МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА С.П. КОРОЛЕВА» Институт авиационной и ракетно-космической техники Кафедра сопротивления материалов Расчетно-проектировочная работа №3 «Расчет статически определимых балок» Вариант № 2 Выполнил: Андреев А.Н., студент группы 1201-240507D Проверил: Вакулюк В.С., профессор, д.т.н. Самара 2023 1 ЗАДАНИЕ Заданы схемы балок, размеры и действующие нагрузки, Требуется: – построить эпюры Q и M для балок с буквенными данными, изобразить характер изогнутых осей; – построить эпюры Q и M для балок с числовыми данными, изобразить характер изогнутых осей; – для одной из балок с числовыми данными назначить размеры прямоугольного, квадратного, круглого и кольцевого поперечных сечений, сравнить экономичность балок с различными сечениями; – для одной из балок с числовыми данными провести полную проверку прочности; – для одной из балок с числовыми данными провести анализ напряженного и деформированного состояний в заданной точке этой балки; – для одной из балок с числовыми данными определить прогиб и угол поворота в заданных сечениях. Действующие нагрузки для буквенных балок 𝑞𝑙 F= ; 2 М= 𝑞𝑙 2 4 . Буквенные балки: №2, 208, 414, 620, 826. Числовые балки: №2, 77, 152, 227, 302. Для одной из балок, кроме двутаврового, подбираются: прямоугольное (h/b = 2), круглое, кольцевое (α = d/D = 0,8), квадратное поперечные сечения. В расчётах принимается материал балок сталь Ст. 3 с допускаемым напряжением [σ] = 160 МПа. 2 РЕФЕРАТ Расчетно-проектировочная работа 24 с, 15 рисунков, 4 источника. БАЛКА, РЕАКЦИИ ОПОР, ПОПЕРЕЧНАЯ СИЛА, ИЗГИБАЮЩИЙ МОМЕНТ, ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ, ПРОГИБ, УГОЛ ПОВОРОТА Объектом исследования являются статически определимые балки. Цель работы – расчеты на прочность и жесткость статически определимых балок. В результате работы определены реакции опор, построены эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, показан характер изогнутых осей для заданных балок. Для балок с числовыми данными подобраны двутавровые поперечные сечения. Для одной из числовых балок подобраны также поперечные сечения в виде круга, кольца, прямоугольника и проведено сравнение масс полученных сечений. Для заданной балки с двутавровым сечением проведена полная проверка прочности, определены прогиб и угол поворота в указанных сечениях. Эффективность работы заключается в выборе наиболее экономичного поперечного сечения балки. 3 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ...................................................................................................... 5 1.Расчётные схемы и эпюры балок с буквенными обозначениями ........... 6 2.Расчётные схемы и эпюры балок с числовыми данными ...................... 10 3. Подбор поперечных сечений балки №2 ................................................. 15 3.1 Сравнение масс балок различных сечений .......................................... 16 4. Полная проверка прочности балки №2 ................................................... 17 5. Определение главных напряжений и положение главных площадок аналитическим методом ......................................................................................... 19 5.1 Определение главных напряжений и положение главных площадок графическим методом. ........................................................................................... 20 5.2 Определение эквивалентных напряжений ........................................... 20 6. Определение перемещений числовой балки №227 ............................... 21 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................................................................. 23 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ................................... 24 4 ВВЕДЕНИЕ В настоящее время среди деталей машин часто встречаются балочные конструкции. Поэтому необходимо уметь рассчитывать балки на прочность и жёсткость. Данная работа является актуальной, так как она позволяет получить опыт в расчёте балок на прочность, в том числе в подборе различных поперечных сечений, удовлетворяющих условию необходимой прочности. 5 1.Расчётные схемы и эпюры балок с буквенными обозначениями Рисунок 1 – Балка №2 Рисунок 2 – Балка №208 ∑𝑦 = 0 1 𝑞𝑙 −𝑉𝑎 + F + ∙ 2 2 6 =0 𝑉𝑎 = ∑ 𝑀𝑎 = 0 𝑞𝑙 2 + 𝑞𝑙 4 3𝑞𝑙 = 𝑉𝑎 = 4 1 𝑙 2 2 3 3𝑞𝑙 4 𝑙 −𝑀𝑎 + 𝑀 + 𝑞 ∙ ∙ + 𝐹 ∙ 𝑙 = 0 𝑀𝑎 = 𝑞𝑙 2 4 + 𝑞𝑙 2 12 + 𝑞𝑙 2 2 = 5𝑞𝑙 2 𝑀𝑎 = 6 Рисунок 3 – Балка №414 ∑ 𝑀𝑎 = 0 1 5𝑙 4 6 𝑉𝑏 ∙ 𝑙 − 𝑞𝑙 ∙ 1 𝑙 4 3 − 𝑞𝑙 ∙ − 𝑀 = 0 𝑞𝑙 2 5 1 ( + + 1) 13 𝑉𝑏 = 4 6 3 = 𝑞𝑙 𝑙 24 ∑𝑦 = 0 −𝑉𝑎 − 𝑉𝑎 = − 𝑞𝑙 4 − 𝑞𝑙 4 + 13 24 𝑞𝑙 = 0 𝑞𝑙 𝑞𝑙 13 1 − + 𝑞𝑙 = 𝑞𝑙 4 4 24 24 7 5𝑞𝑙 2 6 Рисунок 4 – Балка №620 1 𝑙 2 3 1 1 𝑙 2 2 3 ∑𝑦 = 0 𝑉𝑎 + ∙ 𝑞 ∙ − 𝐹 = 0 ∑ 𝑀𝑎 = 0 𝑀𝑎 − 𝑀 + ∙ 𝑞 ∙ ∙ 𝑙 − 𝐹 ∙ 𝑙 = 0 1 𝑙 2 3 9 𝑉𝑎 = 𝑞𝑙 − ∙ 𝑞 ∙ 𝑉𝑎 = 𝑞𝑙 3 8 1 1 𝑙 8 1 65 4 2 3 9 2 108 𝑀𝑎 = 𝑞𝑙 2 − ∙ 𝑞 ∙ ∙ 𝑙 + 𝑞𝑙 ∙ 𝑙 = 8 𝑞𝑙 2 𝑀𝑎 = 65𝑞𝑙 2 108 Рисунок 5 – Балка №826 ∑ 𝑀𝑎 = 0 −𝑉𝑏 ∙ 𝑙 + 𝑀 − 𝐹 𝑉𝑏 = ∑𝑦 = 0 𝑉𝑎 + 𝑞𝑙 2 𝑀−𝐹 𝑙 − 𝑞𝑙 2 − 2𝑙 3 𝑙 +𝐹∙ =0 3 𝑙 3 = 𝑞𝑙 − 𝑞𝑙 = 𝑞𝑙 4 6 12 𝑞𝑙 12 =0 9 𝑉𝑎 = 𝑞𝑙 12 2.Расчётные схемы и эпюры балок с числовыми данными Рисунок 6 – Балка №2 10 Рисунок 7 – Балка №77 ∑ 𝑀𝑏 слева = 0 −𝐴 ∙ 3,5 + 25∙3,52 2 + 20 = 0 25 ∙ 3,52 + 20 2 A= = 49,5 кН 3,5 Найдем z, когда Q=0 из соотношения 87,5 ∙ 𝑧 = 173,25 49,5 𝑧 = 38 3,5−𝑧 𝑧 = 1,98 м 1,982 𝑀(1,98) = −20 + 49,5 ∙ 1,98 − 25 ∙ = 29 кН ∙ м 2 11 Рисунок 8 – Балка №152 ∑ 𝑀𝑎 = 0 𝑀𝑎 + 40 ∙ 6 + 𝑀𝑎 = −40 ∙ 6 − −40 − 𝐴 = −40 − Найдем z, когда Q=0 30∙3 2 + 20 + ∙ 5 − 20 ∙ 3 − 2 45∙3 2 ∙1=0 30 ∙ 3 45 ∙ 3 ∙ 5 + 20 ∙ 3 + ∙ 1 = −337,5 кН ∙ м 2 2 ∑𝑦 = 0 −40 − 30∙3 45𝑧 2 3∙2 30∙3 2 + 20 + 45∙3 2 −𝐴 =0 30 ∙ 3 45 ∙ 3 + 20 + = 2,5 кН 2 2 =0 𝑧=√ 6(40+ 30∙3 −20) 2 45 = 2,94 м Тогда 𝑀𝑚𝑖𝑛 будет равен 𝑀𝑚𝑖𝑛 30 ∙ 3 45 ∙ 2,943 = −40 ∙ 5,94 − ∙ 4,94 + 20 ∙ 2,94 + = −337,57 кН ∙ м 2 3∙2∙3 12 Рисунок 9 – Балка №227 ∑ 𝑀𝑏 = 0 𝐴= −𝐴 ∙ 6 + 30 ∙ 3 ∙ 4,5 − 40 ∙ 3 ∙ 1,5 − 60 = 0 30∙3∙4,5−40∙3∙1,5−60 6 ∑𝑦 = 0 = 27,5 кН 𝐴 = 27,5 кН 𝐴 − 30 ∙ 3 + 40 ∙ 3 − 𝐵 = 0 𝐵 = 27,5 − 90 + 120 = 57,5 Найдем 𝑧1 и 𝑧2 , где Q=0 из соотношений 27,5 𝑧1 = 62,5 57,5 3−𝑧1 𝑧2 = 62,5 𝑧1 = 0,917 м 3−𝑧2 𝑧2 = 1,438 м Тогда 𝑀𝑚𝑎𝑥 и 𝑀𝑚𝑖𝑛 будут равны: 𝑀𝑚𝑎𝑥 𝑀𝑚𝑖𝑛 30 ∙ 0,9172 = 27,5 ∙ 0,917 − = 12,6 кН ∙ м 2 40 ∙ 1,4382 = −57,5 ∙ 1,438 + − 60 = −101,3 кН ∙ м 2 13 Рисунок 10 – Балка №302 14 3. Подбор поперечных сечений балки №2 Рисунок 11 – Балка №2 Из условия прочности при плоском изгибе подбираем размеры различных поперечных сечений балки №2 (см. рисунок 11) 𝑊𝑥 ≥ |М|наиб [𝜎] = 125∙103 160∙106 = 781 см3 ; а) Двутавровое сечение I № 36: 𝑊𝑥таб = 743 см3 ; А = 61,9 см2 б) Прямоугольное сечение (h/b = 2). 𝑊𝑥 𝑏ℎ2 2 3 = = 𝑏 6 3 3 3 𝑏 = √ ∙ 781 = 10,5 см 2 ℎ = 2𝑏 = 21см Принимаем b=10,5 см, h=21 см 15 𝐴пр = ℎ ∙ 𝑏 =21∙10,5=220,5 см2 в) Квадратное сечение а3 = 6 𝑊𝑥 3 а = √6 ∙ 781 = 16,7 см Принимаем а = 17 см 𝐴кв = а2 = 172 = см2 г) Круглое сечение кр 𝑊𝑥 𝜋𝐷3 = 32 3 D= √ Принимаем D=20см 𝐴кр = 𝜋𝐷2 4 = 32 ∙ 781 = 19,9 см 𝜋 3,14∙202 4 =314см2 д) Кольцевое сечение (𝛼 = 0.8) 𝑊𝑥кол 𝜋𝐷3 (1 − 𝛼 4 ) = 32 3 32 ∙ 781 𝐷=√ = 23,8 см 3,14(1 − 0.84 ) Принимаем D=24см 𝐴кол = 𝜋𝐷2 4 (1 − 𝛼 2 ) = 3,14∙242 4 (1 − 0,82 ) = 160 см2 3.1 Сравнение масс балок различных сечений mдвут : mкол : mпр : mкв :mкр = Aдвут : Aкол : Aпр : Акв : Aкр =61,8: 160: 220,5: 256: 314=1: 2,6: 3,5: 4,1: 5 Из этого сравнения следует, что при плоском изгибе, самым экономичным является двутавровое сечение. 16 4. Полная проверка прочности балки №2 Двутавр №36 𝑊𝑥 =743см3, 𝐽𝑥 = 13380 cм4, 𝑆𝑥 =423 см3, h = 360 мм, b = 145 мм, d = 7,5 мм, t =12,3 мм 1 опасная точка: Сечение с наибольшим по абсолютной величине значением изгибающего момента М=125 кН*м Ნнаиб= |𝑀|наиб 𝑊𝑥 = 125×103 743×10−6 = 168,2 МПа |160 − 168,2| ∙ 100 = 5,16% < 5% 160 Условие прочности условно выполняется. 2 опасная точка: Сечение с наибольшим по абсолютной величине значением поперечной силы Q=25 кН. отр 𝜏наиб 𝑄 ∙ 𝑆𝑥 25 ∙ 103 ∙ 423 ∙ 10−6 = = = 10,5МПа 𝐼𝑥 ∙ 𝑦 13380 ∙ 10−8 ∙ 7,5 ∙ 10−3 [𝜏] = [𝜎] √3 = 160 √3 = 92,4МПа 𝜏наиб. < [𝜏] Условие прочности выполняется. 3 опасная точка: Сечение с наибольшим сочетанием изгибающего момента М=428,3кН∙м и поперечной силы Q=190кН. 𝜎3 = 𝑦3 = |𝑀|наиб. ∙ 𝑦3 𝐼𝑥 ℎ 360 −𝑡 = − 12,3 = 167,7мм 2 2 125 ∙ 103 . 𝜎3 = ∙ 167,7 ∙ 10−3 = 156,67МПа −8 13380 ∙ 10 отр. 𝑆𝑥 = отр.табл 𝑆𝑥 2 2 1 ℎ 1 36 − ∙ 𝑑 ∙ ( − 𝑡) = 423 − ∙ 0,75 ∙ ( − 1,23) = 317,5см3 2 2 2 2 отр 𝑄 ∙ 𝑆𝑥 25 ∙ 103 ∙ 317,5 ∙ 10−6 𝜏3 = = = 7,9МПа 𝐼𝑥 ∙ 𝑦 13380 ∙ 10−8 ∙ 0,75 ∙ 10−3 17 𝜎экв. = √𝜎32 + 3 ∙ 𝜏32 = √156,672 + 3 ∙ 7,92 = 157,2МПа |160 − 157,2| ∙ 100 = 1,75% 160 Условие прочности выполняется. По результатам вычисления напряжений в третьей опасной точке строим эпюры нормальных и касательных напряжений по высоте двутаврового сечения (рисунок 12) Рисунок 12 – Эпюры нормальных и касательных напряжений по высоте двутаврового сечения 𝜏полк. = 𝜏3 ∙ 𝑑 7,5 = 7,9 ∙ = 0,4 МПа 𝑏 145 отр.табл 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝜏3 ∙ 𝑆𝑥 отр. 𝑆𝑥 = 7,9 ∙ 18 423 = 10,5 МПа 317,5 5. Определение главных напряжений и положение главных площадок аналитическим методом 𝜎𝑦 = 0 𝜎𝑥 = 𝜎3 = 156,67 Мпа 𝜏𝑥𝑦 = 𝜏3 = −7,9 МПа 𝜏𝑦𝑥 = 7,9МПа Рисунок 13 – Напряженное состояние в точке 3 𝜎𝐼,𝐼𝐼 = 1 2 2 ] ∙ [(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 ) ± √(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 ) + 4 ∙ 𝜏𝑥𝑦 2 1 = [156,67 ± √156,672 + 4 ∙ 7,92 ] = 157,1 МПа и 2 𝜎𝐼 = 157,1 МПа − 0,4Мпа 𝜎𝐼𝐼 = −0,4 МПа 𝜎1 = 157,1 МПа 𝜎2 = 0 МПа 𝜎3 = −0,4 МПа tan 𝛼0 = − 𝜏𝑥𝑦 −7,9 =− = 0,05 𝜎𝑥 − 𝜎𝐼𝐼 156,67 − (−0,4) 19 𝛼0 = 2,9° 5.1 Определение главных напряжений и положение главных площадок графическим методом. Рисунок 14 – Круг Мора для напряжений 𝐷𝛼 (𝜎𝑥 , 𝜏𝑥𝑦 ) 𝐷𝛽 (𝜎𝑦 , 𝜏𝑦𝑥 ) 5.2 Определение эквивалентных напряжений 𝜎экв.𝐼𝐼𝐼 = 𝜎1 − 𝜎3 = 157,1 − (−0,4) = 157,5 МПа 𝜎экв.𝐼𝑉 = √𝜎12 + 𝜎22 + 𝜎32 − 𝜎1 ∙ 𝜎2 − 𝜎2 ∙ 𝜎3 − 𝜎1 ∙ 𝜎3 = √157,12 + 02 + (−0,4)2 − 0 − 0 + 157,1 ∙ 0,4 = 157,3 МПа |160 − 157,5| ∙ 100 = 1,56% 160 |160 − 157,3| ∙ 100 = 1,68% 160 Условия прочности выполняются 20 6. Определение перемещений числовой балки №227 Составляем выражение изгибающего момента для произвольных сечений на каждом участке балки №227(см. рисунок 15). Двутавр №.33 |𝑀наиб | 101,3 ∙ 103 = = = 633см3 6 [𝜎] 160 ∙ 10 𝑊𝑥 𝑊𝑥табл = 597см3 𝐼𝑥 = 9840см4 Рисунок 15 – Балка №227 Перемещение в точки C. 1 участок: 0 ≤ 𝑧1 ≤ 3 𝑀(𝑧1 ) = −57,5𝑧1 + 40 𝐸𝐼𝑥 𝑦1′′ 𝐸𝐼𝑥 𝑦1′ 𝐸𝐼𝑥 𝑦 = 5𝑧14 3 − 57,5𝑧13 6 𝑧1 2 2 − 60 𝑧1 2 = −57,5𝑧1 + 40 − 60 2 20𝑧13 57,5𝑧12 = − − 60𝑧1 + 𝐶1 3 2 − 30𝑧12 + 𝐶1 𝑧1 + 𝐷1 - Уравнение прогибов 21 2 участок: 0 ≤ 𝑧2 ≤ 3 𝑀(𝑧2 ) = 27,5𝑧2 − 30 𝐸𝐼𝑥 𝑦2′′ 𝐸𝐼𝑥 𝑦2′ 𝑧2 2 2 𝑧2 2 = 27,5𝑧2 − 30 2 27,5𝑧22 = − 5𝑧2 3 + 𝐶2 2 27,5𝑧23 5𝑧24 𝐸𝐼𝑥 𝑦2 = − + 𝐶2 𝑧2 + 𝐷2 6 4 Постоянные интегрирования определим из граничных условий: При z1=0, 𝐷1 = 0 и при 𝑧2 = 0 𝐷2 = 0 При z2=3м, z1=3м, 𝑦1′ = −𝑦2′ 𝑦1 = 𝑦2 Подставляем z2 в уравнения, которые написаны выше 5 ∙ 34 57,5 ∙ 33 27,5 ∙ 33 5 ∙ 34 − − 30 ∙ 9 + 3𝐶1 = − + 3 ∙ 𝐶2 3 6 6 4 20 ∙ 33 57,5 ∙ 32 27,5 ∙ 32 − − 60 ∙ 3 + 𝐶1 = − + 5 ∙ 33 − 𝐶2 3 2 2 Решаем эту систему равенств. 3𝐶1 − 3𝐶2 = 416,25 С1 = 204,375 кН ∙ м2 𝐶1 = 270 − 𝐶2 С2 = 65,625 кН ∙ м2 Находим 𝑦𝑐 и 𝜃𝑎 27,5 ∙ 33 5 ∙ 34 − + 3 ∙ 65,625 219,375 ∙ 103 6 4 𝑦𝑐 = 𝑦2 (3) = = 𝐸𝐼𝑥 2 ∙ 1011 ∙ 9840 ∙ 10−8 = 0,011м = 11мм Перемещение вверх 𝜃𝑎 = 𝑦1′ (0) С2 65,625 ∙ 103 = = = 0,00333 рад. = 3,33 ∙ 10−3 рад. 𝐸𝐼𝑥 2 ∙ 1011 ∙ 9840 ∙ 10−8 Поворот против часовой стрелки. Уточняем характер изогнутой оси балки, с учётом полученных результатов. 22 ЗАКЛЮЧЕНИЕ После выполнения данной расчетно-проектировочной работы появился опыт в построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в статически определимых балках, что позволяет рассчитывать балки на прочность, подбирать заданные поперечные сечения, удовлетворяющие условию необходимой прочности. Проведён сравнительный экономический анализ различных поперечных сечений заданной балки и установлено, что наиболее экономичным (с точки зрения минимальной массы) является двутавровое сечение. Появились навыки нахождения перемещений в заданном сечении балки с помощью дифференциального уравнения изогнутой оси. 23 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов: учебник для втузов [Текст] / В.И. Феодосьев. – М.: МГТУ им. Баумана, 2018. – 544 с. 2. Расчётно-проектировочные и курсовые работы по сопротивлению материалов [Текст]: учебное пособие для студентов втузов / А.С. Букатый, В.С. Вакулюк, О.В. Каранаева, [и др.]. – Самара: Изд-во Самарского университета, 2017. – 138 с. 3. СТО 02068410-004-2018. Общие требования к учебным текстовым документам [Текст]. - Самара: Изд-во Самарского университета, 2018. – 36с. 4. Расчёты брусьев на прочность и устойчивость [Текст]: учебное пособие для студентов втузов / Ю. Н. Сургутанова [и др.]. – Самара: Изд-во Самарского университета, 2017. – 112 с. 24
