. 1. ИНФОРМАЦИЯ О РАЗРАБОТЧИКЕ ПЛАНА ФИО разработчика Егорова Наталья Александровна Место работы МБОУ Гимназия №5 города Новосибирска 2. ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ ПО УРОКУ Класс 10 Место урока (по тематическому планированию ПРП) Перпендикулярность прямых и плоскостей Тема урока Теорема о трех перепендикулярах Уровень изучения (укажите один или оба уровня изучения Базовый (базовый, углубленный), на которые рассчитан урок): Тип урока (укажите тип урока): ☐ урок освоения новых знаний и умений ☐ урок-закрепление ☐ урок-повторение ☐ урок систематизации знаний и умений ☐ урок развивающего контроля ☐ комбинированный урок ☐ другой (впишите) Планируемые результаты (по ПРП): Личностные Формировать учебную мотивацию, адекватную самооценку, необходимость приобретения новых знаний, готовность и способность 1 обучающихся к саморазвитию и самообразованию; стремиться свободно и правильно излагать свои мысли, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры; формировать способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений; умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности. Метапредметные Совершенствование навыков исследования и анализа, умений сравнивать и анализировать умения устанавливать причинно-следственные связи; строить логические рассуждения; умения организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками. Предметные Знать теорему о трех перпендикулярах, теорему, обратную теореме о трех перпендикулярах. Уметь находить эти три перпендикуляра. Применять полученные знания при решении задач; Ключевые слова (введите через запятую список ключевых слов, характеризующих урок): Учебная задача, урок открытия нового знания. Перпендикулярность прямой и плоскости (признак). Расстояние от точки до плоскости. Перпендикуляр к плоскости. Наклонная к плоскости. Основание наклонной. Теорема о трёх перпендикулярах и теорема, обратная ей. Краткое описание (введите аннотацию к уроку, укажите используемые материалы/оборудование/электронные образовательные ресурсы) Урок усвоения новых знаний. Урок моделирования и преобразования модели. Урок постановки учебной задачи. Учебная задача – это такая задача, решая которую учащиеся открывают для себя наиболее общий способ действия для целого класса задач. Постановочный урок – перед учащимися ставится учебная задача, демонстрируется ограниченность старого, освоенного способа действий и начинается поиск нового способа, подходящего к поставленной задаче. Результатом урока должно быть самостоятельное формулирование учащимися теоремы о трех перпендикулярах и обратной ей. Подборка задач, приводящая учащихся к достижению цели. Интерактивная доска. 3. БЛОЧНО-МОДУЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ УРОКА БЛОК 1. Вхождение в тему урока и создание условий для осознанного восприятия нового материала Этап 1.1. Мотивирование на учебную деятельность Укажите формы организации учебной деятельности на данном этапе урока. Опишите конкретную учебную установку, вопрос, задание, интересный факт, которые мотивируют мыслительную деятельность школьника (это интересно/знаешь ли ты, что) 2 Расскажу вам сказку. Давно это было. В те далекие времена ЕГЭ еще не было, а экзамены были. Проходили они в школе. Каждый класс в своей. И обязательными были два предмета для устной сдачи. И часто 11-ники выбирали для сдачи устный экзамен по геометрии. А сдать экзамен по геометрии было не так просто. Нужно было вытянуть билет (это самый простой этап), доказать теоремы в билете, решить оттуда задачи да еще и ответить на дополнительные вопросы членов экзаменационной комиссии. А комиссия, когда видит, что ученик всё знает и надо ему 5 ставить, обязательно его про ЭТУ теорему еще спросит. И ждёт. Ну уж если сформулирует ученик теорему, то ему и 5 поставят, и умницей назовут и до двери с уважением проводят. Да… Давно это было. Только теорема эта никуда не делась. Вот и мы до неё добрались. Этап 1.2. Актуализация опорных знаний Укажите формы организации учебной деятельности и учебные задания для актуализации опорных знаний, необходимых для изучения нового Устная работа с фиксированием ответа в тетради (20 секунд на вопрос). 1. Верно ли утверждение: «Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости»? 2. Верно ли утверждение: «Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости»? 3. Как расположены по отношению друг к другу ребра, выходящие из одной вершины куба? 4. Как расположены плоскости верхней и нижней граней по отношению к боковым ребрам? 5. Что можно сказать о двух (трех, четырех) прямых, перпендикулярных к одной плоскости? 6. Верно ли утверждение: «Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны»? Обсуждение ответов учащихся. A A a M H α M H E C B A Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости? (Как кратчайшее расстояние от точки до прямой, как длина перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.) Вспомнить, как называются отрезки АМ, AH, МН. Определить расстояние от точки до плоскости (Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, проведенного из этой точки к этой плоскости). 1. Д а н о : Е ∉(ABCD), ABCD – прямоугольник. ВЕ ⊥ АВ, ВЕ ⊥ ВС. Доказать, что:а)ВЕ ⊥ CD; б) CD ⊥ (ВСЕ). D 3 D 2. Д а н о : ABCD – тетраэдр, BD ⊥ ВС, DC ⊥ АС, ∠ АСВ = 90°. B A Доказать, что AC⊥ BCD, АС ⊥ BD. A 3. Д а н о : ABCD – тетраэдр. AD ⊥ АС, AD ⊥ АВ, DC ⊥ СВ. Доказать, что: а) AD ⊥ ВС; б) ВС ⊥ (ADC). C D B C D Дано: AD (АВС), АВ = 5, АС = 4, СВ = 3, AD = 6. Определите вид Δ АСВ. 6 A 5 4 B 3 C D 2. Д а н о : AD ⊥ (АВС), ∠ АСВ = 90°. Доказать, что: а) AD ⊥ CB; б) СВ ⊥ (ADC); в) СВ ⊥ CD. A B C Сможем ли мы доказать это утверждение без метрических данных? Что общего у всех решенных задач? Наличие перпендикуляра, наклонной, проекции наклонной. И еще важный компонент, который раньше не называли: через основание наклонной проходит прямая. И всегда эта прямая оказывается перпендикулярна либо наклонной, либо ее 4 проекции. Какой вывод можно сделать? В последней задаче без метрических данных маркерами разного цвета выделяются наклонная, её проекция, перпендикуляр, прямая, проведенная через основание наклонной. Это помогает учащимся сформулировать теорему. Какое утверждение вы доказали? Это утверждение получило название теоремы о трех перпендикулярах. Этап 1.3. Целеполагание Назовите цель (стратегия успеха): ты узнаешь, ты научишься На этом уроке мы научимся применять открытую нами теорему к решению задач. На этом уроке мы научимся применять открытую нами теорему к решению задач. В самом ли деле эта теорема такая замечательная? БЛОК 2. Освоение нового материала Этап 2.1. Осуществление учебных действий по освоению нового материала Укажите формы организации учебной деятельности, включая самостоятельную учебную деятельность учащихся (изучаем новое/открываем новое). Приведите учебные задания для самостоятельной работы с учебником, электронными образовательными материалам (рекомендуется обратить внимание учеников на необходимость двукратного прочтения, просмотра, прослушивания материала. 1) на общее понимание и мотивацию 2) на детали). Приведите задания по составлению плана, тезисов, резюме, аннотации, презентаций; по наблюдению за процессами, их объяснением, проведению эксперимента и интерпретации результатов, по построению гипотезы на основе анализа имеющихся данных и т.д. К доске выходят 5 человек. Учащиеся решают те же задачи, но применяя теорему о трех перпендикулярах. Каждый ответ начинается с анализа приведенного чертежа: указать перпендикуляр, наклонную, проекцию наклонной, прямую, проведенную через основание наклонной. Сформулировать теорему. Сделать на основе теоремы вывод о перпендикулярности. Этап 2.2. Проверка первичного усвоения Укажите виды учебной деятельности, используйте соответствующие методические приемы. (Сформулируйте/Изложите факты/Проверьте себя/Дайте определение понятию/Установите, что (где, когда)/Сформулируйте главное (тезис, мысль, правило, закон) A α B a΄ C 1. Верно ли утверждение: «Если прямая, принадлежащая плоскости, перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной»? (Верно.) Обоснуйте ответ. a 5 A a α M H 2. Верно ли утверждение: «Если прямая перпендикулярна проекции наклонной, то эта прямая перпендикулярна наклонной»? (Неверно.) Какое условие теоремы о трех перпендикулярах здесь не выполняется? (Прямая не принадлежит плоскости.) БЛОК 3. Применение изученного материала Этап 3.1. Применение знаний, в том числе в новых ситуациях Укажите формы организации соответствующего этапа урока. Предложите виды деятельности (решение задач, выполнение заданий, выполнение лабораторных работ, выполнение работ практикума, проведение исследовательского эксперимента, моделирование и конструирование и пр.), используйте соответствующие методические приемы (используй правило/закон/формулу/теорию/идею/принцип и т.д.; докажите истинность/ложность утверждения и т.д.; аргументируйте собственное мнение; выполните задание; решите задачу; выполните/сделайте практическую/лабораторную работу и т.д.). Работа в парах. Один учащийся из пары выходит к доске. B1 C1 D1 A1 B A C 1. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 : 1) ребро А 1 В 1 перпендикулярно диагонали В 1 С грани ВСС 1 В 1 ; 2) диагональ А 1 С перпендикулярна диагонали BD основания ABCD. Докажите. D 6 D α A 60° 30° 2.1) Д а н о : ∠ А = 30°; ∠ АВС = 60°, DB ⊥ АВС. Докажите, что СD ⊥ АС. B C D α B A C M B D A α 2) Д а н о : ∠ ВАС = 40°, ∠ АСВ = 50°, AD ⊥ АВС. Докажите, что СВ ⊥ BD. C 3.1) Д а н о : МА ⊥ (АВС), АВ = АС, CD = BD. Докажите, что MD ⊥ ВС 2) Д а н о : МА ⊥ (АВС), BD = CD, MD ⊥ ВС. Докажите, что АВ = АС. K F α A D B E 4. Д а н о : АЕ и CF – высоты, ВK ⊥ АВС. Докажите, что KD ⊥ АС. C Этап 3.2. Выполнение межпредметных заданий и заданий из реальной жизни Подберите соответствующие учебные задания На строящийся дом размером 8х 10 х4 метров, строители устанавливают равноскатную крышу. Уже поставили опорные балки, высотой 3 метра, перпендикулярно поверхности чердака. Сколько упаковок черепицы нужно купить для покрытия крыши, если известно, что одна упаковка рассчитана на покрытие площади в 2,7 м2? 7 Дано: АВ = 8 м, ВС = 10м, EF = 3 м, ВК = 4 м, AF = FB, EF⊥(ABCD) Найти: S= Решение EF⊥(ABCD), то EF⊥АВ, а в равнобедренном треугольнике высота является медианой и биссектрисой АЕ=1/2АВ=4 м. 2) прямоугольный по теореме Пифагора 1) AF = FB AF=FB= =5 Учащимся предлагается доказать, что AFMD и FBCM прямоугольники, используя теорему о трех перпендикулярах. Этап 3.3. Выполнение заданий в формате ГИА (ОГЭ, ЕГЭ) Подберите соответствующие учебные задания Этап 3.4. Развитие функциональной грамотности Подберите соответствующие учебные задания Задания урока подобраны так, чтобы формировать функциональную грамотность в направлении математической и естественнонаучной грамотности. В направлении базовых логических действий: выявлять и характеризовать существенные признаки объектов (явлений); устанавливать существенный признак классификации, основания для обобщения и сравнения, критерии проводимого анализа; 8 с учетом предложенной задачи выявлять закономерности и противоречия в рассматриваемых фактах, данных и наблюдениях; предлагать критерии для выявления закономерностей и противоречий; самостоятельно выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько вариантов решения, выбирать наиболее подходящий с учетом самостоятельно выделенных критериев). В направлении базовых исследовательских действий: формировать гипотезу об истинности собственных суждений и суждений других, аргументировать свою позицию, мнение; самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам проведенного наблюдения, опыта, исследования, владеть инструментами оценки достоверности полученных выводов и обобщений; прогнозировать возможное дальнейшее развитие процессов, событий и их последствия в аналогичных или сходных ситуациях, выдвигать предположения об их развитии в новых условиях и контекстах. Этап 3.5. Систематизация знаний и умений Подберите учебные задания на выявление связи изученной на уроке темы с освоенным ранее материалом/другими предметами Урок построен в непосредственной связи с ранее освоенным материалом. Систематизация достигнутых ранее знаний и умений позволяет открыть новое знание. E C B 1. Д а н о : Е ∉(ABCD), ABCD – прямоугольник. ВЕ ⊥ АВ, ВЕ ⊥ ВС. Доказать, что:а)ВЕ ⊥ CD; б) CD ⊥ (ВСЕ). D A D 2. Д а н о : ABCD – тетраэдр, BD ⊥ ВС, DC ⊥ АС, ∠ АСВ = 90°. B A Доказать, что AC⊥ BCD, АС ⊥ BD. C 9 D A B 3. Д а н о : ABCD – тетраэдр. AD ⊥ АС, AD ⊥ АВ, DC ⊥ СВ. Доказать, что: а) AD ⊥ ВС; б) ВС ⊥ (ADC). C D 6 A 5 4 B Дано: AD (АВС), АВ = 5, АС = 4, СВ = 3, AD = 6. Определите вид Δ АСВ. 3 C Задачи предлагется решить непосредственно, используя признак перпендикулярности прямой и плоскости, и используя открытую и сформулированную на уроке теорему. БЛОК 4. Проверка приобретенных знаний, умений и навыков Этап 4.1. Диагностика/самодиагностика Укажите формы организации и поддержки самостоятельной учебной деятельности ученика, критерии оценивания Исследовательская работа в парах. БЛОК 5. Подведение итогов, домашнее задание Этап 5.1. Рефлексия Введите рекомендации для учителя по организации в классе рефлексии по достигнутым либо недостигнутым образовательным результатам Предлагается сделать вывод о полезности открытой теоремы на основе решаемых задач. Этап 5.2. Домашнее задание Введите рекомендации по домашнему заданию. Решить задачи двумя способами: по признаку и по теореме о трех перпендикулярах. При последующей проверке к доске пойдут те, кто не был у доски на данном уроке. Каждый учащийся должен таким образом сформулировать теорему, четко находить перпендикуляр, наклонную, проекцию наклонной. Понимать связь признака и теоремы. 10 M ⊥ (АВС), АВ = АС, CD = DB. Докажите, что MD ⊥ ВС. 1. АМ B A D C M 2. B C ABCD параллелограмм, – BM ⊥ (АВС), МС ⊥ DC. Определите вид параллелограмма ABCD. D A M 3. B O A ABCD C B ∠ С = 90°, О – центр описанной ⊥ OD (АВС), АВ = 5, АС = 3. D D Определите вид параллелограмма ABCD. 4. Δ АВС, O A параллелограмм, – ⊥ (АВС), МO ⊥ BD. CM окружности, АМ = МС, Найдите DM. C D 15 A M 12 5. Δ АВС, АВ = ВС = АС, CD B Найдите S ADB . ⊥ (АВС),АМ = МВ, DM = 15, CD = 12. C D A 2 1 B 6. Δ AD = 2 BD. АВС, Найдите ∠ 1 + ∠ 2. ∠С = 90°, BD ⊥ (АВС), C 11 12
