Загрузил Natali2001and

Касательная к графику функции

реклама
Тема: «Касательная к графику функции»
Цели: научиться находить угловой коэффициент касательной к графику функции в заданной точке; составлять уравнения касательных к графику функции по заданным условиям.
Краткая теоретическая справка.
Строгое определение касательной:
Касательная к графику функции f, дифференцируемой в точке xо, - это прямая, проходящая через
точку (xо; f(xо)) и имеющая угловой коэффициент f ′(xо).
Угловой коэффициент имеет прямая вида y = kx + b. Коэффициент k и является угловым коэффициентом этой прямой.
Угловой коэффициент равен тангенсу острого угла, образуемого этой прямой с осью абсцисс:
k = tg α= f ′(xо).
Здесь угол α – это угол между прямой y = kx + b и положительным (то есть против часовой стрелки) направлением оси абсцисс. Он называется углом наклона прямой.
Если угол
наклона прямой y = kx + b острый, то угловой коэффициент является положительным числом.
График возрастает (рис.1).
Если угол наклона прямой y = kx + b тупой, то угловой коэффициент является отрицательным
числом. График убывает (рис.2).
Если прямая параллельна оси абсцисс, то угол наклона прямой равен нулю. В этом случае угловой
коэффициент прямой тоже равен нулю (так как тангенс нуля есть ноль). Уравнение прямой будет
иметь вид y = b (рис.3).
Если угол наклона прямой равен 90º (π/2), то есть она перпендикулярна оси абсцисс, то прямая задается равенством x = c, где c – некоторое действительное число (рис.4).
Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке xо:
y = f(xо) + f ′(xо) (x – xо)
Алгоритм решения уравнения касательной к графику функции y = f(x):
1. Вычислить f(xо).
2. Вычислить производные f ′(x) и f ′(xо).
3. Внести найденные числа xо, f(xо), f ′(xо) в уравнение касательной и решить его.
Порядок выполнения работы.
1. Внимательно изучите теоретическую справку по теме.
2. Решите следующие задания.
Пример1. Найдем уравнение касательной к графику функции f(x) = x3 – 2x2 + 1 в точке с абсциссой 2.
Решение.
Следуем алгоритму.
1) Точка касания xо равна 2. Вычислим f(xо):
f(xо) = f(2) = 23 – 2 ∙ 22 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1
2) Находим f ′(x). Для этого применяем формулы дифференцирования, изложенные в предыдущем
разделе. Согласно этим формулам, х2 = 2х, а х3 = 3х2. Значит:
f ′(x) = 3х2 – 2 ∙ 2х = 3х2 – 4х.
Теперь, используя полученное значение f ′(x), вычислим f ′(xо):
f ′(xо) = f ′(2) = 3 ∙ 22 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.
3) Итак, у нас есть все необходимые данные: xо = 2, f(xо) = 1, f ′(xо) = 4. Подставляем эти числа в
уравнение касательной и находим окончательное решение:
у = f(xо) + f ′(xо) (x – xо) = 1 + 4 ∙ (х – 2) = 1 + 4х – 8 = –7 + 4х = 4х – 7.
Ответ. у = 4х – 7.
Пример 2. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с
абcцисcой x0 . Найдите значение производной функции в точке x0 .
Значение производной функции y=f(x) в точке x0 равно тангенсу угла между касательной
и положительным направлением оси ОХ. Чтобы его найти, выделим прямоугольный треугольник,
гипотенуза которого лежит на касательной, а катеты параллельны осям координат. Обозначим
точки с целыми координатами буквами А и В - эти точки выделены на касательной:
Проведем через точку А прямую параллельно оси ОХ, а через точку В - параллельно оси
OY. Получим прямоугольный треугольник ABC. Угол А треугольника АВС равен углу между
касательной и положительным направлением оси ОХ.
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего
катета к прилежащему. Длины катетов считаем по количеству клеточек
Ответ. 0,25.
Пример 3. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции
в точке с абсциссой х0=1.
Решение. Находим производную функции
Тогда при x0=1 значение производной равно
Отсюда получаем, что угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х0=1 равен
Ответ. 1.
Пример 4. Прямая y= 8x-5 параллельна касательной к графику функции y=x2 +7x +7. Найдите
абсциссу точки касания.
Решение. Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов,
следовательно k=8 . Угловой коэффициент касательной – это есть значение производной функции
в точке x0. f ´(x0) = 2x0+7 =8, 2x0 = -1, x0 = -0,5.
Ответ. -0,5.
3. Выполните самостоятельную работу по вариантам.
Самостоятельная работа.
Задание №1. Составьте уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке
x 0.
11
𝑦 = 𝑥 − 3𝑥 2 , 𝑥0 = 2
𝑦 = 5𝑥 − 𝑥 2 , 𝑥0 = −2
12
𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 , 𝑥0 = 1
𝑦 = 6 + 2𝑥 − 𝑥 3 , 𝑥0 = 1
𝑦 = 3𝑥 3 − 4𝑥 + 𝑥 2 , 𝑥0 = −1 13
𝑦 = 3𝑥 4 − 4 + 2𝑥 2 , 𝑥0 = −1
14
𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 1, 𝑥0 = 3
𝑦 = 6𝑥 2 − 𝑥 + 5, 𝑥0 = 3
15
𝑦 = −2𝑥 2 + 𝑥, 𝑥0 = −2
𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 1, 𝑥0 = −3
16
𝑦 = 7𝑥 − 5 − 2𝑥 3 , 𝑥0 = 1
𝑦 = 7 − 5𝑥 2 − 2𝑥 3 , 𝑥0 = 1
𝑦 = 2𝑥 − 3𝑥 2 + 𝑥 4 , 𝑥0 = −1 17
𝑦 = 2 + 3𝑥 2 + 𝑥 4 , 𝑥0 = 1
1
8
18
𝑦 = 5𝑥 3 − 3𝑥, 𝑥0 = 2
𝑦 = 𝑥 3 − 3, 𝑥0 = 2
3
9
19
𝑦 = 0,5𝑥 2 − 5𝑥, 𝑥0 = −2
𝑦 = 0,5𝑥 4 − 5𝑥 2 𝑥, 𝑥0 = −1
1
1
10
20
𝑦 = 𝑥 4 − 3𝑥, 𝑥0 = 1
𝑦 = 𝑥 4 − 3, 𝑥0 = 1
4
8
Задание №2. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику
функции в точке x0.
y=x3+4x2-11, x0=3
y=3-x-2tgx, x0=0
1
11
𝜋
y=6x-tgx, x0=0
y=6x+4sinx, x0=
2
12
3
y=3e x +2,5x, x0=0
y=9-3x2-2x3, x0=-1
3
13
y=2x+7lnx, x0=14
y=5x+4x2+3e x, x0=0
4
14
𝜋
𝑦 = 4√𝑥 − 3𝑥 + 1, 𝑥0 = 1
y=6x-4cosx, x0=
5
15
6
1 3
y=4x-3lnx, x0=6
𝑦 = 𝑥 − 7𝑥 +1, x0=6
6
16
1
2
3
4
5
6
7
3
𝜋
2
𝑦 = 𝑥 3 − 7𝑥 2 , x0=-2
7
17
2
3
y=3x-x2, x0=1
y=6sinx-3x, x0=0
8
18
y=4x2-2e x, x0=0
9
19
𝑦 = 2√𝑥 − 3𝑥 2 , 𝑥0 = 4
y=9x-4x3, x0=1
10 y=2-5x-lnx, x0=1
20
Задание №3. Прямая параллельна касательной к графику функции y=f(x). Найдите
абсциссу точки касания.
y=5x+3, y = x2-7x+2
1
11
,
y=4-3x, y = 2x2-x-12
2
12
,
y=x+1, y = x2-5x+3
3
13
,
y=-5x+2, y = 3x2+7x+1
4
14
,
y=2-5x, y = x2-6x+2
5
15
,
y = -3x+5, y = 2x2 -2x-1
y=-x+1, y = -x2+4x
6
16
y = 3x - 2, y = -x2 -12x+5
y=5x, y = 2x2-8x-3
7
17
y = -x+5, y = x2 -7x-1
y=4-x, y = x2+2
8
18
y = -6x-2, y = 3x2 -12x+7
y=12x, y = 3x2-1
9
19
y=-3x -2, y =2 x2-11x+2
10 y = -3x-5, y = 2x2 -2x-1
20
y=2x+ctgx, 𝑥0 =
Скачать