Колебания и перевороты жесткого маятника

Лабораторная работа № 3
Колебания и перевороты жесткого маятника
Студент гр. 1538
Луковский Игорь
Работа выполнена: 12.04.09
Отчет представлен:
Цели работы:
1. Изучить закономерности собственных колебаний в нелинейной физической системе на
примере маятника – наиболее знакомой нелинейной механической системы.
2. Изучить экспериментально зависимость периода собственных колебаний маятника от
амплитуды и сравнить результаты измерений с приближенной теоретической формулой.
3. Получить представление о фазовом портрете нелинейного осциллятора, о сепаратрисах и
особых точках типа центр, фокус, седло.
4. Изучить энергетические превращения при колебаниях маятника с большими амплитудами и
при переворотах.
5. Изучить лимитационное движение маятника в отсутствие трения.
6. Измерить период колебаний с амплитудой, близкой к 180 градусам, и сравнить результаты
измерений с соответствующим теоретическим расчетом.
7. Изучить влияние вязкого трения на фазовый портрет маятника.
Основы теории
Физическая система
Моделируется движение математического маятника в виде точечной массы в однородном поле
тяготения, закрепленной на конце невесомого стержня. В системе используется стержень, чтобы
можно было рассматривать и перевороты маятника. Такая модель применима и для описание
движения физического маятника т.к. обе системы описываются одним и тем же
дифференциальным уравнением.
Дифференциальное уравнение маятника
При отсутствии трения уравнения движения маятника имеет вид:
1. J  mga sin 
Где J – момент инерции маятника относительно оси вращения, a – расстояние от оси вращения до
центра масс, g – ускорение свободного падения.
Поделив обе части (1) получим:
2.    02 sin   0
Где  02 
mga
J
Физические параметры маятника
При малых углах отклонения sin  ~  . Тогда, заменяя в уравнении sin  на  , получим
уравнение колебаний гармонического осциллятора.
При наличии вязкого трения в уравнении появляется член пропорциональный угловой скорости:
  2   02 sin   0
Где  - постоянная затухание, имеющая размерность частоты.
Добротность Q 
0
.
2
Фазовый портрет маятника
Общее представление о движении маятника дает фазовая траектория – кривая зависимости
угловой скорости от угла отклонения.
Для консервативной системы можно построить семейство фазовых траекторий, не решая
дифференциального уравнения, т.к. уравнения фазовых траекторий следуют из закона сохранения
энергии. Потенциальная энергия зависит от угла отклонения по закону E pot  mga (1  cos )
По закону сохранения энергии:
1 2
J  mga(1  cos  )  E
2
Это уравнения связывает между собой угловую скорость и угол отклонения.
Рис.2 фазовые траектории
Период малых колебаний маятника
При движении маятника период колебаний зависит от амплитуды. Для того, чтобы получить
1
эту зависимость надо разложить sin  в ряд Тейлора до второго слагаемого. sin      3
6
2
   0 sin   0
Подставив
получим
следующее
приближенное
уравнение:
1
6
 2   02   02 3  0
Решением уравнения является суперпозиция синусоидального колебания  (t )   m cos t и
его третьей гармоники  (t )  m cos 3
Рис. 3 зависимость угла отклонения с угловой скорости от времени при малых колебаниях в
отсутствие трения
Лимитационное движение маятника
Особый интерес представляет собой фазовая траектория движения консервативного маятника
с полной энергией равной 2mga , фазовая траектория в данном случае называется сепаратрисой.
Отличительным свойством сепаратрисы является то, что она отделяет замкнутые фазовые
траектории от фазовых траекторий вращательных движений. Уравнение сепаратрисы следует из
1 2
J  mga(1  cos  )  E подставкой E  2 02 J :   2 0 cos  2
2
Для лимитационного движения маятника существует аналитическое решение, в котором 
 t
выражается через  элементарными функциями:     4 arctan( e 0 )
Зависимость угловой скорости от времени имеет следующий вид:   
4 0
e  e 0t
 0t
Рис.4 Зависимость угла и угловой скорости от времени при лимитационном движении
маятника
Если энергия маятника близка к значению 2mga, то движение почти всюду будет похоже на
лимитационное. Заметные различия появляются только в положении близком к перевернутому,
для достижения которого маятнику с энергией 2mga потребовалось бы бесконечно большое время.
Период колебаний неограниченно возрастает при E  2mga рис.5 показывает зависимость
периода от энергии системы полученную на практике.
Рис.5 Зависимость периода от энергии
Вначале наблюдается почти линейный рост периода. Но при значении энергии
приближающемся к 2mga зависимость периода становится явно не линейной. А в точке E  2mga
значение периода становится бесконечно большим.
Колебания маятника с большими амплитудами
При моделировании колебаний с амплитудами близкими к 180 градусам можно обнаружить,
что длительность «импульса» практически одинакова, а заметно различаются только интервалы
между пиками.
Разделим движение маятника в этом случае на две части: первая часть от   0 до    c , где
 c близко к 180 градусам, например 175. Можно считать, что первая часть совпадает с
лимитационным движением, поэтому воспользуемся формулой     4 arctan( e
 0 t   ln tan
 0t
) получим:
c
4
Где  c     c . Перейдем к новой переменной      (для того чтобы отсчитывать угол
отклонения от верхнего положения равновесия). Тогда в    02 sin   0 sin  ~  :
   02  0
Решением является:
условий.
 (t )  C1e t  C 2 e  t
0
0
Константы находятся C1 и C2 из начальных
Рис.6 Зависимость угла и угловой скорости от времени при колебаниях с большими
амплитудами (здесь 155)
Колебания с большими амплитудами и перевороты маятника
Если сравнивать движения маятников с полной энергией отличающейся от 2mga в разные
стороны на одну и туже величину, то можно заметить, что периоды колебаний отличаются в два
раза. Фазовые траектории этих движение проходят очень близко к сепаратрисе. При колебаниях
маятник движется туда и обратно, то есть проходит весь круговой путь дважды за период. При
переворотах маятник проходит круговой путь один раз за период, а точка фазовой траектории
проходит вдоль одной части сепаратрисы. Можно доказать, что маятник с энергией 2mga  E
затрачивает на движение от точки    0 до точки наибольшего отклонения столько же времени,
сколько и маятник с энергией 2mga  E при перемещении от точки   0  до   180  . Поэтому
за один период, переворачивающийся маятник поднимается c   0  до   180  , совершает
переворот и опускается с точки   180  до   0  . Колеблющийся маятник за один период
поднимается до точки наибольшего отклонения, опускается до точки    0 , снова, поднимается
до точки наибольшего отклонения (но уже в другую сторону) и возвращается в точку   0 
Рис.7 Зависимость угла и угловой скорости от времени при колебаниях с большими
амплитудами (здесь 155)
Средние значения потенциальной и кинетической энергий
Малые колебания можно считать синусоидальными, поэтому средние значения потенциальной
и кинетической энергий одинаковы. При колебаниях с большой амплитудой маятник проводит
больше времени у положения максимального отклонения. Поэтому среднее значение
потенциальной энергии больше среднего значения кинетической. Будем считать, что большую
часть времени угловая скорость маятника практически равна 0, а на протяжении короткого
T0

T
 Eкин   T
и можно считать, что E  2mga  2 J 02 , то:

1
 Eпот  2 T0
периода времени маятник движется по сепаратрисе.  Eкин 
Т.к. E пот  E  E кин
4
J 02
Влияние трения
При наличии вязкого трения движение маятника уже не будет обратимым. Маятник совершит
конечное число переворотов (возможно нулевое) и станет совершать затухающие колебания.
Рис.8 Фазовые траектории с учетом трения.
Ответы на вопросы для самоконтроля
1. Если ввести понятие приведенной длины физического маятника, то математический
маятник и физический маятник представляют собой динамически эквивалентные системы, потому
что движение обеих систем описывается один и тем же уравнением.
2. Приведенная длина физического маятника l – длина математического маятника, имеющего
такой же период колебаний, выражается через параметры системы формулой: l 
J
ma
3. Маятник называют нелинейной колебательной системой, потому что дифференциальное
уравнение, описывающее движение маятника не является линейным.
4. Модель маятника, описывается следующими параметрами: Ускорение свободного падения –
g, расстояние от оси вращения до центра масс маятника – a, масса маятника – m.
5. Для того, чтобы получить уравнение фазовой траектории консервативной системы можно
воспользоваться законом сохранения энергии: E  E кин  E пот 
Выражая  через  , получим:   
1
J 2  mga(1  cos  )
2
2
( E  mga(cos   1))
J
6. Симметрия относительно оси ординат говорит об обратимости системы по времени, то есть
если в какой-либо момент времени заменить  на   , то маятник продолжит двигаться в
противоположную сторону таким же образом как и двигался до этого момента.
7. При малых углах отклонения от положения устойчивого равновесия уравнение движения
маятника можно рассматривать как уравнение гармонического осциллятора. Поэтому фазовые
траектории в этом случае можно считать эллипсами. При увеличении амплитуды фазовая
траектория все более отличается от эллипса.
8. При колебаниях с малой амплитудой отношение средней потенциальной энергии к средней
кинетической можно считать равным 1. По мере увеличения амплитуды маятник большую часть
времени проводит у положения максимального отклонения. Поэтому отношение средней
потенциальной энергии к средней кинетической становится больше 1.
9. Так как система консервативна, то воспользуемся формулой:   
2
( E  mga(cos   1))
J
Подставив E  2mga , получим:
2
2

  
mga (2  cos   1)
    402 cos 2
   (2mga  mga (cos   1)) 
J
J
2
Или:   2 0 cos  2
10. Разность потенциальной энергии в верхнем положении и нижнем положениях равна
2mga , значит: 2mga 
1
J 2 Получим:   2 0
2
11. В условиях лимитационного движения маятник достигает положение неустойчивого
равновесия из положения устойчивого равновесия за бесконечно большой период времени.
12. Особыми точками фазовой плоскости являются точки   0  – точка устойчивого
положения равновесия, и   180  – точка неустойчивого положения равновесия
13. Для вывода формулы      . При малых 
sin    , что приводит к уравнению
   02   0

Общее решение которого:  (t )  C1 exp(0t )  C2 exp( 0t ) (в противоположность
тригонометрическим функциям в решении линеаризованного уравнения, справедливого в
окрестности
нижнего положения равновесия)
14. При добавлении в модель вязкого трения фазовый портрет маятника полностью изменяет
свою топологию. Если изображающая точка находится вне сепаратрисы, то постепенно она
приближается к ней и по спирали асимптотически приближается к началу координат.
Теоретическое решение задач (2.1, 2.2)
2.1 Сравнение маятника с линейным осциллятором.
График зависимости скорости становится ближе к прямой – на больших амплитудах
скорость убывает медленнее так как sin    , меньше возвращающая сила, медленнее
изменяется скорость. То же заметно в более вытянутой вдоль оси  фазовой траектории –
маятник дольше остается в области большого отклонения. То же наблюдается и на графике
энергии – потенциальная энергия имеет большее среднее значение, чем кинетическая.
2.2 Колебания маятника с большими амплитудами
а) В районе 90 синус имеет наименьшие изменения и в некоторой окрестности этого угла можно
  const , откуда  близка к линейной функции, а  - к параболе. Этот эффект
положить 
наблюдается особенно хорошо именно при углах больших 90, так как при этом маятник долго
находится в окрестности угла 90, сначала при подъеме, затем при спуске.
б) Поскольку sin    , то при больших амплитудах возвращающая сила меньше, чем в случае
линейных колебаний, отсюда маятник дольше остается в районе точки наибольшего отклонения,
где скорость близка к 0, а в районе точки равновесия, где скорость высокая, маятник остается
значительно меньший период времени, что и приводит к тому, что среднее значение
потенуиальной энергии больше среднего значения кинетической.
в) В эксперименте было получено значение T  8.2T0
г)
 max
179.999
179.99
179.9
   02 sin   0 . Положим     
д) Рассмотрим уравнение 
T / T0
8.2
6.8
5.5
, уравнение запишется в виде
   02 sin   0 , в окрестности точки    можно приближенно считать sin    , откуда
имеем
линейное
уравнение
   02  0 ,
решением
которого
является
функция
 (t )  C1 exp(0 t )  C2 exp( 0 t ) . Движение до некоторого угла  приблизим движением по
сепаратриссе, для нее известно, что (t )    4 arctan(exp ( 0 t )) , откуда имеем момент
ln tg ((   ) / 4)
T0 . Для нахождения констант A1 и A2
нахождения в точке  : t   
2
воспользуемся следущими соображениями:
1) В момент t  :     
2) В некоторый момент t x , который нам надо найти:      max
3) В момент t x :   0 .
Имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
C1 exp( 0 t  )  C 2 exp(  0 t  )    

C1 exp( 0 t x )  C 2 exp(  0 t x )     max (*)
C exp( t )  C exp(  t )  0
0 x
2
0 x
 1
Выражая из двух последних C1 и C2 и подставляя в первое, имеем:
(   max )(exp(  0 (t   t x ))  exp(  0 (t   t x )))  2(   )
2
2
T0      (   )  (   max ) 
ln

2 
   max


Подставляя наши данные для различных значений  , получаем:
 ,рад   
 max ,
 max ,рад    max  ,
tx  t 
t
tx
179,99
3,1414 0,00017 160,00 2,793
0,349
0,388
1,708
179,99
3,1414 0,00017 170,00 2,967
0,175
0,498
1,708
179,99
3,1414 0,00017 179,00 3,124
0,017
0,865
1,708
179,99
3,1414 0,00017 179,50 3,133
0,009
0,975
1,708
179,99
3,1414 0,00017 179,90 3,140
0,002
1,231
1,708
Очевидно, что используемый метод дал достаточно точный результат, который кроме того
согласуется с экспериментом. Период, очевидно, в 4 раза больше, и равен 6.8, как и в
эксперименте (г)