Распределение Ферми-Дирака.
Положение уровня Ферми.
Лекция 10.
Лектор Чернышев А.П.
2019
Микроскопические состояния
• Различные состояния, отвечающие одной и той же
энергии, имеют различную вероятность. Разумеется, что
изолированная система будет переходть из менее
вероятного состояния в более вероятное. Более вероятное
состояние реализуется большим количеством
микросостояний.
• Классическое определение: микросостояние определено
как позиции и импульсы (моменты движения) каждого
составляющего систему атома.
μ – пространство
• Это пространство имеет шесть измерений: px, py,
pz, x, y, z.
Δp x ⋅ Δx ≈ h,
Δpy ⋅ Δy ≈ h,
Δpz ⋅ Δz ≈ h.
• Объем элементарной ячейки в этом пространстве
получается путем перемножения уравнений (1):
ΔΓµ = Δp x ⋅ Δpy ⋅ Δpz ⋅ Δx ⋅ Δy ⋅ Δz =
3
= ΔV p ⋅ ΔV = h = (2 π)
3
(2)
(1)
Невырожденные коллективы
• Предположим, что на N одинаковых частиц
приходится G различных состояний, в которых
может находиться отдельная микрочастица.
Микрочастицы будут встречаться редко, если
выполняется условие
N
!1
G
• Свойства коллектива как целого не будут зависеть
от специфики микрочастиц. Такие коллективы
называются невырожденными.
Вырожденные коллективы
• Если число состояний одного порядка с количеством
микрочастиц, т.е.
N
»1
G
то вопрос о том, как заселять состояния становится
актуальным. Такие коллективы называются вырожденными.
Сравнение статистических распределений
Пространство импульсов
Для свободных
частиц
Γ µ = Γ p ΓV = G pV = h
3
h
Gp =
V
Процесс деления фазового пространства на ячейки конечной
величины h3 или h3/V называется квантованием фазового
пространства.
3
Число состояний и плотность состояний
• Подсчитаем число состояний, которыми обладает
микрочастица в интервале энергий от E до E+dE.
• Для этого в пространстве импульсов проведем две сферы
радиусами p и p+dp. Объём получившегося шарового слоя
равен 4πp2dp. Число фазовых ячеек, заключённых в этом
слое равно
• Число состояний, приходящееся на интервал dp равно
Число состояний микрочастицы
• Для свободных не взаимодействующих частиц
• Находя отсюда p и dp и подставляя в предыдущее
уравнение, получаем
Плотность состояний
• Поделив обе части соотношения на dE получим плотность
состояний g(E):
g (E) =
2p V
h
3
( 2m )
• Плотность состояний
• увеличивается пропорционально √E.
32
E
Спиновые состояния
• В случае электронов каждой ячейке фазового
пространства отвечают два состояния, отличающиеся друг
от друга направлениями спинов. Поэтому для электронов
число состояний и плотность состояний следует удвоить:
Функция распределения для
невырожденного газа
Функция распределения для
вырожденного газа
μ – пространство
• Указание распределения частиц системы по
ячейкам μ – пространства и есть задание его
микросостояния. Это самое точное из возможных
описаний термодинамической системы.
Макроскопические состояния.
Статистический вес
• Макроскопическое состояние термолинамической
системы определяется макроскопическими параметрами:
давлением, температурой и т.п.
• Каждому макроскопическому состоянию соответствует
множество микросостояний. Количество таких
микросостояний Ω называется статистическим весом
данного макросостояния.
Энтропия
• μ – пространство Величина, которая служит для
характеристики вероятности макросостояний, называется
энтропией. Эта величина является функцией состояния
термодинамической состемы. По определению
S = kБ ln W, (3)
• здесь kБ – постоянная Больцмана (kБ =1.38×10−23 Дж/K).
Энтропия – величина аддитивная
• Действительно, общий статвес двух подсистем равен
Ω = Ω1 ⋅ Ω 2
• Поэтому энтропия такой системы имеет вид
S = k ln Ω = k ln (Ω1Ω 2 ) =
€
= k ln Ω1 + k ln Ω 2 = S1 + S 2 .
Распределение молекул по энергии
• При нормальных условиях в 1 м3 газа 2.7·1027 молекул.
• Разобьём ось абсцисс на равновеликие отрезки ε0 –ячейки
• Относительное число молекул, имеющих энергию в
интервале от i × e 0 до ( i + 1) × e 0 равно
n (l ) =
ΔN ( l , l + 1)
N
• здесь ΔN(l, l+1) – количество молекул с энергиями в
интересующем нас интервале, N – полное число молекул.
Гистограмма распределения молекул по
энергии
Фермионы
• Количество частиц – N; количество ячеек – Z.
Пусть Z > N.
• Число перестановок ячеек – Z! Из них не дают
новых состояний перестановки пустых ячеек
между собой – (Z – N)! и перестановки частиц
между собой – N! Поэтому статистический вес
равен
Z!
W=
N ! ( Z - N )!
Разбиение μ – пространства на области с
одинаковой энергией Ei (подсистемы или ящики)
• Пусть в каждый ящик попадает Zi ячеек и Ni
частиц. Тогда
Zi !
Ωi =
N i !( Z i − N i )!
Статвес системы равен произведению статвесов
подсистем:
€
Zi !
W = Õ Wi = Õ
(3)
i
i N i !( Z i - N i ) !
Наиболее вероятное распределение
частиц по ячейкам
• Чтобы найти такое распределение, нужно найти
максимум выражения (6) при дополнительных
условиях:
• ∑Ni =N;
∑εi·Ni = E.
• Вместо максимума статвеса Ώ будем искать
максимум энтропии S:
S = kБ å ( ln Z i !- ln N i !- ln ( Z i - N i )!)
i
(4)
Воспользуемся формулой Стирлинга
lnN! ≈ NlnN – N.
• Формула Стирлинга справедлива при N >> 1. С
помощью этой формулы для энтропии (4)
получим выражение
S = kB ∑{Z i ln Z i − Z i − N i ln N i + N i −
i
− ( Z i − N i ) ln ( Z i − N i ) + ( Z i − N i )} =
(5)
= −kB ∑ ⎡⎣ N i ln N i + ( Z i − N i ) ln ( Z i − N i ) ⎤⎦ + const.
В соответствии с методом Лагранжа образуем
функцию
L = S +αN − βE =
= −kB ∑ ⎡⎣ N i ln N i + ( Z i − N i ) ln ( Z i − N i ) ⎤⎦ + (6)
i
+const + α ∑ N i − β ∑ ε i N i ,
i
i
• α, β – множители Лагранжа.
Беря частные производные L по Ni, получим
Zi - Ni
¶L
= kБ ln
+ a - be i = 0
¶N i
Ni
Из этого уравнения следует, что
1 - Ni Zi
be i - a
= exp
, (10)
Ni Zi
kБ
Решим уравнение (10) относительно величины
ni=Ni/Zi
1
ni =
,
exp éë( be i - a ) kБ ùû + 1
(11)
Второе начало термодинамики
• Энтропия изолированной системы может только
возрастать либо по достижении максимального значения
оставаться постоянной (т.е. не убывать).
dS ³ 0. (5)
Энтропия (продолжение)
• Энтропия для системы из n – подсистем:
n
S = kБ å Si . (4)
i =1
Температура
• Пусть dNi = 0. Тогда энергия подсистемы равна Ei
= Ni×εi.
N
L = S - b å Ei
i =1
• Условие максимальности энтропии можно записать
следующим образом:
¶L
¶S
= 0,
= b.
¶ Ei
¶ Ei
Температура (продолжение)
• Поскольку энтропия системы аддитивна, то
S = S1 ( E1 ) + S2 ( E2 ) + ... + S N ( E N ) ,
• Энтропия каждой из подсистем зависит только от ее
собственной энергии
¶ S dSi
=
= b = const
¶ Ei dEi
Температура (определение)
• Абсолютная температура тела
1 dS
=
.
T dE
Химический потенциал – μ
• Примем, что
a=
• Тогда
ni =
µ
T
1
exp éë( e i - µ ) kБT ùû + 1
• Это распределение Ферми – Дирака.
Для бозонов – распределение Бозе Эйнштейна
ni =
1
exp éë( e i - µ ) kБT ùû - 1
Проводники электрического тока.
Металлы
Металлическая связь
Связь в решётке металла возникает за счёт
взаимодействия положительных ионов с
электронным газом.
Сравнение ковалентной и металлической
связей
Распределение электронов в металле при
абсолютном нуле
• Металл является для электронов потенциальной ямой.
Металл как потенциальная яма. Уровень Ферми
• Если электронный газ содержит N электронов, то
последний занятый уровень N/2. Этот уровень называется
уровнем Ферми. Он соответствует максимальной
кинетической энергии EF, которой может обладать
электрон в металле при абсолютном нуле. Эта энергия
называется энергией Ферми.
Распределение Ферми-Дирака для
свободных электронов
µ = eF;
n =
2
exp éë( e - e F ) ( kБT ) ùû + 1
n = 2, если T = 0, e < e F ;
n = 0, если T = 0, e > e F ;
n = 1, если T = 0, e = e F .
;
Сфера Ферми
Полная функция распределения ФермиДирака при абсолютном нуле
N ( E ) dE =
4πV
2m )
(
3
32
EdE
h
Интегрируя это выражение в пределах от 0 до
EF, получим
8πV 3 2
32
N=
Отсюда
3h3
EF
2
( 2m)
h ⎛ 3n ⎞
EF =
2m ⎜⎝ 8π ⎟⎠
.
23
,
Средняя энергия, максимальная скорость и
средняя квадратичная скорость электронов
EF
TF =
kБ
Металл
EF, эВ
E0, эВ
Литий
Натрий
Медь
Серебро
4.72
3.12
7.1
5.5
2.8
1.9
4.3
3.3
vF, 106
м/с
1.3
1.1
1.6
1.4
vкв, 106
м/с
1
0.85
1.25
1.1
TF, 104 K
5.5
3.7
8.2
6.4
Влияние температуры на распределение
Ферми-Дирака
• В интервале энергий от 0 до EF находятся N/2 уровней
энергии. Расстояние между уровнями оценим как
EF
2 EF
De =
=
N 2
N
• Термическому возбуждению подвергаются электроны
полосы kБT. Количество уровней в этой полосе равно
kБT kБTN
=
De
2 EF
• Количество электронов на этих уровнях равно
kБTN kБTN
2
=
2 EF
EF
• Примем, что за уровень Ферми переходит половина этих
электронов.
k БT
DN »
N
2 EF
kБT » 0.025 эВ
• При комнатной температуре
DN
< 1%
N
EF = 3 ÷ 10 эВ
Зависимость распределения Ферми-Дирака от e µ
e µ
Зависимость химического потенциала от
температуры
Кинетическое уравнение Больцмана
• Воспользуемся шестимерным μ-пространством. Только
вместо импульса p возьмём скорость v.
• Функция распределения определяется соотношением
f ( r, v ) drdv = число частиц в объёме drdv (1)
• Скорость изменения этой функции со временем df/dt
определяется перемещением частиц и их столкновениями:
¶f æ ¶f ö
æ ¶f ö
=ç ÷
+ç ÷
¶t è ¶t ø перем è ¶t ø столкн
(2)
Теорема Лиувилля
• Пусть функция распределения зависит от времени. Если
следовать в фазовом пространстве вдоль линии тока и не
учитывать столкновения, то
!
! !
!
! !
f t + dt , r + dr , v + dv = f t , r , v
•
(3)
• С учётом столкновений получаем
(
)
(
)
!
! !
!
! !
æ ¶f ö
f ( t + dt , r + dr , v + dv ) - f ( t , r , v ) = dt ç ÷
è ¶t øстолкн
• Здесь правая часть определяет влияние столкновений.
Таким образом,
¶f
!
!
æ ¶f ö
!
!
dt + dr × grad r f + dv × grad v f = dt ç ÷
¶t
è ¶t øстолкн
Уравнение Больцмана в общем виде
Обозначая ускорение dv/dt через α, имеем
!
¶f !
æ ¶f ö
!
!
+ v × grad r f + a × grad v f = ç ÷
¶t
è ¶t øстолкн
Ускорение можно выразить через внешнюю силу,
действующую на частицу.
где f0 – функция распределения в тепловом равновесии.
(4)
Уравнение переноса Больцмана в
приближении времени релаксации
• По определению ∂f0/∂t=0, поэтому
∂ ( f − f0 )
∂t
f − f0
=−
τ
• Решение этого уравнения имеет вид
( f − f0 )t = ( f − f0 )t =0 exp ( − t τ )
(5)
• Подставляя (5) в правую часть уравнения (4), получаем
f − f0
!
∂f !
+ v ⋅ gradr! f + α ⋅ gradv! f = −
∂t
τ
• В стационарном состоянии ∂f/∂t=0.
Столкновительный член
Таким образом, член, ответственный за столкновения в
приближении времени релаксации имеет вид:
f - f0
æ ¶f ö
=,
ç ÷
t
è ¶t øстолкн
где f0 – функция распределения в тепловом равновесии, τ –
время релаксации.
Для многих задач можно приближенно ввести время
релаксации τ r, v .
Равновесное состояние электронного газа в
проводнике в отсутствие электрического поля
Описывается равновесными функциями распределения:
вырожденный – функцией распределения Ферми-Дирака
Невырожденный – функцией распределения МаксвеллаБольцмана.
Электропроводность электронного газа
• Пусть в образце в направлении x приложено
электрическое поле напряженностью E и имеется
температурный градиент dθ/dx. Здесь θ = kБT.
Ограничимся стационарным случаем ∂f/∂t = 0. Тогда для
частицы с зарядом q и массой m имеем:
f − f0
qE ∂ f
∂f
+u
=−
m ∂u
∂x
τ
α=
(6)
qE
m
• Здесь ускорение равно
• Уравнение (6) можно переписать в виде
Здесь vx=u
∂f ⎞
⎛ qE ∂ f
f = f0 − τ ⎜
+u
⎝ m ∂u
∂x ⎟⎠
(7)
В первом приближении в правой части выражения (7) f
можно заменить на f0:
∂ f0 ⎞
⎛ qE ∂ f0
f = f0 − τ ⎜
+u
(8)
⎟
m
∂u
∂x
⎝
⎠
Функция f0 зависит от энергии частицы ε, химического
потенциала μ и температуры θ. Энергия частицы
зависит от её скорости u:
mu 2
ε=
2
∂ f0 ∂ f0 ∂µ ∂ f0 ∂θ
=
+
∂x
∂µ ∂x ∂θ ∂x
∂ f0 ∂ f0 ∂ε
∂ f0
=
= mu
∂u
∂ε ∂u
∂ε
Электропроводность
Обычно электропроводность определяется при условиях
∂θ
=0
∂x
∂n
=0
∂x
Здесь n – концентрация носителей
заряда.
Тогда ∂f0/∂x=0 и уравнение (8) сводится к соотношению
∂ f0
f = f0 − τqEu
∂ε
Плотность электрического тока
• Плотность электрического тока для частиц с зарядом q
определяется соотношением
2
2 ⎛ ∂ f0 ⎞
•
(9)
jq = ∫ quf dυ = −τq E ∫ u ⎜
dυ,
⎝ ∂ε ⎟⎠
•
.
• В случае распределения Максвелла
3
⎛ mυ2 ⎞
⎛ m ⎞ 2
f0 = n ⎜
exp ⎜ −
⎟,
⎟
⎝ 2πθ ⎠
⎝ 2θ ⎠
∂ f0
1
• и
следовательно, согласно (9)
= − f0
∂ε
θ
τq 2 E 2
jq =
u f0 dυ
∫
θ
Кинетическая энергия движения в x-направлении равна
Так что
1
1
2
m ∫ u f0 dυ = nθ,
2
2
nq 2τ
jq =
E.
m
(10)
Удельная электрическая проводимость равна
или
2
nq τ
σ=
.
m
σ = jq E
Дрейфовая скорость и подвижность
• С другой стороны, по определению
jq = qnvд
(11)
• Из формул (10) и (11) следует, что
qEt
vд =
m
• Отношение vд к E называют подвижностью носителей:
qt
b=
=
E
m
vд
(12 )
• Для электронов b < 0, для дырок b > 0.
[м2/(с*В)]
Время релаксации
• Выключим электрическое поле. Исходя из уравнения (5а),
получим уравнение перехода электронного газа в
равновесное состояние – процесс его релаксации:
dvд ( t )
vд ( t )
=dt
t
• Интегрируя это уравнение, находим
-t
vд ( t ) = v0 e t
• Из этого уравнения следует, что за время τ скорость
уменьшается в е ≈ 2.7 раза. Это время называется
временем релаксации. Для чистых металлов τ ≈ 10-14 с.
Длина свободного пробега
• Средний отрезок пути λ, который проходит электрон
между двумя последовательными рассеяниями,
называется длиной свободного пробега.
• За время релаксации электрон успевает претерпеть, в
среднем, ν рассеяний, поэтому вводят среднюю
транспортную длину свободного пробега L:
L = ln = ut
• Отсюда следует, что
ln
t=
u
(13)
Удельная электропроводность проводника
Постоянный электрический ток
• Если через некоторую воображаемую поверхность
переносится суммарный заряд, отличный от нуля,
говорят, что через эту поверхность течёт
электрический ток.
• Заряженные частицы – носители тока.
• При включении поля на хаотическое движение
носителей со скоростью v накладывается
упорядоченное движение со скоростью u.
• Скорость носителей:
! !
v +u
Среднее значение скорости носителей тока
!
!
!
!
!
u + u = u + u = u = vд
• Сила тока – равна величине заряда, переносимого
через рассматриваемую поверхность в единицу
времени.
dq
I=
dt
Сила тока измеряется в амперах
Андре-Мари Ампер
1A=1Кл/1с
1775 - 1836
Направление тока
-
dq
dq
I=
+
dt
dt
+
Плотность тока
dI
j=
dS ^
За направление вектора j принимается
направление вектора скорости u+ (или −u−)
! !
I = ò jdS
S
Постоянный ток
• Ток, не изменяющийся со временем, называется
постоянным:
q
I=
t
dq
>0
dt
dq
<0
dt
Уравнение непрерывности
! !
dq
òS jdS = - dt
! !
d
¶r
òS jdS = - dt Vò r dV = -Vò ¶ t dV
!
¶r
òV ÑjdV = -Vò ¶ t dV
• Для постоянного тока
€
!
Ñj = 0
∂ρ
∇j = −
∂t
Дивергенция плотности тока
• По определению
!
! ¶ jx ¶ j y ¶ jz
Ñj = div j =
+
+
¶x ¶y ¶z
• Уравнение непрерывности:
!
¶r
+ divj = 0
¶t
Закон Ома
• 1827 г.
U
I=
R
• R – сопротивление; [R]=вольт/ампер=ом
• 1 Ом = 1 В/1 А
Закон Ома в дифференциальной форме:
!
!
j =sE
1787 – 1854
Электрическая проводимость
• σ – удельная электрическая проводимость
• [σ]= 1/Ом∙м=См/м
• См – сименс
• Электрическая проводимость:
• Y=1/R=1/Ом=См
Вывод закона Ома в дифференциальной
форме
• Элемент проводника
Δφ
j
ΔS
ΔL
Продолжение
1 DL
R=
s DS
I = jΔS
1 DL
Dj = j DS ×
s DS
!
!
j =sE
Δϕ
E=
€ ΔL
(14)
Удельное электрическое сопротивление
r=
1
s
[ρ]=Ом∙м
Сопоставим формулу (14) с (11) и учтём (12). Получим
j = qnv д = qnbE = s E
Отсюда следует, что
s = qnb
(15)
Подставляя сюда b из (12) и τ из (13), получим
nq 2
nq 2 ln
s=
t=
m
m u
(16 )
Электропроводность невырожденного газа
• В случае невырожденного газа электронов в зоне
проводимости мало, поэтому встречаются друг с другом
они редко и принцип Паули не играет существенной роли:
q t
q l n
b=
=
m
m u
nq 2
nq 2 l n
s=
t =
m
m
u
Электропроводность вырожденного газа
• Для вырожденного газа все квантовые состояния,
расположенные левее vF заняты электронами.
qt F qlFn F
b=
=
m
uF
q2n
q 2 n lFn F
s=
tF =
m
m uF
• Поэтому за время релаксации надо брать время
релаксации электронов с энергией Ферми или рядом.
