10-16

10. Общая начальная математическая подготовка в 1-4 классах
Особенность обучения в начальной школе состоит в том, что именно на данной ступени у учащихся
начинается формирование элементов учебной деятельности.
Основу данного курса составляют пять взаимосвязанных содержательных линий: элементы арифметики;
величины и их измерение; логико-математические понятия; алгебраическая пропедевтика; элементы
геометрии. Для каждой из этих линий отобраны основные понятия, вокруг которых развёртывается всё
содержание обучения. Понятийный аппарат включает следующие четыре понятия, вводимые без
определений: число, отношение, величина, геометрическая фигура.
В соответствии с требованиями стандарта начального общего образования в современном учебном процессе
предусмотрена работа с информацией (представление, анализ и интерпретация данных, чтение диаграмм и
пр.). В курсе математики этот материал не выделяется в отдельную содержательную линию, а регулярно
присутствует при изучении программных вопросов, образующих каждую из вышеназванных линий
содержания обучения.
Общее содержание разделами: «Число и счёт», «Арифметические действия и их свойства», «Величины»,
«Работа с текстовыми задачами», «Геометрические понятия», «Логико-математическая подготовка», «Работа
с информацией».
Формирование первоначальных представлений о натуральном числе начинается в 1 классе. При этом
последовательность изучения материала такова: учащиеся знакомятся с названиями чисел первых двух
десятков, учатся называть их в прямом и в обратном порядке; затем, используя изученную
последовательность слов (один, два, три, ... , двадцать), учатся пересчитывать предметы, выражать результат
пересчитывания числом и записывать его цифрами.
На первом этапе параллельно с формированием умения пересчитывать предметы начинается подготовка к
решению арифметических задач, основанная на выполнении практических действий с множествами
предметов. При этом арифметическая задача предстаёт перед учащимися как описание некоторой реальной
жизненной ситуации; решение сводится к простому пересчитыванию предметов. Упражнения подобраны и
сформулированы таким образом, чтобы у учащихся накопился опыт практического выполнения не только
сложения и вычитания, но и умножения и деления, что в дальнейшем существенно облегчит усвоение смысла
этих действий.
На втором этапе внимание учащихся привлекается к числам, данным в задаче. Решение описывается
словами: «пять и три - это восемь», «пять без двух - это три», «три по два - это шесть», «восемь на два - это
четыре». Ответ задачи пока также находится пересчитыванием.
Такая словесная форма решения позволяет подготовить учащихся к выполнению стандартных записей
решения с использованием знаков действий. На третьем этапе после введения знаков +, :, = учащиеся
переходят к обычным записям решения задач.
Таблица сложения однозначных чисел и соответствующие случаи вычитания изучаются в 1 классе в полном
объёме. При этом изучение табличных случаев сложения и вычитания не ограничивается вычислениями в
пределах чисел первого десятка: каждая часть таблицы сложения (прибавление чисел 2, 3, 4, 5, ...)
рассматривается сразу на числовой области 1-20.
Происходит ознакомление учащихся с общими способами выполнения арифметических действий. При этом
приоритет отдаётся письменным вычислениям. Устные вычисления ограничены лишь простыми случаями
сложения, вычитания, умножения и деления, которые без затруднений выполняются учащимися в уме.
Устные приёмы вычислений часто выступают как частные случаи общих правил.
Обучение письменным приёмам сложения и вычитания начинается во 2 классе. Овладев этими приёмами с
двузначными числами, учащиеся легко переносят полученные умения на трёхзначные числа (3 класс) и
вообще на любые многозначные числа (4 класс).
Письменные приёмы выполнения умножения и деления включены в программу 3 класса. Изучение
письменного алгоритма деления проводится в два этапа. На первом этапе предлагаются лишь такие случаи
деления, когда частное является однозначным числом. Это наиболее ответственный и трудный этап - научить
ученика находить одну цифру частного.
Овладев этим умением (при использовании соответствующей методики), ученик легко научится находить
каждую цифру частного, если частное - неоднозначное число (второй этап). В целях усиления практической
направленности обучения в арифметическую часть программы с 1 класса включён вопрос об ознакомлении
учащихся с микрокалькулятором и его использовании при выполнении арифметических расчётов.
Изучение величин распределено по темам программы таким образом, что формирование соответствующих
умений производится в течение продолжительных интервалов времени. С первой из величин (длиной) дети
начинают знакомиться в 1 классе: они получают первые представления о длинах предметов и о практических
способах сравнения длин; вводятся единицы длины - сантиметр и дециметр. Длина предмета измеряется с
помощью шкалы обычной ученической линейки. Одновременно дети учатся чертить отрезки заданной длины
(в сантиметрах, в дециметрах, в дециметрах и сантиметрах). Во 2 классе вводится понятие метра, а
в 3 классе - километра и миллиметра и рассматриваются важнейшие соотношения между изученными
единицами длины. Понятие площади фигуры - более сложное. Однако его усвоение удаётся существенно
облегчить и при этом добиться прочных знаний и умений благодаря организации большой подготовительной
работы. Идея подхода заключается в том, чтобы научить учащихся, используя практические приёмы, находить
площадь фигуры, пересчитывая клетки, на которые она разбита. Эта работа довольно естественно
увязывается с изучением таблицы умножения.
Дети приобретают необходимый опыт нахождения площади фигуры (в том числе прямоугольника) и в то же
время за счёт дополнительной тренировки (пересчитывание клеток) быстрее запоминают таблицу
умножения. Этот (первый) этап довольно продолжителен. После того как дети приобретут достаточный
практический опыт, начинается второй этап, на котором вводятся единицы площади: квадратный сантиметр,
квадратный дециметр и квадратный метр. Теперь площадь фигуры, найденная практическим путём
(например, с помощью палетки), выражается в этих единицах.
Наконец, на третьем этапе, во 2 классе, т. е. раньше, чем это делается традиционно, вводится правило
нахождения площади прямоугольника. Такая методика позволяет добиться хороших результатов: с полным
пониманием сути вопроса учащиеся осваивают понятие «площадь», не смешивая его с понятием «периметр»,
введённым ранее.
Предполагается некоторое расширение представлений младших школьников об измерении величин: в
программу введено понятие о точном и приближённом значениях величины. Суть вопроса состоит в том,
чтобы учащиеся понимали, что при измерениях с помощью различных бытовых приборов и инструментов
всегда получается приближённый результат; поэтому измерить данную величину можно только с
определённой точностью.
Происходит подготовка учащихся к освоению в основной школе элементарных алгебраических понятий:
переменная, выражение с переменной, уравнение. Эти термины в курс не вводятся, однако рассматриваются
разнообразные выражения, равенства и неравенства, содержащие «окошко» (1-2 классы) и буквы латинского
алфавита (3-4 классы), вместо которых подставляются те или иные числа.
На первом этапе работы с равенствами неизвестное число, обозначенное буквой, находится подбором, на
втором - в ходе специальной игры «в машину», на третьем - с помощью правил нахождения неизвестных
компонентов арифметических действий. Обучение решению арифметических задач с помощью составления
равенств, содержащих буквы, ограничивается рассмотрением отдельных их видов, на которых
иллюстрируется суть метода.
Учащиеся овладевают многими
Важными логико-математическими понятиями. Они знакомятся, в частности, с математическими
высказываниями, с логическими связками «и»; «или»; «если ... , то»; «неверно, что...», со смыслом логических
слов «каждый», «любой», «все», «кроме», «какой-нибудь», составляющими основу логической формы
предложения, используемой в логических выводах.
К окончанию начальной школы ученик будет отчётливо представлять, что значит доказать какое-либо
утверждение, овладеет простейшими способами доказательства, приобретёт умение подобрать конкретный
пример, иллюстрирующий некоторое общее положение, или привести опровергающий пример, научится
применять определение для распознавания того или иного математического объекта, давать точный ответ на
поставленный вопрос и пр.
Важной составляющей линии логического развития ученика является обучение (уже с 1 класса) действию
классификации по заданным основаниям и проверка правильности его выполнения. В программе чётко
просматривается линия развития геометрических представлений учащихся. Дети знакомятся с наиболее
распространёнными геометрическими фигурами (круг, многоугольник, отрезок, луч, прямая, куб, шар, конус,
цилиндр, пирамида, прямоугольный параллелепипед), учатся их различать. Большое внимание уделяется
взаимному расположению фигур на плоскости, а также формированию графических умений - построению
отрезков, ломаных, окружностей, углов, многоугольников и решению практических задач (деление отрезка
пополам, окружности на шесть равных частей и пр.).
Большую роль в развитии пространственных представлений играет включение в программу (уже в 1 классе)
понятия об осевой симметрии. Дети учатся находить на рисунках и показывать пары симметричных точек,
строить симметричные фигуры.
Важное место в формировании у учащихся умения работать с информацией принадлежит арифметическим
текстовым задачам. Работа над задачами заключается в выработке умения не только их решать, но и
преобразовывать текст: изменять одно из данных или вопрос, составлять и решать новую задачу с
изменёнными данными и пр. Форма предъявления текста задачи может быть разной (текст с пропуском
данных, часть данных представлена на рисунке, схеме или в таблице). Нередко перед учащимися ставится
задача обнаружения недостаточности информации в тексте и связанной с ней необходимости корректировки
этого текста.
11. Различные трактовки понятия тождества
Существуют различные подходы к понятию тождества. Выделяют три основных подхода, которые
характеризуются следующими определениями:
Определение 1 Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.
Выражения, связанные знаком тождественного равенства, называются тождественно равными.
12. Методика изучения геометрических измерений
1 Методика изучения длин в курсе геометрии средней школы
В традиционной школе изучение величин начинается с длины предметов.
Теория измерения длины отрезков может быть построена по такой схеме:
· Определение длины отрезка как вещественного числа;
· Описание процедуры измерения отрезка;
· Установление существования и единственности длины отрезка при данном выборе единицы измерения с
использованием аксиомы Архимеда;
· Установления существования отрезка, длина которого при данном выборе единицы измерения равна любому,
наперед заданному положительному числу(с использованием аксиомы Кантора, геометрического эквивалента
аксиомы непрерывности).
Первые представления о длине, как о свойстве предметов, у детей возникает задолго до школы. С первых дней
обучения в школе ставится задача уточнить пространственные понятия детей. Важным шагом в формировании
данного понятия является знакомство с прямой линией и отрезком, как «носителем» линейной протяжённости,
лишенным, по существу, других свойств.
Сначала учащиеся сравнивают предметы по длине, не измеряя их. Делают они это наложением (приложением) и
визуально («на глаз»).Например, учащимся предлагается рассмотреть рисунки и ответить на вопросы: «Какой отрезок
длиннее, красного или зеленого цвета?»
Затем предлагается сравнить два предмета разного цвета и разные по длине практически - наложением.
Например, учащимся предлагается рассмотреть рисунки и ответить на вопросы: « Какой ремень короче (длиннее)
светлый или тёмный?» Через эти два упражнения дети подводятся к пониманию длины как свойства, проявляющегося
в сравнении, то есть: если два предмета при наложении совпадают, то они имеют одну и ту же длину; если же какой
- либо из сравниваемых предметов накладывается на часть другого, не покрывая его полностью, то длина первого
предмета меньше длины второго предмета. После рассмотрения длин предметов переходят к изучению длины
отрезка. Здесь длина выступает как свойство отрезка.
Разъяснение учащимся старших классов сущности аксиомы Кантора не представляет особых трудностей.
Случай, когда на перед заданное число рационально, аксиома Кантора применяется, а используется
элементарное построение. Если это число иррационально, например х=2,313113111311113…, то поступаем так:
введем на прямой систему координат(начало 0, направления единицу измерения).Мы можем построить точки А1 и
B1, где А1 = 2,3; B1 = 2,4 – приближения с точностью 0,1. Если существует точка М, то ОА1<OM<OB1, т.е. точка М
лежит между А1 и B1, т. е. внутри отрезка А1 B1. Мы можем найти A2 = 2,31 и B2 = 2,32 и т.д.
Неограниченно продолжая этот процесс, мы получаем, что если точка М существует, то она лежит внутри каждого
из отрезков бесконечной последовательности: A1B1, A2B2,…,Aп Bп ,…, обладающей следующими свойствами:
1. Каждый отрезок, кроме первого, лежит внутри предыдущего.
2. Длины отрезков стремятся к 0(или нет отрезка, лежащего внутри всех отрезков этой последовательности).
Существование точки лежащей внутри всех отрезков этой последовательности, и постулируется аксиомой
Кантора.
Приняв аксиому Кантора, мы находим искомую точку М, а следовательно и отрезок ОМ, длина которого равна
наперед заданному числу х.
2 Методика изучения величин углов в курсе геометрии средней школы
При изучении величин углов можно использовать следующую схему:
Общий обзор углов – углы с общей вершиной – градусное измерение углов.
В учебной методической литературе угол определяется по разному:
1. Угол есть фигура, образованная двумя лучами, выходящими из общей точки.
2. Угол есть неопределенная часть плоскости, заключенная между двумя лучами, выходящими из общей точки.
3. Угол есть совокупность лучей, выходящих из общей точки и пересекающих данный отрезок.
4. Углом называется «часть пучка лучей, ограниченная двумя лучами (того же пучка), подобно тому как отрезок
есть часть прямой линии, ограниченная двумя точками.
5. Углом называется совокупность точки и двух лучей, выходящих из этой точки... Под точками угла мы понимаем
его вершину и все точки его сторон.
В школьной практике обычно употребляются первое или второе определение (по существу они являются не
определениями, а описаниями).
При этом надо заметить, что если используется первое определение угла, то вводится еще и понятие внутренней
области угла.
В последующем школьном курсе элементарной математики понятие угла расширяется (в тригонометрии - угол как
мера вращения, в стереометрии — угол между двумя скрещивающимися прямыми, угол между прямой и плоскостью,
двугранный угол и т. п.), причем понятие «неопределенной части плоскости» в явном виде уже не фигурирует.
Поэтому первому определению следует отдать предпочтение.
Возможны следующие действия с величинами углов: сравнение, сложение вычитание величин углов, умножение
угла на целое число и деление угла на целые части.
С понятиями прямого и развернутого угла учащиеся знакомы из пропедевтического курса геометрии. Зная, что все
развернутые углы равны между собой, и все прямые углы равны между собой, можно сообщить учащимся о том, что
развернутый и прямой углы имеют постоянные величины (как и метр и килограмм, которые тоже имеют постоянную
величину). Отсюда, естественно принять за единицу измерения углов угол, в часности прямой угол, как имеющий
постоянную величину.
Величина угла – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:
1) равные углы имеют равны градусные меры.;
2) если угол разбивается на части, градусные меры которых известны, то градусная мера всего угла равна сумме
грусных мер этих углов.
3) меньший угол имеет меньшую градусную меру, и больший угол имеет большую градусную меру.
При проведении уроков по теме «Величины углов» материал должен закрепляться на частных примерах.
Желательно проводить самостоятельные работы, как обучающего, так и контролирующего характера по каждому из
изучаемых случаев.
3 Методика изучения площадей фигур в курсе геометрии средней школы
В теме «Площади фигур» наблюдается синтез традиционно-синтетического и аналитического методов. Изучаемые
здесь факты носят аналитический характер (например площадь треугольника), а доказательства основаны на
применении традиционно-синтетического метода.
При изучении темы «Площади фигур» используется такая схема:
простая фигура – площадь фигуры как величина – площадь прямоугольника – площадь параллелограмма –
площадь трапеции – площадь подобных фигур.
Перед введением понятия «простые фигуры» учащимся предлагается по готовым чертежам назвать: простую
ломаную, замкнутую ломаную, простую замкнутую ломаную, выпуклый многоугольник, плоский треугольник, плоский
пятиугольник. Напомним, что из определения треугольника как фигуры состоящей из трех точек, не лежащих на одной
прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки следует, что он должен представляться как «скелет»,
«каркас»! Плоский треугольник – конечная часть плоскости, ограниченная треугольником. Выпуклый многоугольник –
многоугольник, который лежит в одной плоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. Плоским
многоугольником называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником. Простая замкнутая ломаная
называется многоугольником. После этого дается определение:
Геометрическую фигуру будем называть простой , если ее можно разбить на конечное число плоских
треугольников. Примером простой фигуры может служить плоский выпуклый многоугольник, который разбивается на
плоские треугольники диагоналями, выходящими из одной вершины.
«Площадь простой фигуры – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими
свойствами:
1) равные фигуры имеют равные площади;
2) если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме
площадей ее частей;
3) площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице;
В таком определении новой величины использован аксиоматический подход. С помощью свойств описана
аддитивность площади простой фигуры, определена мера (единица измерения) площади. Первое свойство площади
определяет термин «равновеликие». Если фигуры равны, то равны и их площади, однако обратное утверждение не
всегда верно.
С формулами площадей некоторых фигур учащиеся познакомились в курсе арифметики. Измеряя площади при
помощи памятки, школьники познакомились с оценкой ее по недостатку и по избытку. И таким образом они уже
подготовлены к восприятию вывода формулы площади прямоугольника.
Первоначально доказываем следующее свойство: площади двух прямоугольников с равными основаниями
относятся как их высоты.
а) Прямоугольники ABCD и AB1C1D имеют равное основание AD. Пусть S и S1 – их площади. Разобьем сторону
АВ на n равных частей, длина одной части равна
. Пусть m – число точек деления, лежащих на стороне АВ1. Тогда:
≤
Разделив это неравенство почленно на АВ, получим:
б) Проводим через точки деления прямые, параллельные АD. Получим n равных треугольников со сторонами АD
и
, площади которых (по св-ву 1) равны и принимают значение
неравенством:
. Поэтому, площадь АВСD выражается
.
Разделив почленно на S, получаем:
в) Отношение
и
удовлетворяют одним и тем же неравенствам, причем числа
величину .При сколь угодно больших n значение
числа равны. Итак:
и
отличаются на
становится очень малым, а это возможно только тогда, когда
, ч. т. д.
Для вывода формулы площади прямоугольника воспользуемся только что доказанным свойством по отношению
к квадрату, со стороной 1 и прямоугольником со сторонами 1 и а и а и в. Получаем:
= ;
=> S1=а, S=S1 в.
Следовательно:
S=ав .
Площади подобных фигур .
Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров.
При доказательстве этого утверждения используют понятие простой фигуры, определение подобных фигур. Если
фигура
разбивается на простые треугольники, площади которых обозначим через
треугольники, площади которых
размеры треугольников
и т. д., поэтому:
и фигуры
в
и
, а фигура
- на
подобны с коэффициентом
, то линейные
раз изменены, по отношению к размерам треугольников
, то:
Площадь круга.
Круг – плоская фигура, но ее нельзя разбить на простые треугольники. Поэтому, такая фигура имеет площадь S ,
если существуют содержащие её простые фигуры и содержащиеся в ней простые фигуры с площадями, как угодно
мало отличающимися от S .
При проведении уроков по теме «Площадь фигур» вывод общих формул должен закрепляться на частных
примерах. Изложение теоретического материала должно быть максимально сокращено (в разумных пределах), что
позволило бы сэкономить время для решения более сложных задач. (Возможно проведение уроков-лекций для
изложения теории). Желательно проводить самостоятельные работы, как обучающего, так и контролирующего
характера по каждому из изучаемых случаев.
4 Методика изучения объемов фигур в курсе геометрии средней школы
В изучении темы «Объемы тел» в курсе стереометрии прослеживается аналогия с темой «Площади фигур» и
распределение учебного материала такое: простое тело – объем тела как величина – объем прямоугольного
параллелепипеда – объем треугольной призмы – объем призмы – тела, имеющие равные объемы – объем полной
треугольной пирамиды – объем произвольной полной пирамиды – объем усеченной треугольной пирамиды – объем
произвольной усеченной пирамиды – объемы подобных тел – объем тел вращения.
Существуют различные методические подходы к изучению вопросов измерения геометрических величин в курсе
стереометрии.
Принципиальные трудности, возникающие при изучении объемов, носят тот же характер, что и при изучении
площадей, но имеют определенную специфику. Так, если при измерении площадей непосредственное сравнение
площади конкретной фигуры с единицей площади вызывало затруднения, но все же было возможным, то для
измерения объемов сравнение с единичным кубом практически вообще невозможно, ему на смену всегда приходит
измерение косвенное. В то же время такой момент, как необходимость ввести новое определение понятия объема
для фигур вращения, уже не вызывает у учащихся недоумения, так как этот новый подход уже применялся при
вычислении площадей.
Для вывода формулы объема, могут быть использованы:
1. Принцип Кавальери: объемы (или площади) двух тел (фигур) равны, если равны между собой площади (длины)
соответствующих сечений, проведенных параллельно некоторой данной плоскости (прямой).
2. Формула Симпсона:
.Пусть промежуток [a,b] разбит на n частейных промежутков [xi,
xi+1] длины
, при этом n считается чётным числом, и для вычисления интеграла по промежутку [x2k,
x2k+2] используется приведенная формула:
.
Принципиальным моментом в теории объемов тел является обоснование формулы для учащихся является
достаточно трудным и сложным. Структурная сложность доказательства подсказывает, что при его изучении
целесообразно воспользоваться приёмами выделения логической структуры доказательства (разбиения
доказательства на отдельные шаги, составление логико-структурной схемы доказательства и т.д.). Наличие в
доказательстве трудных для понимания рассуждений говорит о целесообразности использования приёмов
конкретизации, моделирования и т.д.
Структура доказательства формулы объёма прямоугольного параллелепипеда:
1. устанавливается величина отношения высот двух параллелепипедов с общим основанием;
2. устанавливается величина отношения объёмов выбранных параллелепипедов;
3. сравнение полученных значений отношений;
4. вывод формулы объёма прямоугольного параллелепипеда, применяя доказанное свойство к единичному кубу
и параллелепипедам с измерениями:
a,1,1; a,b,1; a,b,c.
При решении задач учащиеся иногда “путают” свойства прямого и прямоугольного параллелепипедов,
неправильно указывают их диагональное сечение и т.п. Более углубленное изучение этих понятий на этапе их
введения обеспечивает применявшаяся ранее методическая схема:
1. проанализировать эмпирический материал;
2. математизировать эмпирический материал – построить определение;
3. составить алгоритм распознавания понятия;
4. включить понятие в систему понятий.
При выводе формулы объема цилиндра применяется предельный переход. Затем, при выводе формул для
вычисления объема пирамиды, ученики используют метод интегрального исчисления. Нужно отметить, что с этим
методом ученики знакомятся сначала в курсе математического анализа при вычислении площади криволинейной
трапеции.
Старшеклассникам следует сообщить, что необходимость специального определения понятия объема для
пирамиды и соответственно необходимость применения интегральных методов вызваны тем, что, оказывается,
равновеликие многогранники далеко не всегда являются одновременно и равносоставленными.
13. Понятия, их роль, объем и содержания понятия, отношения между
понятиями математика
Понятия, которые изучаются в начальном курсе математики, обычно представляют в виде четырех групп. В первую
включаются понятия, связанные с числами и операциями над ними: число, сложение, слагаемое, больше и др. Во
вторую входят алгебраические понятия: выражение, равенство, уравнения и др. Третью группу составляют
геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник и т.д. Четвертую группу образуют понятия, связанные с
величинами и их измерением.
Чтобы изучать все разнообразие понятий, надо иметь представление о понятии как логической категории и
особенностях математических понятий.
В логике понятия рассматривают как форму мысли, отражающую объекты (предметы и явления) в их существенных
и общих свойствах. Языковой формой понятия является слово (термин) или группа слов.
Составить понятие об объекте – это значит уметь отличить его от других сходных с ним объектов. Математические
понятия обладают рядом особенностей. Главная заключается в том, что математические объекты, о которых
необходимо составить понятие, в реальности не существуют. Математические объекты созданы умом человека. Это
идеальные объекты, отражающие реальные предметы или явления. Например, в геометрии изучают форму и размеры
предметов, не принимая во внимание другие свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От всего этого абстрагируются.
Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят «геометрическая фигура».
Результатом абстрагирования являются и такие математические понятия, как «число» и «величина».
Вообще математические объекты существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют
математический язык.
К сказанному можно добавить, что, изучая пространственные формы и количественные отношения
материального мира, математика не только пользуется различными приемами абстрагирования, но и само
абстрагирование выступает как многоступенчатый процесс. В математике рассматривают не только понятия,
появившиеся при изучении реальных предметов, но и понятия, возникшие на основе первых. Например, общее
понятие функции как соответствия является обобщением понятий конкретных функции, т.е. абстракцией от
абстракций.
Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями
Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны,
четыре прямых угла, равные диагонали. Можно указать и другие его свойства.
Среди свойств объекта различают существенные и несущественные. Свойство считают существенным для
объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать. Например, для квадрата
существенными являются все свойства, названные выше. Несущественно для квадрата АВСD свойство «сторона АВ
горизонтальна».
Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним
термином(словом или группой слов). Так, говоря о квадрате, имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся
квадратами. Считают, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».
Вообще, объем понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним термином.
Любое понятие имеет не только объем, но и содержание.
Содержание понятия – это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии.
Рассмотрим, например, понятие «прямоугольник».
Объем понятия – это множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства
прямоугольников, как «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные
диагонали» и т.д.
Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то
уменьшается его содержание, и наоборот. Так, например, объем понятия «квадрат» является частью объема
понятия «прямоугольник», а в содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия
«прямоугольник» («все стороны равны», «диагонали взаимно перпендикулярны» и др.).
Любое понятие нельзя усвоить, не осознав его взаимосвязи с другими понятиями. Поэтому важно знать, в каких
отношениях могут находиться понятия, и уметь устанавливать эти связи.
Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объемами, т.е. множествами.
Условимся понятия обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, c, d, …, z.
Пусть заданы два понятия а и b. Объемы их обозначим соответственно А и В.
Если А ⊂ В (А ≠ В), то говорят, что понятие а – видовое по отношению к понятию b, а понятие b – родовое по
отношению к понятию а.
Например, если а – «прямоугольник», b – «четырехугольник», то их объемы А и В находятся в отношении включения
(А ⊂ В и А ≠ В), поэтому всякий прямоугольник является четырехугольником. Поэтому можно утверждать, что понятие
«прямоугольник» - видовое по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» - родовое по
отношению к понятию «прямоугольник».
Если А = В, то говорят, что понятия А и В тождественны.
Например, тождественны понятия «равносторонний треугольник» и «равнобедренный треугольник», так как их
объемы совпадают.
Рассмотрим подробнее отношение рода и вида между понятиями.
1. Во-первых, понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному
понятию и видовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» - родовое по отношению к понятию
«квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».
2. Во-вторых, для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Так, для понятия
«прямоугольник» родовыми являются понятия «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди
указанных можно указать ближайшее. Для понятия «прямоугольник» ближайшим является понятие
«параллелограмм».
3. В-третьих, видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, квадрат, являясь видовым
понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, присущими прямоугольнику.
Так как объем понятия – множество, удобно, устанавливая отношения между объемами понятий, изображать их при
помощи кругов Эйлера.
Установим, например, отношения между следующими парами понятий а и b, если:
1) а – «прямоугольник», b – «ромб»;
2) а – «многоугольник», b – «параллелограмм»;
3) а – «прямая», b – «отрезок».
Определение понятий. Определяемые и неопределяемые понятия.
Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их
определение.
Определениемобычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения). Как правило,
делают это на основе ранее введенных понятий. Например, прямоугольник можно определить так: «Прямоугольником
называется четырехугольник, у которого все углы прямые». В этом определении есть две части – определяемое
понятие (прямоугольник) и определяющее понятие (четырехугольник, у которого все углы прямые). Если обозначить
через а первое понятие, а через b – второе, то данное определение можно представить в таком виде:
а есть (по определению) b.
Слова «есть (по определению)» обычно заменяют символом ⇔, и тогда определение выглядит так:
а ⇔ b.
опр.
Читают: «а равносильно b по определению». Можно прочитать эту запись еще и так: «а тогда и только тогда, когда
b.
Определения, имеющие такую структуру, называются явными. Рассмотрим их подробнее.
Обратимся ко второй части определения «прямоугольник».
В нем можно выделить:
1) понятие «четырехугольник», которое является родовым по отношению к понятию «прямоугольник».
2) свойство «иметь все углы прямые», которое позволяет выделить из всевозможных четырехугольников один вид –
прямоугольники; поэтому его называют видовым отличием.
Вообще видовое отличие – это свойства (одно или несколько), которые позволяют выделить определяемые объекты
из объема родового понятия.
Знак «+» используется как замена частица «и».
Нам известно, что любое понятие имеет объем. Если понятие а определено через род и видовое отличие, то о его
объеме – множестве А – можно сказать, что в нем содержатся такие объекты, которые принадлежат множеству С
(объему родового понятия с) и обладают свойством Р:
А = {х/ х ∈ С и Р(х)}.
Так как определение понятия через род и видовое отличие является по существу условным соглашением о введении
нового термина для замены какой-либо совокупности известных терминов, то об определении нельзя сказать, верное
оно или неверное; его не доказывают и не опровергают. Но, формулируя определения, придерживаются ряда правил.
Назовем их.
1. Определение должно быть соразмерным. Это означает, что объемы определяемого и определяющего понятий
должны совпадать.
2. В определении (или их системе) не должно быть порочного круга. Это означает, что нельзя определять понятие
через само себя.
3. Определение должно быть ясным. Требуется, например, чтобы значения терминов, входящих в определяющее
понятие, были известны к моменту введения определения нового понятия.
4. Одно и то же понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая сформулированные выше правила,
можно по-разному. Так, квадрат можно определить как:
а) прямоугольник, у которого соседние стороны равны;
б) прямоугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны;
в) ромб, у которого есть прямой угол;
г) параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы прямые.
Различные определения одного и того же понятия возможны потому, что из большого числа свойств, входящих в
содержание понятия, в определение включаются только некоторые. И тогда из возможных определений выбирают
одно, исходят из того, какое из них проще и целесообразнее для дальнейшего построения теории.
Назовем ту последовательность действий, которую мы должны соблюдать, если хотим воспроизвести определение
знакомого понятия или построить определение нового:
1. Назвать определяемое понятие (термин).
2. Указать ближайшее родовое понятие (по отношению к определяемому) понятие.
3. Перечислить свойства, выделяющие определяемые объекты из объема родового, т.е сформулировать видовое
отличие.
4. Проверить, выполнены ли правила определения понятия (соразмерно ли оно, нет ли порочного круга и т.д.).
14. Понятие уравнение с переменным в школьном курсе
математики
Уравнения представляют собой один из видов равенств, таких, которые справедливы не при
всех допустимых значениях входящих в них букв. Уравнения получаются при решении
конкретных практических задач. При этом каждое уравнение оказывается справедливым как
раз при тех значениях букв, которые являются ответом на вопрос задачи, из которой оно
получено. В связи с этим естественно возникает вопрос о нахождении таких значений букв
(при которых уравнение обращается в верное числовое равенство). Таким образом, буквы,
входящие в уравнение, в отличие от букв, входящих в тождество, обозначают не
произвольные числа из множества допустимых значений, а лишь те из них, которые
обращают уравнение в тождество. Такие буквы (а также величины, ими обозначенные)
называются неизвестными, а числа, которые они обозначают, называются решениями или
корнями уравнения.
Таким образом, устанавливаются определения: Корнем, или решением, уравнения
называется то значение буквы, которое обращает уравнение в тождество. Буквы,
обозначающие корни уравнения, называются неизвестными.
Решить уравнение — это значит найти его корни.
Остается выяснить вопрос о количестве корней уравнения с одним неизвестным. Учащиеся
вспоминают, что уравнение может иметь один корень, ни одного корня или же много
корней.
Если в состав уравнения входит несколько букв, то решение уравнения состоит не из одного
числа, а из совокупности такого количества чисел, которое равно количеству букв, входящих
в состав уравнения. Совокупность чисел, обращающая уравнение с несколькими
неизвестными в тождество, называют решением уравнения (но не корнем уравнения или
корнями уравнения). Буквы, которые обозначают любые числа, а не только корни уравнения,
обычно не называют неизвестными.
15. Методика обучения задач на построение
Суть решения задачи на построение состоит в том, что требуется построить наперед указанными инструментами
некоторую фигуру, если дана некоторая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой
фигуры и элементами данной фигуры.
Каждая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, называется решением этой задачи.
Найти решение задачи на построение – значит свести ее к конечному числу основных построений, то есть указать
конечную последовательность основных построений, после выполнения которых, искомая фигура будет уже
считаться построенной в силу принятых аксиом конструктивной геометрии.
Одной из основных проблем методики обучения решению задач на построение является методика введения и
изучения этапов решения конструктивных задач. Еще в IV в. до н. э. древнегреческие геометры разработали общую
схему решения задач на построение, которой мы пользуемся и теперь. Процесс решения задачи разбивают на 4
этапа: анализ, построение, доказательство и исследование. Рассмотрим каждый этап более подробно.
1 Анализ
Анализ — это важный этап решения задачи, который мы понимаем как поиск способа решения задачи на
построение. На этом этапе должны быть подмечены такие зависимости между данными фигурами и искомой фигурой,
которые позволили бы в дальнейшем построить эту искомую фигуру (если мы знаем, как строить искомую фигуру, то
никакой анализ уже не нужен).
Анализ – подготовительный, предварительный этап решения задачи на построение.
Чтобы облегчить себе поиск связей между искомой фигурой и данными фигурами, обычно оказывается выгодным
иметь перед глазами вспомогательный чертеж, чертеж-набросок, изображающий данные и искомые фигуры примерно
в том расположении, которое предусмотрено условием задачи. Чертеж можно выполнить от руки, на глаз – это проект
чертежа, который должен образоваться, когда задача уже решена.
На вспомогательном чертеже следует выделить данные элементы и важнейшие искомые элементы. Практически
часто удобнее начинать построение вспомогательного чертежа не с данной фигуры, а с примерного изображения
исходной фигуры, пристраивая к ней данные так, чтобы они находились в отношениях, указанны в условии задачи.
Если вспомогательный чертеж не подсказывает способа построения искомой фигуры, то пытаются обнаружить
какую-либо часть искомой фигуры или вообще некоторую фигуру, которая может быть построена, и которой затем
можно воспользоваться для построения искомой фигуры.
Также надо учитывать следующие моменты [2]:
1) если на вспомогательном чертеже не удается непосредственно заметить необходимые для решения связи
между данными и искомыми элементами, то целесообразно ввести в чертеж вспомогательные фигуры: соединить
уже имеющиеся точки прямыми, отметить точки пересечения имеющихся линий, продолжить некоторые отрезки и т.
д. Иногда бывает полезно проводить параллели или перпендикуляры к уже имеющимся прямым;
2) если по условию задачи дана сумма или разность отрезков или углов, то эти величины следует ввести в чертеж,
то есть следует изобразить их на чертеже-наброске, если их еще нет на нем;
3) в процессе проведения анализа бывает полезно вспомнить теоремы и ранее решенные задачи, в которых
встречаются зависимости между элементами, о которых говорится в условии рассматриваемой задачи.
В Приложении 3 приведен анализ задачи на построение: “Построить треугольник, зная основание, меньший угол
при основании и разность двух других сторон”.
Из данного примера видно, что при отыскании решения задачи на построение, как и для арифметических задач,
применяется аналитико-синтетический метод. Следуя от вопроса задачи, учитываем, какие элементы нам известны,
и, наоборот, исходные данные комбинируем так, чтобы построить искомую фигуру.
Название этапа “анализ” не означает, что для отыскания решения применяется только аналитический метод,
подобно тому, как и при доказательстве, которое иногда называют “синтезом”, не всегда применяется синтетический
метод рассуждения. При разборе задачи, при отыскании путей ее решения анализ и синтез находятся в постоянном
взаимодействии, дополняют и проверяют друг друга.
2 Построение
Второй этап решения задач на построение состоит из двух частей:
1) перечисление в определенном порядке всех элементарных построений, которые нужно выполнить, согласно
анализу, для решения задачи;
2) непосредственное выполнение этих построений на чертеже при помощи чертежных инструментов.
Действительно, решить задачу с помощью тех или иных инструментов — значит указать конечную совокупность
элементарных, допустимых для данных инструментов, построений, выполнение которых в определенной
последовательности позволяет дать ответ на вопрос задачи.
Данный этап вводится при решении самой первой задачи на построение, которой обычно является задача о
построении отрезка, равного данному, на данном луче с концом в начале этого луча. В беседе, сопровождающей
введение этапа, необходимо отметить, в чем состоит решение любой задачи на построение и указать, что
осуществление этого этапа как раз и состоит в перечислении конечного числа операций построения искомой фигуры.
Рис. 1
Рассмотрим решение задачи: “Построить квадрат по его диагонали”.
Анализ. Проведя диагональ А1 С1 (рис. 1), мы видим, что построение квадрата сводится к построению
равнобедренного прямоугольного треугольника А1 В1 С1 по его гипотенузе A 1 C 1 , который затем легко дополнить до
квадрата.
Построение. Треугольник А1 В1 С1 можно строить различными способами. Например:
1) Строим угол B 1 A 1 C 1 , содержащий 45°, и на одной его стороне откладываем отрезок А1 С1 , и равный данной
диагонали. Проведя C 1 B 1
A 1 B 1 , получим треугольник А1 В1 С1 , который дополняем до квадрата A 1 B 1 C 1 D 1 ,
что можно сделать различными способами.
2) Проведем через середину А1 С1 перпендикуляр В1 О1
; получим треугольник A 1 B 1 C 1 .
А1 С1 и отложим B 1 O 1 = A 1 O 1 и соединим В1 с А1 и С1
3) На А1 С1 , как на диаметре, строим окружность и из точки О1 восставляем перпендикуляр О1 В1
А1 С1 до
пересечения с окружностью в точке B 1 . Соединив В1 с А1 и С1 , получим треугольник A 1 B 1 C 1 . Проведя B 1 D 1
A
1 C 1 , мы сразу можем получить точки B 1 и D 1 , как и в предыдущем случае. Очевидно, что построение треугольника
A 1 B 1 C 1 возможно и другими способами [11].
Решение одной и той же задачи несколькими способами усиливает интерес учащихся к задачам на построение и
сознательное отношение к решению таких задач. Если решать задачи на построение все время по заранее указанным
методам, то этим самым сковывается изобретательность и инициатива учащихся в нахождении различных и
оригинальных способов решения и им трудно научиться самостоятельно решать конструктивные задачи. Они
применяют в первую очередь знания изучаемого материала и навыки, полученные при решении задач,
предшествующих данной. Если решались задачи, требующие применения определенного метода, то и для
предложенной задачи они изберут тот же знакомый им путь решения, даже если он нерационален.Указание учителя
на существование более простого способа не дает должного эффекта, так как предложенное учителем решение
кажется учащимся искусственным, которого они сами не смогли бы найти.
Конечно, если это делать до того как ученики приобретут прочные навыки в отыскании решений различными
способами, то результаты окажутся отрицательными. Внимание учащихся каждый раз будет распыляться между
всеми способами, и они ни одного из них не усвоят основательно, чтобы применять его достаточно сознательно.
Различными способами хорошо решать задачи в конце учебного года, при повторении курса геометрии, когда
учащиеся уже имеют достаточные навыки в решении задач на построение. Задачу, допускающую различные способы
решения, лучше задавать на дом, чтобы они не только решили, но и нашли наиболее простое решение.
3 Доказательство
После того как фигура построена, необходимо установить, удовлетворяет ли она условиям задачи, то есть
показать, что фигура, полученная из данных элементов определенным построением, удовлетворяет всем условиям
задачи. Значит, доказательство существенно зависит от способа построения. Одну и ту же задачу можно решать
различными способами, в зависимости от намеченного при анализе плана построения, а поэтому, и доказательство
в каждом случае будет свое. Доказательство представляет собой часть решения задачи, по своему логическому
содержанию обратную анализу. Если в анализе устанавливается, что всякая фигура, удовлетворяющая
поставленным условиям, может быть найдена таким-то и таким-то путем, то в этой, третьей части решения
доказывается обратное положение. Это обратное положение в общем виде может быть сформулировано так: если
некоторая фигура получена из данных элементов таким-то построением, то она действительно удовлетворяет
поставленным условиям.В Приложении 3 приведено решение задачи: “Построить трапецию по четырем сторонам”.
При решении простейших задач, когда все условия задачи находят непосредственное отражение в плане
построения, нет необходимости доказывать, что фигура, полученная из данных элементов таким построением,
является искомой. Например: “Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними”. Здесь доказательство
сводится к простой проверке, такие ли взяли стороны, как данные, и будет ли построенный угол равен данному. В
подобных задачах доказательство является излишним, ибо правильность решения обеспечивается соответствием
построения анализу и данным условия задачи.
Доказательство не просто зависит от анализа и построения, между ними существует взаимосвязь и
взаимообусловленность. Построение проводится по плану, составленному при анализе. Таких планов можно указать
несколько. Построение и доказательство являются своеобразным критерием правильности и рациональности
составленного плана. Если план не осуществим имеющимися инструментами или же построение оказывается
нерациональным, мы вынуждены искать новый план решения. Аналогичным образом и доказательство, и
исследование влияют на анализ, предопределяя нередко выбор плана решения.
Хотя доказательство при решении задач на построение проводится аналогично доказательству теорем, с
использованием аксиом, теорем и свойств геометрических фигур, между ними имеется и некоторое различие. При
доказательстве теорем в большинстве случаев без труда выделяют условие и заключение. При решении задач на
построение уже труднее найти данные, на основании которых можно доказать, что построенная фигура является
искомой. Поэтому при решении конструктивных задач в классе целесообразно иногда специально выделять, что дано,
и что требуется доказать. Например, при решении задачи: “Построить ромб по двум его диагоналям” предлагаем
ученику записать, что дано (диагонали взаимно перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам) и что требуется
доказать (стороны равны). В свою очередь при решении задач дома и в контрольных работах можно не требовать
оформления доказательства с выделением отдельно условия и заключения. Нет надобности требовать проведения
особого доказательства в задачах, где правильность решения очевидна [11].
4 Исследование
При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причем предполагается, что
все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно еще выяснить следующие
вопросы: 1) всегда ли (то есть при любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом; 2)
можно ли и как построить искомую фигуру, если избранный способ нельзя применить; 3) сколько решений имеет
задача при каждом возможном выборе данных? Рассмотрение всех этих вопросов и составляет содержание
исследования [2].
Таким образом, исследование имеет целью установить условия разрешимости и определить число решений.
Нередко школьники и даже учителя проводят исследование, произвольно выбирая те или иные случаи, причем
неясно, почему рассматриваются именно такие, а не какие-либо иные случаи. Остается неясным также, все ли
возможные случаи рассмотрены. Практически в большинстве случаев удается достигнуть необходимой полноты
исследования, если проводить это исследование по ходу построения, что является наиболее доступным и
целесообразным способом. Сущность этого приема состоит в том, чтобы перебрать последовательно все шаги, из
которых слагается построение, и относительно каждого шага установить, всегда ли указанное на этом шаге
построение выполнимо, а если выполнимо, то однозначно ли.
Рассмотрим решение и исследование задачи: “Построить окружность, касающуюся данной прямой PQ и данной
окружности (О ; ОА ) в заданной на ней точке А ”.
Рис. 2
Решение. Решаем эту задачу методом геометрических мест. Проводим прямую ОА (рис. 2). В точке А строим
касательную АВ к данной окружности, а затем — биссектрисы углов РВА и ABQ . Точки пересечения прямой ОА с
прямыми ВМ и BN и будут центрами искомых окружностей.
Проводя исследование по построению, легко обнаруживаем, что наше решение не применимо, если OA PQ .
Для такого случая рассматриваем решение задачи отдельно. В результате получим, что если ОА не перпендикулярна
PQ , то задача имеет два решения, за исключением случая, когда окружность (О ; ОА ) пересекает PQ в точке А , так
как тогда прямые ВМ , В N и ОА пересекутся в точке А , и окружности не получим. Если же OA PQ , но А не лежит
на PQ , то получаем одну окружность с центром на ОА и радиусом, равным половине расстояния от точки А до данной
прямой PQ . Если же при этом А лежит на PQ , то задача неопределенная.
Таким образом, для задачи имеются лишь 4 характерные конфигурации исходных данных:
1) ОА не перпендикулярна PQ и А не принадлежит PQ — 2 решения;
2) OA не перпендикулярна PQ и A принадлежит PQ — нет решений;
3) OA
PQ , но A не принадлежит PQ — 1 решение;
4) OA
PQ и А принадлежит PQ — бесконечное множество решений [11].
В итоге таких рассуждений решается вопрос о возможности и однозначности построения искомой фигуры данным
способом. Но остается еще открытым вопрос: не возникнут ли новые решения, если изменить как-либо способ
построения? Иногда удается доказать, что всякое решение данной задачи совпадает с одним из уже полученных
решений. Если же это не удается, то можно предположить, что задача имеет другие решения, которые могут быть
найдены другими способами. В этих случаях надо тщательно проверить, нет ли каких-либо иных возможных случаев
расположения данных или искомых фигур, которые не были предусмотрены ранее проведенным анализом.
16. Пропедевтическая математическая подготовка в 5-6 классах