Архитектура – застывшая математика в пространстве Автор: Грабчук Олеся, Батуева Полина 9 класс, МБОУ «СОШ № 18», г. Миасс Научный руководитель: Лукьянова Ольга Георгиевна, учитель математики, МБОУ «СОШ № 18» Г. Миасс Челябинская область 1 Оглавление Введение ................................................................................................................... 3 I. Связь математики и архитектуры.................................................................... 4 1.1. Формула архитектуры ................................................................................ 4 1.2. Математика в архитектурных чертежах................................................... 4 1.3. Прочность архитектурных сооружений ................................................... 6 II. Геометрические формы и архитектура ........................................................... 7 2.1. Геометрические формы от древности до наших дней ............................ 7 2.2. Геометрические формы в разных архитектурных стилях ...................... 9 2.3. Золотое сечение в архитектуре ................................................................. 9 2.4. Симметрия - Царица архитектурного совершенства ............................ 11 Заключение ............................................................................................................ 12 Литература ............................................................................................................. 13 Приложения ............................................................................................................... Приложение 1. Связь математики и архитектуры .......Ошибка! Закладка не определена. Приложение 2.Геометрические формы и архитектура ...................................... 2 «В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии» Н.Е. Жуковский. Введение Математика-это уникальное средство познания красоты, а не только стройная система законов, теорем и задач. Математика играет ведущую роль в создании архитектурного сооружения. Архитектура не существовала бы без математики. Архитектор вкладывает в свое творение мысли, чувства, идеи и индивидуальность. Для того чтобы построить величайшие здания мало желания, архитектор должен рассчитать так, чтобы здание было прочным, красивым и долговечным. Сложность и абстрактность сооружений играет определяющую роль в некоторых из самых уникальных зданий мира. Посещая достопримечательности разных стран, люди обязательно смотрят на их архитектуру, свойственную только определенным народам и задают себе вопрос: « Как они это построили?». Именно ответ на этот вопрос мы считаем актуальным и об этом наше исследование. Объект исследования: применение математических законов, правил, формул в архитектуре. Предмет исследования: математика в архитектуре. Цель работы: исследование геометрических форм, используемых в разных архитектурных сооружениях. Гипотеза: в архитектуре используют различные геометрические формы, которые влияют на прочность, красоту, пропорциональность сооружений. Задачи: Изучить применение математики в архитектурных чертежах, геометрические формы в разных архитектурных стилях. Исследовать использование принципов математики в архитектуре. Практическое применение исследования: поделиться нашим исследованием на уроках математики и МХК Методы исследования: сбор информации, анализ, обобщение. 3 I. Связь математики и архитектуры 1.1. Формула архитектуры Архитектура – древнейшая сфера человеческой деятельности и зарождается вместе с человечеством, сопровождает его в историческом развитии. В ней отражаются мировоззрение, ценности, знания людей, живших в различные исторические эпохи. Архитектурные памятники, дошедшие до нас из глубины веков, помогают нам понять цели, взгляды, мысли, традиции и привычки, представления о красоте, уровень знаний людей, которые когда-то жили на Земле. Архитектурные сооружения возводились для удобства жизни и деятельности человека. Они должны были приносить ему пользу: беречь его от холода и жары, дождей и палящего солнца. Поэтому возводимые сооружения должны быть прочными, безопасными и долговечными. Также человеку свойственно еще и стремление к красоте, поэтому все, что он делает, он старается сделать красивым. Тесная связь архитектуры и математики известна давно. В Древней Греции - геометрия считалась одним из разделов архитектуры. «Прочность, польза, красота» — такова знаменитая формула единого архитектурного целого. Эта формула была выведена два тысячелетия тому назад древнеримским теоретиком зодчества Витрувием. В формуле одна из главных ценностей архитектурных сооружений - красота. Сооружение может быть прочным и удобным, но если оно не привлекает глаз, не вызывает у нас эстетического чувства, то оно воспринимается нами как обычное строение, но не как памятник архитектуры. Чтобы создать такие сооружения люди начали украшать здания орнаментом. Орнамент — узор, основанный на повторе и чередовании составляющих его элементов (Приложение 1. рис. 1,рис. 2). 1.2. Математика в архитектурных чертежах Прежде чем построить привлекательное сооружение, мало иметь воображения, нужно точно знать где, как и сколько потребуется материалов для строительства пусть даже обычного дома. В своих творениях архитекторы должны совместить функциональность, красоту, гармоничность, комфортность, экономичность и долговечность. В этом им и помогают знания математики. Например, для 4 измерения площади земельного участка, архитектору необходимы знания формулы расчета площади и, конечно же, единиц измерения. При расчете размеров помещения архитектору необходимо учитывать средний рост человека, приблизительно равный 175 см. Это нужно для того, чтобы человек мог спокойно находиться и перемещаться по комнате. Значит, в данном случае он должен знать формулу вычисления среднего арифметического действия. При планировке здания руководствуются некоторыми правилами: - При перенесении размеров земельного участка и проецировании здания архитектор пользуется признаками подобия фигур, т.е. он не чертит объект в натуральную величину, а пользуется масштабом, стандартное отношение которого 1:100. -При планировке архитектор пользуется многими теоремами и аксиомами. Например, чтобы отложить несколько последовательно равных отрезков, используется знаменитая теорема Фалеса. -При построении параллельных прямых, архитекторы пользуются рейсшиной (Приложение 1. рис. 3) .Также построение параллельных прямых выполняют с помощью чертежного угольника и линейки. После того, как все детали здания построены, на план наносят все необходимые надписи и размеры. Математические расчеты, измерения, построения – это самые важные и незаменимые методы для архитектора. В России нашел широкое распространение прогрессивный метод строительства по типовым проектам, который наряду с уменьшением объема проектных работ позволяет привести к единообразию (объединению) строительные изделия и способствует индустриализации строительства. Объекты, изображаемые на строительных чертежах – всевозможные здания и сооружения, состоят из отдельных частей – конструкций. Примерами конструкций здания могут служить его фундаменты (стены, перегородки), перекрытия, крыша. В разное время в России создавали здания, отличавшиеся по внешнему виду, материалу и конструкции. В таблице показаны названия, время постройки и сроки использования домов (Приложение 1.рис. 4). 5 Нормативные сроки эксплуатации жилых домов массовой постройки время срок время сноса Тип дома постройк эксплу сроки реконструкции (нормативный и атации срок) Сталинские 1930-40 125 1990-2005 2050-2070 довоенные Сталинские 1945-55 150 2020-2030 2095-2105 послевоенные Разрабатывается «Хрущевки» 1955-70 50 комплексная программа 2005-2020 панельные реконструкции Кирпичные 1955-70 100 2015-2030 2055-2070 пятиэтажки Панельные и Реконструкция по блочные 9-16- 1965-80 100 строительным нормам не 2055-2080 ти этажные предусмотрена Современные кирпичные и 1980-98 125-150 2050-2070 2105-2150 монолитные Реконструкция по Современные 1980-98 100-120 строительным нормам не 2070-2105 панельные предусмотрена 1.3. Прочность архитектурных сооружений Прочность архитектурных сооружений - важнейшее их качество. Прочность связана, во-первых, с теми материалами, из которых они созданы, во-вторых, с особенностями конструктивных решений. То есть прочность сооружения напрямую связана с той геометрической формой, которая является для него базовой. Другими словами, речь идет о той геометрической фигуре, которая может рассматриваться в сооружении. Люди с древних времен, возводя свои жилища, думали, в первую очередь, об их прочности. В первом, дошедшем до нас строительном кодексе, разработанном за 1800 лет до нашей эры в царствование вавилонского царя Хаммурапи, говорится: «Если строитель построил дом для человека, и дом, построенный им, обвалился и убил владельца, то строитель сей должен быть казнен». Прочность сооружений была связана с безопасностью людей, которые ими пользовались и долговечностью. На возведение зданий люди тратили огромные усилия, а значит, были заинтересованы в том, чтобы они простояли как можно дольше. От чего же зависит прочность сооружения? Первое - фундамент, толщина и прочность стен. 6 Но еще важнее для обеспечения прочности сооружений особенности тех материалов, из которых они построены. Самым прочным строительным материалом всегда был камень. С развитием промышленности стали создаваться новые материалы, которые, с одной стороны, были похожи на камень, а, с другой, превосходили его, обеспечивая прочность сооружений. К ним относятся кирпич, металл и железобетон. В современной архитектуре широко используются материалы, которые раньше не существовали, или были слишком дороги в производстве. К ним относится пластмасса, стекло и титан. Многие специалисты считают, что титан - это металл для будущих архитектурных сооружений, которые люди будут возводить. Появление новых строительных материалов делает возможным создание тонкого железобетонного каркаса и стен из стекла. Достаточно вспомнить американские небоскребы или здание Кремлевского дворца. Именно эти материалы и каркасные конструкции стали преобладающими в архитектурных сооружениях ХХ века. Они обеспечивают зданиям высокую степень прочности. II. Геометрические формы и архитектура 2.1. Геометрические формы от древности до наших дней А - Самым прочным архитектурным сооружением с давних времен считаются египетские пирамиды. Как известно они имеют форму правильных четырехугольных пирамид (Приложение 1. рис 5). Именно эта геометрическая форма обеспечивает наибольшую устойчивость за счет большой площади основания. С другой стороны, форма пирамид обеспечивает уменьшение массы по мере увеличения высоты над землей. Именно эти два свойства делают пирамиду устойчивой, а значит и прочной в условиях земного тяготения. Б - На смену пирамидам пришла стоечно-балочная система (Приложение 2. рис. 2). С точки зрения геометрии она представляет собой многогранник, который получится, если мысленно на два вертикально стоящих прямоугольных параллелепипеда поставить еще один прямоугольный параллелепипед (приложение 2. рис. 3).Это одна из первых конструкций, которая стала использоваться при возведении зданий и представляет собой сооружения, которые состоят из вертикальных стоек и покрывающих их горизонтальных балок. Первым таким сооружением был дольмен (приложение 2. рис. 2). Большинство современных жилых домов в своей основе имеют именно стоечно-балочную конструкцию. В - Камень плохо работает на изгиб, но хорошо работает на сжатие. Это привело к использованию в архитектуре арок и сводов. Так возникла новая арочно-сводчатая конструкция, с появлением которой в архитектуру прямых линий и плоскостей, вошли окружности, круги, сферы и круговые цилиндры (Приложение 2. рис. 4,рис. 5). Этот вид конструкции был наиболее 7 популярен в древнеримской архитектуре. Арочно-сводчатая конструкция позволяла древнеримским архитекторам возводить гигантские сооружения из камня. К ним относится знаменитый Колизей (Приложение 2. рис. 6). Г - Следующим этапом развития архитектурных конструкций явилась каркасная система. Аркбутаны (наружная полуарка) являлись каркасом, которые окружал сооружение и принимал на себя основные нагрузки. Арочная конструкция послужила прототипом каркасной конструкции, которая сегодня используется в качестве основной при возведении современных сооружений из металла, стекла и бетона. Достаточно вспомнить конструкции известных башен: Эйфелевой башни в Париже и телебашни на Шаболовке (Приложение 2. рис. 7,8).Телебашня на Шаболовке состоит из нескольких поставленных друг на друга частей однополостных гиперболоидов. (Приложение 2. рис. 9,рис.10) Причем каждая часть сделана из двух семейств прямолинейных балок. Однополостный гиперболоид — это поверхность, образованная вращением в пространстве гиперболы, расположенной симметрично относительно одной из осей координат в прямоугольной системе координат, вокруг другой оси. Д - Другой интересной для архитекторов геометрической поверхностью оказался гиперболический параболоид. (Приложение 2.рис.11,рис.12) Это поверхность, которая в сечении имеет параболу и гиперболу. Е - Геометрическая форма сооружения настолько важна, что бывают случаи, когда в имени или названии здания закрепляются названия геометрических фигур. Так, здание военного ведомства США носит название Пентагон, что означает пятиугольник. (Приложение 2. рис. 13) Связано это с тем, что, если посмотреть на это здание с большой высоты, то оно действительно будет иметь вид пятиугольника. На самом деле только контуры этого здания представляют пятиугольник. Архитектурные произведения живут в пространстве, являются его частью, вписываясь в определенные геометрические формы. Кроме того, они состоят из отдельных деталей, каждая из которых также строится на базе определенного геометрического тела. Часто геометрические формы являются комбинациями различных геометрических тел. При более детальном рассмотрении и изучении деталей можно увидеть: круги – циферблаты курантов; шар – основание для крепления рубиновой звезды; полукруги – арки одного из рядов бойниц (отверстие в крепостной стене для стрельбы) на фасаде башни и т.д. Нужно сказать, что у архитекторов есть излюбленные детали, которые являются основными составляющими многих сооружений. Они имеют обычно определенную геометрическую форму. Например, колонны это цилиндры, купола – полусфера или просто часть сферы, ограниченная плоскостью, шпили – либо пирамиды, либо конусы. (Приложение 2. рис.14-18) 8 2.2. Геометрические формы в разных архитектурных стилях Архитектура, как и все другие виды искусства, является порождением своей эпохи, для них свойственны свои определенные элементы и формы. А - Особенности архитектуры романского стиля (XI—XII вв.): полуциркульные арки, узкие окна, толстые стены, наличие башни в строениях. Пизанская башня, получившая всемирную известность благодаря непреднамеренному наклону. (Приложение 2. рис 19) Наклон башни, вызванный мягкостью почвы, происходил по мере строительства, завершившегося в 1360 году. Процесс «падения» закончился лишь в 2008 году. Б - Во всех готических архитектурных сооружениях (XII-XVI вв.) наблюдается стремление вверх. Характерными деталями для готических сооружений являются стрельчатые арки порталов, пирамиды и конусы. Реймсский собор имеет высоту башен 80 метров. (Приложение 2. рис. 20, 21) Он является самым гармоничным из всех готических соборов Франции. В - Для классицизма (XVII—XIX вв.) характерна ясность форм. Все здания, построенные в этом стиле, имеют четкие прямолинейные формы и симметричные композиции. Примером этому служит Парфенон, который имеет по8 колонн на фасадах и по 17 по бокам. (Приложение 2. рис 22) Г - В архитектурном стиле «Хай-Тек»(1970-х -1980-х) вся конструкция открыта для обозрения, здесь видна геометрия линий, идущих параллельно или пересекающихся, образуя ажурное пространство сооружения. «Хай-тек», благодаря возможностям современных материалов, использует сложные, изогнутые (выпуклые и вогнутые) поверхности. Примером этого стиля является «Здание-Яйцо». (Приложение 2. рис 23) Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. 2.3. Золотое сечение в архитектуре Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b= b : c или с : b = b : а. (Приложение 2. Рис 24) 9 Отрезки золотой пропорции выражаются иррациональной бесконечной дробью 0,618… и 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям. Приближенно это отношение равно 5/3, точнее 8/5, 13/8 и т. д. Принципы золотого сечения используются в архитектуре и в изобразительных искусствах. Эту пропорцию называли по-разному – «золотой», «божественной», а ввел её Леонардо да Винчи, но использовали золотое сечение уже с древних времен: Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании. Согласно Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют золотому сечению. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления. Мы доказали, что золотое сечение использовано в постройке пирамид Хеопса и Хефрена. 1. Пирамида Хеопса имеет стороны основания: 230,41, 230,51, 230,60 и 230,54м. (Приложение 2.рис 25) Высота равна 146,70м. Отношение наклонной образующей, или гипотенузы прямоугольного треугольника, образующего поперечный разрез пирамиды к малому катету, или половине стороны квадратного основания, равно отношению золотого сечения. По теореме Пифагора вычислили величину высоты ON из прямоугольного треугольника MNO: 10 ON2 = OM2 + MN2 = 1482 + 1152 = 21524 + 13265 =34834 ON = 187 (м) O M N 72 м 115м 187 м ОМ/МN = 72/115 = 0,62 MN/ON= 115/187 = 0,61 OM/ON= 72/187= 0,38 2. Пирамида Хефрена построена на основе отношений сторон священного египетского треугольника. (Приложение 2.рис. 26) Архитектурные формы пирамиды Хефрена как нельзя лучше свидетельствуют об использовании, зодчими Египта целочисленного треугольника 3, 4, 5. Анализ пропорций пирамид не оставляет и тени сомнения в том, что зодчие древнего Египта превосходно знали и высоко ценили отношение золотого сечения. 2.4. Симметрия - Царица архитектурного совершенства Симметрия - одинаковое расположение равных частей по отношению к оси здания. Соблюдение симметрии является первым правилом архитектора при проектировании любого сооружения. Рассматривая симметрию в архитектуре, нас интересовала геометрическая осевая симметрия. В пространстве обычно рассматривается симметрия относительно плоскости симметрии. Этот вид симметрии иногда называют зеркальной симметрией. (Приложение 2.рис 27) Название это оправдано тем, что обе части фигуры, находящиеся по разные стороны от оси симметрии или плоскости симметрии, похожи на некоторый объект и его отражение в зеркале. Архитектурные сооружения, созданные человеком, в большей своей части симметричны. Они приятны для глаза, их люди считают красивыми. Симметричные объекты обладают высокой степенью целесообразности — ведь симметричные предметы более устойчивы. И равной функциональностью в разных направлениях. С тех пор и до наших дней симметрия в сознании человека стала объективным признаком красоты. Примером симметрии является Тадж-Махал. Кроме симметрии в архитектуре можно рассматривать антисимметрию и диссимметрию. 11 Антисимметрия это противоположность симметрии, ее отсутствие. (Приложение 2.рис. 28) Примером антисимметрии в архитектуре является Собор Василия Блаженного в Москве, где симметрия отсутствует полностью в сооружении в целом. Однако, удивительно, что отдельные части этого собора симметричны и это создает его гармонию. Дисимметрия — это частичное отсутствие симметрии, расстройство симметрии, выраженное в наличии одних симметричных свойств и отсутствии других. (Приложение 2.рис. 29) Примером дисимметрии в архитектурном сооружении может служить Екатерининский дворец. (Приложение 2.рис. 30) Завершая, можно констатировать, что красота есть единство симметрии и диссимметрии. Заключение Рассмотрев математику в архитектуре, мы увидели больше, чем красивые здания, мы увидели всю сложность проекта и возведения этих сооружений. На языке архитектуры, можно сказать, что математика – это грандиозное мысленное сооружение. Все сказанное убеждает нас в том, что архитектура и математика на протяжении веков активно влияли друг на друга. Они давали друг другу новые идеи и стимулы, совместно ставили и решали задачи. Мы восхищаемся зданиями, построенные ещё во времена до нашей эры или прошлых веков, говорим себе и окружающим: «Они прекрасны, сложны и долговечны». Но сейчас в России за последние 5-7 лет наши дома уже вошли в полосу стремительно нарастающего износа жилищного фонда, который в ближайшие 10 лет может привести к исчезновению целых районов. И если никаких решений принято не будет (что тоже вероятно), то дома станут массово выходить из строя точно так, как они когда-то возводились. Поэтому люди, проектирующие здания, начали уделять большее внимание математическим расчетам, используемым строительным материалам и украшению фасада здания. В XXI веке геометрия и архитектура превратила наши города в величественные мегаполисы. В современном мире все здания и сооружения имеют различные геометрические формы. В своем проекте мы исследовали, как математика помогает добиться прочности, удобства, красоты архитектурных сооружений, как значимо и ценно отношение золотого сечения и симметрии. 12 Литература 1. А.В. Волошинов. Математика и искусство. М.: Просвещение. 2000. 2. А.В. Иконников. Художественный язык архитектуры. М: Стройиздат. 1992. 3. И.М. Шевелёв, М.А. Марутаев, И.П. Шмелёв. Золотое сечение. М.: Стройиздат. 1990. 4. Захидов П.Ш. Основы гармонии в архитектуре. – Ташкент: Фан, 1982. – 163 с. Фейнберг Е.Л. Две культуры. Интуиция и логика в искусстве и науке. – Фрязино: «Век 2», 2004, 5. Фремптон Кеннет Современная архитектура: Критический взгляд на историю развития/ Пер. с англ. Е.А. Дубченко; под ред. В.Л.Хайта. – М.: Стройиздат, 1990. 6. Фридман И. Научные методы в архитектуре. – М.: Стройиздат, 1983. Интернет источники 1. http://teoriastroiki.ru/spravochnik/fundament/grunty_i_osnovaniya/raschet_f undamenta 2. http://mirputeshestvii.ru/see/showplaces/samye_udivitelnye_i_neobychnye_ zdaniya_v_mire-1022/ 3. http://debri.ru/unusual/28-samye-neobychnye-zdaniya-v-mire-chast-1-50foto.html 4. http://www.cross-kpk.ru/ims/02908/los/html/ornam/2.htm 5. http://pozitiv-news.ru/mir/62-samyih-neobyichnyih-i-neveroyatnyihzdaniya-v-mire.html 6. http://freeams.ru/vdohnovenie/39-samyih-neobyichnyih-zdaniy-v-mire.html 7. http://gigabaza.ru/doc/72052.html 8. http://matematikaiskusstvo.ru/ornam.html 13 Скачано с www.znanio.ru 14
