§14. Теория кратных интегралов RN ;Q-невырожденный параллелепипед. Q={ (x1..,xN) : a1x1b1 .. aNxNbN } Построим разбиение x 1 M1 k k 1 , [ a 1 , b1 ] ... x N MN k k 1 , [a N , b N ] Qk1 ...k N x 1 ...x N : xk11 1 x 1 xk11 ...xkNN 1 x N xkNN k k1 ...k N - весь набор индексов Qk , k Qk (x1..xN) ( k )m( Qk ) k - интегральная сумма (по всем возможным индексам) Q -разбиение k -промежуточные точки k Qk , k Опр.: J называется пределом, если для любого >0 >0: Qk , k , если Qk J Qk , k - диаметр разбиения Qk max d Qk k Если существует предел интегральных сумм, то функция интегрируема. 1 N 1 N ... ( x ...x )dx ...dx ( x )dv x Q Q Для введения определения (1) A- измеримое множество A- ограничено. AQ Предположим, что (x) задано на A. Доопределим. ( x), x A ~( x) 0, x Q \ A def ( x )dv x ~( x )dv x A Q (2) A- измеримое множество. M Предположим, что A Ak ; Аk - измеримое :Ak, An при kn не пересекаются. k 1 k Ak M ( k )m( Ak ) k 1 lim A k 0 ( x)dv x A Теорема Функция интегрируема по первому определению она интегрируема по второму определению и пределы совпадают. Оказывается, что m( A ) 1dV A §15. Теорема о сведении двойного интеграла к повторному a<b, c<d; Q={(x,y):axb,cyd} (x,y) интегрируема на Q Предположим, что для каждого x [a,b] (x,y) интегрируема по переменной y на [c,d]. Тогда функция вида d F ( x ) ( x , y )dy c интегрируема на [a,b], причем d a c ( x , y )dy dx Q ( x , y )dxdy b Док-во: Построим разбиение {xk}[a,b]. k [xk-1,xk] M d ( k , y )dy xk k 1 c -интегральная сумма для внешнего интеграла по форме {yn} [c,d]. ({yn})({xk}) M N yn ( k 1 n 1 yn 1 mk ,n inf ( x , y )Qk ,n M d k , y )dy x k ( , y )dy k 1 c ( x , y ); M k ,n sup ( x , y ) ( x , y )Qk ,n Тогда справедлива оценка для (x,y) Qk,n mk,n(x,y)Mk,n M N M N mk ,n y n xn M k ,n y n xn k 1 n 1 k 1 n 1 Мы воспользовались, что mk ,n y n yn ( k , y )dy M k ,n y n yn 1 sS (для двойного интеграла) s-нижняя сумма Дарбу для двойного интеграла dxdy . Q S- верхняя сумма Дарбу для двойного интеграла dxdx . Q Qk ,n 2xk xk2 yn2 2xn Если ({xk})0, то ({Qk,n})0. S dxdy Q b d ( x , y )dy dx ( x , y )dxdy a c Q ч. т. д. Формула для криволинейной трапеции. b 2 ( x ) ( x , y )dy dx ( x , y ) dxdy A a ( x ) 1 Доопределяем нулями. §16. Теорема Фурбини для n-мерного случая Q1 RN1; Q2 RN2. Тогда Q1Q2={(x,y):x Q1, y Q2}RN1+N2 Предположим, что интегрируема на Q: для каждого x Q1 функция (x,y) интегрируема по у на Q2. Тогда интеграл ( x , y )dv Q Q2 y dv ( x , y )dv x ,y x Q §17. Замена переменных в кратных интегралах Опр.: RN: A RN. Будем говорить, что А- область, если А- большое, непустое, открытое множество. Опр.:. А- замкнутая область, если А A int( A ) . Опр.: А- регулярное множество (Reg [A,RN]), если А A int( A ) . : RN1 RN2 (t)=(1(t).. N2(t)), t=(t1,...tN1). Опр.: Матрицей Якоби назовем матрицу 1 1 t ...N 2 t 1 1 ... t N 1 ... ... N 2 ... t N 1 D t ( t ) Если N1=N2 матрица квадратная определитель D det Dt ( t ) Dt . Отображение :RN1RN2 Отображение :RN2RN3 Dt ( ( t )) D x x x ( t ) Dt ( t ) N1=N2=N3=N D ( ( t )) D ( x ) D ( t ) Dt Dx x ( t ) Dt Теорема о замене переменных Пусть: А- измеримое множество, - интегрируемая функция на этом множестве. (т.е. R(A)). A* – измеримое множество. S A, m( S ) 0 A\S- открытая (не равное пустому множеству) область. S* A*, m( S * ) 0 . A*\S*- область. : RNRN C1(A*\S*) взаимно однозначно отображает A*\S* на A\S D 0 при t A*\S*. Dt D F ( t ) ( ( t )) при t A*\S*. Dt F- ограниченная на A*. Тогда F R(A*) и ( x )dv x ( ( t )) A* A D dvt F ( t )dvt Dt A* Пример: J x 2 y 2 dxdy x 2 y 2 4 Перейдем к полярным координатам: х=cos, 0, 02 у=sin x D( x , y ) D( , ) y x cos y sin sin cos = 0 (якобиан превращается в 0). 2 2 2 2 1 1 J 2 cos 2 2 sin 2 d d d d 5 sin 2 2 5 d sin 2 2 d 4 4 G* 0 0 0 0 Второй вариант теоремы Пусть: А- замкнутая область, C(A), A*-замкнутая область. : RN RN, C1(A*), взаимно однозначно отображает А* на А. D 0 при t A*. Dt Тогда D t R A* , и Dt D A ( x )dv x A ( ( t )) Dt dvt * Док-во: 1) Докажем теорему только для линейного отображения Формулировка Лемма 1 Пусть: А- измеримое множество. R(A). A*- измеримое множество. T- матрица mn. det(T)0 Тогда {(Tt)|det(T)|} R(A*) и справедлива формула А=TA* ( x )dv x ( Tt ) det( T )dvt A A* Доказательство в Ильине, Позняке. ч. т. д. Обозначения: ||t||- норма точки t max t nk k 1 ,N N ||T||- норма матрицы T max Tnk . k 1 ,N n 1 ||Tt||||T|| ||t||. X k Tnk t n - функция отображения. R(C)={x RN: ||x-(t0)||MS} Используя теорему о неявной функции можно показать, что (int(G))=int((G)). (G)=(G). ( G1 G2 ) ( G1 ) ( G2 ) G- замкнутый куб. S(C)- 0,5 длины стороны. max t 1 t01 ... t N t0N S ; M ( C ) sup Du ( u ) uC C={t R : ||t-t0||S} N Лемма 2 Пусть выполнены все условия теоремы. (1) C A*- замкнутый куб. Тогда образ замкнутого куба при отображении (С) R(C) (2) Если G- измеримое множество, G int( A* ) . (G)- измеримое множество (т.е. замена переменных сохраняет измеримость, но в том случае, когда G int( A* ) ). (3) Если С- замкнутый куб; С int(A*), то m((С))(M(C))Nm(C) Докажем лемму: (1) C A* Фиксируем t C, k 1, N k ( t ) ( t0 ) u n k ( t n t0n ) ,0 1 k (t)- (t0)=Du ()(t-t0) - промежуточная точка. u t0 ( t t0 ) || (t)- (t0)||||Du()|| ||t-t0|| ( t ) ( t 0 ) sup Du ( u ) t t 0 M ( C ) S ( C ) uC (C) R(C) m(R(C))=(M(C))N m(C) Докажем (2). G int(A*) (G) A (G) ограничено. Чтобы доказать измеримость, нужно доказать (G) имеет меру 0. Q- замкнутый куб. А* Q Q Qk k Qk-замкнутые кубы K- множество таких номеров, что Qk G D Q k kK По построению, очевидно, что G D (G)=(G) (граница образа совпадает с образом границы) ( D ) ( Qk ) R( Qk ) . kK kK Qk A* (если разбиение достаточно мелкое). Дальше будем считать, что Qk int(A*). N N m( R(Qk )) m( R(Qk )) sup Du (u ) m(Qk ) sup Du (u ) m(Qk ) kK kK uQk kK uA* kK sup Du (u ) m(Qk ) N m(D) 0 при ({Qk})0 m R( Qk ) 0 при ({Qk})0 kK m( ( G )) 0 -следовательно, оно измеримо. (3) C int(A*) (С) R©, m(©)m(R©)=(M©)N m© ч. т. д. Лемма 3 Пусть G- измеримое по Жордану множество. G int( A* ) Тогда D m( ( G )) dvt Dt G Доказательство(с помощью оценок, полученных в первой лемме) в Ильине-Позняке. ч. т. д. Доказательство теоремы о замене переменных. B sup( ( x )) xeA ( x )dv ( B ( B ( x )))dv x A x B dv x ( B ( x ))dv x A A A Каждый интеграл содержит неотрицательную функцию (докажем для них) Без ограничения общности: (х) 0 при х A Q- замкнутый куб. АQ Q Qk k Рассмотрим множество номеров K1, что Qk int ( A ) при mk inf ( x ) kK1 xQk Gk 1 ( Qk ) -прообраз Qk mk inf ( ( t )) tGk m m( Q k k keK 1 ) ( x )dv x при ({Qk})0. k С другой стороны, воспользуемся леммой 2 m m( Q k k ) keK 1 Т.к. mk=inf ( ( t )) kK 1 Gk m k keK 1 Gk D dvt Dt D dvt Dt функция неотрицательная можно аппроксимировать дальше ( ( t )) A* D dvt . Dt Переходя к пределу получаем такую оценку: D A ( x )dv x A ( ( t )) Dt dvt . * В нашем случае A и A* взаимозаменяемы и все условия вообще выполняются D g ( t ) ( ( t )) Dt Применим те же рассуждения не к функции (х), а к функции g(t). Получаем: D 1 ( x ) 1 g ( t ) dv g ( ( x )) dv x t A Dx A* D ( t ) Dt t 1 ( x ) ( ( t )) A* D 1 1 Dx D dvt ( x )dv x Dt A Две встречных оценки могут выполняться, только если есть точное равенство ( ( t )) A* D dvt ( x )dv x Dt A (смотри второй том Ильина- Позняка). ч. т. д. Составим интегральную сумму для такого разбиения ~ ( k )m( Qk ) k Заменим параллелограмм S=произведению векторов ( ab ) x 1 1 a t 2 t 1 - это производная нашей функции по первой переменной. x 1 t x 1 2 b t 2 t 2 - это производная нашей функции по второй переменной. x 2 t Глава 5. Криволинейные интегралы §1. Криволинейные интегралы первого рода Рассмотрим плоскость XOY и кривую L на ней: L: x (t ), y (t ), t [ , ] Опр.: Кривая L называется простой незамкнутой кривой, если различным значениям параметра t соответствуют различные точки кривой L. Опр.: Кривая L называется простой замкнутой кривой, если точки A( ( ), ( )) B( ( ), ( )) . Опр.: Кривая L называется спрямляемой, если существует предел длин ломаных, вписанных в данную кривую при L 0 , где L – длина наибольшего звена ломаной. Пусть функция f(x, y) задана на кривой L, т.е. f(x, y) задана во всех точках плоскости, принадлежащих данной кривой. Рассмотрим разбиение сегмента [ , ] на n элементарных сегментов. Указанное разбиение влечет соответствующее разбиение кривой L на элементарные дуги ( M k 1 , M k ) . Составим интегральную сумму: n I ( M k , N k ) f ( k , k )l k , k 1 где l k M k 1 M k Пусть l max l k 1 k n Опр.: Число I называется пределом интегральной суммы при l 0 , если 0, 0 такое, что для любого разбиения, удовлетворяющего условию l , выполняется I (M k , N k ) I для любого выбора точек Nk на сегменте разбиения. Если I существует, то он называется криволинейным интегралом первого рода и обозначается f ( x, y)dl или f ( x, y)dl . L AB Замечание. Значение криволинейного интеграла I рода не зависит от «направления разбиения»: нумерация точек разбиения может идти как от A к B, так и наоборот. Поэтому f ( x, y)dl f ( x, y)dl . AB BA §2. Свойства криволинейных интегралов первого рода 1. Пусть существует криволинейный интеграл первого рода по кривой AB для функций f(x, y) и g(x, y). Пусть a, b – некоторые константы. Тогда: существует криволинейный интеграл первого рода: (af ( x, y) bg ( x, y))dl a f ( x, y)dl b g ( x, y)dl AB AB AB 2. Пусть существует криволинейный интеграл первого рода f(x, y) по кривой AB, которая представима в виде совокупности двух кривых AC и CB, по которым криволинейный интеграл первого рода от данной функции также существует. Тогда выполняется равенство f ( x, y)dl f ( x, y)dl f ( x, y)dl AB AC CB 3. Пусть существует криволинейный интеграл первого рода f ( x, y)dl , AB тогда существует интеграл f ( x, y) dl , AB причем выполняется неравенство f ( x, y)dl AB f ( x, y) dl AB §3. Правило вычисления криволинейных интегралов первого рода Опр.: Кривая L называется гладкой на сегменте [ , ] , если производные / (t ) , / (t ) функций (t ) , (t ) являются непрерывными на сегменте [ , ] и не равняются нулю одновременно. Опр.: Кривая L называется кусочно гладкой, если для нее выполняются все требования гладкой кривой за исключением конечного числа точек. Опр.: Функция f(M) = f(x, y) называется непрерывной вдоль кривой L, если lim f (M ) f (M 0 ) . M M 0 , M L Опр.: Функция f(M) называется кусочно непрерывной вдоль кривой L, если для нее выполнены все требования непрерывности за исключением конечного числа точек, в которых функция имеет разрыв первого рода. Теорема Пусть L является кусочно гладкой кривой, а функция f(x,y) – кусочно непрерывная функция вдоль кривой L. Тогда существует следующий криволинейный интеграл первого рода, вычисляемый по формуле L f ( x, y)dl f ( (t ), (t )) / 2 (t ) / 2 (t )dt Замечания. 1) В том случае, если L является частью графика функции, тогда L b f ( x, y)dl f ( x, y( x)) 1 y / 2 ( x)dx , a x x - параметрическое задание y y(x) 2) Допустим, что L : r r ( ), [1 , 2 ] , задана в полярных координатах 2 f ( x, y)dl f (r ( ) cos , r ( ) sin ) L r 2 ( ) r / 2 ( )d 1 Замечание: В трехмерном случае криволинейный интеграл вводится совершенно аналогичным образом: L : x (t ), y (t ), z (t ) t [ , ] В этом случае: f ( x, y, z)dl f ( (t ), (t ), (t )) / 2 (t ) / 2 (t ) / 2 (t )dt L Пример: Вычислить криволинейный интеграл первого рода: L – астроида: x 2 / 3 y 2 / 3 a 2 / 3 Параметрическое уравнение астроиды: x a cos 3 t 3 y a sin t t [0;2 ] 2 4/3 4/3 4/3 4 4 2 4 2 4 2 ( x y )dl a (cos t sin t ) a 9(cos t sin t sin t cos t dt L 0 2 3a 7/3 (cos 0 2 4 t sin t ) sin t cos t dt 4 3a 4 7/3 (cos 0 5 t sin t sin 5 t cos t )dt То, что рассматриваемая область состоит из четырех одинаковых фрагментов еще, не является достаточным 2 /2 0 0 условием для перехода (...) 4 (...) Достаточным условием такого перехода является то, что и значения функции на всех идентичных сегментах будут совпадать. 12a 7 / 3 ( cos 6 t / 2 sin 6 t ) 6 6 0 /2 ) 4a 7 / 3 0 §4. Криволинейные интегралы второго рода L : x (t ), y (t ), t [ , ] Также, как и раньше устроим разбиение кривой L M k 1 ( x k 1 , y k 1 ) M k ( xk , y k ) x k x k x k 1 y k y k y k 1 Пусть на кривой L заданы две функции: P( x, y), Q( x, y) Составим следующие интегральные суммы: n I 1 ( M k , N k ) P( k , k )x k k 1 n I 2 ( M k , N k ) Q( k , k )y k k 1 Для указанных сумм Im, m =1,2 аналогичным образом вводится понятие интегральной суммы. Пределы интегральных сумм обозначим: I1 , I2 Если указанные пределы интегральных сумм существуют пределы интегральных сумм, то они называются криволинейными интегралами второго рода: I1 P( x, y)dx AB I 2 Q( x, y )dy AB При этом вводится понятие общего криволинейного интеграла второго рода: P( x, y)dx Q( x, y)dy , AB где знак интеграла относится ко всему выражению. Замечание: Для криволинейных интегралов второго рода справедливо следующее свойство: (...) (...) . AB BA RN [a,b] {x(t)} C1([a,b]) a1(x).. aN(x) 1 dx 1 dx N N l a dx ... a dx a a ( x( t )) dt ... a ( x( t )) dt dt b 1 1 N N §5. Формула Грина Теорема 1) G R2- замкнутая ограниченная область на плоскости. G состоит из конечного числа замкнутых кусочно-гладких кривых. 2) Пусть на границе задано направление обхода, причем таким образом, чтобы область оставалась слева. 3) P,Q C1(G)- гладкие. Тогда справедлива формула Грина. Q P dxdy x y Pdx Qdy G Можно сказать иначе. G Q dxdy y Qdy G G dxdy G P Pdx x G Опр. 1: G- y – трапециевидная область, если это замкнутая ограниченная область, Причем её можно представить в виде криволинейной трапеции: G={(x,y):x1xx2;y1(x)yy2(x)}, y1,y2- кусочно-гладкие кривые. Опр. 2: G- x – трапециевидная область, если это замкнутая ограниченная область, представимая в следующем виде. G={(x,y):y1yy2;x1(y)xx2(y)} х1,x2 –кусочно-гладкие кривые Опр. 3: G- простая область, если 1) G можно разбить на конечное число y-трапециевидных областей; 2) При этом G можно также разбить и на конечное число х- трапециевидных областей. §6. Упрощенный вариант формулы Грина: 1. G- простая область. 2. На G задано направление обхода таким образом, чтобы при движении на этом направлении область оставалась слева. 3. P,Q C1(G)- гладкие. Тогда справедлива формула Грина. Q P dxdy x y Pdx Qdy G G И справедливы два равенства отдельно. Q dxdy x Qdy G G dxdy G P Pdx y G Док-во: 1) Пусть G- y- трапециевидная область Докажем для нее утверждение: dxdy G dxdy G P Pdx y G 2 P 2 P 2 dxP( x , y 1 ( x )) P( x , y 2 ( x )) dx dy x x1 y1 ( x ) y x1 x y (x) x x2 x2 x1 x1 dxP( x , y 1 ( x )) dxP( x , y 2 ( x )); Pdx Pdx Pdx Pdx Pd x G l1 l2 l3 l4 l1: y=y1(x), x1xx2 x=x, x2 Pdx P( x , y ( x ))dx 1 l1 x1 l2: y=y, y1(x2)yy2(x2) x=x2 y 2 ( x2 ) Pdx l2 P( x 2 , y ) y1 ( x 2 ) l3: y=y2(x) dx 2 dy 0 (так как x2=const) dy x=x, x1xx2 x2 Pdx P( x , y ( x ))dx 2 l3 x1 l4: y=y, y1(x1)yy2(x1) x=x1 Pdx l4 y 2 ( x1 ) y1 ( x1 ) P( x1 , y ) dx1 dy 0 (так как x1=const) dy x2 x2 x1 x1 Pdx dxP( x , y1 ( x )) dxP( x , y 2 ( x )) - G это совпадает с тем, что мы получили для двойного интеграла 2) Пусть G- простая область. Опираясь на результат, полученный в первом пункте, докажем формулу dydx G P Pdx y G N G Gk ; k 1 Gk- у - трапециевидная область, kn : Gk и Gn не имеют общих внутренних точек, (т.е. int( Gn ) int( Gk ) ) G k G n =конечное число дуг. Запишем двойной интеграл. N P N P dxdy Pdx Pdx dydx y k 1 Gk y k 1 Gk G G 3) Пусть G- x – трапециевидная область. Q dxdy y Qdy G G Доказательство аналогично пункту 1. dxdy G 2 2 Q 2 2 Q 2 dy dx dyQ( x2 ( y ), y ) Q( x1 ( y ), y ) Q( x 2 ( y ), y ) Q( x1 ( y ), y ) y x1 x1 ( y ) x y1 y1 y1 x x (y) y y y С другой стороны y2 y2 y1 y1 Qdy Qdy Qdy Qdy Qdy Q( x1 ( y ), y )dy 0 Q( x2 ( y ), y )dy 0 G l1 l3 l3 l4 4) G- простая область. Докажем, что Q x dxdy Qdy G G N G Gk ; k 1 k n,int( Gk ) int( Gn ) Gk Gn = конечное число дуг. G Q dxdy x N N Q Q dxdy dxdy G x Qdy GQdy k 1 Gk x k 1 Gk ч. т. д. §7. Теорема о независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования G- открытая область; P,Q С(G). Предположим 1) Pdx Qdy 0 l 2) Предположим, что Pdx Qdy Pdx Qdy l1 l2 (А не зависит от формы пути). l- кусочно-гладкая замкнутая кривая l1, l2 – кусочно-гладкие. 3) Предположим u ( x , y ); x u Q( x , y ) ( x , y ) y Предположения (1), (2), (3) эквивалентны друг другу. P( x , y ) Док-во: (1) (2) (3) (1) доказать самостоятельно. ч. т. д. Теорема Предположим, что P,Q C1(G) – гладкие 4) Предположим: Тогда из (3) (4) P Q y x Док-во P u u ;Q x y P 2 u Q 2 u P Q ; y yx x xy y x ч. т. д. Опр. 4: G- линейно-связанное множество, если любые две его точки можно соединить непрерывной дугой Опр. 5: G- односвязное множество, если оно 1) линейно связано; 2) любые две кривые, целиком лежащие и с общими концами, можно непрерывно продеформировать одну в другую. Теорема Если G- односвязная область, а функции P и Q C1(G) – гладкие, то из (4) (1) P Q -не только необходимое, но и достаточное условие или условие интегрируемости. y x u x P u Q y Док-во: Pdx Qdy l Применим формулу Грина. Q P dxdy 0 x y D ч. т. д. Переход (1) (2). Можно заменить каждую из произвольных дуг на ломаную так, чтобы интеграл не изменился. Переход (2) (3) (x0,y0)- фиксированные. (х,у) – Используя теорему о среднем. Глава 6. Кривые на плоскости §1. Кривые на плоскости. Кривая на плоскости L: (1) x (t ) y (t ) t – параметр , Функции , имеют непрерывные производные. (2) F(x,y)=0 t t 0 : x0 (t 0 ), y0 (t 0 ) Тем самым получаем M 0 ( x0 , y0 ) Точка M 0 называется обыкновенной, если 2 (t ) 2 (t ) 0 (производные функций , одновременно не обращаются в нуль). M 0 - особая точка, если 2 (t ) 2 (t ) 0 Опр. Если кривая задана (2) способом и F(x,y) является дифференцируемой в некоторой окрестности точки M 0 ( x0 , y0 ) и имеет непрерывные частные производные, тогда если 2 2 Fx Fy 0 , то M 0 является обыкновенной точкой кривой L. 2 2 Если Fx Fy 0 , то такие точки называются особыми точками кривой L. Утверждение: Если точка M 0 - обыкновенная точка кривой L , то в некоторой ее окрестности график кривой представим в качестве графика некоторой дифференцируемой функции y f (x) (либо x g ( y ) ). Док-во: Т.к. точка M 0 является обыкновенной, то по крайней мере одна из производных не обращается в 0. Пусть (t ) 0 . В силу непрерывности производной, сама функция (t ) будет являться дифференцируемой и строго монотонной функцией в некоторой окрестности M 0 . Можно указать окрестность точки, в которой функция (t ) сохраняет свой знак. Следовательно, по теореме об обратной функции, существует дифференцируемая монотонная функция t 1 ( x) . Подставляя x в функцию , получаем: y ( 1 ( x)) , таким образом, мы получаем y, как функцию x. ч. т. д. §2. Касание кривых Опр. Говорят, что кривые L1 и L2 касаются в некоторой их общей точке M 0 , если касательные к указанным кривым в данной точке совпадают (имеется в виду, соприкосновение кривых). Получим условие касания двух кривых: L1: L2: y f1 ( x) y f 2 ( x) В точке касания выполняется условие f1( x0 ) f 2( x0 ) , x 0 - абсцисса точки касания. Допустим, что кривая L1 задана параметрически , по средствам (1), а L2 – по средствам (2). t0 x0 (t 0 ) F (M 0 ) x (t 0 ) F (M ) y 0 Fx ( M 0 ) (t 0 ) Fy ( M 0 ) (t 0 ) 0 - является условием касания двух кривых в точке M 0 . Примеры: §3. Однопараметрическое семейство кривых F ( x, y, ) 0 , где - некоторый параметр. I y (x )2 0 II ( y ) 2 ( x ) 3 0 (Жирная заштрихованная прямая – является особой прямой, т.е. прямой состоящей из особых точек.) Остальные кривые рассматриваемого семейства получаются из кривой 0 , в результате параллельного переноса (или параллельного сдвига) вдоль биссектрисы I и III четвертей. Точка M ( x, y ) называется характеристической точкой однопараметрического семейства кривых, если F ( x, y , ) 0 F ( x, y, ) 0 отвечающей данному значению . Опр. Огибающей однопараметрического семейства кривых называется кривая, которая: 1) в каждой своей точке касается только одной кривой данного семейства 2) в разных своих точках касается различных кривых указанного семейства. Опр. Дискриминантной кривой называется кривая реализующая собой геометрическое место характеристических точек на плоскости. Лемма 1 Пусть точка M 0 ( x0 , y0 ) - характеристическая точка однопараметрического семейства F ( x, y, ) 0 , отвечающая =0. Пусть функция F ( x, y, ) 0 и функция F ( x, y, ) 0 являются дифференцируемыми функциями в некоторой окрестности точки ( x0 , y0 , 0 ) и их частные производные по переменным x,y непрерывны в самой точке ( x0 , y0 , 0 ) , тогда, если в точке ( x0 , y0 , 0 ) якобиан D( F , F ) 0 (в точке ( x0 , y0 , z 0 ) ), то D ( x, y ) дискриминантная кривая, проходящая через точку М0, в некоторой окрестности этой точки может быть задана параметрически, как функция параметра . x ( ) y ( ) , где функции и дифференцируемы в некоторой окрестности ( x0 , y0 ) . Теорема 1 Пусть выполнены все условия леммы 1, кроме этого, выполнены следующие условия: в некоторой окрестности точки ( x0 , y0 , 0 ) Fx , Fy , Fx , Fy , F являются непрерывными функциями. 2 2 В точке ( x0 , y0 , 0 ) выполняются соотношения Fx Fy 0 и F 0 . Тогда дискриминантная кривая, проходя через точку M 0 ( x0 , y0 ) , является в некоторой окрестности этой точки огибающей. Пример: I y (x )2 0 F ( x, y, ) y ( x ) 2 Для нахождения характеристических точек запишем условие: F 0 F 2( x ) 0 x , y 0 x , y 0 Проверим условия сформулированной теоремы. 2 2 Fx Fy 1 F 2 Тогда, дискриминантная кривая, согласно сформулированной теореме, представляет собой ось X и является огибающей. II ( y )2 (x )3 0 Рассмотрим семейство полукубических парабол и найдем дискриминантную кривую F ( x, y, ) : ( y ) 2 ( x ) 3 0 F ( x, y, ) : 2( y ) 3( x ) 2 0 9 (x )4 (x )3 0 4 9 ( x ) 3 ( x ) 1 0 4 1) x y 4 9 8 y 27 x 2) (убедиться самостоятельно, что прямая, получающаяся в 1), не является огибающей, а в 2) – является огибающей семейства кривых) Вычислить частные производные, указанные в теореме: в первом случае они обращаются в нуль, а во втором - нет. §4. Кривизна плоской кривой Кривые бывают разные. Опр. Кривизной плоской кривой в точке М0 называется величина k ( M 0 ) lim l 0 (t ) l (t ) в том случае, когда кривая на плоскости задана параметрически x=x(t), y=y(t) xy yx k (M 0 ) 2 [ x y 2 ]3 2 Порядок соприкосновения плоских кривых Если lim M 1M 2 , n 1 MM 0 то говорят, что кривые L1 и L2 имеют порядок соприкосновения равный n. M M 0 Замечание 1 Если указанный предел равен нулю, то кривые L1 и L2 имеют порядок соприкосновения выше, чем n. Замечание 2 Если L1 и L2 имеют порядок соприкосновения выше любого значения n , то говорят, что они имеют в данной точке бесконечный прядок соприкосновения.