Вариант 0. 1.На двух концентрических сферах радиусом R и 2R равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями σ1 = σ и σ2 = -σ, где σ= 0,1 мкКл/м2 . Требуется: 1) найти зависимость φ(r) потенциала электрического поля от расстояния от центра сфер для трех областей: внутри сфер, между сферами и вне сфер; 2) вычислить напряженность Е в точке, удаленной от центра на расстояние r = 3R и указать направление вектора Е 1) Дано: Две концентрические сферы с радиусами R и 2R. Заряды на сферах распределены равномерно с поверхностными плотностями: σ1 = σ = 0,1 мкКл/м² и σ2 = -σ. Требуется: 1. Найти зависимость потенциала электрического поля φ(r) от расстояния r от центра сфер для трех областей: Внутри сферы r < R. Между сферами R < r < 2R. Вне сферы r > 2R. 2. Вычислить напряженность электрического поля E в точке, удаленной от центра на расстояние r = 3R, и указать направление вектора E. 2) Решение: 2.1) Потенциал электрического поля: 1) Внутри сферы (r < R): В этой области электрическое поле создается только зарядом на внутренней сфере. Используя закон Гаусса для сферы, получаем: φ(r) = (1/4πε₀) * (σ * 4πR²) / r = σR² / (ε₀r) 2) Между сферами (R < r < 2R): В этой области электрическое поле создается зарядами обеих сфер. Используя закон Гаусса для сферы, получаем: φ(r) = (1/4πε₀) * [σ * 4πR² - σ * 4π(2R)²] / r = -σR² / (ε₀r) 3) Вне сферы (r > 2R): В этой области электрическое поле создается только зарядом на внешней сфере. Используя закон Гаусса для сферы, получаем: φ(r) = (1/4πε₀) * (σ * 4π(2R)²) / r = -4σR² / (ε₀r) 2.2) Напряженность электрического поля (E): 1) Внутри сферы (r < R): E(r) = - dφ(r)/dr = σR² / (ε₀r²) 2) Между сферами (R < r < 2R): E(r) = - dφ(r)/dr = -2σR² / (ε₀r²) 3) Вне сферы (r > 2R): E(r) = - dφ(r)/dr = -8σR² / (ε₀r²) 2.3) Расчет E в точке r = 3R: E(3R) = -8σR² / (ε₀(3R)²) = -8 * 0.1 мкКл/м² * (R²) / (ε₀ * 9R²) = -1.11·10⁻¹¹ В/м Направление вектора E: Внутри и вне сфер вектор E направлен радиально от центра, так как заряды на сферах имеют одинаковые (внутри) или противоположные (вне) знаки. Между сферами вектор E направлен радиально к центру, так как заряд на внутренней сфере имеет больший модуль, чем заряд на внешней сфере. 3) Ответ: 1) Зависимость потенциала φ(r): Внутри сферы (r < R): φ(r) = σR² / (ε₀r) Между сферами (R < r < 2R): φ(r) = -σR² / (ε₀r) Вне сферы (r > 2R): φ(r) = -4σR² / (ε₀r) 2) Напряженность E в точке r = 3R: E(3R) = -1.11·10⁻¹¹ В/м. Направление вектора E: Внутри и вне сфер: радиально от центра. Между сферами: радиально к центру. 6. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено тремя слоями диэлектрика: стекла толщиной d1 = 0,2 см, парафина толщиной d2 = 0,3 см и воздуха d3 = 0,2 см. Разность потенциалов между обкладками U = 250 В. Определить падение потенциала в каждом из слоев. 1) Дано: Пространство между пластинами заполнено тремя слоями диэлектрика: - Стекло: толщина d1 = 0,2 см, диэлектрическая проницаемость ε1 = 7. - Парафин: толщина d2 = 0,3 см, диэлектрическая проницаемость ε2 = 2. - Воздух: толщина d3 = 0,2 см, диэлектрическая проницаемость ε3 = 1 (приближенно). Разность потенциалов между обкладками U = 250 В. 2) Требуется: Определить падение потенциала (Δφ) в каждом из слоев диэлектрика. 3) Решение: Общая толщина диэлектрика (d): d = d1 + d2 + d3 = 0,2 см + 0,3 см + 0,2 см = 0,7 см Электрическое поле (E) в конденсаторе: E = U / d = 250 В / 0,007 м = 35714,29 В/м Падение потенциала (Δφ) в каждом слое: Для каждого слоя диэлектрика падение потенциала можно найти по формуле: Δφ = E * d * (1 - 1/ε) Для стекла: Δφ1 = 35714,29 В/м * 0,002 м * (1 - 1/7) ≈ 807,69 В Для парафина: Δφ2 = 35714,29 В/м * 0,003 м * (1 - 1/2) ≈ 1071,43 В Для воздуха: Δφ3 = 35714,29 В/м * 0,002 м * (1 - 1/1) ≈ 714,29 В 4) Ответ: Падение потенциала в слое стекла: Δφ1 ≈ 807,69 В. Падение потенциала в слое парафина: Δφ2 ≈ 1071,43 В. Падение потенциала в слое воздуха: Δφ3 ≈ 714,29 В. 11. В сеть с напряжением U = 100 В подключили катушку с сопротивлением R1 = 2 кОм и вольтметр, соединенные последовательно. Показание вольтметра U = 80 В. Когда катушку заменили другой, вольтметр показал U2 = 60 В. Определить сопротивление R2 другой катушки. 1) Дано: Напряжение в сети: U = 100 В Сопротивление первой катушки: R1 = 2 кОм Показания вольтметра с первой катушкой: U1 = 80 В Показания вольтметра со второй катушкой: U2 = 60 В Требуется найти сопротивление второй катушки: R2 2) Анализ схемы: В данной задаче катушки и вольтметр соединены последовательно, то есть ток в цепи один и тот же. 3) Расчет тока (I): Согласно закону Ома для всей цепи: I = U / (R1 + R2) где: I - ток в цепи (А) U - напряжение в сети (В) R1 - сопротивление первой катушки (Ом) R2 - сопротивление второй катушки (Ом) 4) Выражение для R2: Из первого уравнения можно выразить R2: R2 = U - U1 / I 5) Расчет R2 с первой катушкой: Подставив известные значения U, U1 и R1, получим: R2 = 100 В - 80 В / (I) = 20 В / I 6) Расчет I с первой катушкой: I = U1 / R1 = 80 В / 2000 Ом = 0,04 А 7) Подстановка I в выражение для R2: R2 = 20 В / 0,04 А = 500 Ом 8) Расчет R2 со второй катушкой: Повторив шаги 5-6 с U2, получим: R2 = 100 В - 60 В / 0,04 А = 1000 Ом 9) Ответ: Сопротивление второй катушки: R2 = 1000 Ом 20. Какую силу тока показывает миллиамперметр мА в схеме на рис.5, если ε1 = 2 В, ε2 = 1 В, R1 = 103 Oм, R2 = 500 Ом, R3 = 200 Ом и сопротивление амперметра равно RА = 200 Ом? Внутренним сопротивлением источников пренебречь. 1) Дано: ЭДС первого источника тока: ε1 = 2 В ЭДС второго источника тока: ε2 = 1 В Сопротивление резистора R1: R1 = 103 Ом Сопротивление резистора R2: R2 = 500 Ом Сопротивление резистора R3: R3 = 200 Ом Сопротивление амперметра: RА = 200 Ом Внутренним сопротивлением источников тока пренебрегаем. 2) Требуется: Определить силу тока (I), которую показывает миллиамперметр (mA). 3) Анализ схемы: Представленная схема представляет собой последовательное соединение двух источников ЭДС (ε1 и ε2) и трех резисторов (R1, R2, R3). 4) Расчет тока: 4.1) Определение общего сопротивления (Rобщ): Рассчитаем эквивалентное сопротивление (R12) последовательного соединения резисторов R1 и R2: R12 = R1 + R2 = 103 Ом + 500 Ом = 603 Ом Далее, рассчитаем эквивалентное сопротивление (R123) последовательного соединения резисторов R12 и R3: R123 = R12 + R3 = 603 Ом + 200 Ом = 803 Ом Общее сопротивление схемы (Rобщ) равно сумме сопротивления амперметра (RА) и эквивалентного сопротивления (R123): Rобщ = RА + R123 = 200 Ом + 803 Ом = 1003 Ом 4.2) Определение тока (I): Используем закон Ома для всей цепи: I = (ε1 + ε2) / Rобщ Подставив числовые значения, получим: I = (2 В + 1 В) / 1003 Ом ≈ 0,003 А = 3 мА 5) Ответ: Миллиамперметр (mA) показывает силу тока 3 мА. 22. Два бесконечно длинных прямых проводника скрещены под прямым углом. По проводникам текут токи силой I1=100 А и I2=50А. Pасстояние между проводниками d=20 см. Определить индукцию магнитного поля в точке, лежащей на середине общего перпендикуляра к проводникам. Решение задачи 22: Расчет индукции магнитного поля в точке между скрещенными проводниками 1) Дано: Два бесконечно длинных прямых проводника скрещены под прямым углом. Сила тока в первом проводнике: I1 = 100 А Сила тока во втором проводнике: I2 = 50 А Расстояние между проводниками: d = 20 см = 0.2 м Требуется найти индукцию магнитного поля (B) в точке, лежащей на середине общего перпендикуляра к проводникам. 2) Формула для индукции магнитного поля: Индукцию магнитного поля (B) в точке, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током (I), можно рассчитать по формуле: B = μ₀ * I / (2π * r) где: μ₀ - магнитная проницаемость вакуума (≈ 4π × 10⁻⁷ Т·м/А) I - сила тока в проводнике (А) r - расстояние от точки до проводника (м) 3) Расчет индукции магнитного поля: 3.1) Вклад первого проводника: Расстояние от точки до первого проводника: r1 = d/2 = 0.1 м Индукция магнитного поля, создаваемого первым проводником: B1 = μ₀ * I1 / (2π * r1) ≈ 2.5 × 10⁻⁵ Т 3.2) Вклад второго проводника: Расстояние от точки до второго проводника: r2 = d/2 = 0.1 м Индукция магнитного поля, создаваемого вторым проводником: B2 = μ₀ * I2 / (2π * r2) ≈ 1.25 × 10⁻⁵ Т 3.3) Результирующая индукция магнитного поля: В данной точке векторы индукции магнитного поля, создаваемые двумя проводниками, перпендикулярны друг другу. Результирующую индукцию магнитного поля (B) можно найти по теореме Пифагора: B = √(B1² + B2²) ≈ 2.8 × 10⁻⁵ Т 4) Ответ: Индукция магнитного поля в точке, лежащей на середине общего перпендикуляра к проводникам, составляет B ≈ 2.8 × 10⁻⁵ Т. 27. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В=10 мТл по винтовой линии, радиус которой R=1,5 см и шаг x= 10 см. Определить период Т обращения электрона и его скорость. 1) Дано: Индукция магнитного поля: B = 10 мТл = 0.01 Т Радиус винтовой линии: R = 1.5 см = 0.015 м Шаг винтовой линии: x = 10 см = 0.1 м Требуется найти: o Период обращения электрона (T) o Скорость электрона (v) 2) Теоретическая справка: Движение заряженной частицы (например, электрона) в однородном магнитном поле представляет собой циклоиду. Период обращения (T) электрона по циклоиде можно рассчитать по формуле: T = 2πm / (eB) где: m - масса электрона (9.11 × 10⁻³¹ кг) e - заряд электрона (-1.6 × 10⁻¹⁹ Кл) B - индукция магнитного поля (Т) Скорость (v) электрона по циклоиде можно рассчитать по формуле: v = ωr где: ω - угловая скорость вращения электрона (рад/с) ω = 2πf = eB / m f - частота вращения электрона (Гц) 3) Решение: 3.1) Период обращения (T): Подставив известные значения в формулу для T, получим: T = 2π * 9.11 × 10⁻³¹ кг / (-1.6 × 10⁻¹⁹ Кл * 0.01 Т) ≈ 1.85 × 10⁻⁶ с 3.2) Скорость (v): Сначала найдем угловую скорость (ω): ω = eB / m = (-1.6 × 10⁻¹⁹ Кл) * 0.01 Т / (9.11 × 10⁻³¹ кг) ≈ 1.76 × 10⁸ рад/с Затем найдем скорость (v): v = ωr = 1.76 × 10⁸ рад/с * 0.015 м ≈ 2.64 × 10⁵ м/с 4) Ответ: Период обращения электрона (T) ≈ 1.85 × 10⁻⁶ с Скорость электрона (v) ≈ 2.64 × 10⁵ м/с 31. Сила тока, протекающего по катушке с индуктивностью L = 0,05 Гн, изменяется по закону I=8sin500t , А. Найти максимальное значение ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке. 1) Дано: Индуктивность катушки: L = 0,05 Гн Сила тока в катушке изменяется по закону: I(t) = 8sin(500t) А Требуется найти максимальное значение ЭДС самоиндукции (εс) в катушке. 2) Формула для ЭДС самоиндукции: ЭДС самоиндукции (εс) в катушке с индуктивностью L и скоростью изменения тока dI/dt можно рассчитать по формуле: εс = -L * dI/dt 3) Решение: 3.1) Максимум ЭДС самоиндукции: Максимальное значение ЭДС самоиндукции возникает при максимальной скорости изменения тока. 3.2) Расчет максимальной скорости изменения тока: Производная от тока по времени: dI/dt = 400cos(500t) А/с Максимальная скорость изменения тока достигается при cos(500t) = 1: |dI/dt|max = 400 А/с 3.3) Расчет максимальной ЭДС самоиндукции: εсmax = -L * |dI/dt|max εсmax = -0,05 Гн * 400 А/с ≈ -20 В 4) Ответ: Максимальное значение ЭДС самоиндукции в катушке составляет εсmax ≈ -20 В. 40. Индуктивность катушки в электромагнитном контуре L = 1мГн, максимальное значение силы тока в ней Imax = 1 А. Определить ѐмкость конденсатора и максимальное значение напряжения на нѐм, если циклическая частота колебаний контура 104 c -1 Записать закон изменения напряжения в конденсаторе 1) Дано: Индуктивность катушки: L = 1 мГн = 10⁻³ Гн Максимальное значение силы тока: Imax = 1 А Циклическая частота колебаний: ω = 10⁴ с⁻¹ 2) Требуется: Определить емкость конденсатора (C) и максимальное значение напряжения на нем (Umax) Записать закон изменения напряжения (U) на конденсаторе 3) Решение: 3.1) Расчет емкости (C): В колебательном контуре циклическая частота (ω) связана с емкостью (C) и индуктивностью (L) по формуле: ω = √(1 / (LC)) Из этой формулы можно выразить емкость: C = 1 / (Lω²) Подставив известные значения L и ω, получим: C = 1 / (10⁻³ Гн * (10⁴ с⁻¹)² ≈ 9.88 × 10⁻¹⁰ Ф 3.2) Расчет максимального напряжения (Umax): Максимальное значение напряжения (Umax) на конденсаторе в колебательном контуре связано с максимальным значением силы тока (Imax) и емкостью (C) по формуле: Umax = Imax / √(C) Подставив известные значения Imax и C, получим: Umax = 1 А / √(9.88 × 10⁻¹⁰ Ф) ≈ 100 В 3.3) Закон изменения напряжения (U): В колебательном контуре напряжение (U) на конденсаторе изменяется по закону синуса: U(t) = Umax * sin(ωt + φ) где: φ - начальная фаза колебаний (неизвестна из условия задачи) 4) Ответ: Емкость конденсатора: C ≈ 9.88 × 10⁻¹⁰ Ф Максимальное значение напряжения на конденсаторе: Umax ≈ 100 В Закон изменения напряжения на конденсаторе: U(t) = 100 * sin(10⁴t + φ)
