Ибрагимов Ильдар Абдуллович НШ

Аннотация отчета по проекту Программы поддержки ведущих научных школ.
Руководитель: акад. И.А. Ибрагимов
Название проекта: Теория вероятностей и математическая статистика:
асимптотические проблемы
Номер проекта: НШ-4472.2010.1
Изучена задача оценивания интенсивности пуассоновского процесса в предположении,
что она принадлежит некоторому заданному классу аналитических функций.
Доказано, что с вероятностью единица комплексные корни случайного полинома с
независимыми одинаково распределенными коэффициентами асимптотически с ростом
степени полинома равномерно распределены по аргументу.
Найдена асимптотика среднего значения эйлеровой характеристики экскурсионного
множества алгебраической поверхности, порожденной полиномом нескольких
переменных, коэффициенты которого являются независимыми стандартными
гауссовскими величинами. Также данный результат был обобщен на гладкие гауссовские
поля.
Изучена логарифмическая асимптотика больших уклонений статистик КолмогороваСмирнова, основанных на U-эмпирических функциях распределения. Это позволило
вычислить неизвестные ранее значения асимптотических эффективностей ряда
непараметрических критериев. С помощью теории U-max статистик изучались
предельные теоремы для максимальных периметров случайных многоугольников.
Построены новые критерии согласия интегрального и супремального типа для проверки
экспоненциальности, основанные на идеях характеризации. При этом использовалась не
рассматривавшаяся ранее характеризация Ахсаннуллаха. Критические значения новых
критериев либо вычислены явно с помощью нормального приближения, либо их значения
найдены методом статистического моделирования. Описаны предельные распределения и
большие уклонения, вычислена их асимптотическая эффективность. Выведены условия
локальной асимптотической оптимальности новых критериев.
Исследованы задачи обнаружения сигнала в некорректных обратных задачах на фоне
гауссовского белого шума. Для широкого класса задач построены асимптотически
минимаксные тесты обнаружения, изучена асимптотика их эффективности. Построены
минимаксные по порядку адаптивные тесты. Построены асимптотически точные границы
обнаружения редких сигналов в модели случайной гауссовской регрессии большой
размерности p и большой длине выборке n.
Исследована асимптотика разброса времён пребывания гауссовского случайного процесса
общего вида. Получена в метрике Канторовича оценка величины разброса выборочных
времён пребывания. Исследован вопрос о возможности корректного различения двух
гауссовских гипотез и найден полный критерий в общем классе гильбертовых метрик.
Продолжались исследования по проблемам концентрации вероятностной меры.
Предложено необходимое для этих исследований каноническое (не фиксирующее
носителя меры) определение бесконечномерной гауссовой вероятностной меры.
В задаче оценивания неизвестной плотности по косвенным наблюдениям построены
доверительные области для неизвестной плотности, адаптивные по отношению к
распределению цензурирующей переменной.
Общее количество публикаций по проекту: более 30