Введение понятия обыкновенной дроби на основе измерения

Алтухова Е.В.,
учитель математики
лицея №8 «Олимпия»
Тема: «Введение понятия обыкновенной дроби на основе измерения величин
как средство повышения обобщенности знаний и способов действий с
предметным материалом»
Говоря о качестве знаний учащихся, нельзя не отметить такой показатель как
обобщенность применяемых способов действий. Не секрет, что обучение математике
строится в основном на выводе, запоминании и применении правил действий. При этом,
если говорить о младших классах, то многие правила даются в готовом виде, без особых
пояснений. И говорить о понимании смысла правил или определений понятий можно с
трудом.
В своем опыте мы обратили внимание на один лишь вопрос, касающийся знакомства
с понятием обыкновенной дроби и действий над ними.
Как известно, одним из основных понятий математики является число. Давайте
попробуем ответить на очень простой вопрос: «А что такое число?». Этот вопрос мы
задавали и детям. Ответы были самые разнообразные, но сути этого понятия, исторически
сложившегося смысла, не раскрыл никто. Не смотря на то, что учащиеся 5 класса уже
знакомы с натуральными числами и десятичными дробями и умеют выполнять над ними
арифметические действия. В лучшем случае было сказано, что число – это то, что можно
складывать, вычитать, умножать и делить.
Как показывает история становления основных математических понятий, в
частности понятия числа, настоящая необходимость в числах возникла при счете
предметов, а в дробях - при измерении величин с помощью избранной единицы.
Измерение разных величин с помощью выбранных мер (единиц) показывало людям, что
выражение его результата целыми числами чаще всего носит приближенный характер.
Для уточнения результатов измерений необходимо было выбирать другие, меньшие
единицы, которые имели определенное отношение к прежним. Таким образом, практика
привела человека к необходимости использования разных единиц, а из отношений единиц
этих конкретных мер возникло абстрактное понятие дроби.
Если сравнить определения обыкновенных дробей в разных учебниках, то следует
отметить приоритет «наглядной концепции».
a
В учебнике М.Б.Воловича «Число вида , где a и b – натуральные числа, называется
b
обыкновенной дробью, или просто дробью».
В учебнике Э.Р.Нурк «Дробное число записывается двумя натуральными числами,
a
разделенными чертой, в виде . Такие записи называются обыкновенными дробями».
b
В учебнике И.И.Зубаревой «Дробь как результат деления натуральных чисел.
Частное от деления натуральных чисел можно записать в виде дроби»
5
В учебнике Н.Я.Виленкина «Записи вида
называют обыкновенными дробями». В
8
лучшем случае такому формальному определению предшествует рассмотрение понятия
«доли» на конкретном примере деления отрезка или пирога.
Наиболее продуктивен способ введения понятия о дробных числах на основе их
реального источника — измерения величин. При этом, во-первых, обеспечивается связь
понятия с процессом его происхождения, с его первоначальным материальным
содержанием, во-вторых, создаются благоприятные условия для дальнейшего
формирования у учащихся абстракции отношения величин, заключенного в самой форме
дробного числа.
Таким образом, актуальность данной инновации состоит в том, что
 у учащихся 5 классов отсутствует понимание сущности основного понятия
математики – числа
 Преобладает наглядная концепция введения понятия обыкновенной дроби не
основанная на реальном источнике
 В традиционных программах отдельные виды чисел вводятся на разных
математических основаниях и воспринимаются учащимися как независимые друг
от друга
Данная методика введения понятия числа используется в системе развивающего
обучения Эльконина-Давыдова, есть частные исследования и разработки для учащихся 5
классов, но ни в одном существующем учебнике по математике для 5 класса нет заданий и
упражнений на практическое измерение величин разными мерками и соответственно, не
используется метод введения чисел на основе их реального источника – измерения.
Практическая реализация.
Освоение материала строится на решении конкретно-практических задач на
измерение и построение величин с помощью заданных мерок. Обучение строится в
условиях системы учебных ситуаций.
Ситуация 1.
Измерение в условиях, когда измеряемая величина гораздо больше исходной мерки, но
результат измерения является целым числом.
Осваивается способ измерения и построения величин по заданной мерке,
формализованная запись результата.
Ситуация 2.
Измерение и воспроизведение величины много меньшей исходной мерки.
Возникает необходимость дробления мерки на более мелкие равные части и записи
результата измерения другим способом. Появляется обыкновенная дробь
Ситуация 3.
Измерение в условиях, когда измеряемая величина больше исходной мерки, но результат
измерения не является целым числом.
Создаются условия для появления смешанного числа.
Ситуация 4.
Предлагается произвести измерения, нарушив выявленный и освоенный способ, т.е.
«неправильно».
На протяжении всех уроков по отработке понятий проговаривается способ
измерения или построения величин: 1) изменение (увеличение или уменьшение мерки); 2)
измерение новой меркой, причем уменьшение мерки используется в том случае, если
исходная величина меньше мерки, а увеличение – если величина больше мерки.
Нарушение правил измерение ведет к появлению неправильной дроби – способ «не
правильный»: для измерения величины большей чем мерка, использован способ,
подходящий для измерения величины меньшей чем мерка.
Ситуация 5.
Освоение способов сравнения чисел на основе измерения величин.
Для сравнения используется 10 способов, а вообще говоря все они базируются на
одном –1 способе:
1) построение величин;
2) сравнение обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями;
3) сравнение обыкновенных дробей с одинаковыми числителями;
4) сравнение с ½;
5) дополнение до 1;
6) сравнение правильной дроби с 1;
7) сравнение неправильной дроби с 1;
8) сравнение смешанных чисел с равными целыми частями;
9) сравнение смешанных чисел с не равными целыми частями;
10) перемеривание одинаковыми мерками.
Ситуация 6.
Освоение способов сложения и вычитания дробных чисел, основанных на понимании
сущности числа и результатов действий.
Правила сложения и вычитания также рассматриваются на примерах конкретных
величин, построенных каким-либо способом. Эти правила не появляются формально, а
являются следствием практических действий с величинами, поэтому воспринимаются и
осваиваются достаточно легко и прочно. К тому же, все способы действий основаны на
одном и том же действии – на измерении величин, поэтому являются обобщенными.
Результаты
1) Знания учащихся по данной теме носят обобщенный характер
2) Ими осознаются существенные общие и отдельные свойства конкретных видов
чисел
3) Большинство из них способны раскрыть те предметные преобразования, которые
лежат в основе возникновения чисел
4) Созданы благоприятные условия для дальнейшего формирования абстракции
отношения величин, что способствует развитию теоретического мышления
обучающихся