Документ 653257

26(1). Измеримые множества на прямой.
Свойства меры:
1.mA ≥ 0;
2.AB , mA  mB;
3.A,B A  B=m(AB)=mA+mB.
Мера открытого, ограниченного множества на
прямой:
m=0; m(a,b)=b-a (число).
Пусть G–открытое, непустое множество на прямой.
Множество называется открытым, если все его
точки внутренние. Точка х0 G называется
внутренней, если >0 (x0-,x0+)G.
Опр. Те множества, которые находятся во
взаимнооднозначном соответствии с N называется
счетным. Множество всех целых чисел счетно.
Утв. Пусть G – непустое, открытое, ограниченное
множество, то mG0.
Теорема. Всякое непустое открытое ограниченное
множество на прямой представимо в виде
объединения конечного или счетного количества
попарно не пересекающихся интервалов, концы
которого не принадлежат G.
Утв. Пусть G – непустое, открытое, ограниченное
множество на прямой и G   (a K , bK ) ( mG  0 мера
K
открытого множества)
и ai , bi   a j , b j , то mG   m(ak , bk )
i j
k
Теорема. (монотонность) Пусть G1 и G2 –
открытые, ограниченные и непустые множества
такие, что G1G2  mG1mG2.
Обозначим через i набор составляющих
интервалов G1 ; {k} – составляющие интерв. G2.
i G1 G2 i G2 . Найдется к : i к.
Разобьем {i} на классы следующим образом
обозначим через Ак тот набор из i , который
попадает
в
к
.
mG1   m i    m i   m k  mG2 .
i
k  i  Ak
k
Теорема (полная аддит.): Пусть G – непустое,

открытое, ограниченное множество и G   Gk и Gk

k 1
попарно не пересекаются, то mG   mGk
k 1
Опр. Множество, которое содержит все свои
предельные точки, называется замкнутым
Пример [0,1] , 
Опр. Точка x0 - называется предельной точкой
множества E  R , если всякая окрестность точки
x0 содержит в себе точки множества E , отличные
от точки x0
Мера замкнутого, ограниченного множества:
m=0; F - ограниченное, замкнутое множество,
у такого множества существуют sup и inf: = infF,
=supF.
S=[,]
–
наименьший
отрезок,
содержащий в себе множество F. S\F – открытое
множество.
Опр. Мерой замкнутого ограниченного множества
F называется mF=--m(S\F).
Свойства меры (замкнутого огр. множества):
Теорема. mF0.

Рассмотрим
(,)S\F.
m(,)>m(S\F)
mF=(-)-m(S\F)0.

Теорема (монотонность) Пусть имеются два
замкнутых огр-ных множества F1F2,то mF1mF2 .
 Т.к. F1 и F2 – огр.   F2  F1 . Рассмотрим
\ F1  \ F2 – эти множества открытые  по Т. о
монотонности мера открытых множеств  m(\ F1)
 m(\ F2)  m-mF1m-mF2  mF1  mF2

Теорема(аддитивность). Пусть F – замкнутое,
ограниченное
множество
n
F   Fk ,где
Fk-
k 1
замкнутые ограниченные множества такие, что Fi
n
Fj =, ij. Тогда mF   mFk .
k 1
Измеримые множества
Пусть Е – ограниченное непустое множество.
Опр. Внешней мерой множества Е: m*Е
называется число inf mG
GE
G  откр
Опр. Внутренней мерой множества Е называется
m* E  sup mF .
F E
F  замкн
Утв. Пусть Е – ограниченное множество. Тогда
m*Em*E.
Утв. А и В – ограниченные множества и АВ.
Тогда m*Аm*В m*Аm*В.
Утв. (*) Пусть Е - ограниченное Е   Ек
(объединение
попарно
к
непересекающихся
множеств, конечного или счетного количества).
Тогда m* Е   m* Еk и m* Е   m* Еk
k
k
Опр. Ограниченное множество Е называется
измеримым, если внешняя и внутренняя меры этого
множества совпадают. В этом случае общее
значениуе меры называется просто мерой или
мерой по Лебегу.
Всякое открытое ограниченное и всякое замкнутое
ограниченное множество измеримо.
Теорема (аддит). Пусть Е   Ек (объединение
к
попарно непересекающихся измеримых множеств,
конечного или счетного количества). Тогда
множество Е – измеримо и mЕ   mЕk .
k

Рассмотрим
общее свойство
внутренней
и внешней
меры
Утв .(*)
  m E  m E  m E   m E   mE
Т.е. m*E=m*E=mE – так по определению получаем,
 mЕk
k
*
k
*
k
*
*
k
k
что Е – измеримо. И mЕ   mЕk .
k
k
k

Если Е – неограниченное множество.
EN= E[-N,N], где N –натур.число.
Е – измеримо, если N-натур. множество EN –
измеримое множество. mE= lim mEN при N.
27(1). Интеграл Лебега.
f:ER, E(f>0)={xE: f(x)>0}
E(f>a)={xE: f(x)>a} (совокупность всех
тех х из Е, где f(x)>a)
Опр.Функция f называется измеримой, если
1) Е – измеримо;
2) аR E(f>a) – измеримо.
Утв. Непрерывная функция на отрезке – измеримая
функция.
Пусть f – измеримая ограниченная функция на
измеримом
ограниченном
множестве
Е.
Существуют А и В такие, что Аf(x)В хЕ.
Разобьем отрезок [А,В]: А=у0<y1<…<yn=B. Это
разбиение обозначим через Т. Обозначим через
ек=Е(ук-1fyk)
k=1,2,…,n.
Множества
ек–
измеримы, т.к. ек =Е(fyk-1)E(fyk).
Рассмотрим множества еi и ej и ij, для
определенности будем считать, что i<j. Пусть х еi
 уi-1fyi , если х еj  уj-1fyj  уiyj , т.е.
f(x)уiyj . Эти множества не пересекаются, т.е. еi
n
ej =, Е   ек
к 1
, если к этому равенству
n
применить аддитивность, то получим mЕ   mеk .
k 1
Возьмем параметр разбиения   max ( yi  yi 1 ) .
i
n
Введем суммы Лебега: нижняя сумма s   yk 1mek и
k 1
n
верхняя S   yk mek . Рассмотрим разность сумм
k 1
n
S  s   ( yk  yk 1 )mek  0  S  s
k 1
n
n
n
k 1
k 1
k 1
S  s   ( yk  yk 1 )mek   mek    mek  mE
Любая нижняя сумма ограничена сверху
некоторым вещественным числом u  sup s и u<S
T
Любая верхняя сумма ограничена снизу некоторым
вещественным числом v  inf S и u<v
T
suvS  0u-sv-sS-s, но S-smE0. Из
неравенства uv  0v-u, т.к. Sv  v-uS-uS-s .
Перейдем к пределу при 0 получим 0v-u0 
v-u=0  v=u.
Опр. Интегралом Лебега функции f по множеству
Е называется общее значение чисел u и v и
обозначается
Интеграл
 f ( x) dx  u  .
E
v
определяется функцией f множества E и числами A
и B, при этом он определен для всякой измеримой
ограниченной функции и он есть конечное
s  lim
S
вещественное число  f ( x) dx  lim


0


0
E
Теорема. (о среднем) Пусть на измеримом
ограниченном множестве Е задана измеримая,
ограниченная функция f, af(x)b, xE, тогда
a  mE   f ( x)dx  b  mE
E
1
1
 Возьмем nN,
An  a  ,
Bn  b  . Тогда
n
n
An<af(x)b<Bn , An и Bn – верхняя и нижняя
границы. An=у0<у1…уm= Bn . Строим по этому
разбиению
нижнюю
сумму
n
n
s   yk 1 mek   Bn mek
k 1
k 1
n
yk-1An и yk-1Bn
A me

тогда
n
k 1
n
k
n
 s   Bn mek
k 1
n
An  mek  s  Bn  mek
k 1
k 1
,
т.к.
n
mЕ   mеk 
k 1
An mЕ  s  Bn mЕ перейдем к пределу при 0
An mЕ   fdx  Bn mЕ далее перейдем к пределу при
E
n0  аmЕ   fdx  bmЕ .

E
Опр. Те множества, которые находятся во
взаимнооднозначном соответствии с N называется
счетным. Множество всех целых чисел счетно.
Теорема (о полной аддит. интеграла Лебега).
Пусть ограниченное измеримое множество Е
представлено в виде объединения попарно не
пересекаемых счетного или конечного числа
измеримых множеств Ек , т.е. Е   Ек
ЕiЕj=,ij. Тогда  f ( x)dx    f ( x)dx .
к Ek
E
к
Утв.(аддитивность относительно функции)
Пусть на ограниченном измеримом множестве
заданы две измеримые ограниченные функции f и
g. Тогда  ( f  g )dx   fdx   gdx
E
E
E
Утв.(монотонность) Пусть на ограниченном
измеримом множестве Е заданы две измеримые
ограниченные функции f и g такие, что f  g на Е.
Тогда  fdx   gdx .
E
E
Теорема. Пусть на ограниченном измеримом
множестве Е задана измеримая ограниченная
функция f. Для того чтобы функция f была
интегрируемой по Риману необходимо и
достаточно, чтобы мера множества точек разрыва
этой функции равнялась нулю.
Теорема. Если ограниченная измеримая функция f
интегрируема по Риману, то эта функция
интегрируема по Лебега, причем интегралы (в
смысле Римана и в смысле Лебега) совпадают.
Обратное утверждение не верно.
28(1). Опр. и пр. банах. и гильб. пространств.
Опр.
Множество
Х
является
линейным
пространством поля Р, если в пространстве Х
определены операции сложения и операции
умножения на элементы поля Р.
Аксиомы:
1. Коммутативность x, y  X x  y  y  x ;
2. Ассоциативность
x, y, z  X ( x  y )  z  x  ( y  z ) ;
3. Существует
нулевой
элемент
в
Х:
x  X x  0  x ;
4. x  X  ( x) x  ( x)  0 ;
5.  ( x)  ( ) x, x  X ,  ,   P ;
6. 1  x  x ;
7. 0  x  0 ;
8. (   )  x    x    x, x  X ,  ,   P ;
9.   ( x  y )    x    y, x, y  X ,   P ;
10. (1)  x   x .
Если выполнены аксиомы 1-10, то Х- линейное
пространство (в качестве Р возьмем R).
Опр. Пусть Х- линейное пространство
  R p : X  R заданное отношение. P называется
нормой, p( x)  x если это отношение
удовлетворяет аксиомам:
1. p( x)  0 при этом p( x)  0  x  0; ,
2.    R p( x)   p( x);
3.  x, y  X p( x  y)  p( x)  p( y );
Опр. Если на пространстве Х задана норма, то Хнормированное пространство.
Пусть xn   X последовательность xn  x
сходится по норме пространства X , если
xn  x  0 n   .
Опр. xn   X xn  xm  0 n, m   , то xn 
фундаментальная.
Опр. Если любая фундаментальная
последовательность в X сходится, то X -полное.
Опр. M  X -ограничено, если
 K  0 x  M x  K .
Опр. X - линейное пространство
  R p1 : X  R, p2 : X  R - нормы. p1 и p2
эквивалентны, если
 с1 , c2  0 x  X с1 p1 ( x)  p2 ( x)  с2 p2 ( x) .
Опр. Полные линейные нормированные
пространства - Банаховые пространства.
Примеры:

x 

x  ( x1 , x2 ,... xn )
R
1.
(евклидова норма);
n
2.
Ca ;b
3. l p , p  1
x  max x(t ) ; S
 a ;b 
x  ( x1 , x2 , ... xn )
n
x
k 1
k
p

2 
x

k 
k 1

n
1
2

x    xk
 k 1

L p  a; b 
p
b

x(t )
p
dt  
1
p

 ;

1
p


p
x    x(t ) dt 
.
a

b
4.
a
Частный случай банаховых пространствгильбертовы пространства.
Опр. Полное пространство с нормой x  ( x, y) ,
где  x, y  X ( x, y )  скалярное произведение,
обладающее следующими свойствами:
1. ( x, x)  0 ( x, x)  0  x   ;  - нулевой
элемент пространства
2. ( x, y )  ( y, x); коммутативность
3.   R ( x, y )   ( x, y );
4. ( x  y, z )  ( x, z )  ( y, z ), дистрибутивность
называется гильбертовым пространством.
Покажем, что x  ( x, y) действительно является
нормой:
◄1. x  0, x  0  x   ;
x    x  ( , )  0.
( x, x)  0  ( x, x)  0  x   .
  x,  x    2 ( x, x)  
2.  x 
( x, x)   x .
x  y  ( x  y )( x  y )  ( x, x )  2( x, y )  ( y, y ) 
2
3.  x 2  2 x  y  y 2   x  y

2
x y  x  y .
Т.о., скалярное произведение порождает норму.
Примеры:
n
( x, y )   xk  yk 
1.
k 1
гильбертово пространство.
2. Ca;b не является гильбертовым.
Rn x  ( x1 , x2 ,... xn )
n
l , x  ( x1 , x2 , ... xn )  xk  
3. 2
,
k 1
гильбертово пространство
2
p2

( x, y )   xk  yk .
k 1
При p  2
l p - не является гильбертовым.
b
L2 ()
  Rn

f :  R
4.
гильбертово пространство
( f , g )   f ( x)  g ( x)dx,

f (t ) dt  
2
a
1
2
f
2


   f 2 dx 
.


29(1). Лиин. непр. операторы в норм. простр.
Опр.
Множество
Х
является
линейным
пространством поля Р, если в пространстве Х
определены операции сложения и операции
умножения на элементы поля Р.
Аксиомы:
1. Коммутативность x, y  X x  y  y  x ;
2. Ассоциативность x, y, z  X ( x  y )  z  x  ( y  z ) ;
3.
Существует
нулевой
элемент
в
Х:
x  X x  0  x ;
4. x  X  ( x) x  ( x)  0 ;
5.  ( x)  ( ) x, x  X ,  ,   P ;
6. 1 x  x ; 7. 0  x  0 ;
8. (   )  x    x    x, x  X ,  ,   P ;
9.   ( x  y )    x    y, x, y  X ,   P ;
10. (1)  x   x .
Если выполнены аксиомы 1-10, то Х- линейное
пространство (в качестве Р возьмем R).
Опр. Пусть Х- линейное пространство
  R p : X  R заданное отношение. P называется
нормой, p( x)  x если это отношение
удовлетворяет аксиомам:
1. p( x)  0 при этом p( x)  0  x  0; ,
2.    R p( x)   p( x);
3.  x, y  X p( x  y)  p( x)  p( y );
Опр. Если на пространстве Х задана норма, то Хнормированное пространство.
Опр. Пусть X и Y линейные пространства
A : X  Y называется оператором, если область
определения D( A)  X .
Опр. Оператор A называется линейным, если
1.  x1 , x2  X A( x1  x2 )  Ax1  Ax2 ; аддитивность
2.   R x  X A( x)   Ax. однородность
Пример. Интеграл Лебега – линейный
оператор
X  L  a; b
b
Ax   x (t )dt
a
b
b
b
a
a
a
A( x1  x2 )    x1 (t )  x2 (t )  dt   x1 (t )dt   x2 (t )dt  Ax1  Ax2
b
b
a
a
  R A( x)     x(t )dt    x(t )dt   Ax.
Опр. Говорят, что оператор A непрерывен в т. x0
Y

x

X
:
x

x
Ax

 Ax0 .


n
n
0
n
если
Опр. Оператор непрерывен на множестве, если он
непрерывен в каждой точке этого множества
Теорема. Для того, чтобы линейный оператор был
непрерывен во всем пространстве X необходимо и
достаточно, чтобы этот оператор был непрерывен в
одной точке пространства X .
◄  Если линейный оператор непрерывен во всех
точках пространства X , то он непрерывен и в
одной точке.
 Пусть A непрерывен в т. x0
?
x

X
x

x
y

x

x

x
y

 x0 проверим
В
n
n
n
0
n
Рассмотрим yn  x0  xn  x  0  yn  x0 . Пусть A
непрерывен в т. x0  Ayn  Ax0 , покажем что
Axn  Ax . Рассмотрим
Axn  Ax  A( xn  x)  A( xn  x0  x0  x) 
A( xn  x  x0 )  Ax0  Ayn  Ax0  0  Ayn  Ax0 ►
Опр. Пусть X и Y линейные нормированные
пространства A : X  Y D( A)  X . A называется
ограниченным
оператором,
если  c x  X Ax  c x .
X и Y линейные норм-ые
Теорема. Пусть
пространства A : X  Y . Для того, чтобы оператор
A был непрерывным необходимо и достаточно,
чтобы он был ограниченным.
◄1) Пусть A - непрерывный, докажем, что A
ограниченный. Предположим, что A не является
ограниченнымс  0 x Ax  c x  nx Ax  n x
отметим что xn  0
Рассмотрим последовательность
n
yn 
xn
x
 yn  n
xn
xn

n
n
1
 xn  1
xn
Рассмотрим последовательность
перейдем
к lim
yn
1
1 n 
z n   z n  yn   z n  0
n
n
n
zn    zn  0  zn   в X
Оператор А – непрерывен  Azn   y
Azn  0 (1)
Рассмотрим
1
1
1  xn 
 yn 
Azn  A    A  yn   A  yn   A 
 
n
n
n  xn 
 n 
1
1

A( xn ) 
 n xn  1
n xn
n xn
Не стремится к нулю. Последнее неравенство и
выражение (1) противоречат друг другу.
2) A ограничен. Докажем, что А – непрерывный.
Для того, чтобы он был непрерывен во всем
пространстве необходимо и достаточно, чтобы он
был непрерывен в нуле
xn   X 0  Axn  c xn  Axn  0  Axn   y .►
Опр. Пусть X и Y линейные нормированные
пространства A : X  Y - линейный ограниченный
оператор. Неравенство ограниченности имеет вид
 c x  X Ax  c x .
Опр. Нормой линейного ограниченного оператора
A называется A  inf c (минимальная const для
которой неравенство ограниченности
выполняется), где c  число, для которого
выполняется неравенство ограниченности:
A 0
Ax  A  x
  0 x
Ax   A    x
Пусть X и Y линейные
Теорема.
нормированные
пространства A : X  Y - линейный ограниченный
Ax .
оператор. Имеет место равенство A  sup
x 1