Импульс и движение центра масс

Импульс и движение центра масс
Импульс материальной точки – векторная величина, равная произведению её массы на скорость. Эту
величину ввели потому, что она удобна. Для системы материальных точек в инерциальных системах отсчёта




выполняется равенство Δpсист  FΔt , где Δpсист – изменение импульса системы, F – векторная сумма всех
внешних сил, действующих на точки данной системы.





Равенство Δpсист  FΔt выполняется, если величина F постоянна. Выясним, как найти Δpсист , если F
меняется со временем. Рассмотрим график зависимости F(t). При ударе по футбольному мячу зависимость
силы от времени имеет примерно такой вид, как показано на рисунке. Допустим, нужно найти изменение
импульса мяча за промежуток времени от t1 до t2. Для простоты будем считать, что мяч сначала покоился, а
сила всё время направлена вдоль одной прямой.
Разобьём сегмент [t1; t2] на много одинаковых маленьких отрезков. Длину одного отрезка обозначим
двумя буквами: dt. Похожим образом мы раньше обозначали разность: Δt. Новое обозначение dt – это тоже
разность, но в данном случае очень малая. Если функция F(t) непрерывна на [t1; t2], то, какой бы она ни была,
величину dt можно сделать столь малой, что на каждом отрезке времени длиной dt силу F можно считать
постоянной. Для сегмента [t; t +dt] можно записать: dpсист = F(t)dt, где dpсист – изменение импульса системы
(мяча) за промежуток времени [t; t +dt], вычисленное приближённо. Величина dpсист численно равна площади
прямоугольника со сторонами dt и F(t).
Сумма площадей всех таких прямоугольников приближённо равна изменению импульса мяча за время
от t1 до t2. Чем меньше dt, тем меньше сумма площадей отличается от точного значения изменения импульса.
Когда dt стремится к нулю, сумма площадей стремится к точному значению изменения импульса.
Теперь заметим, что когда dt стремится к нулю, сумма площадей стремится к площади S фигуры под
графиком (рис. справа). Таким образом, изменение импульса равно площади фигуры под графиком F(t). Если
направление силы меняется со временем, нужно рассматривать её проекции на оси координат. Если графиком
F(t) является прямая, площадь S легко вычислить. Подобным образом поступали при выводе формул для
равноускоренного движения. Там находили площадь под графиком скорости от времени.
Тело или систему тел можно рассматривать как систему материальных точек. Для этого нужно тела
мысленно разбить на много маленьких элементов, каждый из которых можно считать материальной точкой.
Форма элементов не имеет значения, т.к. они очень маленькие.
Напомним, что импульс системы – это векторная сумма импульсов всех входящих в неё материальных
точек. Импульс тела, движущегося поступательно, равен произведению его массы на скорость. Если система
состоит из тел, движущихся поступательно, её импульс равен векторной сумме таких произведений. Если
часть тел или все тела движутся не поступательно, нужно разбить эти тела на много маленьких элементов.
Импульс системы равен сумме импульсов поступательно движущихся тел и маленьких элементов.


Из формулы Δpсист  FΔt следует закон сохранения импульса: в инерциальных системах отсчёта
импульс системы материальных точек сохраняется, если векторная сумма всех внешних сил, действующих на точки этой системы, равна нулю. Кроме того, из этой формулы следуют два важных утверждения.
1. В ряде случаев можно считать, что импульс системы сохраняется, если F ≠ 0, но Δt очень мало. Например, при столкновении тел на них могут действовать силы трения, сумма которых не равна нулю.
2. Возможно, что импульс системы меняется со временем, но проекция импульса на какую-нибудь ось
сохраняется. Так происходит, например, при выстреле незакреплённой пушки. Импульс системы “пушка –
снаряд” не сохраняется, но сохраняется его проекция на горизонтальную ось.
Находить импульс системы, разбивая её на маленькие элементы, неудобно. Поставим следующий
вопрос. Можно ли тело или систему тел общей массой mсист заменить одной материальной точкой такой же
массы так, чтобы импульс этой точки всегда был равен импульсу системы? Координаты этой точки должны
быть выражены через координаты всех материальных точек системы. Только тогда замена будет удобна.
Предположим, мы нашли такую точку, т.е. нашли способ выразить её координаты через координаты


точек системы. Пусть υ С – скорость этой точки, а r0C – её радиус-вектор в некоторый момент времени t.

Пусть rC – радиус-вектор этой точки спустя Δt после этого. Запишем равенство, в левой части которого стоит
импульс системы, а в правой части – импульс искомой точки.




m1υ1  m2 υ2  ...  mn υn  mсист υC (1)
 

где m1, m2, … , mn – массы материальных точек системы, n – их число, υ1 , υ2 , ... , υn – их скорости. Вспомним
 
 r  r0


определение скорости: υ 
, где r0 – радиус-вектор точки в некоторый момент времени t, а r – радиусΔt
вектор этой точки спустя Δt после этого, причём Δt стремится к нулю. В формуле (1) выразим все скорости
через радиус-векторы точек и умножим обе части равенства на Δt. Получим:








m1r1  m 2 r2  ...  m n rn  m1r01  m 2 r02  ...  m n r0n   m сист rC  m сист r0C , откуда






m1r01  m 2 r02  ...  m n r0n
m1r1  m 2 r2  ...  m n rn 

.
rC 
 r0C 
m сист
m сист


Радиус-вектор rC искомой точки не должен зависеть от радиус-вектора r0C в какой-то предыдущий
момент времени (иначе он зависел бы от того, какой момент в прошлом мы выберем). Поэтому



m1r01  m 2 r02  ...  m n r0n 

r0C 
 C – некоторый не меняющийся со временем вектор, который можно
m сист

выбрать произвольно. Удобнее всего выбрать C = 0. Точка, выбранная таким образом, называется центром
масс. Сформулируем определение. Центр масс – это точка, радиус-вектор которой выражается через
радиус-векторы материальных точек системы по формуле



m r  m 2 r2  ...  m n rn

.
rC  1 1
m1  m 2  ...  m n
Из определения следует, что координата х центра масс находится по формуле
хс 
m1 х 1  m 2 х 2  ...  m n х n
.
m1  m 2  ...  m n
Теперь формулу второго закона Ньютона можно записать для любого тела, а не только для движуще-



гося поступательно. F  ma , где a – ускорение центра масс тела. Это утверждение называется теоремой о
движении центра масс. Её легко доказать, зная, что импульс тела равен импульсу центра масс. Сделайте это
на полях. Пользуйтесь формулой, приведённой на первой странице, и определением ускорения.
Центр масс – удобное понятие. У многих тел его легко найти из соображений симметрии. Однако не
всегда вместо движения тела достаточно рассматривать движение центра масс. Например, кинетическая
энергия тела не всегда равна кинетической энергии его центра масс.
Следует различать понятия “центр масс” и “центр тяжести”. Центр тяжести – это, по определению,
точка приложения силы тяжести. Уточним, что такое точка приложения силы. Если к какой-то точке тела прикреплена нить, и мы за неё тянем, то эта точка является точкой приложения силы. В этом случае мы действуем только на одну точку тела. Земля, в отличие от нашего случая, действует на всё тело (на все материальные
точки, из которых оно состоит). Сила, которую мы называем силой тяжести, состоит из многих частей, маленьких сил, действующих на отдельные материальные точки. Такую силу можно назвать сложной (т.е.
состоящей из многих частей). Точка приложения силы тяжести – та, относительно которой сумма моментов
всех маленьких сил равна нулю. Точка приложения силы – такая точка, относительно которой сумма
моментов всех составляющих её сил равна нулю. Таких точек можно выбрать бесконечно много. Они не
связаны с телом и лежат на прямой, называемой линией действия силы. Но центр масс всегда является одной
из точек приложения силы тяжести, т.е. одним из центров тяжести. Это позволяет находить центр масс, не
пользуясь определением, а записывая правило моментов и сокращая его на ускорение свободного падения.
Вместо сил тяжести можно сразу писать массы.
Задачи
1. По горизонтальному пути катится тележка массой M = 7 кг со скоростью υ = 3 м/с. На тележку положили кирпич массой m = 3,5 кг. Через некоторое время в дне тележки открылся люк, и кирпич выпал. С какой скоростью стала двигаться тележка? Трением при качении тележки пренебречь.
2. Лёгкую пластмассовую трубку длиной L, закрытую с нижнего конца, удерживают вертикально. На
дне трубки сидит муха, масса которой равна массе трубки. Нижний конец трубки находится на высоте h над
столом. Трубку отпускают, и пока она падает, муха успевает перелететь и сесть на её верхний конец. Найдите
время падения трубки. Массой дна трубки и сопротивлением воздуха пренебречь.
3. Воздушный шар повис на высоте h = 15 м над землёй. В корзине находится человек массой m1 = 60
кг. Масса шара и корзины без человека равна m2 = 180 кг. Человек спускается по верёвочной лестнице. Какой
должна быть минимальная длина лестницы, чтобы человек смог спуститься до самой земли?
Ответы. 1.
1 
M
 2 м/с.
M m
2h  L
g
Дополнение для учителя
2. t 
3.
H h
m1  m2
 20 м.
m2
Есть заблуждение о том, что сила, действующая на многие точки тела, имеет только одну точку
приложения. Например, если цилиндр частично погружён в воду, точка приложения силы Архимеда
находится на середине погружённой части. Этим объясняют, почему центр масс корабля делают как можно
ниже: чтобы точка приложения силы Архимеда была выше центра масс. В этом случае корабль устойчив в
воде. Но это неправильно. Устойчивость определяется моментами сил, возникающих при повороте (наклоне
корабля). А момент определяется не конкретной точкой приложения, а линией действия силы. Это касается
как школьного, упрощённого определения момента, так и векторного.
Нельзя также утверждать, что при наклоне корабля какая-то его точка всегда является точкой приложения силы Архимеда. Середину (центр масс вытесняемой воды) отличает от других точек приложения силы
Архимеда только то, что при малом наклоне корабля линия действия силы смещается от этой точки меньше,
чем от других, которые составляют линию действия силы в положении равновесия.