m(θ) = E(Xj |θ) è s2 (θ) = Pj V ar(Xj |θ), êîòîðûå íå çàâèñÿò îò j . Pj äåéñòâóþò êàê íîðìàëèçóþùèå êîíñòàíòû, öåëü êîòîðûõ â óäàëåíèè èñêàæàþùèõ ýôôåêòîâ, âûçâàííûõ èçìåíåíèÿìè îáúåìà áèçíåñà îò îäíîãî ãîäà ê äðóãîìó. Ï ð è ì å ð 11.11 Ïðåäëîæèòå âîçìîæíûå âåëè÷èíû, êîòîðûå ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû â êà÷åñòâå Pj â ÅÂÑ ìîäåëè 2. Ð å ø å í è å Ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ ìîæíî âçÿòü â êà÷åñòâå Pj : 1. ñóììàðíîå ïîñòóïëåíèå ïðåìèé çà ãîä j èëè æå 2. êîëè÷åñòâî ïîëèñîâ, ïðîäàííûõ çà ãîä j . Ò.ê. êàæäóþ èç ýòèõ âåëè÷èí ìîæíî ñ÷èòàòü ïðèáëèçèòåëüíî ïðîïîðöèîíàëüíîé ñóììàðíûì èñêàì çà ãîä j . Íàõîæäåíèå ôàêòîðà äîâåðèÿ (ìîäåëü 2) Èñòèííàÿ ïðåìèÿ ìîæåò áûòü âûðàæåíà â òåðìèíàõ ôîðìóëû ïðàâäîïîäîáèÿ. Ôîðìóëà äëÿ ôàêòîðà äîâåðèÿ (ìîäåëü 2) Ôàêòîð äîâåðèÿ äëÿ ÅÂÑ ìîäåëè 2 ðàññ÷èòûâàåòñÿ êàê: ! n n . X X E[s2 (θ)] Z= Pj Pj + V ar[m(θ)] j=1 j=1 Äîêàçàòåëüñòâî ïóíêòû. Ïóíêòû äîêàçàòåëüñòâà (êîòîðûå î÷åíü áëèçêè ê ìîäåëè 1) âêëþ÷àþò â ñåáÿ: P 1. Çàìåòèì, ÷òî ôîðìóëà ïðàâäîïîäîáèÿ äîëæíà èìåòü âèä a + aj Xj , 0 P ãäå a ÿâëÿþòñÿ êîíñòàíòàìè (à ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ñóììó ïî âñåì çíà÷åíèÿì j = 1, 2, . . . , n). 2. Îáîñíîâàíèå òîãî, ÷òî ðåøåíèå âêëþ÷àåò â ñåáÿ íàõîæäåíèå çíà÷åíèé a, ìèíèìèçèðóþùèõ: h X 2 i Q2 = E m(θ) − (a0 + aj Xj ) 3. Íàõîæäåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé, ðåøåíèåì êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ êîíñòàíòû aj (ïóòåì ïðèðàâíèâàíèÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ê 0). 4. Âûâîä âçàèìîîòíîøåíèé äëÿ óïðîùåíèÿ ôîðìóë. 5. Óïðîùåíèå èòîãîâûõ âûðàæåíèé äëÿ aj . 285 Äîêàçàòåëüñòâî øàã 1. Ò.ê. ìû èùåì ôîðìóëó ïðàâäîïîäîáèÿ â âèäå ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè îò Xj , òî îíà äîëæíà èìåòü âèä: P = a0 + a1 X1 + a2 X2 + · · · + an Xn = a0 + n X aj Xj j=1 ãäå a ÿâëÿþòñÿ êîíñòàíòàìè. Ò.ê. Xj ïîëó÷åíû ïóòåì äåëåíèÿ Yj íà Pj , êîòîðûå â îáùåì ñëó÷àå ðàçëè÷íû, òî ìîäåëü áîëüøå íå ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî Xj . Òàêèì îáðàçîì ìû íå ìîæåì óïðîñòèòü âûðàæåíèå òàê æå, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî äëÿ ìîäåëè 1. Äîêàçàòåëüñòâî øàã 2. Êàê è â áàéåñîâñêèõ ìîäåëÿõ, ìû áóäåì îöåíèâàòü ïàðàìåòðû, èñïîëüçóÿ â êà÷åñòâå ôóíêöèè óùåðáà êâàäðàòè÷íóþ îøèáêó. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî íàéòè çíà÷åíèÿ a è b, ìèíèìèçèðóþùèå: h X 2 i → − Q1 = E E[m(θ)| X ] − (a0 + aj Xj ) Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî Q1 ìîæåò áûòü çàïèñàíî â áîëåå ïðîñòîì (íî ýêâèâàëåíòíîì) âèäå Q2 , â êîòîðîì îïóùåíî îäíî èç îæèäàíèé: h X 2 i Q2 = E m(θ) − (a0 + aj Xj ) P Âûðàæåíèå m(θ) − (a0 + aj Xj ) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå A + B , ãäå: X → − → − A = m(θ) − E[m(θ)| X ], B = E[m(θ)| X ] − (a0 + aj Xj ) Òàêèì îáðàçîì: Q2 = E[(A + B)2 ] = E(A2 ) + 2E(AB) + E(B 2 ) Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî E(AB) = 0 ïóòåì íàõîæäåíèÿ óñëîâíûõ îæèäàíèé: → − → − − → E(A| X ) = E(m(θ) − E[m(θ)| X ]| X ) = → − → − − → → − → − = E[m(θ)| X ] − E(E[m(θ)| X ]| X ) = E[m(θ)| X ] − E[m(θ)| X ] = 0 → − Ò.ê. B ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé, çàâèñÿùåé òîëüêî îò X , òî: → − → − E(AB) = E[E(AB| X )] = E[BE(A| X )] = 0 Ò.ê. âûðàæåíèå â îïðåäåëåíèè Q1 åñòü ïðîñòî B 2 , òî Q2 = E(A2 ) + 2E(AB) + E(B 2 ) = E(A2 ) + 0 + Q1 Ò.ê. â îïðåäåëåíèå âûðàæåíèÿ A íå âõîäÿò êîíñòàíòû aj , òî ìèíèìèçàöèÿ Q1 ýêâèâàëåíòíà ìèíèìèçàöèè Q2 . 286 Äîêàçàòåëüñòâî øàã 3. Çíà÷åíèÿ êîíñòàíò aj , ìèíèìèçèðóþùèõ Q2 ìîãóò áûòü íàéäåíû ïóò¼ì ïðèðàâíèâàíèÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ê íóëþ. h i X ∂Q2 = −2E m(θ) − (a0 + aj Xj ) = 0 ∂a0 h i X ∂Q2 = −2E Xk m(θ) − (a0 + aj Xj ) = 0, k = 1, n ∂ak Ýòî ïðèâîäèò ê ñèñòåìå óðàâíåíèé:  X  a0 + aj E(Xj ) = E[m(θ)] X  a0 E(Xk ) + aj E(Xk Xj ) = E[Xk m(θ)], k = 1, n Äîêàçàòåëüñòâî øàã 4. Ýòè âûðàæåíèÿ ìîæíî óïðîñòèòü, âûðàçèâ èõ â òåðìèíàõ ñëåäóþùèõ âåëè÷èí: E[m(θ)], V ar[m(θ)] è E[s2 (θ)]. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùèõ ñîîòíîøåíèé: 1. E(Xj ) = E[m(θ)] 2. E[Xk m(θ)] = E[m2 (θ)] 3. E(Xk2 ) = P1k E[s2 (θ)] + E[m2 (θ)] 4. E(Xk Xj ) = E[m2 (θ)], k 6= j Äàííûå ðåçóëüòàòû äîêàçûâàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: 1. Èñïîëüçóÿ óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ, áóäåì èìåòü: E(Xj ) = E[E(Xj |θ)] = E[m(θ)] 2. Ò.ê. m(θ) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òîëüêî θ, òî: E[Xk m(θ)] = E (E[Xk m(θ)|θ]) = E (m(θ)E[Xk |θ]) = E[m2 (θ)] 3. Èñïîëüçóÿ óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ, áóäåì èìåòü: E(Xk2 ) = E[E(Xk2 |θ)] = E V ar(Xk |θ) + [E(Xk |θ)]2 = 1 2 1 2 =E s (θ) + m (θ) = E[s2 (θ)] + E[m2 (θ)] Pk Pk 4. Èñïîëüçóÿ óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ, áóäåì èìåòü: E(Xk Xj ) = E[E(Xk Xj |θ)] = E[E(Xk |θ)E(Xj |θ)] = E[m2 (θ)] 287 Òîãäà ïåðâîå èç óðàâíåíèé ñèñòåìû äëÿ êîíñòàíò aj ïðèìåò âèä: X X a0 + aj E[m(θ)] = E[m(θ)] ⇒ a0 = (1 − aj )E[m(θ)] (11.0) Âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: X a0 E(Xk ) + aj E(Xk Xj ) + ak E(Xk2 ) = E[Xk m(θ)], k = 1, n j6=k Ýòî ïðèâîäèò íàñ ê âûðàæåíèþ: X ak a0 E[m(θ)] + aj E[m2 (θ)] + E[s2 (θ)] = E[m2 (θ)] Pk (11.0) Äîêàçàòåëüñòâî øàã 5. Ïîäñòàíîâêà âûðàæåíèÿ äëÿ a0 èç 4.3 â 4.3 äàñò íàì: X X ak (1 − aj ) (E[m(θ)])2 + aj E[m2 (θ)] + E[s2 (θ)] = E[m2 (θ)] Pk Èëè: X X ak E[s2 (θ)] = (1 − aj )E[m2 (θ)] − (1 − aj ) (E[m(θ)])2 Pk Óïðîùåíèå ïðàâîé ÷àñòè ïðèâîäèò ê âèäó: X ak E[s2 (θ)] = (1 − aj )V ar[m(θ)] Pk Èëè: ak E[s2 (θ)]/V ar[m(θ)] = Pk (1 − X aj ) (11.0) Ñóììèðîâàíèå ïî âñåì k = 1, n äàñò íàì: X X X ak E[s2 (θ)]/V ar[m(θ)] = Pk (1 − aj ) P P Òàê êàê ak òî æå ñàìîå, ÷òî è aj , òî äàííîå âûðàæåíèå ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî â ñëåäóþùåì âèäå: X X X X 2 aj Pk + E[s (θ)]/V ar[m(θ)] = Pk Òàêèì îáðàçîì: X X .X X 2 aj = Pk Pk + E[s (θ)]/V ar[m(θ)] 288 È 1− X .X X aj = E[s2 (θ)]/V ar[m(θ)] Pk + E[s2 (θ)]/V ar[m(θ)] Òåïåðü ìû ìîæåì íàéòè a0 èç âûðàæåíèÿ 4.3: .X X a0 = E[m(θ)]E[s2 (θ)]/V ar[m(θ)] Pk + E[s2 (θ)]/V ar[m(θ)] Òàêæå èç âûðàæåíèÿ 5.1 ìîæíî íàéòè ak : .X ak = P k Pk + E[s2 (θ)]/V ar[m(θ)] , k = 1, n P Òàêèì îáðàçîì ïðàâäîïîäîáíàÿ ïðåìèÿ a0 + aj Xj ïðèìåò âèä (ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî Pj Xj = Yj ): X .X X 2 2 E[m(θ)]E[s (θ)]/V ar[m(θ)] + Yj Pk + E[s (θ)]/V ar[m(θ)] Êîòîðàÿ èìååò âèä ZX + (1 − Z)E[m(θ)], ãäå: X= n X j=1 Pj Xj n .X Pj , Z = j=1 n X Pj n . X j=1 E[s2 (θ)] Pj + V ar[m(θ)] j=1 ! Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 11.11. Ïðîâåðèòü, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà âñå Pj ðàâíû äðóã äðóãó, ôîðìóëà äëÿ ôàêòîðà äîâåðèÿ â ìîäåëè 2 ñâîäèòñÿ ê ôîðìóëå äëÿ ìîäåëè 1. Îöåíêà ïàðàìåòðîâ (ìîäåëü 2) Òàê æå êàê è ðàíüøå, äîïîëíèòåëüíûé èíäåêñ i â îáîçíà÷åíèè óêàçûâàåò íà òî, ÷òî çíà÷åíèå îòíîñèòñÿ ê ðèñêó i. Ôîðìóëû äëÿ îöåíîê (ìîäåëü 2) Ñëåäóþùèå îöåíêè äëÿ ÅÂÑ ìîäåëè 2 ÿâëÿþòñÿ îáúåêòèâíûìè: Âåëè÷èíà Îöåíêà X E[m(θ)] N n P P 1 1 E[s2 (θ)] Pij (Xij − X i )2 N n−1 i=1 j=1 " # N P n N n P P P 1 1 V ar[m(θ)] P1∗ N n−1 Pij (Xij − X i )2 − N1 Pij (Xij − X i )2 n−1 ãäå i=1 j=1 Pi = i=1 n X Pij , P = j=1 N X i=1 289 Pi j=1 N X 1 P = P i (1 − P i /P ) N n − 1 i=1 ∗ Xi = n X Pij Xij /P i , X = j=1 N X n X Pij Xij /P i=1 j=1 Ï ð è ì å ð 11.12 Òàáëèöà, ðàñïîëîæåííàÿ ñâåðõó ñëåäóþùåé ñòðàíèöû, ïîêàçûâàåò ïðèìåðíûå çíà÷åíèÿ îáúåìîâ áèçíåñà äëÿ êàæäîé èç ñòðàí äëÿ ñòðàõîâùèêà èç ïðèìåðà 6.9. Âû÷èñëèòå ÅÂÑ ïðåìèþ äëÿ ñòðàíû 1, èñïîëüçóÿ ìîäåëü 2. Ð å ø å í è å Íà÷àëüíûå äàííûå äëÿ ñóììàðíûõ èñêîâ - Yij , è â ïåðâîé òàáëèöå ïðèâîäÿòñÿ çíà÷åíèÿ Pij . Êîëè÷åñòâî èñêîâ íà åäèíèöó îáúåìà Xij = Yij /Pij ïîêàçàíî âî âòîðîé òàáëèöå. Òåïåðü ìû ìîæåì âû÷èñëèòü P i P è P ∗ (ñì. òðå- òüþ òàáëèöó) X i è X âû÷èñëÿþòñÿ êàê: Xi = n X Yij /P i , X = j=1 N X n X Yij /P i=1 j=1 Òàêèì îáðàçîì ýòî äàåò íàì: E[m(θ)] + X = 3.984 Èç äðóãèõ êîëîíîê òàáëèöû ìû èìååì: 4 5 i=1 j=1 1X1X E[s (θ)] + Pij (Xij − X i )2 = 4 4 2 = (57.13 + 111.59 + 1237.82 + 267.73)/16 = 104.64  V ar[m(θ)] + = 1  1 ∗ P 4∗5−1 4 X 5 X  Pij (Xij − X i )2 − 104.64 = i=1 j=1 1 [(58.94 + 147.71 + 2756.56 + 492.04)/19 − 104.64] = 6.54 11.81 Ôàêòîð äîâåðèÿ äëÿ ñòðàíû 1: Z1 = n X j=1   n . X . 2 (θ)] E[s 104.64  = 66 Pj  Pj + 66 + = 0.8048 V ar[m(θ)] 6.539 j=1 Âåëè÷èíà ðèñêîâîé ïðåìèè â ðàñ÷åòå íà åäèíèöó îáúåìà: Z1 X 1 + (1 − Z 1 )E[m(θ)] = 0.8048 ∗ 3.818 + (1 − 0.8048) ∗ 3.984 = 3.851 290 Ò.ê. îáúåì íà òåêóùèé ãîä äëÿ ñòðàíû 1 ðàâåí 20 åäèíèöàì, òî ÅÂÑ ïðåìèÿ ðàâíà 20 ∗ 3.851 = 77.01. Îáúåì áèçíåñà (Pij ) Ñòðàíà (i) 1 2 1 12 15 2 20 14 3 5 8 4 22 35 Ãîä (j) 3 13 22 6 30 4 16 15 12 16 5 10 30 4 10 Òåêóùèé ãîä 20 25 10 12 Ñóììàðíûå èñêè â ðàñ÷åòå íà åäèíèöó îáúåìà Xij Ñòðàíà (i) Ãîä (j) 1 2 3 4 5 1 4.000 3.533 3.231 3.125 5.900 2 3.200 5.071 2.909 4.867 2.333 3 17.000 6.750 12.667 5.417 22.500 4 2.000 1.486 2.300 3.438 7.100 P Ñòðàíà (i) Pi P i (1 − P i /P ) Xi Pij (Xij − X i )2 1 66 52.17 3.818 57.13 2 101 68.62 3.386 111.59 3 35 31.11 10.571 1237.82 4 113 72.46 2.575 267.73 ∗ P = 315 P = 11.81 X = 3.984 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 11.12. Âû÷èñëèòå ñòðàí 2, 3 è 4. P ÅÂÑ ïðåìèè äëÿ Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 11.13. Îáúÿñíèòå ýôôåêò, êîòîðûé îêà- æåò êàæäîå èç ñëåäóþùèõ èçìåíåíèé (ïî îòäåëüíîñòè) íà âåëè÷èíó ôàêòîðà äîâåðèÿ â ÅÂÑ ìîäåëè 2 1. E[s2 (θ)] âîçðàñòåò 2. V ar[m(θ)] óìåíüøèòñÿ 3. Èçìåíèòñÿ åäèíèöà èçìåðåíèÿ (íàïðèìåð ñ $ íà £) 4. Âñå Pj óâåëè÷àòüñÿ íà îäíó è òó æå âåëè÷èíó "Âåäåò"ëè ñåáÿ ôàêòîð äîâåðèÿ òàê êàê âû è îæèäàëè? Êðàòêîå ñîäåðæàíèå ãëàâû ×àñòîòû èñêîâ è ðèñêîâûå ïðåìèè ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ïóòåì âû÷èñëåíèÿ ôàêòîðà äîâåðèÿ è èñïîëüçîâàíèÿ ôîðìóëû ïðàâäîïîäîáèÿ. 291 Pij (Xij − X)2 58.94 147.71 2756.56 492.04 Ïðàâäîïîäîáíûå ïðåìèè ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ áàéåñîâñêèé ïîäõîä. Íàïðèìåð, âåëè÷èíà èñêîâ ìîäåëèðóåòñÿ ñ ïîìîùüþ ìîäåëè Ïóàññîíîâñêîãî/Íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèé ëèáî ñóììàðíàÿ âåëè÷èíà èñêà ìîäåëèðóåòñÿ ñ ïîìîùüþ ìîäåëè Íîðìàëüíîãî/Íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèé Èëè æå ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû ýìïèðè÷åñêàÿ áàåéñîâñêàÿ ìîäåëü ïðàâäîïîäîáèÿ òèïà 1 èëè 2 (êîòîðàÿ ïðèíèìàåò âî âíèìàíèå èçìåíåíèÿ â âåëè÷èíå áèçíåñà). Ýòî ðåøåíèå ïîäðàçóìåâàåò, ÷òî èñêè ïî êàæäîìó òèïó ðèñêà çàâèñÿò îò ñîîòâåòñòâóþùåãî ïàðàìåòðà ðèñêà. Ïðàâäîïîäîáíàÿ ïðåìèÿ ìîæåò áûòü âûðàæåíà â òåðìèíàõ ôàêòîðà äîâåðèÿ, êîòîðûé çàâèñèò îò ñðåäíåãî è äèñïåðñèè óñëîâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èñêîâ. Ýòè âåëè÷èíû ìîæíî îöåíèòü îñíîâûâàÿñü íà äàííûõ, ïîëó÷åííûõ èç íåñêîëüêèõ ðàçëè÷íûõ ðèñêîâ. 292 Ôîðìóëà ãëàâû Ôîðìóëà ïðàâäîïîäîáèÿ: P = ZX + (1 − Z)µ Ñâîäíàÿ òàáëèöà ìîäåëåé: Ìîäåëü Îöåíèâàåìîå Ïðåäïîëîæåíèÿ çíà÷åíèå îòíîñèòåëüíî ðàñïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðà ðèñêà θ Ïóàññîíîâñêîå/ ÷àñòîòà ãàììàÃàììà ðàñïðåäåëåíèå Íîðìàëüíîå/ ðèñêîâàÿ íîðìàëüíîå ðàñÍîðìàëüíîå ïðåìèÿ ïðåäåëåíèå ÅÂÑ ìîäåëü 1 ðèñêîâàÿ îïðåäåëåííîå, ïðåìèÿ èëè íî íåèçâåñòíîå ÷àñòîòà ðàñïðåäåëåíèå èñêîâ ÅÂÑ ìîäåëü 2 Ïðåäïîëîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî óñëîâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èñêîâ X|θ Ïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Ðàñïðåäåëåíèå ñî ñðåäíèì m(θ) è äèñïåðñèåé s2 (θ) Â ìîäåëè 2 ó÷òåíû ïîïðàâêè íà îáúåì áèçíåñà Ìîäåëü Ïóàññîíîâñêîãî/Ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ Îïðåäåëåíèÿ Xj ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷èñëî èñêîâ Àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå λ ∼ Γ(α, β) Âåðîÿòíîñòü Xj |λ ∼ P oisson(λ) Ôàêòîð äîâåðèÿ n n+β Äîâåðèòåëüíàÿ ÷àñòîòà → − = ZX + (1 − Z) αβ E(λ| X ) = nX+α n+β Ìîäåëü Íîðìàëüíîãî/Íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Îïðåäåëåíèÿ Xj ïðåäñòàâëÿåò ñóììàðíóþ âåëè÷èíó èñêîâ Àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå µ ∼ N (µ0 , σ02 ) Âåðîÿòíîñòü Xj |µ ∼ N (µ, σ 2 ), σ 2 = Const Ôàêòîð äîâåðèÿ Z = n/(n + σ 2 /σ02 ) Ïðàâäîïîäîáíàÿ ïðåìèÿ → − nXσ 2 +µ σ 2 E(µ| X ) = nσ02 +σ02 = ZX + (1 − Z)µ0 0 Ýìïèðè÷åñêàÿ áàéåñîâñêàÿ ìîäåëü ïðàâäîïîäîáèÿ 1 293 Îïðåäåëåíèÿ Xj ïðåäñòàâëÿåò ÷èñëî èñêîâ m(θ) = E(Xj |θ), s2 (θ) = V ar(Xj |θ) Ôàêòîð äîâåðèÿ Ïðàâäîïîäîáíàÿ ïðåìèÿ 2 (θ)] n + VE[s ar[m(θ)] → − E(m(θ)| X ) = ZX i + (1 − Z)E(m(θ)) Z=n . Ýìïèðè÷åñêàÿ áàéåñîâñêàÿ ìîäåëü ïðàâäîïîäîáèÿ 2 Îïðåäåëåíèÿ Yj ïðåäñòàâëÿåò ÷èñëî èñêîâ Xj = Yj /Pj , Pj = Const m(θ) = E(Xj |θ), s2 (θ) = Pj V ar(Xj |θ) Ôàêòîð äîâåðèÿ Z= n P Pj j=1 Ïðàâäîïîäîáíàÿ ïðåìèÿ . P n j=1 ! 2 (θ)] Pj + VE[s ar[m(θ)] − → E(m(θ)| X ) = ZX i + (1 − Z)E(m(θ)) 5 Îñíîâû òåîðèè ïðàâäîïîäîáèÿ 5.1 Ââåäåíèå Âàæíîé ìåòîäèêîé â òåîðèè ïðàâäîïîäîáèÿ, êàê è âî ìíîãèõ äðóãèõ ðàçäåëàõ àêòóàðíîé ìàòåìàòèêè, ÿâëÿåòñÿ ïðèìåíåíèå îïåðàöèé ñ óñëîâíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì. Â ýòîé ãëàâå ïîòðåáóþòñÿ ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû: äëÿ ëþáûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y (ó êîòîðûõ ñóùåñòâóþò ñîîòâåòñòâóþùèå ìîìåíòû) è äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f (êðîìå íåêîòîðûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ, íå èìåþùèõ ïðàêòè÷åñêîãî èíòåðåñà) ñïðàâåäëèâî: E[X] = E[E[X|Y ]] (11.0) E[f (Y )|Y ] = f (Y ) (11.0) E[Xf (Y )] = E[E[Xf (Y )|Y ]] = E[f (Y )E[X|Y ]] (11.0) Ôîðìóëà (5.1) ÿâëÿåòñÿ ñòàíäàðòíûì ðåçóëüòàòîì. Ôîðìóëà (5.1) èíòóèòèâíî î÷åâèäíà; åñëè, íàïðèìåð, Y ïðèíèìàåò çíà÷åíèå y , òî èçâåñòíî, 294 ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà f (Y ) äîëæíà ïðèíÿòü çíà÷åíèå f (y). Ïåðâîå ðàâåíñòâî â (5.1) ñëåäóåò èç (5.1); âòîðîå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç (5.1). Åñëè, íàïðèìåð, Y ïðèíèìàåò çíà÷åíèå y , òî èçâåñòíî, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Xf (Y ) äîëæíà ïðèíÿòü çíà÷åíèå Xf (y). Ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî Y çíà÷åíèå E[Xf (Y )|Y ] ðàâíî f (Y )E[X|Y ]. Äðóãèì âàæíûì ïîíÿòèåì ÿâëÿåòñÿ óñëîâíàÿ íåçàâèñèìîñòü. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 è X2 óñëîâíî íåçàâèñèìû îòíîñèòåëüíî ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y , òî: E[X1 X2 |Y ] = E[X1 |Y ]E[X2 |Y ] (11.0) Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî X1 è X2 çàâèñÿò îò Y , íî, åñëè èçâåñòíî, êàêîå çíà÷åíèå ïðèíÿëà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y , òî X1 è X2 íåçàâèñèìû. Îòñþäà íå ñëåäóåò, ÷òî X1 è X2 íåçàâèñèìû, è ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî E[X1 X2 ] 6= E[X1 ]E[X2 ], äàæå åñëè âûïîëíåíî (5.1). 6 Òåîðèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ 6.1 Ôîðìóëà ñòðàõîâîé ïðåìèè Îñíîâíàÿ èäåÿ, ëåæàùàÿ â îñíîâå ôîðìóëû ñòðàõîâîé ïðåìèè, î÷åíü ïðîñòà. Ðàññìîòðèì ïðîñòîé ïðèìåð. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â íåáîëüøîì ãîðîäå ìåñòíûå âëàñòè ñîçäàëè àâòîáóñíûé ïàðê èç 10 àâòîáóñîâ íà íåñêîëüêî ëåò è õîòÿò â íàñòóïàþùåì ãîäó çàñòðàõîâàòü åãî îò èñêîâ, êîòîðûå ìîãóò âîçíèêíóòü ïðè àâàðèÿõ àâòîáóñîâ. Íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü ÷èñòóþ ïðåìèþ òàêîãî ñòðàõîâàíèÿ, òî åñòü îæèäàåìóþ ñòîèìîñòü èñêîâ â íàñòóïàþùåì ãîäó. Äàííûå çà ïðåäûäóùèå 5 ëåò ïîêàçûâàþò, ÷òî ñðåäíÿÿ ñòîèìîñòü èñêîâ (äëÿ 10 àâòîáóñîâ) ñîñòàâèëà £1600 â ãîä. Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî èìåþòñÿ äàííûå, îòíîñÿùèåñÿ ê áîëüøîìó êîëè÷åñòâó àâòîáóñíûõ ïàðêîâ ïî âñåé Âåëèêîáðèòàíèè, êîòîðûå ïîêàçûâàþò, ÷òî ñðåäíÿÿ ñòîèìîñòü èñêîâ äëÿ îäíîãî àâòîáóñà ñîñòàâëÿåò £250 â ãîä, ñîîòâåòñòâåííî £2500 â ãîä äëÿ ïàðêà èç 10 àâòîáóñîâ. Îäíàêî, õîòÿ ïîëó÷åííàÿ ñòîèìîñòü £2500 îñíîâàíà íà äàííûõ î áîëüøåì ÷èñëå àâòîáóñíûõ ïàðêîâ, ÷åì £1600, íåêîòîðûå ïàðêè, âêëþ÷åííûå â ýòîò áîëüøîé íàáîð äàííûõ, ôóíêöèîíèðóþò ïðè óñëîâèÿõ (êîòîðûå ìîãóò âëèÿòü íà ÷èñëî è ðàçìåð èñêîâ, íàïðèìåð â áîëüøèõ ãîðîäàõ èëè ñåëüñêèõ ðàéîíàõ), îòëè÷íûõ îò óñëîâèé ðàáîòû ðàññìàòðèâàåìîãî àâòîáóñíîãî ïàðêà. 295 Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò äâà ýêñòðåìàëüíûõ çíà÷åíèÿ äëÿ ÷èñòîé ïðåìèè â íàñòóïàþùåì ãîäó: £1600, èñõîäÿ èç òîãî, ÷òî ýòà îöåíêà îñíîâàíà íà áîëåå ïîäõîäÿùèõ äàííûõ, èëè £2500, èñõîäÿ èç òîãî, ÷òî ýòà îöåíêà îñíîâàíà íà áîëüøåì êîëè÷åñòâå äàííûõ è â ýòîì ñìûñëå áîëåå íàäåæíà. Äîâåðèòåëüíûé ïîäõîä ê ýòîé çàäà÷å çàêëþ÷àåòñÿ âî âçÿòèè âçâåøåííîãî ñðåäíåãî ýêñòðåìàëüíûõ çíà÷åíèé: Z × 1600 + (1 − Z) × 2500, ãäå Z ∈ (0, 1). ×èñëî Z íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì äîâåðèÿ. Â êà÷åñòâå ïðèìåðà ïîëîæèì Z = 0.6, òîãäà ÷èñòàÿ ïðåìèÿ áóäåò ðàâíà £1960. Ìû åùå âåðíåìñÿ ê ýòîìó ïðèìåðó â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå, òåïåðü áîëåå ôîðìàëèçóåì ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû. Çàäà÷à ñîñòîèò â îöåíêå îæèäàåìîãî ñóììàðíîãî èñêà, èëè, ìîæåò áûòü, òîëüêî ëèøü îæèäàåìîãî ÷èñëà èñêîâ â íàñòóïàþùåì ãîäó. Ïîä ðèñêîì ïîäðàçóìåâàåòñÿ îäèí ïîëèñ èëè ãðóïïà ïîëèñîâ. Îáû÷íî, ýòî êðàòêîñðî÷íûå ïîëèñû, è äëÿ óäîáñòâà ïåðèîä áåðåòñÿ ðàâíûì îäíîìó ãîäó, õîòÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü è ëþáîé äðóãîé êðàòêîñðî÷íûé ïåðèîä. Èìååòñÿ ñëåäóþùàÿ èíôîðìàöèÿ: X îöåíêà îæèäàåìîãî ñóììàðíîãî èñêà (èëè ÷èñëà èñêîâ) â íàñòóïàþùåì ãîäó, îñíîâàííàÿ èñêëþ÷èòåëüíî íà äàííûõ î ðàññìàòðèâàåìîì ðèñêå; µ îöåíêà îæèäàåìîãî ñóììàðíîãî èñêà (èëè ÷èñëà èñêîâ) â íàñòóïàþùåì ãîäó, îñíîâàííàÿ íà âñïîìîãàòåëüíûõ äàííûõ, òî åñòü íà èíôîðìàöèè î ïîõîæèõ, íî íåîáÿçàòåëüíî òàêèõ æå ðèñêàõ. Ôîðìóëà ñòðàõîâîé ïðåìèè: ZX + (1 − Z)µ, (11.0) ãäå Z ∈ (0, 1) êîýôôèöèåíò äîâåðèÿ. Äîñòîèíñòâîì ôîðìóëû ÿâëÿåòñÿ åå ïðîñòîòà è òîò ôàêò, ÷òî îíà áóäåò ïîíÿòíà äàæå íåïðîôåññèîíàëó. 296 6.2 Êîýôôèöèåíò äîâåðèÿ Êîýôôèöèåíò äîâåðèÿ Z ÿâëÿåòñÿ âñåãî ëèøü âåñîâûì ìíîæèòåëåì. Åãî çíà÷åíèå ãîâîðèò î òîì, íàñêîëüêî ìîæíî äîâåðÿòü èíôîðìàöèè î ñàìîì ðèñêå (X ) ïî ñðàâíåíèþ ñ äàííûìè î áîëüøåé ãðóïïå ðèñêîâ (µ); ÷åì áîëüøå çíà÷åíèå Z , òåì áîëüøå äîâåðèÿ ê X ïî ñðàâíåíèþ ñ µ, è íàîáîðîò. Ýòà èäåÿ áóäåò ðàçúÿñíåíà íà ïðèìåðå èç ðàçäåëà 6.1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìåþòñÿ äàííûå î ðàññìàòðèâàåìîì àâòîáóñíîì ïàðêå áîëåå, ÷åì çà 5 ëåò. Ïóñòü, íàïðèìåð, îöåíêà ñóììàðíîãî èñêà â íàñòóïàþùåì ãîäó, îñíîâàííàÿ íà èíôîðìàöèè î äàííîì ïàðêå, ñîñòàâëÿåò, êàê è ðàíüøå, £1600, íî òåïåðü îíà ïîëó÷åíà çà 10 ëåò. Â ýòîì ñëó÷àå, çíà÷åíèå £1600 áîëåå íàäåæíî, ÷åì çíà÷åíèå £2500, è êîýôôèöèåíò äîâåðèÿ óâåëè÷èâàåòñÿ, íàïðèìåð, äî 0.75. Â ðåçóëüòàòå äîâåðèòåëüíàÿ îöåíêà ñóììàðíîãî èñêà ñîñòàâèò £1825. Ïóñòü òåïåðü çíà÷åíèå £1600 îñíîâàíî íà äàííûõ òîëüêî çà 5 ëåò, à çíà÷åíèå £2500 îñíîâàíî íà äàííûõ ëèøü î òåõ àâòîáóñíûõ ïàðêàõ, êîòîðûå ôóíêöèîíèðóþò â ãîðîäàõ ïðèáëèçèòåëüíî òàêîãî æå ðàçìåðà, òî åñòü èíôîðìàöèÿ î áîëüøèõ ãîðîäàõ è ñåëüñêèõ ðàéîíàõ â îöåíêó íå âêëþ÷åíà. Â ýòîì ñëó÷àå, âñïîìîãàòåëüíûå äàííûå ñòàíîâÿòñÿ áîëåå ïîäõîäÿùèìè, ÷åì â ðàçäåëå 6.1, è ñîîòâåòñòâåííî êîýôôèöèåíò äîâåðèÿ óìåíüøàåòñÿ, íàïðèìåð, äî 0,4, îòêóäà ñòðàõîâàÿ ïðåìèÿ ðàâíà £2140. Â çàêëþ÷åíèå, ðàññìîòðèì òàêóþ æå, êàê è â ðàçäåëå 6.1, ñèòóàöèþ, çà èñêëþ÷åíèåì òîãî, ÷òî çíà÷åíèå £2500 ïîëó÷åíî òîëüêî èç äàííûõ î ðàáîòå àâòîáóñíûõ ïàðêîâ â Ëîíäîíå è Ãëàçãî. Â ýòîì ñëó÷àå âñïîìîãàòåëüíàÿ èíôîðìàöèÿ ñòàíîâèòñÿ ìåíåå ïîäõîäÿùåé, ÷åì â ðàçäåëå 6.1, è ñîîòâåòñòâåííî êîýôôèöèåíò äîâåðèÿ óâåëè÷èâàåòñÿ, íàïðèìåð, äî 0,8, îòêóäà ñòðàõîâàÿ ïðåìèÿ ðàâíà £1780. Èç ïðèìåðîâ âèäíî, ÷òî ïîâåäåíèå êîýôôèöèåíòà äîâåðèÿ, â îáùåì ñëó÷àå, ñëåäóþùåå: ÷åì áîëüøå èíôîðìàöèè î ñàìîì ðèñêå, òåì áîëüøå äîëæíî áûòü çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà äîâåðèÿ; ÷åì áîëüøå âñïîìîãàòåëüíûå äàííûå ñîîòâåòñòâóþò ðàññìàòðèâàåìîìó ðèñêó, òåì çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà äîâåðèÿ äîëæíî áûòü ìåíüøå. Ñäåëàåì îäíî âàæíîå çàìå÷àíèå. Õîòÿ êîýôôèöèåíò äîâåðèÿ è îòðàæàåò äîñòóïíîå êîëè÷åñòâî èíôîðìàöèè î ñàìîì ðèñêå, åãî çíà÷åíèå íå äîëæíî çàâèñåòü îò ôàêòè÷åñêèõ äàííûõ î ðèñêå, òî åñòü îò çíà÷åíèÿ X . Åñëè Z çàâèñèò îò X , òî ëþáàÿ îöåíêà ñóììàðíîãî èñêà (èëè ÷èñëà èñêîâ) φ, ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèå ìåæäó X µ, ìîæåò áûòü çàïèñàíà â φ−µ . âèäå (6.1), ãäå Z = X −µ 297 Îñòàþòñÿ çàäà÷è îöåíêè ñòåïåíè ñîîòâåòñòâèÿ âñïîìîãàòåëüíûõ äàííûõ è îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòà äîâåðèÿ Z . Ñóùåñòâóåò äâà ïîäõîäà ê ðåøåíèþ ýòèõ çàäà÷: áàéåñîâñêàÿ òåîðèÿ äîâåðèÿ è ýìïèðè÷åñêàÿ òåîðèÿ äîâåðèÿ Áàéåñà. 7 Áàéåñîâñêàÿ òåîðèÿ äîâåðèÿ 7.1 Ââåäåíèå Áàéåñîâñêèé ïîäõîä ê òåîðèè äîâåðèÿ èëëþñòðèðóþò äâå ìîäåëè: ïóàññîíîâñêàÿ/ãàììàìîäåëü è íîðìàëüíàÿ/íîðìàëüíàÿ ìîäåëü. 7.2 Ïóàññîíîâñêàÿ/ãàììà ìîäåëü Ïóñòü íåîáõîäèìî îöåíèòü ÷àñòîòó âîçíèêíîâåíèÿ èñêîâ, òî åñòü îæèäàåìîå ÷èñëî èñêîâ â íàñòóïàþùåì ãîäó. Çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìó. Ïóñòü ÷èñëî èñêîâ â ãîä èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λ. Çíà÷åíèå λ íåèçâåñòíî, íî åãî ìîæíî îöåíèòü. Íàïðèìåð, ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.5 çíà÷åíèå λ ëåæèò ìåæäó 50 è 150. Áîëåå òî÷íî, çàðàíåå èçâåñòíî, ÷òî λ èìååò ãàììàðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè α è β . Ïóñòü òåïåðü èìååòñÿ èíôîðìàöèÿ î ðèñêå, òî åñòü èçâåñòíî êîëè÷åñòâî ïîäàííûõ èñêîâ â ãîä çà ïîñëåäíèå n ëåò. Çàäà÷ó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü â ðàìêàõ áàéåñîâñêîé ñòàòèñòèêè è ôîðìàëèçîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷èñëî èñêîâ â íàñòóïàþùåì ãîäó; ðàñïðåäåëåíèå X çàâèñèò îò íåèçâåñòíîãî ôèêñèðîâàííîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà λ; óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå X îòíîñèòåëüíî λ ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λ; íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå λ ãàììàðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè α è β; x1 , x2 , . . . , xn íàáëþäàåìûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X (äëÿ óäîáñòâà îáîçíà÷èì èõ x). 298 Çàäà÷à ñîñòîèò â îöåíêå λ ïî x. Òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ýòà îöåíêà áûëà áàéåñîâñêîé ñ êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèåé ïîòåðü, òî åñòü E[λ|x]. Àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå λ îòíîñèòåëüíî x ãàììàðàñïðåäåëåíèå n P ñ ïàðàìåòðàìè α + xi è β + n, è i=1 α+ n P xi i=1 . (11.0) β+n n 1P Âûáîðî÷íîå ñðåäíåå ÷èñëà èñêîâ ðàâíî xi è ñðåäíåå ÷èñëî èñêîâ, n i=1 α îñíîâàííîå íà íà÷àëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ, ðàâíî . Ïåðåïèøåì ñîîòβ íîøåíèå 7.2 â ôîðìå: ! n 1X α E[λ|x] = Z xi + (1 − Z) , (11.0) n i=1 β E[λ|x] = ãäå n . (11.0) β+n Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî íåò íèêàêèõ äàííûõ î ðèñêå (äðóãèìè ñëîâàìè, n = 0) è Z = 0. Åäèíñòâåííîé èíôîðìàöèåé, ïî êîòîðîé ìîæíî ñîñòàâèòü îöåíêó ïàðàìåòðà λ, ÿâëÿåòñÿ åãî íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. α Ïîýòîìó îïòèìàëüíîé îöåíêîé λ áóäåò ñðåäíåå . β Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè èçâåñòíà èíôîðìàöèÿ òîëüêî î ðèñêå, òî îïn 1P òèìàëüíîé îöåíêîé áóäåò xi . (Ýòî ÿâëÿåòñÿ îöåíêîé ìàêñèìàëüíîãî n i=1 ïðàâäîïîäîáèÿ ïàðàìåòðà λ. Çàìåòèì, ÷òî ýòà îöåíêà, êîòîðàÿ èãðàåò ðîëü X â ôîðìóëå ñòðàõîâîé ïðåìèè (6.1), ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíóþ ôóíêöèþ îò x1 , x2 , . . . , xn .) Çíà÷åíèå Z çàâèñèò îò êîëè÷åñòâà äàííûõ î ðèñêå, n, è âñïîìîãàòåëüíûõ äàííûõ (÷åðåç β ). n 1P Ñ óâåëè÷åíèåì n îøèáêà âûáîðî÷íîãî îáñëåäîâàíèÿ äëÿ xi (êàê n i=1 îöåíêè λ) óìåíüøàåòñÿ. Àíàëîãè÷íî, β îòðàæàåò äèñïåðñèþ íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ λ. Òàêèì îáðàçîì, Z îòðàæàåò îòíîñèòåëüíóþ íàäåæíîñòü äâóõ àëüòåðíàòèâíûõ îöåíîê λ. Áàéåñîâñêàÿ îöåíêà (7.2) ïàðàìåòðà λ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âçâåøåííîå ñðåäíåå îöåíêè, îñíîâàííîé íà èíôîðìàöèè òîëüêî î ðèñêå, è îöåíêè, îñíîâàííîé íà íåêîòîðîé äîïîëíèòåëüíîé èíôîðìàöèè. Îíà â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ äîâåðèòåëüíîé îöåíêîé, êîòîðóþ äàåò ôîðìóëà (6.1) Z= 299 (âñïîìîãàòåëüíûå äàííûå òåïåðü áîëåå òî÷íî èíòåðïðåòèðóþòñÿ êàê íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå). Çàìåòèì, ÷òî â äàííîé ìîäåëè êîýôôèöèåíò äîâåðèÿ Z óæå íå ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîé íåîïðåäåëåííîé âåëè÷èíîé, êàê â ðàçäåëå 6.2; îí òî÷íî çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (7.2). 7.3 ×èñëåííûå ìîäåëè ïðèìåðû ïóàññîíîâñêîé/ãàììà Â ýòîì ðàçäåëå áóäóò ðàññìîòðåíû íåêîòîðûå ïðîñòûå ÷èñëåííûå ïðèìåðû, îòíîñÿùèåñÿ ê ïóàññîíîâñêîé/ãàììàìîäåëè. Ñèòóàöèÿ è çàäà÷à â òî÷íîñòè òå æå, ÷òî è â ðàçäåëå 7.2. Çíà÷åíèå λ ðàâíî 150 è ÷èñëî ïîäàííûõ èñêîâ â ãîä èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì 150. Â äåéñòâèòåëüíîñòè, èñòèííîå çíà÷åíèå λ íåèçâåñòíî. Â äàííîì ïðèìåðå åäèíñòâåííîé èíôîðìàöèåé ÿâëÿåòñÿ íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå λ, íàïðèìåð, ãàììàðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè 100 è 1. (Ýòî ðàñïðåäåëåíèå èìååò ñðåäíåå 100 è ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå 10.) Ôàêòè÷åñêîå ÷èñëî ïîäàííûõ èñêîâ â ãîä ñëåäóþùåå: Ãîä ×èñëî èñêîâ 1 144 2 144 3 174 4 148 5 151 6 156 7 168 8 147 9 140 10 161 Íà Ðèñ. ?? èçîáðàæåí êîýôôèöèåíò äîâåðèÿ, à íà Ðèñ. ?? äîâåðèòåëüíàÿ îöåíêà ÷èñëà èñêîâ äëÿ íà÷àëüíîãî ãàììàðàñïðåäåëåíèÿ λ ñ ïàðàìåòðàìè 100 è 1. pic.eps8p1 pic.eps8p2 Èç ðèñóíêîâ ìîãóò áûòü ñäåëàíû ñëåäóþùèå íàáëþäåíèÿ. Ïðåæäå âñåãî, èç Ðèñ. ?? âèäíî, ÷òî êîýôôèöèåíò äîâåðèÿ óâåëè÷èâàåòñÿ ñî âðåìåíåì: ñî âðåìåíåì ñòàíîâèòñÿ äîñòóïíî áîëüøå èíôîðìàöèè î ðèñêå è íàäåæíîñòü äàííûõ â îöåíêå îæèäàåìîãî êîëè÷åñòâà èñêîâ óâåëè÷èâàåòn åñòü âîçðàññÿ. (Ìàòåìàòè÷åñêè, Z âîçðàñòàåò ïðîñòî ïîòîìó, ÷òî β+n òàþùàÿ ôóíêöèÿ îò n äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî β .) Âòîðîå íàáëþäåíèå êàñàåòñÿ îöåíîê ÷èñëà èñêîâ, èçîáðàæåííûõ íà Ðèñ. ??. Íà÷àëüíàÿ 300 îöåíêà ðàâíà 100, ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ λ. Îäíàêî, ýòà îöåíêà îêàçûâàåòñÿ ïëîõîé, òàê êàê ôàêòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ ÷èñëà èñêîâ ëåæàò îêîëî 150, è íè îäíî èç íèõ íå îïóñêàåòñÿ íèæå 140 â ïåðâûå 10 ëåò. Çíà÷åíèå îöåíêè ÷èñëà èñêîâ âîçðàñòàåò ñî âðåìåíåì, ïîêà íå äîñòèãàåò óðîâíÿ ôàêòè÷åñêîãî ÷èñëà èñêîâ ïî ïðîøåñòâèè 8 ëåò. Ýòî ïðîèñõîäèò èç-çà ïîñòåïåííî âîçðàñòàþùåãî âåñà èíôîðìàöèè î ñàìîì ðèñêå è ñîîòâåòñòâåííî óìåíüøàþùåãîñÿ âåñà âñïîìîãàòåëüíûõ äàííûõ, òî åñòü íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ λ. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî λ èìååò íà÷àëüíîå ãàììàðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè 500 è 5. Íà Ðèñ. ?? è Ðèñ. ?? èçîáðàæåíû êîýôôèöèåíò äîâåðèÿ è îöåíêè ÷èñëà èñêîâ â ýòîì ñëó÷àå â ñðàâíåíèè ñ ñèòóàöèåé, êîãäà λ èìååò íà÷àëüíîå ãàììàðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè 100 è 1. pic.eps8p3 pic.eps8p4 Èç ðèñóíêîâ âèäíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïîâåäåíèå êîýôôèöèåíòà äîâåðèÿ è îöåíêè ÷èñëà èñêîâ òàêîå æå. Î÷åâèäíûì îòëè÷èåì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî êîýôôèöèåíò äîâåðèÿ âîçðàñòàåò òåïåðü áîëåå ìåäëåííî. (Ìàòåìàòè÷åñêè ýòî îáúÿñíÿåòñÿ áîëüøåé âåëè÷èíîé β .) Ýòîò ôàêò ìîæåò îáúÿñíÿåòñÿ â òåðìèíàõ òåîðèè äîâåðèÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îöåíêà ÷èñëà èñêîâ, îñíîâàííàÿ íà âñïîìîãàòåëüíûõ äàííûõ, îäèíàêîâà äëÿ îáîèõ íà÷àëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé λ è ðàâíà èõ, 100.√Îäíàêî, ñðåäíåêâàäðàòè÷íàÿ îøèáêà âî âòîðîì ñëó÷àå ìåíüøå è ðàâíà 20 = 4.472. Âåëè÷èíà ñðåäíåêâàäðàòè÷íîé îøèáêè ïîêàçûâàåò, íàñêîëüêî ìû ìîæåì äîâåðÿòü íà÷àëüíîé îöåíêå ÷èñëà èñêîâ; ÷åì îíà ìåíüøå, òåì áîëåå íàäåæíà íà÷àëüíàÿ îöåíêà. Òàê êàê â áàéåñîâñêîé òåîðèè äîâåðèÿ íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå èãðàåò ðîëü âñïîìîãàòåëüíûõ äàííûõ, òî ïðèâåäåííîå âûøå óòâåðæäåíèå ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü: ÷åì ìåíüøå ñðåäíåêâàäðàòè÷íàÿ îøèáêà íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, òåì áîëüøå âñïîìîãàòåëüíûå äàííûå ñîîòâåòñòâóþò ðàññìàòðèâàåìîìó ðèñêó. Â ïîäòâåðæäåíèå ýòîìó, ìåíüøàÿ ñðåäíåêâàäðàòè÷íàÿ îøèáêà âî âòîðîì ñëó÷àå ïðèâîäèò ê ìåíüøåìó çíà÷åíèþ êîýôôèöèåíòà äîâåðèÿ, ÷òî âèäíî èç Ðèñ. ??. Ñäåëàåì åùå îäíî âàæíîå çàìå÷àíèå. Çàäà÷à ñîñòîÿëà â îöåíêå îæèäàåìîãî ÷èñëà èñêîâ â ñëåäóþùåì ãîäó, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, â îöåíêå E[X], ãäå ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷èñëî èñêîâ â ñëåäóþùåì ãîäó. Ýòî çíà÷åíèå ìîæåò áûòü íàéäåíî êàê α E[X] = E[E[X|λ]] = E[λ] = . β Íà ñàìîì äåëå, äîñòàòî÷íî íàéòè E[X|x]. Èç Ðèñ. ?? âèäíî, ÷òî çíàα ÷åíèå â êà÷åñòâå ðåøåíèÿ çàäà÷è áðàòü íåöåëåñîîáðàçíî. Ýòî îçíà÷àëî β áû, ÷òî îöåíêà ÷èñëà èñêîâ êàæäûé ãîä ðàâíà 100 è ãîðàçäî õóæå äîâåðèòåëüíûõ îöåíîê. 301 7.4 Íîðìàëüíàÿ/íîðìàëüíàÿ ìîäåëü Â ýòîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàåòñÿ äðóãàÿ ìîäåëü. Çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â îöåíêå ÷èñòîé ïðåìèè, òî åñòü îæèäàåìîãî ñóììàðíîãî èñêà. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììàðíûé èñê â ñëåäóþùåì ãîäó. Ñäåëàåì ñëåäóþùèå äîïóùåíèÿ: ðàñïðåäåëåíèå X çàâèñèò îò íåèçâåñòíîãî ôèêñèðîâàííîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà θ; óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå X îòíîñèòåëüíî θ: N (θ, σ12 ); íåîïðåäåëåííîñòü â îòíîøåíèè çíà÷åíèÿ θ ìîäåëèðóåòñÿ îáû÷íûì â áàéåñîâñêîì ñëó÷àå ïóòåì, êîãäà ïàðàìåòð θ ñ÷èòàåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé; íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå θ: N (µ, σ22 ); âåëè÷èíû µ, σ12 è σ22 èçâåñòíû; íàáëþäàþòñÿ n ïîñëåäíèõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X , êîòîðûå îáîçíà÷àþòñÿ êàê x1 , . . . , xn , èëè, áîëåå êîðîòêî, x. Åñëè çíà÷åíèå θ èçâåñòíî, òî÷íûì çíà÷åíèåì ÷èñòîé ïðåìèè ðèñêà áóäåò E[X|θ] = θ. Çàäà÷à ñîñòîèò â îöåíêå ïî íàáëþäåíèÿì, è, êàê è â ïóàññîíîâñêîé/ãàììàìîäåëè, èñïîëüçóåòñÿ áàéåñîâñêàÿ îöåíêà ñ ñðåäíåêâàäðàòè÷íîé ôóíêöèåé ïîòåðü. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îöåíêîé áóäåò E[E[X|θ]|x], èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, E[θ|x]. Àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå θ ïî íàáëþäåíèÿì x: 2 µσ1 + nσ22 x σ12 σ22 N , , σ12 + nσ22 σ12 + nσ22 ãäå n 1X x= xi n i=1 è E[θ|x] = µσ12 + nσ22 x σ12 nσ22 = µ + x = Zx + (1 − Z)µ, (11.0) σ12 + nσ22 σ12 + nσ22 σ12 + nσ22 ãäå Z= n σ2 n + 12 σ2 302 . (11.0) Ñîîòíîøåíèå (7.4) ÿâëÿåòñÿ äîâåðèòåëüíîé îöåíêîé E[θ|x] è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âçâåøåííîå ñðåäíåå äâóõ îöåíîê: ïåðâàÿ, x, îöåíêà ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ, îñíîâàííàÿ íà èíôîðìàöèè òîëüêî î ñàìîì ðèñêå, à âòîðàÿ, µ, îïòèìàëüíàÿ îöåíêà â ñëó÷àå, åñëè î ðèñêå íè÷åãî íå èçâåñòíî. Çàìåòèì, ÷òî, êàê è â ñëó÷àå ïóàññîíîâñêîé/ãàììàìîäåëè, îöåíêà, îñíîâàííàÿ íà èíôîðìàöèè òîëüêî î ðèñêå, åñòü ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ îò íàáëþäåíèé. Ñäåëàåì íåñêîëüêî çàìå÷àíèé îòíîñèòåëüíî êîýôôèöèåíòà äîâåðèÿ Z â (7.4). Âîïåðâûõ, Z ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ ìåæäó 0 è 1. Âîâòîðûõ, Z ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âîçðàñòàþùóþ ôóíêöèþ àðãóìåíòà n, êîëè÷åñòâà äîñòóïíîé èíôîðìàöèè, è âîçðàñòàþùóþ ôóíêöèþ àðãóìåíòà σ12 , ñðåäíåêâàäðàòè÷íîé îøèáêè íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. 7.5 Äàëüíåéøèå çàìå÷àíèÿ îòíîñèòåëüíî íîðìàëüíîé/íîðìàëüíîé ìîäåëè Â ðàçäåëå 7.4 íîðìàëüíàÿ ìîäåëü äëÿ îöåíêè ÷èñòîé ïðåìèè îáñóæäàëàñü â ðàìêàõ áàéåñîâñêîé ñòàòèñòèêè. Â ýòîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàåòñÿ òà æå ìîäåëü, íî ñëåãêà ñ äðóãîé ñòîðîíû. Ïðè÷èíà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî íåêîòîðûå íàáëþäåíèÿ îêàæóòñÿ ïîëåçíûìè â äàëüíåéøåì ïðè ðàññìîòðåíèè ýìïèðè÷åñêîé òåîðèè äîâåðèÿ Áàéåñà. Â ýòîì ðàçäåëå, êàê è â ðàçäåëå 7.4, çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â îöåíêå îæèäàåìîãî ñóììàðíîãî èñêà. Ïóñòü X1 , X2 , . . . , Xn , Xn+1 , . . . ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ñóììàðíûå èñêè äëÿ êàæäîãî ãîäà. Ñäåëàåì ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ: (3.17) ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Xj , ∀j çàâèñèò îò íåèçâåñòíîãî ôèêñèðîâàííîãî ïàðàìåòðà θ; (3.18) óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå Xj îòíîñèòåëüíî θ: N (θ, σ12 ); (3.19) ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Xj óñëîâíî íåçàâèñèìû îòíîñèòåëüíî θ; (3.20) íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå θ: N (µ, σ22 ) (3.21) òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü îöåíêó îæèäàåìîãî ñóììàðíîãî èñêà â ãîäó n + 1 ïî íàáëþäåíèÿì X1 , . . . , Xn . 303 Âàæíî ïîíèìàòü, ÷òî ïîñòàâëåííàÿ çàäà÷à è ñäåëàííûå ïðåäïîëîæåíèÿ òå æå, ÷òî è â ðàçäåëå 7.4. Â ýòîì ðàçäåëå áóäóò èñïîëüçîâàíû íåìíîãî äðóãèå îáîçíà÷åíèÿ; â ðàçäåëå 7.4 X1 , . . . , Xn îáîçíà÷àëèñü êàê x1 , . . . , xn è èõ çíà÷åíèÿ ïðåäïîëàãàëèñü èçâåñòíûìè, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Xn+1 îáîçíà÷àëàñü êàê X . Ïðåäïîëîæåíèÿ (3.17), (3.18), (3.20) è (3.21) áûëè ñäåëàíû è â ðàçäåëå 7.4. Åäèíñòâåííîå ïðåäïîëîæåíèå (3.19) ñäåëàíî âïåðâûå. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå âàæíûå âûâîäû èç ïðåäïîëîæåíèé: (3.22) îòíîñèòåëüíî θ ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Xj íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû; (3.23) ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Xj îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû; (3.24) ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Xj íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè. (3.22) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåïîñðåäñòâåííîå ñëåäñòâèå ïðåäïîëîæåíèÿ (3.18), êîòîðîå ãîâîðèò î òîì, ÷òî êàæäîå Xj ïðè óñëîâèè θ èìååò ðàñïðåäåëåíèå N (θ, σ12 ). (3.23) åñòü äðóãîå ñëåäñòâèå (3.18) ñëåäóþùåå âûðàæåíèå îïðåäåëÿåò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Xj : Z∞ (θ − µ)2 y−θ 1 √ exp − Φ dθ, P(Xj ≤ y) = 2σ22 σ1 σ2 2π −∞ ãäå Φ ôóíêöèÿ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Âûðàæåíèå îäíî è òî æå äëÿ êàæäîãî j . Óòâåðæäåíèå (3.24) íå òàê î÷åâèäíî, íî ìîæåò áûòü ïðîäåìîíñòðèðîâàíî ñëåäóþùèì îáðàçîì. Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (1.1) è òîò ôàêò, ÷òî X1 è X2 , ïðè óñëîâèè θ, íåçàâèñèìû: E[X1 X2 ] = E[E[X1 X2 |θ]] = E[E[X1 |θ]E[X2 |θ]] = E[θ2 ] = µ2 + σ22 â ñèëó E[X1 |θ] = E[X2 |θ] = θ. Â ñëó÷àå, åñëè X1 è X2 íåçàâèñèìû: E[X1 X2 ] = E[X1 ]E[X2 ]. Èñïîëüçóÿ (1.1) èìååì: E[X1 ] = E[E[X1 |θ]] = E[θ] = µ, àíàëîãè÷íî è E[X2 ] = µ. Îòñþäà: E[X1 X2 ] = µ2 + σ22 6= E[X1 ]E[X2 ]. Ýòî ïîêàçûâàåò, ÷òî X1 è X2 íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè. Ñâÿçü X1 è X2 â òîì, ÷òî èõ ñðåäíèå áåðóòñÿ èç ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Åñëè ýòî ñðåäíåå, θ, èçâåñòíî, òî ýòà ñâÿçü íàðóøàåòñÿ è X1 è X2 ñòàíîâÿòñÿ óñëîâíî íåçàâèñèìûìè. 304 7.6 Îáñóæäåíèå áàéåñîâñêîãî ïîäõîäà ê òåîðèè äîâåðèÿ Ïîäõîä, èñïîëüçóåìûé â ïóàññîíîâñêîé/ãàììà è íîðìàëüíîé/íîðìàëüíîé ìîäåëÿõ, ñëåäóþùèé åäèíñòâåííîå ñóùåñòâåííîå ðàçëè÷èå ñîñòîèò òîëüêî â ïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñèòåëüíî ðàñïðåäåëåíèé. Ýòîò ïîäõîä çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: 1. Çàäà÷à ðåãóëÿðíà, íàïðèìåð, íàõîæäåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû èëè ÷èñëà èñêîâ. Â êàæäîì ñëó÷àå íóæíî îöåíèòü íåêîòîðóþ âåëè÷èíó, êîòîðàÿ õàðàêòåðèçóåò ýòî ðàñïðåäåëåíèå, íàïðèìåð, ñðåäíåå çíà÷åíèå ÷èñëà èñêîâ èëè ñðåäíåå çíà÷åíèå âåëè÷èíû èñêîâ. 2. Íåêîòîðûå ïðåäïîëîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ìîäåëè äåëàþòñÿ â ðàìêàõ áàéåñîâñêîãî ïîäõîäà, íàïðèìåð, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ÷èñëà èñêîâ èìååò ïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ãàììà ðàñïðåäåëåííûì ïàðàìåòðîì. 3. Íàéäåíà áàéåñîâñêàÿ îöåíêà îïðåäåëåííîé âåëè÷èíû. 4. Ïîêàçàíî, ÷òî ýòà îöåíêà ïðåäñòàâëÿåòñÿ â ôîðìå äîâåðèòåëüíîé îöåíêè, òî åñòü â ôîðìå âûðàæåíèÿ (2.1). Ýòîò ïîäõîä õîðîøî ðàáîòàåò â äâóõ ñëó÷àÿõ. Îí î÷åíü òî÷íî îïðåäåëÿåò âñïîìîãàòåëüíûå äàííûå (ïóòåì èíòåðïðåòàöèè â òåðìèíàõ àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ) è äàåò ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòà äîâåðèÿ. Êàêîâû æå íåäîñòàòêè ýòîãî ïîäõîäà? Ïåðâûé íåäîñòàòîê â òîì, ÷òî áàéåñîâñêèé ïîäõîä ìîæåò áûòü íåïðèìåíèì ê çàäà÷å. À åñëè è ïðèìåíèì, òî íåèçâåñòíî, êàêîâû çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Íàïðèìåð, õîòÿ ïóàññîíîâñêàÿ/ãàììà ìîäåëü äàåò ôîðìóëó (3.3) äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòà äîâåðèÿ, òàì ñîäåðæèòñÿ ïàðàìåòð β . Êàêîå çíà÷åíèå β ìîæåò áûòü âûáðàíî, íåïîíÿòíî. Ïðè âûáîðå çíà÷åíèé ïàðàìåòðà àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ â áàéåñîâñêîì ïîäõîäå íóæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòîò ïàðàìåòð îòðàæàåò ñòåïåíü äîâåðèÿ ê âîçìîæíûì çíà÷åíèÿì îöåíèâàåìûõ âåëè÷èí, íàïðèìåð, ñðåäíåå ÷èñëî èñêîâ λ â ïóàññîíîâñêîé/ãàììà ìîäåëè. Äðóãîé íåäîñòàòîê â òîì, ÷òî áàéåñîâñêèé ïîäõîä ê êàæäîé òàêîé çàäà÷å ìîæåò íå ðàáîòàòü â òîì ñìûñëå, ÷òî îí ìîæåò íå äàâàòü îöåíîê, êîòîðûå ëåãêî ìîãóò áûòü ïðåîáðàçîâàíû â ôîðìó äîâåðèòåëüíîé îöåíêè. Ýòî äåìîíñòðèðóåò àïðèîðíîå ïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà èñêîâ. 305 8 Ýìïèðè÷åñêàÿ òåîðèÿ äîâåðèÿ Áàéåñà: Ìîäåëü 1 8.1 Ââåäåíèå Ýìïèðè÷åñêàÿ òåîðèÿ äîâåðèÿ Áàéåñà ÿâëÿåòñÿ íè ÷åì èíûì, êàê îñîáåííûì ïîäõîäîì ê çàäà÷å ïàðàãðàôà 1. Ýòîò ïîäõîä ïðèâîäèò ê ðàçâèòèþ áîëüøîãî ÷èñëà ðàçëè÷íûõ ìîäåëåé ðàçëè÷íîé ñòåïåíè ñëîæíîñòè. Â ýòîé ãëàâå äâå òàêèå ìîäåëè áóäóò èçó÷åíû. Â ýòîì ðàçäåëå áóäåò èçó÷åíà íàèáîëåå ïðîñòàÿ ìîäåëü. Õîòÿ ýòà ìîäåëü, êîòîðóþ ìû áóäåì íàçûâàòü Ìîäåëü 1, íå îñîáî èñïîëüçóåòñÿ íà ïðàêòèêå, îíà îáåñïå÷èâàåò äîñòîéíîå ââåäåíèå â ïðèíöèïû, ëåæàùèå â îñíîâå ýìïèðè÷åñêîé òåîðèè äîâåðèÿ Áàéåñà. Â îñîáåííîñòè, îíà ïîêàæåò ñõîæåñòü è ðàçëè÷èå ìåæäó ýìïèðè÷åñêèì áàéåñîâñêèì è ïðîñòî áàéåñîâñêèì ïîäõîäàìè â òåîðèè äîâåðèÿ. Â ïàðàãðàôå 4 áóäåò èçó÷åíà ðàñøèðåííàÿ Ìîäåëü 1, áîëåå ÷àñòî èñïîëüçóþùàÿñÿ íà ïðàêòèêå. 8.2 Ìîäåëü 1: îïèñàíèå Â ýòîì ðàçäåëå áóäóò èçëîæåíû ïðåäïîëîæåíèÿ êàñàòåëüíî Ìîäåëè 1. Ýòà ìîäåëü ìîæåò áûòü ðàññìîòðåíà êàê îáîáùåíèå íîðìàëüíîé/íîðìàëüíîé ìîäåëè, ÷òî áóäåò ñäåëàíî íåìíîãî ïîçäíåé. Çàäà÷à ñîñòîèò â îöåíèâàíèè ÷èñòîé ïðåìèè. Ïóñòü X1 , X2 , . . . ñóììàðíûå èñêè (÷èñëî èñêîâ) â ðàçíûå ïåðèîäû ðàññìàòðèâàåìîãî ðèñêà. Áîëåå òî÷íàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: äàíû èçâåñòíûå âåëè÷èíû X1 , . . . , Xn , ïî êîòîðûì íåîáõîäèìî îöåíèòü Xn+1 . Ñäåëàåì ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ íàñ÷åò Ìîäåëè 1. (4.1) Ðàñïðåäåëåíèå êàæäîãî Xj çàâèñèò îò ïàðàìåòðà θ, çíà÷åíèå êîòîðîãî ôèêñèðîâàíî, íî íåèçâåñòíî. (4.2) Âåëè÷èíû Xj ïðè óñëîâèè θ íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû. Ïàðàìåòð θ èçâåñòåí êàê ïàðàìåòð ðèñêà. Îí ìîæåò áûòü äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëîì èëè, íàïðèìåð, ìíîæåñòâîì äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñëåäñòâèåì ýòèõ äâóõ: (4.3) Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Xj îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû. (4.4) Xj , âîîáùå ãîâîðÿ, íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè. 306 Îïðåäåëèì m(θ) è s2 (θ) ñëåäóþùèì îáðàçîì: m(θ) = E[Xj |θ], s2 (θ) = Var[Xj |θ]. Åñëè èçâåñòíû çíà÷åíèå θ è ðàñïðåäåëåíèÿ Xj ïðè óñëîâèè θ, òî î÷åâèäíî, ÷òî îöåíêîé ñóììàðíîãî èñêà â ñëåäóþùåì ãîäó Xn+1 áóäåò ÿâëÿòüñÿ m(θ). Íî, èñõîäÿ èç ïðåäïîëîæåíèé, θ íåèçâåñòíî. Çàäà÷à ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: (4.5) Îöåíèòü m(θ) ïî íàáëþäåíèÿì X = (X1 , . . . , Xn ). Ñõîäñòâà Ìîäåëè 1 è íîðìàëüíîé/íîðìàëüíîé ìîäåëè ñëåäóþùèå: (i) Ðîëü θ îäèíàêîâà äëÿ îáåèõ ìîäåëåé: îíî õàðàêòåðèçóåò ðàñïðåäåëåíèå ìîäåëèðóåìûõ ïðîöåññîâ, íàïðèìåð, ðàñïðåäåëåíèå ñóììàðíîãî èñêà çà ãîä. Ñìîòðåòü (3.17) è (4.1). (ii) Ïðåäïîëîæåíèÿ, êàñàþùèåñÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Xj , îäèíàêîâû: Xj îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû â êàæäîì ñëó÷àå. Ñìîòðåòü (3.23), (3.24), (4.3) è (4.4). (iii) Ïðåäïîëîæåíèÿ, êàñàþùèåñÿ óñëîâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Xj ïðè óñëîâèè θ îäèíàêîâû: Xj óñëîâíî îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû â êàæäîì ñëó÷àå. Ñìîòðåòü (3.19), (3.22) è (4.2). Ìîäåëü 1 ìîæåò áûòü ðàññìîòðåíà êàê îáîáùåíèå íîðìàëüíîé/íîðìàëüíîé ìîäåëè. Îòëè÷èÿ íîðìàëüíîé/íîðìàëüíîé ìîäåëè, òî åñòü îáîáùåíèÿ, ñëåäóþùèå: (i) E[Xj |θ] åñòü íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ îò θ; m(θ) äëÿ Ìîäåëè 1 è ïðîñòî θ äëÿ íîðìàëüíîé/ íîðìàëüíîé ìîäåëè. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî Var[m(θ)] Ìîäåëè 1 ñîîòâåòñòâóåò Var[θ] = σ22 íîðìàëüíîé/íîðìàëüíîé ìîäåëè. (ii) Var[Xj |θ] åñòü ôóíêöèÿ îò θ; s2 (θ) äëÿ Ìîäåëè 1 è êîíñòàíòà σ12 äëÿ íîðìàëüíîé/ íîðìàëüíîé ìîäåëè. Îòñþäà E[s2 (θ)] ñîîòâåòñòâóåò σ12 = Var[Xj |θ]. (iii) Íîðìàëüíàÿ/íîðìàëüíàÿ ìîäåëü äàåò äîñòàòî÷íî òî÷íûå ïðåäïîëîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ðàñïðåäåëåíèé θ è Xj ïðè óñëîâèè θ: Xj |θ ∼ N (θ, σ12 ), θ ∼ N (µ, σ22 ). Ìîäåëü 1 íå äàåò íèêàêèõ ïîäîáíûõ ïðåäïîëîæåíèé. (iv) Ïàðàìåòð ðèñêà θ åñòü äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî â íîðìàëüíîé/íîðìàëüíîé ìîäåëè, íî ìîæåò áûòü áîëåå îáùåé âåëè÷èíîé â Ìîäåëè 1. 307 8.3 Ìîäåëü 1: ïîëó÷åíèå ñòðàõîâîé ïðåìèè Â ïðåäûäóùåì ïóíêòå áûëè èçó÷åíû ïðåäïîëîæåíèÿ, êàñàþùèåñÿ Ìîäåëè 1, è ñäåëàí àêöåíò íà ñõîäñòâàõ ìåæäó Ìîäåëüþ 1 è íîðìàëüíîé/íîðìàëüíîé ìîäåëüþ. Â ýòîì ðàçäåëå áóäåò ïîëó÷åíî ðåøåíèå çàäà÷è (4.5) è ïîëó÷åíà îöåíêà m(θ) ïî íàáëþäåíèÿì X. Åñëè áàéåñîâñêèé ïîäõîä áóäåò ïðèìåíåí ê ýòîé çàäà÷å, î÷åâèäíî, ÷òî îöåíêà m(θ) ïî íàáëþäåíèÿì X áóäåò àïîñòåðèîðíûì ñðåäíèì: E[m(θ)|X]. (4.6) Ýòî áàéåñîâñêàÿ îöåíêà m(θ). Ïðîáëåìà îöåíêè (4.6) â òîì, ÷òî îíà íå âñåãäà ïðèâîäèò ê îòâåòó, êîòîðûé ìîæåò áûòü âûðàæåí â ôîðìå âûðàæåíèÿ äëÿ ñòðàõîâîé ïðåìèè, à íàì æåëàòåëüíî ïîëó÷èòü îòâåò çàäà÷è (4.5) â ôîðìå (2.1). Âûðàæåíèå (2.1) âêëþ÷àåò â ñåáÿ îöåíêó ïî íàáëþäåíèÿì èíôîðìàöèè î ñàìîì ðèñêå X è âåëè÷èíàì Z è µ. Â ïóàññîíîâñêîé/ãàììà è íîðìàëüíîé/íîðìàëüíîé ìîäåëÿõ îöåíêà X íàèáîëåå ïðîñòà, òàê êàê îíà ëèíåéíà ïî âñåì íàáëþäàåìûì äàííûì. Åñëè æåëàåìàÿ îöåíêà ëèíåéíà ïî âñåì íàáëþäàåìûì äàííûì, òî áóäåì èñêàòü îöåíêó m(θ) â âèäå a0 + a1 X1 + a2 X2 + . . . + an Xn , (4.7) ãäå a0 , . . . , an êîíñòàíòû, âûáðàííûå òàêèì îáðàçîì, ÷òî îöåíêà m(θ) ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíîé ñðåäè âñåõ îöåíîê òàêîãî âèäà. Îïòèìàëüíîñòü çäåñü ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå íàèìåíüøåãî ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ ëèíåéíîé îöåíêè îò m(θ), òî åñòü íóæíî ìèíèìèçèðîâàòü E[(m(θ) − a0 − a1 X1 − . . . − an Xn )2 ]. (4.8) Ýòà çàäà÷à ðåøàåòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèåì âûðàæåíèÿ (4.8) ïî a0 , . . . , an . Ñäåëàåì íåêîòîðûå òåõíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ. (i) Èñïîëüçóÿ (1.1) è (1.3) è îïðåäåëåíèå m(θ), èìååì: E[Xj m(θ)] = E[E[Xj m(θ)|θ]] = E[m(θ)E[Xj |θ]] = = E[m2 (θ)] = Var[m(θ)] + (E[m(θ)])2 . (ii) Èñïîëüçóÿ (1.1) è òîò ôàêò, ÷òî Xj ïðè óñëîâèè θ íåçàâèñèìû, èìååì: E[Xj Xk ] = E[E[Xj Xk |θ]] = E[E[Xj |θ]E[Xk |θ]] = = E[m2 (θ)] = Var[m(θ)] + (E[m(θ)])2 . 308 (iii) Èñïîëüçóÿ (1.1) è îïðåäåëåíèå s2 (θ), èìååì: E[Xj2 ] = E[E[Xj2 |θ]] = E[Var[Xj |θ]+(E[Xj |θ])2 ] = E[s2 (θ)]+E(m2 (θ)) = = E(s2 (θ)) + Var[m(θ)] + (E[m(θ)])2 . Òåïåðü äèôôåðåíöèðóåì (4.8) ïî a0 , ïðèðàâíèâàÿ ïîëó÷åííóþ ïðîèçâîäíóþ ê íóëþ. Ïîëó÷èòñÿ ñëåäóþùåå âûðàæåíèå: E[m(θ) − a0 − a1 X1 − . . . − an Xn ] = 0, êîòîðîå, ïî îïðåäåëåíèþ m(θ), ðàâíî: a0 = E[m(θ)] 1 − n X ! aj . (4.9) j=1 Çàòåì äèôôåðåíöèðóåì (4.8) ïî ak , ãäå k 6= 0, è ïðèðàâíèâàåì ïðîèçâîäíóþ ê íóëþ. Ïîëó÷àåì: E[Xk (m(θ) − a0 − n X aj Xj )] = 0, j=1 îòêóäà n X Var[m(θ)]+(E[m(θ)]) −a0 E[m(θ)]− aj (Var[m(θ)]+(E[m(θ)])2 )−ak E[s2 (θ)] = 0. 2 j=1 Ïåðåãðóïïèðóåì ñëàãàåìûå: ! n X ak E[s2 (θ)] = 1 − aj (Var[m(θ)] + (E[m(θ)])2 ) − a0 E[m(θ)]. (4.10) j=1 Ñîîòíîøåíèå (4.10) âûïîëíåíî äëÿ k = 1, . . . , n. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ak íå çàâèñèò îò k , äðóãèìè ñëîâàìè a1 = . . . = an . Îáîçíà÷èì ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå a1 , . . . , an ÷åðåç Z= n X j=1 309 aj Z , òîãäà n è îöåíêà ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå a0 + n X aj Xj = a0 + ZX, (4.11) j=1 ãäå n 1X X= Xj . n j=1 Ïîëó÷èëè ëèíåéíóþ ñèñòåìó (4.9), (4.10) îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ a0 è Z . Åå ðåøåíèå: a0 = (1 − Z)E[m(θ)], (4.12) n . (4.13) Z= E[s2 (θ)] n+ Var[m(θ)] Èòàê, ðåøåíèå çàäà÷è îöåíèâàíèÿ m(θ) ïî íàáëþäåíèÿì X çàäàåòñÿ ïðàâîé ÷àñòüþ (4.11) è çíà÷åíèÿìè a0 è Z , ïîëó÷åííûìè èç (4.12) è (4.13) ñîîòâåòñòâåííî. Îêîí÷àòåëüíî, îöåíêà m(θ) ïî X â Ìîäåëè 1: (1 − Z)E[m(θ)] + ZX, ãäå (4.14) n 1X X= Xj n j=1 è Z= n . E[s2 (θ)] n+ Var[m(θ)] Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ðåøåíèå ïîëó÷åíî â ôîðìå äîâåðèòåëüíîé îöåíêè. Äðóãèìè ñëîâàìè, ïðàâàÿ ÷àñòü (4.11) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôîðìóëó (2.1), n P Xj ðîëü X . ãäå E[m(θ)] èãðàåò ðîëü µ, à n1 j=1 Òàêæå ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî ïîëó÷åííîå ðåøåíèå ñõîæå ñ ðåøåíèåì â íîðìàëüíîé ìîäåëè, â ÷àñòíîñòè ôîðìóëîé äëÿ êîýôôèöèåíòà äîâåðèÿ. Ôîðìóëà (4.13) ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ôîðìóëû (3.5), à E[s2 (θ)] è Var[m(θ)] ìîæíî ñ÷èòàòü îáîáùåíèÿìè σ12 è σ22 ñîîòâåòñòâåííî. Â ôîðìóëó äîâåðèòåëüíîé îöåíêè (4.14) âõîäèò òðè ïàðàìåòðà E[m(θ)], E[s2 (θ)] è Var[m(θ)]. Ìîäåëü 1 íå äåëàåò íèêàêèõ ïðåäïîëîæåíèé îòíîñèòåëüíî ðàñïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðà, â îòëè÷èè îò áàéåñîâñêîãî ïîäõîäà â òåîðèè äîâåðèÿ, íî çíà÷åíèÿ ýòèõ ïàðàìåòðîâ äîëæíû áûòü 310 èçâåñòíû. Òîò ôàêò, ÷òî ýòè ïàðàìåòðû çàâèñÿò îò ïåðâûõ è âòîðûõ ìîìåíòîâ, à íå îò ìîìåíòîâ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà íåêîòîðûõ äðóãèõ âåëè÷èí, íàïðèìåð, îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî êðèòåðèé âûáîðà çíà÷åíèé a0 , a1 , . . . , an â (4.7) çàêëþ÷àëñÿ â ìèíèìèçàöèè êâàäðàòà ðàçíîñòè îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ è åãî îöåíêè. Ñïîñîá îöåíèâàíèÿ ýòèõ òðåõ ïàðàìåòðîâ áóäåò ðàññìîòðåí â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå. Ðàññìîòðèì íåìíîãî äðóãóþ ñèòóàöèþ. Ïóñòü a0 , a1 , . . . , an äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà. Ðàññìîòðèì E[(E[m(θ)|X] − a0 − n X aj Xj )2 ]. (4.15) j=1 (i) Áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî (4.15) ìîæíî çàïèñàòü êàê E[(m(θ) − a0 − n X aj Xj )2 ] − 2E[AB] − E[A2 ], j=1 ãäå A = m(θ) − E[m(θ)|X] è B = E[m(θ)|X] − a0 − n X aj Xj . j=1 (ii) Áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî: E[AB] = 0. (iii) Òåì ñàìûì áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî çíà÷åíèÿ a0 , a1 , . . . , an , ìèíèìèçèðóþùèå (4.15), ñîâïàäàþò ñî çíà÷åíèÿìè a0 , a1 , . . . , an , ìèíèìèçèðóþùèìè (4.8). (i) E[(m(θ) − a0 − n X aj Xj )2 ] j=1 ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå E[(A+B)2 ], ãäå A è B îïðåäåëÿþòñÿ, êàê è â (i). Âîçâåäÿ â êâàäðàò, ïîëó÷èì òðåáóåìîå ñîîòíîøåíèå. (ii) Èñïîëüçóåì ôîðìóëó (1.1): E[AB] = E[E[AB|X]]. 311 Çàìåòèì, ÷òî B åñòü ôóíêöèÿ îò X , ïîýòîìó âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (1.3): E[E[AB|X]] = E[BE[A|X]]. Íî E[A|X] = E[m(θ) − E[m(θ)|X]|X] = E[m(θ)|X] − E[m(θ)|X] = 0 è E[E[m(θ)|X]|X] = E[m(θ)|X], ñëåäîâàòåëüíî E[AB] = E[B × 0] = 0, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. (iii) Â ðåçóëüòàòå, (4.15) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå E[(m(θ) − a0 − n X aj Xj )2 ] − E[A2 ]. j=1 Çàìåòèì, ÷òî A, à ïîýòîìó è E[A2 ], íå çàâèñèò îò a0 , a1 , . . . , an . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî çíà÷åíèÿ a0 , a1 , . . . , an , ìèíèìèçèðóþùèå (4.15), ñîâïàäàþò ñî çíà÷åíèÿìè a0 , a1 , . . . , an , ìèíèìèçèðóþùèìè E[(m(θ) − a0 − n X aj Xj )2 ], j=1 ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Èòàê, ïîêàçàíî, ÷òî ìîæíî ïðèéòè ê òîìó æå ðåçóëüòàòó, åñëè âìåñòî îïòèìàëüíîé ëèíåéíîé îöåíêè m(θ) èñêàòü îïòèìàëüíóþ ëèíåéíóþ îöåíêó E[m(θ)|X]. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî (i) îïòèìàëüíîñòü ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå ìèíèìèçàöèè êâàäðàòà ðàçíîñòè, è (ii) E[m(θ)|X] ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíîé îöåíêîé m(θ) ñðåäè âñåõ ôóíêöèé îò X è (4.14) äàåò îïòèìàëüíóþ îöåíêó m(θ) ñðåäè âñåõ ëèíåéíûõ ôóíêöèé îò X . 312 8.4 Ìîäåëü 1: îöåíêà ïàðàìåòðîâ Â ýòîì ðàçäåëå áóäåò ðåøåíà çàäà÷à îöåíèâàíèÿ E[m(θ)], E[s2 (θ)] è Var[m(θ)], òåì ñàìûì áóäåò çàâåðøåíî íàõîæäåíèå îöåíêè m(θ) ïî X . Íàì ïîòðåáóåòñÿ ñëåäóþùåå ïðåäïîëîæåíèå: â ðàñïîðÿæåíèè èìååòñÿ íåêîòîðàÿ èíôîðìàöèÿ î ñõîäíûõ, íî íåîáÿçàòåëüíî òàêèõ æå ðèñêàõ. Ýòî òðåáóåò ìåíåå îáùåé ïîñòàíîâêè çàäà÷è, íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèé è íåìíîãî äðóãèõ îáîçíà÷åíèé. Âàæíîå îòëè÷èå ÷èñòî áàéåñîâñêîãî ïîäõîäà ê òåîðèè äîâåðèÿ îò ýìïèðè÷åñêîé òåîðèè äîâåðèÿ Áàéåñà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî â ïåðâîì ñëó÷àå íå òðåáóåòñÿ íèêàêèõ äàííûõ äëÿ îöåíêè ïàðàìåòðîâ. Èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò çàäà÷à îöåíêè ÷èñòîé ïðåìèè, èëè îæèäàåìîãî ÷èñëà èñêîâ, â ìîäåëè èíäèâèäóàëüíîãî ðèñêà (êàê ýòî áûëî â ðàçäåëàõ 4.2 è 4.3) è â ìîäåëè êîëëåêòèâíîãî ðèñêà. Ïîä êîëëåêòèâíûì ðèñêîì ïîíèìàåòñÿ íàáîð ðàçëè÷íûõ ðèñêîâ, ñâÿçü ìåæäó êîòîðûìè áóäåò ðàçúÿñíåíà â äàëüíåéøåì. Äëÿ ïðîñòîòû, ïðåäïîëîæèì, ÷òî èíòåðåñóþùèé íàñ èíäèâèäóàëüíûé ðèñê èìååò íîìåð 1 â ýòîì íàáîðå. Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî äëÿ êàæäîãî èç N ðèñêîâ èìåþòñÿ íàáëþäåíèÿ çà ïîñëåäíèå n ëåò î ñóììàðíîì èñêå èëè ÷àñòîòå ïîäà÷è èñêîâ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Xij ñóììàðíûé èñê (èëè ÷èñëî èñêîâ) äëÿ i-ãî ðèñêà â j -îì ãîäó, i = 1, . . . , N , j = 1, . . . , n. Ñîáåðåì ýòè âåëè÷èíû â òàáëèöó: Òàáëèöà 1 Ãîä 1 2 Íîìåð 1 X11 X12 ðèñêà 2 X21 X22 ... ... ... N XN 1 XN 2 ... n . . . X1n . . . X2n ... ... . . . XN n Êàæäàÿ ñòðîêà Òàáëèöû 1 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàáëþäåíèÿ äëÿ êîíêðåòíîãî ðèñêà; ïåðâàÿ ñòðîêà, îòíîñÿùàÿñÿ ê ðèñêó íîìåð 1, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàáëþäåíèé, êîòîðàÿ â ðàçäåëàõ 4.2 è 4.3 îáîçíà÷àëàñü êàê X . (Çàìåòèì, ÷òî âåëè÷èíû X1 , . . . , Xn èç ðàçäåëîâ 4.2 è 4.3 îáîçíà÷àþòñÿ òåïåðü êàê X11 , . . . , X1n .) Â ðàçäåëå 4.2 áûëè ñäåëàíû ïðåäïîëîæåíèÿ (4.1) è (4.2) î âçàèìîñâÿçè íàáëþäåíèé äëÿ èíäèâèäóàëüíîãî èñêà. Â ýòîì ðàçäåëå áóäóò ñäåëàíû â òî÷íîñòè òå æå ïðåäïîëîæåíèÿ äëÿ êàæäîãî èç N ðèñêîâ. Äëÿ ëþáîãî i = 1, . . . , N : (4.16) ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Xij çàâèñèò îò íåèçâåñòíîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà θi , êîòîðîå ôèêñèðîâàíî äëÿ êàæäîãî j ; 313 (4.17) ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Xij óñëîâíî íåçàâèñèìû îòíîñèòåëüíî θi è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû äëÿ ëþáîãî j = 1, . . . , n. Çàìåòèì, ÷òî ïàðàìåòð ðèñêà θ èç ðàçäåëîâ 4.2 è 4.3 òåïåðü îáîçíà÷àåòñÿ êàê θi , è èç ïðåäïîëîæåíèé ñëåäóåò, ÷òî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ äëÿ ðàçëè÷íûõ ðèñêîâ îòëè÷àþòñÿ. (Íî, ïî-ïðåæíåìó, çíà÷åíèå ïàðàìåòðà äëÿ îäíîãî ðèñêà ãîä îò ãîäà íå ìåíÿåòñÿ.) Ñäåëàííûå ïðåäïîëîæåíèÿ îòðàæàþò íåêîòîðóþ âçàèìîñâÿçü ýëåìåíòîâ êàæäîé ñòðîêè Òàáëèöû 1, íî îíè íå îòðàæàþò ñâÿçåé ìåæäó ñòðîêàìè, òî åñòü ìåæäó ðàçëè÷íûìè ðèñêàìè. Ïîýòîìó íàì ïîòðåáóåòñÿ åùå îäíî ïðåäïîëîæåíèå: (4.18) äëÿ ëþáûõ i 6= k ïàðû (θi , Xij ) è (θk , Xkm ) íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñòðîêè Òàáëèöû 1 íåçàâèñèìû. Èç ïðåäïîëîæåíèÿ (4.18) íåìåäëåííî âûòåêàåò ñëåäóþùåå: (4.19) äëÿ ëþáûõ i 6= k ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Xij è Xkm íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû; (4.20) ïàðàìåòðû ðèñêà θ1 , . . . , θN íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû. Ñâÿçü ìåæäó ðàçëè÷íûìè ðèñêàìè, òî åñòü ìåæäó ñòðîêàìè òàáëèöû, âîçíèêàåò â ðåçóëüòàòå ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî ïàðàìåòðû ðèñêà θ1 , . . . , θN îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû. Ýòî â ñâîþ î÷åðåäü îçíà÷àåò, ÷òî åñëè çíà÷åíèÿ θ2 , θ3 , . . . , θN èçâåñòíû, òî èçâåñòíà íåêîòîðàÿ èíôîðìàöèÿ î ñîâìåñòíîì ðàñïðåäåëåíèè θi , à çíà÷èò, è î θ1 , èëè, â êîíå÷íîì èòîãå, î ðàñïðåäåëåíèè θ1 . Â ðàçäåëå (4.2) áûëè ââåäåíû ôóíêöèè m(·) è s2 (·). Ïðèäåðæèâàÿñü òåõ æå îïðåäåëåíèé ýòèõ ôóíêöèé, ïðèìåíèì èõ ê êîëëåêòèâíîìó ðèñêó: m(θi ) = E[Xij |θi ], s2 (θi ) = Var[Xij |θi ]. Çàìåòèì, ÷òî, êàê è â ðàçäåëàõ 4.2 è 4.3, E[Xij |θi ] è Var[Xij |θi ] íå çàâèñÿò îò j , òàê êàê ïðè ôèêñèðîâàííîì θi ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Xi1 , . . . , Xin îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî, òàê êàê θ1 , . . . , θN îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû, òî E[m(θi )], E[s2 (θi )] è Var[m(θi )] íå çàâèñÿò îò i. À ýòî â òî÷íîñòè òå ïàðàìåòðû, êîòîðûå â ðàçäåëå 4.2 îáîçíà÷àëèñü êàê E[m(θ)], E[s2 (θ)] è Var[m(θ)] è êîòîðûå áóäóò èñïîëüçîâàíû äëÿ ïîëó÷åíèÿ òðåáóåìîé îöåíêè. Îáîçíà÷èì n 1X Xij ÷åðåç Xi n j=1 314 è N 1 X Xi N i=1 N n 1 XX = Xij N n i=1 j=1 ! ÷åðåç X. Çàìåòèì, ÷òî âåëè÷èíà Xi îáîçíà÷àëàñü â ðàçäåëàõ 4.2 è 4.3 êàê X . Âàæíî âèäåòü îòëè÷èå ìåæäó ñîäåðæàíèåì X â ýòîì ðàçäåëå è â ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ. Íîâîå îáîçíà÷åíèå áóäåò èñïîëüçîâàíî äëÿ òîãî, ÷òîáû çàïèñàòü äîâåðèòåëüíóþ îöåíêó ÷èñòîé ïðåìèè (èëè ÷èñëà èñêîâ) â íàñòóïàþùåì ãîäó äëÿ ðèñêà íîìåð 1 â ñëåäóþùåì âèäå: (1 − Z)E[m(θ)] + ZX1 , ãäå (4.21) n 1X X1 = X1j n j=1 è Z= n . E[s2 (θ)] n+ Var[m(θ)] Âàæíî ïîíèìàòü, ÷òî ôîðìóëà (4.21) â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ ôîðìóëîé (4.14), åñëè âìåñòî X è Xj èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ X1 è X1j . Òåïåðü ìîæíî ïîëó÷èòü îöåíêè äëÿ E[m(θ)], E[s2 (θ)] è Var[m(θ)]. Ýòè îöåíêè áóäóò ôóíêöèÿìè {{Xij }nj=1 }N i=1 , ÷üè çíà÷åíèÿ ñòàíóò èçâåñòíû ïîñëå âû÷èñëåíèÿ îöåíêè äëÿ m(θ1 ). Êàæäàÿ ñòðîêà Òàáëèöû 1 ñîîòâåòñòâóåò ôèêñèðîâàííîìó çíà÷åíèþ θ. Ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèÿìè m(θi ) è s2 (θi ), ïîëó÷àåì äëÿ íèõ îöåíêè Xi è n 1 X (Xij − Xi )2 ñîîòâåòñòâåííî. n − 1 j=1 E[m(θ)] ÿâëÿåòñÿ ñðåäíèì (ïî ðàñïðåäåëåíèþ θ) çíà÷åíèé m(θ) äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé θ. Î÷åâèäíîé îöåíêîé äëÿ E[m(θ)] ÿâëÿåòñÿ ñðåäíåå çíà÷åíèå îöåíîê äëÿ m(θi ), i = 1, . . . , N . Äðóãèìè ñëîâàìè, îöåíêîé äëÿ E[m(θ)] ÿâëÿåòñÿ X . Àíàëîãè÷íî, E[s2 (θ)] ÿâëÿåòñÿ ñðåäíèì çíà÷åíèé s2 (θ), ïîýòîìó î÷åâèäíîé îöåíêîé áóäåò ñðåäíåå çíà÷åíèå îöåíîê äëÿ s2 (θi ), à èìåííî: N n 1 X 1 X (Xij − Xi )2 . N i=1 n − 1 j=1 315 Äëÿ êàæäîé ñòðîêè Òàáëèöû 1 Xi ÿâëÿåòñÿ îöåíêîé äëÿ m(θi ), i = 1, . . . , N . Ïîýòîìó ìîæíî áûëî áû ïðåäïîëîæèòü, ÷òî âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ ýòèõ âåëè÷èí, òî åñòü N 1 X (Xi − X)2 , N − 1 i=1 ÿâëÿåòñÿ î÷åâèäíîé îöåíêîé äëÿ Var[m(θ)]. Ê ñîæàëåíèþ, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòà îöåíêà íå ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé. Ìîæíî òàêæå ïîêàçàòü, ÷òî íåñìåùåííàÿ îöåíêà äëÿ Var[m(θ)] ïîëó÷àåòñÿ âû÷èòàíèåì ïîïðàâî÷íîãî ÷ëåíà èç âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè: N N n 1 X 1 X 1 X (Xi − X)2 − (Xij − Xi )2 . N − 1 i=1 N n i=1 n − 1 j=1 Ïîïðàâî÷íûé ÷ëåí ðàâåí îöåíêå äëÿ E[s2 (θ)], äåëåííîé íà n. Èòàê,ïîëó÷åíî ñëåäóþùåå: ïàðàìåòð îöåíêà (4.22) E[m(θ)] X N n P P 1 1 (Xij − Xi )2 (4.23) E[s2 (θ)] N n−1 i=1 (4.24) Var[m(θ)] 1 N −1 N P i=1 j=1 (Xi − X)2 − N1n N P i=1 1 n−1 n P (Xij − Xi )2 j=1 Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî õîòÿ ïàðàìåòð Var[m(θ)] íåîòðèöàòåëåí â ñèëó òîãî, ÷òî îí ÿâëÿåòñÿ äèñïåðñèåé, îöåíêà (4.24) ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ îòðèöàòåëüíîé. Ôîðìóëà (4.24) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàçíîñòü äâóõ ñëàãàåìûõ, êàæäîå èç êîòîðûõ íåîòðèöàòåëüíî, è íà ïðàêòèêå, åñëè îíà îêàçûâàåòñÿ îòðèöàòåëüíîé, òî îöåíêà Var[m(θ)] ïîëàãàåòñÿ ðàâíîé íóëþ. Ñîáñòâåííî ãîâîðÿ, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îöåíêà äëÿ Var[m(θ)] ðàâíà ìàêñèìóìó èç 0 è âåëè÷èíû (4.24). Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî (4.24) äàåò íåñìåùåííóþ îöåíêó, ìàêñèìóì èç 0 è (4.24) íåñìåùåííîé îöåíêîé ÿâëÿòüñÿ íå áóäåò. Îäíàêî, ýòîò ïîäõîä ïîìîãàåò èçáåãàòü áåññìûñëåííûõ îöåíîê äëÿ Var[m(θ)]. Ïàðàìåòð E[s2 (θ)] òîæå äîëæåí áûòü íåîòðèöàòåëüíûì, íî åãî îöåíêà (4.23) è òàê âñåãäà íåîòðèöàòåëüíà, ïîýòîìó íèêàêîé êîððåêöèè íå òðåáóåòñÿ. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îöåíêè äëÿ E[m(θ)], E[s2 (θ)] è Var[m(θ)] ÿâëÿþòñÿ íåñìåùåííûìè. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà âûõîäèò çà ïðåäåëû äàííîãî èçëîæåíèÿ. 316 Ðàññìîòðèì òåïåðü ôîðìóëó (4.13) äëÿ êîýôôèöèåíòà äîâåðèÿ â Ìîäåëè 1. Âõîäÿùèå â ýòó ôîðìóëó âåëè÷èíû èìåþò ñëåäóþùóþ èíòåðïðåòàöèþ: n E[s2 (θ)] Var[m(θ)] êîëè÷åñòâî äàííûõ î ðèñêå; ñðåäíåå îòêëîíåíèå äàííûõ çíà÷åíèé ãîä îò ãîäà äëÿ èíäèâèäóàëüíîãî ðèñêà, òî åñòü ñðåäíåå îòêëîíåíèå ýëåìåíòîâ â ñòðîêàõ Òàáëèöû 1; îòêëîíåíèå ñðåäíèõ çíà÷åíèé äëÿ ðàçëè÷íûõ ðèñêîâ, òî åñòü ñðåäíèõ çíà÷åíèé êàæäîé èç ñòðîê Òàáëèöû 1. Èç ôîðìóëû (4.13) äëÿ Z ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèå íàáëþäåíèÿ: (i) çíà÷åíèÿ Z ëåæàò ìåæäó 0 è 1; (ii) Z ÿâëÿåòñÿ âîçðàñòàþùåé ôóíêöèåé îò n. Ýòî âïîëíå îïðàâäàíî ÷åì áîëüøå èìååòñÿ äàííûõ î ðèñêå, òåì áîëüøå ìû áóäåì íà íèõ ïîëàãàòüñÿ ïðè ïîñòðîåíèè äîâåðèòåëüíîé îöåíêè äëÿ ÷èñòîé ïðåìèè èëè ÷èñëà èñêîâ; (iii) Z ÿâëÿåòñÿ óáûâàþùåé ôóíêöèåé îò E[s2 (θ)]. Ýòî òîæå îïðàâäàíî ÷åì áîëüøå çíà÷åíèå E[s2 (θ)], ïî ñðàâíåíèþ ñ Var[m(θ)], òåì áîëüøå áóäóò îòêëîíÿòüñÿ äàííûå î ðèñêå ïî ñðàâíåíèþ ñ äàííûìè î ñõîæèõ ðèñêàõ. (iv) Z ÿâëÿåòñÿ âîçðàñòàþùåé ôóíêöèåé îò Var[m(θ)]. È ýòî îïðàâäàíî ÷åì áîëüøå çíà÷åíèå Var[m(θ)], ïî ñðàâíåíèþ ñ E[s2 (θ)], òåì áîëüøå áóäóò îòêëîíåíèÿ ìåæäó ðàçëè÷íûìè ðèñêàìè, è, ñëåäîâàòåëüíî, òåì ìåíüøå áóäåò èõ ñõîäñòâî ñ ðàññìàòðèâàåìûì ðèñêîì è òåì ìåíüøå ìû áóäåì ïîëàãàòüñÿ íà äàííûå îá ýòèõ ðèñêàõ. Èòàê, â ýòîì ðàçäåëå ïîÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîå ïðîòèâîðå÷èå. Â ðàçäåëå 2.2 áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî êîýôôèöèåíò äîâåðèÿ íå äîëæåí çàâèñåòü îò äàííûõ îá îöåíèâàåìîì ðèñêå. Îäíàêî, ýòè äàííûå èñïîëüçóþòñÿ ïðè îöåíêå Var[m(θ)] è E[s2 (θ)], ÷üè çíà÷åíèÿ çàòåì èñïîëüçóþòñÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ Z . Ïðîòèâîðå÷èå îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî êîýôôèöèåíò äîâåðèÿ Z , îïðåäåëÿåìûé ôîðìóëîé (4.21), â ïðèíöèïå, íå çàâèñèò îò ôàêòè÷åñêèõ äàííûõ îá îöåíèâàåìîì ðèñêå. Íî, ê ñîæàëåíèþ, â ôîðìóëó âõîäÿò äâà ïàðàìåòðà, Var[m(θ)] è E[s2 (θ)], çíà÷åíèÿ êîòîðûõ íåèçâåñòíû, íî ìîãóò áûòü íà ïðàêòèêå îöåíåíû ïî äàííûì î ðèñêå è î äðóãèõ ñõîæèõ ðèñêàõ. Ïðîêîììåíòèðóåì òåïåðü ïðåäïîëîæåíèÿ, ñäåëàííûå â ýòîé ìîäåëè. Ïðåäïîëîæåíèÿ êàñàëèñü òîãî, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Xij îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû êàê äëÿ îäíîãî ðèñêà, òàê è äëÿ ðàçëè÷íûõ ðèñêîâ. 317 Åñëè ðàññìàòðèâàòü Xij äëÿ ðàçëè÷íûõ ðèñêîâ, òî ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî îíè îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû (ñì.(4.19)). Åñëè ðàññìàòðèâàòü Xij äëÿ i-ãî ðèñêà, òî ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî îíè îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû (ñì.(4.3)) è óñëîâíî îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû îòíîñèòåëüíî θi (ñì.(4.2) è (4.17)). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî E[Xij |θi ] è Var[Xij |θi ] íå çàâèñÿò îò j . Ýòè ïðåäïîëîæåíèÿ áûëè íåîáõîäèìû äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíêè (4.21). Íà ñàìîì äåëå, ïðåäïîëîæåíèÿ (4.17) è (4.18) (è ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåäïîëîæåíèå (4.2) â ðàçäåëå 4.2) ìîæíî çàìåíèòü ñëåäóþùèìè, ÷òî ïîçâîëèò ïîëó÷èòü òó æå îöåíêó. (4.25) Îòíîñèòåëüíî θi ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Xij , j = 1, . . . , n íåçàâèñèìû äëÿ ëþáîãî i = 1, . . . , N ; (4.26) äëÿ ëþáûõ i 6= k ïàðû (θi , Xij ) è (θk , Xkl ) íåçàâèñèìû è ïàðàìåòðû ðèñêà θ1 , . . . , θN îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû; (4.27) äëÿ ëþáîãî i = 1, . . . , N E[Xij |θi ] è Var[Xij |θi ] íå çàâèñÿò îò j . Ïðåäïîëîæåíèÿ (4.25) è (4.26) ÿâëÿþòñÿ îñëàáëåííûìè âàðèàíòàìè (4.17) è (4.18). Ïðåäïîëîæåíèå (4.27) äîáàâëåíî â ñèëó òîãî, ÷òî îíî íå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì (4.25) è (4.26). Âñå ïîëó÷åííûå â ïàðàãðàôå 4 ðåçóëüòàòû ïðè ýòîì ñîõðàíÿþòñÿ, à èçëîæåíèå ñòàíîâèòñÿ íåñêîëüêî ïðîùå. Êðîìå òîãî, ýòî ïîìîæåò ñâÿçàòü Ìîäåëü 1 ñ Ìîäåëüþ 2 ïàðàãðàôà 5. 9 Ýìïèðè÷åñêàÿ òåîðèÿ äîâåðèÿ Áàéåñà: Ìîäåëü 2 9.1 Ââåäåíèå Â ýòîì ïàðàãðàôå ïðèåìû ýìïèðè÷åñêîé òåîðèè äîâåðèÿ Áàéåñà áóäóò ïðèìåíåíû êî âòîðîé, íåìíîãî áîëåå ñëîæíîé, ìîäåëè. Ñòèëü èçëîæåíèÿ áóäåò â òî÷íîñòè òàêèì æå, êàê è â ïàðàãðàôå 4. Â ðàçäåëå 5.2 áóäåò ïîñòàâëåíà çàäà÷à è ñäåëàíû ïðåäïîëîæåíèÿ. Çàäà÷à áóäåò çàêëþ÷àòüñÿ â òîì æå, à èìåííî, â îöåíêå ÷èñòîé ïðåìèè èëè îæèäàåìîãî ÷èñëà èñêîâ â íàñòóïàþùåì ãîäó. Ïðåäïîëîæåíèÿ áóäóò íåìíîãî îòëè÷àòüñÿ îò ïðåäïîëîæåíèé ïàðàãðàôà 4. Çàòåì â ðàçäåëå 5.3 áóäåò ïîëó÷åíà äîâåðèòåëüíàÿ îöåíêà äëÿ ÷èñòîé ïðåìèè èëè îæèäàåìîãî ÷èñëà èñêîâ. Íàêîíåö, â ðàçäåëå 5.4 áóäåò ðàññìîòðåí ìåòîä îöåíèâàíèÿ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ, âõîäÿùèõ â äîâåðèòåëüíóþ îöåíêó. 318 9.2 Ìîäåëü 2: îïèñàíèå Çàäà÷à ñîñòîèò â îöåíêå îæèäàåìîãî ñóììàðíîãî èñêà (èëè îæèäàåìîãî ÷èñëà èñêîâ) â íàñòóïàþùåì ãîäó äëÿ äàííîãî èñêà. Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Y1 , Y2 , . . . ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñóììàðíûå èñêè (èëè çíà÷åíèÿ ÷èñëà èñêîâ) â ðàçíûå ïåðèîäû ðàññìàòðèâàåìîãî ðèñêà. Íåîáõîäèìî îöåíèòü Yn+1 ïî íàáëþäåíèÿì Y1 , . . . , Yn . Ïîêà çàäà÷à âûãëÿäèò â òî÷íîñòè, êàê â ïàðàãðàôå 4. Âàæíûì îòëè÷èåì Ìîäåëè 2 îò Ìîäåëè 1 ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî â íåå âõîäèò äîïîëíèòåëüíûé ïàðàìåòð Pj óðîâåíü ðèñêà. Çíà÷åíèå Pj îòðàæàåò ñòåïåíü çàíÿòîñòè â ãîäó j . Íàïðèìåð, Pj ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ïðåìèàëüíûé äîõîä îò ðèñêà â ãîäó j èëè ÷èñëî îòäåëüíûõ ïîëèñîâ ïî äàííîìó ðèñêó â ãîäó j . Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî çíà÷åíèå Pn+1 â íà÷àëå ãîäà n + 1 ïðåäïîëàãàåòñÿ èçâåñòíûì. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1 , X2 , . . ., îïðåäåëÿåìûõ êàê Yj j = 1, 2, . . . Xj = Pj Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Xj ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììàðíûé èñê (èëè ÷èñëî èñêîâ) â ãîäó j , íîðìèðîâàííûé ñ öåëüþ óñòðàíåíèÿ ðàçëè÷èé ìåæäó óðîâíÿìè ðèñêà. Ïðåäïîëîæåíèÿ, õàðàêòåðíûå äëÿ Ìîäåëè 2, ñëåäóþùèå: (5.1) ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Xj çàâèñèò îò çíà÷åíèÿ íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà θ, îäèíàêîâîãî äëÿ êàæäîãî j ; (5.2) äëÿ çàäàííîãî θ ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Xj íåçàâèñèìû (íî íåîáÿçàòåëüíî îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû); (5.3) E[Xj |θ] íå çàâèñèò îò j ; (5.4) Pj Var[Xj |θ] íå çàâèñèò îò j . Êàê è â ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ,θ ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì ðèñêà è, êàê è â Ìîäåëè 1, ìîæåò áûòü äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëîì, ëèáî âåêòîðîì äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Ïðåäïîëîæåíèå (5.1) ÿâëÿåòñÿ ñòàíäàðòíûì äëÿ âñåõ ðàññìàòðèâàåìûõ çäåñü ìîäåëåé. Ïðåäïîëîæåíèå (5.2) ñîîòâåòñòâóåò ïðåäïîëîæåíèþ (4.2) â Ìîäåëè 1, íî íåìíîãî ñëàáåå, ÷åì (4.2). Â ïðåäïîëîæåíèè (5.2) íå òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Xj áûëè óñëîâíî îòíîñèòåëüíî θ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû. Â Ìîäåëè 2 òàêæå íåò ïðåäïîëîæåíèÿ î òîì, ÷òî Xj óñëîâíî èëè áåçóñëîâíî îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû. Çàìåòèì, ÷òî åñëè âñå Pj = 1, òî Ìîäåëü 2 â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ Ìîäåëüþ 1. 319 Èìåÿ ïðåäïîëîæåíèÿ (5.3) è (5.4), îïðåäåëèì m(θ) = E[Xj |θ], s2 (θ) = Pj Var[Xj |θ]. Îïðåäåëåíèå m(θ) â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ îïðåäåëåíèåì â Ìîäåëè 1, íî îïðåäåëåíèå s2 (θ) íåìíîãî îòëè÷àåòñÿ. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ëó÷øå ïîíÿòü ïðåäïîëîæåíèÿ (5.3) è (5.4), ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ïðèìåð. Ïóñòü ðèñê ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê íàáîð ðàçëè÷íîãî â êàæäîì ãîäó ÷èñëà ïîëèñîâ, è ÷èñëî ïîëèñîâ â ãîäó j ðàâíî Pj . Ïóñòü òàêæå ñóììàðíûé èñê ïî îäíîìó ïîëèñó â îäíîì ãîäó èìååò ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå m(θ) è äèñïåðñèþ s2 (θ), ãäå m(·) è s2 (·) ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè îò θ, ãäå θ íåèçâåñòíûé ôèêñèðîâàííûé ïàðàìåòð ðèñêà äëÿ âñåõ ïîëèñîâ. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Yj ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììàðíûé èñê ïî âñåì ïîëèñàì â ãîäó j . Òîãäà: E[Yj ] = Pj m(θ), Var[Yj ] = Pj s2 (θ), E[Xj ] = m(θ), Pj Var[Xj ] = s2 (θ). Ýòîò ïðèìåð óäîâëåòâîðÿåò ïðåäïîëîæåíèÿì (5.3) è (5.4). 9.3 Ìîäåëü 2: ïîëó÷åíèå ñòðàõîâîé ïðåìèè Â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå áûëà äîâîëüíî øèðîêî ïîñòàâëåíà çàäà÷à îöåíèâàíèÿ îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ Yn+1 ïî äàííûì Y1 , . . . , Yn . Óòî÷íèì äàííóþ ïîñòàíîâêó. Òðåáóåòñÿ îöåíèòü âåëè÷èíó ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ Yn+1 äëÿ çàäàííîãî θ, òî åñòü Pn+1 m(θ). Òàê êàê çíà÷åíèå Pn+1 èçâåñòíî â íà÷àëå ãîäà n+1, òî çàäà÷à ñîñòîèò â îöåíêå m(θ). Èçâåñòíû çíà÷åíèÿ Yj è ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ Pj äëÿ âñåõ j = 1, . . . , n. Äëÿ óäîáñòâà, îáîçíà÷èì èõ ÷åðåç X . Êàê è â ïàðàãðàôå 4, òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü îöåíêó, ëèíåéíóþ ïî X , è â êà÷åñòâå ëèíåéíîé îöåíêè äëÿ m(θ), îïòèìàëüíîé â ñðåäíåêâàäðàòè÷íîì ñìûñëå, áóäåò âûáðàíà ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ îò X1 , . . . , Xn . (Çàìåòèì, ÷òî ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ îò X1 , . . . , Xn ÿâëÿåòñÿ òàêæå ëèíåéíîé ôóíêöèåé îò Y1 , . . . , Yn .) Èòàê, çàäà÷à ñîñòîèò â îöåíêå m(θ) ôóíêöèåé âèäà a0 + a1 X1 + . . . + an Xn , ãäå a0 , . . . , an ìèíèìèçèðóþò E[(m(θ) − a0 − a1 X1 − . . . − an Xn )2 ]. 320 (5.5) Çàäà÷à ïîñòàâëåíà â òîé æå ôîðìå, ÷òî è â ïàðàãðàôå 4, íî îïðåäåëåíèÿ Xj è íåêîòîðûå ïðåäïîëîæåíèÿ ðàçëè÷àþòñÿ. Ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷è áóäåò òåì æå: äèôôåðåíöèðóåì (5.5) ïî a0 , . . . , an è ïðèðàâíèâàåì ïðîèçâîäíûå ê íóëþ. Íèæå ïðèâåäåíû íåêîòîðûå òåõíè÷åñêèå ðåçóëüòàòû, êîòîðûå ïîìîãóò ðåøèòü ýòó çàäà÷ó. (i) Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ (1.1), (1.3) è îïðåäåëåíèå m(θ), èìååì: E[Xj m(θ)] = E[E[Xj m(θ)|θ]] = E[m(θ)E[Xj |θ]] = E[m2 (θ)] = Var[m(θ)]+(E[m(θ)])2 . (ii) Èñïîëüçóÿ (1.1) è òîò ôàêò, ÷òî Xj è Xk ïðè óñëîâèè θ íåçàâèñèìû ïðè j 6= k , èìååì: E[Xj Xk ] = E[E[Xj Xk |θ]] = E[E[Xj |θ]E[Xk |θ]] = E[m2 (θ)] = Var[m(θ)]+(E[m(θ)])2 . (iii) Èñïîëüçóÿ (1.1) è îïðåäåëåíèå s2 (θ), èìååì: E[Xj2 ] = E[E[Xj2 |θ]] = E[Var[Xj |θ]+(E[Xj |θ])2 ] = = 1 E[s2 (θ)]+E[m2 (θ)] = Pj 1 E[s2 (θ)] + Var[m(θ)] + (E[m(θ)])2 . Pj Òåïåðü, ∂ E[(m(θ) − a0 − a1 X1 − a2 X2 − . . . − an Xn )2 ] = 0, ∂a0 òî åñòü E[m(θ) − a0 − a1 X1 − a2 X2 − . . . − an Xn ] = 0. Îòñþäà, ïî îïðåäåëåíèþ m(θ), ïîëó÷àåì: a0 = E[m(θ)] 1 − n X ! aj . (5.6) j=1 Òåïåðü äèôôåðåíöèðóåì ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå ïî ak , k = 1, . . . , n: ∂ E[(m(θ) − a0 − a1 X1 − a2 X2 − . . . − an Xn )2 ] = 0 =⇒ ∂ak E[Xk (m(θ) − a0 − a1 X1 − a2 X2 − . . . − an Xn )] = 0. 321 Ðàñêðûâàåì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è ïîäñòàâëÿåì óæå âû÷èñëåííûå ðàíåå âûðàæåíèÿ. Â èòîãå: n X 1 Var[m(θ)]+(E[m(θ)]) −a0 E[m(θ)]− aj (Var[m(θ)]+(E[m(θ)])2 )− E[s2 (θ)] = 0, Pk j=1 2 êîòîðîå, ñ ó÷åòîì (5.6) ïðåîáðàçîâûâàåòñÿ ê âèäó ! n X Pk Var[m(θ)] 1− ak = aj . E[s2 (θ)] j=1 (5.7) Ñóììèðóÿ îáå ÷àñòè âûðàæåíèÿ (5.7) ïî âñåì k îò 1 äî n, ïîëó÷àåì: ! ! n n n X X X Var[m(θ)] ak = Pj 1− aj . E[s( θ)] j=1 j=1 k=1 Ðàçðåøàÿ ýòî óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî a1 + . . . + an è ïîäñòàâëÿÿ åãî â (5.6) è (5.7), èìååì: a0 = E[m(θ)]E[s2 (θ)] n P Var[m(θ)] Pj + E[s2 (θ)] (5.8) j=1 ak = Pk Var[m(θ)] n P Var[m(θ)] Pj + E[s2 (θ)] (5.9) j=1 Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ äëÿ a0 è ak , k = 1, . . . , n â îáùèé âèä îöåíêè m(θ) a0 + a1 X1 + a2 X2 + . . . + an Xn ïîëó÷àåì ðåøåíèå íàøåé çàäà÷è, òî åñòü îïòèìàëüíóþ â ñðåäíåêâàäðàòè÷íîì ñìûñëå ëèíåéíóþ îöåíêó m(θ) ïî íàáëþäåíèÿì X: E[m(θ)]E[s2 (θ)] + Var[m(θ)] n P Yj j=1 Var[m(θ)] n P +E[s2 (θ)] j=1 Ýòà ôîðìóëà ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíà â áîëåå ïðèâëåêàòåëüíîé ôîðìå: ZX + (1 − Z)E[m(θ)], 322 (5.10) ãäå n P Pj Xj j=1 X= P n Pj j=1 è Var[m(θ)] n P Pj j=1 Z= Var[m(θ)] n P Pj . + E[s2 (θ)] j=1 Ýòîò ðåçóëüòàò ïîêàçûâàåò ñõîäñòâà è ðàçëè÷èÿ ñ ðåçóëüòàòàìè, ïîëó÷åííûìè äëÿ Ìîäåëè 1. Íèæå ïðèâåäåíû íåêîòîðûå çàìå÷àíèÿ îòíîñèòåëüíî ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è: (i) Çíà÷åíèÿ ak íå îáÿçàòåëüíî îäèíàêîâû äëÿ âñåõ k = 1, . . . , n. Ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî Ìîäåëü 2 íå ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî Xk , êàê Ìîäåëü 1, è ýòî íåóäèâèòåëüíî, âåäü êàæäûé ãîä óðîâåíü ðèñêà ìåíÿåòñÿ. Åñëè âñå Pk îäèíàêîâû, òî ìîäåëü ñèììåòðè÷íà, è, êàê ñëåäóåò èç (5.9), ak òàêæå îäèíàêîâû, k = 1, . . . , n. Îäíàêî æ, åñëè âñå Pk îäèíàêîâû, òî Ìîäåëü 2 ýêâèâàëåíòíà Ìîäåëè 1. (ii) Åñëè âñå Pk îäèíàêîâû è ðàâíû 1, òî ðåøåíèå (5.10) â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ ðåøåíèåì (4.14) è Ìîäåëü 2 ïîëíîñòüþ ñîâïàäàåò ñ Ìîäåëüþ 1. (iii) Êàê è äëÿ Ìîäåëè 1, ðåøåíèå (5.10) âêëþ÷àåò â ñåáÿ òðè ïàðàìåòðà: E[m(θ)], Var[m(θ)] è E[s2 (θ)]. Îöåíêà ýòèõ âåëè÷èí áóäåò ïðîâåäåíà â ñëåäóþùåì ðàçäåëå. 9.4 Ìîäåëü 2: îöåíêà ïàðàìåòðîâ Ïðîöåäóðà îöåíêè ïàðàìåòðîâ E[m(θ)], Var[m(θ)] è E[s2 (θ)] ïîëíîñòüþ ïîâòîðÿåò àíàëîãè÷íóþ ïðîöåäóðó, ïðîâåäåííóþ äëÿ Ìîäåëè 1 â ðàçäåëå 4.4. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ðèñê, êîòîðûé íàñ èíòåðåñóåò, ïðèíàäëåæèò ñîâîêóïíîñòè N ðèñêîâ, è ÷òî äëÿ êàæäîãî èç N ðèñêîâ è êàæäîãî èç n ïðîøåäøèõ ëåò ñóùåñòâóþò äàííûå â ôîðìå, äàííîé â ðàçäåëå 5.2. Ýòè äàííûå ñîñòîÿò èç çíà÷åíèé ñóììàðíîãî èñêà, èëè ÷èñëà èñêîâ, è ñîâïàäàþò ñ ðàçìåðîì ðèñêà. Ïóñòü Yij ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèå ñóììàðíîãî èñêà, èëè ÷èñëà èñêîâ, äëÿ ðèñêà i â ãîä j , è ïóñòü Pij ñîîòâåòñòâóþùèé óðîâåíü ðèñêà, i = 1, . . . , N , j = 1, . . . , n. 323 Äëÿ êàæäûõ i è j îïðåäåëèì Xij = Yij . Pij Äàííûå, ïðèâåäåííûå â ñëåäóþùåé òàáëèöå, ñîîòíîñÿòñÿ ñ äàííûìè äëÿ Ìîäåëè 1: Ãîä Íîìåð ðèñêà 1 2 . . N 1 Y11 , P11 Y21 , P21 . . YN 1 , PN 1 2 Y12 , P12 Y22 , P22 . . YN 2 , PN 2 ... ... ... ... ... ... n Y1n , P1n Y2n , P2n . . YN n , PN n Ïðåäïîëîæèì, êàê è â ðàçäåëå 4.4, ÷òî èíòåðåñóþùèé íàñ ðèñê ðèñê ïîä íîìåðîì 1. Ýòî çíà÷èò, ÷òî èçó÷àåìûå ðàíåå îáúåêòû Yj , Pj è Xj òåïåðü îáîçíà÷åíû êàê Y1j , P1j è X1j ñîîòâåòñòâåííî. Ðåøåíèå çàäà÷è îöåíêè X1,n+1 óæå ïðèâåäåíî â (5.10), ñ òî÷íîñòüþ äî ââåäåííûõ òîëüêî ÷òî îáîçíà÷åíèé. Ðèñêè ñ íîìåðàìè 2, . . . , N íóæíû òîëüêî ëèøü äëÿ òîãî, ÷òîáû îöåíèòü ïàðàìåòðû E[m(θ)], Var[m(θ)] è E[s2 (θ)], êîòîðûå ïðèñóòñòâóþò â âûðàæåíèè (5.10). Ðèñêè 2, . . . , N óäîâëåòâîðÿþò òåì æå ïðåäïîëîæåíèÿì ((5.1),(5.2),(5.3) è (5.4)), ÷òî è ðèñê ïîä íîìåðîì 1. Ýòè ïðåäïîëîæåíèÿ ñëåäóþùèå. Äëÿ êàæäîãî ðèñêà i, i = 2, . . . , N , âûïîëíåíî: (5.11) ðàñïðåäåëåíèå êàæäîãî Xij , j = 1, . . . , n, çàâèñèò òîëüêî îò ïàðàìåòðà θi , êîòîðûé îäèíàêîâ äëÿ âñåõ j , íî, òåì íå ìåíåå, íåèçâåñòåí; (5.12) Xij íåçàâèñèìû ïðè óñëîâèè θi ; (5.13) ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ m(.) òàêàÿ, ÷òî m(θi ) = E[Xij |θi ]; (5.14) ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ s2 (.) òàêàÿ, ÷òî s2 (θi ) = Pij Var[Xij |θi ]. Ñëåäóþùèå äâà ïðåäïîëîæåíèÿ, êîòîðûå ñîîòíîñÿòñÿ ñ (4.18), (4.19) è (4.20), ïîêàçûâàþò, êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ðàññìàòðèâàåìûå ðèñêè. (5.15) Ïàðàìåòðû ðèñêà θ1 , . . . , θN ñ÷èòàþòñÿ íåçàâèñèìûìè îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè. 324 (5.16) Äëÿ i 6= k ïàðû (θi , Xij ) è (θk , Xkm ) íåçàâèñèìû. Çàìåòèì, ÷òî òàê êàê θi îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû, òî âåëè÷èíû E[m(θi )], Var[m(θi )] è E[s2 (θi )] íå çàâèñÿò îò i è ìîãóò áûòü îáîçíà÷åíû êàê E[m(θ)], Var[m(θ)] è E[s2 (θ)], êàê è â ðàçäåëàõ 5.2 è 5.3. Ââåäåì íåêîòîðûå îáîçíà÷åíèÿ. (5.17) Pi = n X Pij j=1 (5.18) P = N X Pi i=1 (5.19) N X Pi 1 Pi 1 − P = N n − 1 i=1 P ∗ (5.20) n 1 X Xi = Pij Xij P i j=1 (5.21) X= N N n 1 X 1 XX P iX i = Pij Xij . P i=1 P i=1 j=1 Çàìåòèì, ÷òî X â ôîðìóëå (5.10) è X 1 ñóòü îäíî è òî æå, è ÷òî X òåïåðü îïðåäåëÿåòñÿ äðóãèì âûðàæåíèåì. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî X i è X âçâåøåííûå ñðåäíèå âåëè÷èí Xij ñ âåñàìè Pij . Äîâåðèòåëüíàÿ îöåíêà ÷èñòîé ïðåìèè, èëè ÷èñëà èñêîâ, â ãðÿäóùåì ãîäó äëÿ ðèñêà ïîä íîìåðîì 1, äàííàÿ âûðàæåíèåì (5.10), â íîâûõ îáîçíà÷åíèÿõ ïåðåïèñûâàåòñÿ òåïåðü â âèäå ZX 1 + (1 − Z)E[m(θ)], ãäå n P P1j X1j j=1 X1 = P n Var[m(θ)] , P1j (5.22) n P P1j j=1 Z= Var[m(θ)] j=1 n P j=1 325 P1j + E[s2 (θ)] . Íåñìåùåííûå îöåíêè äëÿ E[m(θ)], Var[m(θ)] è E[s2 (θ)] ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç èçâåñòíûõ çíà÷åíèé Yij è Pij . Îöåíêîé äëÿ E[m(θ)] áóäåò X. (5.23) N X n X 1 Pij (Xij − X i )2 . N (n − 1) i=1 j=1 (5.24) Îöåíêîé äëÿ E[s2 (θ)] áóäåò Îöåíêîé äëÿ Var[m(θ)] áóäåò 1 P∗ N X n N X n X X 1 1 2 Pij (Xij − X) − Pij (Xij − X i )2 N n − 1 i=1 j=1 N (n − 1) i=1 j=1 ! . (5.25) Ñäåëàåì íåêîòîðûå çàìå÷àíèÿ ïî ïîâîäó ýòèõ îöåíîê. (i) Ýòè îöåíêè âûïèñàíû òî÷íî â òàêîé æå ôîðìå, êàê è àíàëîãè÷íûå îöåíêè äëÿ Ìîäåëè 1 (4.22), (4.23) è (4.24). Â ÷àñòíîñòè, åñëè âñå Pij ðàâíû 1, òî îöåíêè äâóõ ìîäåëåé ñîâïàäàþò. (ii) Íà ïðàêòèêå ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ, ÷òî îöåíêà Var[m(θ)] áóäåò îòðèöàòåëüíîé, òîãäà êàê äèñïåðñèÿ äîëæíà áûòü íåîòðèöàòåëüíîé. Â òàêèõ ñëó÷àÿõ ñ÷èòàþò, ÷òî îöåíêà Var[m(θ)] ðàâíà íóëþ. (iii) Ôîðìóëû (5.23), (5.24) è (5.25) îïðåäåëÿþòñÿ èç òàáëèö. (iv) Äîêàçàòåëüñòâî íåñìåùåííîñòè ýòèõ îöåíîê âûõîäèò çà ðàìêè êóðñà. 326 ×àñòü VII 327 Ãëàâà 12 Âðåìåííûå ðÿäû Öåëè ãëàâû Ê êîíöó äàííîé ãëàâû âû áóäåòå óìåòü: • îïðåäåëÿòü è îïîçíàâàòü îñíîâíûå âèäû ïðîöåññîâ âðåìåííûõ ðÿäîâ, äåéñòâóþùèõ â äèñêðåòíîì âðåìåíè; • îïðåäåëÿòü è âû÷èñëÿòü àâòîêîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè; • îáúÿñíÿòü ñòàöèîíàðíîñòü è äèôôåðåíöèðîâàíèå âðåìåííûõ ðÿäîâ. 1 Ââåäåíèå Âðåìåííîé ðÿä ýòî ïðîñòî ðÿä çíà÷åíèé ñîîòâåòñòâóþùèé ñäåëàííûì èçìåðåíèÿì â ðàçëè÷íûå ìîìåíòû âðåìåíè. Âðåìåííîé ðÿä ìîæåò áûòü ìíîæåñòâîì äàííûõ, ïîëó÷åííûõ â ðåçóëüòàòå ôàêòè÷åñêèõ èçìåðåíèé "ðåàëüíîé" äåÿòåëüíîñòè èëè ìîæåò áûòü ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ èëè êîìïüþòåðíûì ìîäåëèðîâàíèåì ýòîé äåÿòåëüíîñòè. Âðåìåííîé ðÿä ìîæåò ôóíêöèîíèðîâàòü â äèñêðåòíîì âðåìåíè, åñëè èçìåðåíèÿ ìîãóò áûòü ñäåëàíû òîëüêî â äèñêðåòíûå èíòåðâàëû âðåìåíè (íàïðèìåð, RPI, ïóáëèêóåìûå åæåìåñÿ÷íî) èëè â íåïðåðûâíîì âðåìåíè, åñëè çíà÷åíèÿ ýôôåêòèâíî äîñòèæèìû íåïðåðûâíî (íàïðèìåð, FTSE ïîêàçàòåëè îáíîâëÿþòñÿ êàæäûå 2 ìèíóòû â òå÷åíèå ÷àñà òîðãîâëè ïðîèçâîäñòâåííîé äåÿòåëüíîñòè). Â ýòîé ãëàâå ìû áóäåì èíòåðåñîâàòüñÿ ïðîöåññàìè âðåìåííûõ ðÿäîâ, ôóíêöèîíèðóþùèõ â äèñêðåòíîì âðåìåíè. Ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ, êîòîðûé ìû ðàññìàòðèâàëè â ãëàâå 5, ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîì íåïðåðûâíîãî âðåìåííîãî ðÿäà. 328 Íàøè îñíîâíûå èíòåðåñû, ñâÿçàííûå ñ âðåìåííûìè ðÿäàìè, ñâÿçàíû ñ ïðèëîæåíèÿìè â ýêîíîìèêå, îáùåì ñòðàõîâàíèè è äåìîãðàôèè, íàïðèìåð, äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ýêîíîìè÷åñêèõ ïîêàçàòåëåé, öåí òîâàðîâ, ïðîöåíòíûõ ñòàâîê, ïðîèçâîäñòâà â ñòðàíå, êîëè÷åñòâà ñòðàõîâûõ èñêîâ, êîëè÷åñòâà ñìåðòåé îò ðàçëè÷íûõ ïðè÷èí, êîëè÷åñòâî áåçðàáîòíûõ â îòäåëüíûõ îòðàñëÿõ ïðîìûøëåííîñòè. Îäíàêî, âðåìåííûå ðÿäû àêòèâíî ïðèìåíÿþòñÿ è â äðóãèõ îáëàñòÿõ, òàêèõ êàê ýïèäåìèîëîãèÿ (íàïðèìåð, äëÿ ïëàíèðîâàíèÿ ïðîãðàìì âàêöèíàöèè), ñîöèàëüíîå ïëàíèðîâàíèå (íàïðèìåð, ñêîëüêî øêîë/ó÷èòåëåé/âðà÷åé òðåáóåòñÿ), ãðàæäàíñêîå ñòðîèòåëüñòâî (ñêîëüêî ìàøèí áóäåò ïîëüçîâàòüñÿ îïðåäåëåííûìè äîðîãàìè). Öåëü èçó÷åíèÿ âðåìåííûõ ðÿäîâ îïîçíàâàòü ðàáîòó ôóíäàìåíòàëüíûõ ïðîöåññîâ. Ïîíèìàíèþ ýòèõ ïðîöåññîâ ìîæåò ñïîñîáñòâîâàòü ïðîãíîçèðóåìûå â áóäóùåì ïðîöåíòíûå ñòàâêè, èíôëÿöèÿ, êîýôôèöèåíòû ñìåðòíîñòè, êîëè÷åñòâî ñòðàõîâûõ èñêîâ è ò. ä. Âðåìåííûå ðÿäû èìåþò ïðèëîæåíèÿ â ýêîíîìè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè è â îáùåì ñòðàõîâàíèè äëÿ îïðåäåëåíèÿ èçìåíåíèé ìîäåëåé èñêîâ, îöåíîê ðåçåðâíîãî ôîíäà è ïðåìèé. Âû ìîæåòå çàõîòåòü ðàññìîòðåòü ñâîéñòâà êîâàðèàöèé (èç ãëàâû 4 ðàçäåë C1) è äèñïåðñèé ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (èç ãëàâû 5 ðàçäåë C1), êîòîðûå ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü â ýòîé ãëàâå. 2 Êîìïîíåíòû àääèòèâíîãî âðåìåííîãî ðÿäà 2.1 Îïðåäåëåíèå êîìïîíåíò àääèòèâíîãî âðåìåííîãî ðÿäà Îáúÿñíÿåò, ÷òî ýòî îçíà÷àåò ïî ïðèíöèïó íàïðàâëåííîé, ïåðèîäè÷åñêîé, ñåçîííîé è íåðåãóëÿðíîé êîìïîíåíò. Íà ïðàêòèêå âðåìåííûå ðÿäû ÷àñòî ìîæíî ðàçáèòü íà ÷åòûðå êîìïîíåíòû, ïðåäñòàâëÿþùèå äèñïåðñèþ ðàçëè÷íûõ ÷àñòîò. Êîìïîíåíòû àääèòèâíîãî âðåìåííîãî ðÿäà Âðåìåííîé ðÿä Xt , t = 1, 2, 3, . . . ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ñóììà ÷åòûðåõ êîìïîíåíò: Xt = Íàïðt + Ïåðt + Ñåçt + Ñëó÷t ãäå Íàïðt îáîçíà÷àåò îñíîâíóþ íàïðàâëåííóþ è 329 Ïåðt , Ñåçt , Ñëó÷t îáîçíà÷àþò ïåðèîäè÷åñêóþ, ñåçîííóþ è ñëó÷àéíóþ êîìïîíåíòû. Ðÿä = Íàïðàâëåííàÿ + Ïåðèîäè÷åñêàÿ + Ñåçîííàÿ + Ñëó÷àéíàÿ Íàïðàâëåííàÿ êîìïîíåíòà ( Íàïðt ) Ìíîãèå âðåìåííûå ðÿäû îòîáðàæàþò íàïðàâëåííîñòü, òî åñòü äîëãîñðî÷íîå äâèæåíèå îñíîâíîé ñòåïåíü çíà÷èìîñòè. Íàïðàâëåííîñòè âîçíèêàþò â ðåçóëüòàòå ôóíäàìåíòàëüíûõ èçìåíåíèé ïåðâîïðè÷èí. Íàïðèìåð: • Êîëè÷åñòâî ñìåðòåé â ðåçóëüòàòå îïðåäåëåííûõ áîëåçíåé ìîæåò íåóêëîííî ñíèæàòüñÿ âñëåäñòâèå äîñòèæåíèé ìåäèöèíû. • Ýêîíîìè÷åñêèå èçìåðåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ óðîâíåì æèçíè (íàïðèìåð, óðîâíè âûïëàò, ïðîèçâîäñòâî â ñòðàíå), ìîãóò íåóêëîííî âîçðàñòàòü â ðåçóëüòàòå óâåëè÷åíèÿ ïðîèçâîäèòåëüíîñòè. • Êîëè÷åñòâî íåñ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ ìîæåò íåóêëîííî ñíèæàòüñÿ â ðåçóëüòàòå óëó÷øåíèé áåçîïàñíîñòè ìåðîïðèÿòèé èëè áîëüøåé îáùåñòâåííîé èíôîðìèðîâàííîñòè îá îòäåëüíûõ ðèñêàõ. Íàïðàâëåííîñòü äîëæíà äåéñòâîâàòü â îäíîì íàïðàâëåíèè (òî åñòü ââåðõ èëè âíèç) â òå÷åíèå ðàññìàòðèâàåìîãî ïåðèîäà, íî îíà íå îáÿçàòåëüíî äîëæíà áûòü ëèíåéíîé. Íàïðàâëåííîñòè îáû÷íî ìîæíî óäàëèòü äèôôåðåíöèðîâàíèåì. Ïåðèîäè÷åñêàÿ êîìïîíåíòà ( Ïåðt ) Ìíîãèå âðåìåííûå ðÿäû îòîáðàæàþò ñóïåðïîçèöèîííóþ ïåðèîäè÷åñêóþ ñòðóêòóðó ñ ÷àñòîòîé â íåñêîëüêî ëåò. Íàïðèìåð: • Ìíîãèå ýêîíîìè÷åñêèå ïîêàçàòåëè îòîáðàæàþò ýêîíîìè÷åñêèé öèêë, ïî êîòîðîìó ýêîíîìèêà ìíîãîêðàòíî äâèæåòñÿ îò ïåðèîäà ðàçâèòèÿ ê ïîñëåäóþùåìó ïåðèîäó ñïàäà. • Öèêë â ñòðàõîâàíèè ïðåäñòàâëåí â îáùåì ñòðàõîâîì ðûíêå, ãäå ðàçìåðû ïðåìèé óìåíüøàþòñÿ â òå÷åíèå íåñêîëüêèõ ëåò, à çàòåì ñíîâà óâåëè÷èâàþòñÿ. Ìîæåò áûòü ñëîæíî ñòðîãî îïðåäåëÿòü ïåðèîäè÷åñêèå êîìïîíåíòû, îò÷àñòè ïîòîìó, ÷òî ïåðèîä öèêëà ìîæåò áûòü íå ïîñòîÿííûé. Ñåçîííàÿ êîìïîíåíòà ( Ñåçt ) Ìíîãèå âðåìåííûå ðÿäû îòîáðàæàþò ðåãóëÿðíóþ ñåçîííóþ ñòðóêòóðó ñ ÷àñòîòîé ðîâíî îäèí ãîä. Ýòî ìîæåò áûòü âñëåäñòâèå ïîãîäíûõ óñëîâèé èëè ôàêòîðîâ, íàâÿçàííûõ êàëåíäàðåì. Íàïðèìåð: 330 • Óðîâåíü áåçðàáîòèöû îáû÷íî âûøå â çèìíèå ìåñÿöû, ïîòîìó ÷òî íåêîòîðûå âèäû ðàáîò íå ìîãóò âûïîëíÿòüñÿ â ïëîõèõ ïîãîäíûõ óñëîâèÿõ. • ×àñòîòà èñêîâ ïî ìíîãèì âèäàì ñòðàõîâàíèÿ óâåëè÷èâàåòñÿ â îïðåäåëåííîå âðåìÿ ãîäà, íàïðèìåð, íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî èñêîâ àâòîìîáèëüíîãî ñòðàõîâàíèÿ ïðèõîäèòñÿ â òóìàííûå è ñêîëüçêèå ìåñÿöû. • Ïðîäàæè â ìàãàçèíàõ íà ãëàâíûõ óëèöàõ ìîãóò âîçðàñòàòü â ïåðèîäû Ðîæäåñòâà è Íîâîãî Ãîäà. Ñåçîííûå êîìïîíåíòû ìîãóò áûòü óäàëåíû ñ ïîìîùüþ ïîïðàâêè, ó÷èòûâàþùåé ñåçîííûå èçìåíåíèÿ (íàïðèìåð, óñòðàíåíèåì ñåçîííûõ êîëåáàíèé â äàííûõ ïî áåçðàáîòèöå). Ýòî ïîëó÷åíî óñðåäíåíèåì âñåõ äàííûõ çà ÿíâàðü è ò. ä. çà íåñêîëüêî ëåò, ÷òîáû íàéòè îòíîñèòåëüíîå îòêëîíåíèå äëÿ êàæäîãî ìåñÿöà, è çàòåì âû÷åñòü îòêëîíåíèå. Åñëè âðåìåííîé ðÿä ïîêàçûâàåò ãîäîâûå äàííûå, òî ñåçîííàÿ êîìïîíåíòà îòñóòñòâóåò. Ñëó÷àéíàÿ êîìïîíåíòà ( Ñëó÷t ) Âñåãäà ðÿä, îñíîâàííûé íà èçìåðåíèÿõ ðåàëüíûõ ýôôåêòîâ, âêëþ÷àåò â ñåáÿ íåðåãóëÿðíóþ ñëó÷àéíóþ êîìïîíåíòó. Ýòî ìîæåò áûòü â ðåçóëüòàòå ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèÿ èëè ïðîñòî ïðèñóùå ñëó÷àéíîñòè ("øóì"), ïðèñóòñòâóþùåé â èçìåðÿåìîì ýôôåêòå. Íåðåãóëÿðíîñòè òàêæå ìîãóò ïîÿâëÿòüñÿ âñëåäñòâèå èñêëþ÷èòåëüíûõ ñîáûòèé ("âûáðîñû"). Íàïðèìåð: • Òàêîé ýêîíîìè÷åñêèé ïîêàçàòåëü êàê âàëîâûé âíóòðåííèé ïðîäóêò ÿâëÿåòñÿ ñëîæíûì äëÿ òî÷íîãî èçìåðåíèÿ, ïîýòîìó ïóáëèêóåìûå äàííûå áóäóò èìåòü ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèÿ. • Êîëè÷åñòâî ëþäåé, óìèðàþùèõ êàæäûé ìåñÿö, áóäåò ðàçëè÷àòüñÿ, ïîòîìó ÷òî "ñìåðòü íåïðåäñêàçóåìà". • Çàáàñòîâêà ìîæåò ïðèâåñòè ê íåîáúÿñíèìîìó óìåíüøåíèþ îáúåìà ïðîäàæ êîìïàíèè. • Óðàãàí ìîæåò ïðèâåñòè ê óâåëè÷åíèþ ÷èñëà èñêîâ ïî ñòðàõîâàíèþ çäàíèé. Èñêàæåíèÿ, âûçâàííûå ñëó÷àéíîé êîìïîíåíòîé, ìîãóò áûòü óìåíüøåíû ñ ïîìîùüþ ñãëàæèâàþùèõ ìåòîäîâ, òàêèõ êàê ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî. ×åòûðå êîìïîíåíòû îáúåäèíåíû â òàáëèöå, ïðèâåäåííîé íèæå. 331 Êîìïîíåíòà Ïåðèîäè÷íîñòü Ïðèìåðû Äëèòåëüíûé ñðîê äëèòåëüíûé ñðîê ïîâûøàåò ïðîèçâîäèòåëüíîñòü, óðîâåíü æèçíè, òåõíèêè è áåçîïàñíîñòè Íàïðàâëåííàÿ (òî åñòü äëèííåå, ÷åì ðàññìàòðèâàåìûé ïåðèîä) Ïåðèîäè÷åñêàÿ Ñðåäíèé ñðîê Ñåçîííàÿ (îáû÷íî îò 5 äî 10 ëåò) Åæåãîäíàÿ Ñëó÷àéíàÿ Íåðåãóëÿðíàÿ Ýêîíîìè÷åñêèé öèêë, ñòðàõîâîé öèêë Ýôôåêòû, ñâÿçàííûå ñ ïîãîäîé; ýôôåêòû, ñâÿçàííûå ñ êàëåíäàðíûì ãîäîì Ñëó÷àéíîå îòêëîíåíèå, ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ, âûáðîñû Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 12.1. Ïðèâåäèòå ïðèìåðû ôàêòîðîâ, êî- òîðûå ìîãóò èçìåíÿòü êàæäóþ èç êîìïîíåíò Íàïði , Ïåði , Ñåçi , Ñëó÷i äëÿ ñëåäóþùåãî âðåìåííîãî ðÿäà Xt : (a) êîëè÷åñòâî ëþäåé, ïîãèáøèõ â ðåçóëüòàòå íåñ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ íà äîðîãå â Âåëèêîáðèòàíèè çà ïîñëåäíèå ìåñÿöû (b) êîëè÷åñòâî ñòðàõîâûõ ïîëèñîâ äëÿ ïóòåøåñòâóþùèõ, ïðîäàâàåìûå êàæäóþ íåäåëþ (c) êîëè÷åñòâî äåòåé, ðîäèâøèõñÿ â Âåëèêîáðèòàíèè çà ïîñëåäíèå ìåñÿ- öû (d) êîëè÷åñòâî êðàæ â äîìàõ, ñîîáùàåìûõ êàæäûé äåíü (e) íàñåëåíèå ìèðà çà êàæäûé ãîä, íà÷èíàÿ ñ 1500 ãîäà Ï ð è ì å ð 12.1 Òàáëèöà, ïðèâåäåííàÿ íèæå, ïîêàçûâàåò êîëè÷åñòâî çàðåãèñòðèðîâàííûõ áåçðàáîòíûõ ÷åëîâåê (â òûñÿ÷àõ) â îòäåëüíûõ îáëàñòÿõ. Èñïîëüçóÿ äàííûå çà ïåðâûå 5 ëåò, âû÷èñëèòå äàííûå â 1992 ãîäó ñ óñòðàíåíèåì ñåçîííûõ êîëåáàíèé. 332 Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec 1987 317 328 329 316 300 282 263 250 247 258 276 297 1988 315 323 321 311 293 274 255 243 244 254 272 293 1989 311 321 319 309 290 269 252 239 239 248 265 285 1990 303 312 310 302 283 265 248 237 235 246 263 284 1991 300 309 309 297 278 257 238 227 228 239 258 278 1992 295 306 305 295 276 253 233 220 219 228 244 261 Ð å ø å í è å Ìû ìîæåì âû÷èñëèòü ñóììó, ñðåäíåå çíà÷åíèå è îòêëîíåíèå îò îáùåãî ñðåäíåãî äëÿ êàæäîãî ìåñÿöà, îñíîâûâàÿñü íà ýòè ïåðâûå 5 ëåò. Ðåçóëüòàòû ïðèâåäåíû â ïåðâîé òàáëèöå íèæå. Ïðèìåíÿÿ îòêëîíåíèÿ îò îáùåãî ñðåäíåãî ê äàííûì çà 1992 ãîä, ïîëó÷èì äàííûå ñ óñòðàíåíèåì ñåçîííûõ êîëåáàíèé. Íàïðèìåð, äàííûå çà ÿíâàðü íà 30000 áîëüøå ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ äàííûõ ïî áåçðàáîòèöå, ïîýòîìó äàííûå ñ óñòðàíåíèåì ñåçîííûõ êîëåáàíèé ïîëó÷àþòñÿ âû÷èòàíèåì 30000 èç çàðåãèñòðèðîâàííûõ äàííûõ. Ñêîððåêòèðîâàííûå äàííûå ïðèâåäåíû âî âòîðîé òàáëèöå íèæå. Ñóììà Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec 1546 1593 1588 1535 1444 1347 1256 1196 1193 1245 1334 1437 ñðåäí. çíà÷. 309 319 318 307 289 269 251 239 239 249 267 287 îòêëîíåíèå 30 40 39 28 10 -10 -28 -40 -40 -30 -12 8 Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec 295 306 305 295 276 253 233 220 219 228 244 261 265 266 266 267 266 263 261 260 259 258 256 253 Çàðåãèñòð. äàííûå Ñêîððåêò. äàííûå 2.2 Ñòàöèîíàðíûé âðåìåííîé ðÿä Êàê ìû óâèäåëè â Ñåêöèè 2, ïîñëåäîâàòåëüíûå çíà÷åíèÿ âðåìåííûõ ðÿäîâ ñâÿçàíû îïðåäåëåííûì îáðàçîì. Â îñòàâøåéñÿ ÷àñòè ýòîé ñåêöèè ìû ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà, êîòîðûå ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû, ÷òîáû îïèñàòü ïðèðîäó ýòîé âçàèìîñâÿçè. Îäíî ïîëåçíîå ñâîéñòâî, êîòîðûì îáëàäàþò íåêîòîðûå âðåìåííûå ðÿäû ýòî ñòàöèîíàðíîñòü. Ñòàöèîíàðíûé âðåìåííîé ðÿä Âðåìåííîé ðÿä Xt (t = 1, 2, 3, . . .) ñòàöèîíàðíûé, åñëè äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ n (n = 1, 2, 3, . . .) ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå Xt1 , Xt2 , . . . , Xtn òàêîå æå, êàê è ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå Xt1 +k , Xt2 +k , . . . , Xtn +k äëÿ âñåõ çíà÷åíèé t1 , t2 , . . . , tn è äëÿ âñåõ çíà÷åíèé k . 333 "Ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå ñòàöèîíàðíîãî âðåìåííîãî ðÿäà çàâèñèò òîëüêî îò âåëè÷èíû èíòåðâàëîâ ìåæäó ìîìåíòàìè âðåìåíè, êîãäà ïðèíèìàþòñÿ çíà÷åíèÿ." Ñòàöèîíàðíîñòü ñîîòâåòñòâóåò èíòóèòèâíîé èäåå, ÷òî ðÿä íå èìååò òåíäåíöèþ èëè ïðåäñêàçóåìûé ïåðèîä. Îäíàêî ýòî íå çíà÷èò, ÷òî ðÿä ñîâåðøåííî ñëó÷àéíûé è óñïåøíûå ïðîãíîçû íàñ÷åò áóäóùèõ çíà÷åíèé íåâîçìîæíû. Âðåìåííîé ðÿä, â êîòîðîì áóäóùèå çíà÷åíèÿ ðÿäà çàâèñÿò îò ïðîøëûõ çíà÷åíèé ìîæåò, îäíàêî, áûòü ñòàöèîíàðíûì. Ï ð è ì å ð 12.2 Ïîêàæèòå, ÷òî ñòàöèîíàðíûé âðåìåííîé ðÿä íå ìîæåò èìåòü ïðîäîëæèòåëüíóþ íàïðàâëåííîñòü. Ð å ø å í è å Åñëè ìû âîñïîëüçóåìñÿ îïðåäåëåíèåì ñòàöèîíàðíîñòè ïðè n = 1 è t1 = t, òî ýòî äàåò íàì, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ñòàöèîíàðíîãî âðåìåííîãî ðÿäà Xt äîëæíî áûòü òàêèì æå, êàê è ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå Xt+k äëÿ âñåõ çíà÷åíèé t è k . Â ÷àñòíîñòè, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî E(Xt ) = E(Xt+k ) äëÿ âñåõ çíà÷åíèé k . Äðóãèìè ñëîâàìè, íåò íàïðàâëåííîñòè â çíà÷åíèÿõ Xt . Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 12.2. Ïîêàæèòå, ÷òî ñòàöèîíàðíûé âðå- ìåííîé ðÿä äàííûõ çà ìåñÿö íå ìîæåò èìåòü ñåçîííóþ ñîñòàâëÿþùóþ. 2.3 Äèôôåðåíöèðîâàíèå âðåìåííûõ ðÿäîâ ×àñòî ïîëåçíî ðàññìàòðèâàòü ðàçíèöó ìåæäó ïîñëåäîâàòåëüíûìè çíà÷åíèÿìè âðåìåííûõ ðÿäîâ (òî åñòü çíà÷åíèÿ Xt − Xt−1 ), ÷åì íåïîñðåäñòâåííî çíà÷åíèÿ. Ïðè÷èíà ýòîãî â òîì, ÷òî äèôôåðåíöèðîâàíèå íåñòàöèîíàðíûõ ðÿäîâ ÷àñòî ïðèâîäèò ê ñòàöèîíàðíûì ðÿäàì, à ñòàöèîíàðíûå ðÿäû ëåã÷å èññëåäîâàòü. Äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ óäîáíû îïåðàòîð îáðàòíîãî ñäâèãà è îïåðàòîð îáðàòíîé ðàçíîñòè. Îïåðàòîð îáðàòíîãî ñäâèãà Îïåðàòîð îáðàòíîãî ñäâèãà B îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:BXt = Xt−1 "Èñïîëüçóåò ïðåäûäóùåå çíà÷åíèå" Îïåðàòîð îáðàòíîé ðàçíîñòè Îïåðàòîð îáðàòíîé ðàçíîñòè ∇ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:∇Xt = Xt − Xt−1 èëè (Xt − BXt ) "Âû÷èòàíèå ïðåäûäóùåãî çíà÷åíèÿ èç òåêóùåãî çíà÷åíèÿ" Ñèìâîëè÷íî îïåðàòîðû ∇ è B ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè: ∇ = 1 − B è B = 1 − ∇. Â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ìîæåò áûòü íåîáõîäèìà ðàçíîñòü áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà, òîãäà âû÷èñëåíèÿ ñîäåðæàò ∇2 Xt , ∇3 Xt è ò.ä. Îíè íàçûâàþòñÿ ðàçíîñòüþ âòîðîãî ïîðÿäêà, ðàçíîñòüþ òðåòüåãî ïîðÿäêà è ò.ä. 334 Îáðàòíûé ïðîöåññ, "âîññòàíàâëèâàþùèé"ðÿä èç ðàçíîñòè, íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 12.3. Ïîêàæèòå, ÷òî ∇2 Xt = Xt − 2Xt−1 + Xt−2 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 12.4. Íàïèøèòå îñíîâíóþ ôîðìóëó äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ ïåðâîíà÷àëüíûõ çíà÷åíèé Xt âðåìåííîãî ðÿäà èç ðàçíîñòè Wt è ïðåäûäóùèõ çíà÷åíèé X , åñëè (a) èñïîëüçóþòñÿ ðàçíîñòè ïåðâîãî ïîðÿäêà, òî åñòü Wt = ∇Xt (b) èñïîëüçóþòñÿ ðàçíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà, òî åñòü Wt = ∇2 Xt 2.4 Àâòîêîâàðèàöèÿ è àâòîêîððåëÿöèÿ Äðóãîé ïðèãîäíûé äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ñïîñîá îïèñàíèÿ âçàèìîñâÿçè ïîñëåäîâàòåëüíûõ çíà÷åíèé, âêëþ÷àåò â ñåáÿ âû÷èñëåíèå àâòîêîâàðèàöèîííîé è àâòîêîððåëÿöèîííîé ôóíêöèé ðÿäà. Àâòîêîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ Àâòîêîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ äëÿ Xt1 è Xt2 : γ(t1 , t2 ) = cov(Xt1 , Xt2 ) = E[(Xt1 − E(Xt1 ))(Xt2 − E(Xt2 ))] Äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ïðîöåññà: γ(k) = cov(Xt , Xt+k ) = E[(Xt − E(Xt ))(Xt+k − E(Xt+ k ))] Îáúÿñíåíèå Àâòîêîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ ýòî íåïîñðåäñòâåííî êîâàðèàöèÿ çíà÷åíèé ðÿäà, ïîëó÷åííûõ â äâà ðàçíûõ ìîìåíòà âðåìåíè. Äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ðÿäà ýòî áóäåò çàâèñåòü òîëüêî îò âåëè÷èíû "èíòåðâàëà òî åñòü ðàçíîñòè ìåæäó äâóìÿ ìîìåíòàìè âðåìåíè. Ïîýòîìó àâòîêîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà ïðàâèëüíî â òåðìèíàõ ðàçíîñòè âðåìåíè k , êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ çàïàçäûâàíèå. Èíòóèòèâíî, àâòîêîâàðèàöèÿ ýòî ìåðà ñòåïåíè ñâÿçè ìåæäó çíà÷åíèÿìè â ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè, òî åñòü âåëè÷èíà, êîòîðîé îíè "âçàèìîñâÿçàíû". Çàìåòèì, ÷òî äëÿ äèñêðåòíîãî âðåìåííîãî ðÿäà àâòîêîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà ôóíêöèåé ìíîæåñòâà, ñîîòâåòñòâóþùåé çàïàçäûâàíèÿì k = 1, 2, 3, . . . åäèíèö âðåìåíè. Ãðàôèê, ïðèâåäåííûé íèæå, ïîêàçûâàåò àâòîêîâàðèàöèîííóþ ôóíêöèþ äëÿ äèñêðåòíîãî âðåìåííîãî ðÿäà, äëÿ êîòîðîãî åñòü ñèëüíàÿ ñâÿçü 335 íà ïðîòÿæåíèè êîðîòêîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè, íî íå íà ïðîòÿæåíèè äëèòåëüíîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè. Àâòîêîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ (ÀÊÔ) Àâòîêîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ èçìåðÿåòñÿ â êâàäðàòíûõ åäèíèöàõ, ïîýòîìó ýòè çíà÷åíèÿ ïîëó÷àþòñÿ çàâèñÿò îò ðàçìåðîâ àáñîëþòíîé âåëè÷èíû. Ìû ìîæåì ñäåëàòü ýòó âåëè÷èíó íåçàâèñèìîé îò àáñîëþòíîé âåëè÷èíû Xt , îïðåäåëÿÿ åå áåçðàçìåðíîé âåëè÷èíîé, è àâòîêîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ: Àâòîêîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ (ÀÊÔ) Àâòîêîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ äëÿ Xt1 è Xt2 : cov(Xt1 , Xt2 ) ρ(t1 , t2 ) = p V ar(Xt1 )V ar(Xt2 ) =p γ(t1 , t2 ) γ(t1 , t1 )γ(t2 , t2 ) Äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ïðîöåññà: cov(Xt , Xt+k ) γ(k) ρ(k) = p = γ(0) V ar(Xt )V ar(Xt+k ) Êðîìå òîãî, àâòîêîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ýòî ìåðà ñòåïåíè ñâÿçè ìåæäó çíà÷åíèÿìè â ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè. Âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ àâòîêîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè íàõîäÿòñÿ ìåæäó −1 è +1. Çíà÷åíèå íîëü îçíà÷àåò, ÷òî ñâÿçè íåò. Çíà÷åíèå +1 (èëè −1) îçíà÷àåò ñèëüíóþ ïîëîæèòåëüíóþ (èëè îòðèöàòåëüíóþ) ñâÿçü, òî åñòü çíà÷åíèÿ èìåþò òåíäåíöèþ ïåðåìåùàòüñÿ â îäèíàêîâûõ (èëè ïðîòèâîïîëîæíûõ) íàïðàâëåíèÿõ. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 12.5. Îïèøèòå ñâÿçè, êîòîðûå âû ïðåä- ïîëàãàåòå íàéòè äëÿ âðåìåííîãî ðÿäà, ïðåäñòàâëÿþùåãî ñðåäíåñóòî÷íóþ òåìïåðàòóðó ïîñëåäîâàòåëüíûõ ìåñÿöåâ â îòäåëüíîì ãîðîäå, è, ñëåäîâàòåëüíî, èçîáðàçèòå ãðàôèê àâòîêîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè äëÿ ýòîãî ðÿäà. Êîãäà òî÷íàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ñóùíîñòü ðÿäà èçâåñòíà, àâòîêîâàðèàöèîííàÿ è àâòîêîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèè ìîãóò áûòü íàéäåíû àëãåáðàè÷åñêè. Â äðóãèõ ñëó÷àÿõ ìû ìîæåì îöåíèòü àâòîêîâàðèàöèîííóþ è àâòîêîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèè, îñíîâûâàÿñü íà íàáëþäàåìûå çíà÷åíèÿ ðÿäà. Âûáîðî÷íûå êîýôôèöèåíòû àâòîêîâàðèàöèè Âûáîðî÷íûé êîýôôèöèåíò àâòîêîâàðèàöèè ñ çàïàçäûâàíèåì k îñíîâûâàåòñÿ íà n íàáëþäàåìûõ çíà÷åíèÿõ x1 , x2 , . . . , xn âðåìåííîãî ðÿäà: n−k 1X (xt − x)(xt+k − x) ck = n t=1 336 Âûáîðî÷íûé êîýôôèöèåíò àâòîêîâàðèàöèè ñ çàïàçäûâàíèåì k îáåñïå÷èâàåò îöåíêó àâòîêîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè ñ çàïàçäûâàíèåì k . Çàìåòèì, ÷òî çíàìåíàòåëü ðàâåí n, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî â ñóììå n − k ñëàãàåìûõ. Âûáîðî÷íûå êîýôôèöèåíòû àâòîêîððåëÿöèè Âûáîðî÷íûé êîýôôèöèåíò àâòîêîððåëÿöèè ñ çàïàçäûâàíèåì k îñíîâûâàåòñÿ íà n íàáëþäàåìûõ çíà÷åíèÿõ x1 , x2 , . . . , xn âðåìåííîãî ðÿäà: n−k P rk = (xt − x)(xt+k − x) t=1 n P = (xt − x)2 ck c0 t=1 Âûáîðî÷íûé êîýôôèöèåíò àâòîêîððåëÿöèè ñ çàïàçäûâàíèåì k îáåñïå÷èâàåò îöåíêó àâòîêîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ñ çàïàçäûâàíèåì k . Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 12.6. Íàéäèòå âûáîðî÷íûé êîýôôèöè- åíò àâòîêîððåëÿöèè ñ çàïàçäûâàíèåì 1 ìåñÿö, 2 ìåñÿöà è 6 ìåñÿöåâ, îñíîâûâàÿñü íà ñëåäóþùèå 12 ïîñëåäîâàòåëüíûõ çíà÷åíèé ìåñÿ÷íîãî âðåìåííîãî ðÿäà: 4, 5, 6, 3, 3, 1, 0, 1, 3, 2, 3, 5 Ïðîêîììåíòèðóéòå ñâîè îòâåòû. 3 Ïðîöåññû âðåìåííîãî ðÿäà Ðàíåå áûëè îïðåäåëåíû: àâòîðåãðåññèâíûé ïðîöåññ (ÀÐ), ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî (ÑÑ) è àâòîðåãðåññèâíûé ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî (ÀÐÑÑ), ÀÐÈÑÑ(p, d, q) ïðîöåññ è îïðåäåëåíà àâòîêîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ìëàäøèõ ïîðÿäêîâ ÀÐ, ÑÑ è ÀÐÑÑ ïðîöåññîâ. 3.1 Îñíîâíûå ïðîöåññû âðåìåííîãî ðÿäà Â ýòîì ïàðàãðàôå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ðàçëè÷íûå âèäû ïðîöåññîâ âðåìåííîãî ðÿäà. ×èñòî ñëó÷àéíûå ïðîöåññû Ïðîñòåéøàÿ ôîðìà âðåìåííîãî ðÿäà ýòî ÷èñòî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ×èñòî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ Âðåìåííîé ðÿä Xt (t = 1, 2, 3, . . .) ÷èñòî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, åñëè çíà÷åíèÿ Xt ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìû. 337 Â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî çíà÷åíèÿ ÷èñòî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû, òî åñòü ðàñïðåäåëåíèå íå ìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì. Ïîýòîìó ïðîøëûå çíà÷åíèÿ íå ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ ïðîãíîçèðîâàíèÿ áóäóùèõ çíà÷åíèé. Ïðèìåíåíèå ×èñòî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî "øóìà". Ïðèìåðû Ñëó÷àéíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ â àääèòèâíîì âðåìåííîì ðÿäó ìîæåò áûòü ñìîäåëèðîâàíà ñ èñïîëüçîâàíèåì ÷èñòî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà. Ñëó÷àéíûå áëóæäàíèÿ Äðóãàÿ ôîðìà âðåìåííîãî ðÿäà ýòî ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå: Ñëó÷àéíûå áëóæäàíèÿ Âðåìåííîé ðÿä Xt (t = 1, 2, 3, . . .) ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå, åñëè çíà÷åíèÿ Xt ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â ôîðìå: Xt = Xt−1 + Zt ãäå Zt (t = 1, 2, 3, . . .) ÷èñòî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ. Ïîýòîìó áóäóùèå çíà÷åíèÿ ðÿäà çàâèñÿò îò èñòîðèè ðÿäà, è ïðîøëûå çíà÷åíèÿ ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ ïðîãíîçèðîâàíèÿ áóäóùèõ çíà÷åíèé. Ïðèìåíåíèå Ñëó÷àéíûå áëóæäàíèÿ ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ñèòóàöèé, êîãäà òåêóùåå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé èçìåíÿåòñÿ âñëåäñòâèå íåáîëüøèõ èçìåíåíèé ïðåäûäóùåãî çíà÷åíèÿ, è èçìåíåíèÿ ìîãóò ñ÷èòàòüñÿ ñëó÷àéíûìè. Ïðèìåðû Ìíîãèå ýêîíîìè÷åñêèå ïîêàçàòåëè ìîãóò ñ÷èòàòüñÿ ñëó÷àéíûìè áëóæäàíèÿìè. Ïðèìåðû âêëþ÷àþò â ñåáÿ: • ðûíî÷íóþ öåíó àêöèé • ñòàâêó ïðîöåíòà • âàëþòíûå öåííîñòè Çíà÷åíèå ïîêàçàòåëÿ çàâòðà ìîæåò áûòü îáîñíîâàííî êîððåêòèðîâêîé ñåãîäíÿøíåãî çíà÷åíèÿ. Â òåîðèè âåðîÿòíîñòè ÷èñòûé âûèãðûø èãðîêà â ïîñëåäîâàòåëüíûõ èãðàõ ìîæåò áûòü ñìîäåëèðîâàí ñ èñïîëüçîâàíèåì ñëó÷àéíîãî áëóæäàíèÿ. 338 Â òåîðèè ðàçîðåíèÿ ïðèáûëü ñòðàõîâùèêà â ïîñëåäîâàòåëüíûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè ìîæåò áûòü ñìîäåëèðîâàíà ñ èñïîëüçîâàíèåì ñëó÷àéíîãî áëóæäàíèÿ. Â ôèçèêå äâèæåíèå ìåëêèõ ÷àñòèö (Áðîóíîâñêîå äâèæåíèå) ìîæåò áûòü ñìîäåëèðîâàíî ñ èñïîëüçîâàíèåì ñëó÷àéíîãî áëóæäàíèÿ â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Òåîðèÿ ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ñâîéñòâ äèôôóçèè â ãàçàõ. Ï ð è ì å ð 12.3 Âûâåäèòå ôîðìóëó âàðèàöèè Xt , åñëè Xt ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå, îïðåäåëåííîå êàê Xt = Xt−1 + Zt , ãäå Zt èìååò ïîñòîÿííîå ñðåäíåå 2 çíà÷åíèå µ è äèñïåðñèþ σ , è X0 = 0. Ð å ø å í è å Ïîñëåäîâàòåëüíîé çàìåíîé çíà÷åíèé Xt−1 , Xt−2 è ò.ä. â îïðåäåëåíèè, ìû ìîæåì âûðàçèòü Xt â âèäå: Xt = Xt−1 + Zt = Xt−2 + Zt−1 + Zt = . . . = X0 + Z1 + Z2 + . . . + Zt−1 + Zt Òàê êàê X0 = 0, òî: Xt = Z1 + Z2 + . . . + Zt−1 + Zt Òàê êàê âñå Zt ÿâëÿþòñÿ ÷èñòî ñëó÷àéíûìè ïðîöåññàìè, òî èõ çíà÷åíèÿ íåçàâèñèìû. Ïîýòîìó: V ar(Xt ) = V ar(Z1 ) + V ar(Z2 ) + . . . + V ar(Zt−1 ) + V ar(Zt ) = tσ 2 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 12.7. Ïîêàæèòå, ÷òî ñëó÷àéíîå áëóæ- äàíèå, îïðåäåëåííîå â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå íå ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíûì ïðîöåññîì, íî ñòàöèîíàðíûì ÿâëÿåòñÿ ïðîöåññ, îïðåäåëåííûé ðàçíîñòÿìè Xt − Xt−1 . Ïðîöåññû ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî Ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî ýòî âçâåøåííîå ñðåäíåå ÷èñòî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà: Ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî Âðåìåííîé ðÿä Xt (t = 1, 2, 3, . . .) ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî ïîðÿäêà q (ñîêðàùåííî ÑÑ(q)), åñëè îí ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí êàê âçâåøåííîå ñðåäíåå q+1 ïîñëåäîâàòåëüíûõ ýëåìåíòîâ ÷èñòî ñëó÷àéíîãî ðÿäà Zt (t = 1, 2, 3, . . .) ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì íîëü è ïîñòîÿííîé äèñïåðñèåé σ2: Xt = Zt + β1 Zt−1 + . . . + βq Zt−q Òàê êàê Z ìîãóò ñîäåðæàòü â ñåáå ïðîèçâîëüíûé ìàñøòàáíûé ìíîæèòåëü, òî îáû÷íî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îíè îïðåäåëåíû òàê, ÷òî êîýôôèöèåíò ïðè Zt ðàâíÿåòñÿ 1 (òî åñòü β0 = 1). 339 Ïðèìåíåíèå Ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ñèòóàöèé, êîãäà òåêóùåå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé ìîæåò áûòü îáîñíîâàííî âçâåøåííûì ñðåäíèì îñíîâíîãî ðÿäà. Íà ïðàêòèêå ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî ÷àñòî êîíñòðóèðóåòñÿ ïóòåì ñãëàæèâàíèÿ âðåìåííîãî ðÿäà, òî åñòü óäàëåíèåì êîìïîíåíòû ñëó÷àéíîãî øóìà. Ïðèìåðû Ìíîãèå ýêîíîìè÷åñêèå èçìåðåíèÿ ìîãóò áûòü óñðåäíåíû ïî ïåðèîäó ñãëàæèâàíèÿ ñëó÷àéíûõ èçìåíåíèé. Êîìïàíèÿ ìîæåò óñðåäíèòü ñâîè ïðîäàæè çà òðåõìåñÿ÷íûé ïåðèîä, êîãäà íóæíî îöåíèòü, íàñêîëüêî áûñòðî (èëè íàîáîðîò) îíà óâåëè÷èâàåòñÿ. Îñíîâíîé ñòðàõîâùèê ìîæåò óñðåäíèòü èñêè ïî íåêîòîðûì âèäàì ñòðàõîâàíèÿ çà òðåõëåòíèé ïåðèîä, ÷òîáû óìåíüøèòü âëèÿíèå ñëó÷àéíûõ èçìåíåíèé ïî îòäåëüíûì ãîäàì. Ï ð è ì å ð 12.4 Ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî îïðåäåëåí êàê Xt = Zt + β1 Zt−1 + . . . + βq Zt−1 + Zt−q , ãäå Z ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì íîëü. Âûâåäèòå âûðàæåíèÿ äëÿ: (à) ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ E(Xt ) (b) âàðèàöèè V ar(Xt ) (c) àâòîêîâàðèàöèîííóþ ôóíêöèþ γ(k) (0 ⩽ k ⩽ q) (d) àâòîêîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ ρ(k) 0 ⩽ k ⩽ q) Ðåøåíèå (a) Òàê êàê Z èìåþò ñðåäíåå çíà÷åíèå íîëü: E(Xt ) = E(β0 Zt + β1 Zt−1 + . . . + βq Zt−q ) = 0 (b) Òàê êàê Z íåçàâèñèìû: V ar(Xt ) = V ar(β0 Zt + β1 Zt−1 + . . . + βq Zt−q ) = β02 V ar(Zt ) + β12 V ar(Zt−1 ) + . . . + βq2 V ar(Zt−q )) = (β02 + β12 + + . . . + βq2 )σ 2 340 (c) Êîâàðèàöèÿ Zs è Zt ýòî V ar(Zt ) = σ 2 , åñëè s = t è íîëü â äðóãèõ ñëó÷àÿõ. Ïîýòîìó àâòîêîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ (ïðè (0 ⩽ k ⩽ q)): γ(k) = CovZ(Xt , Xt+k ) = Cov β0 Zt + β1 Zt−1 + . . . + βq Zt−1 + Zt−q , β0 Zt+k + β1 Zt+k−1 + . . . + βq Zt−1 + Zt+k−q = (β0 βk + β1 βk+1 + . . . + βq−k βq )σ 2 (d) Àâòîêîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ïîëó÷àåòñÿ äåëåíèåì íà àâòîêîâàðèàöèîí2 2 íóþ ôóíêöèþ ñ ïàðàìåòðîì 0. Èç (c) ñëåäóåò, ÷òî γ(0) = β0 +β1 ++ . . .+ βq2 )σ 2 . Ïîýòîìó àâòîêîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ (ïðè (0 ⩽ k ⩽ q)): ρ(k) = β0 βk + β1 βk+1 + . . . + βq−k βq β02 + β12 + + . . . + βq2 )σ 2 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 12.8. Êàêîâà γ(k) äëÿ ÑÑ(q) ïðîöåññà, åñëè k > q Àâòîðåãðåññèâíûå ïðîöåññû Àâòîðåãðåññèâíûé ïðîöåññ ýòî âçâåøåííîå ñðåäíåå ïðîøåäøèõ çíà÷åíèé îáúåäèíåííûõ â ÷èñòî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà: Àâòîðåãðåññèâíûé (ÀÐ) ïðîöåññ Âðåìåííîé ðÿä Xt (t = 1, 2, 3, . . .) àâòîðåãðåññèâíûé ïðîöåññ ïîðÿäêà p (ñîêðàùåííî ÀÐ(p)), åñëè îí ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí êàê âçâåøåííîå ñðåäíåå p ïðîøåäøèõ ýëåìåíòîâ ïëþñ ÷èñòî ñëó÷àéíûé ðÿä Zt (t = 1, 2, 3, . . .) ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì íîëü è ïîñòîÿííîé äèñïåðñèåé σ 2 : Xt = α1 Xt−1 + α2 Xt−2 + . . . + αp Xt−p + Zt Ï ð è ì å ð 12.5 Ïðåäïîëîæèòå, êàêàÿ öåíà òîâàðà ìîæåò áûòü ñìîäåëèðîâàíà àâòîðåãðåññèâíûì ïðîöåññîì. Ð å ø å í è å Åñëè ìû ñäåëàåì ïðîñòîå ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî êàæäûé äåíü öåíà òîâàðà Xt óâåëè÷èâàåòñÿ èëè óìåíüøàåòñÿ îòíîñèòåëüíî öåíû ïðåäûäóùåãî äíÿ Xt−1 íà ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó Zt , çàâèñÿùóþ îò îòíîñèòåëüíîãî êîëè÷åñòâà ïðîäàâöîâ è ïîêóïàòåëåé, òîãäà öåíà òîâàðà ìîæåò áûòü ñìîäåëèðîâàíà êàê Xt = Xt−1 + Zt , òî åñòü êàê àâòîðåãðåññèâíûé ïðîöåññ ïîðÿäêà 1. Ï ð è ì å ð 12.6 Åñëè Xt ÀÐ(1) ïðîöåññ ñ α1 = 1/2, âûðàçèòå Xt â òåðìèíàõ Z . Ð å ø å í è å Ïðîöåññ îïðåäåëÿåòñÿ Xt = 21 Xt−1 + Zt . Ïåðåãðóïèðóåì ýòî îïðåäåëåíèå, ïîëó÷èì: 1 1 1 Zt = Xt − Xt−1 = Xt − BXt = (1 − B)Xt 2 2 2 341 Âûðàçèì ðÿä, ïîëó÷èì: 1 1 1 Xt = (1 − B)−1 Zt = (1 + B + B 2 + . . .)Zt = 2 2 4 1 1 = Zt + Zt−1 + Zt−2 + . . . 2 4 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 12.9. Âûâåäèòå âûðàæåíèÿ äëÿ ñðåä- íåãî çíà÷åíèÿ è äèñïåðñèè ÀÐ(1) ïðîöåññà Xt = αXt−1 + Zt äëÿ òåõ çíà÷åíèé α, äëÿ êîòîðûõ ïðîöåññ ñòàöèîíàðíûé. Ìåòîä, ïðèâåäåííûé â ñëåäóþùåì ïðèìåðå, ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ àâòîêîâàðèàöèîííûõ ôóíêöèé âðåìåííûõ ðÿäîâ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà. Ï ð è ì å ð 12.7 Àâòîðåãðåññèâíûé ñòàöèîíàðíûé âðåìåííîé ðÿä Wt îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì: Wt = 0.6Wt−1 + 0.4Wt−2 − 0.1Wt−3 + Zt äëÿ öåëî÷èñëåííûõ ìîìåíòîâ âðåìåíè t, ãäå Zt ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîæåñòâî íåêîððåëèðîâàííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì íîëü è äèñïåð- 2 ñèåé σ . (a) Îáúÿñíèòå, ïî÷åìó Cov(Wt , Zt+1 ) = 0 è Cov(Wt−1 , Wt ) = Cov(Wt−1 , Wt−2 ) (b) Ó÷èòûâàÿ Cov(Wt , Wt−k ) ïðè k = 1, 2, 3 è V ar(Zt ), íàïèøèòå ÷åòûðå óðàâíåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå çíà÷åíèÿ àâòîêîâàðèàöèîííûõ ôóíêöèé γ(k) ñ çàïàçäûâàíèÿìè k = 0, 1, 2, 3. (c) Ñëåäîâàòåëüíî, îïðåäåëèòå âûðàæåíèÿ â òåðìèíàõ σ 2 äëÿ γ(k) ñ çàïàçäûâàíèÿìè k = 0, 1, 2, 3. Ðåøåíèå (a) Wt çàâèñèò òîëüêî îò Zt , Zt−1 , . . ., òî åñòü îò "ïðîøåäøèõ"Z , êîòîðûå íå êîððåëèðîâàíû ñ "áóäóùèìè"Z . Ïîýòîìó Cov(Wt , Zt+1 ) = 0. Òàê Wt ñòàöèîíàðíûé, òîëüêî "èíòåðâàë"èìååò çíà÷åíèå. Ïîýòîìó Cov(Wt−1 , Wt ) è Cov(Wt−1 , Wt−2 ) îáå ðàâíû γ1 . êàê (b) Ïðè k = 1 ìû èìååì: Cov(Wt , Wt−1 ) = 0.6Cov(Wt−1 , Wt−1 )+0.4Cov(Wt−2 , Wt−1 )−0.1Cov(Wt−3 , Wt−1 ) Ïîýòîìó ïîëó÷àåì: γ1 = 0.6γ0 + 0.4γ1 − 0.1γ2 342 . . . (1) Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïðè k = 2 è k = 3 ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ: γ2 = 0.6γ1 + 0.4γ0 − 0.1γ1 . . . (2) γ3 = 0.6γ2 + 0.4γ1 − 0.1γ0 . . . (3) ×òîáû ïîëó÷èòü ÷åòâåðòîå âûðàæåíèå, ìû âûðàçèì Zt èç îïðåäåëåíèÿ âðåìåííîãî ðÿäà: Zt = Wt − 0.6Wt−1 − 0.4Wt−2 + 0.1Wt−3 (c) Áåðÿ äèñïåðñèþ îáîèõ ÷àñòåé óðàâíåíèÿ, ïîëó÷àåì: σ 2 = γ0 + 0.62 γ0 + 0.42 γ0 + 0.12 γ0 + +2(−0.6γ1 + 0.24γ1 − 0.04γ1 − 0.4γ2 − 0.06γ2 + 0.1γ3 ) . . . (4) = 1.53γ0 − 0.80γ1 − 0.92γ2 + 0.2γ3 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 12.10. Ðåøèòå ýòè ÷åòûðå óðàâíåíèÿ, ÷òîáû íàéòè (a)àâòîêîâàðèàöèîííóþ ôóíêöèþ è (b)êîýôôèöèåíòû àâòîêîððåëÿöèè. 3.2 Ñìåøàííûå ïðîöåññû âðåìåííîãî ðÿäà Íåêîòîðûå âðåìåííûå ðÿäû ìîãóò áûòü ñìîäåëèðîâàíû ñ èñïîëüçîâàíèåì ñìåøàííûõ ðÿäîâ, â êîòîðûõ âçàèìîñâÿçü ìåæäó ïîñëåäîâàòåëüíûìè ýëåìåíòàìè âêëþ÷àåò â ñåáÿ êîìáèíàöèþ áîëåå ÷åì îäíîãî îñíîâíîãî ïðîöåññà âðåìåííîãî ðÿäà. Â çàêëþ÷åíèè ýòîé ãëàâû ìû ðàññìîòðèì ÀÐÑÑ ïðîöåññû, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ñìåøàííûìè ïðîöåññàìè, è ÀÐèÑÑ ïðîöåññû, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç ÀÐÑÑ ïðîöåññîâ. Àâòîðåãðåññèîííûå ïðîöåññû ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî Àâòîðåãðåññèâíûé ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî (ÀÐÑÑ) Âðåìåííîé ðÿä Xt (t = 1, 2, 3, . . .) àâòîðåãðåññèâíûé ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî (ñîêðàùåííî ÀÐÑÑ(p,q)1 ), åñëè ýòîò âðåìåííîé ðÿä ÿâëÿåòñÿ ñóììîé àâòîðåãðåññèâíîãî ïðîöåññà ïîðÿäêà p è ïðîöåññà ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî ïîðÿäêà q , òî åñòü: Xt = α1 Xt−1 + α2 Xt−2 + . . . + αp Xt−p + +Zt + β1 Zt−1 + . . . + βq Zt−q "ÀÐÑÑ(p,q) ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ÀÐ(p) è ÑÑ(q) ïðîöåññîâ" Ï ð è ì å ð 12.8 Îáúÿñíèòå, êàê ñëåäóþùèå âèäû ïðîöåññîâ ìîãóò ñ÷èòàòüñÿ îñîáûìè ñëó÷àÿìè ÀÐÑÑ(p,q) ïðîöåññà: 1 îáû÷íî âñåãäà èñïîëüçóþòñÿ P,Q 343 (a) ÀÐ(p) ïðîöåññ (b) ÑÑ(q) ïðîöåññ Ðåøåíèå (a) ÀÐ(p) ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ îñîáûì ñëó÷àåì ÀÐÑÑ(p,q) ïðîöåññà ïðè q = 0 (b) ÑÑ(q) ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ îñîáûì ñëó÷àåì ÀÐÑÑ(p,q) ïðîöåññà ïðè p = 0 Àâòîðåãðåññèâíûå èíòåãðèðîâàííûå ïðîöåññû ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî Âðåìåííîé ðÿä Xt (t = 1, 2, 3, . . .) àâòîðåãðåññèâíûé èíòåãðèðîâàííûé ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî ïîðÿäêà d (ñîêðàùåííî ÀÐÈÑÑ(p,d,q)), åñëè ðàçíîñòè d-ãî ïîðÿäêà Wt = ∇d Xt ôîðìèðóþò ÀÐÑÑ(p,q) ïðîöåññ, òî åñòü: Wt = α1 Wt−1 + α2 Wt−2 + . . . + αp Wt−p + +Zt + β1 Zt−1 + . . . + βq Zt−q "Ðàçíîñòè ïîðÿäêà d ÀÐÈÑÑ(p,d,q) ïðîöåññà ôîðìèðóþò ÀÐÑÑ(p,q) ïðîöåññ" Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 12.11. Îáúÿñíèòå, êàê ñëåäóþùèå âèäû ïðîöåññîâ ìîãóò ñ÷èòàòüñÿ îñîáûìè ñëó÷àÿìè ÀÐÈÑÑ(p,q) ïðîöåññà: (a) ÷èñòî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ (b) ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå (c) ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî (d) àâòîðåãðåññèâíûé ïðîöåññ (e) àâòîðåãðåññèâíûé ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî 4 Êðàòêîå èçëîæåíèå Âðåìåííûå ðÿäû, âñòðå÷àþùèåñÿ â ñòðàõîâîé äåÿòåëüíîñòè, ÷àñòî ñîäåðæàò àääèòèâíûå êîìïîíåíòû: íàïðàâëåííàÿ, ïåðèîäè÷åñêàÿ, ñåçîííàÿ è ñëó÷àéíàÿ. Äèôôåðåíöèðîâàíèå çíà÷åíèé îòäåëüíûõ âðåìåííûõ ðÿäîâ ìîæåò ñîçäàâàòü ñòàöèîíàðíûå ðÿäû. Ýòî ìîæåò áûòü ñäåëàíî ïðè ïîìîùè îïåðàòîðà îáðàòíîé ðàçíîñòè ∇, êîòîðûé âçàèìîñâÿçàí ñ îïåðàòîðîì îáðàòíîãî ñäâèãà B . Âðåìåííûå ðÿäû âêëþ÷àþò â ñåáÿ ñëåäóþùèå âèäû ïðîöåññîâ: 344 • ÷èñòî ñëó÷àéíûé • ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå • ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî (ÑÑ) • àâòîðåãðåññèâíûé (ÀÐ) • àâòîðåãðåññèâíûé ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî (ÀÐÑÑ) • àâòîðåãðåññèâíûé èíòåãðèðîâàííûé ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî (ÀÐÈÑÑ) Îñîáåííîñòè ìîäåëè âðåìåííûõ ðÿäîâ õàðàêòåðèçóþòñÿ âû÷èñëåíèåì àâòîêîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè èëè àâòîêîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè (ÀÊÔ). Ýòè ôóíêöèè ìîæíî îöåíèòü, èñõîäÿ èç ðåàëüíûõ äàííûõ ïðè ïîìîùè âûáîðêè êîýôôèöèåíòîâ àâòîêîâàðèàöèè èëè êîýôôèöèåíòîâ àâòîêîððåëÿöèàöèè. 5 Ôîðìóëû Êîìïîíåíòû àääèòèâíîãî âðåìåííîãî ðÿäà Xt = Íàïðt + Ïåðt + Ñåçt + Ñëó÷t Ðÿä = Íàïðàâëåííàÿ + Ïåðèîäè÷åñêàÿ + Ñåçîííàÿ + Ñëó÷àéíàÿ Îïåðàòîð îáðàòíîé ðàçíîñòè ∇Xt = Xt − Xt−1 ∇2 Xt = ∇(∇Xt ) = Xt − 2Xt−1 + Xt−2 Îïåðàòîð îáðàòíîãî ñäâèãà BXt = Xt−1 B 2 Xt = B(BXt ) = Xt−2 Àâòîêîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ γ(t1 , t2 ) = cov(Xt1 , Xt2 ) = E[(Xt1 − E(Xt1 ))(Xt2 − E(Xt2 ))] γ(k) = cov(Xt , Xt+k ) = E[(Xt −E(Xt ))(Xt+k −E(Xt+ k ))] (ñòàöèîíàðíûé ïðîöåññ) 345 Àâòîêîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ cov(Xt1 , Xt2 ) ρ(t1 , t2 ) = p V ar(Xt1 )V ar(Xt2 ) cov(Xt , Xt+k ) ρ(k) = p V ar(Xt )V ar(Xt+k ) = =p γ(t1 , t2 ) γ(t1 , t1 )γ(t2 , t2 ) γ(k) (ñòàöèîíàðíûé ïðîöåññ) γ(0) Âûáîðî÷íûå êîýôôèöèåíòû àâòîêîâàðèàöèè n−k ck = 1X (xt − x)(xt+k − x) n t=1 Âûáîðî÷íûå êîýôôèöèåíòû àâòîêîððåëÿöèè , n X ck (xt − x)(xt+k − x) rk = (xt − x)2 = c0 t=1 t=1 n−k X ×èñòî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ (ñðåäíåå çíà÷åíèå 0, äèñïåðñèÿ σ 2 ) Xt = Zt Ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå Xt = Xt−1 + Zt Ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî (ÑÑ) Xt = Zt + β1 Zt−1 + . . . + βq Zt−q Àâòîðåãðåññèâíûé ïðîöåññ (ÀÐ) Xt = α1 Xt−1 + α2 Xt−2 + . . . + αp Xt−p + Zt Àâòîðåãðåññèâíûé ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî (ÀÐÑÑ) Xt = α1 Xt−1 + α2 Xt−2 + . . . + αp Xt−p + +Zt + β1 Zt−1 + . . . + βq Zt−1 + Zt−q Àâòîðåãðåññèâíûé èíòåãðèðîâàííûé ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî (ÀÐÈÑÑ) Wt = α1 Wt−1 + α2 Wt−2 + . . . + αp Wt−p + +Zt + β1 Zt−1 + . . . + βq Zt−1 + Zt−q 346 ãäå Wt = ∇d Xt 6 Âîïðîñû ñòóäåíòàì Â1 Ïî÷åìó ìîäåëü àääèòèâíûõ êîìïîíåíò íå âêëþ÷àåò â ñåáÿ äîïîëíèòåëüíûå ïåðèîäû âåëè÷èíîé â 1 ìåñÿö èëè 1 íåäåëþ? Î1 Åæåíåäåëüíûå è åæåäíåâíûå ïåðèîäû, íåñîìíåííî, âñòðå÷àþòñÿ. Íàïðèìåð, ïðîäàæè â ìàãàçèíàõ ìîãóò ðàçëè÷àòüñÿ â ðàáî÷èå äíè è âûõîäíûå. Îäíàêî, âñëåäñòâèå î÷åíü êîðîòêîé äëèòåëüíîñòè ýòèõ ïåðèîäîâ, èõ ðåçóëüòàòû ñîñòàâëÿþò ñðåäíþþ âåëè÷èíó íà î÷åíü êîðîòêèé ïðîìåæóòîê âðåìåíè. Ïîýòîìó, âêëþ÷àÿ ýòè äîïîëíèòåëüíûå êîìïîíåíòû ìîæíî çàìåòèòü íåáîëüøîå ðàçëè÷èå ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ èç ìîäåëåé, èñïîëüçóåìûõ â ýêîíîìèêå, ñòðàõîâàíèè è äðóãèõ àêòóàðíûõ ïðèëîæåíèÿõ. Â2 Åñòü ëè ïðîñòîé ïóòü îïðåäåëèòü, ÷òî âðåìåííîé ðÿä ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíûì, íåïîñðåäñòâåííî "âçãëÿíóâ íà ôîðìóëó"? Î2 Ìíîãèå ñâîéñòâà âðåìåííûõ ðÿäîâ ìîãóò áûòü îòíÿòû èñïîëüçîâàíè- åì îïåðàòîðà îáðàòíîãî ñäâèãà äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ âðåìåííîãî ðÿäà â òåðìèíàõ Z , è çàòåì èçó÷åíèÿ ñâîéñòâ "ïîëèíîìà"äëÿ B . Ýòî è åñòü òåñò íà ñòàöèîíàðíîñòü, íî (îáû÷íî) îí ñëèøêîì ñëîæíûé, ÷òîáû äåëàòü åãî â óìå. Â3 ß âèäåë íåìíîãî îòëè÷àþùååñÿ îïðåäåëåíèå âûáîðêè êîýôôèöèåíòîâ àâòîêîððåëÿöèè â äðóãîé êíèãå. Ïî÷åìó òàê? Î3 Íåêîòîðûå àâòîðû âêëþ÷àþò ìíîæèòåëü (n−k)/n â çíàìåíàòåëü âû- áîðêè êîýôôèöèåíòîâ àâòîêîððåëÿöèè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ó÷èòûâàåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî â ÷èñëèòåëå â ñóììå ðîâíî (n − k) ñëàãàåìûõ, òîãäà êàê â çíàìåíàòåëå â ñóììå ðîâíî n ñëàãàåìûõ. Â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ çíà÷åíèå n äîâîëüíî áîëüøîå, ïîýòîìó ýòî êîððåêòèðîâàíèå ñîçäàåò íåáîëüøîå îòëè÷èå. Îäíàêî, âû÷èñëåíèÿ, âêëþ÷àþùèå â ñåáÿ âðåìåííûå ðÿäû, çíà÷èòåëüíî ïðîùå êîãäà ýòî êîððåêòèðîâàíèå èãíîðèðóåòñÿ. Äðóãàÿ íåçíà÷èòåëüíàÿ ïðîáëåìà, ñâÿçàííàÿ ñ âûáîðêîé êîýôôèöèåíòîâ àâòîêîððåëÿöèè, â òîì, ÷òî â îïðåäåëåíèè èñïîëüçóåòñÿ îáùåå ñðåäíåå x, äàæå åñëè ñóììà â çíàìåíàòåëå íå âêëþ÷àåò â ñåáÿ âñå ýëåìåíòû ðÿäà ñèììåòðè÷íî. Â4 Ïî÷åìó ïîÿâèëîñü íàçâàíèå "ñëó÷àéíûå áëóæäàíèÿ"? 347 Î4 Îäíî èç èíòóèòèâíûõ îïèñàíèé, èñïîëüçóåìûõ äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ýòîé ìîäåëè, âêëþ÷àåò â ñåáÿ ïüÿíîãî, "áëóæäàþùåãî"âäîëü ïðÿìîé äîðîãè, ñòàðàÿñü ïîïàñòü äîìîé èç òðàêòèðà. Äåëàÿ øàã, ïüÿíûé èëè èäåò øàòàÿñü íåñêîëüêî øàãîâ âïåðåä, èëè èäåò øàòàÿñü íåñêîëüêî øàãîâ íàçàä. Äðóãèìè ñëîâàìè ìåñòîïîëîæåíèå ïüÿíîãî ïîñëå êàæäîãî øàãà îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñëó÷àéíîå êîððåêòèðîâàíèå, ïðèìåíåííîå ê ìåñòîïîëîæåíèþ äî òîãî, êàê øàã áûë ñäåëàí. Â5 Îäèí ìîé ïðèÿòåëü óïîìÿíóë "Áîêñ-Äæåíêèíñ". Êòî èëè ÷òî ýòî òàêîå? Î5 Áîêñ è Äæåíêèíñ äâà èññëåäîâàòåëÿ, êîòîðûå îïèñàëè ñâîéñòâà âðåìåííûõ ðÿäîâ è ðàçðàáîòàëè ðàçëè÷íûå ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ âðåìåííûõ ðÿäîâ â 1970-õ. Â6 Åñëè îïåðàòîð îáðàòíîãî ñäâèãà ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ âûðàæåíèÿ ÀÐ, ÀÐÑÑ è ÀÐÈÑÑ ìîäåëåé íåïîñðåäñòâåííî â òåðìèíàõ Z , ïî÷åìó îíè èçó÷àþòñÿ êàê îòäåëüíûå ìîäåëè? Î6 Âû ïðàâû â òîì, ÷òî âñå ýòè ìîäåëè ìîãóò áûòü âûðàæåíû â òåð- ìèíàõ Z . Îäíàêî, ðÿä, êîòîðûé Âû ïîëó÷àåòå, åñëè âû ýòî äåëàåòå îáûêíîâåííî, âêëþ÷àåò â ñåáÿ ãîðàçäî áîëüøå ñëàãàåìûõ (â äåéñòâèòåëüíîñòè, îáû÷íî áåñêîíå÷íîå êîëè÷åñòâî). Ïðàêòè÷åñêèå çàäà÷è, âêëþ÷àþùèå â ñåáÿ âðåìåííûå ðÿäû, ÷àñòî âêëþ÷àþò â ñåáÿ îöåíêó ïàðàìåòðîâ ìîäåëè. Áîëåå òðóäíî ñòàíîâèòñÿ, êîãäà ìîäåëè âûðàæàþòñÿ â âèäå ñóììû âåëè÷èí Z , òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå áîëüøå êîýôôèöèåíòîâ äëÿ îöåíêè. Â7 À êàê Âû ñîáèðàåòåñü "ïîäãîíÿòü"ìîäåëè âðåìåííûõ ðÿäîâ ê ðåàëüíûì, "æèçíåííûì"ïðîöåññàì? Î7 Äëÿ ýòîãî ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ñïîñîáîâ. Ñîñòàâëÿþùèå ñòàäèè: 1. Âûáèðàåì ñîîòâåòñòâóþùóþ ìîäåëü (íàïðèìåð, ÀÐ, ÑÑ è ò.ä.). Ðåøåíèå ÷àñòî ïðèõîäèò ñ ïîíèìàíèåì ìåõàíèçìîâ, ëåæàùèõ â îñíîâå ïðîöåññà. 2. Îïðåäåëÿåì ïîðÿäîê ïðîöåññà (òî åñòü çíà÷åíèÿ p, d è q ). Äëÿ íåêîòîðûõ ïðîöåññîâ (íàïðèìåð, äëÿ ÑÑ ïðîöåññà) âèä êîððåëîãðàììû (òî åñòü ãðàôèêà âûáîðî÷íîé àâòîêîððåëÿöèîííîé 348 ôóíêöèè) äàåò ÷åòêîå óêàçàíèå íà ïîðÿäîê ïðîöåññà. Â äðóãèõ ñëó÷àÿõ ìåòîäû, ïëîõî çàðåêîìåíäîâàâøèå ñåáÿ íà ïðàêòèêå, ìîãóò òðåáîâàòüñÿ, êîãäà ïðîöåññû ïîñëåäîâàòåëüíî âûñîêèõ ïîðÿäêîâ èñïûòûâàþòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà íå íàõîäÿò òî, ÷òî äàåò ïðèåìëåìîå ñîîòâåòñòâèå. 3. Îöåíèâàåì ïàðàìåòðû (òî åñòü êîýôôèöèåíòû). Ýòî ìîæåò áûòü ñäåëàíî ïðèìåíåíèåì ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ èëè ìåòîäà ïðèáëèæåíèÿ ìîìåíòîâ. Äðóãîé ïîäõîä ýòî ïðèìåíèòü ðÿäû Ôóðüå äëÿ àíàëèçà ñïåêòðà ÷àñòîò ïåðèîäîâ, êîòîðûå ïðèñóòñòâóþò â äàííûõ (òî åñòü îïðåäåëèòü "ìîùíîñòè"öèêëîâ ñ ðàçëè÷íûìè ïåðèîäàìè). Â8 Èñïîëüçóþòñÿ ëè âðåìåííûå ðÿäû äëÿ ÷åãî-íèáóäü åùå, êðîìå ïðîãíîçèðîâàíèÿ? Î8 Ïðîãíîçèðîâàíèå ýòî ãëàâíîå íàçíà÷åíèå. Îäíàêî, âðåìåííûå ðÿ- äû ìîãóò òàêæå ïðèìåíÿòüñÿ äëÿ ìîíèòîðèíãà è êîíòðîëÿ. Íàïðèìåð, ýêîíîìèñòû ìîãóò àíàëèçèðîâàòü ýêîíîìè÷åñêèå ïîêàçàòåëè, òàêèå êàê óðîâåíü áåçðàáîòèöû, è ñîâåòîâàòü ñîîòâåòñòâóþùèì ìèíèñòðàì â ïðàâèòåëüñòâå, åñëè ýòî íåîáõîäèìî, ñäåðæèâàòü òåíäåíöèþ, âûÿâëåííóþ ðàñ÷åòàìè. Òàêæå âðåìåííûå ðÿäû ìîãóò òàêæå ïðèìåíÿòüñÿ äëÿ àíàëèçà îñíîâíûõ ìåõàíèçìîâ, äåéñòâóþùèõ â ðåàëüíûõ ïðîöåññàõ. Íàïðèìåð, ýïèäåìèîëîãè, èçó÷àþùèå ðàñïðîñòðàíåíèå ÑÏÈÄà, ìîãóò ðàññìàòðèâàòü ôàêòîðû, âëèÿþùèå íà òåìïû âîçíèêíîâåíèÿ íîâûõ ñëó÷àåâ ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè ðàñïðîñòðàíåíèÿ (íàïðèìåð, íåçàùèùåííûé ñåêñ, èñïîëüçîâàíèå âíóòðèâåííûõ íàðêîòèêîâ, çàãðÿçí¼ííûå êðîâüþ ïðîäóêòû, îò ìàòåðè ê ðåáåíêó). 6.1 Ïîäñêàçêè äëÿ îòâåòîâ íà âîïðîñû 1. Âàæíî ÷åòêî ïîíèìàòü ðàçíèöó ìåæäó ðàçëè÷íûìè ïðîöåññàìè è èõ ìàòåìàòè÷åñêèìè îïèñàíèÿìè. 2. Z îáû÷íî íîðìàëèçîâàíû òàêèì îáðàçîì, ÷òî êîýôôèöèåíò Zt â îïðåäåëåíèÿõ ÀÐ, ÑÑ è ÀÐÑÑ ïðîöåññàõ ðàâíÿåòñÿ 1. 349 7 Îòâåòû íà âîïðîñû äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè Ðåøåíèå 12.1 Çäåñü ìîæåò áûòü íåñêîëüêî âîçìîæíûõ îòâåòîâ: (a) êîëè÷åñòâî ëþäåé, ïîãèáøèõ â ðåçóëüòàòå íåñ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ íà äîðîãå â Âåëèêîáðèòàíèè çà ïîñëåäíèå ìåñÿöû íàïðàâëåííàÿ áåçîïàñíîñòü òðàíñïîðòíûõ ñðåäñòâ (↓), óëó÷øå- íèå äîðîã (↓), èíòåíñèâíîå äâèæåíèå íà äîðîãàõ (↑) ïåðèîäè÷åñêàÿ óãîíû ìàøèí ðàäè áàëîâñòâà, ïîëèöåéñêèå îïå- ðàöèè çà áåçîïàñíîñòü (íàïðèìåð, ïðîòèâ óïðàâëåíèÿ àâòîìîáèëåì â ñîñòîÿíèè îïüÿíåíèÿ), èçìåíåíèÿ îãðàíè÷åíèé ñêîðîñòè ñåçîííàÿ ïëîõàÿ ïîãîäà è òåìíîòà ñëóæàò ïðè÷èíîé ìíîãèõ àâà- ðèé çèìîé. ñëó÷àéíàÿ èçìåíåíèÿ ñòðàëÿõ. óñëîâèé äâèæåíèÿ, àâàðèè íà àâòîìàãè- (b) êîëè÷åñòâî ñòðàõîâûõ ïîëèñîâ äëÿ ïóòåøåñòâóþùèõ, ïðîäàâàåìûå êàæäóþ íåäåëþ íàïðàâëåííàÿ ìíîãèå ëþäè ìîãóò ïîçâîëèòü ñåáå ïóòåøåñòâîâàòü â ñâÿçè ñ óëó÷øåíèåì óðîâíÿ æèçíè (↑) ïåðèîäè÷åñêàÿ ïóòåøåñòâèÿ îãðàíè÷èâàþò/îòìåíÿþò â ïåðèîäû ïîëèòè÷åñêèõ âîëíåíèé ñåçîííàÿ áîëüøèíñòâî ëþäåé ïóòåøåñòâóþò â ïåðèîä îòïóñêîâ, íàïðèìåð, ëåòîì, íà Ðîæäåñòâî ñëó÷àéíàÿ èçìåíåíèÿ äàò îòïóñêîâ (c) êîëè÷åñòâî äåòåé, ðîäèâøèõñÿ â Âåëèêîáðèòàíèè çà ïîñëåäíèå ìåñÿ- öû íàïðàâëåííàÿ óâåëè÷åíèå ïðèìåíåíèÿ ìåòîäîâ êîíòðàöåïöèè (↓), ðàçìåðû ñåìüè óìåíüøàþòñÿ â ñâÿçè ñ óðîâíåì óëó÷øåíèÿ æèçíè (↓) 350 ïåðèîäè÷åñêàÿ èçìåíåíèå "ìîäíîãî"ðàçìåðà ñåìüè ñåçîííàÿ ìíîãèå äåòè ðîæäàþòñÿ â ëåòíèå ìåñÿöû ñëó÷àéíàÿ èçìåíåíèå äàò çà÷àòèÿ è ïåðèîäîâ áåðåìåííîñòè (d) êîëè÷åñòâî êðàæ â äîìàõ, ñîîáùàåìûõ êàæäûé äåíü íàïðàâëåííàÿ óâåëè÷åíèå òåõíîëîãèé áåçîïàñíîñòè (↓), óâåëè÷å- íèå êðèìèíàëüíûé òåõíîëîãèé (↑) ïåðèîäè÷åñêàÿ óðîâåíü ïðåñòóïíîñòè âîçðàñòàåò â ïåðèîäû ýêî- íîìè÷åñêîãî ñïàäà ñåçîííàÿ ãðàáèòåëè îñòàþòñÿ äîìà â ïëîõóþ ïîãîäó ñëó÷àéíàÿ ïðåñòóïëåíèÿ êîíúþíêòóðùèêîâ, çàäåðæêè îò÷åòíî- ñòè (e) íàñåëåíèå ìèðà çà êàæäûé ãîä, íà÷èíàÿ ñ 1500 ãîäà íàïðàâëåííàÿ îñíîâíîå óâåëè÷åíèå óðîâíÿ ðîæäàåìîñòè îïåðå- æàåò óðîâåíü ñìåðòíîñòè (↑) ïåðèîäè÷åñêàÿ âîçíèêíîâåíèå íîâûõ áîëåçíåé, âîéí ñåçîííàÿ (íå ìîæåò áûòü íå âêëþ÷åíà â åæåãîäíûå äàííûå ) ñëó÷àéíàÿ ýïèäåìèè, îöåíêè ãîëîä, ñòèõèéíûå áåäñòâèÿ, ïîãðåøíîñòè Ðåøåíèå 12.2 Åñëè ìû âîçüìåì n = 12 è t1 = Jan, t2 = F eb, . . . è ïóñòü k ïðèíèìàåò ïîñëåäîâàòåëüíûå çíà÷åíèÿ 1,2,3,. . . ,12. Èç îïðåäåëåíèÿ ñòàöèîíàðíîñòè ñëåäóåò, ÷òî ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èí çà ÿíâàðü-äåêàáðü òàêîå æå, êàê è ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èí çà ÿíâàðü-ôåâðàëü è ò.ä. Ïîýòîìó ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå çà 12 ïîñëåäîâàòåëüíûõ ìåñÿöåâ òàêîå æå, íåçàâèñèìî îò òîãî, ñ êàêîãî ìåñÿöà ìû íà÷èíàåì, òî åñòü ñåçîííîñòü îòñóòñòâóåò. 351 Ðåøåíèå 12.3 Ðàçíîñòü âòîðîãî ïîðÿäêà: ∇2 Xt = ∇(∇Xt ) = ∇(Xt −Xt−1 ) = (Xt −Xt−1 )−(Xt−1 −Xt−2 ) = Xt −2Xt−1 +Xt−2 Äðóãèì ñïîñîáîì, èñïîëüçóÿ ñèìâîëè÷íîå ñîîòíîøåíèå ∇ = 1 − B , ïîëó÷àåì: ∇2 Xt = (1 − B)2 Xt = (1 − 2B + B 2 )Xt = Xt − 2Xt−1 + Xt−2 Ðåøåíèå 12.4 [a ] Ðàçíîñòè ïåðâîãî ïîðÿäêà: Wt = ∇Xt = Xt − Xt−1 Ïåðåãðóïïèðóåì, ïîëó÷èì: Xt = Xt−1 + Wt [b ] Ðàçíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà: Wt = ∇2 Xt = Xt − 2Xt−1 + Xt−2 Ïåðåãðóïïèðóåì, ïîëó÷èì: Xt = 2Xt−1 − Xt−2 + Wt Ðåøåíèå 12.5 Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü íàéòè ñëåäóþùèå êîððåëÿöèè: • äîâîëüíî ñèëüíóþ ïîëîæèòåëüíóþ êîððåëÿöèþ òåìïåðàòóð ñîñåäíèõ ìåñÿöåâ (òî åñòü âåëè÷èí, ðàçäåëåííûõ 1 èëè 2 ìåñÿöàìè) • î÷åíü ñèëüíóþ ïîëîæèòåëüíóþ êîððåëÿöèþ òåìïåðàòóð îäèíàêîâûõ ìåñÿöåâ â ðàçíûå ãîäû (òî åñòü âåëè÷èí, ðàçäåëåííûõ 12 ìåñÿöàìè, 24 ìåñÿöàìè è ò.ä.), õîòÿ îíà ìîæåò óìåíüøàòüñÿ ñî âðåìåíåì, åñëè èìååòñÿ öèêë ñ äëèòåëüíûì ïåðèîäîì, âëèÿþùèé íà ïîãîäó • ñèëüíóþ îòðèöàòåëüíóþ êîððåëÿöèþ òåìïåðàòóð â ïðîòèâîïîëîæíûå âðåìåíà ãîäà (òî åñòü âåëè÷èí, ðàçäåëåííûõ 5, 6 èëè 7 ìåñÿöàìè) Ïîýòîìó àâòîêîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò âûãëÿäåòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: 352 Ðåøåíèå 12.6 Âûáîðî÷íîå ñðåäíåå: 12 36 1 X xt = =3 x= 12 t=1 12 Âû÷èòàÿ ýòî èç çíà÷åíèé ðÿäà, ïîëó÷àåì: 1, 2, 3, 0, 0, −2, −3, −2, 0, −1, 0, 2 Ïðèìåíèì ôîðìóëó ck = n1 n−k P (xt − x)(xt+k − x) äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîýô- t=1 ôèöèåíòîâ àâòîêîððåëÿöèàöèè: c0 = 1 36 [(1)(1) + (2)(2) + (3)(3) + . . . + (2)(2)] = =3 12 12 1 20 5 [(1)(2) + (2)(3) + (3)(0) + . . . + (0)(2)] = = 12 12 3 1 7 c2 = [(1)(3) + (2)(0) + (3)(0) + . . . + (−1)(2)] = 12 12 1 11 c6 = [(1)(−3) + (2)(−2) + (3)(0) + . . . + (−2)(2)] = − 12 12 Ïîýòîìó êîýôôèöèåíòû àâòîêîððåëÿöèàöèè: c1 = èíòåðâàë 1 ìåñÿö: r1 = c1 /c0 = 5/9 = 0.556 èíòåðâàë 2 ìåñÿöà: r2 = c2 /c0 = 7/36 = 0.194 èíòåðâàë 6 ìåñÿöåâ: r6 = c6 /c0 = −11/36 = −0.306 Êîýôôèöèåíòû ïîêàçûâàþò, ÷òî çíà÷åíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ìåñÿöåâ ñõîæè (r1 = 0.556), íî ýòà âçàèìîñâÿçü óìåíüøàåòñÿ, êîãäà èíòåðâàë óâåëè÷èâàåòñÿ (íàïðèìåð, r2 = 0.194), è ïðåâðàùàåòñÿ â îáðàòíóþ çàâèñèìîñòü (r6 = −0.306) äëÿ ìåñÿöåâ èç ïðîòèâîïîëîæíûõ ÷àñòåé ãîäà. Ðåøåíèå 12.7 Òàê êàê âàðèàöèÿ Xt çàâèñèò îò ôàêòè÷åñêîãî âðåìåíè t (ïîòîìó ÷òî ïî ôîðìóëå V ar(Xt ) = tσ 2 ), òî èñõîäíûé ðÿä Xt íå ìîæåò áûòü ñòàöèîíàðíûì. Ïî îïðåäåëåíèþ ðàçíîñòÿìè ÿâëÿþòñÿ Xt − Xt−1 = Zt . Òàê êàê Zt ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè, òî îíè ôîðìèðóþò ñòàöèîíàðíûé ïðîöåññ. 353 Ðåøåíèå 12.8 Ýëåìåíòàìè àâòîêîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè Cov(Xt , Xt+k ) ÿâëÿþòñÿ: Xt = β0 Zt + β1 Zt−1 + . . . + βq Zt−q è Xt+k = β0 Zt+k + β1 Zt+k−1 + . . . + βq Zt+k−q Åñëè k > q , òîãäà t + k − q > t. Ïîýòîìó ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â Xt+k ñëåäóåò çà ïåðâûì ñëàãàåìûì â Xt , òî åñòü ñëàãàåìûå â Xt è Xt+k íå ñîâïàäàþò. Ïîýòîìó Xt è Xt+k íåçàâèñèìû, è àâòîêîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ ðàâíÿåòñÿ íóëþ. Ðåøåíèå 12.9 Ýòî ìîæåò áûòü ñäåëàíî, åñëè âûðàçèòü Xt íåïîñðåäñòâåííî â òåðìèíàõ Z . Ïðîöåññ çàäàåòñÿ êàê Xt = αXt−1 + Zt . Ïåðåãðóïïèðóåì ýòî îïðåäåëåíèå, ïîëó÷èì: Zt = Xt − αXt−1 = Xt − αBXt = (1 − αB)Xt Ïðåîáðàçóåì è ðàçëîæèì â ðÿä (ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî |α| < 1), ïîëó÷èì: Xt = (1 − αB)−1 Zt = (1 + αB + α2 B 2 + . . .)Zt = Zt + αZt−1 + α2 Zt−2 + . . . Òàê êàê Z ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì íîëü è äèñïåðñèåé σ 2 , òî: E(Xt ) = E(Zt + αZt−1 + α2 Zt−2 + . . .) = 0 σ2 V ar(Xt ) = V ar(Zt + αZt−1 + α Zt−2 + . . .) = (1 + α + α + . . .)σ = 1 − α2 2 2 Ðåøåíèå 12.10 (a) Èç óðàâíåíèÿ (1), ìû ïîëó÷àåì: 0.1γ2 = 0.6γ0 − 0.6γ1 òî åñòü γ2 = 6γ0 − 6γ1 Èç óðàâíåíèÿ (2) ïîëó÷àåì: γ2 = 0.4γ0 + 0.5γ1 354 4 2 Èñêëþ÷àÿ γ2 èç ýòèõ äâóõ óðàâíåíèé, ïîëó÷àåì γ1 = 5.6 γ = 56 γ. 6.5 0 65 0 54 Ïîäñòàâëÿÿ îáðàòíî, ïîëó÷àåì γ1 = 65 γ0 . Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ (3) è (4), ìû ïîëó÷èì, ÷òî: γ3 = 0.6 × 54 56 483 γ0 + 0.4 × γ0 − 0.1γ0 = γ0 65 65 650 56 54 483 γ0 − 0.92 × γ0 + 0.2 × γ0 = 0.22508γ0 65 65 650 Ïîýòîìó çíà÷åíèÿ àâòîêîâàðèàöèé: σ 2 = 1.53γ0 − 0.8 × γ0 = 4.4429σ 2 γ1 = 3.8278σ 2 γ2 = 3.6911σ 2 γ3 = 3.3014σ 2 (b) Ðàçäåëèì íà γ0 , ïîëó÷àåì êîýôôèöèåíòû àâòîêîððåëÿöèàöèè: ρ0 = 1 ρ1 = 0.862 ρ2 = 0.831 ρ3 = 0.743 Ðåøåíèå 12.11 (a) ×èñòî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ: ÀÐÈÑÑ(0,0,0) (b) Ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå: ÀÐÈÑÑ(1,0,0) ïðè α1 = 1 èëè ÀÐÈÑÑ(0,1,0) (c) Ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî: (d) Àâòîðåãðåññèâíûé ïðîöåññ: ÑÑ(q) = ÀÐÈÑÑ(0,0,q) ÀÐ(p) = ÀÐÈÑÑ(p,0,0) (e) Àâòîðåãðåññèâíûé ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî: ÀÐÈÑÑ(p,0,q) 355 ÀÐÑÑ(p,q) = Ãëàâà 13 Îñíîâû òåîðèè. Âðåìåííûå ðÿäû 1 Âðåìåííûå ðÿäû 1.1 Ââåäåíèå Âðåìåííîé ðÿä ýòî ïðîñòî íàáîð íàáäþäåíèé, ñäåëàííûõ äðóã çà äðóãîì ïî ïðîøåñòâèè âðåìåíè. Òàêîé ðÿä â îáùåì ìîæåò áûòü çàïèñàí: y(t1 ), y(t2 ), . . . , y(tn ) òî åñòü {y(ti ) : i = 1, 2, 3, . . . , n} Äàííûå ðÿäà, êîòîðûå íàáëþäàþòñÿ, îáû÷íî ðàçäåëåíû ðàâíûìè ïðîìåæóòêàìè âðåìåíè. Â ýòîì ñëó÷àå ðÿä çàïèñûâàåòñÿ: y 1 , y2 , . . . , y n òî åñòü {yt : t = 1, 2, 3, . . . , n} Òîò ôàêò, ÷òî íàáëþäåíèÿ ïðîèñõîäÿò óïîðÿäî÷åííî ñî âðåìåíåì, èìååò âàæíåéøåå çíà÷åíèå äëÿ ëþáîé ïîïûòêè îïèñûâàòü, àíàëèçèðîâàòü è ìîäåëèðîâàòü äàííûå âðåìåííûõ ðÿäîâ. Íàáëþäåíèÿ ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì è íå ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê íàáëþäåíèÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ñóùåñòâóåò ñèëüíàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó ÷ëåíàìè îñíîâíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âåëè÷èí, êîòîðóþ ëþáîé àíàëèç äîëæåí ðàñïîçíàâàòü è èñïîëüçîâàòü. Çàìåòèì, ÷òî íàáëþäåíèÿ yt ìîãóò ïîÿâëÿòüñÿ â ðàçíûõ ñèòóàöèÿõ íàïðèìåð, øêàëà âðåìåíè ìîæåò áûòü ïî ñóòè äèñêðåòíîé (êàê â ñëó÷àå ðÿäîâ "çàêëþ÷èòåëüíîãî" ðàçäåëåíèÿ öåí) èëè ðÿäû ìîãóò ïîÿâëÿòüñÿ êàê âûáîðêà ðÿäîâ íàáëþäàåìûõ íåïðåðûâíî ïî âðåìåíè (êàê â ñëó÷àå åæå÷àñíûõ äàííûõ èç òàáëèöû àòìîñôåðíûõ òåìïåðàòóð), èëè íàáëþäåíèÿ ìîãóò ïðåäñòàâëÿòü ðåçóëüòàòû ñîñòàâíûõ âåëè÷èí çà ïåðèîä âðå356 ìåíè (êàê â ñëó÷àå îáùåãî äîõîäà êàìïàíèè ïî ñòðàõîâûì ïðåìèÿì îò íîâîãî âèäà êîììåð÷åñêîé äåÿòåëüíîñòè çà êàæäûé ìåñÿö). Îñíîâíûå öåëè àíàëèçà âðåìåííûõ ðÿäîâ âêðàòöå âûãëÿäÿò òàê: i) Îïèñàíèå è ìîäåëèðîâàíèå (a) Âñåãäà ñíà÷àëà èçîáðàçèòå äèàãðàììó äàííûõ. Âûÿâèòå îñíîâ- íûå ñâîéñòâà ðÿäà (íàïðèìåð, íàïðàâëåííîå, ñåçîííîå âëèÿíèå) è ìîæåòå îáîçíà÷èòü ïîäõîäÿùèé ìåòîä àíàëèçà. Ìîæåòå ïðåäëîæèòü æåëàòåëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå (íàïðèìåð, àíàëèçèðîâàòü wt = log yt âìåñòî yt ). Ìîæåòå âûÿâèòü íàëè÷èå âûáðîñîâ íàáëþäåíèÿ, êîòîðûå íå ñîîòâåòñòâóþò îáùåé ìîäåëè äàííûõ. (b) Íàéäèòå ïðîñòûå îïèñàòåëüíûå èòîãîâûå õàðàêòåðèñòèêè (íà- ïðèìåð, ñðåäíåå çíà÷åíèå äîõîäà çà ÿíâàðü, ñðåäíåå îòêëîíåíèå îò åæåäíåâíîãî êîëè÷åñòâà îñàäêîâ, îöåíêó ñðåäíåãî îòêëèêà êàê ôóíêöèþ âðåìåíè, ñêàæåì, µ(t)). Ìíîæåñòâî âåëè÷èí, íàçûâàåìûõ âûáîðî÷íûìè êîýôôèöèåíòàìè àâòîêîððåëÿöèàöèè, ïîäòâåðæäàåò áîëüøîå çíà÷åíèå èòîãîâîé ñâÿçè ìåæäó íàáëþäåíèÿìè ñ ôèêñèðîâàííûìè ïðîìåæóòêàìè âðåìåíè. (c) Ìîäåëèðîâàíèå: ðåøåíèå, ïîëó÷åííîå íàèáîëåå ïîäõîäÿùèì ñïîñîáîì ïðîñòîå äåòåðìèíèðîâàííîå îïèñàíèå îñíîâíûõ îñîáåííîñòåé èëè áîëåå ñëîæíàÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ ìîäåëü è ïîñëåäîâàòåëüíûé ïîäáîð ìîäåëè. ii) Ïðîãíîçèðîâàíèå Ïðîãíîçèðóåìûå áóäóùèå çíà÷åíèÿ î÷åíü âàæíî íà ïðàêòèêå ìíîãî ðàçëè÷íûõ ìåòîäîâ/êðèòåðèè èñïîëüçîâàíèÿ. iii) Ïðîöåññ ìîíèòîðèíãà/êîíòðîëÿ Ïðèìåíÿÿ íàáëþäàåìûå âðåìåííûå ðÿäû äëÿ îáíàðóæåíèÿ èçìåíåíèé îñíîâíîãî ïðîöåññà (áóäü ýòî ïðîèçâîäñòâåííûé ïðîöåññ, ñîñòîÿíèå çäîðîâüÿ ïàöèåíòà, èëè ìåðà âûïîëíåíèÿ äåëà). iv) Îáúÿñíåíèå Â ìíîãîìåðíîì êîíòåêñòå, èñïîëüçóÿ äèñïåðñèþ îäíîãî âðåìåííîãî ðÿäà, ÷òîáû ïîìî÷ü "îáúÿñíèòü"ïîâåäåíèå äðóãîãî ðÿäà. 357 2 Ïðîñòûå îïèñàòåëüíûå ñïîñîáû Ó íåêîòîðûõ âðåìåííûõ ðÿäîâ äèñïåðñèÿ ïîä÷èíåíà î÷åâèäíûì ñâîéñòâàì, è ïðîñòàÿ äåòåðìèíèðîâàííàÿ ìîäåëü ýòî, ìîæåò áûòü, âñå, ÷òî òðåáóåòñÿ äëÿ àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ. Òàêîé àíàëèç ñîñòàâëÿåò îáû÷íî ðàñïàäàþùèåñÿ âðåìåííûå ðÿäû íà ñëåäóþùèå êîìïîíåíòû: i) íàïðàâëåííàÿ ii) ñåçîííîñòü (èëè ñåçîííàÿ êîìïîíåíòà/âîçäåéñòâèå) iii) ïåðèîäè÷åñêàÿ (èëè ïåðèîäè÷åñêèå ôëóêòóàöèè) iv) íåðåãóëÿðíàÿ êîìïîíåíòà (îñòàòêè) Íàïðàâëåííàÿ: äîëãîñðî÷íîå èçìåíåíèå â ñðåäíåì ïëàâíîå êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå. Ïðèìåð íàïðàâëåííîñòè ðîñò öåí âî âðåìÿ íåïðåðûâíîé èíôëÿöèè. Ïðè óäàëåíèè íàïðàâëåííîñòè, ðÿä íàçûâàåòñÿ "ëèøåííûì íàïðàâëåííîñòè". Ñåçîííîñòü: äèñïåðñèÿ, êîòîðàÿ ïåðèîäè÷íà ïî õàðàêòåðó îïðåäåëåííîãî ìåòîäà. Ïðèìåð ñåçîííîñòè ïðîäàæè ôîòîïëåíîê, êîòîðûå äîñòèãàþò ñâîåãî ìàêñèìóìà â ïåðèîäû îòïóñêîâ è Ðîæäåñòâà. Ïðè óäàëåíèè äåéñòâèÿ ñåçîííîñòè, ðÿä íàçûâàåòñÿ "ñ óñòðàíåíèåì ñåçîííûõ êîëåáàíèé". Ïåðèîäè÷åñêàÿ: êðàòêîñðî÷íîå èëè äîëãîñðî÷íîå êîëåáàíèå âîêðóã íàïðàâëåííîñòè, îáóñëîâëåííîå ðàçëè÷íûìè ïðè÷èíàìè, êîòîðûå ïîðîæäàþò íàïðàâëåííîñòü è ïðåäñêàçóåìû äî íåêîòîðîé ñòåïåíè. Ïðèìåð ïåðèîäè÷íîñòè ýêîíîìè÷åñêèå öèêëû ñïàäà è ðîñòà. Íåðåãóëÿðíàÿ êîìïîíåíòà: ðÿä îñòàòêîâ ïîëó÷àåòñÿ ïîñëå óäàëåíèÿ íàïðàâëåííîñòè, ñåçîííîãî âîçäåéñòâèÿ è ïåðèîäè÷åñêèõ ôëóêòóàöèé. Ýòè îñòàòêè ìîãóò ñîñòàâëÿòü "ñëó÷àéíûé ðÿä òî åñòü ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê íàáëþäåíèÿ íåçàâèñèìûõ, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Íåò ñõåìû èëè ñòðóêòóðû, îñòàâëåííîé äëÿ ìîäåëè. (Îíè, òåì íå ìåíåå, ìîãóò ïðîÿâëÿòü çàâèñèìîñòü.) Ñëåäóþùèå äèàãðàììû ïîêàçûâàþò ìíîæåñòâî äàííûõ âðåìåííûõ ðÿäîâ êàê óäàëåííûå êîìïîíåíòû. Ïåðâàÿ äèàãðàììà ïîêàçûâàåò ïîëíûå äàííûå. Îíà ïðåäñòàâëÿåò 12 ëåò åæåìåñÿ÷íûõ äàííûõ. Äàííûå ïîêàçûâàþò â îñíîâíîì óâåëè÷åíèå íàïðàâëåííîñòè çà 12-ëåòíèé ïåðèîä. Ìû âèäèì îñíîâíûå ìàêñèìóìû êàæäûå ÷åòûðå ãîäà, îáîçíà÷àþùèå ÷åòûðåõãîäè÷íûå ïåðèîäû. Âòîðàÿ äèàãðàììà ïîêàçûâàåò äàííûå, ëèøåííûì íàïðàâëåííîñòè. Íà òðåòüåé äèàãðàììå êðîìå òîãî óäàëèëè ÷åòû358 ðåõãîäè÷íûå ïåðèîäû. Íåîñíîâíûå ìàêñèìóìû êàæäîãî ãîäà ïîêàçûâàþò ñåçîííîñòü. Íà ÷åòâåðòîé äèàãðàììå êðîìå òîãî óäàëèëè ñåçîííîñòü, îñòàâèâ òîëüêî íåðåãóëÿðíóþ êîìïîíåíòó. Ìîäåëü âðåìåííîãî ðÿäà Ìîäåëü âðåìåííîãî ðÿäà: ëèøåííàÿ íàïðàâëåííîñòè Ìîäåëü âðåìåííîãî ðÿäà: ëèøåííàÿ íàïðàâëåííîñòè è òðåõãîäè÷íûõ ïåðèîäîâ Ìîäåëü âðåìåííîãî ðÿäà: ëèøåííàÿ íàïðàâëåííîñòè, òðåõãîäè÷íûõ ïåðèîäîâ è ñåçîííîñòè 3 Ïðîöåññû âðåìåííîãî ðÿäà Âðåìåííîé ðÿä {yt : t = 1, 2, . . . , n} ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ ìíîæåñòâîì ðåàëèçîâàííûõ çíà÷åíèé (ôàêòè÷åñêè íàáëþäàåìûõ çíà÷åíèé) ìíîæåñòâà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {Yt : t = 1, 2, . . . , n}. Êàæäàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Yt èìååò ðàñïðåäåëåíèå, ñðåäíåå çíà÷åíèå è äèñïåðñèþ, è Yt íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè. Ôóíêöèÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ (èëè íàïðàâëåííîñòè) ïðîöåññà åñòü µ(t) = E(Yt ). Yt è Ys îäèíàêîâî êîððåëèðîâàííûå, è àâòîêîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ ïðîöåññà îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îïðåäåëåíèå: Àâòîêîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ γ(t, s) âåëè÷èí {Yt } çàäàåòñÿ: γ(t, s) = E[{Yt − µ(t)}{Ys − µ(s)}] Äèñïåðñèÿ ïðîöåññà åñòü σ 2 (t) = γ(t, t) Îñíîâíàÿ èäåÿ èçó÷åíèÿ ïðîöåññîâ âðåìåííûõ ðÿäîâ â ñòàöèîíàðíîñòè, èäåÿ òîãî, ÷òî ñòðóêòóðà/ñâîéñòâà ïðîöåññà íå èçìåíÿþòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè. Ýòîãî äîñòàòî÷íî, ÷òîáû óòâåðæäàòü, ÷òî (i) ñðåäíåå çíà÷åíèå µ(t) ïîñòîÿííî äëÿ âñåõ çíà÷åíèé t (ïîýòîìó ìîæíî ïðîñòî îáîçíà÷èòü µ), è ÷òî (ii) çíà÷åíèå àâòîêîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè γ(t, s) çàâèñèò òîëüêî îò çàïàçäûâàíèÿ k , ãäå k = |t − s|, ðàññìàòðèâàåòñÿ èíòåðâàë âðåìåíè ìåæäó äâóìÿ âåëè÷èíàìè. Â äàííîì ñëó÷àå γ(k) èëè γk çàïèñàíû äëÿ γ(t, t + k), è γ(0) èëè γ0 äëÿ äèñïåðñèè ïðîöåññà. Ïîëåçíî óñòàíîâèòü ñîîòíîøåíèÿ àâòîêîâàðèàöèè, ÷òîáû èñïîëüçîâàòü àâòîêîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ/êîýôôèöèåíò. Îïðåäåëåíèå: àâòîêîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ρ(k) ñòàöèîíàðíîãî ïðîöåññà âðåìåííîãî ðÿäà Yt çàäàåòñÿ ρ(k) = γ(k)/γ(0), ãäå γ(k) = Cov(Yt , Yt+k ) Îáû÷íî çàïèñûâàþò ρ(k) äëÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ñ çàïàçäûâàíèåì k , è ññûëàþòñÿ íà íåãî êàê íà êîýôôèöèåíò 359 àâòîêîððåëÿöèàöèè ñ çàïàçäûâàíèåì k . Çàìåòèì, ÷òî ρ0 = 1 è, äëÿ k > 0, ρ−k = ρk . 4 Àâòîðåãðåññèâíûé ïðîöåññ (ÀÐ), ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî (ÑÑ) è àâòîðåãðåññèâíûé ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî (ÀÐÑÑ) Â ýòîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàþòñÿ äâà ñåìåéñòâà ïðîöåññîâ. Â êàæäîì ñëó÷àå ÷èñòî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ Zt ñîñòàâëÿåò âàæíóþ îñíîâó. Zt íåçàâèñèìû äðóã îò äðóãà, ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì 0 è äèñïåðñèåé σZ2 . Òàêîé ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ "áåëûé øóì". 4.1 Àâòîðåãðåññèâíûé ïðîöåññ (ÀÐ) Îïðåäåëåíèå: {Yt } ÿâëÿåòñÿ àâòîðåãðåññèâíûì ïðîöåññîì ïîðÿäêà p, åñëè Yt = α1 Yt−1 + α2 Yt−2 + . . . + αp Yt−p + Zt Îáû÷íî çàïèñûâàþò "Yt ÿâëÿåòñÿ ÀÐ(p) ïðîöåññîì". ÀÐ ïðîöåññû îáåñïå÷èâàþò âåðîÿòíîñòíóþ ìîäåëü â ëþáîé ñèòóàöèè, ãäå âîçìîæíî ðàññìîòðåíèå çíà÷åíèé âðåìåííûõ ðÿäîâ â çàâèñèìîñòè îò áëèæàéøèõ ïðîøåäøèõ çíà÷åíèé ïëþñ òåêóùàÿ øóìîâàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ/ñëó÷àéíûé âåêòîð îøèáîê. 4.2 Ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî (ÑÑ) Îïðåäåëåíèå: {Yt } ÿâëÿåòñÿ ïðîöåññîì ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî (ÑÑ) ïîðÿäêà p, åñëè Yt = Zt + β1 Zt−1 + . . . + βq Zt−q Îáû÷íî çàïèñûâàþò "Yt ÿâëÿåòñÿ ÑÑ(q) ïðîöåññîì". ÑÑ ïðîöåññû îáåñïå÷èâàþò âåðîÿòíîñòíóþ ìîäåëü â ëþáîé ñèòóàöèè, ãäå âîçìîæíî ðàññìîòðåíèå çíà÷åíèé âðåìåííûõ ðÿäîâ â ðåçóëüòàòå êîìáèíàöèè òåêóùèõ è áëèæàéøèõ ïðîøåäøèõ øóìîâ/ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ îøèáîê. Â äàííîì ïðåäñòàâëåíèè {Yt } ÿâëÿåòñÿ "ñãëàæåííûì øóìîì". 360 4.3 Àâòîðåãðåññèâíûé ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî (ÀÐÑÑ) Äâà îñíîâíûõ ïðîöåññà (ÀÐ è ÑÑ) ìîãóò áûòü ñîåäèíåíû âìåñòå äëÿ ïîëó÷åíèÿ àâòîðåãðåññèâíîãî ïðîöåññà ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî (ÀÐÑÑ). Îïðåäåëåíèå ÀÐÌÀ(p,q) ïðîöåññà: Yt = α1 Yt−1 + α2 Yt−2 + . . . + αp Yt−p + Zt + β1 Zt−1 + . . . + βq Zt−q Çàìåòèì, ÷òî ÀÐÌÀ(p,0) åñòü ÀÐ(p); ÀÐÌÀ(0,q) åñòü ÑÑ(q). 5 Äèôôåðåíöèðîâàíèå äàííûõ âðåìåííûõ ðÿäîâ è ÀÐÈÑÑ ïðîöåññû Äèôôåðåíöèðîâàíèå äàííûõ âðåìåííûõ ðÿäîâ îäèí èç íåñêîëüêèõ äîñòóïíûõ ìåòîäîâ, ÷àñòî ïðèìåíÿåìûõ äëÿ óäàëåíèÿ íàïðàâëåííîé è/èëè àääèòèâíîé ñåçîííîé êîìïîíåíò ðÿäà. Ðàçíîñòü ìåæäó ïàðàìè íàáëþäåíèé âû÷èñëÿåòñÿ ñ ñîîòâåòñòâóþùèì èíòåðâàëîì âðåìåíè, è ïîëó÷åííûé ðÿä èñïîëüçóåòñÿ. Çàäàí ðÿä {yt : t = 1, 2, . . . , n}, çàòåì äèôôåðåíöèðóåì ñ çàïàçäûâàíèåì k , ïîëó÷àåì ïðåîáðàçîâàííûé ðÿä {vt }, ãäå vt = yt − yt−k Äèôôåðåíöèðóÿ ñ çàïàçäûâàíèåì 1 (ïîëó÷àÿ "ïåðâûå ðàçíîñòè"), èñêëþ÷àåì ëèíåéíóþ íàïðàâëåííîñòü. [Ïóñòü Yt = mt + Zt , ãäå mt = a + bt. E(Yt ) = a + bt. Òîãäà Vt = Yt − Yt−1 = a + bt + Zt − a − b(t − 1) − Zt−1 = b + Zt − Zt−1 è E(Vt ) = b(êîíñòàíòà)]. [Çàìåòèì, ÷òî äèôôåðåíöèðîâàíèå ñ çàïàçäûâàíèåì áîëüøå 1 óñòðàíÿåò ëèíåéíóþ íàïðàâëåííîñòü âìåñòå ñ ñåçîííûìè âîçäåéñòâèÿìè] Íàïðèìåð, äèôôåðåíöèðîâàíèå ñ çàïàçäûâàíèåì â 4 ìåñÿöà óñòðàíÿåò ñåçîííûå âîçäåéñòâèÿ â äàííûõ çà êâàðòàë. Ýòè îñíîâíûå äåéñòâèÿ ìîæíî ïðîäîëæèòü. Íàïðèìåð, êâàäðàòè÷íàÿ íàïðàâëåííîñòü óñòðàíÿåòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèåì ñ çàïàçäûâàíèåì 1 âòîðîé ðàç, òî åñòü äèôôåðåíöèðóÿ óæå äèôôåðåíöèðóåìûé ðÿä. Ïóñòü vt = yt − yt−1 , òîãäà wt = vt − vt−1 ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî wt = yt − 2yt−1 + yt−2 . Äèôôåðåíöèðîâàíèå ðÿäîâ (ñ çàïàçäûâàíèåì 1, è áîëåå îäíîãî ðàçà, åñëè íåîáõîäèìî) äàåò ðÿä, äëÿ êîòîðîãî ñòàöèîíàðíàÿ ìîäåëü ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé ìåòîäîëîãèè ìîäåëèðîâàíèÿ è ïðîãíîçèðîâàíèÿ, ïðîïàãàíäèðóåìîé Áîêñîì è Äæåíêèíñîì, ìåòîäîëîãèè, êîòîðîÿ øèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ è èìååò îãðîìíîå çíà÷åíèå ñ íà÷àëà 1970-õ ãîäîâ. 361 Èñïîëüçóåì ýòè äåéñòâèÿ äëÿ ðàñøèðåíèÿ êëàññà ÀÐÑÑ ïðîöåññîâ, êîòîðûå èìååþò î÷åíü øèðîêóþ îáëàñòü ïðèìåíåíèÿ. Ðàñøèðåííîå ñåìåéñòâà ïðîöåññîâ íàçûâàåòñÿ ÀÐÈÑÑ ïðîöåññû äàåò î÷åíü ïîëåçíûå ñåìåéñòâà ìîäåëåé äëÿ íåñòàöèîíàðíûõ ðÿäîâ. "ÀÐÈÑÑ ïðîöåññ"îáîçíà÷àåò "àâòîðåãðåññèâíûé èíòåãðèðîâàííûé ïðîöåññ ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî". Òåðìèí "èíòåãðèðîâàííûé"îáîçíà÷àåò îáðàòíóþ îïåðàöèþ ê "äèôôåðåíöèðóåìûé". {Yt } ÿâëÿåòñÿ ÀÐÈÑÑ(p,d,q) ïðîöåññîì, åñëè ïîñëå åãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ d ðàç, ïðîöåññ ñòàíîâèòñÿ ÀÐÑÑ(p,q) ïðîöåññîì. Ïîýòîìó ÀÐÈÑÑ ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ íåñòàöèîíàðíûì ïðîöåññîì, è åãî d-àÿ ðàçíîñòè ñîñòàâëÿþò ñòàöèîíàðíûé ÀÐÑÑ ïðîöåññ. Äàäàèì áîëåå ëàêîíè÷íîå îïðåäåëåíèå, äëÿ ýòîãî èñïîëüçóåì îïåðàòîð îáðàòíîãî ñäâèãà B , êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ (åãî äåéñòâèåì) êàê BYt = Yt−1 . Äåéñòâèå îïåðàòîðà B ïåðåìåùåíèå íàçàä íà îäíó åäèíèöó âðåìåíè. Ïåðâàÿ ðàçíîñòü ìîæåò áûòü çàïèñàíà êàê Vt = Yt − Yt−1 = (1 − B)Yt , âòîðàÿ ðàçíîñòü êàê Wt = Vt − Vt−1 = (1 − B)Vt = (1 − B)2 Yt , è â îáùåì âèäå d-àÿ ðàçíîñòü êàê (1 − B)d Yt . Îïðåäåëåíèå: {Yt } ÿâëÿåòñÿ ÀÐÈÑÑ(p,d,q) ïðîöåññîì, åñëè Xt = (1 − B)d Yt ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíûì ÀÐÑÑ(p,q) ïðîöåññîì. 6 Íàõîæäåíèå àâòîêîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè: ïðèìåð Ïîêàæèòå, ÷òî àâòîêîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ÀÐÑÑ(1,1) ïðîöåññà Yt = αYt−1 + Zt + βZt−1 çàäàííîé êàê ρ1 = (1 + αβ)(α + β) 1 + β 2 + 2αβ âûïîëíÿåòñÿ: ρk = αρk−1 , k = 2, 3, . . . Ðåøåíèå Èñïîëüçóÿ îïåðàòîð îáðàòíîãî ñäâèãà B , èìååì (1 − αB)Yt = (1 + βB)Zt 362 =⇒ Yt = (1 + βB) Zt (1 − αB) = (1 + βB)(1 + αB + α2 B 2 + . . .)Zt ! ∞ X = 1 + (α + β) αj−1 B j Zt j=1 = Zt + (α + β) ∞ X αj−1 Zt−j j=1 E(Yt ) = 0 E(Yt Zt ) = σZ2 E(Yt Zt−1 ) = (α + β)σZ2 E(Yt Zt+k ) = 0 k = 1, 2, . . . Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå ïðîöåññ Yt2 = αYt Yt−1 + Yt Zt + βYt Zt−1 Âîçüìåì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, ïîëó÷èì γ(0) = αγ(1) + σZ2 + β(α + β)σZ2 = αγ(1) + (1 + αβ + β 2 )σZ2 Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå ïðîöåññ 2 Yt Yt−1 = αYt−1 + Zt Yt−1 + βZt−1 Yt−1 Âîçüìåì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, ïîëó÷èì γ(1) = αγ(0) + 0 + βσZ2 Ðåøàÿ, ïîëó÷àåì γ(0) = è (1 + β 2 + 2αβ) 2 σZ 1 − α2 (1 + αβ)(α + β) 2 σZ 1 − α2 Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå ïðîöåññ γ(1) = Yt Yt−k = αYt−1 Yt−k + Zt Yt−k + βZt−1 Yt−k 363 Âîçüìåì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, ïîëó÷èì γ(k) = αγ(k − 1) Ïîýòîìó ρ1 = è ρk = k = 2, 3, . . . γ(1) (1 + αβ)(α + β) = γ(0) (1 + β 2 + 2αβ) γ(k) γ(k − 1) =α = αρk−1 γ(0) γ(0) 364 k = 2, 3, . . . ×àñòü VIII 365 Ãëàâà 14 Òðåóãîëüíèêè ðàçâèòèÿ Öåëè ãëàâû Ê êîíöó äàííîé ãëàâû âû áóäåòå óìåòü: • ïîíèìàòü èñêîâûé ïðîöåññ â ñòðàõîâàíèè îáùåãî âèäà • îïèñûâàòü êîíöåïöèþ òðåóãîëüíèêîâ çàäåðæêè (èëè ðàçâèòèÿ) • îïèñûâàòü è ïðèìåíÿòü îñíîâíîé öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä • îïèñûâàòü è ïðèìåíÿòü ìåòîä èíòåðâàëîâ 1 Ââåäåíèå Â ñëåäóþùèõ äâóõ ãëàâàõ ìû ðàññìîòðèì íåêîòîðûå àñïåêòû ñòðàõîâàíèÿ îáùåãî âèäà. Òðåóãîëüíèêè ðàçâèòèÿ âàæíàÿ òåìà â ïðàêòè÷åñêîé ðàáîòå àêòóàðèåâ, ðàáîòàþùèõ â îáùåì ñòðàõîâàíèè, êîòîðûì ïðèõîäèòñÿ èñïîëüçîâàòü êðóïíîôîðìàòíûå òàáëèöû è äðóãèå êîìïëåêòû âû÷èñëèòåëüíîãî îáîðóäîâàíèÿ, ÷òîáû ñïðîãíîçèðîâàòü áóäóùèå êîëè÷åñòâà è âåëè÷èíû èñêîâ. Â ýòîì ðàçäåëå ìû ðàññìîòðèì òðè ñòàíäàðòíûõ ìåòîäà ïðîåêòèðîâàíèÿ òðåóãîëüíèêîâ ðàçâèòèÿ îñíîâíîé öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä, ìåòîä óðåãóëèðîâàíèÿ èíôëÿöèè è ìåòîä èíòåðâàëîâ. Ìåòîäû, êîòîðûå áóäóò èçó÷åíû â ýòîé ãëàâå, íåïîñðåäñòâåííî îáîñíîâàíû â òåìå G, êîòîðàÿ ñîäåðæèò â ñåáå ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå äàííûõ ìåòîäîâ è ïðåäñòàâëÿåò íåêîòîðûå äðóãèå ìåòîäû. Åñëè â ýòîé ãëàâå èñïîëüçóþòñÿ òåðìèíû, íåïîíÿòíûå äëÿ âàñ, ìîæåòå îáðàòèòüñÿ ê ñëîâàðþ. 366 Îñíîâíàÿ ëåêöèÿ ýòîé ãëàâû çíàêîìèò íàñ ñ èäååé òðåóãîëüíèêîâ ðàçâèòèÿ è çàòåì îáúÿñíÿåò, êàê ìîæíî âû÷èñëèòü ðåçåðâû, èñïîëüçóÿ êàæäûé èç òðåõ ïðåäñòàâëåííûõ ìåòîäîâ. Òàêæå äëÿ êàæäîãî ìåòîäà çäåñü äàíû ÷èñëåííûå ïðèìåðû. 2 Ïðîöåññ ðàñ÷åòà èñêîâ 2.1 Òèïû ðåçåðâîâ Ñïåöèàëèñòû, çàíèìàþùèåñÿ îáùèì ñòðàõîâàíèåì, äîëæíû óìåòü îöåíèâàòü îêîí÷àòåëüíûå ñòîèìîñòè èñêîâ ïî íåñêîëüêèì ïðè÷èíàì. Âîïåðâûõ, èì íåîáõîäèìî çíàòü ïîëíóþ ñòîèìîñòü îïëà÷èâàåìûõ èñêîâ, ÷òîáû îïðåäåëèòü áóäóùèå ñòàâêè ïðåìèé. Òàêæå èì íóæíî îáåñïå÷èòü ðåçåðâû â ñ÷åòàõ ñòðàõîâîé êîìïàíèè, ÷òîáû áûòü óâåðåííûìè â òîì, ÷òî ó íèõ áóäåò äîñòàòî÷íî ñðåäñòâ äëÿ ïîêðûòèÿ çàäîëæåííîñòåé. Îáû÷íûå øàãè, âêëþ÷àåìûå â ðàñ÷åò èñêà îáùåãî ñòðàõîâàíèÿ, ïîêàçàíû íà ñõåìå: Ïðîèçîøëî ñîáûòèå èñêà Èñê ⇒ ïðåäúÿâëåí ⇒ Îñóùåñòâëåíà âûïëàòà ïî èñêó ⇒ Äåëî ïî ýòîìó èñêó çàêðûòî Ïîñëå òîãî, êàê ïðîèçîøëî ñîáûòèå èñêà (íàïðèìåð, äåðæàòåëü ïîëèñà áûë âîâëå÷åí â äîðîæíî-òðàíñïîðòíîå ïðîèñøåñòâèå èëè áûë îãðàáëåí), äåðæàòåëü ïîëèñà äîêëàäûâàåò î íåñ÷àñòíîì ñëó÷àå ñòðàõîâùèêó (ïðåäúÿâëÿåò èñê). Äàëüíåéøàÿ ïðîöåäóðà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñòðàõîâùèê ïðîèçâîäèò íåîáõîäèìûå âûïëàòû (íàïðèìåð, âûïëàòû ïî ðåìîíòó àâòîìîáèëÿ, êîìïåíñàöèÿ òðàâìèðîâàííîìó ÷åëîâåêó èëè âîçìåùåíèå ñòîèìîñòè óêðàäåííûõ âåùåé). Ïî îäíîìó èñêó ìîæåò áûòü ñäåëàíî íåñêîëüêî âûïëàò. Êîãäà ñòðàõîâùèê îïðåäåëÿåò, ÷òî äëÿ äàííîãî èñêà íå ìîãóò ïîòðåáîâàòüñÿ äîïîëíèòåëüíûå âûïëàòû, äåëî ïî ýòîìó èñêó çàêðûâàåòñÿ. Ñïåöèàëèñòàì îáùåãî ñòðàõîâàíèÿ íåîáõîäèìî ïëàíèðîâàòü ðåçåðâû, ÷òîáû âûïîëíèòü èõ îáÿçàòåëüñòâà äëÿ áóäóùèõ âûïëàò ïî íåñ÷àñòíûì ñëó÷àÿì, êîòîðûå óæå ïðîèçîøëè. Ýòè ðåçåðâû èìåþò îòíîøåíèå ê èñêàì íà ðàçëè÷íûõ ñòàäèÿõ ïðîöåññà ðàñ÷åòà. Â ÷àñòíîñòè, ðåçåðâû òðåáóþòñÿ äëÿ çàÿâëåííûõ, íî íå óðåãóëèðîâàííûõ èñêîâ è ÈÁÍÐ èñêîâ: Òèïû ðåçåðâîâ ÈÁÍÐ (ïðîèçíîñèòñÿ È.Á.Í.Ð.) ðåçåðâû èñêîâ òðåáóþòñÿ äëÿ óáûòêîâ, 367 êîòîðûå ïîíåñåíû, íî íå çàðåãèñòðèðîâàíû, òî åñòü ñîáûòèå èñêà ïðîèçîøëî, íî èñê åùå íå áûë ïðåäúÿâëåí ñòðàõîâùèêó. Ðåçåðâû çàÿâëåííûõ, íî íå óðåãóëèðîâàííûõ (ÇÍÓ) èñêîâ òðåáóþòñÿ, êîãäà äåëî êàñàåòñÿ èñêîâ, êîòîðûå áûëè ïðåäúÿâëåíû, íî åùå íå çàêðûòû. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 14.1. Îïðåäåëèòå, ãäå íà ïîñëåäíåì ãðà- ôèêå ðàçìåùåí êàæäûé èç ýòèõ ðåçåðâîâ. 2.2 Òàáëèöû òðåóãîëüíèêîâ ðàçâèòèÿ Èíôîðìàöèÿ ïî ïðîøëûì èñêàì ìîæåò áûòü ïîäûòîæåíà â òðåóãîëüíèêå ðàçâèòèÿ (èëè çàäåðæêè ), ïîêàçûâàþùåì âûïëàòû, ïðîèçâåäåííûå â ðàçëè÷íûå ãîäû: âûïëàòû ïî èñêàì, ñäåëàííûå â òå÷åíèå ãîäà (£000) 1989 ãîä 1990 ñîáûòèé 1991 1992 0 300 500 400 500 ãîä ðàçâèòèÿ 1 2 500 200 700 300 600 ? ? ? Êàæäàÿ ñòðîêà â òðåóãîëüíèêå ïðåäñòàâëÿåò èñõîäíûé ãîä, êîòîðûé îïðåäåëÿåò ãðóïïó èñêîâ. Ýòîò ïðèìåð èñïîëüçóåò ãðóïïèðîâêó ïî ãîäàì íåñ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ (ãîäàì ñîáûòèé)1 . Ñòðîêà 1989 ãîäà ñîäåðæèò èñêè, îòíîñÿùèåñÿ ê íåñ÷àñòíûì ñëó÷àÿì, ïðîèçîøåäøèì â ýòîì ãîäó. Ñòîëáöû ïðåäñòàâëÿþò ãîäû ðàçâèòèÿ, êîòîðûå ïîêàçûâàþò, êàê ãðóïïà èñêîâ, îòíîñÿùàÿñÿ ê îïðåäåëåííîìó èñõîäíîìó ãîäó ðàçâèâàëàñü â äàëüíåéøåì. Ñòîëáåö 0 îòîáðàæàåò ãîä, â êîòîðûé ïðîèçîøåë íåñ÷àñòíûé ñëó÷àé. Ñòîëáåö 1 ãîä ïîñëå íåñ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ è ò.ä. Êàæäóþ çàïèñü â òàáëèöå ìîæíî îïðåäåëèòü ïî åå èñõîäíîìó ãîäó (ñòðîêà) è ãîäó ðàçâèòèÿ (ñòîëáåö). Íàïðèìåð, £200000 îòíîñèòñÿ ê 1989 èñõîäíîìó ãîäó è êî âòîðîìó ãîäó ðàçâèòèÿ; äàëåå ìû áóäåì çàïèñûâàòü ýòî êàê 1989/2 èëè C1989,2 . Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 14.2. Èñïîëüçóÿ òðåóãîëüíèê çàäåðæêè, îïèñàííûé âûøå, îïðåäåëèòü 1 Èç-çà òîãî, ÷òî áîëüøèíñòâî ñòàòèñòè÷åñêèõ òåîðèé â ñòðàõîâàíèè îáùåãî âèäà ðàçðàáîòàíû â ñîîòâåòñòâèè ñî ñòðàõîâàíèåì àâòîìîáèëåé, òåðìèí ãîä íåñ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ ðàñøèðÿåòñÿ çäåñü âêëþ÷åíèåì â íåãî ñèòóàöèé, ãäå ñîáûòèå èñêà íå ÿâëÿåòñÿ íåñ÷àñòíûì ñëó÷àåì; íàïðèìåð, óãîí ìàøèí, ïîäæîã, îãðàáëåíèå 368 3 100 ? ? ? (à) îáùóþ âåëè÷èíó èñêîâ, âûïëà÷åííûõ â 1992 ãîäó ïî íåñ÷àñòíûì ñëó÷àÿì, ñëó÷èâøèìñÿ â 1990 è (á) îáùóþ âåëè÷èíó èñêîâ, âûïëà÷åííûõ çà 1992 ãîä. Çàìåòèì, ÷òî îïðåäåëåííûå êàëåíäàðíûå ãîäà ïðåäñòàâëåíû íà äèàãîíàëÿõ òðåóãîëüíèêà. Íàïðèìåð, äèàãîíàëü (500-600-300-100) ïîêàçûâàåò âñå âûïëàòû, ïðîèçâåäåííûå â òå÷åíèå ïîñëåäíåãî èç ðàññìàòðèâàåìûõ ëåò, òî åñòü 1992. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî âåðõíèé ëåâûé óãîë ïðåäñòàâëÿåò èçâåñòíûå ïðîøëûå âûïëàòû, à íèæíèé ïðàâûé óãîë (ñî çíàêàìè ?) íåèçâåñòíûå áóäóùèå âûïëàòû. Íàøà çàäà÷à íà ïðîòÿæåíèè îñòàâøåéñÿ ÷àñòè ãëàâû ðàññìîòðåòü ìåòîäû îöåíêè ýòèõ íåèçâåñòíûõ çíà÷åíèé, ÷òîáû çàïîëíèòü ïðàâûé íèæíèé óãîë òðåóãîëüíèêà. Áîëüøèíñòâî ýòèõ ÿ÷ååê áóäóò ñîäåðæàòü çàäîëæåííîñòè èëè ðåçåðâû äëÿ íåîïëà÷åííûõ èñêîâ. Òàáëèöà â ïðèìåðå, îïèñàííîì ðàíåå, ïîêàçûâàëà âåëè÷èíû îïëà÷åííûõ èñêîâ, ñãðóïïèðîâàííûõ ïî ãîäàì íåñ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ. Òàêæå ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ ðàçíîîáðàçíûå àëüòåðíàòèâíûå òàáëèöû. Íàïðèìåð: 1. Ãðóïïû ìîãëè áû îïðåäåëÿòüñÿ ãîäîì ïðåäúÿâëåíèÿ (âñå èñêè, ïðåäúÿâëåííûå â ãîä X) èëè ãîäîì îôîðìëåíèÿ (âñå èñêè, ïîäàííûå ïî ïîëèñàì, îôîðìëåííûì â ãîä X). 2. Èñõîäíûå ãîäû ìîãóò ñîâïàäàòü ñ ôèíàíñîâûìè ãîäàìè êîìïàíèè (òî åñòü ìîãóò ñ÷èòàòüñÿ ñ 1-îãî àïðåëÿ ïî 31-îå ìàðòà, íàïðèìåð) èëè ìîãóò áûòü èñõîäíûìè êâàðòàëàìè èëè ìåñÿöàìè. 3. Çàïèñè â òàáëèöå ìîãóò ïîêàçûâàòü êîëè÷åñòâî èñêîâ èëè îöåíèâàòü îêîí÷àòåëüíóþ ñòîèìîñòü èëè ðàñõîäû íà ïîëó÷åíèå ñòðàõîâîãî âîçìåùåíèÿ. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 14.3. Åñëè ìû ñïðîåöèðóåì èñêè, çàäàííûå â òðåóãîëüíèêå ðàçâèòèÿ, ÷òîáû çàïîëíèòü ïóñòûå ÿ÷åéêè òàáëèöû, òî êàêèå ðåçåðâû, èç îïèñàííûõ â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, ìîãóò áûòü òóäà âêëþ÷åíû, åñëè òàáëèöà ïîêàçûâàåò (à) âåëè÷èíû èñêîâûõ âûïëàò, ñãðóïïèðîâàííûå ïî ãîäó ñîáûòèé è (á) âåëè÷èíû èñêîâûõ âûïëàò, ñãðóïïèðîâàííûå ïî ãîäó ïðåäúÿâëåíèÿ? 2.3 Êîýôôèöèåíòû ðàçâèòèÿ Îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíò ðàçâèòèÿ è ïîêàçàòü, êàê ìíîæåñòâî ïðåäïîëàãàåìûõ êîýôôèöèåíòîâ ðàçâèòèÿ ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ ïðîåêòèðîâàíèÿ áóäóùåãî ðàçâèòèÿ òðåóãîëüíèêà çàäåðæêè. 369 (ï1) Øàáëîí ðàçâèòèÿ èñêà ìîæåò áûòü èçó÷åí ïóòåì âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçâèòèÿ : Êîýôôèöèåíòû ðàçâèòèÿ Êîýôôèöèåíò ðàçâèòèÿ äëÿ èñõîäíîãî ãîäà i è ãîäà ðàçâèòèÿ j ðàâåí: êîýôôèöèåíò ðàçâèòèÿ = j X t=0 Ci,t / j−1 X Ci,t t=0 Ðàçäåëèòü ñóììó ñ íàðàñòàþùèì ê ìîìåíòó t èòîãîì íà ñóììó ñ èòîãîì, íàðàñòàþùèì ê ìîìåíòó t − 1 Ï ð è ì å ð 14.1 Âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíò ðàçâèòèÿ äëÿ 1990/2 äëÿ òðåóãîëüíèêà èç ïðèìåðà. Ð å ø å í è å Êîýôôèöèåíò ðàçâèòèÿ äëÿ 1990/2 ðàâåí: C1990,0 + C1990,1 + C1990,2 1500 500 + 700 + 300 = = 1.25 = C1990,0 + C1990,1 500 + 700 1200 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 14.4. Äîïîëíèòå òðåóãîëüíèê ðàçâèòèÿ èç ïðèìåðà, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî êîýôôèöèåíòû ðàçâèòèÿ, ïîêàçàííûå â ñëåäóþùåé òàáëèöå, áóäóò ïðèìåíÿòüñÿ â áóäóùèå ãîäû ðàçâèòèÿ. êîýôôèöèåíòû ðàçâèòèÿ ãîä ñîáûòèé 2.4 1989 1990 1991 1992 0 ãîä ðàçâèòèÿ 1 2 3 1.100 1.250 1.150 2.500 1.300 1.100 Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü äëÿ òðåóãîëüíèêîâ ðàçâèòèÿ Çàïèñè â òðåóãîëüíèêå ðàçâèòèÿ ìîãóò áûòü ñìîäåëèðîâàíû ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàâåíñòâà: Ci,j = ni rj λi+j + ei,j , ãäå 370 çàïèñü â òðåóãîëüíèêå ñ èñõîäíûì ãîäîì i è ãîäîì ðàçâèòèÿ j (íàïðèìåð, âûïëàòà ïî èñêó) ni îáîçíà÷àåò îáúåì èñêîâ, îòíîñÿùèõñÿ ê èñõîäíîìó ãîäó i. Òàêæå ìîæåò îòðàæàòü ÷èñëî èñêîâ (÷àñòîòó ) è ñðåäíþþ ñòîèìîñòü èñêà â íàñòîÿùèé ïåðèîä âðåìåíè (òåêóùàÿ ñòîèìîñòü ) rj êîýôôèöèåíò ãîäà ðàçâèòèÿ j , ïîêàçûâàþùèé äîëþ èñêîâûõ âûïëàò â ýòîò ãîä. Ñóììà êîýôôèöèåíòîâ rj ïî âñåì ãîäàì ðàçâèòèÿ äîëæíà ðàâíÿòüñÿ 1. λi+j êîýôôèöèåíò ïîïðàâêè, îòíîñÿùèéñÿ ê êàëåíäàðíûì ãîäàì (íàïðèìåð, êîýôôèöèåíò èíôëÿöèè) ei,j ñëó÷àéíàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ îøèáêà ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì íîëü, êîòîðàÿ ïîêàçûâàåò ðàçíèöó ìåæäó äåéñòâèòåëüíûì è îæèäàåìûì ðåçóëüòàòàìè. Â ìåòîäàõ ïëàíèðîâàíèÿ, êîòîðûå ìû áóäåì èçó÷àòü â ñëåäóþùåì ðàçäåëå, ìû áóäåì îñíîâûâàòüñÿ íà îæèäàåìûõ âåëè÷èíàõ èñêà, òî åñòü ìû áóäåì îïóñêàòü ýëåìåíò ei,j . Ci,j Àêòóàðèé, èñïîëüçóÿ äàííóþ ìîäåëü, îöåíèë ïàðàìåòðû äëÿ òðåóãîëüíèêà ðàçâèòèÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 14.5. n90 = £1.50m, r0 = 0.6, n91 = £1.75m, r1 = 0.3, n92 = £1.60m, r2 = 0.1, λ90 = 1.00 λ91 = 1.10 λ92 = 1.20 λ93 = 1.25 λ94 = 1.30 Èñïîëüçóÿ ýòè îöåíêè, çàïîëíèòå òàáëèöó è îöåíèòå âåëè÷èíó íåîïëà÷åííûõ èñêîâ. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 14.6. Îáúÿñíèòå, ÷òî áóäåò ïîêàçûâàòü êàæäûé èç ïàðàìåòðîâ ni , rj , λi+j , åñëè ìû ïðèìåíèì ýòó ìîäåëü ê òðåóãîëüíèêó ðàçâèòèÿ, ïîêàçûâàþùåìó êîëè÷åñòâî èñêîâûõ âûïëàò, ñãðóïïèðîâàííûì ïî ãîäó ïðåäúÿâëåíèÿ. 3 Ìåòîäû ïëàíèðîâàíèÿ èñêîâ 3.1 Îñíîâíîé öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä Îïèñàòü è ïðèìåíèòü îñíîâíîé öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä äëÿ çàïîëíåíèÿ òðåóãîëüíèêà çàäåðæêè. (ï2) Îáñóäèòü ïðåäïîëîæåíèÿ, ëåæàùèå â îñíîâå ïðèìåíåíèÿ ìåòîäîâ. (ï3) 371 ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ/ÔÎÐÌÓËÀ Îñíîâíîé öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä ïðåäïîëàãàåò ìîäåëü: Ci,j = ni rj + ei,j ÏÐÅÄÏÎËÎÆÅÍÈß 1. Êîýôôèöèåíòû ðàçâèòèÿ rj íå îòëè÷àþòñÿ ïî èñõîäíîìó ãîäó, òî åñòü êîýôôèöèåíòû ðàçâèòèÿ rj , à íå ri,j . 2. Èñêè, ïðîèçîøåäøèå â ïåðâûé èñõîäíûé ãîä, ïðåäïîëàãàþòñÿ ïîëíîñòüþ ðàññìîòðåííûìè, òî åñòü â ãîäàõ ðàçâèòèÿ íå áóäåò èñêîâ çà ïðåäåëàìè ïðàâîãî êðàÿ òàáëèöû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êîýôôèöèåíòû ðàçâèòèÿ (rj -ûå) äëÿ ëåò ðàçâèòèÿ, âêëþ÷åííûõ â òàáëèöó, â ñóììå äàþò 1. 3. Âëèÿíèÿ èíôëÿöèè è äîïîëíèòåëüíûå òåíäåíöèè èãíîðèðóþòñÿ. Êîýôôèöèåíò λi+j ïðåäïîëàãàåòñÿ ïîñòîÿííûì è, ïîýòîìó, íå âêëþ÷àåòñÿ â äàííóþ ìîäåëü. ËÎÃÈ×ÅÑÊÎÅ ÎÁÎÑÍÎÂÀÍÈÅ Ñëåäóþùèé ïðèìåð èëëþñòðèðóåò èíòóèòèâíîå îáîñíîâàíèå, ëåæàùåå â îñíîâå öåïî÷íî-ëåñòíè÷íîãî ìåòîäà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âàñ ïîïðîñèëè îöåíèòü, êàêàÿ çàïèñü ìîãëà áû ñîîòâåòñòâîâàòü ÿ÷åéêå 1991/2 â ñëåäóþùåé òàáëèöå: âûïëàòû ïî èñêàì, ñäåëàííûå â òå÷åíèå ãîäà (£000) 1989 ãîä 1990 ñîáûòèé 1991 1992 0 300 500 400 500 ãîä ðàçâèòèÿ 1 2 500 200 700 300 600 ? Åñòåñòâåííûì ïîäõîäîì ìîãëî áû áûòü ñðàâíåíèå èòîãîâ ïðåäøåñòâóþùèõ èñõîäíûõ ëåò äëÿ äâóõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ, îòìå÷åííûõ â ýòîé òàáëèöå. Ìû âèäèì, ÷òî îáùàÿ âåëè÷èíà èñêîâ, îïëà÷åííûõ ê êîíöó 1-îãî ãîäà ðàçâèòèÿ äëÿ âñåõ èñõîäíûõ ëåò, ïðåäøåñòâóþùèõ 1991 ãîäó, áûëà 300 + 500 + 500 + 700 = 2000, à îáùèå èñêîâûå âûïëàòû çà 2-îé ãîä ðàçâèòèÿ äëÿ ýòèõ ëåò ðàâíÿëèñü 200 + 300 = 500, òî åñòü ÷åòâåðòè ýòîãî. 372 3 100 Îáùàÿ âåëè÷èíà èñêîâ, îïëà÷åííûõ ê êîíöó 1-îãî ãîäà ðàçâèòèÿ, äëÿ 1991 èñõîäíîãî ãîäà ðàâíà 400 + 600 = 1000. Òîãäà ìîæíî îæèäàòü, ÷òî çíà÷åíèå ÿ÷åéêè 1991/2 ÷åòâåðòü ýòîãî, òî åñòü 250. âûïëàòû ïî èñêàì, ñäåëàííûå â òå÷åíèå ãîäà (£000) 1989 ãîä 1990 ñîáûòèé 1991 1992 0 300 500 400 500 ãîä ðàçâèòèÿ 1 2 500 200 700 300 600 250? Âîò ÷òî ìû ñäåëàëè, ÷òîáû ýòî âû÷èñëèòü: 1. Ïðåäïîëîæèëè,÷òî øàáëîí ðàçâèòèÿ îäèíàêîâûé äëÿ êàæäîãî èñõîäíîãî ãîäà. 2. Îáúåäèíèëè âñþ çíà÷èìóþ ïðåäøåñòâóþùóþ èíôîðìàöèþ, ÷òîáû íàéòè íàèëó÷øóþ îöåíêó äëÿ êîýôôèöèåíòà ðàçâèòèÿ. 3. Ïðèìåíèëè ýòîò êîýôôèöèåíò ê áîëåå ïîçäíåìó èñõîäíîìó ãîäó, ÷òîáû îöåíèòü çíà÷åíèå ÿ÷åéêè äëÿ áîëåå ïîçäíåãî ãîäà ðàçâèòèÿ Ýòî òî÷íîå îïèñàíèå ëîãèêè, êîòîðóþ èñïîëüçóåò îñíîâíîé öåïî÷íîëåñòíè÷íûé ìåòîä. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 14.7. Êàêîå çíà÷åíèå ìû ìîæåì îæè- äàòü â ÿ÷åéêå 1990/3? ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÂÛÂÎÄ Èíòóèòèâíàÿ èëëþñòðàöèÿ, êîòîðóþ ìû ïðèâîäèëè âûøå, ìîæåò áûòü äîêàçàíà ìàòåìàòè÷åñêè, åñëè ñîñòàâèòü óðàâíåíèå äëÿ îæèäàåìûõ çíà÷åíèé, ïðåäïîëîæåííûõ â ýòîé ìîäåëè, ñ èçâåñòíûìè çíà÷åíèÿìè èìåþùèõñÿ äàííûõ è, çàòåì, èñïîëüçîâàòü îæèäàåìûå ïàðàìåòðè÷åñêèå çíà÷åíèÿ, ÷òîáû îöåíèòü íåèçâåñòíûå ïåðåìåííûå. Òàê êàê âåêòîð îøèáîê, ïðåäïîëîæèòåëüíî, èìååò ñðåäíåå çíà÷åíèå 0, îæèäàåìûå âûïëàòû äëÿ êàæäîãî ãîäà òàêîâû: 373 3 100 âûïëàòû ïî èñêàì, ñäåëàííûå â òå÷åíèå ãîäà (£000) 1989 ãîä 1990 ñîáûòèé 1991 1992 0 n89 r0 n90 r0 n91 r0 n92 r0 ãîä ðàçâèòèÿ 1 2 n89 r1 n90 r1 n91 r1 n92 r1 n89 r2 n90 r2 n91 r2 n92 r2 3 n89 r3 n90 r3 n91 r3 n92 r3 Ñðàâíåíèå çàïèñåé â äâóõ âûäåëåííûõ ïðÿìîóãîëüíèêàõ äàåò äâà óðàâíåíèÿ: n89 r0 + n89 r1 + n90 r0 + n90 r1 = 300 + 500 + 500 + 700 n89 r2 + n90 r2 = 200 + 300, êîòîðûå ìîæíî ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè è ïîëó÷èòü: (n89 + n90 )(r0 + r1 ) = 2000 (n89 + n90 )r2 = 500 Èñïîëüçóÿ äàííûå äëÿ 1991 èñõîäíîãî ãîäà, ïîëó÷àåì: òî åñòü n91 (r0 + r1 ) = 1000 n91 r0 + n91 r1 = 400 + 600 Ìîæåì îöåíèòü çíà÷åíèå äëÿ 1991/2, çàïèñàâ åãî â âèäå: n91 r2 = n91 (r0 + r1 ) × (n89 + n90 )r2 (n89 + n90 )(r0 + r1 ) 500 Èñïîëüçóÿ âûâåäåííûå ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì: 1000 × 2000 = 250, ÷òî ñîâïàäàåò ñî çíà÷åíèåì, ïîëó÷åííûì ïóòåì èíòóèòèâíûõ âû÷èñëåíèé. ÈÇËÎÆÅÍÈÅ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈÉ Øàã 1 (íàêàïëèâàåì) Ñîñòàâèì òàáëèöó èñêîâ ñ íàðàñòàþùèì èòîãîì (ñîâîêóïíûõ èñêîâ), ïîêàçûâàþùóþ îáùèå èñêè ê êîíöó êàæäîãî ãîäà ðàññìîòðåíèÿ. Ýòî ïîçâîëèò èçáåæàòü ïîâòîðíûõ ñëîæåíèé. Íàêîïèòåëüíàÿ òàáëèöà âûãëÿäèò òàê: 374 âûïëàòû ïî èñêàì ãîä ðàçâèòèÿ ñ íàðàñòàþùèì èòîãîì(£000) 0 1 2 1989 300 800 1000 ãîä 1990 500 1200 1500 ñîáûòèé 1991 400 1000 ? 1992 500 ? ? 3 1100 ? ? ? Øàã 2 (âû÷èñëÿåì êîýôôèöèåíòû) Âû÷èñëÿåì êîýôôèöèåíò äëÿ êàæäîãî ñòîëáöà äåëåíèåì ñóììû èçâåñòíûõ äàííûõ â ýòîì ñòîëáöå íà ñóììó ñîîòâåòñòâóþùèõ çàïèñåé èç ïðåäûäóùåãî ñòîëáöà (òî åñòü íå âêëþ÷àåì íèæíþþ ÿ÷åéêó). Ýòî äàåò îöåíêè äëÿ êîýôôèöèåíòîâ áóäóùåãî ðàçâèòèÿ: 800+1200+1000 300+500+400 1000+1500 800+1200 1100 1000 3000 = 1200 = 2.5 2500 = 2000 = 1.25 = 1.1 Êîýôôèöèåíòû ðàçâèòèÿ óäîáíî çàïèñàòü íàä (èëè ïîä) ñòîëáöàìè: ×2.5 ×1.25 âûïëàòû ïî èñêàì ãîä ðàçâèòèÿ ñ íàðàñòàþùèì èòîãîì (£000) 0 1 2 1989 300 800 1000 ãîä 1990 500 1200 1500 ñîáûòèé 1991 400 1000 ? 1992 500 ? ? ×1.1 3 1100 ? ? ? Øàã 3 (çàïîëíèòü ÿ÷åéêè íàêîïèòåëüíîé òàáëèöû) Òåïåðü çàïîëíèì íåèçâåñòíûå (íàêîïëåííûå) äàííûå, ïðèìåíÿÿ êîýôôèöèåíòû, íàõîäÿùèåñÿ íàä ñòîëáöàìè, ê ïðåäûäóùèì ñòîëáöàì. Âû÷èñëåíèÿ áóäóò òàêèìè: 375 500 × 2.5 = 1250, 1000 × 1.25 = 1250, 1250 × 1.25 = 1563, 1500 × 1.1 = 1650 1250 × 1.1 = 1375 1563 × 1.1 = 1719 è òàáëèöà ïðåîáðàçóåòñÿ òàê: ×2.5 ×1.25 ×1.1 âûïëàòû ïî èñêàì ãîä ðàçâèòèÿ ñ íàðàñòàþùèì èòîãîì (£000) 0 1 2 3 1989 300 800 1000 1100 ãîä 1990 500 1200 1500 1650 ñîáûòèé 1991 400 1000 1250 1375 1992 500 1250 1563 1719 Øàã 4 (îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå òàáëèöû) Îñóùåñòâèì âû÷èòàíèÿ, ÷òîáû íàéòè îöåíêè äëÿ îòäåëüíûõ ëåò; íàïðèìåð, 1250 − 500 = 750: âûïëàòû ïî èñêàì, ñäåëàííûå â òå÷åíèå ãîäà (£000) 1989 ãîä 1990 ñîáûòèé 1991 1992 0 300 500 400 500 ãîä ðàçâèòèÿ 1 2 500 200 700 300 600 250 750 313 Øàã 5 (âû÷èñëåíèå îáùåé ïðîãíîçèðóåìîé ñóììû) Ñëîæèì îöåíî÷íûå äàííûå, ÷òîáû íàéòè âåëè÷èíó íåîïëà÷åííûõ èñêîâ: 150 + 250 + 125 + 750 + 313 + 156 = 1744 ÇÀÌÅ×ÀÍÈß Îñíîâíîé öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä èãíîðèðóåò èíôëÿöèþ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ñëó÷àå èíôëÿöèè, îñíîâíîé öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä 376 3 100 150 125 156 áóäåò ïðîãíîçèðîâàòü åå çàáëàãîâðåìåííî, èñïîëüçóÿ ïðèñóùèé èíôëÿöèè êîýôôèöèåíò, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ âçâåøåííûì ñðåäíèì çíà÷åíèåì ïðîøëûõ êîýôôèöèåíòîâ. Åñëè òàêîå çíà÷åíèå íå ïîäõîäèò äëÿ áóäóùèõ ïðîãíîçîâ, ýòî ìîæåò ïðèâåñòè ê èñêàæåíèÿì. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 14.8. Òàáëèöà, ïðèâåäåííàÿ íèæå, ïîêàçûâàåò ÷èñëî èñêîâ ïî ñòðàõîâàíèþ ÷àñòíûõ ñòðîåíèé, ïîäàííûõ â êàæäûé ãîä ðàçâèòèÿ. Èñïîëüçóÿ îñíîâíîé öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä, îöåíèòå îáùåå îêîí÷àòåëüíîå ÷èñëî èñêîâ, ïðîèçîøåäøåå ñ 1-îãî ÿíâàðÿ 1989 ãîäà ïî 31-îå äåêàáðÿ 1992 ãîäà. âûïëàòû ïî èñêàì, ñäåëàííûå ãîä ðàçâèòèÿ â òå÷åíèå ãîäà (£000) 0 1 2 1989 17500 5000 2250 ãîä 1990 21000 6200 2750 ñîáûòèé 1991 18800 5500 1992 21300 3.2 3 750 Îñíîâíîé öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä ñ ïîïðàâêîé íà èíôëÿöèþ Ïîêàçàòü, êàê îñíîâíîé öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä ìîæåò áûòü ñêîððåêòèðîâàí, ÷òîáû òî÷íî ó÷èòûâàòü èíôëÿöèþ. Îñíîâíîé öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä ñ ïîïðàâêîé íà èíôëÿöèþ ýòî ìîäèôèêàöèÿ îñíîâíîãî öåïî÷íî-ëåñòíè÷íîãî ìåòîäà, êîòîðàÿ ïîäðîáíî ó÷èòûâàåò èíôëÿöèþ, ÷òîáû ñíèçèòü èñêàæåíèÿ, âûçâàííûå êîëåáàíèÿìè óðîâíÿ èíôëÿöèè. ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ/ÔÎÐÌÓËÀ Îñíîâíîé öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä ñ ïîïðàâêîé íà èíôëÿöèþ ïðåäïîëàãàåò ìîäåëü: Ci,j = ni rj λi+j + ei,j ÏÐÅÄÏÎËÎÆÅÍÈß Ïðåäïîëîæåíèÿ òàêèå æå, êàê äëÿ îñíîâíîãî öåïî÷íî-ëåñòíè÷íîãî ìåòîäà, çà èñêëþ÷åíèåì òîãî, ÷òî ìîäåëü âêëþ÷àåò êîýôôèöèåíò λi+j , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ïðåäïîëàãàåìûì èíäåêñîì èíôëÿöèè èñêîâ. 377 (ï3) ËÎÃÈ×ÅÑÊÎÅ ÎÁÎÑÍÎÂÀÍÈÅ Öåëü îñíîâíîãî öåïî÷íî-ëåñòíè÷íîãî ìåòîäà ñ ïîïðàâêîé íà èíôëÿöèþ óñòðàíèòü èñêàæàþùèå âîçäåéñòâèÿ èíôëÿöèè, èñïîëüçóÿ ïðåäïîëàãàåìûé (äîïóñòèìûé) èíäåêñ èíôëÿöèè ïðîøëûõ èñêîâ, ÷òîáû ïðèâåñòè âñå èçâåñòíûå äàííûå ê çíà÷åíèÿì, íàõîäÿùèìñÿ â ïðèáëèçèòåëüíî ïîñòîÿííîì äåíåæíîì âûðàæåíèè. Çàòåì ê ýòèì ñêîððåêòèðîâàííûì äàííûì ïðèìåíÿåòñÿ îñíîâíîé öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä, ÷òîáû ïîëó÷èòü ïðîãíîçèðóåìûå äàííûå, òàêæå íàõîäÿùèåñÿ â ïðèáëèçèòåëüíî ïîñòîÿííîì äåíåæíîì âûðàæåíèè. Äàëåå ïðåîáðàçóåì ïðîãíîçèðóåìûå äàííûå â äåéñòâóþùèå äåíåæíûå âåëè÷èíû ñ ïîìîùüþ ïðåäïîëàãàåìîãî èíäåêñà èíôëÿöèè áóäóùèõ èñêîâ. ÒÐÅÁÎÂÀÍÈß Ê ÄÀÍÍÛÌ Îñíîâíîé öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä ñ ïîïðàâêîé íà èíôëÿöèþ òðåáóåò òåõ æå äàííûõ, ÷òî è îñíîâíîé öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä, ïëþñ èíäåêñ èíôëÿöèè ïðîøëûõ è îæèäàåìûõ áóäóùèõ èñêîâ. ÈÇËÎÆÅÍÈÅ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈÉ Äëÿ ïðèìåíåíèÿ îñíîâíîãî öåïî÷íî-ëåñòíè÷íîãî ìåòîäà ñ ïîïðàâêîé íà èíôëÿöèþ íåîáõîäèìû ñëåäóþùèå øàãè: 1. Ïåðåìíîæèòü âåëè÷èíû â èñõîäíîì òðåóãîëüíèêå ñ èíäåêñàìè èíôëÿöèè ñîîòâåòñòâóþùèõ êàëåíäàðíûõ ëåò. 2. Ïðèìåíèòü îñíîâíîé öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä äëÿ ýòèõ äàííûõ òàêæå, êàê áûëî îïèñàíî âûøå (èñïîëüçóÿ øàãè 1-4), ÷òîáû ïîëó÷èòü ïðîãíîçèðóåìûå âåëè÷èíû, âûðàæåííûå â ïîñòîÿííûõ äåíåæíûõ ýëåìåíòàõ. 3. Óìíîæèòü ýòè âåëè÷èíû íà èíäåêñû èíôëÿöèè ñîîòâåòñòâóþùèõ êàëåíäàðíûõ ëåò, ÷òîáû ïîëó÷èòü äåéñòâèòåëüíûå ïðîãíîçèðóåìûå âåëè÷èíû. 4. Âû÷èñëèòü ñóììó ýòèõ ïðîãíîçèðóåìûõ äàííûõ, ÷òîáû íàéòè îáùóþ âåëè÷èíó îæèäàåìûõ áóäóùèõ èñêîâ. ÏÐÈÌÅÐ Â êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè ïîâòîðèì ïðåäûäóùèé ïðèìåð, èñïîëüçóÿ ñëåäóþùèå êîýôôèöèåíòû èíôëÿöèè èñêîâûõ ñòîèìîñòåé äëÿ êàæäîãî 378 èç ïîñëåäóþùèõ êàëåíäàðíûõ ëåò: ãîäîâîé êîýôôèöèåíò èíôëÿöèè èñêîâ (ïðîøëûõ) 1989/90 1990/91 1991/92 11% 10% 9% ãîäîâîé êîýôôèöèåíò èíôëÿöèè èñêîâ (áóäóùèõ) 1992/93 1993/94 1994/95 8% 7% 6% Ìû ìîæåì ïðåîáðàçîâàòü èñõîäíóþ òàáëèöó ê äàííûì 1992 ãîäà. Íàïðèìåð, çàïèñü 300 èçìåíèòñÿ òàê: 300 × 1.11 × 1.10 × 1.09 = 399 Ïîëó÷àåì: âûïëàòû ïî èñêàì â äåíåæíîì âûðàæåíèè 1992 ãîäà (£000) 1989 ãîä 1990 ñîáûòèé 1991 1992 0 399 600 436 500 ãîä ðàçâèòèÿ 1 2 600 218 763 300 600 3 100 Äàëåå ñêëàäûâàåì ýòè äàííûå è çàïèñûâàåì íàä ñòîëáöàìè êîýôôèöèåíòû, âû÷èñëåííûå îáû÷íûì ñïîñîáîì. Çàòåì èñïîëüçóåì ýòè êîýôôèöèåíòû, ÷òîáû çàïîëíèòü òàáëèöó ñîâîêóïíûõ âûïëàò, âûðàæàþùèõñÿ â äåíåæíûõ ýëåìåíòàõ 1992 ãîäà: ×2.368 ×1.219 ×1.082 âûïëàòû ïî èñêàì ñ íàðàñòàþùèì ãîä èòîãîì â äåíåæíîì âûðàæåíèè ðàçâèòèÿ 1992 ãîäà (£000) 0 1 2 3 1989 399 999 1217 1317 ãîä 1990 600 1363 1663 1799 ñîáûòèé 1991 436 1036 1263 1367 1992 500 1184 1443 1561 379 Îñóùåñòâèì âû÷èòàíèÿ, ÷òîáû íàéòè âåëè÷èíû, âûðàæàþùèåñÿ â äåíåæíûõ ýëåìåíòàõ 1992 ãîäà, äëÿ êàæäîãî ãîäà: âûïëàòû ïî èñêàì â äåíåæíîì âûðàæåíèè 1992 ãîäà (£000) 1989 ãîä 1990 ñîáûòèé 1991 1992 ãîä ðàçâèòèÿ 1 2 600 218 763 300 600 227 684 259 0 399 600 436 500 3 100 136 104 118 Òåïåðü ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü êîýôôèöèåíòû áóäóùåé èíôëÿöèè, ÷òîáû ñïðîãíîçèðîâàòü ýòè âåëè÷èíû. Íàïðèìåð, çàïèñü 259 ïðåîáðàçóåòñÿ òàê: 259 × 1.08 × 1.07 = 299 âûïëàòû ïî èñêàì, ñäåëàííûå â òå÷åíèå ãîäà (£000) 1989 ãîä 1990 ñîáûòèé 1991 1992 0 300 500 400 500 ãîä ðàçâèòèÿ 1 2 500 200 700 300 600 245 739 299 3 100 147 120 145 Îöåíêà îáùåé âåëè÷èíû íåîïëà÷åííûõ èñêîâ ýòî ñóììà çàïèñåé âñåõ âûäåëåííûõ ÿ÷ååê: 147 + 245 + 120 + 739 + 299 + 145 = 1695 3.3 Ïîïðàâêà äëÿ âñïîìîãàòåëüíûõ ïåðåìåííûõ Îáñóäèòå àëüòåðíàòèâíûå ñïîñîáû âûâåäåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçâèòèÿ, êîòîðûå ïîäîéäóò äëÿ çàïîëíåíèÿ òðåóãîëüíèêîâ çàäåðæêè. Òàáëèöà, äàííàÿ íèæå, ïîêàçûâàåò (â íåçàêðàøåííûõ ÿ÷åéêàõ) êîýôôèöèåíòû ðàçâèòèÿ ïðîøëûõ ëåò äëÿ íàøåãî ïðèìåðà: 380 (ï3) êîýôôèöèåíòû ðàçâèòèÿ 0 1989 ãîä 1990 ñîáûòèé 1991 1992 ãîä ðàçâèòèÿ 1 2 3 2667 1250 1100 2.400 1.250 1.100 2.500 1.250 1.100 2.500 1.250 1.100 Çàïèñè â çàêðàøåííûõ ÿ÷åéêàõ ýòî ïðåäïîëàãàåìûå áóäóùèå êîýôôèöèåíòû ðàçâèòèÿ, îïðåäåëåííûå ñ èñïîëüçîâàíèåì îñíîâíîãî öåïî÷íîëåñòíè÷íîãî ìåòîäà. Òàê êàê îñíîâíîé öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä âû÷èñëÿåò èõ, áàçèðóÿñü íà ñóììàõ ïðîøëûõ èñêîâ, îí äîñòàòî÷íî ýôôåêòèâíî îöåíèâàåò êîýôôèöèåíòû ðàçâèòèÿ áóäóùèõ ëåò (íàïðèìåð, çàïèñü 2500) êàê ñðåäíåå ïî âñåì èçâåñòíûì êîýôôèöèåíòàì ñòîëáöà (òî åñòü, 2667, 2400 è 2500), èñïîëüçóÿ îáúåì èñêîâ äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ãîäà ñîáûòèé (ñòðîêó), êàê âåñîâîé êîýôôèöèåíò. Ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü ìíîæåñòâî ïîäîáíûõ ìåòîäîâ äëÿ îöåíêè áóäóùèõ êîýôôèöèåíòîâ ðàçâèòèÿ (è, ñëåäîâàòåëüíî, âû÷èñëèòü ïðîãíîçèðóåìûå èñêè), áàçèðóÿñü íà èçâåñòíûõ äàííûõ â ñòîëáöå. Íàïðèìåð, ìû ìîãëè áû: • ïðèìåíèòü ñåðèþ íàãðóçîê, îñíîâàííûõ íà âñïîìîãàòåëüíûõ ïåðåìåííûõ (íàïðèìåð, îáúåì èñêîâ), îòðàæàþùóþ ñòåïåíü çíà÷åíèÿ, êîòîðîå ìû õîòèì ïðèáàâèòü ê çàïèñÿì êàæäîãî ãîäà ñîáûòèé • âçÿòü ïðÿìîå ñðåäíåå çíà÷åíèå ñòîëáöà, åñëè íàì íàäî ïðèäàòü îäèíàêîâûé âåñ êàæäîìó ãîäó ñîáûòèé • çàäàòü íåêîòîðûå ãîäû ñ íóëåâîé íàãðóçêîé, åñëè ìû õîòèì èñêëþ÷èòü èõ èç âû÷èñëåíèé • âçÿòü íàèâûñøóþ çàïèñü â ñòîëáöå, åñëè íàì íåîáõîäèìî îñóùåñòâèòü î÷åíü áåçîïàñíûé ïîäõîä, ÷òîáû èçáåæàòü íåäîîöåíêè ïðîãíîçèðóåìûõ èñêîâ. • èñïîëüçîâàòü ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû, ÷òîáû ïîäîãíàòü êðèâóþ (äèàãðàììó) ê çàïèñÿì ñòîëáöà, åñëè ìû õîòèì îòðàçèòü òåíäåíöèè, ïðèñóùèå êîýôôèöèåíòàì ðàçâèòèÿ. 3.4 Ìåòîä èíòåðâàëîâ Îïèñàòü è ïðèìåíèòü ìåòîä èíòåðâàëîâ äëÿ çàïîëíåíèÿ òðåóãîëüíèêà çàäåðæêè. (ï5) 381 ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ/ÔÎÐÌÓËÀ Ìåòîä èíòåðâàëîâ ïðåäïîëàãàåò ìîäåëü: Ci,j = ni rj λi+j + ei,j ÏÐÅÄÏÎËÎÆÅÍÈß 1. Êîýôôèöèåíòû ðàçâèòèÿ íå èçìåíÿþòñÿ ïî èñõîäíûì ãîäàì (rj íå ri,j ). 2. Èñêè ïî ïåðâîìó èñõîäíîìó ãîäó ïðåäïîëàãàþòñÿ ïîëíîñòüþ ðàññìîòðåííûìè, òî åñòü ïîñëå ãîäà ðàçâèòèÿ 3 â íàøåì ïðèìåðå íåò íåîïëà÷åííûõ èñêîâ (òîãäà rj -ûå äëÿ âñåõ ëåò ðàçâèòèÿ, âêëþ÷åííûå â òàáëèöó, â ñóììå äàþò 1). ËÎÃÈ×ÅÑÊÎÅ ÎÁÎÑÍÎÂÀÍÈÅ Öåëü ìåòîäà èíòåðâàëîâ óìåíüøèòü èñêàæàþùèå âîçäåéñòâèÿ, âîçíèêàþùèå â ðåçóëüòàòå ôîíîâûõ êîëåáàíèé îáúåìîâ èñêîâ â ðàçëè÷íûå ãîäû ðàçâèòèÿ. Ýòî îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ äåëåíèÿ íà íîðìèðóþùèå ìíîæèòåëè, êîòîðûå äåéñòâóþò, êàê çàìåñòèòåëü îáùåãî ÷èñëà èñêîâ äëÿ êàæäîãî èñõîäíîãî ãîäà. Òàêàÿ ïîïðàâêà óáèðàåò êîýôôèöèåíòû ni èç ýòîé ìîäåëè. Ðÿä óðàâíåíèé, ñîäåðæàùèõ òîëüêî êîýôôèöèåíòû rj è λi+j , çàòåì ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàí ïðèðàâíèâàíèåì îæèäàåìûõ èñêîâ, ïðîãíîçèðóåìûõ ìîäåëüþ, ñ èçâåñòíûìè äàííûìè. Ýòè óðàâíåíèÿ íàäî ðåøèòü, ÷òîáû íàéòè îöåíêè äëÿ rj -ûõ è λi+j -ûõ. Çàòåì èç ôîðìóëû ìîãóò áûòü òî÷íî âû÷èñëåíû ïðåäïîëàãàåìûå áóäóùèå êîýôôèöèåíòû. ÒÐÅÁÎÂÀÍÈß Ê ÄÀÍÍÛÌ Ìåòîä èíòåðâàëîâ òðåáóåò äâà ïóíêòà äàííûõ â äîïîëíåíèå ê îñíîâíûì èñêîâûì äàííûì: 1. Çàïèñü äëÿ êàæäîãî èñõîäíîãî ãîäà, êîòîðàÿ îáåñïå÷èâàåò õîðîøåå îòîáðàæåíèå îáúåìà èñêîâ â ýòîò ãîä. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííàÿ ìåðà ýòî ÷èñëî èñêîâ, ïðåäúÿâëåííûõ â òå÷åíèè íà÷àëüíîãî ãîäà ðàçâèòèÿ (òî åñòü ãîäà ðàçâèòèÿ 0). Åñëè ÷àñòîòà ïðåäúÿâëåíèÿ èñêîâ ñõîäíà äëÿ êàæäîãî ãîäà, ýòà ìåðà äàåò ÿñíîå îòðàæåíèå âîçìîæíîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà èñêîâ. 2. Ïðåäïîëàãàåìûé êîýôôèöèåíò èíôëÿöèè èñêîâ äëÿ êàæäîãî áóäóùåãî ïðîãíîçèðóåìîãî ãîäà. 382 Ïðîèëëþñòðèðóåì ïðèìåíåíèå ìåòîäà èíòåðâàëîâ íà òåõ æå èñêîâûõ äàííûõ, èñïîëüçóÿ äîïîëíèòåëüíóþ èíôîðìàöèþ: ÷èñëî èñêîâ, ïðåäúÿâëåííûõ â èñõîäíûé ãîä 1989 235 1990 390 1991 230 1992 325 ãîäîâîé êîýôôèöèåíò èíôëÿöèè èñêîâ (áóäóùèõ) 1992/93 1993/94 1994/95 8% 7% 6% ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÂÛÂÎÄ/ÈÇËÎÆÅÍÈÅ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈÉ Øàã 1 (äåëåíèå íà íîðìèðóþùèé ìíîæèòåëü) Ðàçäåëèì êàæäóþ ñòðîêó òàáëèöû íà íîðìèðóþùèé ìíîæèòåëü äëÿ ýòîãî èñõîäíîãî ãîäà, íàïðèìåð, äëÿ 1991/1: 600000/230 = 2609 íîðìèðîâàííûå èñêè (£) 0 1989 1277 ãîä 1990 1282 ñîáûòèé 1991 1739 1992 1538 Øàã 2 (âû÷èñëåíèå rj -ûõ è λi+j -ûõ) ãîä ðàçâèòèÿ 1 2 2128 851 1795 769 2609 ? ? ? 3 426 ? ? ? Òåïåðü íàì íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ rj -ûõ è λi+j -ûõ. Îïÿòü æå, ýòî áóäåò ñäåëàíî ñ ïîìîùüþ ïðèðàâíèâàíèÿ îæèäàåìûõ çíà÷åíèé ê ñîîòâåòñòâåííûì äåéñòâèòåëüíûì äàííûì. 383 îæèäàåìûå çíà÷åíèÿ ãîä ñîáûòèé íà: 1989 1990 1991 1992 0 r0 λ89 r0 λ90 r0 λ91 r0 λ92 ãîä ðàçâèòèÿ 1 2 r1 λ90 r1 λ91 r1 λ92 r1 λ93 r2 λ91 r2 λ92 r2 λ93 r2 λ94 3 r3 λ92 r3 λ93 r3 λ94 r3 λ95 Ñóììà ñàìîé äëèííîé äèàãîíàëè (êîòîðàÿ ñîäåðæèò âñå λ92 -ûå) ðàâ- r0 λ92 + r1 λ92 + r2 λ92 + r3 λ92 = 1538 + 2609 + 769 + 426 òî åñòü (r0 + r1 + r2 + r3 )λ92 = 5342 Òàê êàê ìû ïîëàãàåì, ÷òî ïåðâàÿ ñòðîêà ïîëíîñòüþ ðàññìîòðåíà, ìû çíàåì, ÷òî: r0 + r1 + r2 + r3 = 1 Èòàê: λ92 = 5342 Èçâåñòíîå çíà÷åíèå â ïîñëåäíåì ñòîëáöå (êîòîðûé ñîäåðæèò òîëüêî r3 ) ðàâíî: r3 λ92 = 426 Òîãäà r3 = 426/λ92 = 426/5342 = 0.0797 Ñóììà ñëåäóþùåé ïî äëèíå äèàãîíàëè (ñîäåðæàùåé âñå λ91 -ûå): r0 λ91 + r1 λ91 + r2 λ91 = 1739 + 1795 + 851 òî åñòü (r0 + r1 + r2 )λ91 = 4385 Òàê êàê r0 + r1 + r2 + r3 = 1, ìû çíàåì, ÷òî: r0 + r1 + r2 = 1 − r3 = 1 − 0.0797 = 0.9203 Òîãäà: λ91 = 4385/0.9203 = 4765 Èçâåñòíîå çíà÷åíèå â ïðåäïîñëåäíåì ñòîëáöå (êîòîðûé ñîäåðæèò òîëüêî r2 ) ðàâíî: r2 (λ91 + λ92 ) = 1620 Ïîëó÷àåì, ÷òî r2 = 1620/(λ91 + λ92 ) = 1620/(4765 + 5342) = 0.1603 384 Ïðîäîëæàÿ òàêèì îáðàçîì, ïîî÷åðåäíî èñïîëüçóÿ ñóììó äèàãîíàëè, ÷òîáû íàéòè ñëåäóþùåå λi+j , à çàòåì ñóììó ñòîëáöà, ÷òîáû íàéòè ñëåäóþùåå rj , ìîæíî îöåíèòü âñå ïàðàìåòðû. Ïðîñòåéøèé ñïîñîá èçëîæåíèÿ ýòèõ âû÷èñëåíèé ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû çàïèñàòü êàæäûé íàéäåííûé ïàðàìåòð â òàáëèöó è ñîõðàíèòü ïðîìåæóòî÷íûå ñóììû (êàê ïîêàçàíî â òàáëèöå, ïðèâåäåííîé íèæå). Äëÿ λi+j -ûõ íà÷èíàåì â 0 è äîáàâëÿåì êàæäîå íîâîå çíà÷åíèå ê ñóììå. Äëÿ rj -ûõ íà÷èíàåì â 1 è âû÷èòàåì êàæäîå íîâîå çíà÷åíèå. Ýòî îñâîáîæäàåò íàñ îò ïîâòîðíûõ âû÷èñëåíèé è îáåñïå÷èâàåò ïðîâåðêó òîãî, ÷òî rj -ûå â ñóììå äàþò 1. Øàã 3 (ïðîãíîçèðîâàíèå λ) Èñïîëüçóåì ïðåäïîëàãàåìûå áóäóùèå êîýôôèöèåíòû èíôëÿöèè (èç òàáëèöû äàííûõ), ÷òîáû âû÷èñëèòü áóäóùèå λi+j -ûå (ïîêàçàííûå â òàáëèöå, ïðèâåäåííîé íèæå); íàïðèìåð: λ93 = 1.08 × λ92 = 1.08 × 5432 = 5769 ïðîìåæóòî÷íàÿ ñóììà λ89 4088 18682 λ90 4487 14594 ) λ91 4765 10107 λ92 5342 5342 ïðîìåæóòî÷íàÿ ñóììà r0 0.3124 0.0000 r1 0.4476 0.3124 r2 0.1603 0.7600 r3 0.0797 0.9203 λ93 λ94 λ95 Øàã 4 (âû÷èñëåíèå ïðîãíîçèðóåìûõ äàííûõ) Âû÷èñëèì ni rj λi+j , ÷òîáû çàïîëíèòü íåèçâåñòíûå çàïèñè; íàïðèìåð, äëÿ 1991/2: 230 × 0.1603 × 5769 = 213000 âûïëàòû ïî èñêàì, ñäåëàííûå â òå÷åíèå ãîäà (£000) 1989 ãîä 1990 ñîáûòèé 1991 1992 385 0 300 500 400 500 ãîä ðàçâèòèÿ 1 2 500 200 700 300 600 213 839 322 3 100 179 113 169 Øàã 5 (âû÷èñëåíèå ïðîãíîçèðóåìûõ äàííûõ) Ñëîæèì îöåíåííûå çàïèñè, ÷òîáû íàéòè îáùóþ ñóììó íåîïëà÷åííûõ èñêîâ: 179 + 213 + 113 + 839 + 332 + 169 = 1835 ÇÀÌÅ×ÀÍÈß Ïîñëåäîâàòåëüíûå λ-êîýôôèöèåíòû (ïðåäñòàâëÿþùèå êàëåíäàðíûå ýôôåêòû) îáåñïå÷èâàþò îòðàæåíèå êîýôôèöèåíòîâ èíôëÿöèè èñêîâ (ñ ñåðåäèíû ãîäà ïî ñåðåäèíó ãîäà), îñíîâûâàÿñü íà ïðîøëûõ äàííûõ. Íàïðèìåð, λ92 /λ91 = 1.121 ãîâîðÿò íàì î òîì, ÷òî ñðåäíÿÿ ñòîèìîñòü èñêà ìåæäó 1991 è 1992 ãîäàìè âûðîñëà íà 12.1%, îïèðàÿñü íà ïðåäïîëîæåíèÿ ìåòîäà èíòåðâàëîâ. äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 14.9. Òàáëèöà, ïðèâåäåííàÿ íèæå, ïîêàçûâàåò âåëè÷èíû èñêîâ, îïëà÷åííûõ â êàæäûé ãîä ðàçâèòèÿ äëÿ ïîðòôåëÿ èñêîâ ïî ñòðàõîâàíèþ ÷àñòíûõ ñòðîåíèé â ïðåäûäóùåì âîïðîñå äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ. Èñïîëüçóÿ ìåòîä èíòåðâàëîâ, îöåíèòü âåëè÷èíó íåîïëà÷åííûõ èñêîâ, ïîäàííûõ ïî íåñ÷àñòíûì ñëó÷àÿì, ïðîèçîøåäøèì ìåæäó 1-ûì ÿíâàðÿ 1989 ãîäà è 31-ûì äåêàáðÿ 1992 ãîäà. Ïðåäïîëîæèòü 10%-óþ èíôëÿöèþ äëÿ áóäóùèõ ëåò. Âîïðîñ âûïëàòû ïî èñêàì, ñäåëàííûå ãîä ðàçâèòèÿ â òå÷åíèå ãîäà (£000) 0 1 2 1989 8975 5030 1525 ãîä 1990 12555 6975 2090 ñîáûòèé 1991 12120 6885 1992 14790 3 425 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 14.10. Îñíîâûâàÿñü íà ïðåäïîëîæåíèÿõ, ëåæàùèõ â îñíîâå ìåòîäà èíòåðâàëîâ, îïðåäåëèòü ïðåäïîëàãàåìûé êîýôôèöèåíò èíôëÿöèè èñêîâ äëÿ 1989/90. 386 4 Êðàòêîå èçëîæåíèå Âàæíîé ÷åðòîé èñêîâîãî ïðîöåññà â ñòðàõîâàíèè îáùåãî âèäà ÿâëÿåòñÿ ðåçåðâèðîâàíèå, òî åñòü îöåíêà êîìïîíåíòîâ èñêîâûõ ðåçåðâîâ, êîòîðûå âêëþ÷àþò â ñåáÿ çàÿâëåííûå, íî íå óðåãóëèðîâàííûå èñêè, ÈÁÍÐ, âîçîáíîâëåííûå èñêè è äîïîëíèòåëüíûå òðàòû ïî èñêàì. Òðåóãîëüíèêè ðàçâèòèÿ (èëè òðåóãîëüíèêè çàäåðæêè) ïðåäîñòàâëÿþò ìåòîä ñâåäåíèÿ èñêîâûõ äàííûõ â òàáëèöû è èçó÷åíèþ ëåæàùåé â èõ îñíîâå ñòàòèñòè÷åñêîé ìîäåëè. Äâà ìåòîäà, èñïîëüçóåìûå äëÿ ïðîãíîçèðîâàíèÿ èñêîâ ýòî îñíîâíîé öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä è ìåòîä èíòåðâàëîâ. Ýòè ìåòîäû ìîãóò áûòü ñêîððåêòèðîâàíû ñ ó÷åòîì ôîíîâûõ êîëåáàíèé ìåæäó èñõîäíûìè è êàëåíäàðíûìè ãîäàìè (íàïðèìåð, èíôëÿöèÿ èñêîâ). 5 Ôîðìóëû Êîýôôèöèåíòû ðàçâèòèÿ êîýôôèöèåíò ðàññìîòðåíèÿ = j X t=0 Ci,t / j−1 X Ci,t t=0 Ñòàòèñòè÷åñêèå ìîäåëè äëÿ òðåóãîëüíèêîâ ðàçâèòèÿ Ci,j = ni rj λi+j + ei,j Ci,j = ni rj + ei,j Ci,j = ni rj λi+j + ei,j Ci,j = ni rj λi+j + ei,j (îáùàÿ ìîäåëü) (îñíîâíîé öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä) (îñíîâíîé öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä ñ ïîïðàâêîé íà èíôëÿöèþ) (ìåòîä èíòåðâàëîâ) 387 Âîïðîñû ñòóäåíòàì Â1 Ìîãëè áû âû íåìíîãî ïîáîëüøå ðàññêàçàòü î ðåçåðâàõ? Âåðíî ëè, ÷òî ðåçåðâû, êîòîðûå êîìïàíèÿ, çàíèìàþùàÿñÿ îáùèì ñòðàõîâàíèåì, äåðæèò äëÿ íåîïëà÷åííûõ èñêîâ ýòî òîëüêî âåðõóøêà àéñáåðãà â ñðàâíåíèè ñî âñåìè îñòàëüíûìè ðåçåðâàìè, êîòîðûå îíà äîëæíà èìåòü? O1 Êîìïàíèè èìåþò ðåçåðâû, ÷òîáû ñîõðàíèòü ôîíäû äëÿ âûïëàò, êî- òîðûå îíè áóäóò îáÿçàíû ñäåëàòü â áóäóùåì. Â ñëó÷àå êîíòîð ïî ñòðàõîâàíèþ æèçíè èëè ïåíñèîííûõ ôîíäîâ, ãäå ïðåìèè ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû çà óñëóãè, êîòîðûå, âîçìîæíî, íå áóäóò îïëà÷èâàòüñÿ â áëèæàéøèå 40 ëåò, ðåçåðâû áóäóò íàêàïëèâàòüñÿ â òå÷åíèå î÷åíü äîëãîãî ïåðèîäà. Îäíàêî, äëÿ êîìïàíèé, çàíèìàþùèõñÿ îáùèì ñòðàõîâàíèåì, ãäå áîëüøèíñòâî êîíòðàêòîâ ïîêðûâàþò ïåðèîä â îäèí ãîä, òèïè÷íî, ÷òî ðåçåðâû áóäóò õðàíèòü â òå÷åíèè íåñêîëüêèõ ëåò; äî òåõ ïîð, ïîêà èñêè, îòíîñÿùèåñÿ ê ýòîìó ïåðèîäó, áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ. Èòàê, â äåéñòâèòåëüíîñòè, ðåçåðâû äëÿ íåîïëà÷åííûõ èñêîâ ýòî áîëüøàÿ ÷àñòü ðåçåðâîâ îáùåãî ñòðàõîâàíèÿ. Ñïåöèàëèñòû, çàíèìàþùèåñÿ îáùèì ñòðàõîâàíèåì, ìîãóò òàêæå äåðæàòü äðóãèå ðåçåðâû; íàïðèìåð, ðåçåðâû äëÿ âîçîáíîâëåííûõ èñêîâ (â ñëó÷àå, åñëè ñòàíîâèòñÿ íåîáõîäèìûì âîçîáíîâèòü çàêðûòûå èñêè â ñâåòå íîâîé èíôîðìàöèè) èëè äëÿ êàòàñòðîô (÷òîáû ïîêðûòü ïåðèîäû îñîáî òÿæåëûõ èñêîâ). Òàêæå, ââèäó òîãî, ÷òî ïðåìèè îáû÷íî ïëàòÿòñÿ çàáëàãîâðåìåííî, íåîáõîäèìî äåðæàòü ðåçåðâû ïðåìèé, ñîñòîÿùèå èç äîëåé óæå ïîëó÷åííûõ ïðåìèé, îòíîñÿùèõñÿ ê ïåðèîäàì ïîêðûòèÿ, íà÷èíàþùèìñÿ ïîñëå êîíöà òåêóùåãî ãîäà. Â2 Åñòü ëè ðàçëè÷èå ìåæäó òðåóãîëüíèêîì ðàçâèòèÿ è òðåóãîëüíèêîì çàäåðæêè? O2 Íåò. Ýòî ïðîñòî ðàçíûå íàçâàíèÿ îäíîãî è òîãî æå. Òàêæå, îíè èíî- ãäà íàçûâàþòñÿ òðåóãîëüíèêàìè ðàññìîòðåíèÿ. Â3 Ìîæíî ëè ïðîïóñòèòü Øàã 4 â âû÷èñëåíèÿõ îñíîâíîãî öåïî÷íî-ëåñòíè÷íîãî ìåòîäà è íàéòè íåîïëà÷åííûå âåëè÷èíû ñ ïîìîùüþ âû÷èòàíèÿ çàïèñåé, íàõîäÿùèõñÿ íà ãëàâíîé äèàãîíàëè, èç ñòðîêè èòîãîâûõ íàêîïëåíèé (ïîñëåäíåé ñòðîêè òàáëèöû)? 388 O3 Êàê âû óæå îáðàòèëè âíèìàíèå, êîíå÷íûå äàííûå ìîæíî íàéòè ïðÿ- ìî èç Øàãà 3. Îäíàêî, çàïèñè íà Øàãå 4 îáåñïå÷èâàþò ïîëåçíóþ ïðîâåðêó âû÷èñëåíèé. Íà ýòîì øàãå ìîãóò áûòü âûÿâëåíû âàæíûå îøèáêè, èç-çà òîãî, ÷òî äàííûå ìîãóò ÿâíî âûãëÿäåòü íåïðàâèëüíûìè. Êðîìå òîãî, çàïèñè Øàãà 4 ïîêàçûâàþò, êîãäà, êàê îæèäàåòñÿ, áóäóò ïðîèçâåäåíû âûïëàòû. Â ñëó÷àå ïðèìåíåíèÿ öåïî÷íîëåñòíè÷íîãî ìåòîäà ñ èíôëÿöèîííîé ïîïðàâêîé, âû äîëæíû áóäåòå âêëþ÷èòü ýòîò øàã, ÷òîáû êîððåêòíî ïðåäóñìîòðåòü áóäóùóþ èíôëÿöèþ. Â4 Ìîãóò ëè êîìïàíèè èñïîëüçîâàòü òîëüêî èíäåêñ ðîçíè÷íûõ öåí RPI (îò àíãëèéñêîãî Retail Price Index) äëÿ èíôëÿöèè èñêîâ? O4 Îáû÷íî, íåò. Ýòîò èíäåêñ îòðàæàåò ðîñò ñðåäíåé ñòîèìîñòè îïðå- äåëåííîãî òèïà ñòðàõîâûõ èñêîâ. Äëÿ äðóãèõ òèïîâ èñêîâ (íàïðèìåð, êîìïåíñàöèîííûõ âûïëàò òðàâìèðîâàííûì ëþäÿì), èñêè ìîãóò ðàñòè ãîðàçäî áûñòðåå, ÷åì öåíû òîâàðîâ íàðîäíîãî ïîòðåáëåíèÿ. Â5 Îáúÿñíèòå íàçâàíèå ìåòîäà èíòåðâàëîâ. ×òî îí ðàçëåëÿåò? O5 Ìåòîä èíòåðâàëîâ ðàçäåëÿåò äîëãîâðåìåííûå âëèÿíèÿ, òî åñòü âëè- ÿíèÿ, îòíîñÿùèåñÿ ê êàëåíäàðíûì ãîäàì. Êàê ìû óæå çàìåòèëè, öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä ìîæåò äàòü îáìàí÷èâûå ðåçóëüòàòû, åñëè ïðîøëûå äîëãîâðåìåííûå èçìåíåíèÿ (íàïðèìåð, èíôëÿöèÿ) íå ïðîäîëæàþòñÿ ñ òàêèìè æå êîýôôèöèåíòàìè â áóäóùåì. Â6 Áàçèðóþòñÿ ëè êîëè÷åñòâà èñêîâ â ïðèìåðàõ íà äàííûõ ðåàëüíûõ êîìïàíèé? O6 Íåò. Ýòî âûäóìàííûå äàííûå. Îäíàêî, îíè äàþò ÿðêîå îòðàæåíèå äëÿ øàáëîíîâ íåêîòîðûõ òèïîâ ñòðàõîâûõ èñêîâ. Ìû èñïîëüçîâàëè îêðóãëåííûå ÷èñëà è ðàçëè÷íûå ÿ÷åéêè êàæäîãî ãîäà äëÿ ïðåäïîëîæåíèé èíôëÿöèè, ÷òîáû óïðîñòèòü âû÷èñëåíèÿ äëÿ ñëåäóþùèõ ëåò. Â7 Èñïîëüçóþòñÿ ëè íà ïðàêòèêå îñíîâíîé öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä è ìåòîä èíòåðâàëîâ? O7 Îñíîâíîé öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä èñïîëüçóåòñÿ äîâîëüíî øèðî- êî, îñîáåííî äëÿ íàõîæäåíèÿ áûñòðûõ ïåðâîíà÷àëüíûõ îöåíîê. Ìå389 òîä èíòåðâàëîâ âñòðå÷àåòñÿ â ðåàëüíîé ïðàêòèêå îòíîñèòåëüíî ðåäêî. Â8 Ñóùåñòâóþò òîëüêî ýòè ìåòîäû äëÿ ïðîãíîçèðîâ ñòðàõîâàíèèàíèÿ íåîïëà÷åííûõ èñêîâ? O8 Íåò. Åñòü ìíîæåñòâî ðàçëè÷íûõ ìåòîäîâ è èõ ðàçíîâèäíîñòåé. Íåêî- òîðûå ìåòîäû ïðèâîäÿòñÿ â Òåìå G, âêëþ÷àÿ ìåòîäû îïðåäåëåíèÿ ñðåäíåé ñòîèìîñòè èñêà è ìåòîä Áîðíóòòåðà-Ôåðãþñîíà. Â9 ß ñëûøàë îò ìîåãî äðóãà, ðàáîòàþùåãî â îáùåì ñòðàõîâàíèè, î íåòòî-óáûòî÷íîñòè. Íå ìîãëè áû âû ðàññêàçàòü, ÷òî ýòî òàêîå? O9 Äîëÿ èñêîâûõ óáûòêîâ (èëè íåòòî-óáûòî÷íîñòü) è äîëÿ çàòðàò (áðóòòî-óáûòî÷íîñòü) èñïîëüçóþòñÿ, ÷òîáû îöåíèòü, êàê îñóùåñòâëÿþòñÿ äîðîãîñòîÿùèå ñòðàõîâûå èñêè è çàòðàòû. Ýòè êîýôôèöèåíòû äëÿ äàííûõ ðàññìàòðèâàåìûõ ëåò âû÷èñëÿþòñÿ òàê: Ïðîèçîøåäøèå èñêè è Íåòòî-óáûòî÷íîñòü = Ïîëó÷åííûå ïðåìèè Áðóòòî-óáûòî÷íîñòü = Çàòðàòû (âêëþ÷àÿ êîìèññèþ) Áðóòòî-ïðåìèè Ïðîèçîøåäøèå èñêè ýòî îöåíêà îáùåé âåëè÷èíû èñêîâ, îòíîñÿùèõñÿ ê ñîáûòèÿì, ñëó÷èâøèìñÿ â òå÷åíèå ðàññìàòðèâàåìîãî ãîäà è ïîëó÷åííûå ïðåìèè ýòî äîëÿ ïðåìèé, èñïîëüçóåìàÿ äëÿ ïîêðûòèÿ âûïëàò â òå÷åíèå ýòîãî ãîäà. Â êà÷åñòâå ïðèìåðíîãî îðèåíòèðà òèïè÷íûõ çíà÷åíèé äëÿ òèïè÷íûõ ñôåð äåÿòåëüíîñòè â òèïè÷íûå ãîäû ìîãóò áûòü íàçâàíû íåòòî-óáûòî÷íîñòü 70% è áðóòòî-óáûòî÷íîñòü 30%. 390 Ïîäñêàçêè äëÿ îòâåòîâ íà âîïðîñû 1. Âîïðîñû ê ýòîé òåìå â îñíîâíîì ñîäåðæàò äîâîëüíî ñëîæíóþ àðèôìåòèêó. Ïðîâåðÿéòå, ÷òîáû âàøè ÷èñëà âûãëÿäåëè ïîäõîäÿùèìè íà êàæäîé ñòàäèè, òîãäà âàì íå ïðèäåòñÿ òðàòèòü âðåìÿ íà âîçâðàò è ïåðåñ÷åò. 2. Ïðèìåíÿéòå ðàçëè÷íûå ìåòîäû, ÷òîáû ñäåëàòü âû÷èñëåíèÿ áûñòðåå. Ýòî ïîìîæåò, åñëè ïðîâîäèòå âû÷èñëåíèÿ â ñòàíäàðòíîì âèäå. 3. Âû÷èñëåíèå ïàðàìåòðîâ ìåòîäà èíòåðâàëîâ ìîæåò áûòü êðàòêî îõàðàêòåðèçîâàíî ôðàçîé: Èñïîëüçóéòå äèàãîíàëüíûå ñóììû, ÷òîáû íàéòè λ. Èñïîëüçóéòå ñóììû ïî ñòîëáöàì, ÷òîáû íàéòè r. 4. Ãîäû ðàçâèòèÿ èíîãäà îáîçíà÷àþòñÿ 1, 2, 3, . . ., âìåñòî 0, 1, 2, . . . Ïåðâûé ãîä ðàçâèòèÿ îáû÷íî ÿâëÿåòñÿ ãîäîì, ñîâïàäàþùèì ñ èñõîäíûì ãîäîì. Èñïîëüçóéòå îáùèé ïîäõîä, ÷òîáû áûòü óâåðåííûìè, ÷òî èíòåðïðåòèðîâàëè èíôîðìàöèþ êîððåêòíî. 5. Ïîõîæèì îáðàçîì, êàëåíäàðíûå ãîäû ìîãóò îáîçíà÷àòüñÿ â îòíîñèòåëüíûõ âåëè÷èíàõ, òî åñòü 0, 1, 2, . . ., âìåñòî àáñîëþòíûõ çíà÷åíèé, òî åñòü 1989, 1990, 1991, . . . Ýòî íå èãðàåò íèêàêîé ðîëè äëÿ ìåòîäà âû÷èñëåíèé. 391 6 Îòâåòû íà âîïðîñû äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè Ðåøåíèå 14.1 ÈÁÍÐ-ðåçåðâ ñîîòâåòñòâóåò ëåâîé ñòðåëêå. Ðåçåðâ ïðåäúÿâëåííûõ, íî íå îïëà÷åííûõ èñêîâ, ñîîòâåòñòâóåò ñðåäíåé ñòðåëêå. (Äëÿ ïðàâîé ñòðåëêè íå áóäåò çàòðåáîâàíî íèêàêèõ ðåçåðâîâ, òàê êàê âñå âûïëàòû ïî ýòèì èñêàì óæå áûëè ñäåëàíû. Îäíàêî, íà ïðàêòèêå, ñòðàõîâùèê äîëæåí äåðæàòü ðåçåðâû äëÿ âîçîáíîâëåííûõ èñêîâ, ÷òîáû ïðåäóñìîòðåòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äåëî èñêà áûëî çàêðûòü ñëèøêîì áûñòðî è ïîíàäîáÿòñÿ äîïîëíèòåëüíûå âûïëàòû). Ðåøåíèå 14.2 (à) Âûïëàòà â 1990/2 ðàâíà £300000. (á) Îáùàÿ ñóììà èñêîâ, îïëà÷åííûõ â 1992 ãîäó, ýòî ñóììà ýëåìåíòîâ ñàìîé äëèííîé äèàãîíàëè: 500000 + 600000 + 300000 + 100000 = £1500000 Ðåøåíèå 14.3 (à) Òàáëèöà áóäåò âêëþ÷àòü â ñåáÿ âñå èñêè, îòíîñÿùèåñÿ ê íåñ÷àñòíûì ñëó÷àÿì, êîòîðûå ïðîèçîøëè ìåæäó 1-ûì ÿíâàðÿ 1989 ãîäà è 31ûì äåêàáðÿ 1992 ãîäà. Çíà÷èò îíà áóäåò ñîäåðæàòü è çàÿâëåííûå, íî íå óðåãóëèðîâàííûå èñêè, è ÈÁÍÐ-èñêè. (á) Òàáëèöà áóäåò âêëþ÷àòü â ñåáÿ âñå èñêè, ïðåäúÿâëåííûå ìåæäó 1ûì ÿíâàðÿ 1989 ãîäà è 31-ûì äåêàáðÿ 1992 ãîäà. Ïîýòîìó îíà áóäåò ñîäåðæàòü ÇÍÓ èñêè, íî íå áóäåò ñîäåðæàòü ÈÁÍÐ-èñêè. Ðåøåíèå 14.4 Ïðîñòåéøèé ñïîñîá ýòî ñäåëàòü ïîðàáîòàòü ñ èñêàìè ñ íàðàñòàþùèì èòîãîì, êàê ïîêàçàíî íà òàáëèöå íèæå. Çàòåì ìû ìîæåì ïðèìåíèòü êîýôôèöèåíòû ðàçâèòèÿ, ÷òîáû âû÷èñëèòü âûïëàòû äëÿ áóäóùèõ ëåò. Íàïðèìåð, ñîâîêóïíàÿ âûïëàòà äëÿ 1991/2 ðàâíà: 1000 × 1.250 = £1250 392 âûïëàòû ïî èñêàì ãîä ðàçâèòèÿ ñ íàðàñòàþùèì èòîãîì (£000) 0 1 2 3 1989 300 800 1000 1100 ãîä 1990 500 1200 1500 1650 ñîáûòèé 1991 400 1000 1250 1438 1992 500 1250 1625 1788 Ðåøåíèå 14.5 Â ýòîì ïðèìåðå òîëüêî 3 èñõîäíûõ ãîäà è ãîäà ðàçâèòèÿ. Ïåðåìíîæåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ ïàðàìåòðîâ äàåò ñëåäóþùóþ òàáëèöó: âûïëàòû ïî èñêàì, ñäåëàííûå â òå÷åíèå ãîäà (£000) 1990 ãîä 1991 ñîáûòèé 1992 ãîä ðàçâèòèÿ 0 1 2 900 495 180 1155 630 219 1152 600 208 Âåëè÷èíà íåîïëà÷åííûõ èñêîâ ðàâíà: 219 + 600 + 208 = 1027, òî åñòü £1027000. Ðåøåíèå 14.6 ni áóäåò ïîêàçûâàòü îáùåå ÷èñëî èñêîâ, çàÿâëåííûõ â èñõîäíûé ãîä i. rj áóäåò ïîêàçûâàòü äîëþ èñêîâ, âûïëàòû ïî êîòîðûì áûëè ñäåëàíû â ãîä ðàçâèòèÿ j . λi+j áóäåò ðàâíî 1, òàê êàê ìû ðàññìàòðèâàåì êîëè÷åñòâî èñêîâ. Ðåøåíèå 14.7 Îñíîâûâàÿñü íà èñõîäíûõ ãîäàõ äî 1990, êîýôôèöèåíò ðàçâèòèÿ ãîäà 3 ïî îòíîøåíèþ ê ïðåäøåñòâóþùèì ãîäàì ðàâåí: 1 100 = 300 + 500 + 200 10 Îáùàÿ ñóììà ïî ïåðâûì òðåì ãîäàì ðàçâèòèÿ äëÿ 1990 ãîäà ðàâíà: 500 + 700 + 300 = 1500 Òîãäà, ìû ìîæåì îæèäàòü, ÷òî çàïèñü â ÿ÷åéêå 1990/3 áóäåò òàêîé: 1 × 1500 = 150 10 393 Ðåøåíèå 14.8 Êîãäà ìû èìååì äåëî ñ êîëè÷åñòâîì èñêîâ, îñíîâíîé öåïî÷íîëåñòíè÷íûé ìåòîä ìîæåò áûòü ïðèìåíåí òî÷íî òàêèì æå ñïîñîáîì: Òàáëèöà íàêîïëåíèé ÷èñëà èñêîâ âûãëÿäèò òàê: ñîâîêóïíîå ÷èñëî èñêîâ ãîä ñîáûòèé 1989 1990 1991 1992 ãîä ðàçâèòèÿ 0 1 2 3 17500 22500 24750 25500 21000 27200 29950 30858 18800 24300 26745 27555 21300 27508 30275 31193 Ïðîãíîçèðóåìîå îêîí÷àòåëüíîå ÷èñëî èñêîâ ýòî îáùàÿ ñóììà ïîñëåäíåãî ñòîëáöà: 25500 + 30858 + 27555 + 31193 = 115106 Ðåøåíèå 14.9 Âàì íàäî èñïîëüçîâàòü ïåðâûé ñòîëáåö òàáëèöû èç ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà, êàê íîðìèðóþùèé ìíîæèòåëü äëÿ èñõîäíûõ ëåò. ÷èñëî èñêîâ, ïðåäúÿâëåííûõ â èñõîäíûé ãîä (000) 1989 17.5 1990 21.0 1991 18.8 1992 21.3 Äåëåíèå êàæäîé ñòðîêè íà ýòè êîýôôèöèåíòû äàåò: íîðìèðîâàííûå èñêè (£) 0 1989 513 ãîä 1990 598 ñîáûòèé 1991 645 1992 694 394 ãîä ðàçâèòèÿ 1 2 287 87 332 100 366 3 24 Ñóììû ïî äèàãîíàëÿì è ïî ñòîëáöàì äëÿ ýòîé òàáëèöû ðàâíû: Äèàãîíàëü 513 885 1064 1184 Ñòîëáåö 2450 985 187 24 Òàáëèöà, ïðèâåäåííàÿ íèæå, ïîêàçûâàåò âû÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ. Ïîäðîáíûå âû÷èñëåíèÿ òàêîâû: r3 = 24/1184 = 0.0203 r2 = 187/2270 = 0.0824 r1 = 985/3256 = 0.3025 r0 = 2450/4118 = 0.5949 λ92 = 1184 λ91 = 1064/0.9797 = 1086 λ90 = 885/0.8973 = 986 λ89 = 513/0.5948 = 862 (Â ýòîì ñëó÷àå rj -ûå â ñóììå íå äàþò 1, òàê êàê âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåííûå.) Áóäóùèå êîýôôèöèåíòû λ: λ93 = 1.10 × 1184 = 1302 λ94 = 1.10 × 1302 = 1432 λ95 = 1.10 × 1432 = 1575 ïðîìåæóòî÷íàÿ ñóììà λ89 862 4118 λ90 986 3256 ) λ91 1086 2270 λ92 1184 1184 λ93 1302 λ94 1432 λ95 1575 ïðîìåæóòî÷íàÿ ñóììà r0 0.5949 0.0000 r1 0.3025 0.5948 r2 0.0824 0.8973 r3 0.0203 0.9797 1.0001 Èñïîëüçóÿ ýòè çíà÷åíèÿ íîðìèðóþùèõ ìíîæèòåëåé, ìû ìîæåì äîïîëíèòü òàáëèöó: âûïëàòû ïî èñêàì, ñäåëàííûå ãîä ðàçâèòèÿ â òå÷åíèå ãîäà (£000) 0 1 2 1989 8975 5030 1525 ãîä 1990 12555 6975 2090 ñîáûòèé 1991 12120 6885 2017 1992 14790 8389 2513 395 3 425 555 547 681 Âåëè÷èíà íåîïëà÷åííûõ èñêîâ ðàâíà: 555 + 2017 + . . . + 681 = 14702, òî åñòü £14702. Ðåøåíèå 14.10 Ïðåäïîëàãàåìûé êîýôôèöèåíò èíôëÿöèè èñêîâ äëÿ 1989/90 ìîæåò áûòü íàéäåí èç ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó λ: λ90 986 = = 1.144, λ89 862 396 òî åñòü 14.4% Ãëàâà 15 Îñíîâû òåîðèèÒðåóãîëüíèêè Ðàçâèòèÿ ÀÍÀËÈÇ ÒÐÅÓÃÎËÜÍÈÊÎÂ ÐÀÇÂÈÒÈß 1 Èñõîäíûå äàííûå 1.1 Èñòîêè òðåóãîëüíèêîâ ðàçâèòèÿ Òðåóãîëüíèêè ðàçâèòèÿ (çàäåðæêè) îáû÷íî âîçíèêàþò â òåõ òèïàõ ñòðàõîâàíèÿ (â ÷àñòíîñòè, â ñòðàõîâàíèè, íå êàñàþùåìñÿ æèçíè), ãäå ïîñëå óùåðáà è äî òîãî ìîìåíòà, êàê áóäåò îïðåäåëåí ïîëíûé îáúåì èñêîâ, êîòîðûå íåîáõîäèìî îïëàòèòü, äîëæíî ïðîéòè íåêîòîðîå âðåìÿ. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ýòè èñêè ïðèïèñûâàþòñÿ òîìó ãîäó, â êîòîðîì áûë îôîðìëåí ïîëèñ. Ñòðàõîâîé êîìïàíèè íåîáõîäèìî çíàòü, ñêîëüêî îíà îáÿçàíà âûïëàòèòü ïî èñêàì, ÷òîáû ìîæíî áûëî âû÷èñëèòü, êàêîé êàïèòàë äëÿ ýòîãî òðåáóåòñÿ. Îäíàêî, äî òîãî, êàê ñòàíóò èçâåñòíû òî÷íûå èñêîâûå ñóììû, ìîæåò ïðîéòè ìíîãî ëåò. Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî ïðè÷èí çàäåðæåê îïðåäåëåíèÿ îêîí÷àòåëüíûõ ñóìì. Çàäåðæêà ìîæåò ïðîèçîéòè äî óâåäîìëåíèÿ îá èñêå è/èëè ìåæäó óâåäîìëåíèåì è êîíå÷íûì ðàñ÷åòîì. Î÷åâèäíî, ÷òî, õîòÿ êîìïàíèÿ íå çíàåò òî÷íûõ äàííûõ ïî âåëè÷èíå èñêîâ äëÿ êàæäîãî ãîäà, îíà äîëæíà ïîïûòàòüñÿ îöåíèòü ýòè äàííûå íàñòîëüêî äîñòîâåðíî è òî÷íî, íàñêîëüêî ýòî âîçìîæíî. 1.2 Ïðåäñòàâëåíèå èíôîðìàöèè ïî èñêàì Ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ñïîñîáîâ ïðåäñòàâëåíèÿ èñêîâûõ äàííûõ, êîòîðûå àêöåíòèðóþò âíèìàíèå íà ðàçëè÷íûõ àñïåêòàõ èíôîðìàöèè. 397 Çäåñü îíè (äàííûå) áóäóò ïðåäñòàâëåíû êàê òðåóãîëüíèê, ÷òî ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûì ìåòîäîì. Ãîä, â êîòîðîì äåëî áûëî çàðåãèñòðèðîâàíî è ñòðàõîâùèê âçÿë íà ñåáÿ ðèñê, íàçûâàåòñÿ ãîäîì ñîáûòèé. Êîëè÷åñòâî ëåò, ïðîøåäøèõ äî òîãî, êàê áóäåò ñäåëàíà âûïëàòà, íàçûâàåòñÿ çàäåðæêîé èëè ïåðèîäîì ðàçâèòèÿ. Èñêîâûå äàííûå äåëÿòñÿ ïî ãîäàì ñîáûòèé è ãîäàì ðàçâèòèÿ. Ñëåäóþùàÿ òàáëèöà ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîì âçàèìîñâÿçè ìåæäó ãîäîì ñîáûòèé è ãîäîì ðàçâèòèÿ. Â íåêîòîðûõ âèäàõ ñòðàõîâàíèÿ ìîæåò îêàçàòüñÿ íåîáõîäèìûì ðàññìîòðåíèå èñêîâ ïî ìåñÿöàì èëè ñåçîíàì, íî îñíîâíîé ïðèíöèï îñòàåòñÿ ïðåæíèì. Ï ð è ì å ð 15.1 Âûïëàòû ïî èñêàì ñ íàðàñòàþùèì èòîãîì Ãîä Ãîä ðàçâèòèÿ ñîáûòèé 0 1 2 3 4 1992 786 1410 2216 2440 2519 1993 904 1575 2515 2796 1994 995 1814 2880 1995 1220 2124 1996 1182 Ðèñ.1 Çäåñü ïðåäñòàâëåíû îáùèå ñóììàðíûå âåëè÷èíû, âûïëà÷åííûå ê êîíöó êàæäîãî ãîäà ðàçâèòèÿ. Îíè áûëè ñîáðàíû ïîñëå îêîí÷àíèÿ 1996 ãîäà ñîáûòèé. Äëÿ ýòîãî ãîäà çàÿâëåíû òîëüêî âûïëàòû ñ çàäåðæêîé 0. Äëÿ 1995 ãîäà âûïëàòû ñ çàäåðæêàìè 0 è 1, è ò.ä. Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû îïðåäåëèòü, êàêèå åùå ñóììû äîëæíû áûòü âûïëà÷åíû ïî óêàçàííûì ãîäàì ñîáûòèé. Äëÿ 1996 ãîäà ýòî ìîæíî îñóùåñòâèòü, ðàññìîòðåâ ïðåäûäóùèå ãîäû ñîáûòèé. Åñëè ñîâîêóïíûå âûïëàòû ðàñòóò ñõîäíûì îáðàçîì, òî ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî çà 4 ãîäà îíè, âåðîÿòíî, ñîñòàâÿò ïðèìåðíî 3788. Ýòî ÷èñëî ïîëó÷åíî ñ ïîìîùüþ ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî 1996 ãîä ñîáûòèé ïîõîæ íà 1992 ïî ïðèíöèïó îñóùåñòâëåíèÿ âûïëàò, è îöåíêè âûïëàò ñ íàðàñòàþùèì èòîãîì ê êîíöó ãîäà ðàçâèòèÿ 4: 1182 × 2519 = 3788 786 Ýòî íå âñåãäà ëó÷øàÿ îöåíêà, íî îíà äàåò âîçìîæíîñòü çàïîëíèòü íèæíèé òðåóãîëüíèê ðèñóíêà 1, ñðàâíèâàÿ ïðåäñòàâëåííûå äàííûå ñ ïðîøëûì îïûòîì. Ýòîò ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ ãëàâíûì ïðåäìåòîì èçó÷åíèÿ äàííîé ãëàâû. 398 2 Ïðîãíîçèðîâàíèå ñ ïîìîùüþ êîýôôèöèåíòîâ ðàçâèòèÿ 2.1 Ïðèíöèï ðàçâèòèÿ Îñíîâíîå ïðåäïîëîæåíèå, ñäåëàííîå äëÿ îöåíêè íåîïëà÷åííûõ èñêîâ, îòíîñèòñÿ ê ïðèíöèïó ðàçâèòèÿ. Ïðîñòåéøåå ïðåäïîëîæåíèå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî âûïëàòû îñóùåñòâëÿþòñÿ ñõîäíûì îáðàçîì äëÿ êàæäîãî ãîäà ñîáûòèé. Ïðîïîðöèîíàëüíûå ïðèðîñòû èçâåñòíûõ ñîâîêóïíûõ âûïëàò îò îäíîãî ãîäà ðàçâèòèÿ ê äðóãîìó çàòåì ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ îæèäàåìûõ ñîâîêóïíûõ âûïëàò äëÿ áóäóùèõ ëåò ðàçâèòèÿ. Îäíàêî, êàê ïîêàçàíî â ïðèìåðå, îïèñàííîì íèæå, åñòü ìíîæåñòâî âàðèàíòîâ òîãî, êàê ýòîò êîýôôèöèåíò ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïðîãíîçèðîâàíèÿ áóäóùèõ èñêîâ. Çàìå÷àíèå: Êîýôôèöèåíò, ïðèìåíÿåìûé äëÿ ïðîãíîçèðîâàíèÿ áóäóùèõ èñêîâ, èçâåñòåí êàê êîýôôèöèåíò ðàçâèòèÿ. Ï ð è ì å ð 15.2 Ïðîïîðöèîíàëüíûå ïðèðîñòû ñîâîêóïíûõ âûïëàò Ãîä ñîáûòèé Ãîä ðàçâèòèÿ 0 1 2 3 1992 786 1.794 1410 1.572 2216 1.101 2440 1993 904 1.742 1575 1.597 2515 1.112 2796 1994 995 1.7823 1814 1.588 2880 1995 1220 1.756 2124 1996 1182 4 1.032 2519 Ðèñ.2 Êîýôôèöèåíòû ïðèðîñòà ñîâîêóïíûõ âûïëàò äëÿ êàæäîãî ãîäà ñîáûòèé ñ 1992 ïî 1995 ðàçëè÷àþòñÿ îò ãîäà ðàçâèòèÿ 0 ê ãîäó ðàçâèòèÿ 1. Íåëåãêî ðåøèòü, êàêîé èç êîýôôèöèåíòîâ ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûì, íàïðèìåð, ïðè ïðîãíîçèðîâàíèè âûïëàò äëÿ ãîäà ñîáûòèé 1993. Äëÿ áåçîïàñíîé îöåíêè, ñêîðåå âñåãî, ëó÷øå âçÿòü áîëüøèé êîýôôèöèåíò, òî åñòü 1.823. Îäíàêî, íåêîòîðûå âèäû ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ìîãóò îêàçàòüñÿ áîëåå ïîäõîäÿùèìè. Ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðîñòîå ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå: 1.794 + 1.742 + 1.823 + 1.756 = 1.779 4 Îñíîâíîå íåóäîáñòâî òàêîãî óñðåäíåíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî îíî íå ïðèíèìàåò â ðàñ÷åò òîò ôàêò, ÷òî òå ãîäû, â êîòîðûå ïðîèçîøëî áîëüøå èñêîâ, äàþò áîëüøóþ èíôîðìàöèþ. Ïîýòîìó, ÷åì áîëüøå âåëè÷èíà èñêîâ, òåì áîëüøóþ 399 çíà÷èìîñòü îíà äîëæíà èìåòü â êîýôôèöèåíòå. Ýòî ïðåäïîëàãàåò èñïîëüçîâàíèå âçâåøåííûõ ñðåäíèõ, è îáû÷íî â êà÷åñòâå âåñîâ âûáèðàþòñÿ çíà÷åíèÿ èñêîâ ñ íàêîïèòåëüíûì èòîãîì. Ãîä ñîáûòèé Êîýôôèöèåíò Âåñ 1992 1.794 786 1993 1.742 904 1994 1.823 995 1995 1.756 1220 1.794 × 786 + 1.742 × 904 + 1.823 × 995 + 1.756 × 1220 = 1.777 786 + 904 + 995 + 1220 Ýòîò ìåòîä îöåíêè êîýôôèöèåíòîâ, îïèñûâàþùèõ ïðèíöèï ðàçâèòèÿ, íàçûâàåòñÿ öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä. Ñàìûé ýôôåêòèâíûé ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ òàêèõ êîýôôèöèåíòîâ ïðèâîäèòñÿ â ñëåäóþùåì ðàçäåëå. 2.2 Òåõíèêà öåïî÷íî-ëåñòíè÷íîãî ìåòîäà Ýòîò ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçâèòèÿ ïðîäåìîíñòðèðîâàí â ñëåäóþùåì ïðèìåðå: Ï ð è ì å ð 15.3 Íàïîìíèì, ÷òî êîýôôèöèåíò äëÿ ãîäà ñîáûòèé 1992 áûë âû÷èñëåí òàê: 1.794 = 1410 786 Êîýôôèöèåíòû äëÿ îñòàëüíûõ ëåò ñîáûòèé âû÷èñëÿëèñü ïîõîæèì îáðàçîì. Ïîýòîìó, ÷èñëèòåëü ðàâåíñòâà, ïðèâåäåííîãî â êîíöå ðàçäåëà 2.1, ìîæåò áûòü çàïèñàí èíà÷å: 1410 1575 1814 2124 × 786 + × 904 + × 995 + × 1220 = 1410 + 1575 + 1814 + 2142 786 904 995 1220 Ïîýòîìó, êîýôôèöèåíò ðàçâèòèÿ ìîæåò áûòü âû÷èñëåí ñ èñïîëüçîâàíèåì èñêîâ ñ íàðàñòàþùèì èòîãîì â ãîäû ðàçâèòèÿ 0 è 1: 1410 + 1575 + 1814 + 2142 786 + 904 + 995 + 1220 Íàçâàíèå ýòîãî ìåòîäà, ïî-âèäèìîìó, ïðîèñõîäèò îò ñòóïåí÷àòûõ îïåðàöèé, êîòîðûå ñêðåïëÿþò ïî öåïî÷êå ãîäû ðàçâèòèÿ. Êîýôôèöèåíòû ðàçâèòèÿ â òåõíèêå öåïî÷íî-ëåñòíè÷íîãî ìåòîäà äëÿ êàæäîãî ãîäà ìîãóò áûòü íàéäåíû ñëîæåíèåì ñîîòâåòñòâóþùåãî êîëè÷åñòâà ÷ëåíîâ. Ýòî ïðîèëëþñòðèðîâàíî íèæå: 400 Ðàçâèòèå Ãîä ñîáûòèé 0 1 2 3 4 1992 786 1410 2216 2440 2519 1993 904 1575 2515 2796 1994 995 1814 2880 1995 1220 2124 1996 1182 6941 3905 7611 4799 5236 4731 2519 2440 = 1.777 = 1.586 = 1.107 1.032 Ðèñ.3 Äëÿ êàæäîãî ãîäà ìû âû÷èñëèëè êîýôôèöèåíòû ðàçâèòèÿ. Òåïåðü ìîæíî ñïðîãíîçèðîâàòü áóäóùåå ðàçâèòèå äëÿ êàæäîãî ãîäà ñîáûòèé. Äëÿ ãîäà ñîáûòèé 1996, ïðîãíîçû èñêîâ ñ íàðàñòàþùèì èòîãîì òàêèå: 1182 1182 1182 1182 ×1.777 ×1.777 ×1.777 ×1.777 ×1.586 ×1.586 ×1.586 ×1.107 ×1.107 = 2100 = 3331 = 3688 = 3806 ×1.032 Äëÿ ãîäà ñîáûòèé 1995, íà÷èíàåì ñî çíà÷åíèÿ 2142 äëÿ ãîäà ðàçâèòèÿ 1 è èñïîëüçóåì òîëüêî ïîñëåäíèå 3 çâåíà êîýôôèöèåíòîâ. Ïðîãíîçèðóåìûå âûïëàòû ïî èñêàì ñ íàðàñòàþùèì èòîãîì Ãîä ñîáûòèé Ðàçâèòèå 0 1 2 3 4 3188 3290 3397 3761 3881 3331 3688 3806 1992 1993 2885 1994 1995 1996 2100 Ðèñ.4 Çàìåòèì, ÷òî íåëüçÿ ñäåëàòü ïðîãíîç äëÿ ïåðâîãî ãîäà ñîáûòèé, ïîòîìó ÷òî íåâîçìîæíî ñïðîãíîçèðîâàòü, ÷òî ïðîèçîéäåò ïîñëå íàèâûñøåãî ãîäà ðàçâèòèÿ. Ðåçåðâû, êîòîðûå íåîáõîäèìî èìåòü ê êîíöó 1996 ãîäà ýòî ñóììà ïî âñåì ãîäàì ñîáûòèé, äëÿ êîòîðûõ ïðîãíîç ìîæåò áûòü ñäåëàí ïî ðàçíèöå ìåæäó ñîâîêóïíûìè âûïëàòàìè ê êîíöó ãîäà ðàçâèòèÿ 4 è èçâåñòíûìè çíà÷åíèÿìè â òðåóãîëüíèêå ðàçâèòèÿ äëÿ ýòîãî ãîäà ñîáûòèé. 401 Òîãäà èç ðèñóíêîâ 1 è 4, îïðåäåëèì ðåçåðâû ê êîíöó 1996 ãîäà: (2885 − 2796) + (3290 − 2880) + (3881 − 2142) + (3806 − 1182) = 4862 Çàìåòèì, ÷òî ê âûïëàòàì â ðàçëè÷íûå ãîäû íå ïðèìåíÿëñÿ ó÷åòíûé ïðîöåíò. 2.3 Ìîäåëü ïðîâåðêè Òåõíèêà öåïî÷íî-ëåñòíè÷íîãî ìåòîäà ãëàâíûì îáðàçîì èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îöåíêè ðàçâèòèÿ âûïëàò ïî èñêàì ñ íàðàñòàþùèì èòîãîì. Îäíàêî, ïîëåçíî ïðîâåðèòü, áóäåò ëè òàêàÿ îöåíêà â ïîëíîé ìåðå ñîîòâåòñòâîâàòü èñêîâûì äàííûì, êîòîðûå óæå áûëè ïîëó÷åíû. Äëÿ èëëþñòðàöèè ýòîé ïðîâåðêè, âîçüìåì äàííûå èç ðèñóíêà 2. ×òîáû ïðîâåðèòü, íàñêîëüêî õîðîøî âûïîëíåíà òåõíèêà öåïî÷íîëåñòíè÷íîãî ìåòîäà, â ïðèìåðå, îïèñàííîì íèæå áóäóò ðàññìîòðåíû èñêè â 0-îé ãîä ðàçâèòèÿ äëÿ ëåò ñîáûòèé 1992-1995. Ï ð è ì å ð 15.4 Ïóñòü ðåàëüíûå èñêè â ãîä ðàçâèòèÿ 0 ðàâíû: 1992 786 1993 904 1994 995 1995 1220 Êîýôôèöèåíòû ðàçâèòèÿ, âû÷èñëåííûå â ðàçäåëå 2.2 1.777, 1.586, 1.107 è 1.032. Ñ èõ ïîìîùüþ ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà îöåíêà âûïëàò ïî èñêàì ñ íàðàñòàþùèì èòîãîì äëÿ êàæäîãî ãîäà ðàçâèòèÿ. Íàøà çàäà÷à ñðàâíèòü ýòè çíà÷åíèÿ ñ ðåàëüíûìè äàííûìè èç ðèñóíêà 2. Ñëåäóþùàÿ òàáëèöà äàåò óñòàíîâëåííûå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷åííûå ñ èñïîëüçîâàíèåì öåïî÷íî-ëåñòíè÷íîãî ìåòîäà: Óñòàíîâëåííûå âûïëàòû ïî èñêàì ñ íàðàñòàþùèì èòîãîì Ãîä Ðàçâèòèå ñîáûòèé 0 1 2 3 4 1992 786 1397 2215 2452 2531 1993 904 1606 2548 2820 1994 995 1768 2804 1995 1220 2168 Ðèñ.5 Òåïåðü ìîæíî ñðàâíèòü ðèñóíêè 5 è 1. Îäíàêî, ïðåäïî÷òèòåëüíåé áóäåò ïðîâåðèòü ïðèðîñòû âûïëàò ïî èñêàì ñ íàðàñòàþùèì èòîãîì, ðàññìîòðåâ ìîäåëü äåòàëüíî. Ýòî äàåò áîëåå òî÷íóþ ïðîâåðêó. Ïðèðîñòû ñîâîêóïíûõ âûïëàò äëÿ ëåò ðàçâèòèÿ (êàê ðåàëüíûå, òàê è óñòàíîâëåííûå) ïðèâîäÿòñÿ íà ðèñóíêå 6. 402 Ðàçâèòèå 1992 1993 1994 1994 0 1 2 3 4 Ðåàëüíûå 786 624 806 224 79 Óñòàíîâëåííûå 786 611 818 237 79 Îøèáêà - 13 -12 -13 0 Ðåàëüíûå 904 671 940 281 Óñòàíîâëåííûå 904 702 942 272 Îøèáêà - -31 -2 9 Ðåàëüíûå 995 819 1066 Óñòàíîâëåííûå 995 773 1036 Îøèáêà - 46 30 Ðåàëüíûå 1220 922 Óñòàíîâëåííûå 1220 948 Îøèáêà - -26 Ðèñ.6 Íàñòîëüêî ñåðüåçíûõ îøèáîê, ÷òîáû ïðåäïîëîæèòü, ÷òî äàííàÿ ìîäåëü íåòî÷íàÿ, íåò. Îäíàêî, íåñìîòðÿ íà ýòó ïðîâåðêó, âïîëíå âåðîÿòíî, ÷òî ïîëó÷åííàÿ îöåíêà ìîæåò ñòàòü íåäîñòàòî÷íûì îðèåíòèðîì â áóäóùåì. 2.4 Äðóãèå ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçâèòèÿ Â ñâåòå äîïîëíèòåëüíîé èíôîðìàöèè, ìîæíî ñêîððåêòèðîâàòü âû÷èñëåííûå êîýôôèöèåíòû ðàçâèòèÿ. Ýòîò ìåòîä, êîòîðûé èñïîëüçóåò ïðîøëóþ èíôîðìàöèþ, ìîæåò ïîëó÷àòü è òî÷íîå ïðèáëèæåíèå, íî, áîëåå ÷àñòî, íóæäàåòñÿ â êîððåêöèè. Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî îñíîâàíèé ïðåîáðàçîâûâàòü êîýôôèöèåíòû ðàçâèòèÿ. Íàïðèìåð, èçìåíåíèÿ â ìåòîäàõ áóõãàëòåðñêîãî ó÷åòà èëè â óïðàâëåíèè èñêàìè ìîãóò èçìåíèòü ñêîðîñòü, ñ êîòîðîé ðåãóëèðóþòñÿ èñêè. Ýòî ìîãëî áû ïîñëóæèòü íà÷àëîì äëÿ èçìåíåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçâèòèÿ è ìîãëî áû îùóòèìî îòðàçèòüñÿ â îöåíêå áóäóùèõ èñêîâûõ âûïëàò. Êîýôôèöèåíòû ðàçâèòèÿ, íàéäåííûå íàïðÿìóþ èç èìåþùèõñÿ äàííûõ èëè óñòàíîâëåííûå ñ ïîìîùüþ êîìïåòåíòíîãî ÷åëîâåêà, âñåãäà èñïîëüçóþòñÿ â îäíîì è òîì æå ñïîñîáå îöåíêè íåîïëà÷åííûõ èñêîâûõ âûïëàò. Êðîìå òîãî, öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä ëó÷øå ïðèìåíÿòü äëÿ òðåóãîëüíèêà íåòòî-óáûòî÷íîñòè, ÷åì äëÿ ñîâîêóïíûõ âûïëàò, ãäå íåòòîóáûòî÷íîñòü äëÿ äàííîãî ãîäà ðàçâèòèÿ è ãîäà ñîáûòèé ýòî âûïëàòû, 403 íàêîïëåííûå ê ýòîìó ìîìåíòó, âêëþ÷àÿ ãîä ðàçâèòèÿ, äåëåííûå íà îáùèé ïðåìèàëüíûé äîõîä, ñîîòâåòñòâóþùèé äàííîìó ãîäó ñîáûòèé. 2.5 Îáñóæäåíèå ïðåäïîëîæåíèé, ëåæàùèõ â îñíîâå öåïî÷íî-ëåñòíè÷íîãî ìåòîäà Öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä áàçèðóåòñÿ íà ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî âûïëàòû äëÿ êàæäîãî ãîäà ñîáûòèé ðàçâèâàþòñÿ îäèíàêîâî. Èíûìè ñëîâàìè, îäèíàêîâûå êîýôôèöèåíòû ðàçâèòèÿ èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ïðîãíîçà íåîïëà÷åííûõ èñêîâ ïî êàæäîìó ãîäó ñîáûòèé. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîîòíîøåíèÿ, â êîòîðîì âîçíèêàþò èñêè, ìîæåò áûòü îáúåäèíåíî ïîä îáùèì íàçâàíèåì: ïîïðàâêà âðó÷íóþ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçâèòèÿ. Êîíå÷íîå ïðåäïîëîæåíèå äåëàåòñÿ, êîãäà öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä èñïîëüçóåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ èíôëÿöèåé. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî áóäóùàÿ èíôëÿöèÿ áóäåò ðàâíà âçâåøåííîìó ñðåäíåìó çíà÷åíèþ èíôëÿöèè ïðîøëûõ ëåò. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî èíôëÿöèÿ èñêîâ îêàçûâàåò çíà÷èòåëüíîå âëèÿíèå íà ôîðìèðîâàíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðîãíîçèðîâàíèÿ. Òàêîå ïðåäïîëîæåíèå ìîæåò îêàçàòüñÿ íåðåàëèñòè÷íûì, è, ÷òîáû âûÿñíèòü ýòî, îíî áóäåò ðàññìîòðåíî áîëåå äåòàëüíî â ñëåäóþùåì ðàçäåëå. Êîãäà ðå÷ü èäåò î èíôëÿöèè, âàæíî ïîìíèòü, ÷òî èìååòñÿ ââèäó èíôëÿöèÿ èñêîâ. Ïîýòîìó, õîòÿ ñòàíäàðòíûé ñïîñîá èçìåðåíèÿ îáùåé èíôëÿöèè è ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí, óðîâåíü èíôëÿöèè, ïðèõîäÿùèéñÿ íà èñêè, ìîæåò îòëè÷àòüñÿ äîâîëüíî ñèëüíî. Íàïðèìåð, íà ðàçìåð èñêîâûõ âûïëàò ìîæåò ïîâëèÿòü ñóäåáíîå ðåøåíèå. Ðàçäåë 3 áîëåå äåòàëüíî îñâåùàåò âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñ ýòèì. 3 Ïîïðàâêà íà èíôëÿöèþ 3.1 Öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä ñ ïîïðàâêîé íà èíôëÿöèþ Ðàáîòà ñ èíôëÿöèåé ïðîøëûõ ëåò Èíôëÿöèÿ èñêîâ îêàçûâàåò âëèÿíèå íà âûïëàòû, îïèñàííûå â òðåóãîëüíèêå ðàçâèòèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ êàëåíäàðíûìè ãîäàìè. Â ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èíôëÿöèÿ èìååò îäèíàêîâûé ãîäîâîé óðîâåíü äëÿ âñåõ èñêîâ, êàñàþùèõñÿ îïðåäåëåííîãî ãîäà âûïëàò. Êàæäûé êàëåíäàðíûé ãîä âûïëàò ñîîòíîñèòñÿ ñ äèàãîíàëüþ òðåóãîëüíèêà. Äëÿ èëëþñòðàöèè, ïîñìîòðèì ñíîâà íà ðèñóíîê 1. 404 Êîãäà íàì íóæíà ïîïðàâêà íà èíôëÿöèþ, ëó÷øå ðàññìàòðèâàòü âûïëàòû äëÿ êàæäîãî êàëåíäàðíîãî ãîäà, ÷åì îáùèå íàêîïëåííûå ñóììû. Äëÿ íà÷àëà íàäî âû÷èñëèòü âîçðàñòàþùèå âûïëàòû èç ñîâîêóïíûõ, âûäåëåíèåì èõ âäîëü êàæäîé ñòðîêè. Òà æå îïåðàöèÿ áûëà âûïîëíåíà â ðàçäåëå 2.2 è ñëåäóþùèé ðèñóíîê ìîæíî ñðàâíèòü ñ ðèñóíêîì 6. Ï ð è ì å ð 15.5 Ðèñóíîê 7 ïîêàçûâàåò âîçðàñòàþùèå (íî íå ïðåäóñìàòðèâàþùèå íàêîïëåíèÿ) èñêîâûå âûïëàòû äëÿ äàííûõ èç ðèñóíêà 1. Âîçðàñòàþùèå âûïëàòû ïî èñêàì â äåíåæíîì âûðàæåíèè Ãîä ñîáûòèé 0 1 Ãîä ðàçâèòèÿ 2 3 1992 786 624 806 224 1993 904 671 940 281 1994 995 819 1066 1995 1220 922 1996 1182 4 79 Ðèñ.7 Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãîäîâîé óðîâåíü èíôëÿöèè èñêîâûõ âåëè÷èí çà 12 ìåñÿöåâ ñîîòíîñèòñÿ ñî ñòîèìîñòüþ â ñåðåäèíå äàííîãî ãîäà ñëåäóþùèì îáðàçîì: 1993 5.1% 1994 6.4% 1995 7.3% 1996 5.4% Äëÿ ïðîñòîòû òàêæå ïðåäïîëàãàåì, ÷òî âûïëàòû îñóùåñòâëÿþòñÿ â ñåðåäèíå êàæäîãî êàëåíäàðíîãî ãîäà. Òåïåðü ìîæíî âû÷èñëèòü èíäåêñ, ÷òîáû ïðåîáðàçîâàòü âñå âûïëàòû ê äåíåæíûì âåëè÷èíàì ñåðåäèíû 1996 ãîäà. Äàëåå ìîæíî ñêîððåêòèðîâàòü âûïëàòû, îïèñàííûå íà ðèñóíêå 7, ñ ïîìîùüþ êîýôôèöèåíòîâ èíôëÿöèè. ðèñóíîê 8 ïîêàçûâàåò äàííûå ïî âîçðàñòàþùèì âûïëàòàì ñ ïîïðàâêîé íà èíôëÿöèþ. 405 Âîçðàñòàþùèå âûïëàòû ïî èñêàì â äåíåæíûõ âåëè÷èíàõ ñåðåäèíû 1996 ãîäà Ãîä ñîáûòèé 1 Ðàçâèòèå 2 0 3 4 1992 994 751 912 236 79 1993 1088 759 991 281 1994 1125 863 1066 1995 1286 922 1996 1182 Ðèñ.8 Ìû èìååì ïðîñòóþ ôîðìó òàáëèöû âûïëàò ïî èñêàì ñ íàðàñòàþùèì èòîãîì ñ ïîïðàâêîé íà èíôëÿöèþ, ê êîòîðîé ìîæåò áûòü ïðèìåíåí öåïî÷íî-ëåñòíè÷íûé ìåòîä. Ïðîãíîçû âûïëàò ïî èñêàì ñ íàðàñòàþùèì èòîãîì â äåíåæíûõ âåëè÷èíàõ ñåðåäèíû 1996 ãîäà äàíû íà ðèñóíêå 9. Ïðîãíîçû ñîâîêóïíûõ âûïëàò â äåíåæíûõ âåëè÷èíàõ ñåðåäèíû 1996 ãîäà Ãîä ñîáûòèé Ãîä ðàçâèòèÿ 1 2 3 4 3341 3431 3383 3701 3801 3138 3433 3526 1993 3203 1994 1995 1996 2048 Ðèñ.9 Ðàáîòà ñ áóäóùåé èíôëÿöèåé Îäíàêî, ïðîãíîçû ñîâîêóïíûõ âûïëàò íå ïðèíèìàþò â ðàñ÷åò áóäóùóþ èíôëÿöèþ. ×òîáû ïðåäñêàçàòü ðåàëüíûå âåëè÷èíû, íåîáõîäèì ïðåäïîëàãàåìûé óðîâåíü áóäóùåé èíôëÿöèè. Îïÿòü æå, ëó÷øå ïðåîáðàçîâûâàòü íå ïðåäóñìàòðèâàþùèå íàêîïëåíèÿ äàííûå, à íå îáùèå íàêîïëåííûå ñóììû, êîððåêòèðóÿ èõ ñ ó÷åòîì áóäóùåé èíôëÿöèè àíàëîãè÷íûì ïðåäûäóùåìó ðàçäåëó îáðàçîì. Ï ð è ì å ð 15.6 Ïðèìåíåíèå ãîäîâîãî óðîâíÿ èíôëÿöèè â 10% (íà 30-îå èþíÿ) ê äàííûì ðèñóíêà 9 äàåò ñëåäóþùèå èñïðàâëåííûå ïðîãíîçû âûïëàò ïî èñêàì ñ íàðàñòàþùèì èòîãîì. 406 Ïðîãíîçû ñîâîêóïíûõ âûïëàò â äåíåæíîì âûðàæåíèè Ãîä Ãîä ðàçâèòèÿ ñîáûòèé 1 2 3 4 3196 3305 3435 3820 3953 3454 3847 3983 1993 2888 1994 1995 1996 2135 Ðèñ.10 Ðåçåðâû, êîòîðûå íåîáõîäèìî èìåòü ê êîíöó 1996 ãîäà, ñîñòàâëÿþò 5129. 4 Òåõíèêà ìåòîäà èíòåðâàëîâ Äðóãàÿ ìîäåëü, ïîçâîëÿþùàÿ ó÷èòûâàòü èíôëÿöèþ, èçâåñòíà êàê ìåòîä èíòåðâàëîâ. Äëÿ ýòîãî ìåòîäà, âîçðàñòàþùèå âûïëàòû ïî èñêàì â äåíåæíîì âûðàæåíèè, ïðåäïîëîæèòåëüíî, ñëåäóþò òîìó æå îáðàçöó, ÷òî è â öåïî÷íî-ëåñòíè÷íîì ìåòîäå ñ ïîïðàâêîé íà èíôëÿöèþ, òî åñòü ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ äîëÿ èñêîâ (â ðåàëüíîì èñ÷èñëåíèè), âûïëà÷èâàåìàÿ â êàæäûé ãîä ðàçâèòèÿ. Ïðåäïîëîæèâ äëÿ óäîáñòâà, ÷òî èñêè îïëà÷èâàþòñÿ ïîëíîñòüþ ê êîíöó ãîäà ðàçâèòèÿ 4, îáùóþ ìîäåëü äëÿ ýòîãî ìåòîäà ìîæíî âûðàçèòü àëãåáðàè÷åñêè ñëåäóþùèì îáðàçîì: Ãîä ñîáûòèé 1992 1993 1994 1995 1996 Ãîä ðàçâèòèÿ 0 1 2 U0 r0 λ0 U1 r 0 λ 1 U2 r 0 λ 2 U3 r 0 λ 3 U4 r0 λ4 U0 r 1 λ 1 U1 r1 λ2 U2 r 1 λ 3 U3 r 1 λ 4 U0 r2 λ2 U1 r2 λ3 U2 r2 λ4 3 4 U0 r3 λ3 U0 r4 λ4 U1 r3 λ4 Ðèñ.11 ãäå λi+j êîýôôèöèåíò èíôëÿöèè, îòíîñÿùèéñÿ êî âñåì âûïëàòàì, ñîîòâåòñòâóþùèì ãîäó ñîáûòèé i è ãîäó ðàçâèòèÿ j . rj äîëÿ îáùèõ èñêîâûõ âûïëàò, ñîîòâåòñòâóþùèõ ëþáîìó ãîäó ñîáûòèé, êîòîðàÿ áûëà áû âûïëà÷åíà â ãîä ðàçâèòèÿ j ïðè ïîñòî407 ÿííîì èíäåêñå èíôëÿöèè, òî åñòü ïðè åå îòñóòñòâèè. Ýòî ïðåäïîëàãàåò, ÷òî r0 + . . . + r4 = 1, òàê êàê èñêè ïðåäïîëàãàþòñÿ ïîëíîñòüþ îïëà÷åííûìè ê êîíöó ãîäà ðàçâèòèÿ 4. (òî åñòü ýòî êîýôôèöèåíò ðàçâèòèÿ) Ui îáùàÿ âåëè÷èíà èñêîâûõ âûïëàò, ñîîòâåòñòâóþùèõ ãîäó ñîáûòèé i, êîòîðàÿ áûëà áû âûïëà÷åíà ïðè ïîñòîÿííîì è ðàâíîì 1 èíäåêñå èíôëÿöèè. (Àëüòåðíàòèâíîå îïðåäåëåíèå: Ui îáùàÿ âåëè÷èíà èñêîâûõ âûïëàò, ñîîòâåòñòâóþùèõ ãîäó ñîáûòèé i, ïðåäñòàâëåííàÿ â äåíåæíîì âûðàæåíèè ãîäà, â êîòîðîì èíäåêñ èíôëÿöèè ðàâåí 1 (íà ìîìåíò 30-îãî èþíÿ).) Ðàçóìååòñÿ, âåëè÷èíà, êîòîðàÿ äîëæíà áûòü îöåíåíà, ýòî Ui . ×òîáû ñïðîãíîçèðîâàòü äàííûå ïî áóäóùèì âûïëàòàì, äëÿ âûâåäåíèÿ λi+j , rj è Ui èñïîëüçóåòñÿ ïðîøëàÿ èíôîðìàöèÿ (ïðèðàâíèâàåì çíà÷åíèå èç êàæäîé ÿ÷åéêè òðåóãîëüíèêà ê àëãåáðàè÷åñêîìó âûðàæåíèþ äëÿ ýòîé ÿ÷åéêè). Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî íåëüçÿ îñóùåñòâèòü, ïîêà íåèçâåñòíî Ui , òàê êàê äëÿ òîãî, ÷òîáû èñêëþ÷èòü Ui èç óðàâíåíèÿ òðåáóåòñÿ åå ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå. Ïðîñòåéøèé ñïîñîá ýòî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî Ui ïðîïîðöèîíàëüíî êîëè÷åñòâó èñêîâ, ñîîòâåòñòâóþùåìó ãîäó ñîáûòèé i (îáîçíà÷àåìîìó Ni ). Èíûìè ñëîâàìè, ýòî ïîäðàçóìåâàåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ïàðàìåòð c1 , òàêîé ÷òî Ui = c1 Ni äëÿ âñåõ i. Êîíå÷íî, êîëè÷åñòâî èñêîâ òàêæå áóäåò íåèçâåñòíî, íî, êàê ïðàâèëî, ïðîùå îöåíèòü îæèäàåìîå ÷èñëî èñêîâ, ÷åì èõ îáùóþ âåëè÷èíó. Â ñóùíîñòè, íàèáîëåå îáùèé ïîäõîä, èñïîëüçóåìûé â ìåòîäå èíòåðâàëîâ, ñîñòîèò â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî îêîí÷àòåëüíîå ÷èñëî èñêîâ ìîæåò áûòü îöåíåíî, êàê ïîñòîÿííàÿ äîëÿ ÷èñëà èñêîâ, îïëà÷åííûõ â ãîä ðàçâèòèÿ 0. Äðóãèìè ñëîâàìè, ýòî ïîäðàçóìåâàåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ïàðàìåòð c2 , òàêîé ÷òî Ni = c2 ni äëÿ âñåõ i, ãäå ni êîëè÷åñòâî èñêîâ â ãîä ðàññìîòðåíèÿ 0 äëÿ ãîäà ñîáûòèé i. Îáúåäèíåíèå ýòîé èíôîðìàöèè ñ ïðèáëèæåíèåì äëÿ ñóììàðíûõ âåëè÷èí èñêîâ ïîêàçûâàåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ïàðàìåòð c, òàêîé ÷òî Ui = cni äëÿ âñåõ i. Çàòåì ìîæíî ðàçäåëèòü âñå íå ïðåäóñìàòðèâàþùèå íàêîïëåíèÿ (âîçðàñòàþùèå) âåëè÷èíû èñêîâ íà êîëè÷åñòâî èñêîâ, îòíîñÿùèõñÿ ê ãîäó ðàçâèòèÿ 0, è çàìåíèòü ïåðåìåííûå Ui íà c, ñ êîòîðûì ðàáîòàòü ãîðàçäî ëåã÷å, òàê êàê îíî ïîñòîÿííî. Àëãåáðàè÷åñêàÿ ìîäåëü ìîæåò áûòü îïèñàíà, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 12. 408 Ãîä ñîáûòèé 1992 1993 1994 1995 1996 Ãîä ðàçâèòèÿ 0 1 2 3 4 r0 λ0 r 0 λ1 r 0 λ2 r 0 λ3 r 0 λ4 r 1 λ1 r 1 λ2 r 1 λ3 r 1 λ4 r2 λ2 r2 λ3 r2 λ4 r 3 λ3 r 4 λ 4 r 3 λ4 Ðèñ.12 Çàòåì ïðèìåíèì òåõíèêó ìåòîäà èíòåðâàëîâ ê ñóììàì ïî äèàãîíàëÿì è ïî ñòîëáöàì. Ñóììû ïî äèàãîíàëÿì: r 0 λ0 (r0 + r1 )λ1 (r0 + r1 + r2 )λ2 (r0 + r1 + r2 + r3 )λ3 (r0 + r1 + r2 + r3 + r4 )λ4 Ñóììû ïî ñòîëáöàì: r0 (λ0 + λ1 + λ2 + λ3 + λ4 ) r1 (λ1 + λ2 + λ3 + λ4 ) r2 (λ2 + λ3 + λ4 ) r3 (λ3 + λ4 ) r 4 λ4 Ó÷èòûâàÿ òîò ôàêò, ÷òî r0 + r1 + r2 + r3 + r4 = 1, ïîñëåäíÿÿ äèàãîíàëüíàÿ ñóììà ðàâíà λ4 . Îíà ìîæåò áûòü îöåíåíà èçâåñòíûìè äàííûìè. Òåïåðü ïîñìîòðèì íà ñóììó ïîñëåäíåãî ñòîëáöà. λ4 óæå îöåíåíî è ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ îöåíêè r4 . Äàëåå âåðíåìñÿ ê ïðåäïîñëåäíåé äèàãîíàëüíîé ñóììå. Òàê êàê r0 + r1 + r2 + r3 + r4 = 1, r0 + r1 + r2 + r 3 = 1 − r4 r4 óæå áûëî îöåíåíî, òàê ÷òî ýòè äàííûå ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ îöåíêè λ3 . Òåïåðü ïåðåõîäèì ê ñóììå ïî ñëåäóþùåìó ñòîëáöó è îöåíèâàåì r3 , è ò.ä. 409 Ïîëó÷èâ îöåíêó ïàðàìåòðè÷åñêèõ çíà÷åíèé, ïîïûòàåìñÿ ñïðîãíîçèðîâàòü íå ïðîèçâåäåííûå âûïëàòû. Èíûìè ñëîâàìè, íàì íàäî ïîëó÷èòü ïðîãíîç äëÿ íèæíåãî òðåóãîëüíèêà. Ê ñîæàëåíèþ, ýòèõ îöåíîê ïàðàìåòðîâ íåäîñòàòî÷íî äëÿ òàêîãî ïðîãíîçà. Íåîáõîäèìû çíà÷åíèÿ λ5 , λ6 , λ7 , λ8 . Ìîäåëü òðåóãîëüíèêà íå ïðîèçâåäåííûõ âûïëàò ìîæåò áûòü îïèñàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì: Ãîä ñîáûòèé 1993 1994 1995 1996 Ãîä ðàçâèòèÿ 1 2 r2 λ5 r2 λ6 r 1 λ5 3 4 r 3 λ5 r 3 λ6 r 3 λ7 r 4 λ5 r 4 λ6 r 4 λ7 r 4 λ8 Ðèñ.13 Åñëè áû ìîæíî áûëî ïîëó÷èòü îöåíêè äëÿ áóäóùèõ èñêîâ èç âíóòðåííèõ äàííûõ, ñåé÷àñ ìîæíî áûëî áû èñïîëüçîâàòü èõ. Â äðóãèõ îáñòîÿòåëüñòâàõ, âñå, ÷òî ìîæíî ñäåëàòü, ýòî îáðàòèòü âíèìàíèå íà øàáëîí äëÿ λ è ïîïûòàòüñÿ ñïðîãíîçèðîâàòü åãî. Îöåíî÷íûå çíà÷åíèÿ λ ìîãóò áûòü ïîñëåäîâàòåëüíî ïðåîáðàçîâàíû â äàííûå ïî èíôëÿöèè èñêîâ, òàê êàê, âîçìîæíî, ïî íèì ëåã÷å ïðåäïîëîæèòü áóäóùèå âåëè÷èíû. Ïîëíûå âû÷èñëåíèÿ îïèñàíû â ñëåäóþùåì ïðèìåðå. Ï ð è ì å ð 15.7 Ñíîâà îáðàòèìñÿ ê äàííûì ðèñóíêà 7. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷èñëî èñêîâ, îòíîñÿùèõñÿ ê ãîäó ðàçâèòèÿ 0, äëÿ êàæäîãî ãîäà ñîáûòèé áóäóò ñëåäóþùèìè: 1992 351 1993 387 1994 405 1995 452 1996 430 Äåëåíèå äàííûõ èç ðèñóíêà 7 íà ñîîòâåòñòâóþùèå êîëè÷åñòâà èñêîâ äàåò: Àáñîëþòíàÿ îöåíêà ïðèðîñòà âåëè÷èíû èñêà 410 Ãîä ñîáûòèé 0 1 Ðàçâèòèå 2 3 4 1992 2.239 1.778 2.296 0.638 0.225 1993 2.336 1.734 2.429 0.726 1994 2.457 2.022 2.632 1995 2.699 2.040 1996 2.749 Ðèñ.14 Ê ýòèì äàííûì ìîæíî ïðèìåíèòü ìåòîä èíòåðâàëîâ. Ñóììû ïî äèàãîíàëÿì: 2.239 4.114 6.487 7.788 8.372 Ñóììû ïî ñòîëáöàì: 12.480 7.574 7.357 1.364 0.225 Èç ïîñëåäíåé äèàãîíàëüíîé ñóììû: λ̂4 = 8.372 Çàìåòèì, ÷òî çíà÷îê íàä λ îáîçíà÷àåò îöåíêó. Èç ñóììû ïî ïîñëåäíåìó ñòîëáöó: r̂4 = 0.225 λ̂4 = 0.027 Èç ïðåäïîñëåäíåé äèàãîíàëüíîé ñóììû: λ̂3 = 7.788 = 8.004 1 − r̂4 Èç ñóììû ïðåäïîñëåäíåãî ñòîëáöà: r̂3 = 1.364 = 0.083 8.004 + 8.372 è ò.ä. Âñïîìíèì, ÷òî r0 + r1 + r2 = 1 − r3 − r4 . Äàëüíåéøèå âû÷èñëåíèÿ ïðèâîäÿòñÿ íèæå: λ̂2 = 6.487 = 7.289 1 − 0.083 − 0.027 411 7.357 = 0.311 7.289 + 8.004 + 8.372 4.114 λ̂1 = = 7.105 1 − 0.311 − 0.083 − 0.027 7.574 r̂1 = = 0.246 7.105 + 7.289 + 8.004 + 8.372 2.239 λ̂0 = = 6.724 1 − 0.246 − 0.311 − 0.083 − 0.027 12.480 r̂0 = = 0.333 6.724 + 7.105 + 7.289 + 8.004 + 8.372 Ïîëåçíî ïîâåðèòü, ÷òîáû r̂0 + r̂1 + r̂2 + r̂3 + r̂4 = 1 r̂2 = Â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ñóììà íå ðàâíÿåòñÿ ñòðîãî 1; ýòî ñâÿçàíî ñ íåáîëüøèìè îøèáêàìè îêðóãëåíèÿ, êîòîðûå âîçíèêàþò, åñëè âû÷èñëåíèÿ ïðîâîäèò íå êîìïüþòåð. Ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ îöåíêè íåîïëà÷åííûõ èñêîâ. È â äàííîì ñëó÷àå, îøèáêè îêðóãëåíèÿ íå áóäóò èãðàòü çíà÷èìóþ ðîëü. Òåïåðü ìîæíî èñïîëüçîâàòü îöåíêè ïàðàìåòðîâ, ÷òîáû ïîëó÷èòü òàáëèöó óñòàíîâëåííûõ çíà÷åíèé, òî åñòü çíà÷åíèé èñêîâ, èñïîëüçóþùèõ îöåíî÷íûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ. Ðèñóíîê 15 ïîêàçûâàåò óñòàíîâëåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ äàííîé ìîäåëè äî óìíîæåíèÿ íà êîëè÷åñòâà èñêîâ. Àáñîëþòíàÿ îöåíêà ïðèðîñòà âåëè÷èíû èñêà Ãîä ñîáûòèé 0 1 Ðàçâèòèå 2 3 4 1992 2.239 1.748 2.267 0.664 0.226 1993 2.366 1.793 2.489 0.695 1994 2.427 1.969 2.604 1995 2.665 2.060 1996 2.788 Ðèñ.15 Ìîæíî ñðàâíèòü ðèñóíêè 15 è 14, êàê áûëî ñäåëàíî â ðàçäåëå 2.3, ÷òîáû îöåíèòü íàñêîëüêî âåðíî óñòàíàâëèâàþòñÿ äàííûå ñ ïîìîùüþ òàêîé ìîäåëè. Îöåíêè ïàðàìåòðîâ, âûâåäåííûå â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå: λ̂0 = 6.724 λ̂1 = 7.105 λ̂2 = 7.289 λ̂3 = 8.004 λ̂4 = 8.372 412 Ýòè âåëè÷èíû ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ìíîæåñòâà ãîäîâûõ êîýôôèöèåíòîâ èíôëÿöèè èñêîâ è ïîñëåäîâàòåëüíî ðàñøèðèòü åãî, ÷òîáû ïðåäñêàçàòü îñòàâøèåñÿ ÷ëåíû, äî λ̂8 . Êîýôôèöèåíòû èíôëÿöèè ìîãóò áûòü âûâåäåíû ñ ïîìîùüþ íàõîæäåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ñîîòíîøåíèé ïàðàìåòðîâ. λ̂0 6.724 λ̂1 7.104 λ̂2 7.289 λ̂3 8.004 λ̂4 8.372 1.057 1.026 1.098 1.046 Òàêèì îáðàçîì, èñêîâàÿ èíôëÿöèÿ âàðüèðóåòñÿ îò 2.6% äî 9.8%. Ïðåäïîëàãàåìàÿ áóäóùàÿ èíôëÿöèÿ 5.5%, ÷òî ïðèáëèçèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ñðåäíèì çíà÷åíèåì îöåíåííûõ êîýôôèöèåíòîâ. Ïîñëå ïîñëåäîâàòåëüíîãî óìíîæåíèÿ íà 1.005, ïîëó÷àåì ïðîãíîçû äëÿ òðåáóåìûõ ïàðàìåòðîâ: λ̂4 λ̂5 λ̂6 λ̂7 λ̂8 Ïðîãíîçû äëÿ ýòèõ ïàðàìåòðîâ 8.372 8.332 9.318 9.831 10.371 ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ ïðåäñêàçàíèÿ íåîïëà÷åííûõ èñêîâ. Ðèñóíîê 13 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìîäåëü íåîïëà÷åííûõ èñêîâ. Îöåíêè çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ: r̂1 = 0.246 r̂2 = 0.311 r̂3 = 0.083 r̂4 = 0.027 Ýòî äàåò ñëåäóþùèå îöåíêè: Àáñîëþòíàÿ îöåíêà ïðèðîñòà âåëè÷èíû èñêà 413 Ãîä ñîáûòèé 1 Ðàçâèòèå 2 3 1993 0.238 1994 1995 1996 4 2.173 0.733 0.252 2.747 0.773 0.265 2.898 0.816 0.280 Ðèñ.16 Íàêîíåö, óìíîæåíèå íà êîëè÷åñòâà èñêîâ, ïîëó÷åííûå âûøå, äàåò ïðîãíîçû äëÿ íå ïðîèçâåäåííûõ âûïëàò: Âîçðàñòàþùèå èñêîâûå âûïëàòû â äåíåæíîì âûðàæåíèè Ãîä ñîáûòèé 1 Ðàçâèòèå 2 3 4 297 102 1993 92 1994 1995 1996 934 1242 349 120 1246 351 120 Ðèñ.17 Ðåçåðâû, êîòîðûå íåîáõîäèìî èìåòü ê êîíöó 1996, ðàâíû 4853. 414 ×àñòü IX 415 Ãëàâà 16 NCD ÑÈÑÒÅÌÛ Öåëè ãëàâû Ïåðåñòðàõîâàíèå Ê êîíöó äàííîé ãëàâû âû áóäåòå óìåòü: • îïèñûâàòü, êàê ðàáîòàåò NCD ñõåìà • îïðåäåëÿòü êðèòåðèè çàñòðàõîâàííîãî ëèöà ïðè ïîäà÷å èñêîâ • ðàññ÷èòûâàòü âåðîÿòíîñòè, îòíîñÿùèåñÿ ê äâèæåíèþ ñðåäñòâ ìåæäó óðîâíÿìè • ñîñòàâëÿòü îæèäàåìîå ÷èñëî çàñòðàõîâàííûõ ëèö íà êàæäîì óðîâíå ïî ãîðèçîíòó ïðîãíîçèðîâàíèÿ ñ êîíå÷íûì è áåñêîíå÷íûì âðåìåíåì 1 Ââåäåíèå Íåêîòîðûå êëàññû îáùåãî ñòðàõîâàíèÿ ïðèìåíÿþò ïðàêòè÷åñêóþ ðåéòèíãîâóþ ñèñòåìó, ãäå ñòðàõîâîé âçíîñ, óïëà÷èâàåìûé èíäèâèäóàëüíûì çàñòðàõîâàííûì ëèöîì, êîððåêòèðóåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îòðàçèòü ïðàêòèêó åãî ïðåäûäóùèõ èñêîâ ïî ýòîìó ïîëèñó, ò.å. çàñòðàõîâàííîå ëèöî, êîòîðîå îêàçàëîñü áîëåå äîðîãîñòîÿùèì äëÿ ñòðàõîâùèêà íà êîíåö ñòðàõîâîãî ïåðèîäà, ïëàòèò áîëåå âûñîêèé ñòðàõîâîé âçíîñ. Îáùàÿ îáîñíîâàííàÿ ïðàêòèêà ðàñöåíîê (basic rationale underlying 416 experience rating) òàêîâà, ÷òî äëÿ òèïîâ ñòðàõîâàíèÿ, êîãäà ïðîøëûå èñêè äàþò õîðîøåå óêàçàíèå íà ïðàâäîïîäîáíóþ ñóììó áóäóùèõ èñêîâ (íà èíäèâèäóàëüíîé îñíîâå), ýòó èíôîðìàöèþ ïðèíèìàþò âî âíèìàíèå ïðè îïðåäåëåíèè ñòðàõîâîãî âçíîñà. Ýòî ïîçâîëÿåò ñòðàõîâùèêó ïðèìåíÿòü áîëåå òî÷íóþ ñòàâêó ñòðàõîâîãî âçíîñà äëÿ êàæäîãî èíäèâèäóóìà. Ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ìåòîäîâ ïðèìåíåíèÿ ñòàâîê ñ ó÷åòîì ïðîøëîãî îïûòà. Ìåòîä, êîòîðûé ìû áóäåò èçó÷àòü â äàííîì êóðñå, íàçûâàåòñÿ ñèñòåìà ñêèäîê ïðè îòñóòñòâèè èñêîâ, êîòîðàÿ øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ ïðè ñòðàõîâàíèè ëè÷íîãî òðàíñïîðòà â Âåëèêîáðèòàíèè. Îíà òàêæå ïðèìåíÿåòñÿ â ìåäèöèíñêîì ñòðàõîâàíèè è â íåêîòîðûõ âèäàõ ñòðàõîâàíèÿ äîìàøíåãî èìóùåñòâà. Îñíîâíàÿ ÷àñòü íà÷èíàåòñÿ ñ íåêîòîðûõ áàçîâûõ ñâåäåíèé ïî NCDñèñòåìàì, â íåé èñïîëüçóþòñÿ ìàòðèöû äëÿ ïîëó÷åíèÿ è ðåøåíèÿ óñòîé÷èâûõ ðåøåíèé ñèñòåìû ñêèäîê. Çàòåì ðàññìàòðèâàþòñÿ èäåè íåîäíîðîäíîñòè ïîðòôåëÿ è íåæåëàíèå çàñòðàõîâàííîãî ëèöà ïîäàòü èñê, à çàêàí÷èâàåòñÿ ïðèìåðîì, èëëþñòðèðóþùèì èäåè. 2 Êàê èñïîëüçóþò NCD ñèñòåìû 2.1 NCD ïðàâèëà Ðàññìîòðèì, êàê ðàáîòàåò ïðîñòàÿ NCD ñèñòåìà. Êàê ãîâîðèò çà ñåáÿ ñàìî íàçâàíèå, ñèñòåìà ñêèäîê ïî îòñóòñòâèþ èñêîâ â îáùåì ñëó÷àå ïðåäîñòàâëÿåò ñêèäêè íà ñòðàõîâûå âçíîñû òåì çàñòðàõîâàííûì ëèöàì, êîòîðûå íå ïîäàþò èñêè. Ñèñòåìà îñíîâàíà íà îïðåäåëåííûõ ïðàâèëàõ. Âîò ïðèìåð ñâîäà ïðàâèë äëÿ ñòðàõîâàíèÿ ëè÷íîãî àâòîòðàíñïîðòà â Âåëèêîáðèòàíèè NCD ïðàâèëà (Ñõåìà A) Åñòü 5 óðîâíåé ñêèäîê - 0%, 30%, 40%, 50% è 60%. Â êîíöå êàæäîãî ãîäà ñòðàõîâàíèÿ çàñòðàõîâàííûå ëèöà ìåíÿþò óðîâåíü ïî ñëåäóþùèì ïðàâèëàì: 1. Çàñòðàõîâàííîå ëèöî, íå ïîäàâøåå èñêîâ â òå÷åíèè ãîäà äåéñòâèÿ ñòðàõîâêè ïåðåõîäèò íà áîëåå âûñîêèé óðîâåíü ñêèäîê (èëè îñòàåòñÿ íà 60% óðîâíå). 2. Çàñòðàõîâàííîå ëèöî, êîòîðîå ïîäàëî 1 èëè áîëåå èñêîâ çà ãîäîâóþ ñòðàõîâêó âîçâðàùàåòñÿ íà óðîâåíü ñêèäîê 0% (èëè îñòàåòñÿ íà 0% óðîâíå). Âîçìîæíî ìíîãî âàðèàíòîâ. Íàïðèìåð, â ïðàâèëàõ ìîæíî óòî÷íèòü, ÷òî çàñòðàõîâàííîå ëèöî îòñòóïàåò íà îäèí èëè äâà óðîâíÿ ïîñëå ïîäà÷è èñêà, èëè ýòî äâèæåíèå ìîæåò çàâèñåòü îò ÷èñëà ïîäàííûõ èñêîâ. 417 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 16.1. Àâòîñòðàõîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî NCD ñèñòåìå (Ñõåìà B) ñ óðîâíÿìè ñêèäîê 0 %, 30 % , 40%, 50% è 60%. Ïðàâèëà ñëåäóþùèå: 1. Â êîíöå ãîäîâîé ñòðàõîâêè, åñëè íå ïîäàíî íè îäíîãî èñêà, çàñòðàõîâàííîå ëèöî ïåðåõîäèò íà ñëåäóþùèé óðîâåíü (èëè îñòàåòñÿ íà óðîâíå ñ ìàêñèìàëüíîé ñêèäêîé). 2. Åñëè çà ãîäîâîé ïåðèîä ñòðàõîâàíèÿ áûë ïîäàí ðîâíî îäèí èñê, â êîíöå ãîäà çàñòðàõîâàííîå ëèöî ñïóñêàåòñÿ íà äâà óðîâíÿ íèæå (èëè íà óðîâåíü íóëåâîé ñêèäêè). 3. Åñëè çà ïåðèîä ñòðàõîâàíèÿ áûëî ïîäàíî áîëüøå îäíîãî èñêà, â êîíöå ãîäà çàñòðàõîâàííîå ëèöî âîçâðàùàåòñÿ íà óðîâåíü íóëåâîé ñêèäêè. Àâòîìîáèëèñò âïåðâûå îôîðìèë ïîëèñ àâòîñòðàõîâàíèÿ 1 ÿíâàðÿ 1982 ã. è ïîäàâàë èñêè 15 àâãóñòà 1983 ã., 3 ôåâðàëÿ 1987 ã., 17 ñåíòÿáðÿ 1987 è 14 íîÿáðÿ 1992 ã. Ïîëíàÿ ñòðàõîâêà íà 1993 ã. ñîñòàâëÿåò £750. ×åìó ðàâíà öåíà ïîëèñà íà 1993 ã. äëÿ äàííîãî àâòîìîáèëèñòà? 3 Èñêè 3.1 ×àñòîòà èñêîâ Ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà èñêîâ, ïîäàííûõ êàæäûì çàñòðàõîâàííûì ëèöîì ìîæíî âûðàçèòü â òåðìèíàõ ÷àñòîòû èñêîâ. ×àñòîòà èñêîâ Îñíîâíàÿ ÷àñòîòà èñêîâ äëÿ ãðóïïû ñòðàõîâûõ ïîëèñîâ - ýòî ñðåäíåå ÷èñëî èñêîâ íà ïîëèñ. Îñíîâíàÿ ÷àñòîòà èñêîâ = ×èñëî èñêîâ Ñðåäíåå ÷èñëî ïîëèñîâ Îæèäàåìàÿ ÷àñòîòà äëÿ ãðóïïû ñòðàõîâûõ ïîëèñîâ - îæèäàåìîå ÷èñëî èñêîâ íà ïîëèñ. Ï ð è ì å ð 16.1 Çà ïîñëåäíèå 5 ëåò, îáû÷íàÿ ñòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ îïëàòèëà 7,000 èñêîâ ìîëîäûõ âîäèòåëåé ñî ñòàðûìè àâòîìîáèëÿìè â Ëîíäîíå. Ñðåäíåå ÷èñëî òàêèõ âîäèòåëåé, çàñòðàõîâàííûõ â ýòîò ïåðèîä, áûëî 5,000. Âû÷èñëèòå ãîäîâóþ ÷àñòîòó èñêîâ äëÿ ýòîé êàòåãîðèè âîäèòåëåé. Ð å ø å í è å (Îñíîâíàÿ) ÷àñòîòà èñêîâ çà 5-ëåòíèé ïåðèîä 7,000/5,000 - 1.4, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ãîäîâîé ÷àñòîòå èñêîâ 1.4/ 5 = 0.28 ÷òî åñòü 28 % â ãîä. ×èñëî èñêîâ, ïîäàííûõ ïî èíäèâèäóàëüíîé ñòðàõîâêå ìîæíî ìîäåëèðîâàòü, èñïîëüçóÿ ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà èëè îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. 418 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 16.2. Îæèäàåìàÿ ãîäîâàÿ ÷àñòîòà èñ- êîâ äëÿ ïîðòôåëÿ, ñîäåðæàùåì 2 000 ãîäîâûõ ñòðàõîâîê àâòîìîáèëèñòîâ ðàâíà 0. 15, êîëè÷åñòâà èñêîâ, ïîäàííûõ èíäèâèäóàëüíûì çàñòðàõîâàííûì ëèöîì íåçàâèñèìû è ïîä÷èíÿþòñÿ ðàñïðåäåëåíèþ Ïóàññîíà. Íàéäèòå îæèäàåìîå ÷èñëî çàñòðàõîâàííûõ ëèö, êîòîðûå ïîäàäóò 0,1,2,3 èëè áîëåå èñêîâ çà äàííûé ãîä. 3.2 Ðåøåíèå, ïîäàâàòü ëè èñê Âû÷èñëèì âåðîÿòíîñòü, èñïîëüçóÿ ïðîñòûå êðèòåðèè, ÷òî çàñòðàõîâàííîå ëèöî ïîäàñò èñê. Äîïîëíèòåëüíîå ïðåèìóùåñòâî ñòðàõîâùèêà, ïðèìåíÿþùåãî NCD ñèñòåìó, çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíè "îòãîâàðèâàþò"çàñòðàõîâàííîå ëèöî ïîäàâàòü ìåëêèå èñêè, ïîñêîëüêó ïðè íåêîòîðûõ îáñòîÿòåëüñòâàõ çàñòðàõîâàííîìó ëèöó ëó÷øå íå ïîäàâàòü èñê. Îäèí ïðîñòîé êðèòåðèé, êîòîðûé ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè ðåøåíèè âîïðîñà, ïîäàâàòü ëè èñê: Êðèòåðèé ïîäà÷è èñêà Çàñòðàõîâàííîå ëèöî äîëæíî ïîäàâàòü èñê, òîëüêî åñëè óùåðá áîëüøå, ÷åì óâåëè÷åíèå áóäóùåãî ñòðàõîâîãî âçíîñà. Îòìåòèì, ÷òî ïðè ïîäà÷å èñêà âîçðàñòàþò ñòðàõîâûå âçíîñû â òå÷åíèå íåñêîëüêèõ áóäóùèõ ëåò, à íå òîëüêî íà îäèí ñëåäóþùèé ãîä. Ïîýòîìó ðåøåíèå áóäåò çàâèñåòü îò ãîðèçîíòà ïðîãíîçèðîâàíèÿ çàñòðàõîâàííîãî ëèöà. Ïðèìåíÿÿ ýòîò êðèòåðèé, âû îáû÷íî èãíîðèðóåòå òîò ôàêò, ÷òî ìîæíî ïîëó÷èòü ïðîöåíò íà ïîëó÷åííûå äåíüãè. Ï ð è ì å ð 16.2 Àâòîìîáèëèñò, ÷åé ñòðàõîâùèê èñïîëüçóåò NCD ñèñòåìó ïî ñõåìå À ïîïàë â àâàðèþ. Åñëè ó íåãî â íàñòîÿùåå âðåìÿ íåò ñêèäêè, è îí íå ñîáèðàåòñÿ ïîäàâàòü èñêè â òå÷åíèå íåñêîëüêèõ ïîñëåäóþùèõ ëåò, òî êàêîâ äîëæåí áûòü îáùèé óùåðá ( â ïðîöåíòàõ îò ïîëíîé ñòðàõîâêè), ÷òîáû ñòîèëî ïîäàâàòü èñê, åñëè àâòîìîáèëèñò èñïîëüçóåò äâóõëåòíèé ãîðèçîíò ïðîãíîçèðîâàíèÿ ïðè ïðèíÿòèè ýòîãî ðåøåíèÿ? Ð å ø å í è å Âû÷èñëèì îáùèå èçäåðæêè ïî íèæåñëåäóþùåé òàáëèöå â ñëó÷àÿõ, åñëè àâòîìîáèëèñò ïîäàåò èëè íå ïîäàåò èñê. Ïóñòü Ð îáîçíà÷àåò îáùóþ ñòðàõîâêó, à Ñ - ñóììó óùåðáà. Åñëè ãîðèçîíò ïðîãíîçèðîâàíèÿ àâòîìîáèëèñòà 2 ãîäà, òî ñòîèò ïîäàâàòü èñê òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà P + 0.7P < 0.7P + 0.6P + C ⇔ C > 0.4P Ñëåäîâàòåëüíî, èìååò ñìûñë ïîäàâàòü èñê, åñëè ñóììà óùåðáà ïðåâûøàåò 40% ïîëíîé ñòðàõîâêè. 419 Ãîä Ïîäàâàòü èñê Íå ïîäàâàòü èñê Òåêóùèé 0 Ñ ñëåäóþùèé Ð 0.7Ð 0.7Ð 0.6Ð ïîñëåäóþùèé Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 16.3. Êàêîâ êðèòè÷åñêèé óðîâåíü óùåðáà, åñëè ãîðèçîíò ïðîãíîçèðîâàíèÿ àâòîìîáèëèñòà áåñêîíå÷íûé? Íåêîòîðûå ïîëèñû ãàðàíòèðóþò ñòðàõîâàíèå ýêñöåäåíòà óáûòêà, ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî çàñòðàõîâàííûé ïëàòèò ïåðâûå 100£(íàïðèìåð) ïðè ïîäà÷å êàæäîãî èñêà. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 16.4. Ïîëíàÿ ñòðàõîâêà ñîñòàâëÿåò 1,000 £. Íàéäèòå êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ ñóììû óùåðáà (ïî ñõåìå À), ïðè êîòîðûõ çàñòðàõîâàííîìó ëèöó áóäåò âûãîäíî ïîäàâàòü èñê ïðè ëþáîì óðîâíå ñêèäîê, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ó íåãî áåñêîíå÷íûé ãîðèçîíò ïðîãíîçèðîâàíèÿ è îí íå ñîáèðàåòñÿ ïîäàâàòü èñêè â ïîñëåäóþùèå íåñêîëüêî ëåò. Êàê ýòîò îòâåò áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò ñëó÷àÿ, êîãäà ïîëèñ ãàðàíòèðóþò ñòðàõîâàíèå ýêñöåäåíòà óáûòêà ñ ýêöåäåíòîì £100. 4 NCD ïðîãíîçèðîâàíèå 4.1 Âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà Ïðàâèëà NCD ñèñòåìû ìîæíî ñóììèðîâàòü â ìàòðèöå ïåðåõîäîâ, êîòîðàÿ ïîêàçûâàåò âåðîÿòíîñòè äâèæåíèé ìåæäó óðîâíÿìè. Åñëè p0 îçíà÷àåò âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èíäèâèäóàëüíîå çàñòðàõîâàííîå ëèöî íå ïîäàåò èñêè íè â êàêîé ãîä, òî ìàòðèöà ïåðåõîäà ïî Ñõåìå À ñëåäóþùàÿ: Íîâûé óðîâåíü ñêèäîê 0% 30% 40% 50% 60% 0 % 1 − p0 p0 0 0 0 30% 1 − p0 0 p0 0 0 Ïðåäûäóùèé 40% 1 − p0 0 0 p0 0 óðîâåíü ñêèäîê 50% 1 − p0 0 0 0 p0 60% 1 − p0 0 0 0 p0 Ïðèìå÷àíèå: Ñóììà âåðîÿòíîñòåé â êàæäîì ðÿäó ðàâíà 1. Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 16.5. Åñëè p0 îáîçíà÷àåò âåðîÿòíîñòü íå ïîäàâàòü èñêè â òå÷åíèå ãîäà, à p1 - âåðîÿòíîñòü ïîäà÷è ðîâíî îäíîãî èñêà, ñîñòàâüòå ìàòðèöó ïåðåõîäà äëÿ NCD ñèñòåìû ïî ñõåìå Â. 420 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 16.6. Ñîñòàâüòå ìàòðèöó ïåðåõîäà äëÿ NCD ñèñòåìû ïî ñõåìå Â, åñëè êîëè÷åñòâà èñêîâ, ïîäàííûõ èíäèâèäóàëüíûì çàñòðàõîâàííûì ëèöîì ïðåäïîëàãàþòñÿ íåçàâèñèìûìè è ïîä÷èíÿþòñÿ îòðèöàòåëüíîìó áèíîìèàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ ñî ñðåäíèì 0.2 è ñòàíäàðòíûì îòêëîíåíèåì 0.5. 4.2 Ïðîãíîçèðîâàíèå ïðè êîíå÷íîì ãîðèçîíòå ïðîãíîçèðîâàíèÿ Ìàòðèöó ïåðåõîäà ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ðåøåíèÿ ðàçëè÷íîãî ðîäà çàäà÷. Ýòî ïðÿìîå âû÷èñëåíèå, ÷òîáû íàéòè îæèäàåìûå êîëè÷åñòâà íà êàæäîì óðîâíå â ïîñëåäóþùèå ãîäû. Íàïðèìåð, n3 0, îæèäàåìîå êîëè÷åñòâî íà óðîâíå 30% â ¾ñëåäóþùåì¿ ïîêîëåíèè ìîæíî ïîñ÷èòàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì n∗30 = p0.30 n0 + p30.30 n30 + p40.30 n40 + p50.30 n50 + p60.30 n60 ãäå ni îáîçíà÷àåò îæèäàåìûå êîëè÷åñòâà íà óðîâíå ñêèäîê i â òåêóùåì ïîêîëåíèè è pi,j - âåðîÿòíîñòü ïåðåìåùåíèÿ ñ óðîâíÿ i íà óðîâåíü j. Ï ð è ì å ð 16.3 Ñòðàõîâùèê, ïðèìåíÿþùèé ñõåìó À îôîðìèë òîëüêî ÷òî 10,000 ïîëèñîâ àâòîñòðàõîâàíèÿ ëèöàì ñ èäåíòè÷íûìè ðèñêàìè. Ïðè óñëîâèè ÷òî èñêè ïîäàþòñÿ íåçàâèñèìî è âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ëþáîå çàñòðàõîâàííîå ëèöî ïîäàñò èñê â ëþáîé èç äàííûõ ãîäîâ 0,2, íàéòè îæèäàåìîå çíà÷åíèå íà êàæäîì óðîâíå ñêèäîê â êîíöå âòîðîãî ãîäà. Ð å ø å í è å Ìàòðèöà ïåðåõîäà èìååò âèä Íîâûé óðîâåíü ñêèäîê Ïðåäûäóùèé óðîâåíü ñêèäîê 0% 30% 0.8 0 0 0 0 0 % 0.2 30% 0.2 40% 0.2 50% 0.2 60% 0.2 40% 50% 60% 0 0 0 0.8 0 0 0 0.8 0 0 0 0 0 0.8 0.8 Ïåðåìåùåíèÿ â êîíöå ïåðâîãî ãîäà: Ãîä 1 Íîâûé óðîâåíü ñêèäîê 0% 30% 40% 50% 60% 0 % 10000 2000 8000 0 0 0 30% 0 0 0 0 0 0 40% 0 0 0 0 0 0 50% 0 0 0 0 0 0 60% 0 0 0 0 0 0 Âñåãî 10000 2000 8000 0 0 0 421 Ïåðåìåùåíèÿ â êîíöå âòîðîãî ãîäà: Ãîä 2 Íîâûé óðîâåíü ñêèäîê 0% 30% 40% 50% 60% 0 % 2000 400 1600 0 0 0 30% 8000 1600 0 6400 0 0 40% 0 0 0 0 0 0 50% 0 0 0 0 0 0 60% 0 0 0 0 0 0 Âñåãî 10000 2000 1600 6400 0 0 Ñëåäîâàòåëüíî, îæèäàåìûå êîëè÷åñòâà íà êàæäîì óðîâíå â êîíöå âòîðîãî ãîäà áóäóò ðàâíû: 2,000 íà 0%, l,600 íà 30% è 6,400 íà 40% Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 16.7. Íàéòè îæèäàåìûå êîëè÷åñòâà íà êàæäîì óðîâíå ê êîíöó òðåòüåãî ãîäà. 4.3 Ïðîãíîçèðîâàíèå ïðè áåñêîíå÷íîì ãîðèçîíòå ïðîãíîçèðîâàíèÿ Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñèòóàöèè, êîãäà ÷èñëî çàñòðàõîâàííûõ ëèö íà êàæäîì óðîâíå â êîíöå êîíöîâ äîñòèãàåò óñòîé÷èâîãî ñîñòîÿíèÿ, êîãäà ýòî ÷èñëî íà êàæäîì óðîâíå îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì èç ãîäà â ãîä. Â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè ÷èñëî ïåðåõîäÿùèõ íà êàæäûé óðîâåíü ðàâíî ÷èñëó òåõ, ÷òî åãî ïîêèäàþò. Â ïðîïîðöèè ê êàæäîìó ñîñòîÿíèþ, ðàâíîâåñèå ìîæíî íàéòè, çàïèñûâàÿ è ðåøàÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé, èñïîëüçóÿ òîò ôàêò, ÷òî ïðîïîðöèè íà ñëåäóþùåì ïîêîëåíèè äîëæíû áûòü òåìè æå, ÷òî è íà ïðåäûäóùåì. Ï ð è ì å ð 16.4 Íàéòè îæèäàåìûå ÷èñëà íà êàæäîì óðîâíå â äîëãîñðî÷íîì ñëó÷àå äëÿ ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà. Ð å ø å í è å Åñëè ìû îáîçíà÷èì n0 ,n30 ,n40 ,n50 , è n60 , äëÿ ÷èñåë íà êàæäîì óðîâíå â äîëãîñðî÷íîì ñëó÷àå, òî òàáëèöà ïåðåõîäîâ ïðè äîñòèæåíèè óñòîé÷èâîãî ñîñòîÿíèÿ èìååò âèä Ãîä ∞ Íîâûé óðîâåíü ñêèäîê 60% n0 n30 n40 n50 n60 Âñåãî 10000 0 % 30% 40% 50% 0% 30% 40% 50% 60% 0.2n0 0.2n30 0.2n40 0.2n50 0.2n60 n0 0.8n0 0 0 0 0 0.8n30 0 0 0 0 0.8n40 0 0 0 0 0 0 0 n30 n40 n50 0.8n50 0.8n60 n60 422 Ïîñêîëüêó óðîâíè äîñòèãëè óñòîé÷èâîãî ñîñòîÿíèÿ, ñóììà â êîëîíêå (êîëè÷åñòâà â êîíöå ãîäà) äîëæíà áûòü òà æå, ÷òî â íà÷àëå ãîäà. Îòñþäà ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé: n0 = n30 = n40 = n50 = n60 = 0.2n0 + 0.2n30 + 0.2n40 + 0.2n50 + 0.2n60 0.8n0 0.8n30 0.8n40 0.8n50 + 0.8n60 ...(1) ...(2) ...(3) ...(4) ...(5) Ýòè óðàâíåíèÿ ìîæíî ðåøèòü, âûðàæàÿ êàæäóþ ïåðåìåííóþ ÷åðåç îäíó. Âûáåðåì n60 è ïîëó÷èì èç óðàâíåíèé (5) - (2): èç (5): èç (4): èç (3): èç (2): n50 = n40 = n30 = n0 = 0.2n60 /0.8 = 0.25n60 n50 /0.8 = 0.3125n60 n40 /0.8 = 0.3906n60 n30 /0.8 = 0.4883n60 ...(6) ...(7) ...(8) ...(9) Óðàâíåíèå (1) íå äàåò áîëüøå èíôîðìàöèè (ïîëó÷àåì òîæäåñòâî). Ïîýòîìó íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü äðóãîå óðàâíåíèå. Ïîñêîëüêó èçâåñòíî îáùåå ÷èñëî 10,000, ïîëó÷èì : n0 + n30 + n40 + n50 + n60 = 10, 000 ò.å. 0.4883n60 + 0.3906n60 + 0.3125n60 + 0.25n60 + n60 = 10, 000 Èòàê: 2.4414n60 = 10, 000 è n60 = 10, 000/2.4414 = 4, 096 Èç óðàâíåíèé (9) - (6) ïîëó÷àåì äðóãèå îæèäàåìûå ÷èñëà. n0 = l, 000 n30 = l, 600 n40 = l, 280 n50 = l, 024 Âîïðîñ äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè 16.8. Íàéòè ñðåäíèé ñòðàõîâîé âçíîñ â äîëãîâðåìåííîì ñëó÷àå äëÿ ýòîãî áëîêà ñòðàõîâîê, êàê ïðîöåíò îáùåé ñòðàõîâêè. 5 Êðàòêîå èçëîæåíèå NCD (ñêèäêè íà îòñóòñòâèå èñêîâ) ñèñòåìû - ìåòîä ñòðàõîâàíèÿ, øèðîêî èñïîëüçóåìûé ïðè ñòðàõîâàíèè ëè÷íîãî àâòîòðàíñïîðòà â Âåëèêîáðèòàíèè. Ïðàâèëà NCD ñèñòåìû ìîæíî ñâåñòè ê ìàòðèöå ïåðåõîäîâ. Îæèäàåìîå ÷èñëî èñêîâ îïðåäåëÿåòñÿ ÷àñòîòîé ïîäà÷è èñêîâ. Âîçìîæíûå ïðåòåíäåíòû íà ïîäà÷ó èñêà äîëæíû ðåøèòü, âûãîäíî ëè ïîäàâàòü èñê, ñ ó÷åòîì ïëàòåæåé, êîòîðûå çàñòðàõîâàííîå ëèöî áóäåò äåëàòü íà ãîðèçîíòå ïðîãíîçèðîâàíèÿ, êîòîðûé ìîæåò áûòü êîíå÷íûì è áåñêîíå÷íûì. 423 Ìàòðèöó ïåðåõîäîâ ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïðîãíîçèðîâàíèÿ îæèäàåìîãî ÷èñëà çàñòðàõîâàííûõ ëèö íà êàæäîì óðîâíå ñêèäîê è äëÿ ðàñ÷åòà äîëãîñðî÷íûõ ïðîïîðöèé çàñòðàõîâàííûõ ëèö íà êàæäîì óðîâíå, êîãäà ñèñòåìà äîñòèãàåò óñòîé÷èâîãî ïîëîæåíèÿ. 6 Ôîðìóëû Îñíîâíàÿ ÷àñòîòà èñêîâ = 424 ×èñëî èñêîâ Ñðåäíåå ÷èñëî ïîëèñîâ Ãëàâà 17 Îñíîâû òåîðèèNCD 1 NCD(ñêèäêè íà îòñóòñòâèå èñêîâ) ñèñòåìû 1.1 Ââåäåíèå Ïðè âûáîðå ðàçìåðà ñòðàõîâîãî âçíîñà, êîòîðûé äîëæíî óïëàòèòü çàñòðàõîâàííîå ëèöî, ìíîãèå ñòðàõîâûå êîìïàíèè èñïîëüçóþò èíôîðìàöèþ î òîì, êàêîå ÷èñëî èñêîâ ïîäàëî çàñòðàõîâàííîå ëèöî çà ïðåäøåñòâóþùèå ãîäû, ïîñêîëüêó ýòî ëó÷øå âñåãî îïðåäåëÿåò âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çàñòðàõîâàííîå ëèöî áóäåò â áóäóùåì ïîäàâàòü èñêè. Ýòî îñîáåííî ïðèñóùå àâòîñòðàõîâàíèþ, ãäå NCD ñèñòåìà èñïîëüçóåòñÿ áîëüøèíñòâîì, åñëè íå âñåìè, ñòðàõîâûìè êîìïàíèÿìè. (Íåêîòîðûå ñòðàõîâùèêè òàêæå èñïîëüçóþò ýòó ñèñòåìó â äðóãèõ âèäàõ ñòðàõîâàíèÿ, òàêèõ êàê ñòðàõîâàíèå äîìàøíåãî èìóùåñòâà èëè ìåäèöèíñêîå ñòðàõîâàíèå). NCD ñèñòåìà äåéñòâóåò ñëåäóþùèì îáðàçîì - çàñòðàõîâàííîìó ëèöó äåëàåòñÿ ñêèäêà íà îáû÷íûé ñòðàõîâîé âçíîñ, êîòîðàÿ íàïðÿìóþ çàâèñèò îò ÷èñëà ëåò ñòðàõîâàíèÿ, â òå÷åíèå êîòîðûõ çàñòðàõîâàííîå ëèöî íå ïîäàâàëî èñêîâ. Ðåøàÿ, ïîäàâàòü ëè èñê, çàñòðàõîâàííîìó ëèöó ïðèõîäèòñÿ ó÷èòûâàòü, êàê ýòî ïîâëèÿåò íà ðàçìåð ñòðàõîâîãî âçíîñà â ïîñëåäóþùèå ãîäû. Îäíîé èç ïðè÷èí ââåäåíèÿ NCD ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ, òàêèì îáðàçîì òî, ÷òî ýòî ïðåïÿòñòâóåò ïðåäúÿâëåíèþ ìàëûõ èñêîâ. Çàñòðàõîâàííîå ëèöî íå áóäåò ïîäàâàòü èñê, åñëè îí ìåíüøå, ÷åì ïîñëåäóþùåå óâåëè÷åíèå ñòðàõîâîãî âçíîñà. Ñëåäîâàòåëüíî, NCD ñèñòåìà ìîæåò óìåíüøèòü ÷èñëî ìàëûõ èñêîâ ïðåäúÿâëÿåìûõ ñòðàõîâîé êîìïàíèè. Ýòî óìåíüøèò ñòîèìîñòü èñêîâ è êîìïåíñèðóåò óìåíüøåíèå äîõîäîâ ñòðàõîâîé îðãàíèçàöèè îò ñáîðà âçíîñîâ. Áîëåå âàæíî òî, ÷òî ýòî óìåíüøèò ðàñõîäû íà 425 îáðàáîòêó èñêîâ. ×åì ìåíüøå èñêîâ íóæíî ðàññìîòðåòü, òåì íèæå ðàñõîäû (ïî îòíîøåíèþ ê ñòðàõîâîìó âçíîñó) íà îäíî çàñòðàõîâàííîå ëèöî Óìåíüøàÿ ÷èñëî ìàëûõ èñêîâ, êîìïàíèÿ ñîêðàùàåò ÷èñëî èñêîâ, êîòîðûå ñòîÿò íåïðîïîðöèîíàëüíî ìíîãî â ïðîöåíòàõ îò ïëàòåæåé ïî èñêà, ïîäëåæàùèõ ðàññìîòðåíèþ. Ýòî äåëàåò ñòðàõîâûå âçíîñû â ýòîé êîìïàíèè áîëåå êîíêóðåíòîñïîñîáíûìè. 2 Îïðåäåëåíèå NCD ñèñòåìû 2.1 Êàòåãîðèè ñêèäîê NCD ñèñòåìà ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé: êàòåãîðèè ñêèäîê è íàáîð ïðàâèë, ïî êîòîðûì ïðîèñõîäèò ïåðåõîä èç îäíîé êàòåãîðèè â äðóãóþ. Êðîìå òîãî, äëÿ òîãî, ÷òîáû ðàññìîòðåòü ñâîéñòâà NCD ñèñòåìû, íåîáõîäèìî çíàòü òàêæå âåðîÿòíîñòü òîãî, áóäåò ëè çàñòðàõîâàííîå ëèöî ïîäàâàòü èñêè â òå÷åíèå êàæäîãî ãîäà. Êàòåãîðèè îáû÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ÷èñëîì ëåò â ïåðèîäå, çà êîòîðûé íå ïîäàíî íè îäíîãî èñêà. Îäíàêî ïðàâèëà ïåðåõîäà ìåæäó êàòåãîðèÿìè îáû÷íî òàêîâû, ÷òî îíè çàâèñÿò íàïðÿìóþ îò ÷èñëà ëåò, ïðîøåäøèõ ïîñëå èñêà. ×òîáû íå ïîäàâàòü èñê, èç-çà êîòîðîãî çàñòðàõîâàííîå ëèöî ïîòåðÿåò ñêèäêè ñîâñåì, îíî îáû÷íî ïåðåõîäèò â äðóãóþ êàòåãîðèþ ñ áîëåå íèçêèì óðîâíåì ñêèäîê. Ïðèìåð êàòåãîðèÿ 17.1 Ðàññìîòðèì NCD ñèñòåìó ñ òðåìÿ êàòåãîðèÿìè: Ñêèäêà % 0 0 1 25 2 40 Â êàòåãîðèè 0 çàñòðàõîâàííîå ëèöî ïëàòèò ïîëíûé ñòðàõîâîé âçíîñ, êîòîðûé íà ïðàêòèêå ðàçëè÷åí äëÿ ðàçíûõ èíäèâèäóóìîâ âñëåäñòâèå èõ ëè÷íûõ îáñòîÿòåëüñòâ (íàïðèìåð, âîçðàñòà), äëÿ ÷åãî ââîäèòñÿ èíäèâèäóàëüíûé ðåéòèíã. Äëÿ ïðîñòîòû ðàññìîòðèì îäíîðîäíûé ïîðòôåëü, ñîñòîÿùèé èç çàñòðàõîâàííûõ ëèö, îòëè÷àþùèõñÿ òîëüêî èíäèâèäóàëüíûì ðåéòèíãîì. Â ýòîì ñëó÷àå ïîëíûé ñòðàõîâîé âçíîñ áóäåò îäèíàêîâûì äëÿ âñåõ ïîëèñîâ â ïîðòôåëå. Â êàòåãîðèè 1 çàñòðàõîâàííîå ëèöî ïëàòèò 75%, à â êàòåãîðèè 2 - 60% ïîëíîãî ñòðàõîâîãî âçíîñà. Åñëè çàñòðàõîâàííîå ëèöî íå ïîäàåò íè îäíîãî èñêà â òå÷åíèå ãîäà, îí (îíà) ïåðåõîäèò â ñëåäóþùóþ, áîëåå âûñîêóþ êàòåãîðèþ (èëè îñòàåòñÿ â êàòåãîðèè 2). Åñëè ïîäàíî îäèí èëè íåñêîëüêî èñêîâ, îí (îíà) ïåðåõîäèò â áîëåå íèçêóþ êàòåãîðèþ ñêèäîê (èëè îñòàåòñÿ â êàòåãîðèè 0). Ïðèìå÷àíèå: Íà ïðàêòèêå áûâàåò 5-6 êàòåãîðèé, à ïîñëå ïîäà÷è èñêà ìîæíî ñïóñòèòñÿ íèæå áîëåå ÷åì íà îäíó êàòåãîðèþ. 426 2.2 Ìàòðèöà ïåðåõîäîâ ×òîáû ëåã÷å àíàëèçèðîâàòü ýòó ñèñòåìó, èñïîëüçóåì ìàòåìàòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå. Îæèäàåìàÿ ïðîïîðöèÿ çàñòðàõîâàííûõ ëèö â êàòåãîðèè i îáîçíà÷èì πi . Çàìåòèì, ÷òî Σπi =1. Êðîìå òîãî, ïðîïîðöèè â êàòåãîðèÿõ ñêèäîê ïðåäñòàâëÿþòñÿ âåêòîðîì ~π = (π0 , π1 , π2 , ........., πn ). Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çàñòðàõîâàííîå ëèöî èç êàòåãîðèè i ïåðåõîäèò â êàòåãîðèþ j ïðè ïåðåõîäå èç îäíîãî ãîäà â ñëåäóþùèé òåïåðü ìîæíî çàïèñàòü. Ïðîñòåéøèé ïóòü äëÿ ýòîãî - ìàòðèöà âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà   p00 p01 p02 . . .  p10 p11 p12 . . .     p20 p21 p22 . . .    P =  . . . . . .    . . . . . .  . . . . . . pij - âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çàñòðàõîâàííîå ëèöî ïåðåõîäèò èç êàòåãîðèè i â êàòåãîðèþ j. 2.3 Ðàñïðåäåëåíèå çàñòðàõîâàííûõ ëèö Ìàòðèöó ïåðåõîäîâ ìîæíî èñïîëüçîâàòü, ÷òîáû îïðåäåëèòü ñêîëüêî çàñòðàõîâàííûõ ëèö îæèäàåòñÿ â êàæäîé êàòåãîðèè â êàæäûé ãîä. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàñòðàõîâàííîå ëèöî íà÷èíàåò â ïåðâûé ãîä â êàòåãîðèè 0. Òîãäà â ãîä 1 ,π0 = 1 è ïðîïîðöèè â êàæäîé êàòåãîðèè äëÿ ñèñòåìû ñ òðåìÿ êàòåãîðèÿìè ñêèäîê ~π (1) = (1, 0, 0, ..). Â ãîä 2, îæèäàåìûå ïðîïîðöèè â êàæäîé êàòåãîðèè çàäàþòñÿ âåêòîðîì, ïîëó÷àþùèìñÿ ïðè óìíîæåíèè ~π (1) íà Ð. ~π (2) = ~π (1) P Àíàëîãè÷íî ~π (n+1) = ~π (n) P 427 3 Àíàëèç óñòîé÷èâîãî ñîñòîÿíèÿ 3.1 Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå Ìîæíî ïðîäîëæèòü íàõîæäåíèå ~π (n) äëÿ áîëüøèõ çíà÷åíèé n. Ïðè ðàçóìíûõ óñëîâèÿõ ~π (n) ñòðåìèòüñÿ ê ïðåäåëó ïðè n −→ ∞. Êîãäà ýòî ñëó÷èòñÿ, ñèñòåìà äîñòèãíåò ðàâíîâåñèÿ, èëè ñâîåãî óñòîé÷èâîãî ñîñòîÿíèÿ. Ýòîò ïðåäåë îáîçíà÷èì ~π . Ïðè n −→ ∞ ïîëó÷àåì ~π = ~π P Ýòî ñèñòåìà P óðàâíåíèé, êîòîðóþ ìîæíî ðåøèòü, ÷òîáû íàéòè ~π , èìåÿ â âèäó, ÷òî πi = 1. Ï ð è ì å ð 17.2 ×òîáû ïðîèëëþñòðèðîâàòü, êàê îïðåäåëÿåòñÿ óñòîé÷èâîå ñîñòîÿíèå, ðàññìîòðèì ïðèìåð ñ òðåìÿ êàòåãîðèÿìè ñêèäîê, êàê â ðàçäåëå 1.1.1 âûøå. Åñëè âåðîÿòíîñòü, ÷òî çàñòðàõîâàííîå ëèöî íå ïîäàåò èñê ðàâíà 0.9, òî ~π ðåøåíèå  0.1 0.9 0 (π0 , π1 , π2 ) =  0.1 0 0.9  = (π0 , π1 , π2 ) 0 0.1 0.9  ò.å. (0.1π0 + 0.1π1 , 0.9π0 + 0.1π2 , 0.9π1 + 0.9π2 ) = (π0 , π1 , π2 ). Ýòî ìîæíî çàïèñàòü êàê ñèñòåìó èç òðåõ óðàâíåíèé: 0.1π0 + 0.1π1 = π0 (1) 0.9π0 + 0.1π2 = π1 (2) 0.9π1 + 0.9π2 = π2 (3) Ïîñêîëüêó ìû èìååì òðè óðàâíåíèÿ ñ òðåìÿ íåèçâåñòíûìè, óðàâíåíèÿ ðåøàþòñÿ îòíîñèòåëüíî π0 , π1 è π2 . Ïðîáëåìà â òîì, ÷òî òîëüêî äâà èç òðåõ óðàâíåíèé ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Îäíàêî, èçâåñòíî, ÷òî π0 + π1 + π2 = 1, ÷òî èñïîëüçóåì â êà÷åñòâå òðåòüåãî óðàâíåíèÿ. Ðåøàåì, ïîëó÷àåì π0 = 3.2 1 , 91 π1 = 9 , 91 π2 = 81 91 Íåîäíîðîäíîñòü ïîðòôåëÿ Îäíîé èç ïðè÷èí, êîòîðîé îáúÿñíÿþò ïðèìåíåíèå NCD ñèñòåìû, ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ñòàâêà ñòðàõîâîãî âçíîñà îïðåäåëÿåòñÿ àâòîìàòè÷åñêè. Äðóãèìè ñëîâàìè, çàñòðàõîâàííîå ëèöî, êîòîðîå ïîäàåò ìåíüøå èñêîâ, ïëàòèò ìåíüøå òîãî, êîòîðûé ïîäàåò áîëüøå èñêîâ. Õîòÿ ýòî î÷åâèäíî 428 ïðàâèëüíî, NCD ñèñòåìà áîëåå ñëîæíà, è âñêîðå ñòàíîâèòñÿ ÿñíî, ÷òî âñå íå ðàáîòàåò òàê õîðîøî, êàê õîòåëîñü áû, è ñòðàõîâîé âçíîñ, êîòîðûé â êîíå÷íîì ñ÷åòå ïëàòèò çàñòðàõîâàííîå ëèöî, íå ïðîïîðöèîíàëåí âåðîÿòíîñòè ïîäà÷è èñêà. ×àñòè÷íî ýòî ïðîèñõîäèò ïîòîìó, ÷òî ïðåäëàãàåòñÿ ìàëîå ÷èñëî êàòåãîðèé ñêèäîê è ñðàâíèòåëüíî íèçêèå óðîâíè ñêèäîê. À êðîìå òîãî, ýòî ñëåäñòâèå ñðàâíèòåëüíî íèçêîé âåðîÿòíîñòè ïîäà÷è èñêîâ è îòñþäà âûñîêèå âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî âñå çàñòðàõîâàííûå ëèöà äîñòèãíóò íà íåêîòîðîé ñòàäèè ìàêñèìàëüíûé óðîâåíü ñêèäîê. Çàäàâ âåðîÿòíîñòè ïîäà÷è èñêîâ äëÿ âñåõ çàñòðàõîâàííûõ ëèö, ìîæíî áóäåò ìàòåìàòè÷åñêè, íàéòè NCD ñèñòåìó, äëÿ êîòîðîé ïîñëå äëèòåëüíîãî ïåðèîäà, âñå çàñòðàõîâàííûå ëèöà áóäóò ïëàòèòü ÷èñòûé ñòðàõîâîé âçíîñ, ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíûé èõ âåðîÿòíîñòè ïîäà÷è èñêà. Îäíàêî, ýòîé î÷åíü ñëîæíîé ñèñòåìîé áóäåò òðóäíî óïðàâëÿòü è ïîíèìàòü åå. Ñëåäóþùèé ïðèìåð ðàññìàòðèâàåò ïðÿìî ïðîòèâîïîëîæíûé ñëó÷àé: åñòü òîëüêî äâà òèïà çàñòðàõîâàííûõ ëèö è òîëüêî òðè êàòåãîðèè ñêèäîê. Îäíàêî äàæå â òàêîé ïðîñòîé ñèòóàöèè íå ïðîñòî ïîëó÷èòü ñèñòåìó, â êîòîðîé áûëî áû ñîîòâåòñòâèå ñòðàõîâîãî âçíîñà âåðîÿòíîñòè ïîäà÷è èñêà. Ï ð è ì å ð 17.3 Ïðåäïîëîæèì, ÷òî åñòü íå òàêîå êîëè÷åñòâî âåðîÿòíîñòåé ïîäà÷è èñêà, êàê ÷èñëî çàñòðàõîâàííûõ ëèö, à ïðîñòî ¾õîðîøèå¿ âîäèòåëè è ¾ïëîõèå¿. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî õîðîøèé âîäèòåëü ïîäàñò èñê íèæå (íàïðèìåð, 0.1), ÷åì âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïëîõîé âîäèòåëü ïîäàñò èñê (íàïðèìåð, 0.2). Ìîæíî íàéòè ïðîïîðöèè ìåæäó õîðîøèìè è ïëîõèìè âîäèòåëÿìè, êîòîðûå îæèäàþòñÿ â êàæäîé êàòåãîðèè ïîñëå íåñêîëüêèõ ëåò. Ðàñïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîãî ñîñòîÿíèÿ äëÿ ïëîõèõ âîäèòåëåé ( 1 4 16 21 , 21 , 21 ) Ìîæíî òåïåðü ñðàâíèòü ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ñòðàõîâûõ âçíîñîâ, óïëà÷èâàåìûõ õîðîøèìè è ïëîõèìè âîäèòåëÿìè. Ïîñêîëüêó ïëîõèå âîäèòåëè ïîäàþò âäâîå áîëüøå èñêîâ, ÷åì ïëîõèå, èõ ÷èñòûå ñòðàõîâûå âçíîñû (ò.å. áåç ó÷åòà çàòðàò è êîýôôèöèåíòà âûãîäû) äîëæíû áûòü âäâîå âûøå, ÷åì ó õîðîøèõ âîäèòåëåé ( â ñðåäíåì, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ðàçìåðîâ èñêîâ îäèíàêîâîå äëÿ õîðîøèõ è ïëîõèõ âîäèòåëåé). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîëíàÿ ñòðàõîâêà ñ. Ñðåäíèé ÷èñòûé ñòðàõîâîé âçíîñ, êîòîðûé ïëàòèò õîðîøèé âîäèòåëü, 1 9 81 ×c+ × 0.75c + × 0.6c = 0.619c 91 91 91 À ñðåäíèé ÷èñòûé ñòðàõîâîé âçíîñ, êîòîðûé ïëàòèò ïëîõîé âîäèòåëü, 1 4 16 ×c+ × 0.75c + × 0.6c = 0.648c 21 21 21 Òàêèì îáðàçîì, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ïëîõèå âîäèòåëÿ äîëæíû ïîäàâàòü èñêè âäâîå ÷àùå, ÷åì õîðîøèå, îíè äîëæíû ïëàòèòü ñòðàõîâîé âçíîñ ëèøü íåìíîãî áîëüøèé (â ñðåäíåì). 429 (Â äåéñòâèòåëüíîñòè, â ýòîì ïðîñòîì ïðèìåðå ìàêñèìàëüíî âîçìîæíàÿ ñêèäêà íåäîñòàòî÷íà äëÿ ¾èäåàëüíîãî¿ óäâîåííîãî ñòðàõîâîãî âçíîñà. Îäíàêî ìîæíî ïðèìåíèòü íåìíîãî àëãåáðû, ÷òîáû îïðåäåëèòü ñêèäêè, ÷òîáû â ðåçóëüòàòå ïëîõèå âîäèòåëè ïëàòèëè ñòðàõîâîé âçíîñ âäâîå áîëüøå, ÷åì õîðîøèå. Äëÿ âåðîÿòíîñòè èñêîâ â ýòîì ïðèìåðå, ãäå òîëüêî òðè êàòåãîðèè, äîëæíà áûòü ñêèäêà â êàòåãîðèè 2 ïî êðàéíåé ìåðå 98.2%. Ñèòóàöèÿ óëó÷øèòüñÿ, åñëè åñòü áîëüøå êàòåãîðèé, íî è ñëîæíîñòü âîçðàñòåò). 4 Âëèÿíèå NCD ñèñòåì íà ïðåäðàñïîëîæåííîñòü ê ïîäà÷å èñêà 4.1 Ïåðåñìîòð âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà Äî ñèõ ïîð ìû ïðåäïîëàãàëè, ÷òî âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âîäèòåëü ïîäàñò èñê, îäèíàêîâàÿ, íåçàâèñèìî îò òîãî â êàêîé êàòåãîðèè îí (îíà) íàõîäèòñÿ. Çàñòðàõîâàííîå ëèöî ìîæåò ó÷èòûâàòü âîçðàñòàíèå áóäóùåãî ñòðàõîâîãî âçíîñà ïðè ðåøåíèè, ïîäàâàòü ëè èñê. Ýòî ìîæíî ó÷åñòü, ñðàâíèâàÿ èçìåíåíèå ñòðàõîâîãî âçíîñà ïîñëå ïîäà÷è èñêà. Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì âîäèòåëÿ, êîòîðûé ïëàòèò ïîëíûé ñòðàõîâîé âçíîñ â NCD ñèñòåìå ñ òðåìÿ êàòåãîðèÿìè, êàê â ðàçäåëå 1.1.1, è ïóñòü ïîëíûé âçíîñ £500. Åñëè â ïåðâûé (èëè ïîñëåäóþùèå ãîäû) ãîä íå ïîäàíî èñêîâ, áóäóùèå âçíîñû áóäóò £375, £300, £300. Îäíàêî åñëè èñê ïîäàí â ïåðâûé ãîä (íî íè â îäèí èç ïîñëåäóþùèõ), òî áóäóùèå âçíîñû ñîñòàâÿò £500, £375, £300. Ñëåäîâàòåëüíî, äîïîëíèòåëüíî áóäåò óïëà÷åíî £200. Àíàëîãè÷íûå ñóììû ìîæíî ïîñ÷èòàòü äëÿ äðóãèõ êàòåãîðèé ñêèäîê. Âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî çàñòðàõîâàííîå ëèöî â êàæäîé êàòåãîðèè äåéñòâèòåëüíî ïîäàñò èñê çà óùåðá, áóäóò ðàçëè÷íûìè. Ýòè ðàçëè÷èÿ ðàññ÷èòàíû ñ ó÷¼òîì ïîñëåäóþùåãî ãîäà, êîãäà áóäåò ïîëó÷åíà ìàêñèìàëüíàÿ ñêèäêà. Âîçìîæíî, çàñòðàõîâàííîå ëèöî íå ñìîòðèò òàê äàëåêî â áóäóùåå, åñëè îí âîîáùå áóäåò åùå ïîäàâàòü èñê â ýòîò ïåðèîä. (Â êðàéíåì ñëó÷àå çàñòðàõîâàííîå ëèöî âîîáùå ìîæåò ïðîèãíîðèðîâàòü òàêèå âû÷èñëåíèÿ, äóìàÿ ÷òî îí åùå áóäåò ïîäàâàòü èñêè â òå÷åíèå ñòðàõîâîãî ïåðèîäà) . Êîëè÷åñòâî ëåò, êîòîðûå ïðèíèìàþòñÿ âî âíèìàíèå, íàçûâàåòñÿ ãîðèçîíòîì çàñòðàõîâàííîãî ëèöà. Ïðåäðàñïîëîæåíèå ê ïîäà÷å èñêîâ òàêæå çàâèñèò îò ýòîãî ãîðèçîíòà. 430 4.2 Ðàñ÷åò âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà Ïîíÿòíî, ÷òî âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çàñòðàõîâàííîå ëèöî ïîòåðïèò óáûòêè (ïîïàäåò â àâàðèþ) íå òà æå, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïîäà÷è èñêà. Ïî ôàêòó íåñ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ, çàñòðàõîâàííîå ëèöî ìîæåò ïîòåðïåòü óáûòêè èç-çà ïîâðåæäåíèÿ àâòîìîáèëÿ èëè èìóùåñòâà è ïî êîìïåíñàöèè ïîòåðïåâøèì. Ïîñëå íåñ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ çàñòðàõîâàííîå ëèöî ìîæåò ïîäàòü èñê (èãíîðèðóÿ ýêñöåäåíò ñòðàõîâêè), ÷òîáû ñòðàõîâùèê âîçìåñòèë óùåðá. Åñëè èçâåñòíî ðàñïðåäåëåíèå óùåðáà, ìîæíî ðàññ÷èòàòü âåðîÿòíîñòü ïîäà÷è èñêà ïîñëå íåñ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ. Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì çàñòðàõîâàííîå ëèöî èç ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà, ó êîòîðîãî áåñêîíå÷íûé ãîðèçîíò, â íàñòîÿùåå âðåìÿ êàòåãîðèÿ ñêèäîê 25%, è îí òîëüêî ÷òî ïîïàë â àâàðèþ. Èñê áóäåò ïîäàí, åñëè óùåðá îò àâàðèè áîëüøå £275. Åñëè Õ - ñëó÷àéíàÿ ïåðåìåííàÿ, ïðåäñòàâëÿþùàÿ âåëè÷èíó óùåðáà, òî P (ïîäàí èñê I) = P (X > £275) Ïîñêîëüêó ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå èçâåñòíî, âåðîÿòíîñòü ðàñ÷èòûâàåòñÿ. Ï ð è ì å ð 17.4 Êîìïàíèÿ ïî ñòðàõîâàíèþ àâòîòðàíñïîðòà ïðèìåíÿåò NCD ñèñòåìó, îïèñàííóþ â ðàçäåëå 1.1.1. ñ óðîâíÿìè ñêèäîê 0%, 25% è 40%. Ïðè ïîäà÷å îäíîãî èëè áîëåå èñêîâ çà ãîä çàñòðàõîâàííîå ëèöî ïåðåõîäèò â ñëåäóþùåì ãîäó íà ñëåäóþùèé, áîëåå íèçêèé óðîâåíü ñêèäîê, èëè îñòàåòñÿ íà 0 óðîâíå. Åñëè â òå÷åíèå ãîäà íå ïîäàâàëîñü èñêîâ, çàñòðàõîâàííîå ëèöî ïåðåõîäèò â ñëåäóþùåì ãîäó íà ñëåäóþùèé áîëåå âûñîêèé óðîâåíü ñêèäîê, èëè îñòàåòñÿ íà 40% óðîâíå. Äëÿ õîðîøèõ âîäèòåëåé âåðîÿòíîñòü ïîïàñòü â àâàðèþ â ãîäó 0.1. Äëÿ ïëîõèõ âîäèòåëåé âåðîÿòíîñòü ïîïàñòü â àâàðèþ â ãîäó 0.2. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ëþáîé âîäèòåëü ïîïàäåò â äâå èëè áîëåå àâàðèé î÷åíü ìàëà è ïðèíèìàåòñÿ çà íóëåâóþ. Ñòîèìîñòü òîãî, â ôóíòàõ, ÷òî ðåìîíò ïîñëå àâàðèè èìååò ëîãàðèôìè÷åñêè íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè µ = 5 è σ = 2. Ãîäîâîé ñòðàõîâîé âçíîñ ó çàñòðàõîâàííîãî ëèöà íà 0 óðîâíå ñêèäîê £500. Çàñòðàõîâàííîå ëèöî ïîäàåò èñê ïîñëå àâàðèè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñòîèìîñòü ðåìîíòà âûøå, ÷åì ðàçíèöà ìåæäó: (à) ñóììîé òðåõ ñòðàõîâûõ âçíîñîâ çà ïîñëåäóþùèå òðè ãîäà ãîäîâîãî ïîëèñà, åñëè áûë ïîäàí èñê íà âîçìåùåíèå ñòîèìîñòè ðåìîíòà. (á) ñóììîé òðåõ ñòðàõîâûõ âçíîñîâ çà ïîñëåäóþùèå òðè ãîäà ãîäîâîãî ïîëèñà, åñëè íå áûë ïîäàí èñê íà âîçìåùåíèå ñòîèìîñòè ðåìîíòà. Â êàæäîì ñëó÷àå çàñòðàõîâàííîå ëèöî ïðåäïîëàãàåò, ÷òî îí (îíà) íå áóäåò ïîïàäàòü â àâàðèþ â òå÷åíèå äåéñòâèÿ ýòèõ òðåõ ñòðàõîâûõ ïåðèîäîâ. (à) Íà êàæäîì óðîâíå ñêèäîê ðàññ÷èòàéòå ñòîèìîñòü ðåìîíòà, ïî êîòîðîìó çàñòðàõîâàííîå ëèöî íå áóäåò ïîäàâàòü èñê. (á) Íà êàæäîì óðîâíå ñêèäîê ðàññ÷èòàéòå âåðîÿòíîñòü, ÷òî çàñòðàõîâàííîå ëèöî ïîäàñò èñê ïîñëå ýòîé àâàðèè 431 (â) Ðàññ÷èòàéòå ïðîïîðöèè õîðîøèõ è ïëîõèõ âîäèòåëåé íà êàæäîì óðîâíå ñêèäîê, ïðåäïîëàãàÿ ÷òî ýòè ïðîïîðöèè äîñòèãëè óñòîé÷èâîãî ñîñòîÿíèÿ. Ð å ø å í è å (à) Òðè ãîäà - ýòî äîñòàòî÷íûé ñðîê äëÿ âîäèòåëÿ, ÷òîáû ïåðåéòè èç êàòåãîðèè ìèíèìàëüíûõ ñêèäîê ê êàòåãîðèè ìàêñèìàëüíûõ ñêèäîê. Ïîýòîìó ñòîèìîñòü ðåìîíòà, ïðè êîòîðîé çàñòðàõîâàííîå ëèöî íå ïîäàñò èñê, ðàâíà, êàê è â ðàçäåëå 3.1: Óðîâåíü ñêèäîê 0%: Óðîâåíü ñêèäîê 25%: Óðîâåíü ñêèäîê 40%: £200 £275 £75. (á) P(Èñê | Àâàðèÿ) = P(Ñòîèìîñòü ðåìîíòà > x) ãäå ñóììà, íàéäåííàÿ â (i). Ïóñòü X = Ñòîèìîñòü ðåìîíòà ** ëîãàðèôìè÷åñêè íîðìàëüíûé è log X − N (µ, σ 2 ) Òàêèì îáðàçîì, òðåáóåòñÿ P (X > x) = P (logX > logx) = 1 − Φ( logx − µ ) σ Äëÿ êàæäîãî óðîâíÿ ñêèäîê âåðîÿòíîñòü ïîäà÷è èñêà ïî ñëó÷àþ àâàðèè 0% ñêèäêà 1 − Φ( log200 − 5 ) = 1 − Φ(0.149) = 0.441 2 1 − Φ( log275 − 5 ) = 1 − Φ(0.308) = 0.379 2 25% ñêèäêà 40% ñêèäêà 1 − Φ( log75 − 5 ) = 1 − Φ(−0.341) = 0.633 2 (â) P(Èñê) = P(Èñê | Àâàðèÿ) P(Àâàðèÿ ) Ìàòðèöà ïåðåõîäà äëÿ õîðîøèõ âîäèòåëåé:  0.0441 P =  0.0379 0 Óñòîé÷èâîå ñîñòîÿíèå - ýòî ðåøåíèå ~ π 0.9559 0  0 0.9621  0.0633 0.9367 P = ~π Îòñþäà ïîëó÷àþòñÿ ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ: 0.0441π0 + 0.0379π1 = π0 (1) 0.9559π0 + 0.0633π2 = π1 (2) 0.9621π1 + 0.9367π2 = π2 (3) Èç óðàâíåíèÿ (1), π1 = 25.222π0 Èç óðàâíåíèÿ (3), π2 = 15.199π1 = 383.350π0 π0 + π1 + π2 = 1 432 π0 + 25.222π0 + 383.350π0 = 1 π0 = 0.0024, π1 = 0.0616, π2 = 0.9360. Ìàòðèöà ïåðåõîäà äëÿ ïëîõèõ âîäèòåëåé:  0.0882 P =  0.0758 0 0.9118 0  0 0.9242  0.1266 0.8734 Ðåøàÿ óðàâíåíèå óñòîé÷èâîãî ñîñòîÿíèÿ ~ π π0 = 0.0099, 5 P = ~π , ïîëó÷àåì: π1 = 0.1193, π2 = 0.8708 Âîïðîñû ñòóäåíòàì Â1. Äåéñòâèòåëüíî ëè NCD ïðàâèëà, èñïîëüçóåìûå íà ïðàêòèêå, íàñòîëüêî ïðîñòûå, êàê çäåñü îïèñàíî? Î1. Â äåéñòâèòåëüíîñòè ñóùåñòâóþò íåêîòîðûå ñëîæíîñòè. Íàïðè- ìåð, íåêîòîðûå ìàëûå èñêè (òàêèå êàê çàìåíà âåòðîâîãî ñòåêëà) "ïîçâîëÿþòñÿ ò.å. îíè íå ñ÷èòàþòñÿ èñêàìè, ñíèæàþùèìè óðîâåíü ñêèäîê. Òàêæå íåêîòîðûå êîìïàíèè ïðåäëàãàþò "çàùèùåííóþ"NCD ñèñòåìó ñ ìåíüøèìè øòðàôíûìè ïðàâèëàìè äëÿ âîäèòåëåé, êîòîðûå íåñêîëüêî ëåò áûëè íà ìàêñèìàëüíîì óðîâíå ñêèäîê. Çà ýòî îíè ïëàòÿò äîïîëíèòåëüíûé ñòðàõîâîé âçíîñ. Ìíîãèå êîìïàíèè òàêæå ïðåäëàãàþò "íà÷àëüíóþ"ñêèäêè äëÿ íîâûõ çàñòðàõîâàííûõ ëèö (ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îíè íå ïîïàäàþò â ãðóïïó âûñîêîãî ðèñêà). Ýòî ïîçâîëÿåò ýòèì çàñòðàõîâàííûì ëèöàì ïðîïóñòèòü óðîâåíü 0% ñêèäîê. Â2. Âëèÿþò ëè äðóãèå ôàêòîðû íà çàñòðàõîâàííûõ ëèö ïðè ðåøåíèè ïîäàâàòü èñê èëè íåò? Î2. Íà ïðàêòèêå, íà çàñòðàõîâàííûå ëèöà âëèÿåò ìàññà ôàêòîðîâ, òàêèõ êàê: ìîãóò ëè îíè ñåáå ïîçâîëèòü îïëàòèòü ñóììó èñêà ñàìè; íàñêîëüêî âåðîÿòíî, ÷òî èì ïðèäåòñÿ ïðåäúÿâëÿòü èñêè â áóäóùåì; áóäåò ëè ýòà àâàðèÿ îáåñïå÷åíà äåíåæíûì ïîêðûòèåì; íàðóøèëè ëè îíè êàêèåíèáóäü ïðàâèëà (íàïðèìåð, áûëè ïüÿíûìè çà ðóëåì); ñîáèðàþòñÿ ëè îíè ïîìåíÿòü ìàøèíó èëè ñòðàõîâóþ êîìïàíèþ. Äðóãèìè ñëîâàìè ìû èñïîëüçîâàëè î÷åíü ïðîñòîé ïîäõîä. Â3. Ñòîèò ëè ïðèìåíÿòü ìåòîäû, êîòîðûå ÿ ó÷èë â óíèâåðñèòåòå äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé, íàïðèìåð ïðàâèëî Êðàìåðà (ñ èñïîëüçîâàíèåì îïðåäåëèòåëåé) èëè ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ Ãàóññà (ñ èñïîëüçîâàíèåì ìàòðèö). Î3. Ñîìíèòåëüíî, ÷òî îòëè÷íîå çíàíèå ìåòîäîâ ïîìîæåò íà ýêçà- ìåíå. Ýêçàìåíàòîðîâ áîëüøå èíòåðåñóåò, çíàíèå ïóòè ðåøåíèÿ çàäà÷ó, 433 à íå ïîçíàíèÿ â îáëàñòè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ. Ïîýòîìó îíè ïîñòàðàþòñÿ, ÷òîáû àðèôìåòèêà/àëãåáðà áûëà äîñòàòî÷íî ïðîñòàÿ. Îäíàêî, ñòîèò ïðîâîäèòü âû÷èñëåíèÿ âíèìàòåëüíî è ñèñòåìàòè÷åñêè, ÷òîáû èçáåæàòü "íåâûíóæäåííûõ"îøèáîê. Âûáèðàéòå êðàò÷àéøèé ïóòü, ÷òîáû ñáåðå÷ü ñâîå âðåìÿ. Â4. Ñïðàâåäëèâà ëè NCD ñèñòåìà? Ïëàòÿò ëè â ñðåäíåì âäâîå áîëüøèé ñòðàõîâîé âçíîñ ëþäè, êîòîðûå ñîâåðøàþò âäâîå áîëüøå àâàðèé. Î4. Íèêàêàÿ ñèñòåìà, ó÷èòûâàþùàÿ ïðîøëûé îïûò, íå ìîæåò ïîëíîñòüþ ðàçëè÷èòü çàñòðàõîâàííûå ëèöà ñ ðàçíûìè óðîâíÿìè ðèñêà. Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè Çàñòðàõîâàííîå ëèöî A îáõîäèòñÿ âäâîå äîðîæå ñòðàõîâùèêó, ÷åì Çàñòðàõîâàííîå ëèöî B, òî Çàñòðàõîâàííîå ëèöî A áóäåò ïëàòèòü â ñðåäíåì íà 30-40% áîëüøèé ñòðàõîâîé âçíîñ, ÷åì Çàñòðàõîâàííîå ëèöî B. Äåëî â òîì, ÷òî âñåãäà åñòü íåêîòîðûå ñëó÷àéíûå ïîìåõè, êîòîðûå íåëüçÿ èñêëþ÷èòü. Õîðîøèé âîäèòåëü ìîæåò îêàçàòüñÿ íåóäà÷ëèâûì, è ïîïàñòü â áîëüøåå ÷èñëî àâàðèé, ÷åì îæèäàëîñü. À ïëîõîé âîäèòåëü ìîæåò îêàçàòüñÿ óäà÷ëèâûì è íå ïîäàòü íèêàêèõ èñêîâ. Âàæíî, ÷òî NCD ñèñòåìà ñòðàõîâùèêà êàæåòñÿ çàñòðàõîâàííûì ëèöàì ñïðàâåäëèâîé. 5.1 Ïîäñêàçêè äëÿ îòâåòîâ íà âîïðîñû 1) Âîïðîñû ïî ýòîé òåìå îáû÷íî ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íûå, òðåáóþò ðàñ÷¼òà ñóìì èëè ïðîïîðöèè íà êàæäîì óðîâíå ñêèäîê. 2) Èíîãäà âîïðîñû âêëþ÷àþò áîëåå ÷åì îäíó ãðóïïó çàñòðàõîâàííûõ ëèö ñ ðàçëè÷íûìè óðîâíÿìè ðèñêîâ (ò.å. ÷àñòîòîé ïîäà÷è èñêîâ) äëÿ êàæäîé ãðóïïû. Ìîãóò áûòü çàìå÷àíèÿ â êîììåíòàðèè ê âîïðîñó ñ óêàçàíèåì òîãî, ÷òî NCD ñèñòåìà íå äåëàåò ïîëíûõ ðàçëè÷èé ìåæäó çàñòðàõîâàííûìè ëèöàìè ñ ðàçëè÷íûìè óðîâíÿìè ðèñêîâ. 3) Âñåãäà ïðîâåðÿéòå, ÷òîáû â ìàòðèöå ïåðåõîäà ñóììà ÷ëåíîâ ðÿäà áûëà ðàâíà 1. 4) Íå ïóòàéòå ÷àñòîòó èñêîâ ñ âåðîÿòíîñòüþ ïîäà÷è èñêà. ×àñòîòà èñêîâ - ýòî îæèäàåìîå ÷èñëî èñêîâ íà ïîëèñ. Åñëè ìîæíî ïîäàâàòü ñîñòàâíûå èñêè, îíà áóäåò âûøå âåðîÿòíîñòè ïîäà÷è èñêà. Åñëè èñêè ïîä÷èíåíû ðàñïðåäåëåíèþ Ïóàññîíà, ÷àñòîòà èñêîâ ðàâíà λ, à âåðîÿòíîñòü ïîäà÷è èñêà - 1 − e−λ . Äëÿ ìàëûõ çíà÷åíèé λ îíè èìåþò îäèíàêîâûå ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ. 434 6 Îòâåòû íà âîïðîñû äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè Ðåøåíèå 16.1 Çàñòðàõîâàííîå ëèöî áóäåò èìåòü ñëåäóþùèå óðîâíè ñêèäîê 1982: 0% 1983: 30% (1 èñê ïîäàí. Âîçâðàùàåòñÿ íà íóëåâóþ ñêèäêó) 1984: 0% 1985: 30% 1986: 40% 1987: 50% (2 èñêà ïîäàíî. Âîçâðàùàåòñÿ íà íóëåâóþ ñêèäêó.) 1988: 0% 1989: 30% 1990: 40% 1991: 50% 1992: 60% (1 èñê ïîäàí. Âîçâðàùàåòñÿ íà ïåðâûé óðîâåíü.) 1993: 40% Ïîýòîìó ñòðàõîâîé âçíîñ ê óïëàòå â 1993 : 750(l -0.40) = 450 (£450pa) Ðåøåíèå 16.2 ×àñòîòà èñêà - ýòî ñðåäíåå ÷èñëî èñêîâ íà ïîëèñ. Çíà÷èò, âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî çàñòðàõîâàííîå ëèöî ïîäàñò N èñêîâ çà ëþáîé ãîä, ìîæíî n e−λ ïðè λ = 0.15 : âûâåñòè èç ôîðìóëû Ïóàññîíà: ∗ ∗ P (N = n) = λ n! P (N = 0) = e−0.15 = 0.8607 P (N = l) = 0.15e−0.15 = 0.1291 P (N = 2) = è 0.152 −0.15 e = 0.0097 2 P (N >= 3) = 1 − P (N = 0) − P (N = l) − P (N = 2) = 0.0005 Îòñóòñòâóþùåå ÷èñëî ìîæíî íàéòè, óìíîæàÿ ýòè âåðîÿòíîñòè íà 2,000: 0 èñêîâ : 2,000 X 0.8607 = 1,721 1 èñê : 2,000 X 0.1291 = 258 2 èñêà : 2,000 X 0.0097 = 19 3 èñêà : 2,000 X 0.0005 = 1 Ðåøåíèå 16.3 Ðàñøèðåíèå òàáëèöû äàåò: 435 ãîä ïîäàí èñê íå ïîäàíû èñêè ñðàçó 0 c 1 P 0.7P 2 0.7P 0.6P 3 0.6P 0.5P 4 0.5P 0.4P 5 0.4P 0.4P 6 0.4P 0.4P Íà÷èíàÿ ñ ãîäà 5, ñòðàõîâûå ïðåìèè îäèíàêîâû â ëþáîì ñëó÷àå. Ïîýòîìó, åñëè ãîðèçîíò ïðîãíîçèðîâàíèÿ âîäèòåëÿ áåñêîíå÷íûé, òî ñòîèò ïîäàâàòü èñê â òîì (è òîëüêî òîì) ñëó÷àå, åñëè: P + 0.7P + 0.6P + 0.5P < 0.7P + 0.6P + Q.5P + 0.4P + C ⇔ C > 0.6P Çíà÷èò, ñòîèò ïîäàâàòü èñê, åñëè ñòîèìîñòü óùåðáà ïðåâûøàåò 60% ïîëíîé ñòðàõîâêè. Ðåøåíèå 16.4 Ñêèäêà 0 %: £600 Ñêèäêà 30%: £900 Ñêèäêà 40%: £1100 Ñêèäêà 50%: £1200 Ñêèäêà 60%: £12100 Åñëè áûë £100 èçáûòîê, âñå ÷èñëà íóæíî óâåëè÷èòü íà £100. Ðåøåíèå 16.5 Ìàòðèöà âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà Íîâûé óðîâåíü ñêèäîê 0% 30% 40% 50% 0% 1 − p0 p0 0 0 30% 1 − p0 0 p0 0 Ïðåäûäóùèé 40% 1 − p0 0 0 p0 óðîâåíü ñêèäîê 50% 1 − p0 − p1 p1 0 0 60% 1 − p0 − p1 0 p1 0 60% 0 0 0 p0 p0 Ðåøåíèå 16.6 Ñðåäíåå îòðèöàòåëüíîãî áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ kq , äèñïåðñèÿ p kq p2 436 Òåïåðü ìîæíî íàéòè çíà÷åíèÿ p, q è k ïðèðàâíèâàÿ èõ äàííûì âåëè÷èíàì kq kq = 0.20 = 0.502 == 0.25P 2 p p Ðàçäåëèì, ÷òîáû íàéòè p : p= 0.20 = 0.80 0.25 Èòàê : q = 1 − p = 1 − 0.80 = 0.20 è k = 0.20X pq = 0.20X 0.8 = 0.80 0.2 Èñïîëüçóåì ôîðìóëó äëÿ îòðèöàòåëüíûõ áèíîìèàëüíûõ âåðîÿòíîk+n-1 k n ñòåé, ò.å. P (N = n) = ( )p q : n p0 = P (N = 0) = pk = 0.80 .8 = 0.8365 p1 = P (N = 1) = kpk q = 0.8XO.80 .8XO.2 = 0.1338 Èòàê, ìàòðèöà âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà Íîâûé óðîâåíü ñêèäîê 0% 30% 40% 50% 0 % 0.1635 0.8365 0 0 30% 0.1635 0 0.8365 0 Ïðåäûäóùèé 40% 0.1635 0 0 0.8365 óðîâåíü ñêèäîê 50% 0.0297 0.1338 0 0 60% 0.0297 0 0.1338 0 Ðåøåíèå 16.7 Ïðîäîëæàÿ ïðîãíîçèðîâàíèå íà äðóãîé ãîä, ïîëó÷èì: Ãîä 3 Íîâûé óðîâåíü ñêèäîê 0% 30% 40% 50% 60% 0% 2000 400 1600 0 0 0 30% 1600 320 0 1280 0 0 40% 6400 1280 0 0 5120 0 50% 0 0 0 0 0 0 60% 0 0 0 0 0 0 TOTALS 10000 2000 1600 1280 5120 0 437 60% 0 0 0 0.8365 0.8365 Ðåøåíèå 16.8 Åñëè ïîëíàÿ ñòðàõîâêà P, òî îáùàÿ ñóììà ñòðàõîâûõ âçíîñîâ îò 10,000 çàñòðàõîâàííûõ ëèö: (2, 000X1.00+1, 600X0.70+1, 280X0.60+1, 024X0.50+4, 096X0.40)P == 6, 038.4P Çíà÷èò, ñðåäíèé ñòðàõîâîé âçíîñ : 6038P = 0.60384P ò.å. 60.4% ïîëíîé 10000 ñòðàõîâêè. 438

Кларк, Харди. Теория риска

Похожие документы

Разделы

Поддержка

Кларк, Харди. Теория риска

Похожие документы

Добавить этот документ в коллекции

Добавить этот документ в сохраненные

Предложите, как улучшить StudyLib