Задание №1
Методом изоклин построить интегральные кривые уравнения
𝑑𝑦
= 2𝑥(1 − 𝑦)
𝑑𝑥
Решение:
Пусть 𝑦́ = 𝐶 тогда
С = 2𝑥(1 − 𝑦)
С
= 1−𝑦
2𝑥
С
𝑦 = 1−
2𝑥
Построим семейство гипербол:
Рис.1 Семейства гипербол при различных С
Строим поле направлений для семейства гипербол
При С=-3 𝑡𝑔𝛼 = −3, 𝛼 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔3
При С=-2 𝑡𝑔𝛼 = −2, 𝛼 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2
При С=-1 𝑡𝑔𝛼 = −1, 𝛼 = −
𝜋
4
При С=0 𝑡𝑔𝛼 = 0, 𝛼 = 0
При С=1 𝑡𝑔𝛼 = 1, 𝛼 =
𝜋
4
При С=2 𝑡𝑔𝛼 = 2, 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2
При С=3 𝑡𝑔𝛼 = 3, 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔3
Рис.2 Направления параметра С
Рис.3 Интегральные кривые уравнения
Ответ: рис.3
Задание №2
Решить уравнение, допускающее понижение порядка
𝑥 2 𝑦 ′′ = 𝑦 ′2
Решение:
Сделаем замену 𝑦 ′ = 𝑡 тогда уравнение примет вид:
𝑥 2 𝑡′ = 𝑡2
Полученное уравнение - это уравнение с разделяющимися переменными
𝑑𝑡
= 𝑡2
𝑑𝑥
𝑑𝑡 𝑑𝑥
=
𝑡2 𝑥 2
1
1
− =− +𝐶
𝑡
𝑥
𝑥2
где С=const, отсюда
𝑡=
𝑥
1 − 𝑥𝐶
Делаем обратную замену:
𝑥
1 − 𝑥𝐶
𝑥
1 1 − 𝑥𝐶 − 1
1
1
𝑦=∫
𝑑𝑥 = − ∫
𝑑𝑥 = − ∫ 1 −
𝑑𝑥 =
1 − 𝑥𝐶
𝐶
1 − 𝑥𝐶
𝐶
1 − 𝑥𝐶
𝑦′ =
𝑥
1
= − − 2 𝑙𝑛|1 − 𝑥𝐶 | + 𝐾
𝐶 𝐶
где К=const
𝑥
1
𝐶
𝐶
Ответ: 𝑦 = − − 2 𝑙𝑛|1 − 𝑥𝐶 | + 𝐾,
C,K=const.
Задание №3
Решить систему уравнений
𝑑𝑥 𝑡
=
𝑑𝑡 𝑦
𝑑𝑦
𝑡
=
−
{𝑑𝑡
𝑥
Решение:
Запишем систему через штрих:
𝑡
𝑦
{
𝑡
𝑦′ = −
𝑥
𝑥′ =
Выразим y из первого уравнения
𝑦=
𝑡
𝑥′
{
𝑡
𝑦′ = −
𝑥
Продифференцируем первое уравнение системы
𝑥 ′ − 𝑡𝑥 ′′
𝑦 =
(𝑥 ′ )2
𝑡
′
𝑦
=
−
{
𝑥
Получим следующее уравнение
′
𝑥 ′ − 𝑡𝑥 ′′
𝑡
=
−
(𝑥 ′ )2
𝑥
Или
1
𝑥 ′′
𝑡
−
𝑡
+
=0
(𝑥 ′ )2 𝑥
𝑥′
Сделаем замену: 𝑥 ′ = 𝑣𝑥, 𝑥 ′′ = 𝑣 ′ 𝑥 + 𝑣𝑥 ′ = 𝑣 ′ 𝑥 + 𝑣 2 𝑥 = 𝑥(𝑣 ′ + 𝑣 2 ) тогда
1
𝑥(𝑣 ′ + 𝑣 2 ) 𝑡
−𝑡
+ =0
(𝑣𝑥 )2
𝑣𝑥
𝑥
Умножим на (vx)2
𝑣𝑥 − 𝑡𝑥(𝑣 ′ + 𝑣 2 ) + 𝑡𝑣 2 𝑥 = 0
Тогда
𝑣 − 𝑡(𝑣 ′ + 𝑣 2) + 𝑡𝑣 2 = 0
Или
𝑣 − 𝑡𝑣 ′ − 𝑡𝑣 2 + 𝑡𝑣 2 = 0
𝑣 − 𝑡𝑣 ′ = 0
Или
𝑑𝑣 𝑑𝑡
− =0
𝑣
𝑡
Или 𝑙𝑛𝑣 − 𝑙𝑛𝑡 = 𝑙𝑛𝐶 тогда
𝑣
=𝐶
𝑡
𝑣 = 𝐶𝑡
C=const. Делаем обратную замену: 𝑥 ′ = С𝑡𝑥
𝑑𝑥
= С𝑡𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑥
= С𝑡𝑑𝑡
𝑥
𝐶𝑡2
𝑙𝑛𝑥 =
+𝐾
2
K=const
𝐶𝑡2
𝑥 = 𝑒 2 +𝐾
C,K=const
𝑦′ = −
𝑡
′
𝑦 = − 𝐶𝑡2
𝑒 2 +𝐾
𝑡
𝑥
𝐶𝑡2
−(
= −𝑡𝑒 2 +𝐾)
2
𝑦 = ∫ −𝑡𝑒
−(
𝐶𝑡
𝐶𝑡2
𝐶𝑡2
−(
+𝐾)
+𝐾)
2
2
𝑑𝑡 = ∫ −𝑒
𝑑(
+ 𝐾) =
2
D,C,K=const
Ответ: 𝑥 = 𝑒
𝐶𝑡2
+𝐾
2
, 𝑦=𝑒
𝐶𝑡2
+𝐾)
2
−(
+𝐷
1
𝐶𝑡2
(
+𝐾)
𝑒 2
+𝐷
Задание №4
Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,7. Сколько
нужно провести испытаний, чтобы наивероятнейшее число появлений
события равнялось 10?
Решение:
По условию 𝑝 = 0,7, 𝑞 = 1 − 𝑝 = 0,3, 𝑘 = 10
𝑛𝑝 − 𝑞 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛𝑝 + 𝑝
0,7𝑛 − 0,3 ≤ 10 ≤ 0,7𝑛 + 0,7
−0,3 ≤ 10 − 0,7𝑛 ≤ 0,7
−10,3 ≤ −0,7𝑛 ≤ −9,3
9,3 ≤ 0,7𝑛 ≤ 10,3
9,3: 0,7 ≤ 𝑛 ≤ 10,3: 0,7
13,3 ≤ 𝑛 ≤ 14,7
Тогда n=14
Ответ: 14