11_modul_15_urok_4

(Класс 11, модуль XV, практикум, урок 4)
Урок 4. Тригонометрические уравнения
План урока







4.1. Решение простейших тригонометрических уравнений
4.2. Отбор корней по необходимому условию
4.3. Тригонометрические уравнения с радикалами
4.4. Уравнения, сводящиеся к тригонометрическим уравнениям
4.5. Тригонометрические неравенства
Тесты
Домашнее задание
Цели урока:
На основе решения простейших тригонометрических уравнений напомнить способы
решения задач, содержащих тригонометрические функции, обратить внимание на
принципы отбора корней по возникающим условиям, на примерах ознакомиться с
решением тригонометрических неравенств.
4.1. Решение простейших тригонометрических уравнений
При решении тригонометрических уравнений обычно выполняют преобразования с
целью получить одно или несколько простейших уравнений вида sin x  a , cos x  a ,
tgx  a или ctgx  a . Каждое из простейших тригонометрических уравнений либо не
имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений.
sin x  a, a  1;
cos x  a, a  1;
x  (1) arcsin a   k , k  Z
x   arccos a  2 k , k  Z
tgx  a;
x  arc tga   k , k  Z
ctgx  a;
x  arc ctga   k , k  Z
k
При учете различных необходимых условий для корней чаще всего приходится
иметь дело с бесконечным множеством чисел. Наглядное представление об этом
множестве дает изображение корней на тригонометрической окружности.
Например, решая уравнение cos 3x   12 , получим:
 1
3x   arccos     2 k 
 2
2
3x  
 2 k 
3
2 2 k
x


9
3
где k  Z .
Изображая значения x на тригонометрической окружности, мы приходим к
рисунку 1, где
2
 2 n
9
2 2


 2 n
9
3
2 4


 2 n
9
3
2

 2 n
9
2 2


 2 n
9
3
2 4


 2 n n  Z 
9
3
x1 
x2
x3
x4
x5
x6
В данном примере получается полное соответствие между корнями уравнения
cos3x 12 и числами, которые изображены точками тригонометрической окружности,
отмеченными на рисунке 1. Так бывает не всегда. Например, уравнение cos 2x  1 имеет
корни 2x  2 k или x  4 k , где k  Z . При изображении этих чисел на
тригонометрической окружности мы приходим к рисунку 2. Отмеченной на этом рисунке
точке A соответствуют числа вида 2 n , где n  Z . Ясно, что не все эти числа являются
корнями уравнения cos 2x  1 . Замена неизвестной t  2x позволяет добиться полного
соответствия между множеством корней уравнения cos t  1 и их изображением на
тригонометрической окружности.
Вопрос. Как на тригонометрической окружности изобразить корни уравнения sin 4x  0 ?
Когда обе части тригонометрического уравнения определены всюду и в процессе
решения выполняются преобразования, сохраняющие равносильность, остается только
правильно решить получающиеся простейшие уравнения.
Пример 1. Найти решения уравнения
cos(2 x  1)  cos(4 x  3)  sin(3x  1)
Решение. Обе части уравнения определены при всех x . Применяя формулу разности
косинусов, получаем
2x  4
6x  2
2sin
 sin
 sin(3x  1)  0
2
2
sin(3x  1)  (2sin( x  2)  1)  0
Отсюда
sin(3 x  1)  0 3 x  1   k 
x1 
 k 1
3
 k  Z
1

sin( x  2)   x  2  (1) n   n
2
6
x2  (1) n
Ответ:
 k 1
3
, (1) n 6  2   n , k  n  Z .

6
 2   n n  Z 
Вопрос. По каким формулам произведения тригонометрических функций преобразуются в
суммы?
4.2. Отбор корней по необходимому условию
Иногда по условию задачи нужно найти корни уравнения, удовлетворяющие
дополнительным требованиям. В этом случае можно сначала решить уравнение, а затем
производить отбор корней.
Пример
2.
Найти
наименьший
положительный
корень
уравнения
2
2  (1  sin x)  2cos 2 x  5cos x .
Решение. Обе части уравнения определены при всех x . Выполним преобразования:
2(1  sin 2 x)  2(2 cos 2 x  1)  5cos x
2(2  cos 2 x)  2(2 cos 2 x  1)  5cos x  0
 6 cos 2 x  5cos x  6  0
6 cos 2 x  5cos x  6  0
Обозначив cos x  t , получаем 6t 2  5t  6  0 . Далее,
D  25  4  36  132 
5  13 3
t1 
 
12
2
5  13
2
t2 
 
12
3
Так как t1  32  1 , то уравнение cos x  t1 корней не имеет.
2
Уравнение cos x  t2 , то есть cos x   , имеет корни x   arccos( 23 )  2 k , k  Z .
3
На рисунке 3 изображены все найденные корни исходного уравнения. Выбираем первый
из корней, встречающийся в положительном направлении отсчета углов — число
arccos( 23 ) , и из множества всех корней получаем наименьший положительный корень.
Ответ: arccos( 23 ) .
Вопрос. Какие корни рассмотренного уравнения содержатся в промежутке [ 23  ] ?
Когда решается уравнение, в записи которого содержатся не всюду определенные
функции, необходимо выполнять проверку найденных значений и производить отбор
корней.
sin 5x  sin 3x  cos 4 x
sin 7 x  sin x
Решение. Обе части уравнения определены при условии sin 7 x  sin x  0 , которое можно
записать также в виде 2sin 4x cos3x  0 . Такое условие можно заменить двумя условиями:
sin 4x  0 (рисунок 4) и cos3x  0 (рисунок 5). Выполним преобразования:
Пример 3. Решить уравнение
2sin 4 x cos x
 cos 4 x
2sin 4 x cos 3 x
cos x
 cos 4 x
cos 3 x
cos x  cos 4 x cos 3 x
cos(4 x  3 x)  cos 4 x cos 3 x
cos 4 x cos 3 x  sin 4 x sin 3 x  cos 4 x cos 3 x
sin 4 x sin 3 x  0
Теперь нужно рассмотреть два уравнения.
I. sin 4 x  0 . Корни этого уравнения не удовлетворяют условию sin 4 x  0 , поэтому
решать такое уравнение не обязательно.
II. sin3x  0 , 3x   k , x  3k , где k  Z . Заметим, что если sin3x  0 , то  cos 3 x  1 , а
поэтому cos3x  0 для всех найденных чисел.
Для проверки условия sin 4 x  0 из точек, отмеченных на рисунке 6 и соответствующих
числам
x1  2 k  x2 

3
 2 n
2
 2 n x4    2 n
3
4
5
x5 
 2 n x6 
 2 n
3
3
nZ ,
отберем такие, которые не отмечены на рисунке 4. В результате останутся

2
x2   2 n x3 
 2 n
3
3
4
5
x5 
 2 n x6 
 2 n
3
3
x3 
Эти числа можно записать также в виде
Ответ: 3   m , 23   m , m  Z .

3
m ,
2
3
  m , mZ .
Пример 4. Найти корни уравнения tgx  tg3x  sin82 x 
Решение. Обе части уравнения определены при условиях cos x  0 , cos3x  0 , sin 2 x  0 .
Выполним преобразования:
sin x sin 3x
8



cos x cos 3x sin 2 x
sin x cos 3 x  cos x sin 3 x
8


cos x cos 3 x
sin 2 x
sin 2 x
8



cos x cos 3 x sin 2 x
8cos x cos 3 x  sin 2 2 x  0
4(cos 2 x  cos 4 x)  sin 2 2 x  0
4(cos 2 x  2 cos 2 2 x  1) 
(1  cos 2 2 x)  0
7 cos 2 2 x  4 cos 2 x  3  0
Обозначив cos 2x через t , получаем 7t 2  4t  3  0 ,
D  16  16  7  3  102 
3
t1  1 t2  
7
Уравнение cos 2x  1 имеет корни 2x    2 k , k  Z . При этом sin 2 x  0 ,
значит, найденные значения не удовлетворяют условию sin 2 x  0 .
Корни уравнения cos 2x  73 равны
3
2 x   arccos  2 k 
7
1
3
x   arccos   k  k  Z 
2
7
Для проверки этих корней заметим, что если cos 2x  73 , то 2 cos 2 x  1  73 , cos 2 x  75 ,
sin 2 x  72 . Поэтому
cos x  0 sin 2 x  2sin x cos x  0
cos 3x  cos x(1  4sin 2 x)  
cos x
 0
7
Следовательно, все решения уравнения cos 2x  73 удовлетворяют перечисленным
необходимым условиям для искомых корней.
Ответ:  12 arccos 73   k , k  Z .
Вопрос. По каким формулам преобразуются косинусы суммы и разности углов и синусы
суммы и разности углов?
4.3. Тригонометрические уравнения с радикалами
Решение уравнений с радикалами связано с возведением частей уравнения в
квадрат. В этом случае необходима проверка найденных значений. Следует оставлять
только те из них, для которых знаки обеих частей исходного уравнения совпадают.
Пример 5. Решить уравнение 72  3sin 2 x  sin x  cos x
Решение. Так как  sin x  1 , то подкоренное выражение всегда положительно. Левая часть
уравнения неотрицательна, поэтому корни должны удовлетворять условию
sin x  cos x  0 .
На основании тождества sin x  cos x  2 sin  x  4  можно проверять также условие
sin  x  4   0
Выполним преобразования:
7
 3sin 2 x  (sin x  cos x) 2 
2
7
 3sin 2 x  1  2sin x cos x
2
6sin 2 x  4sin x cos x  5(sin 2 x  cos 2 x)  0
sin 2 x  4sin x cos x  5cos 2 x  0
Если cos x  0 , то sin 2 x  1 , поэтому для корней последнего уравнения выполнено
условие cos x  0 . Следовательно, последнее уравнение равносильно уравнению
tg 2 x  4tgx  5  0 .
Обозначив tgx через t , получаем t 2  4t  5  0 , откуда t1  1 , t2  5 .
Корнями уравнения tgx  1 являются
x  4   k  k  Z 
Для проверки запишем эти значения в виде двух серий:
x1  4  2 m x2  54  2 m m  Z 
Тогда
sin  x1  4   sin  2  2 m  1  0
поэтому значения x1 — корни исходного уравнения;
sin  x2  4   sin  32  2 m  1  0
значит, числа x2 — посторонние.
Уравнение tgx  5 имеет корни
x  arctg5   k  k  Z 
Для проверки положим arctg5   , вычислим
cos  
1
1 tg 2

1
6
 sin  
5
6

и запишем корни в виде двух серий
x3    2 m x4      2 m m  Z 
Тогда

2



sin  x3    sin     
(cos   sin  )  0
4

4
 2
значит, числа x3 — посторонние;

2

 5

sin  x4    sin 
   
(cos   sin  )  0
4
2

 4

поэтому значения x4 являются корнями исходного уравнения.
Ответ: 4  2 k ,   arctg5  2 k , k  Z .
sin x  cos 2 x 
Пример 6. Найти решения уравнения
Решение. Обе части уравнения определены, когда sin x  0 , cos 2x  0 . При этих условиях
обе части уравнения неотрицательны, а поэтому при возведении их в квадрат, получается
равносильное уравнение
sin x  cos 2x .
В силу такого равенства из двух записанных условий для корней достаточно проверять
только одно.
Обратимся к уравнению sin x  cos 2x :
sin x  1  2sin 2 x
2sin 2 x  sin x  1  0
sin x  t  2t 2  t  1  0
1
t1  1 t2  
2
Корни уравнения sin x  1 не удовлетворяют условию sin x  0 .
Корни уравнения sin x  12 условию sin x  0 удовлетворяют и поэтому являются корнями
исходного уравнения.
Решив уравнение sin x  12 , получаем
x  (1) k

6
  k k  Z 
Ответ: (1) k 6   k , k  Z .
Вопрос. Как доказать, что уравнение  cos x  1 равносильно каждому из уравнений
cos2 x  1; 1  cos 2 x  2; cos 2 x  1
Рассмотрим следующую задачу.
3sin x

Пример 7. Решить уравнение tg3x  2cos
x
Первое решение. Как и в предыдущих примерах устанавливаем, что достаточно решить
уравнение
(1)
tg 2 3x cos2 x  2  3sin 2 x
а затем проверить условия cos x  0 , cos3x  0 (рисунок 7) и tg3 x cos x  0 .
Для решения уравнения (1) выполним преобразования:
sin 2 3 x cos 2 x
 2  3sin 2 x
2
cos 3 x
2
sin 3 x cos 2 x  (2  3sin 2 x) cos 2 3 x
2
sin 2 3 x cos 2 x  cos 2 3 x sin 2 x  2(1  2sin 2 x) cos 2 3 x
sin(3 x  x) sin(3 x  x)  2 cos 2 x cos 2 3 x
2 cos 2 x cos 2 3 x  2 cos 2 x sin 2 2 x  0
 1  cos 6 x 1  cos 4 x 
2 cos 2 x  

  0
2
2


cos 2 x(cos 6 x  cos 4 x)  0
2 cos 2 x cos 5 x cos x  0
Теперь рассмотрим три уравнения.
I. cos x  0 . Корни этого уравнения не удовлетворяют необходимому условию cos x  0 , и
мы их не находим.
II. cos 2x  0 . Корнями этого уравнения являются числа
 k
x 
, k  Z (рисунок 8).
4 2
Сравнивая точки, отмеченные на рисунках 7 и 8, убеждаемся в том, что все найденные
значения удовлетворяют условиям cos x  0, cos 3x  0 .
Для проверки условия tg3 x cos x  0 запишем корни в виде четырех серий:
x1 

4
x3  
3
 2 m
4
 2 m
x2 
3
 2 m
4
x4  

4
 2 m
где m  Z .
После этого вычисляем:
3

2
cos  
 0
4
4
2
9
3
2
tg3 x2 cos x2  tg
cos

 0
4
4
2
9
3
tg3 x3 cos x3   tg
cos
 0
4
4
3

tg3 x4 cos x4   tg
cos  0
4
4
tg3 x1 cos x1  tg
Следовательно, в ответ нужно включить значения
 4  2 m  34  2 m m  Z 
III. cos5x  0 . Корнями этого уравнения являются числа x  10  5k , k  Z (рисунок 9).
Сравнивая точки, отмеченные на рисунках 7 и 9, находим, что условиям cos x  0 ,
cos3x  0 удовлетворяют

3
x5   2 m
x6 
 2 m
10
10
7
9
x8 
 2 m
x9 
 2 m
10
10
9
7
x10  
 2 m x11  
 2 m
10
10
3

x13  
 2 m x14    2 m
10
10
где m  Z .
Для них
3

cos  0 à tg3 x14 cos x14  0
10
10
9
3
tg3 x6 cos x6  tg
cos
 0 à tg3 x13 cos x13  0
10
10

7
tg3 x8 cos x8  tg cos
 0 à tg3 x11 cos x11  0
10
10
3

tg3 x9 cos x9  tg
cos  0 à tg3 x10 cos x10  0
10
10
tg3 x5 cos x5  tg
Следовательно, из третьего случая в ответ войдут

3
 2 m 
 2 m
10
10
7
9

 2 m
 2 m
10
10
Ответ:

4
 2 m ;  34  2 m ;

10
 2 m ;  310  2 m ,  710  2 m ;
9
10
 2 m , m  Z .
Заметим, что найти преобразования, приведенные в первом решении, не так
просто. Гораздо проще проделать следующее.
Второе решение. Выразим tg3x через тригонометрические функции угла tgx :
sin x (3 4sin x )
sin3 x
tg3x  cos3
x  cos x (1 4sin 2 x ) 
2
Тогда уравнение можно переписать в виде
sin x (3 4sin 2 x )
cos x (1 4sin x )
2

2 3sin 2 x
cos x

а необходимые условия для корней — в виде
cos x  0 1  4sin 2 x  0
sin x(3  4sin 2 x)
 0
1  4sin 2 x
Умножая обе части уравнения на cos x и возводя в квадрат, получаем
sin 2 x(3  4sin 2 x)2 
(2  3sin 2 x)(1  4sin 2 x) 2 
Полагая t  sin 2 x , придем к кубическому уравнению:
t (16t 2  24t  9)  (2  3t )(16t 2  8t  1)
64t 3  80t 2  28t  2  0
32t 3  40t 2  14t  1  0
Известным способом находим рациональный корень t1  12 и выделяем множитель 2t 1 :
32t 3  16t 2  24t 2  12t  2t  1 
 (2t  1)(16t 2  12t  1)
Решая квадратное уравнение 16t 2  12t  1  0 , получаем
2
6  2 5  5 1 
t2 
 
 
16
4


2
6  2 5  5 1 
t3 
 
 .
16
 4 
В итоге решение исходного уравнения сводится к рассмотрению трех случаев.
I. Пусть t  t1  12 . Тогда sin 2 x  12 , cos x  0 , 1  4sin 2 x  0 и
sin x (34sin 2 x )
1 4sin 2 x
  sin x Последнее выражение неотрицательно, если sin x  0 . Поэтому из
совокупности корней двух уравнений sin x 
2
2
и
sin x  
2
2
 совпадающей с
множеством корней уравнения sin x  12 , необходимым условиям удовлетворяют только
корни уравнения
2

sin x  
 è ñî î òâåòñâåí í î , x  ( 1) k 1   k  k  Z 
2
4
2
II. Для t  t2 имеем
2
 5 1 
sin x  
 
 4 
2
при этом ясно, что выполняются условия
cos x  0 1  4sin 2 x  0.
Далее,
sin x  (3  4sin 2 x)

1  4sin 2 x
(sin x)  (6  2 5)
.
(2 5  2)
Последнее выражение неотрицательно, если sin x  0 . Поэтому
5 1
sin x 

4
5 1
x  (1) k arcsin
  k k  Z 
4

III. Пусть, наконец, t  t3 . Тогда аналогично
2
 5 1
sin x  
 
 4 
cos x  0 1  4sin 2 x  0
2
sin x  (3  4sin 2 x)

1  4sin 2 x

(sin x)  (6  2 5)
 0
(2  2 2)
если sin x  0 . Поэтому
sin x  
5 1

4
x  (1) k 1 arcsin
Ответ:
x  (1) k

4
5 1
  k k  Z 
4
  k
5 1
  k
4
5 1
x  (1) k 1 arcsin
  k k  Z 
4
x  (1) k arcsin
Вопрос. Чему равно значение sin 710 ?
4.4. Уравнения, сводящиеся к тригонометрическим уравнениям
Решение уравнений с модулями сводится к рассмотрению случаев, когда под
знаком модуля неотрицательное выражение и когда — отрицательное.
Пример 8. Найти решения уравнения cos 3x   cos x  sin 2 x
Решение. Рассмотрим два случая.
I случай. Пусть cos x  0 . Тогда  cos x  cos x и уравнение принимает вид
cos3x  cos x  sin 2x
Отсюда
2 cos 2 x  cos x  2sin x  cos x  0
2 cos x  (cos 2 x  sin x)  0

2 cos x  (sin(  2 x)  sin x)  0
2
  3x 
 x
4 cos x  sin     cos     0
4 2 
 4 2
Получается три возможности.
1. Если cos x  0 , то x1  2   k , k  Z . Все эти значения удовлетворяют условию
cos x  0
 3x
 2 k
2. При sin(  )  0 имеем x  
, где k  Z (рисунок 10). Условию cos x  0
4 2
6
3
удовлетворяют x2  6  2 m , x3   2  2 m , m  Z 0 .
Заметим, что x3 было найдено при решении уравнения cos x  0 .

3. Для cos  4  2x   0 получаем x    2 n, n  Z .
2
Заметим, что эти числа также были найдены при решении уравнения cos x  0 .
II случай. Пусть cos x  0 . Тогда  cos x   cos x и уравнение принимает вид
cos3x  cos x  sin 2x
Отсюда
2sin x sin 2 x  sin 2 x
sin 2 x(1  2sin x)  0
Далее рассмотрим два уравнения.
1. Если sin 2 x  0 , то 2x   k , x  2k , k  Z (рисунок 11). Условию cos x  0
удовлетворяют только x5    2 m m  Z 
2. При sin x   12 имеем

x6    2 k 
6
5
x7  
 2 k 
6
где k  Z (рисунок 12). Условию cos x  0 удовлетворяют значения x7 .
Ответ: 2   k , 6  2 k ,   2 k ,  56   2 k , k  Z .
Вопрос. Как решить рассмотренное уравнение, используя формулу
cos3x  cos x(1  4sin 2 x) ?
Тригонометрические
уравнения
часто
сводятся
к
уравнению
вида
t  f ( x ) приводит к
cos f ( x)  a, ãäå a  1 . В этом случае замена неизвестной
уравнению
cost  a ,
которое
имеет
бесконечное
t   arccos a  2 k  k  Z .Дальнейший поиск значений x
множество
корней
сводится к решению
уравнений
f ( x)  arccos a  2 k 
f ( x)   arccos a  2 k
с целым параметром k .
Пример 9. Решить уравнение cos x  cos 1x 
Решение. Обе части уравнения определены при x  0 . Выполним преобразования:
1
cos x  cos  0
x
11
  1  1

2sin    x   sin    x    0
  2  x

2 x
После этого нужно рассмотреть две возможности.
I. Пусть sin  12  1x  x    0 . Тогда
11

  x  k
2 x

(k  Z )
1  x 2  2 kx x 2  2 kx  1  0
Это квадратное уравнение имеет корни, если
неравенство выполняется при любом k , то
(2 k )2  4  0 . Так как последнее
x1   k  ( k )2  1 k  Z 
x2   k  ( k )2  1 k  Z ,
причем ни одно из этих чисел не равно нулю.
II. В случае sin  12  1x  x    0 имеем
11

  x    m (m  Z )
2 x

1  x 2  2 mx x 2  2 mx  1  0
Это квадратное уравнение имеет корни, если (2 m)2 40 или m 2  2  . Последнее
2
неравенство выполняется при любом целом m  0 , поэтому
x3   m   2 m2  1
x4   m   2 m2  1
при m  Z и m  0 , причем ни одно из этих чисел также не равно нулю.
.
Ответ: x12   k   2 k 2  1 , где k  Z ; x34   m   2 m2  1 при m  Z и m  0 .
Вопрос. Сколько корней имеет уравнение cos 12x2  0 ?
4.5. Тригонометрические неравенства
При решении тригонометрических уравнений с радикалами, модулями и в
некоторых других случаях приходится производить проверку условий, которые
формулируются в виде тригонометрических неравенств. Тогда один из способов проверки
заключается в том, что находится множество решений соответствующего неравенства,
после чего устанавливается, какие из найденных чисел входят в получившееся множество.
Разберем на примерах, как находить множество решений простейших неравенств
вида sin x  a и аналогичных им.
Пример 10. Пусть требуется решить неравенство sin x  12 
Решение. Обратимся к графику функции sin x (рисунок 13). Через точку с координатой 12
на оси Oy проведем прямую, параллельную оси Ox . Решениями данного неравенства
будут те точки на оси Ox , соответствующие которым точки синусоиды лежат не выше
проведенной прямой.
На отрезке от  2   до 2 длины 2 это будут точки, изображающие числа
 arcsin 12    x  arcsin 12
или
 76  x  6 
В силу периодичности функции sin x с периодом 2 решениями данного
неравенства будут числа
 76  2 n  x  6  2 n
при каждом целом значении n .
Таким образом, множество решений неравенства sin x  12 представляет собой
объединение бесконечного множества промежутков вида
 76  2 n 6  2 n где n  Z 
Решения
данного
неравенства
можно
найти
также
при
помощи
1
тригонометрической окружности. Для этого через точку с координатой 2 на оси Oy
проведем хорду BC окружности, параллельную оси Ox (рисунок 14). Тогда решениями
данного неравенства будут все числа, которые соответствуют точкам дуги BC
тригонометрической окружности, лежащим не выше хорды BC . Заметим, что такая дуга
получается поворотом точки B в положительном направлении до тех пор, пока она не
достигнет точки C . Поэтому если выбрать для точки B значение x , равное 56 , то при
увеличении x будут получаться точки соответствующей дуги до тех пор, пока x не
достигнет значения 136 , которое изображается точкой C . В результате получим
промежуток [ 56  136 ] решений данного неравенства. Остальные промежутки можно найти
с использованием периодичности функции sin x :
 56  2 k 136  2 k  , где n  Z 
Нетрудно проверить, что множество решений неравенства sin x  12 , полученное с
помощью графика в первом случае, совпадает с множеством, найденным при помощи
тригонометрической окружности во втором случае.
Вопрос. Какие решения имеет неравенство 2sin x  2  0 ?
Пример 11. Найти все решения уравнения sin x  cos3x , удовлетворяющие неравенству
cos 2x  sin 2x .
Решение. Условие cos 2x  sin 2x можно записать в виде
cos 2x  sin 2x  2 cos  2x  4   0
Так как множество решений неравенства cos t  0 удобно представлять на
тригонометрической окружности, то сделаем замену неизвестной y  2x  4 . Тогда
x  2 y  2 , а уравнение sin x  cos3x принимает вид

3
sin(2 y  )  cos(6 y  ) ,
2
2
откуда




sin   2 y   cos  6 y    0
2
2




cos 2 y  cos  6 y    0
2

 


2 cos  4 y   cos  2 y    0
4
4


Решим теперь два уравнения.
I. cos  4 y  4 0 , 4y  4 2   k , y16  4k , k  Z (рисунок 15). Из найденных чисел
условию cos y  0 удовлетворяют
y1 
16

 2 m

 2 m
4
 6
y7  
 2 m
16 4
 7
y8  
 2 m
16 4
y2 
где m  Z .
Им соответствуют значения:


x1  2 y1 

2
x2  2 y2 
x3  2 y7 
x4  2 y8 
16


3
 4 m
8

 4 m
8
21

 4 m
8
25

 4 m m  Z 
8

2

2

2
II. cos  2 y  4 0 , 2y  4  2   k , y  8  2k , k  Z (рисунок 16). Из этих чисел условию
cos y  0 удовлетворяют
y9 

8
y12  
Им соответствуют
 2 m
3
 2 m m  Z 
8


 4 m
4

5
x6  2 y12   
 4 m m  Z .
2
4
3
y12  
 2 m m  Z 
8
Ответ:  38  4 m , 8  4 m , 218  4 m , 258  4 m ,  4  4 m ,  54  4 m , m  Z .
Вопрос. Как на тригонометрической окружности изобразить решения неравенства
sin  3x  4   0 ?
x5  2 y9 
2

Проверь себя. Тригонометрические уравнения
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
1
Какое множество корней имеет уравнение cos 4 x  ?
4
 1. x    2 k , k  Z
 2. x   k , k  Z
 3. x  2 k , k  Z
 4. x    4 k , k  Z
(Правильный вариант: 1)
1
Какое множество корней имеет уравнение sin  x   ?
2
 1. x    2 k , k  Z
1
6
 2. x  (1)k    k , k  Z
1
6
 3. x  k  (1)k  , k  Z
1
6
 4. x  2k  (1)k  , k  Z
(Правильный вариант: 3)
Какое из множеств является множеством всех чисел
sin 3x  1 и cos x  0 ?
 1. x 

 2. x 

6
2


x , удовлетворяющих условиям
2 k
, k Z
3

3
 2 k , k  Z

 3. x    2 k , k  Z
6
 4. x 

6
 2 k , k  Z
(Правильный вариант: 4)
Какое из множеств является множеством всех чисел
x , удовлетворяющих условиям
3
cos x  1 и cos x  1 ?
4
 1. x  2 k , k  Z
 2. x  4 k , k  Z
 3. x  6 k , k  Z
 4. x  8 k , k  Z
(Правильный вариант: 4)
Проверь себя. Тригонометрические уравнения
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа
.
Какие из указанных чисел x являются корнями уравнения

 1. x 
6
3
 2. x 
2
 3. x 
5
6
 4. x 
13
6
sin x  cos 2 x ?
(Правильные варианты: 1, 3, 4)
x
Какое из указанных множеств являются множеством всех корней уравнения 2sin  1  0 ?
6
 1. x  7  12 k , x  11  12 n, k , n  Z
 2. x    6 k , x  7  6 n, k , n  Z
 3. x  (1)k 1  6 k , k  Z
 4. x  (1)k 1  12 k , k  Z
(Правильные варианты: 1, 3)
Какие из указанных чисел x удовлетворяют неравенству sin x  cos x  0 ?
5
 1. x 
8
7
 2. x 
8
 3. x 
19
8
 4. x 
21
8
(Правильные варианты: 1, 3, 4)
В каких случаях первое из указанных чисел x, y больше второго?
5
3
 1. x  arccos( ), y 
8
4
3

 2. x  arcsin , y 
4
4
1
2
y
7
4
y
 3. x  arctg ,
 4. x  arctg ,

6

3
(Правильные варианты: 2, 4)
Домашнее задание
1. Какой знак имеет: а) tg9 ; б) tg99 ; в) sin 6 ; г) cos 273 ; д) sin 2  cos 2 ;
е) sin 0 63  cos 0 87 ; ж) tg 38  tg 56 ?
2. Вычислите: а) cos 512 ; б) sin 12  cos 12 ; в) tg 712 ; г) sin 411 tg 211  cos 411 .
3. Найдите сумму двух острых углов, если тангенсы этих углов равны соответственно 2 и
3.
4. Докажите равенство и найдите, при каких значениях x оно определено:
а) cos  x  4   cos  x  4    2  sin x ;
б) cos x  cos  23  x   cos  23  x   0 ;
в) tg  x  4   tgx  1  tg  x  4   tg2 x ;
г)
sin( x  y ) 2sin xcos y
2sin xsin y cos( x  y)
 tg( y  x) ;
cos x sin x  cos2 x ;
д) cos
x sin x
1sin 2 x
2 
1

sin
x
е) 1sin x  tg  4  2x  .
5. Докажите равенство:
а) tg 8  1  2 ;
б)

1 tg2 12

1 tg2 12

3
2 ;

 41 ;
в) sin 10  cos 20
г) cos 4 x  sin 4 x  cos 2 x ;
д) 2sin  4  x   sin  4  x   cos 2x .
2x
6. Вычислите 11cos
, если tgx  01 .
cos 2 x
7. Докажите тождество и найдите, при каких значениях x оно определено:
x sin x
x
а) 11cos
cos x sin x  tg 2 ;
б) cos3 x  sin x  sin 3 x  cos x  14 sin 4 x ;
в) 1sincosx x  tg 2x ;
2
г) tg  4  x   tg  4  x   cos2
;
x
д)
ctg 4  2x (1sin x )


cos x  52 

 ctgx .


8. Вычислите: а) cos 12  cos 4 ; б) sin 712  sin 512 ; в) sin 24
 cos 524 ; г) sin 38  cos 8 ; д) sin 512  sin 12 ;

е) cos 724  cos 24
.
9. Докажите равенство:
sin 10  cos 5  14 .
10. Покажите, что sin x и tg 2x имеют одинаковые знаки при любых значениях x , когда
значение tg 2x определено.
11. Вычислите: а) arccos(1)  arcsin(1) ; б) arccos(1)  arcsin(1) ;
в) arctg(1)  arcctg(1) ; г) 12 arcsin 12  13 arccos
е) 12 arcsin
3
2
 2arccos
2
2
; ж) arctg1  arcsin
2
2
2
2
; д) arctg 3  arctg
; з) arccos   12   arccos
3
3
;
3
2
x
12. Решите уравнение: а) cos x  sin x  2 ; б) sin x  3 cos x  1 ; в) ctgx  32sin
2cos x ;
г) sin 2 x  2 cos 2 x ; д) sin x  cos x  1  sin 2x ; е) sin 2 x  2sin x  sin 2x .
13 Решите уравнение: а) sin 2x  cos x ; б) cos x  sin x 1  0 ; в) sin 2 3x  3cos 2 3x  0 ;
г) ctgx  cos x  1  sin x .
14. Решите уравнение: а) cos x  cos3x  cos 2x ; б) cos7 x  cos x  sin 4x ;
в) sin x  sin 3x  4 cos3 x  0 ; г) sin x  sin 3x  12 ; д) cos x  cos3x  cos5x  cos7x ;
е) sin 3x  cos x  0 .
15. Решите уравнение:
а) sin(3x  1)  sin(3  x)  sin( x  2) ;
б) sin(5 x  2)  sin(4  x)  cos(2 x  3) .
16. Решите уравнение:
а) sin 2 x  5sin x cos x  4 cos 2 x  0 ;
б) 3sin 2 x  7 sin x cos x  6 cos 2 x  1 ;
в) 1  3sin 2 x  sin cos x .
17. Решите уравнение:
а)
(1cos x)(1sin x)
sin xcos x
 2 313 ;
tg x 3
б) 2sin x  cos x  tg2x 1 .
2
18. На отрезке от 0 до  найдите все значения x , удовлетворяющие уравнению
5  3cos 2x  8sin x .
19. Найдите все решения уравнения
sin x  cos  5 x  2   3  sin(3x   )
принадлежащие отрезку [ 2  ] .
20.Найдите все решения уравнения sin 4 x  cos 2 x  sin 2 x , удовлетворяющие условию
 x  2 .
21. Докажите, что уравнение sin 5 x  cos3 x  1 не имеет решений, отличных от 2 k и

2  2 k , где k  Z .
22. Решите уравнение:
а) 2sin x  1  cos x ;
б)
sin3 x  cos3 x   cos x ;
в) sin 2 x 
г)
5
4
 2sin 2 x ;
cos 2 x  12 sin 2 x  cos x ;
д) 1  cos 2 x  sin x  cos x ;
е) 1  sin 2 x  2tg1 x  0 ;
ж) 1  sin 2 x  cos 2 x  0 ;
з) 3cos 2 x  2sin 2 x  3cos x  sin x ;
и) 17  7sin 2 x  3cos x  5sin x ;
к) sin x  cos(5  x)  sin 5  sin x .
23. На отрезке от 0 до  найдите все значения x , удовлетворяющие уравнению:
а)
2  3 cos 2 x  sin 2 x  2 cos 3 x ;
б)
2  3 cos 2 x  sin 2 x  2sin 3 x ;
в)
3 cos x  sin x  1  2 cos 2 x  3 sin 2 x ;
г) sin 3x  sin x  1  sin x  cos x ;
д) tgx  sin x  tgx  sin x  3tgx .
24. В интервале от 4 до 2,5 найдите все значения x , удовлетворяющие уравнению
sin x  cos 6 x  23  sin 3 x  cos8 x  23 
25. Найдите все решения уравнения
4em cos x  cos 3x  1  sin 2 x  sin 4 x 
удовлетворяющие условию x 2  15 .
26. Решите уравнение:
а) cos 7 x 2  cos 6 x 2  0 ;
б) cos 517x23  3 cos 1017x2 6  2 ;
в)
2 cos  3cos x  4   1;
г) cos(2sin x  (1  3) cos x)  sin((1  3) cos x)) .
27. Решите уравнение:
а) cos x  sin x   cos x  sin x  2tgx ;
б) tgx  ctgx   tgx  ctgx  2sin x .
Словарь терминов
Направленный угол. На координатной плоскости угол, образованный поворотом
положительного луча оси Ox вокруг начала координат.
Радианная мера направленного угла. Радианной мерой угла
называется длина пути, пройденного при повороте точкой пересечения подвижного луча с
единичной окружностью, взятая со знаком «плюс», если поворот происходит против хода
часовой стрелки, и взятая со знаком «минус», - если по ходу часовой стрелки.
Синус числа. Синусом числа x называется ордината пересечения с единичной
окружностью луча, образующего угол в x радиан.
Косинус числа. Косинусом числа x называется абсцисса пересечения с единичной
окружностью луча, образующего угол в x радиан..
Пусть n - натуральное число, большее единицы.

Тангенс числа. Тангенсом числа x при x    k , k  Z , называется отношение
2
sin x
.
cos x
Котангенс числа. Котангенсом числа x при x   k , k  Z , называется отношение
cos x
.
sin x
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. 11-4-01.CDR
Рисунок 2. 11-4-02.CDR
Рисунок 3. 11-4-03.CDR
Рисунок 4. 11-4-04.CDR
Рисунок 5. 11-4-05.CDR
Рисунок 6. 11-4-06.CDR
Рисунок 7. 11-4-07.CDR
Рисунок 8. 11-4-08.CDR
Рисунок 9. 11-4-09.CDR
Рисунок 10. 11-4-10.CDR
Рисунок 11. 11-4-11.CDR
Рисунок 12. 11-4-12.CDR
Рисунок 13. 11-4-13.CDR
Рисунок 14. 11-4-14.CDR
Рисунок 15. 11-4-15.CDR
Рисунок 16. 11-4-16.CDR