Транспортная задача по критерию времени
(метод приоритетных связей)
Вступление
Главной особенностью метода приоритетных связей при
решении транспортной задачи по критерию времени является
“многослойность” решения, количество слоев при этом зависит от
исходных данных задачи. Формируется решение по каждому из слоев.
Окончательным же решением является их сумма.
Постановка задачи
Задача по критерию времени возникает при перевозке срочных
грузов. Как и в обычной транспортной задаче, имеется т поставщиков
с запасами однородного груза в количестве a1, a2, …, am. Данный груз
необходимо доставить n потребителям в объемах b1, b2, …, bn.
Известны tij, i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n – время, за которое груз
доставляется от каждого i – го поставщика каждому j – му
потребителю. Требуется составить такой план перевозок груза, при
котором запасы всех поставщиков вывозятся полностью, запросы всех
потребителей удовлетворяются полностью и наибольшее время
доставки всех грузов является минимальным (табл.1)
Таблица 1
bj
b1
b2
…
bn
a1
t11
t12
…
t1n
a2
t21
t22
…
t2n
…
…
…
…
…
am
tm1
tm2
…
tmn
ai
Математическая модель задачи выглядит:
T(X) = max{tij}
при xij > 0
min,
где:
xij – объем перевозимого груза от i - гo поставщика j - мy
потребителю,
T(X) – время, за которое план перевозок будет выполнен
полностью.
Алгоритм решения:
Транспортная задача по критерию времени методом
приоритетных связей решается так же, как и классическая. Из
полученного оптимального решения извлекаются его временнЫе
составляющие, формируется целевая функция T(X) и оптимальный
план решения задачи по критерию времени.
Рассмотрим пример
критерию времени (Рис.1).
решения
транспортной
10
6
5
3
20
5
8
7
4
30
2
4
5
12
50
15
5
9
4
50
20
30
40
60
задачи
Рис.1
Решим эту задачу как транспортную классическую.
Получим следующий оптимальный результат (Рис.2):
20
10
6
5
3
5
8
7
4
30
30
2
20
4
15
20
20
20
10
5
12
50
5
20
9
4
30
50
30
40
60
Рис.2
по
Целевая функция
Z(X) = 5*20 + 4*30 + 2*20 + 4*10 + 5*20 + 5*20 + 4*30 =
580 ед.
Назовем неизвестные единицы (как и тонно-километры)
товаро-часами, обозначающими, сколько товаров и за какое время
перевезено.
Извлечем из полученного решения интересующие нас сведения
в качестве оптимального решения транспортной задачи по критерию
времени.
T(X) = max(5, 4, 2, 4, 5, 5, 4) = 5,
т.е. все товары будут доставлены потребителям не позднее, чем за 5
временных единиц по следующему плану (Рис.3)
X* =
0
0
20
0
0
0
0
30
20
10
20
0
0
20
0
30
Рис.3
Решение является оптимальным по следующим соображениям:
Допустим, что имеется решение, в котором максимальная
составляющая T(X) меньше, чем 5. Но тогда надо признать, что
решение классической транспортной задачи является неоптимальным.
А это невозможно, так как оно оптимально.
Значит и T(X) = 5 тоже оптимально, как и план решения.
Для
данной
задачи
имеется
БЕСПЛАТНОЕ
миатематическое обеспечение (исполняемый модуль программы и
др.),
которое
можно
востребовать
по
адресу
nabocharov@rambler.ru Бочаров Николай Алексеевич.
Глоссарий
Элементарная матрица – матрица размерностью 2х2 (Рис.4);
Элементарная связь – воображаемая линия между
диагонально расположенными элементами элементарной матрицы
(рисунки 5 и 6);
Приоритетная связь – элементарная связь элементарной
матрицы, отражающая решение, направленное на достижение
поставленной
в задаче цели (рис.7) с приоритетной связью,
отражающей решение задачи на минимум и матрица (рис.8) с
приоритетной связью, отражающей решение задачи на максимум.
Схема решения – совокупность соединенных между собой
элементарных связей, отражающая одно из решений;
Приоритетная схема решения - совокупность соединенных
между собой приоритетных связей;
Оптимальная схема – одна (или несколько) из приоритетных
схем, отражающая оптимальное решение;
x
x
x
x
x
x
1
3
1
3
x
x
x
x
x
x
4
2
4
2
Рис.4
Рис.5
Рис.6
Рис.7
Рис.8
План – одно из допустимых решений, удовлетворяющее
системе ограничений и условиям неотрицательности;
Переменные задачи – величины
x1, x2, …,
полностью характеризуют экономический процесс;
xn, которые
Система ограничений – система уравнений и неравенств,
которым удовлетворяют переменные задачи и которые следуют из
ограниченности ресурсов или других экономических или физических
условий (положительности переменных и др.);
Целевая функция – функция переменных задачи, которая
характеризует качество выполнения задачи и экстремум которой
требуется найти;
Вычеркивание – исключение из исходной матрицы строки и
столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.
Конец статьи
