вероятность

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для А исходов к числу всех
равновозможных исходов
Вероятность события — это число из отрезка [0;1]
В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей. 35 из них чёрные, остальные — жёлтые. Найдите
вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета.
Решение:
Найдем количество желтых автомобилей:
50−35=15
Всего имеется 50 автомобилей, то есть на вызов приедет одна из пятидесяти. Желтых автомобилей 15,
следовательно, вероятность приезда именно желтого автомобиля равна 1550=310=0,3
Ответ:0,3
Противоположные события
Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них
обязательно происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.Событие,
противоположное событию А, записывают (А)−.
Р(А)+Р(А)−=1
Независимые события
Два события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от
того, появилось другое событие или нет. В противном случае события называются зависимыми.
Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению этих вероятностей:
Р(А·В)=Р(А)·Р(В)
Иван Иванович купил два различных лотерейных билета. Вероятность того, что выиграет первый
лотерейный билет, равна 0,15. Вероятность того, что выиграет второй лотерейный билет, равна 0,12.
Иван Иванович участвует в обоих розыгрышах. Считая, что розыгрыши проводятся независимо друг от
друга, найдите вероятность того, что Иван Иванович выиграет в обоих розыгрышах.
Решения:
Вероятность Р(А) - выиграет первый билет.
Вероятность Р(В) - выиграет второй билет.
События А и В – это независимые события. То есть, чтобы найти вероятность того, что они произойдут
оба события, нужно найти произведение вероятностей
Р(А·В)=Р(А)·Р(В)
Р=0,15·0,12=0,018
Ответ: 0,018
Несовместные события
Два события А и В называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие
одновременно как событию А, так и событию В. (События, которые не могут произойти одновременно)
Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
На экзамене по алгебре школьнику достается один вопрос их всех экзаменационных. Вероятность того,
что это вопрос на тему «Квадратные уравнения», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос на
тему «Иррациональные уравнения», равна 0,18. Вопросов, которые одновременно относятся к этим
двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной
из этих двух тем.
Решение:
Данные события называются несовместные, так как школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме
«Квадратные уравнения», ЛИБО по теме «Иррациональные уравнения». Одновременно темы не могут
попасться. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих
событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Р=0,3+0,18=0,48
Ответ: 0,48
Совместные события
Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в
одном и том же испытании. В противном случае события называются несовместными.
Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус
вероятность их произведения:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)−Р(А·В)
В холле кинотеатра два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в
автомате закончится кофе, равна 0,6. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах,
равна 0,32. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из
автоматов.
Решение:
Обозначим события, пусть:
А = кофе закончится в первом автомате,
В = кофе закончится во втором автомате.
Тогда,
А·В= кофе закончится в обоих автоматах,
А+В= кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию, Р(А)= Р(В)=0,6; Р(А·В)=0,32.
События А и В совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей
этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)−Р(А·В)=0,6+0,6−0,32=0,88
Ответ: 0,88
Задачи
1.
В отделении банка стоят три терминала. Каждый из них может быть неисправен с
вероятностью 0,04, независимо от другого терминала. Найдите вероятность того, что хотя бы один
терминал исправен.
2.
В торговом центре два одинаковых автомата продают сладкую вату. Вероятность того, что к концу
дня в автомате закончится сладкая вата, равна 0,6. Вероятность того, что сладкая вата закончится в обоих
автоматах, равна 0,45. Найдите вероятность того, что к концу дня сладкая вата останется в обоих
автоматах.
3.
За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2 девочки.
Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.
4.
В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись
утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,7 погода завтра будет такой же,
как и сегодня. Сегодня 28 марта, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 1
апреля в Волшебной стране будет отличная погода.
1.
В кармане у Миши было четыре конфеты -- "Грильяж", "Белочка", "Коровка" и "Ласточка", а
также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите
вероятность того, что потерялась конфета "Грильяж".
2.
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из
Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 -- из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены,
определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним,
окажется из Швеции.
3.
Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары
случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди
которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом
туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?
4.
В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре
группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами
групп:1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4.1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4.Капитаны команд тянут по одной карточке.
Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?
5.
Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов -- первые три дня по
17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов
определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что доклад профессора Максимова окажется
запланированным на последний день конференции?
6.
В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность
того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
7.
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со
скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат
округлите до сотых.
8.
Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали
ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до
отметки 1 час.
9.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того,
что в первый раз выпадает орел, а во второй -- решка.
10.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того,
что орел выпадет ровно один раз.
11.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того,
что выпадет хотя бы две решки.
12.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме
выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
13.
На рок-фестивале выступают группы -- по одной от каждой из заявленных стран. Порядок
выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать
после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.
14.
В классе 26 человек, среди них два близнеца -- Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят
на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной
группе.
15.
В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят
на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того. что Аня и Нина окажутся в одной группе.
16.
Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же
мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что
мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).
17.
Если гроссмейстер Антонов играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Борисова с
вероятностью 0,52. Если Антонов играет черными, то Антонов выигрывает у Борисова с вероятностью
0,3. Гроссмейстеры Антонов и Борисов играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур.
Найдите вероятность того, что Антонов выиграет оба раза.
18.
В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите
вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что
клиенты заходят независимо друг от друга).
19.
Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт,
равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную
мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события "гарантийный ремонт" от его
вероятности в этом городе?
20.
При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться
от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный
подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.
21.
Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?
22.
Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд
начнет игру с мячом. Команда "Физик" играет три матча с разными командами. Найдите вероятность
того, что в этих играх "Физик" выиграет жребий ровно два раза.
23.
Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить,
какая из команд начнет игру с мячом. Команда "Статор" по очереди играет с командами "Ротор",
"Мотор" и "Стартер". Найдите вероятность того, что "Статор" будет начинать только первую и
последнюю игры.
24.
В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью
0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
25.
По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надежность двух интернет-магазинов.
Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар
доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что
интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин
не доставит товар.
26.
Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле
равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два
промахнулся. Результат округлите до сотых
27.
Помещение освещается фонарем с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в
течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
28.
На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных
вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему "Вписанная окружность", равна 0,2. Вероятность
того, что это вопрос на тему "Параллелограмм", равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к
этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной
из этих двух тем.
29.
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в
автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятость того, что окажется меньше 15
пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.
30.
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97.
Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он
прослужит меньше двух лет, но больше года.
31.
Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67.
Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О.
верно решит ровно 11 задач.
32.
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4
очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей -- 1 очко, если
проигрывает -- 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг
соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
33.
В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись
утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же,
как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6
июля в Волшебной стране будет отличная погода.
34.
В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны
идти в село за продуктами. Артем хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова
вероятность того, что Артем пойдет в магазин?
35.
Чтобы поступить в институт на специальность "Лингвистика", абитуриент должен набрать на ЕГЭ
не менее 70 баллов по каждому из трех предметов -- математика, русский язык и иностранный язык.
Чтобы поступить на специальность "Коммерция", нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трех
предметов -- математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что Петров получит не
менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку -- 0,8, по иностранному языку -- 0,7 и по
обществознанию -- 0,5. Найдите вероятность того, что Петров сможет поступить хотя бы на одну из двух
упомянутых специальностей
36.
При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не
уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не
будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при
каждом последующем -- 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения
цели была не менее 0,98?
Общая памятка по всем разделам теории вероятностей: