ЭЛЕКТРОСТАТИКА. ЧАСТЬ 1 1. Электрический заряд Из всех известных фундаментальных типов взаимодействия наиболее изученными являются электромагнитные. Наглядный пример этих взаимодействий — притяжение и отталкивание наэлектризованных тел. О телах, учавствующих в таких взаимодействиях, говорят, что они электрически заряжены. Электрический заряд q — это количественная мера способности тел к электромагнитным взаимодействиям. Единицей электрического заряда в СИ является кулон: 1 Кл есть электрический заряд, переносимый через поперечное сечение проводника за 1 с при силе тока 1 А. 1) существуют два рода электрических зарядов, которые условно называют положительными и отрицательными; 2) при взаимодействии одноименные заряды отталкиваются, разноименные притягиваются; 3) существует «элементарный» заряд, по величине равный модулю заряда электрона. Электрон — это элементарная частица, заряд которой e = −1, 6 · 10−19 Кл. Протон имеет положительный заряд |e| = 1, 6 · 10−19 Кл. 4) любой наблюдаемый в эксперименте электрический заряд всегда кратен элементарному заряду. Это значит, что любой заряд, больший элементарного, состоит из целого числа элементарных зарядов q = ±N e, где N = 1, 2, 3... 5) инвариантность электрического заряда. Атомы, состоящие из положительно заряженных ядер и отрицательно заряженных электронов, в целом электрически нейтральны. Если вещество нагреть или любым другим способом передать ему дополнительную энергию, то электроны перейдут в возбужденное состояние с большей энергией, а значит, и скоростью. Если бы величина заряда зависила от скорости его движения, то электронейтральность атома нарушилась бы. Эксперименты же свидетельствуют в пользу того, что величина электрического заряда не зависит от того, движется он или покоится. 2. Закон сохранения электрического заряда В любой электроизолированной системе алгебраическая сумма электрических зарядов остается постоянной: n X qi = const. (1) i=1 Под электроизолированной системой понимают в данном случае систему, границы которой не пересекают заряженные частицы. 3. Точечный и распределенный заряды Точечным зарядом называется заряд, сосредоточенный на теле, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи. Если заряженное тело настолько велико, что его нельзя рассматривать как точечный заряд, то в этом случае необходимо знать распределение зарядов внутри тела. ∆q , когда объем ∆V стремится к нулю, называют объемной плотностью электриПредел отношения ∆V ческого заряда в данной точке: ∆q dq = , ∆V →0 ∆V dV ρ = lim (2) где dV - физически бесконечно малый элемент объема. Единицей объемной плотности заряда ρ в СИ Кл является кулон, деленный на кубический метр ( 3 ). м Аналогично определяются поверхностная и линейная плотности заряда: σ = lim ∆q ∆S→0 ∆S где [σ] = = dq ∆q dq , τ = lim = . ∆l→0 dS ∆l dl (3) Кл Кл . , [τ ] = 2 м м 4. Закон Кулона Сила взаимодействия между наэлектризованными телами сложным образом зависит от формы наэлектризованных тел и характера распределения заряда на них. Поэтому не существует единой простой формулы, описывающей электростатическое взаимодействие для произвольного случая. Только для точечных зарядов закон взаимодействия записывается в достаточно простом виде. 1 Согласно закону Кулона сила взаимодействия между двумя неподвижными точечными электрическими зарядами в вакууме прямо пропорциональна произведению величин зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль прямой, соединяющей эти заряды. Модуль кулоновской силы: F =k |q1 ||q2 | , r2 (4) Н · м2 . Стоит отметить, что в отличие от гравитационного электростатическое взаимоКл2 действие может приводить и к притяжению и к отталкиванию тел. Часто вместо коэффициента пропор1 Кл2 циональности k в СИ используют электрическую постоянную ε0 = . ≈ 8, 854 · 10−12 4πk Н · м2 где k ≈ 8, 897 · 109 Если взаимодействие зарядов происходит не в вакууме, а в веществе, представляющем собой однородный изотропный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε, то тогда закон Кулона можно записать так: F = |q1 ||q2 | , 4πεε0 r2 (5) Сила взаимодействия точечных неподвижных зарядов в среде с диэлектрической проницаемостью ε уменьшается в ε раз. → − − Пусть F 12 вектор силы, действующей на заряд 1 со стороны заряда 2, а → r 12 радиус-вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2. Тогда закон Кулона в векторной форме: Для сил электростатического взаимодействия точечных зарядов справедлив принцип суперпозиции. Кулоновская сила, действующая на точечный заряд со стороны других точечных зарядов системы, равна векторной сумме кулоновских сил, которые действовали бы на этот заряд со стороны каждого из зарядов системы в отсутствии всех остальных зарядов: n → − − → − → − → X→ − F = F1 + F2 + ... + Fn = Fi . (6) i=1 5. Электростатическое поле Взаимодействие частиц друг с другом можно описывать с помощью понятия силового поля. Вместо того, чтобы говорить о том, что одна частица действует на другую, можно сказать, что частица создает 2 вокруг себя поле. На всякую другую частицу, находящуюся в этом поле, действует некоторая сила. Источником электростатического поля являются неподвижные относительно рассматриваемой инерциальной системы отсчета заряды. Посредством электростатического поля осуществляется их взаимодействие. Электростатическое поле непрерывно в пространстве. Взаимодействия между зарядами передаются не м мгновенно, а с конечной скоростью, равной скорости света c ≈ 3 · 108 . c Действие электростатического поля на заряд зависит от расположения заряда в этом поле. Если есть несколько зарядов, расположенных в различных точках пространства, то в соответствии с принципом суперпозиции в любой точке этого пространства будет проявляться совместное действие всех зарядов, т.е. электростатического поля, создаваемого всеми этими зарядами. 6. Напряженность электростатического поля Внесем в электростатическое поле точечного заряда q пробный заряд q0 (заряд q0 — точечный заряд достаточно малой величины, чтобы можно было пренебречь влиянием пробного заряда на исследуемое поле) и измерим силу, которая действует на пробный заряд в данной точке поля. Сила, действующая на заряд q0 , помещенный в некоторую точку исследуемого поля, пропорциональна величине этого заряда: F ∼ q0 . Отношение же этой силы к заряду q0 не зависит от вносимого заряда и характеризует электростатическое поле, создаваемое зарядом q в точке поля, где находится пробный → − F −−−→ = const. Или заряд. Это отношение для данной точки поля есть величина постоянная: q0 → − → − F = q0 E . (7) → − Напряженностью E в данной точке электростатического поля называют векторную физическую величину, равную отношению силы, действующей в данной точке на точечный пробный заряд, к этому заряду. Зная напряженность в некоторой точке поля, всегда можно определить силу, действующую на любой заН В ряд q, помещенный в данную точку поля. В СИ единицей напряженности поля является или . Кл м Графически изображать электростатическое поле удобно с помощью линий напряженности. При этом → − а) касательная к линии напряженности в каждой точке совпадает с вектором напряженности E ; б) линии напряженности электростатического поля — незамкнутые линии: они начинаются на поверхности положительно заряженных тел (или в бесконечности) и оканчиваются на поверхности отрицательно заряженных тел (или в бесконечности); → − в) линии напряженности не пересекаются, так как в каждой точке поля вектор E имеет лишь одно направление; г) в любой точке поля плотность линий напряженности пропорциональна величине напряженности поля в этой точке. Плотностью линий напряженности называют число силовых линий, проходяших сквозь единичную площадку, перпендикулярную им. Рис. 1: Линии напряженности поля двух точечных зарядов, бесконечной равномерно заряженной плоскости и системы двух разноименно заряженных пластин 3 7. Электростатическое поле точечного заряда Пусть поле создано точечным зарядом q. Определим напряженность поля в точке M , находящейся на расстоянии r от заряда. Поместим в эту точку пробный положительный заряд q0 . Тогда, согласно закону |q||q0 | Кулона, на заряд q0 со стороны заряда q действует сила, модуль которой F = . Согласно опреде4πε0 r2 F |q| . Направление вектора напряженности лению, модуль напряженности поля в точке : E = = |q0 | 4πε0 r2 в точке M поля совпадает с направлением вектора кулоновской силы, действующей на положительный пробный заряд q0 , помещенный в эту точку. В векторной форме напряженность электрического поля, создаваемого в точке M с радиус-вектором → − − r1 точечным зарядом q, находящимся в точке с радиус-вектором → r2 запишется как: → − E = 1 q − − (→ r1 − → r2 ), → − − 4πε0 | r1 − → r2 |3 (8) − − − где → r =→ r1 − → r2 вектор, проведенный из точки нахождения заряда q в точку M . 8. Принцип суперпозиции полей Если электростатическое поле создано одновременно несколькими зарядами, то результирующая сила, n → P → − − действующая на пробный заряд q0 в точке M этого поля: F = Fi . Следовательно, напряженность i=1 в любой точке электрического поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых в этой точке каждым из зарядов в отдельности: n X− → → − Ei . E = (9) i=1 Рис. 2: Напряженность электрического поля, создаваемого двумя разноименными зарядами в точке М Если электростатическое поле создано совокупностью протяженных заряженных тел, то их мысленно разбивают на точечные заряды, и напряженности поля в любой точке пространства находят как геометрическую сумму напряженностей полей этих точечных зарядов. 9. Однородное электростатическое поле Однородным электростатическим полем называется поле, в каждой точке которого вектор напряжен→ − → − −−−→ ности E имеет одинаковое направление и модуль, т.е. E = const. Однородное электростатическое поле изображается параллельными линиями напряженности с одинаковой плотностью. Однородным можно считать электростатическое поле между двумя разноименно заряженными пластинами (поле конденсатора), если расстояние d между пластинами намного меньше линейных размеров пластин (d << l). На краях пластин линии напряженности искривляются, и поле не является однородным. 10. Поток вектора напряженности электростатического поля → − Пусть плоская поверхность площадью S находится в однородном электростатическом поле E . Вектор → − n — нормаль к поверхности. Угол между направлением линий напряженности и нормалью равен α. → − Потоком Ф вектора напряженности E через поверхность площадью S называют скалярную физическую величину, определяемую выражением Ф = ES cos α = En S, → − − где En — проекция вектора E на направление нормали → n. 4 (10) Рис. 3: Плоская площадка в однородном электростатическом поле Так как густота линий напряженности характеризует модуль напряженности E, то можно сказать, что поток вектора напряженности через данную поверхность равен полному числу линий напряженности, проходящих через эту поверхность. Если поле неоднородно, а поверхность не является плоской, то в этом случае для определения потока вектора напряженности поверхность разбивается на элементарные небольшие участки, которые можно считать плоскими, а поле в пределах каждого из них однородным. Затем находят элементарные потоки вектора напряженности dФi , через малые площадки dSi . Полный поток через поверхность равен алгебраической сумме элементарных потоков через все ее участки: Ф= n X dФi . (11) i=1 11. Теорема Гаусса Пусть поле создается точечным электрическим зарядом q. Проведем замкнутую сферическую поверхность площадью S, окружающую этот заряд, центр которой совпадает с точкой нахождения заряда. Вычислим поток вектора напряженности через эту поверхность. За положительное направление норма− ли выберем направление внешней нормали → n . В этом случае во всех точках сферической поверхности E = const и cos α = 1. q . Площадь поверхности сферы Модуль напряженности поля на расстоянии R от заряда E = 4πε0 R2 2 S = 4πR . Следовательно, поток вектора напряженности через сферическую поверхность ФS = q . ε0 (12) Полученный результат будет справедлив и для поверхности произвольной формы S 0 , а также при любом расположении заряда внутри этой поверхности. Действительно, если окружить сферу произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность. Рис. 4: Теорема Гаусса Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд, то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит в поверхность, то выходит из нее. Нечетное число пересечений при вычислении потока в конечном счете сводится к одному пересечению, так как поток считается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линии, входящей в поверхность. Если же в объеме, охватываемом поверхностью S, заряды отсутствуют, то поток напряженности через эту поверхность равен нулю (ФS = 0). 5 Если рассматриваемая поверхность охватывает не один, а несколько электрических зарядов, то под q следует понимать алгебраическую сумму этих зарядов и n P qi ФS = i=1 . (13) ε0 Эта формула выражает теорему Гаусса: поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную. ЗАДАЧИ Разделим условно задачи на две группы. К первой отнесем задачи на расчет силовых и энергетических характеристик электростатического поля, ко второй — задачи на равновесие либо движение заряженных тел (частиц) в электростатическом поле. При решении задач первой группы необходимо: 1) сделать рисунок, изобразив линии напряженности электростатического поля и заряженные тела, помещенные в это поле; 2) при нахождении напряженности поля в некоторой точке следует помнить, что это векторная величина и направлена она по касательной к линии напряженности. Если поле создано точечным зарядом, то она → − направлена вдоль прямой, соединяющей заряд и точку, в которой определяют E , от заряда, если q > 0, и к заряду, если q < 0; 3) если поле создано системой точечных зарядов, то напряженность поля рассчитывают согласно принципу суперпозиции, не забывая, что это векторная сумма. При этом следует использовать соображения симметрии, а также тот факт, что одинаковые (геометрически подобные) системы зарядов создают одинаковые (подобные) электрические поля; 4) если при взаимодействии заряженных тел происходит перераспределение зарядов, то надо записать закон сохранения заряда. Решение задач второй группы основано на применении законов механики с учетом закона Кулона: 1) сделать рисунок, изобразив все силы, действующие на заряженное тело, и записать для него условие равновесия или основное уравнение динамики; 2) выразить силы электростатического взаимодействия через заряды или характеристики поля и подставить эти выражения в исходное уравнение. Если известна напряженность поля, то силу можно определить → − → − → − → − → − → − по формуле F = q E , учитывая, что F ↑↑ E , если q > 0 и F ↑↓ E , если q < 0; 3) при рассмотрении движения заряженных частиц в электростатическом поле следует выяснить характер движения и использовать кинематические и динамические уравнения движения или закон сохранения энергии; 4) записать вспомогательные формулы, а полученную систему уравнений решить относительно неизвестной величины. Замечание №1: При рассмотрении устойчивости положения зарядов следует записать условия равновесия элемента системы (заряда) в положении его устойчивого равновесия и в положении, бесконечно мало отличающемся от этого положения равновесия – в обоих указанных случаях сумма действующих на рассматриваемый элемент системы сил и моментов сил должна быть равна нулю. Замечание №2: Если требуется вычислить напряженность поля в области незаряженного объема простраства, образованного пересечением заряженных объемов (например при пересечении двух сфер, полость в пластине и др.), для каждого из которых значение напряженности известно, то удобно применить принцип суперпозиции зарядов, представив незаряженный объем пространства как наложение двух одинаковых соответствующих объемов, в которых распределены заряды противоположных знаков. Замечание №3: Иногда удобно использовать связь нормальной к заряженому участку плоскости компоненты электрической силы и потока через этот участок вектора напряженности внешнего электрического поля. С помощью этого соотношения удобно вычислять силы взаимодействия симметричных систем, состоящих из плоских равномерно заряженных тел (например заряд, помещенный в тетраэдр). Замечание №4: Применение теоремы Гаусса удобно для расчета напряженностей полей, создаваемых симметричными системами зарядов (например, при наличии симметрии относительно центра, плоскости или оси). В каждом из таких случаев нужно выбирать замкнутую гауссову поверхность целесообразной формы. Например, в случае центральной симметрии гауссову поверхность удобно выбирать в виде сферы с центром в точке симметрии. При осевой симметрии замкнутую поверхность нужно выбирать в виде соосного цилиндра, замкнутого с обоих торцов. Если распределение зарядов не обладает какой-либо симметрией и общую структуру электрического поля угадать невозможно, применение теоремы Гаусса не может упростить задачу определения напряженности поля. 6 Задача №1. C какой силой будут притягиваться два одинаковых свинцовых шарика радиусом r = 1 см, расположенные на расстоянии R = 1 м друг от друга, если у каждого атома первого шарика отнять по одному электрону и все эти электроны перенести на второй шарик? Задача №2. Два точечных заряда 1 · 10−8 Кл и −1 · 10−8 Кл находятся на расстоянии r = 5 см друг от друга. Определите напряженность поля в точке, расположенной на расстоянии r1 = 3 см от положительного заряда и r2 = 4 см от отрицательного. Задача №3. Две маленькие бусинки массами m каждая заряжены одинаковыми зарядами Q. Бусинки надеты на гладкие изолирующие спицы, которые расположены в вертикальной плоскости симметрично по отношению к вертикали, и угол между которыми равен 90°. Каково расстояние между бусинками в положении равновесия? 7 Задача №4. Два одинаковых маленьких проводящих шарика подвешены на очень длинных непроводящих нитях к одному крючку. Шарики заряжены одинаковыми зарядами и находятся на расстоянии a = 5 см друг от друга. Один из шариков разрядили. Каким стало расстояние между шариками? a 8 Задача №5. Три одинаковых одноименных заряда q расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд Q нужно поместить в центре этого треугольника, чтобы результирующая сила, действующая на каждый заряд, была равна нулю? Будет ли равновесие устойчивым? 9 Задача №6. Внутри гладкой диэлектрической сферы находится маленький заряженный шарик. Какой величины заряд нужно поместить в нижней точке сферы, чтобы шарик устойчиво удерживался в её верхней точке? Диаметр сферы d, заряд шарика q, его масса m. Заряд Q, который нужно поместить в нижней точке сферы, должен быть таким, чтобы электрическая сила, действующая на верхний заряд, была не меньше силы тяжести. Рассмотрим отклонение шарика от положения равновесия на малый угол α. Равновесие шарика устойчиво, если проекция кулоновской силы на касательную к сфере больше или равна проекции силы тяжести на ту же касательную (сила реакции → − опоры N перпендикулярна этой касательной). Задача №7. Два маленьких тела с одинаковыми зарядами, равными q = 10−5 Кл, расположены на внутренней поверхности гладкой непроводящей сферы радиусом R = 1 м. Первое тело закреплено в нижней точке сферы, а второе может свободно скользить по ее поверхности. Найти массу второго тела, если известно, что в состоянии равновесия оно находится на высоте h = 10 см от нижней точки сферы. 10 Задача №8. Чему равен модуль напряженности электрического поля в центре равномерно заряженного тонкого кольца радиусом R? Чему он равен на оси кольца на расстоянии h от его центра? Заряд кольца Q. Решим задачу для произвольного h, а затем найдем решение в частном случае, когда h = 0. Будем использовать принцип суперпозиции. Разобьем кольцо на одинаковые маленькие участки длиной ∆l с зарядом ∆q. Если рассмотреть два диаметрально противоположных участка, то сумма напряженностей полей, создаваемых этими участками на расстоянии h от центра кольца, будет направлена вдоль оси кольца, т.к. по модулю напряженности поля всех участков одинаковы, компоненты напряженностей, параллельные оси кольца коллинеарны, а компоненты напряженностей, перпендикулярные оси кольца антиколлинеарны. Таким образом, находя напряженность результирующего поля всего кольца, как сумму напряженностей поля маленьких участков, можно сразу искать сумму компонент, параллельных оси кольца. Задача №9. В точке A напряженность поля, создаваемого точечным зарядом, находящимся в точке O, равна E1 = 36 В/м, а в точке B напряженность равна E2 = 9 В/м. Найти напряженность поля в точке C, лежащей посередине между точками A и B. 11 Задача №10. В вершинах квадрата со стороной a расположены четыре одинаковых заряда q. Определить максимальную напряженность поля на оси, проходящей через середину квадрата перпендикулярно его плоскости. На каком расстоянии от квадрата напряженность максимальна. Каждый из зарядов будет делать вклад в суммарную напряженность поля в заданной точке. Вектора напряженностей от пары зарядов, находящихся в противоположных углах, частично компенсируют друг друга: горизонтальные их составляющие (проекции на плоскость квадрата) в сумме дадут ноль. Поэтому складываться будут вертикальные составляющие проекции напряженностей на вертикальную ось. Проекция напряженности поля на вертикальную ось от одного заряда равна: 12 Задача №11. Найти напряженность электрического поля плоскости, равномерно заряженной c поверхностной плотностью заряда σ. Т.к. заряд на плоскости распределен симметрично, относительно любой другой плоскости, перпенди→ − кулярной данной, то очевидно, что вектор E направлен всюду перпендикулярно заряженной плоскости. → − Выберем замкнутую поверхность в форме узкого цилиндра, ось которого совпадает с направлением E . Поток вектора напряженности электрического поля через боковую поверхность цилиндра равен нулю, → − − т.к. нормаль → n к боковой поверхности направлена под прямым углом к вектору E . Поток вектора напряженности электрического поля через одно основание цилиндра равен Ф1 = En dS, где dS площадь − основания, а En проекция вектора напряженности на нормаль к основанию → n (в данном случае косинус → − → − угла между нормалью n и вектором E равен единице). Из симметрии распределения заряда по заряженной плоскости следует, что потоки вектора напряженности через оба основания цилиндра равны между собой. Тогда полный поток равен Ф = 2En dS. Согласно теореме Гаусса поток Ф через поверхность цилиндра связан с зарядом dQ = σdS внутри σdS σ цилиндра как Ф = . Приравнивая два последних выражения для потока получим, что En = . ε0 2ε0 Задача №12. Две пересекающиеся под углом α бесконечные заряженные плоскости делят пространство на четыре области. Найдите модуль и направление вектора напряженности электрического поля во всех областях, если поверхностные плотности зарядов плоскостей равны +σ и −σ. Согласно принципу суперпозиции электрических полей, в каждой точке пространства напряженность поля будет складываться из напряженностей каждой из плоскостей. Напряженность поля бесконечной σ равномерно заряженной плоскости равна по модулю En = и направлена перпендикулярно плоскости. 2ε0 В верхней и нижней частях пространства вектор, представляющий собой сумму векторов напряженностей от обеих плоскостей направлен горизонтально, а в правой и левой вертикально. Тогда из геометрических соображений получим ответ: 13 Список литературы [1] Мякишев Г.Я., Синяков А.З., Слободсков Б.А. Физика: Электродинамика. 10-11 кл.: Учебник для углубленного изучения физики. – М.: Дрофа, 2001. [2] Корнеева Т.П. Сборник задач по физике. – М: СУНЦ МГУ, 2002-2006. [3] Гольдфарб Н.И. Физика. Задачник. 9-11 кл.: Пособие для общеобразоват. учеб. заведений. -М.: Дрофа, 2000 и предшествующие издания [4] Дельцов В.П., Дельцов В.В. Физика: дойти до самой сути! Настольная книга для углубленного изучения физики в средней школе. Электричество: Учебное пособие / Науч. ред. Алексеева Н.С. — М.: ЛЕНАНД, 2017. — 304 с. [5] Аксенович Л.А., Ракина Н.Н., Фарино К.С. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты – Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — 720 с.: ил. [6] Турчина Н.В., Рудакова Л.И., Суров О.И. Физика 3800 задач для школьников и поступающих в ВУЗы. – М.: "Дрофа 2000. - 672 с. [7] Задачи Московских городских олимпиад по физике. 1986 – 2005. Приложение: олимпиады 2006 и 2007: Под ред. М. В. Семёнова, А. А. Якуты — 2-е изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2007. — 696 с.: ил. 14
