Многогранники», «Тела вращения» 2 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 3 1. Многогранники.................................................................................................... 5 2. Тела вращение ................................................................................................... 16 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ..................................................................................................... 20 СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ .................................................. 22 3 ВВЕДЕНИЕ Многогранники и тела вращения - это одни из ключевых тем в геометрии, которые имеют большое практическое значение и актуальность. С их помощью можно решать разнообразные задачи, связанные как с естественными и техническими науками, так и с повседневной жизнью. Изучение этих тем помогает развивать логическое мышление, абстрактное мышление и пространственное воображение. Одной из основных областей, где применяются многогранники и тела вращения, является архитектура. Архитекторы используют геометрические фигуры для создания проектов зданий и сооружений. Изучение многогранников позволяет им правильно распределить пространство и выбрать оптимальные формы для строительства. Также знание тел вращения помогает проектировать элементы декора и мебели, а также оптимизировать архитектурные решения. Еще одной сферой применения многогранников и тел вращения является инженерное дело. Инженеры часто сталкиваются с задачами оптимизации объемов материалов, расчета прочности конструкций и определения геометрических параметров механизмов. С помощью геометрии они могут моделировать различные объекты и предсказывать их поведение в различных условиях. Таким образом, изучение многогранников и тел вращения является важным инструментом для инженеров при проектировании и расчете различных систем и механизмов. Кроме того, понимание геометрических фигур помогает в решении задач на планировании и организации рабочих и жилых пространств. Дизайнеры интерьеров и ландшафтные архитекторы используют геометрические принципы для создания удобных и эстетичных объектов. Они могут видеть потенциал в различных формах и сочетаниях и применять их для создания уникальных и креативных проектов. Изучение многогранников и тел вращения также оказывает влияние на развитие науки и технологий. Например, в компьютерной графике 4 используются алгоритмы, основанные на геометрии, для создания трехмерной графики и анимации. Разработка новых математических моделей и методов расчета основана на геометрических принципах. Таким образом, изучение многогранников и тел вращения способствует прогрессу в различных областях науки и техники. Итак, изучение многогранников и тел вращения имеет огромное практическое значение и широкий спектр применения. Эти темы помогают развивать креативное мышление, способствуют решению разнообразных задач и находят применение в различных областях жизни. Поэтому актуальность изучения многогранников и тел вращения в геометрии трудно переоценить. Степень изученности. В разработке данной темы были использованы работы таких авторов как: Александров А.Д., Колмогоров А.Н., Курош А.Г., Ландо С.К., Улам С., Фомин С.В. и др. Целью данной работы является изучение многогранников и тел вращения, исходя из поставленной цели, были определены следующие задачи: - Рассмотреть понятие многогранники и их виды; - Исследовать тела вращения в геометрии. Структура данной работы состоит из: введения, 2 глав, заключения и списка используемой литературы. 5 1. Многогранники Многоугольник представляет собой часть плоскости, ограниченной пересекающимися прямыми (см. рис. 1). Отрезки этих прямых называются сторонами многоугольника. Точки пересечения – вершинами. Аналогично образуются многогранники. Рис. 1. Многоугольник Если несколько плоскостей, пересекаясь, отделили область пространства, то она и называется многогранником (см. рис. 2, 3). Части плоскостей называются гранями. Отрезки, по которым они пересекаются, называются ребрами. А точки, куда сходятся ребра, называются вершинами. Рис. 2. Плоскости, пересекаясь, отделили область пространства – многогранник (треугольную пирамиду) Рис. 3. Треугольная пирамида 6 Тетраэдр. Треугольник – это многоугольник с минимально возможным количеством сторон – с тремя. А каково минимальное количество граней у многогранника? Т. е. сколькими плоскостями можно отделить часть пространства от остального пространства? Как бы мы ни пересекали три плоскости, создать замкнутую область не получится. А вот четыре плоскости вполне достаточно. Мы получаем многогранник с четырьмя гранями, т. е. четырехгранник. Но обычно его называют тетраэдр, что по-гречески и означает четырехгранник (см. рис. 4). Рис. 4. Тетраэдр Как бы ни был расположен тетраэдр, мы не можем увидеть сразу все грани и ребра (см. рис. 5). Рис. 5. Возможные расположения тетраэдра Договорились те ребра, которые мы видим, обозначать сплошной линией, а невидимые для нас – пунктиром. Сколько ребер не видно, зависит от 7 ориентации многогранника. Мы можем расположить тетраэдр таким образом, что невидимыми будут даже три ребра. Рис. 6. Куб Неккера Куб, изображенный на рисунке (см. рис. 6), может занимать одно из двух положений (с видимой верхней и видимой нижней гранью) (см. рис. 7). И если не обозначить пунктиром невидимые линии, то нельзя однозначно сказать, какое. Рис. 7. Два положения куба – с видимой верхней и видимой нижней гранью Изображенный куб называется кубом Неккера и относится к оптическим иллюзиям. Если нарисовать его таким образом (см. рис. 8), то он окажется невозможным объектом, который не может существовать в реальности. 8 Рис. 8. Куб, являющийся невозможным объектом, который не может существовать в реальности Вершины многогранников, как и у многоугольников, обозначаются большими латинскими буквами. Указывая конкретный многогранник, нужно указать его тип и перечислить все вершины. Например, тетраэдр . Увеличивая количество граней, мы получим многообразие многогранников (см. рис. 9) от очень простых до изощренных, изобразить которые будет достаточно сложно. Рис. 9. Многогранники Для успешного изучения свойств многогранников их нужно классифицировать и выбрать для начала самые простые, на которые можно будет разбить более сложные. Подход такой же, какой был с многоугольниками в планиметрии (начали с треугольников). Когда мы начали классифицировать многоугольники, то разделили их на два типа: выпуклые и невыпуклые. Выпуклость многоугольника означала, что если через любую его сторону провести прямую, то весь многоугольник будет лежать с одной стороны от этой прямой (см. рис. 10). А у невыпуклого хотя бы 9 одна из таких прямых разбивает многоугольник на части (см. рис. 11). Иначе это же свойство формулировалось так: если для любых двух точек, лежащих внутри многоугольника, отрезок, их соединяющий, тоже целиком лежит внутри, то такой многоугольник выпуклый. Рис. 10. Выпуклый многоугольник Рис. 11. Невыпуклый многоугольник Ровно такой же подход используется в случае многогранников. Их точно так же делят на две группы: выпуклые и невыпуклые. Если в многограннике провести плоскость через любую грань и весь многогранник всегда будет оставаться с одной стороны, то его будут называть выпуклым (см. рис. 12). Если хотя бы одна такая плоскость разрезает многогранник, то он невыпуклый (см. рис. 13). Либо можно использовать второе определение, как и в случае многоугольников. У выпуклого многогранника вместе с любыми двумя точками, ему принадлежащими, ему принадлежит и весь отрезок, их соединяющий. Рис. 12. Выпуклый многогранник 10 Рис. 13. Невыпуклый многогранник В дальнейшем мы будем заниматься только выпуклыми многогранниками как более простыми для изучения. Среди выпуклых многогранников мы выделим две группы наиболее простых и одновременно изучаемых (т. е. тех, о свойствах которых мы можем сделать какие-то полезные выводы): призмы и пирамиды (см. рис. 14). Это не значит, что других выпуклых многогранников не бывает. Бывают. Мы с некоторыми познакомимся, но основное внимание уделим именно призмам и пирамидам. Рис. 14. Призма и пирамида Возьмем два равных многоугольника и расположим один строго над другим, вершина над вершиной. Соединим попарно соответствующие вершины многоугольников. Полученный многогранник называется прямой призмой (см. рис. 15). 11 Рис. 15. Прямая призма Две грани, образованные равными многоугольниками, называются нижним основанием и верхним основанием. Остальные грани называются боковыми гранями. Все боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками. Боковые ребра равны друг другу и вертикальны. Теперь сдвинем верхнее основание (крышку) в сторону, но без поворота и наклона. Боковые ребра наклонятся в одну сторону, но сохранят параллельность друг другу. Боковые грани теперь не прямоугольники, а параллелограммы. Получившийся многогранник называется наклонной призмой (см. рис. 16). Рис. 16. Наклонная призма Дадим строгое определение: призма – это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани – параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Многоугольник, призмы. Например, лежащий если лежит четырехугольник – четырехугольная; в основании, треугольник -угольник – – определяет название треугольная призма, -угольная (см. рис. 17). 12 Рис. 17. Треугольная, четырехугольная, Призма, в основании называется параллелепипедом (см. которой рис. -угольная призмы лежит 18).Легко параллелограмм, понять, что у параллелепипеда не только основания являются параллелограммами, но и все боковые грани. Рис. 18. Параллелепипед Поэтому можно дать другое определение: параллелепипед – это шестигранник (а у него в самом деле шесть граней), у которого все грани являются параллелограммами. Если боковые ребра параллелепипеда перпендикулярны основаниям, то его называют прямым параллелепипедом (см. рис. 19). Т. е. смысл понятий «прямая призма» и «прямой параллелепипед» одинаковы. Рис. 19. Прямой параллелепипед 13 Боковые ребра прямого параллелепипеда являются уже не просто параллелограммами, а прямоугольниками. Обратите внимание, что в основании прямого параллелепипеда у нас пока продолжает лежать произвольный параллелограмм. Если в основании прямого параллелепипеда тоже лежит прямоугольник, т. е. все грани стали прямоугольниками, то такой параллелепипед называется прямоугольным. Ну и самым «ровным», самым «правильным» параллелепипедом является куб (см. рис. 20). Все шесть его граней являются равными квадратами. Рис. 20. Куб Кроме треугольных и четырехугольных призм, встречаются и другие. Например, незаточенный карандаш – пример шестиугольной призмы. Пирамида. Возьмем произвольный многоугольник, расположим его горизонтально. Он будет основанием пирамиды. Где-то выше выберем точку, она будет вершиной. Соединим ее со всеми вершинами основания. Полученный многогранник называется пирамидой (см. рис. 21). Рис. 21. Пирамида 14 Кроме основания, все остальные грани называются боковыми. Тип многоугольника в основании определяет название пирамиды. Если в основании треугольник, то это треугольная пирамида (см. рис. 22). Мы с ней уже встречались. Другое название треугольной пирамиды – тетраэдр, что означает четырехгранник. Если в основании четырехугольник, то пирамида называется четырехугольной (см. рис. 23). Независимо от того, какой многоугольник лежит в основании, все боковые ребра пирамиды – треугольники. Рис. 22. Треугольная пирамида (тетраэдр) Рис. 23. Четырехугольная пирамида Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания, называется высотой пирамиды (см. рис. 24). Рис. 24. Высота четырехугольной пирамиды 15 Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник и вершина находится ровно над его центром, т. е. высота опускается в центр основания, то такая пирамида называется правильной (см. рис. 25). Рис. 25. Правильная пирамида Знаменитые египетские пирамиды являются правильными четырехугольными пирамидами. В основании любой египетской пирамиды лежит квадрат, а высота проектируется в центр этого квадрата. Все боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками, которые равны друг другу. Правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, у которой все 4 грани являются равносторонними равными друг другу треугольниками (см. рис. 26). Рис. 26. Правильный тетраэдр 16 2. Тела вращения Одним из первых величайших изобретений человечества был гончарный круг. С его помощью стало возможным в большом количестве создавать посуду и другие изделия из керамики. Поскольку гончарный круг во время работы вращается, то в результате его работы получаются изделия особой формы – они симметричны относительно вертикальной оси (см. рис. 27). Рис. 27. Гончарные изделия симметричны относительно вертикальной оси Такие тела, что вполне логично, называют телами вращения, ведь их можно получить, вращая плоскую фигуру вокруг некоторой оси. Известный нам цилиндр можно получить, вращая вокруг вертикальной оси прямоугольник (см. рис. 28). Рис. 28. Цилиндр получается вращением вокруг вертикальной оси прямоугольника Конус можно получить, вращая вокруг вертикальной оси равнобедренный (или прямоугольный) треугольник (см. рис. 29). 17 Рис. 29. Конус получается вращением вокруг вертикальной оси равнобедренного или прямоугольного треугольника Шар можно получить, вращая вокруг вертикальной оси круг (см. рис. 30). Рис. 30. Шар получается вращением вокруг вертикальной оси круга Поскольку объекты, имеющие форму тел вращения, встречаются довольно часто (в строительстве, архитектуре и вообще в быту), мы будем подробно изучать свойства этих тел. В частности, научимся вычислять характеристики их элементов, площадь поверхности и объем таких тел. Главным отличием тел вращения от многогранников является отсутствие вершин, ребер или граней, т. е. поверхность тел вращения не образована пересечением нескольких плоскостей (см. рис. 31). Именно это различие означает «гладкую» форму тел вращения и «угловатую» форму многогранников. Это, конечно, не строгие математические термины, но они помогают нам легко, «на глаз», различать такие тела. 18 Рис. 31. Тела вращения отличаются от многогранников отсутствием вершин, ребер или граней При этом многогранники нам помогут получить и доказать различные свойства тел вращения. Вспомните, что мы приближали окружность правильными многоугольниками (см. рис. 32). Рис. 32. Приближение окружности правильными многоугольниками Точно так же можно поступить и с телами вращения – например, призма, в основании которой лежит правильный многоугольник с большим количеством вершин, будет очень похожа на цилиндр, пирамида – на конус (см. рис. 33). Рис. 33. Приближение призмы (основание – правильный многоугольник) и пирамиды С шаром чуть сложнее, но его тоже можно приближать различными многогранниками (см. рис. 34). 19 Рис. 34. Приближение шара Так, футбольный мяч обычно представляет собой многогранник, гранями которого являются пяти- и шестиугольники (см. рис. 35). И этот многогранник настолько хорошо приближает сферу, что позволяет футболистам играть футбол и даже использовать поговорку: «Мяч круглый». Рис. 35. Футбольный мяч представляет собой многогранник, гранями которого являются пяти- и шестиугольники 20 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Таким образом, Многогранники и тела вращения - это два важных понятия в геометрии, которые позволяют изучать различные формы и их свойства. Многогранник - это геометрическое тело, состоящее из граней, рёбер и вершин. Тело вращения - это фигура, которая получается в результате вращения некоторой кривой вокруг определенной оси. Оба этих понятия имеют много применений в различных областях математики и физики. Многогранники являются одним из основных объектов изучения в геометрии. Они могут быть описаны с помощью различных характеристик, таких как количество граней, рёбер и вершин, их геометрические свойства, а также взаимное расположение граней и углы между ними. Существует много различных видов многогранников, таких как правильные многогранники, плоские многогранники, правильные многогранные углы, многогранные пространства и другие. Правильные многогранники являются особенно интересными, так как они имеют стройную геометрическую структуру и четко определенные свойства. Они могут быть описаны с помощью простых правил и формул, что делает их изучение относительно простым. Примерами правильных многогранников являются тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Многогранники также используются в различных областях науки и техники. Например, они находят применение в изучении кристаллических структур в кристаллографии, в теории графов и сетей, в компьютерной графике и моделировании, и во многих других областях. Изучение многогранников позволяет углубить понимание пространственных форм и их свойств, что является важным для ряда научных и технических приложений. Тела вращения также являются важным объектом изучения в геометрии. Они получаются путем вращения некоторой кривой вокруг некоторой оси, и имеют множество интересных геометрических и физических свойств. Такие тела могут быть описаны с помощью различных характеристик, таких как объем, площадь поверхности, центр тяжести и другие. 21 Примерами тел вращения являются цилиндр, конус, шар и другие. Они имеют много применений в различных областях науки и техники, таких как инженерное моделирование, физика, архитектура, и т.д. Изучение тел вращения позволяет понять множество геометрических закономерностей и применить их в реальной жизни. Важно отметить, что многогранники и тела вращения имеют много общих свойств и взаимосвязей. Например, многогранники можно рассматривать как частный случай тел вращения, получаемых в результате вращения простых фигур вокруг оси. Такие связи между различными геометрическими объектами позволяют углубить понимание их структуры и свойств, что имеет большое значение для различных областей науки и техники. 22 СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Александров, А.Д. Математика: её содержание, методы и значение (том 3) / А.Д. Александров, А.Н. Колмогоров, М.А. Лаврентьев. - М.: [не указано], 2019. - 90 c. 2. Колмогоров, А.Н. Математика XIX века (том 1): математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей / А.Н. Колмогоров, А.П. Юшкевич. - М.: [не указано], 2020. - 282 c. 3. Курош, А.Г. (гл. ред.) Математика в СССР за сорок лет 1917-1957. Том 2. Биобиблиография / А.Г. (гл. ред.) Курош. - М.: [не указано], 2019. - 240 c. 4. Ландо, С.К. Фундаментальная математика сегодня. К 10-летию НМУ. / С.К. Ландо, О.К. Шейнман. - М.: [не указано], 2020. - 241 c. 5. Улам, С. Нерешенные математические задачи / С. Улам. - М.: [не указано], 2021. - 378 c. 6. Фомин, С.В. Математика в СССР 1958-1967. Том 2. Биобиблиография, часть 1 / С.В. Фомин, Г.Е. Шилов. - М.: [не указано], 2021. - 305 c.
