Объем прямоугольного параллелепипеда. Объем куба Понятие объёма Еще в глубокой древности у людей возникла необходимость в измерении количества различных веществ. Сыпучие вещества и жидкости можно было мерить, наполняя ими сосуды определенной вместимости, т.е. определяя их количество по объему. Понятие объема в стереометрии вводится аналогично понятию площади в планиметрии. В планиметрии мы определяли площадь так: площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Аналогично можно сформулировать понятие объёма тела. Величина части пространства, занимаемого геометрическим телом, называется объёмом этого тела. Единицы измерения объёма тоже определяются аналогично единицам измерения площади. За единицу измерения объёмов приняли куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Вспомним, что в планиметрии две фигуры назывались равными, если их можно совместить наложением. Аналогично, два тела называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 1 изображены два равных прямоугольных параллелепипеда с равными измерениями. Два равных прямоугольных параллелепипеда Равные фигуры в планиметрии имели равные площади, значит, можем сказать, что равные тела имеют равные объёмы. Ещё знаем, что если фигура в планиметрии составлена из нескольких фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур. Аналогичным свойством обладает и объём. Тело, составленное из цилиндра и конуса На рисунке 2 тело состоит из конуса и цилиндра, значит его объём равен сумме объёмов этих двух тел. Таким образом, получили основные свойства объемов. Свойства объемов. 1. Равные тела имеют равные объемы. 2. Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел. Объём прямоугольного параллелепипеда Формула объёма прямоугольного параллелепипеда известна ещё с 5 класса: V = abc где a, b и c – измерения прямоугольного параллелепипеда. А вообще существует специальная теорема. Теорема. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений. Рассмотрим важные следствия из теоремы об объёме прямоугольного параллелепипеда. Следствие 1. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту, т.е. Следствие 2. Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту, т.е. Решение практических задач 1. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке 4 (все двугранные углы многогранника прямые). 2. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 2 и 7, боковое ребро призмы равно 6. Найдите объём призмы. 3. Длины сторон основания прямоугольного параллелепипеда равны 15 см и 20 см. Высота параллелепипеда равна диагонали основания. Найдите объём этого параллелепипеда. 4. 5. 6. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 2 и 7, боковое ребро призмы равно 6. Найдите объём призмы. Длины сторон основания прямоугольного параллелепипеда равны 15 см и 20 см. Высота параллелепипеда равна диагонали основания. Найдите объём этого параллелепипеда. Решение: Найдём длину диагонали основания, для этого воспользуемся теоремой Пифагора: А теперь найдём объём параллелепипеда: V = 15 ∙ 20 ∙ 25 = 7500 см3 Ответ: V = 7500 см3.
