Судя по уравнению (2.9), можно рассматривать изменение х со

Содержание
1. Цель работы…………………………………………………………...4
2. Теоретическая часть………………………………………………….4
3. Экспериментальная часть………………………………………….…9
3.1. Приборы и принадлежности………………………………………..9
4. Требования к технике безопасности………………………………..10
5. Порядок выполнения работы………………………………………..11
5.1. Изучение свободных незатухающих колебаний
пружинного маятника…………………………………………………..11
5.2. Изучение затухающих колебаний пружинного маятника………12
5.3. Изучение вынужденных колебаний пружинного маятника……..12
6. Требования к отчету………………………………………………….13
7. Контрольные вопросы………………………………………………..14
Список литературы…………………………………………………...14
3
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10
ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА
1. Цель работы
1.1. Изучение
свободных
незатухающих,
свободных
затухающих и вынужденных колебаний пружинного маятника.
1.2. Определение логарифмического декремента затухания и
коэффициента сопротивления воздуха.
1.3. Определение резонансной частоты.
2. Теоретическая часть
Колебательным движением (колебанием) называют движение,
точно или приблизительно повторяющееся через одинаковые
промежутки времени. Колебание называют периодическим, если
значение колеблющейся со временем величины (например,
координаты тела, его скорости, ускорения) в точности повторяется
через равные промежутки времени. Наименьший промежуток
времени, через который это происходит, называют периодом
колебания.
Свободными (собственными) называют такие колебания,
которые происходят в системе, предоставленной самой себе после
того как она была выведена из положения равновесия. Свободные
незатухающие колебания – колебания с неизменной амплитудой
(амплитудой
колебания
называют
наибольшее
отклонение
колеблющейся величины от равновесного значения). Свободными
затухающими колебаниями называют такие колебания, амплитуда
которых с течением времени уменьшается.
Колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со
времен по закону косинуса или синуса, называют гармоническими,
т.е. если величина х совершает гармоническое колебание, то она
изменяется со временем по закону
x  A cos( 0 t  ) ,
(2.1)
где A – амплитуда колебания;  – круговая или циклическая частота;
 0 t   – фаза колебания, определяющая значение х в данный
момент времени t;  0 – фаза колебания в начальный момент времени
t = 0, называемая начальной фазой.
4
Если х представляет собой координату тела, то скорость v и
ускорение a при гармоническом колебании изменяются со временем
по законам
dx
v
  A  0sin ( 0 t   ) ,
(2.2)
dt
d 2x
a  2   A  20 cos ( 0 t   ) .
(2.3)
dt
Из уравнений (2.3) и (2.1) имеем
d 2x
2


x  0.
0
dt 2
(2.4)
Это уравнение, решением которого является гармоническая
функция (2.1), называют дифференциальным уравнением свободных
незатухающих гармонический колебаний.
Примером гармонических колебаний служат колебания
пружинного маятника, представляющего собой груз, прикрепленный
к упругой пружине. Если l 0 – первоначальная длина пружины без
груза, то при подвешивании груза массы m пружина растянется на
величину Δ l , называемую статическим удлинением пружины
рис. 2.1.
l0+ Δl0
l0

F1
Δl0
0

F2
•

mg
Рис . 2.1
5
х
•

mg
Когда маятник находится в положении равновесия, сила тяжести,
действующая на груз, уравновешивается силой упругости пружины.
Если удлинение пружины невелико, то выполняется закон Гука,
согласно которому
F1 = k Δ l
и
(2.5)
m g  k l ,
где k – коэффициент упругости.
При смещении груза относительно положения равновесия в
положение, где его координата равна x , удлинение пружины будет
равно Δ l  x . Для этого положения по второму закону Ньютона
имеем
m a  mg  k ( l  x) .
d 2x
Откуда,
учитывая
(2.5)
и
то,
что а  2 ,
получаем
dt
дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний
d 2x
k


x,
(2.6)
m
dt2
совершаемых с частотой
k
0
.
m
Таким образом, колебания, совершаемые телом под действием
упругой силы или любой другой, не являющейся силой упругости,
но также пропорциональной смещению (F ~ x), будут
гармоническими. Такие силы называют квазиупругими.
В реальной механической колебательной системе первоначально
сообщенная ей энергия при последующих колебаниях уменьшается
вследствие работы против сил сопротивления среды. Со временем
максимальное значение отклонения от положения равновесия,
скорости и ускорения тела уменьшаются. Такое колебательное
движение не является строго периодическим. Поэтому при описании
затухающих колебаний понятия амплитуды, периода, частоты можно
использовать лишь условно.
Закон убывания амплитуды зависит от характера сил
сопротивления среды. При малых скоростях сила сопротивления
среды прямо пропорциональна скорости
6


Fсопр   r v ,
где r – коэффициент сопротивления среды.
Уравнение динамики тела при его движении под действием сил
упругости и сопротивления среды будет иметь вид
(2.7)
ma  k x r v .
Откуда
d 2x
dx
2

2

 0 x  0 ,
(2.8)
2
dt
dt
r
где  
называют коэффициентом затухания.
2m
Уравнение (2.8) называют дифференциальным уравнением
свободных затухающих колебаний. Решением уравнения (2.8)
является функция х (t) вида
(2.9)
x  A0 e  β t cos (  t   0 ) ,
где А 0 и  0 – начальные амплитуда и фаза колебаний, определяемые
начальными условиями.
Судя по уравнению (2.9), можно рассматривать изменение х со
временем как гармоническое колебание с изменяющейся со временем
амплитудой
(2.10)
A  A0 e  β t .
Циклическая частота затухающих колебаний оказывается
равной
  0   2 .
2
2
называют периодом затухающих колебаний.

Основными величинами, характеризующими затухающие
колебания в системе, служат: логарифмический декремент затухания,
время релаксации и добротность.
Логарифмическим декрементом затухания  называют
натуральный логарифм отношения двух последовательных амплитуд,
отстоящих на время, равное периоду:
A0 e  β t
βt
  ln

ln
e
 T .
β (t  T )
A0 e
Величину T 
7
Время , за которое амплитуда затухающих колебаний
уменьшается в е раз, называют временем релаксации. Можно
показать, что
1
 .

Величину
(2.11)
Q  Ne,
где Ne – число колебаний за время релаксации, называют
добротностью колебательной системы.
Добротность равна умноженному на 2 отношению запасенной
в системе энергии Е к энергии Е, теряемой за период
E
.
Q  2
E

.

Вынужденными колебаниями называют колебания, которые
происходят под действием внешней, периодически изменяющейся со
времен силы (F = f (t)). Если вынуждающая внешняя сила изменяется
по гармоническому закону F = F 0 cos  t, то уравнение динамики
тела в любой момент времени можно представить в виде
(2.12)
m a   k x  r v  F0 cos  t ,
или
F0
d2x
dx
2

2



x

cos  t .
(2.13)
0
2
d
t
m
dt
Это
уравнение
называют
дифференциальным
уравнением
вынужденных колебаний. Его решение имеет вид
(2.14)
x  Acos(t   ) ,
где значения А и  определяются уравнениями
F0
2 
,
(2.15)
tg   2
A
2
2
2
2
2
0 
m (  0   0 )  4 
При малых значениях 
Q
Таким образом, вынужденные колебания представляют собой
гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей
8
силы. Амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна
амплитуде вынуждающей силы и зависит от ее частоты.
При вынужденных колебаниях может возникнуть резонанс.
Резонансом называют явление резкого возрастания амплитуды
вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей
силы  к частоте собственных колебаний системы  0.
Резонансная частота для х оказывается равной
 рез 
0 2  2 ,
2
(2.16)
а амплитуда при резонансе
А рез 
F0 / m
2  0 
2
2
.
(2.17)
Согласно (2.16), резонансная частота в отсутствие сопротивления
среды (при  = 0) совпадает с собственной частотой колебательной
системы.
3. Экспериментальная часть
3.1. Приборы и принадлежности
Работа выполняется на установке, показанной на рис. 3.1.
Установка представляет собой стойку, состоящую из основания 1 и
несущей штанги 2, на которой крепятся: электромеханический
генератор 3, верхний кронштейн 4 и нижний кронштейн 5 со
шкалой 6. К верхнему кронштейну 4 подвешена колебательная
система (пружинный маятник), состоящая из пружины 7 и груза 8.
Пружинный маятник соединен тросиком 9 с электромеханическим
генератором 3, облегая эксцентрик 10 и поводок 11. Эксцентрик,
вращаясь, сообщает пружинному маятнику импульс силы в такт
регулируемой частоте вращения. На верхней панели прибора
расположены выключатель сетевого напряжения и регулятор частоты
вращения.
В комплект прибора входит набор дисков № 1, № 2, № 3.
9
4
7
2
6
5
8
9
11
3
10
1
Рис. 3.1
4. Требования к технике безопасности
1. Прежде чем приступить к работе, внимательно ознакомьтесь с
заданиями и лабораторной установкой.
2. По окончании работы обесточьте прибор, приведите в порядок
рабочее место.
10
5. Порядок выполнения работы
5.1. Изучение
свободных
незатухающих
колебаний
пружинного маятника
1. Отсоединить тросик 9 от груза 8, затем груз 8 от пружины 7.
2. Определить положение нижнего конца пружины l0 по
шкале 6.
3. Прикрепить к нижнему концу пружины груз 8 и определить
новое положение нижнего конца пружины l.
4. Вычислить величину статистического удлинения Δ l = l – l0.
5. Вычислить коэффициент жесткости пружины по формуле
P mg
К′ =
,

l l
где m – масса груза.
6. Вывести пружинный маятник из положения равновесия на
15–25 мм и измерить время 20 колебаний.
7. Измерения по п.6 повторить еще 2 раза и результаты
записать в табл. 5.1.
8. Определить среднее время 20 колебаний и рассчитать
средний период колебаний по формуле
t
T ,
n
где n – число колебаний.
9. Зная период колебаний и массу груза, вычислить
коэффициент жесткости по формуле
4 2 m
К″ 
.
T2
10. Рассчитать погрешности определения К ′ и К ″.
11. Сравнить значения коэффициентов жесткости пружины,
полученные обоими методами.
m,
кг
L0,
м
l,
м
Δl,
K′,
м кг/с2
ΔK′,
кг/с2
11
n
t,
с
tср,
с
T,
с
Таблица 5.1
K″,
Δ K″,
2
кг/с
кг/с2
5.2. Изучение затухающих колебаний пружинного маятника
1. Подвесить к пружине груз и диск № 1.
2. Вывести маятник из положения равновесия на 20 мм и
определить время 20 колебаний.
3. Повторить измерения еще 2 раза, результаты записать в
табл. 5.2.
4. Определить среднее время 20 колебаний и по среднему
времени рассчитать период.
5. Измерить начальную амплитуду А0. Через время t′ (30 – 60)
определить верхнее и нижнее отклонение нижнего конца пружины из
положения равновесия, используя шкалу 6. Амплитуду колебаний
рассчитать по формуле
l 2 l1
A
,
2
где l1 – верхний отсчет по шкале; l2 – нижний отсчет по шкале.
6. Вычислить коэффициент затухания β по формуле
1 A0
  / ln
.
A
t
7. Рассчитать логарифмический декремент затухания λ и
коэффициент сопротивления среды r по формулам
  Т ,
2m
r
,
T
где m – масса груза с диском.
8. Рассчитать погрешности определения β, λ, r.
9. Пункты 1–8 повторить, используя груз и диски № 2, № 3.
m,
кг
t,
с
Tср,
с
n
T,
с
А0,
м
А,
м
t′,
с
β,
с –1
λ
r,
кг·с-1
Δβ,
с–1
Таблица 5.2
Δλ
Δr
кг·с-1
5.3. Изучение вынужденных колебаний пружинного
маятника (выполняется по указанию преподавателя).
1. К пружине подвесить груз. Привести систему в движение,
определить время t0 20 колебаний.
12
2. Повторить измерения еще 2 раза, результаты записать в
табл. 5.3.
3. Определить среднее время и по нему рассчитать значение
собственной частоты колебаний по формуле
n
 .
t0
4. Подсоединить тросик 9 к грузу. Установить выключатель
сетевого напряжения в положение «О» – ОТКЛ, регулятор частоты
вращения – против часовой стрелки до упора.
5. Подключить устройство к питающей сети. Установить
выключатель сетевого напряжения в положение «I» – ВКЛ и
убедиться в загорании соответствующего индикатора.
6. Вращая ручку регулятора частоты вращения, установить
минимальную частоту вращения выходного вала электропривода.
7. Измерить
амплитуду
установившихся
вынужденных
колебаний маятника.
8. Определить время 20 колебаний. Рассчитать частоту ν
n
 .
t0
9. Меняя с помощью ручки регулятора частоты число оборотов
двигателя (10–15 раз), определить последовательно соответствующие
амплитуды и частоты вынужденных колебаний. Результаты
измерений записать в табл. 5.3.
10. Построить график зависимости амплитуды А от частоты ν.
11. По графику определить резонансную частоту.
12. Используя формулу (2.16), рассчитать коэффициент
затухания β.
N
A, м
n
ν, с
t
-1
ν 0, с
-1
Таблица 5.3
νрез, с
β, с - 1
6. Требования к отчету
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
1) номер и название лабораторной работы;
13
-1
2)
3)
4)
5)
основные формулы для выполнения расчетов;
таблицы с результатами измерений и вычислений;
формулы для расчета погрешностей измерений;
выводы.
7. Контрольные вопросы
1. Какие колебания называют свободными незатухающими,
свободными затухающими, вынужденными?
2. Как записываются дифференциальные уравнения этих
колебаний?
3. Что такое коэффициент жесткости?
4. Какие силы называют квазиупругими?
5. Что называют логарифмическим декрементом затухания,
временем релаксации, добротностью?
6. По какому закону изменяется амплитуда затухающих
колебаний?
7. Что такое резонанс? Какую роль он играет в природе и
технике?
8. Как рассчитать частоты свободных колебаний (незатухающих
и затухающих) через параметры колебательной системы?
9. Как определяются резонансные частоты для координат и
скорости груза через параметры колебательной системы?
Список литературы
1. Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1998. – С. 336.
2. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая
школа, 2000. – С. 718.
3. Трофимова Т. И. Курс физики.- М.: Высшая школа, 1994.–
С. 512.
14