Теорема Пифагора Историческая справка Пифагор жил в 6 веке до н. э. В молодости он много путешествовал, собирая по крупицам знания древнейших народов по математике, астрономии, технике. Вернувшись на родину, на остров Самос, он собирает вокруг себя юношей и ведёт с ними беседы. Пифагор (Pythagoras) Самосский (ок. 570 - 500 до н.э.) Так образовался «пифагорейский союз». В союзе царит дисциплина, послушание. Слово учителя закон. Вскоре союз становится политическим союзом единомышленников. Школа Пифагора и пифагорейцы Школа существовала в период с 585 до 400 г.г. до н.э. Эта школа заложила основу греческой арифметики, которая ограничивалась изучением целых чисел. Их арифметика геометрична, она разбивает числа в зависимости от формы соответствующих им фигур из точек на треугольные, квадратные, пятиугольные и т.д. Попасть в школу было не просто. Претендент должен был выдержать ряд испытаний, одним из таких испытаний являлся обет пятилетнего молчания. Законом организации было хранение тайны, несоблюдение которой строго каралось – вплоть до смерти. Современная формулировка теоремы Пифагора «В прямоугольном треугольнике квадрат Во времена Пифагора гипотенузы равен сумме квадратов формулировка теоремы звучала так: катетов». «Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах». Пифагоровы тройки Примеры Пифагоровых троек a 3 5 8 7 20 12 b 4 12 15 24 21 35 c 5 13 17 25 29 37 Используя теорему, Пифагор и его ученики описали все тройки целых чисел, которые могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника. a2+b2 = c2 32+42=52 9+16=25 25=25 Доказательство теоремы В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов в а в с с Дано: прямоугольный треугольник а, в – катеты, с – гипотенуза а Доказать: с2= а2 + в2 Доказательство: а с в с а в 1. Достроим треугольник до квадрата со стороной а+в; 2. S=(а+в)2 - площадь квадрата 3. Четыре прямоугольных треугольника, 4. S= 4*1/2ав+с2 =2ав+с2 5. (а+в)2 = 2ав+с2 6. с2= а2 + в2 Если в треугольнике квадрат длины одной из сторон равен сумме квадратов длин двух других сторон, то такой треугольник — прямоугольный. Если в треугольнике выполняется теорема Пифагора, то данный треугольник прямоугольный и угол противолежащий гипотенузе, равен 90°. Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum - ослиный мост, или elefuga - бегство «убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной мельницей», составляли стихи, вроде «Пифагоровы штаны на все стороны равны», рисовали карикатуры. Возможность применения теоремы Пифагора 1. В математике: • Найти одну из сторон прямоугольного треугольника(катет или же гипотенузу); • Доказать, что треугольник является прямоугольным(при помощи обратной теоремы Пифагора) . Устная работа Задача № 1 Найдите гипотенузу. Найдите высоту. E B Ответ: 10 Ответ: 9 15 ? 8 ? 15 h 6 F Q A 24 C Задача № 2 1) Найдите катет. Найдите A катет. C ? ? 30 A 24 Ответ: 12√3 36 B C Ответ: 18√3 60 B Задача № 3 Найдите сторону прямоугольника. Найдите сторону ромба. K B AM=10см C KN=24см ? 13 5 A O ? A D Ответ: 12 Ответ: 13 N M Самостоятельная работа №1. Катеты 8 и 15 см. Найти гипотенузу №2. Гипотенуза 61 см, катет 11 см. Найти другой катет №3. Диагональ прямоугольника 15 см, одна из сторон – 9 см. Найти его периметр №4. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4, а гипотенуза равна 15 см. Найдите периметр треугольника. №5. Катет прямоугольного треугольника равен 5 см , а медиана, проведенная к другому катету равна 13см. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника. № 1. 17 №2. 60 №4 С 4х 3х В A 15 Стороны треугольника 9, 12, 15. (3х)2 + (4х)2 = 152 9х2 + 16х2 = 225 25х2 = 225 х2 = 9 х=3 Р = 36 №5 С М A № 3. 42 В Треугольник АСМ прямоугольный: СМ = 12 см. СВ = 24 см. Треугольник АСВ прямоугольный: АВ = √601 см. На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота? 15 Решение. Пусть CD – высота ствола. BD = АВ По теореме Пифагора имеем АВ = 5. CD = CB + BD, CD = 3 + 5 =8. Ответ: 8 футов. 16 Над озером тихим С полфута размером Высился лотоса цвет. Он рос одиноко, И ветер порывом Отнёс его в сторону. Нет Боле цветка над водой. Нашёл же рыбак его Ранней весною В двух футах от места, где рос. Итак, предложу я вопрос: “Как озера вода здесь глубока?” 1фут = 0,3 м Решение: Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АВ =Х, тогда AD = AС = Х + 0,5 . Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AС2 – AВ2 = BC2, (Х + 0,5)2 – Х2 = 22 , Х2 + Х + 0,25 – Х2 = 4, Х = 3,75. Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута. 3, 75 • 0,3 = 1,125 (м) Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м. Заповеди Пифагора и его учеников актуальны и сейчас, и могут быть приемлемы для любого здравомыслящего человека. Вот они! Заповеди пифагорейцев: • Делать то, что впоследствии не огорчит тебя и не заставит раскаиваться; •Не делай никогда того, что не знаешь, но научись всему, что следует знать; •Не пренебрегай здоровьем своего тела; •Приучайся жить просто и без роскоши. • Не закрывай глаза, когда хочется спать, не разобравши всех своих поступков в прошлый день. Главная заповедь: •«Сыщи себе верного друга, имея его , ты можешь обойтись без богов» • Памятник Пифагору находится в порту города Пифагорио и напоминает всем о теореме Пифагора, наиболее известном его открытии. Катет, лежащий в основании треугольника мраморный , гипотенуза и фигура самого Пифагора в виде второго катета медные. Пифагор придумал специальную кружку, которая заставляла пить только в ограниченных количествах. Если человек заполняет кружку только до определенного уровня, он может пить. Если он заполняет выше нормы, то содержимое выливается. Кружка Пифагора выглядит как обычная кружка для питья. За исключением того, что в центре есть колонка. Центральная колонка расположена на уровне риски. Внутри колонки проходит канал, соединяющийся с выходным отверстием. Когда кружка заполняется, жидкость поднимается по каналу до верхней части центральной колонки. Пока уровень жидкости не поднимается выше уровня камеры, кружка функционирует, как обычно. Если уровень поднимается выше, вся жидкость выливается наружу.
