Анализ переходного процесса в цепи 2 порядка классическим и операторным методами

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ"
НОВОУРАЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Кафедра промышленной электроники
Пояснительная записка к курсовой работе
по курсу «Теоретические основы электротехники»
На тему:
«Анализ переходного процесса в цепи второго порядка классическим и
операторным методом»
Вариант 5
Выполнил:
Студент группы ЭН-31Д,
Косарев Д.О.
__________ ________
Подпись
Проверил:
Дата
А.А. Тунёва
__________ ________
Подпись
Новоуральск 2023
Дата
Содержание
1. Исходные данные……………………………………………………………………….
3
2 Анализ переходного процесса классическим методом……………………………….
4
3 Анализ переходного процесса операторным методом……………………………......
8
4 Заключение………………………………………………………………………………
10
5 Приложение А…………………………………………………………………………… 11
11.03.04.ПЭ.КР.05.000 ПЗ
Изм. Лист
№ докум
Разраб
Косарев Д.О.
Пров
Тунёва А.А.
Реценз.
Н. Контр.
Зав.каф.
Зиновьев Г.С.
Подпись
Дата
Анализ переходного процесса в цепи
второго порядка классическим и
операторным методом
Литера
Лист
Листов
y
2
12
НТИ НИЯУ МИФИ ЭН-31Д
1 Исходные данные
Параметры схемы:
E= 40 В
e(t)= 40sin(ωt+45°)
R0= 1000 Ом
R1= 1000 Ом
R2= 1000 Ом
Рис.1 – Исходная схема
L= 0.5 Гн
C= 10·10-6 Ф
f= 1000 Гц
φ= 45°
Лист
11.03.04.ПЭ.КР.05.000 ПЗ
Изм. Лист
№ докум
Подпись
Дата
3
2 Анализ переходного процесса классическим методом
Расчет тока и напряжения в схеме до коммутации
Используем область комплексных изображений.
Z1  R0  i w L  1  10  3.142i  10 Ом
1
Z2 
 15.915i Ом
i w C
3
Z3  R2  1  10 Ом
Z3 Z2
3
3
Zvx 
 Z1  1  10  3.126i  10
Z3  Z2
3
3
Ом
Рис.2 – Схема до коммутации
Ek  E exp i

  28.284  28.284i В
 4
ik 
Ek
Zvx
3
 0.011  5.582i  10
uk  Ek  ik Z1  0.086  0.174i
А
В
Рис.3 – Схема после коммутации
Определяем независимые начальные условия:
iL  ik  0.012
В
uC  uk  0.194
В
aL  atan
Im( ik) 
aC  atan
Im( uk) 
  0.476 рад
 Re( ik) 
  1.111 рад
 Re( uk) 
3
iL0minus  iL sin( aL)  5.582  10
uC0minus  uC sin( aC)  0.174
А
В
iL(0-) = iL(0+) = −5.582 ∙ 10−3 А
uC(0-) = uC(0+) = 0.174 В
Лист
11.03.04.ПЭ.КР.05.000 ПЗ
Изм. Лист
№ докум
Подпись
Дата
4
Определяем зависимые начальные условия по законам Кирхгофа:
iL – iC – iR2 = 0
iLR1 + uL + uC + iLR0 = e(t)
iR2R2 – uC = 0
iR2 = −1.738 ∙ 10−4А
iC = −5.755 ∙ 10−3 А
uL = 39.274 В
Определяем скорости реакции:
diL
/dt – diC/dt – diR/dt = 0
/dt·R1 + duL/dt + duC/dt + diL/dt·R0 = de(t)/dt
diL
diR
/dt·R2 – duC/dt = 0
uL
/L – diC/dt – diR/dt = 0
/L·R1 + duL/dt + iC/C + uL/L·R0 = de(t)/dt
uL
diR
/dt·R2 – iC/C = 0
diC
/dt = 79.124
diR
/dt = -0.575
duL
/dt = 99.643
Запишем уравнения изменения напряжения на конденсаторе и силы тока на катушке
индуктивности в момент времени 𝑡 = 0− :
Uc( t)  0.174 sin( w t  1.111   )
3
IL( t)  5.582  10
 sin( w t  0.476   )
Определяем установившиеся значения:
3
3
Ом
3
3
Ом
Z1  R0  R1  i w L  2  10  3.142i  10
Z2 
1
i w C
 15.915i
3
Z3  R2  1  10
Zvx 
Z2 Z3
Z2  Z3
ik_ust 
Ek
Zvx
Ом
Ом
 Z1  2  10  3.126i  10
3
 0.011  2.312i  10
А
Лист
11.03.04.ПЭ.КР.05.000 ПЗ
Изм. Лист
№ докум
Подпись
Дата
5
uk_ust  Ek  ik_ust Z1  0.034  0.168i
iL_ust  ik_ust  0.011
А
uC_ust  uk_ust  0.172
aL_ust  atan
В
В
Im( ik_ust) 
  0.216 рад
 Re( ik_ust) 
Im( uk_ust) 
aC_ust  atan
  1.371 рад
 Re( uk_ust) 
Сводная таблица значений:
0R0
R1
R2
L
t ˃ tпп
0+
u, В
5.582
i, А
−5.582 ∙ 10−3
u, В
5.582
i, А
−5.582 ∙ 10−3
u, В
0.173
i, А
0.173 ∙ 10−3
u, В
39.274
i, А
−5.582 ∙ 10−3
−5.582 ∙ 10−3
u, В
0.174
0.174
0.011 sin( w t  0.216)
0.172 sin( w t  1.371   )
C
i, А
−5.755 ∙ 10−3
Определяем корни характеристического уравнения:
Z1 = R1+R0+pL
Z2 =
1
/pC
Z3 = R2
𝑍вх
𝑍2 ∙ 𝑍3
𝑝2 ∙ 𝑅2 𝐿𝐶 + 𝑝 ∙ (𝐶𝑅2 (𝑅0 + 𝑅1 ) + 𝐿) + (𝑅0 + 𝑅1 + 𝑅2 )
=
+ 𝑍1 =
𝑍2 +𝑍3
𝑝𝐶 + 𝑅2
𝑝2 ∙ 𝑅2 𝐿𝐶 + 𝑝 ∙ (𝐶𝑅2 (𝑅0 + 𝑅1 ) + 𝐿) + (𝑅0 + 𝑅1 + 𝑅2 ) = 0
p1 = −151.975
p2 = −3.948 ∙ 103
Т.к. переходный процесс апериодический, закон изменения свободной составляющей:
𝑓св (𝑡) = 𝐴1 ⋅ ⅇ 𝑝1 𝑡 + 𝐴2 ⋅ ⅇ 𝑝2 𝑡
Определим постоянные интегрирования для тока катушки индуктивности:
{
𝑖𝐿0 = 𝑖𝐿 sin(−0.216) + 𝐴1 + 𝐴2
`
𝑖𝐿0
= 𝑖𝐿 𝜔 cos(−0.216) +𝐴1 𝑝1 + 𝐴2 𝑝2
Лист
11.03.04.ПЭ.КР.05.000 ПЗ
Изм. Лист
№ докум
Подпись
Дата
68
𝐴1 = 4.16 ∙ 10−3
𝐴2 = −4.806 ∙ 10−3
Определим постоянные интегрирования для напряжения конденсатора:
{
𝑢𝐶0 = 𝑢𝐶 sin(1.371) + 𝐴1 + 𝐴2
= 𝑢𝐶 𝜔 cos(1.371) +𝐴1 𝑝1 + 𝐴2 𝑝2
`
𝑢𝐶0
𝐴1 = −0.202
𝐴2 = 0.208
Характеристические уравнения:
𝑖𝐿 (𝑡) = 0.011 ∙ sin(2000𝜋𝑡 − 0.216) + 4.16 ∙ 10
−3
∙ ⅇ−151.975𝑡 − 4.806 ∙ 10−3 ∙ ⅇ−3.948∙10
3
𝑢𝐶 (𝑡) = 0.172 ∙ sin(2000𝜋𝑡 + 1.371 + 𝜋) − 0.202 ∙ ⅇ−151.975𝑡 + 0.208 ∙ ⅇ−3.948∙10
3
𝑡
𝑡
Лист
11.03.04.ПЭ.КР.05.000 ПЗ
Изм. Лист
№ докум
Подпись
Дата
78
3 Анализ переходного процесса Операторным методом
𝐸(𝑝) =
𝐸 ∙ 𝑝 ∙ sin(45° ) + 𝐸 ∙ 𝜔 ∙ cos(45° )
𝑝2 + 𝜔 2
Рис.4 – Операторная схема замещения
φa = uC(p)
φa·(
E(p)+LI0
UC0·Cp
1
+ Cp + 1 ) = R + R + Lp +
p
R2
R0 + R1 + Lp
0
1
7 3
φ𝑎 =
5.25 10
3 2
 p  6.67 10
6 4
5 10
4
 p  49.011 p  8.56 10
3
2
5
8
 p  0.021 p  200 p  8.29 10  p  1.18 10
7 3
A( p )  5.25 10
3 2
 p  6.67 10
6 4
B( p )  5 10
4
 p  49.011 p  8.56 10
3
2
5
8
 p  0.021 p  200 p  8.29 10  p  1.18 10
B(p) = 0
3
P  4.058  10
1
P  147.511
2
3
P  2.781  6.279i  10
3
3
P  2.781  6.279i  10
4
Корни характеристического уравнения, рассчитанные по теореме разложения, совпали с
корнями, рассчитанными классическим методом в пределах погрешностей, значит расчёты
были проведены верно.
Определим постоянные интегрирования по напряжению конденсатора:
6 3
B'( p )  4 5 10
2
5
 p  3 0.021 p  2 200 p  8.29 10
𝐴1 =
𝐴(𝑝1 )
= −0.2
𝐵 ` (𝑝1 )
𝐴2 =
𝐴(𝑝2 )
= 0.2
𝐵 ` (𝑝2 )
Лист
11.03.04.ПЭ.КР.05.000 ПЗ
Изм. Лист
№ докум
Подпись
Дата
8
10
Запишем характеристическое уравнение по напряжению:
𝑈𝐶 (𝑡) = 0.175 ∙ sin(𝜔𝑡 + 4.512) − 0.2 ∙ ⅇ 𝑝1 𝑡 + 0.2 ∙ ⅇ 𝑝2 𝑡
Найдем характеристическое уравнение по току катушки индуктивности:
𝐼𝐿 (𝑡) =
𝑑𝑈𝐶 (𝑡)
0.175
∙𝐶+
𝑑𝑡
1000
𝐼𝐿 (𝑡) = −0.01 ∙ cos(𝜔𝑡 + 1.371) − 6 ∙ 10−6 ∙ ⅇ 𝑝1 𝑡 + 2 ∙ 10−4 ∙ ⅇ 𝑝2 𝑡 +
0.175
1000
Лист
11.03.04.ПЭ.КР.05.000 ПЗ
Изм. Лист
№ докум
Подпись
Дата
9
10
4 Заключение
Таким образом, выполнение данной курсовой работы позволило провести комплексный
анализ переходного процесса классическим и операторным методами, что помогло получить
верные результаты и определить поведение системы на катушке индуктивности и
конденсаторе.
Лист
11.03.04.ПЭ.КР.05.000 ПЗ
Изм. Лист
№ докум
Подпись
Дата
10
5 Приложение А
Уравнения и графики напряжения на конденсаторе и тока на катушке индуктивности,
найденные классическим методом.
SC( t) 
0.174 sin( w t  1.111   ) if t  0
[ 0.172 sin( w t  1.371   )  ( 0.202)  exp( p1 t)  0.208 exp ( p2 t) ] if t  0
0.2
0.05
3
3
SC( t )  210  0.1
3
2.410
6.810
0.0112
0.0156
0.02
 0.25
 0.4
t
SL( t) 
3
5.582  10
 sin ( w t  0.476   ) if t  0

exp(p1t)  4.806  10 3exp(p2t)
3
0.011 sin ( w t  0.216)  4.16  10
if t  0
0.02
0.0113
SL( t )
2.510
3
3
 210
3
 6.2510
3
2.410
6.810
3
0.0112
0.0156
0.02
 0.015
t
Лист
11.03.04.ПЭ.КР.05.000 ПЗ
Изм. Лист
№ докум
Подпись
Дата
11
Уравнения и графики напряжения на конденсаторе и тока на катушке индуктивности,
найденные операторным методом.
SC1( t) 
0.174 sin ( w t  1.111   ) if t  0
[ 0.175 sin( w t  1.371   )  ( 0.2)  exp ( P1 t)  0.2 exp( P2 t) ] if t  0
0.2
0.05
3
SC1( t )  210  0.1
2.410
3
3
6.810
0.0112
0.0156
0.02
 0.25
 0.4
t
SL1( t) 
3
5.582  10
 sin ( w t  0.476   ) if t  0
0.175 w cos ( w t  1.371)  4.16  10 3 P1 ( exp( P1 t) )  4.806  10 3 P2 exp( P2 t)  C  0.175 if t  0
1000
0.02
0.0113
SL1( t )
3
2.510
3
 210
3
 6.2510
3
2.410
6.810
3
0.0112
0.0156
0.02
 0.015
t
Лист
11.03.04.ПЭ.КР.05.000 ПЗ
Изм. Лист
№ докум
Подпись
Дата
12