Задача Спортсмены трёх групп выполняют квалификационные нормы. В первой группе 10 спортсменов, во второй – 15, в третьей – 25. Вероятности выполнения квалификационных норм спортсменом каждой группы равны соответственно 0,9, 0,8 и 0,6. Найти вероятность того, что не выполнивший норму спортсмен не входит во вторую группу. Всего спортсменов 10+15+25=50 По формуле полной вероятности получим 10 25 ∙ 0.1 + ∙ 0.4 11 50 50 𝑃= = ~0.79 10 15 25 ∙ 0.1 + ∙ 0.2 + ∙ 0.4 14 50 50 50 Задача В партии из 9 изделий 3 имеют скрытые дефекты. Наугад выбраны 4 изделий. Пусть X-число бракованных изделий среди выбранных. Записать закон распределения для случайной величины Х и вычислить ее математическое ожидание. Пусть X - дискретная случайная величина, равная количеству бракованных изделий среди выбранных 4 Она может принимать целые значения от 0 до 3 Вероятности этих значений можно найти по формуле гипергеометрической вероятности: 𝑃(𝑋 = 0) = 𝑃(𝑋 = 1) = 𝐶30 ∙ 𝐶64 15 5 = = 4 126 42 𝐶9 𝐶31 ∙ 𝐶63 3 ∙ 20 20 = = 126 42 𝐶94 𝐶32 ∙ 𝐶62 3 ∙ 15 15 𝑃(𝑋 = 2) = = = 126 42 𝐶94 𝑃(𝑋 = 3) = 𝐶33 ∙ 𝐶61 2 = 4 42 𝐶9 𝑋 0 1 2 3 𝑃 5 42 20 42 15 42 2 42 𝑀𝑋 = 0 ∙ 5 20 15 2 4 +1∙ +2∙ +3∙ = 42 42 42 42 3 Задача Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Ее математическое ожидание равно m, среднее квадратичное отклонение равно 𝜎. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (𝑎, 𝑏) 𝑎−𝑀 𝑋−𝑀 𝑏−𝑀 𝑏−𝑀 𝑎−𝑀 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = 𝑃 ( < < ) = Ф( ) − Ф( )= 𝜎 𝜎 𝜎 𝜎 𝜎 = Ф( 35 − 32 30 − 32 2 2 ) −Ф( ) = Ф(1) − Ф (− ) = Ф(1) + Ф ( ) = 0.343 + 0.247 = 0.59 3 3 3 3 Задача В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за промежуток времени 7.5 секунд испускало в среднем 3.87 α -частиц. Найти вероятность того, что за 1 секунды это вещество испустит хотя бы одну α -частицу. 3.87 Интенсивность потока частиц равна 𝜆 = = 0.516 частиц в секунду. Используем 7.5 формулу Пуассона для вероятности появления k событий за время t при интенсивности 𝜆: 𝑃𝑡 = (𝜆𝑡)𝑘 ∙𝑒 −𝜆𝑡 𝑘! = (0.516∙𝑡)𝑘 ∙𝑒 −0.516∙𝑡 𝑘! Вероятность того, что за 1 секунду это вещество испустит хотя бы одну 𝛼 частицу: 𝑘 ≥ 1, 𝑃𝑡 (𝑘 ≥ 1) = 1 − 𝑃2 (𝑘 < 1) = 1 − 𝑃1 (0) = 1 − 0.5160 ∙𝑒 −0.516 = 1 − 𝑒 −0.516 = 0.403 0!
