Васильева Анна Андреевна Рабочая тетрадь для подготовки к ОГЭ. Тема 6. Тема 6. Линейные уравнения и неравенства. Линейным уравнением называется такое уравнение, в котором неизвестная переменная находится в первой степени. Пример: 6𝑥 + 12 = 7 или 4(2 − 3𝑥) = −7𝑥 + 10. Любое линейное уравнение нужно привести к виду 𝑎𝑥 = 𝑏, а затем число 𝑏 разделить на число 𝑎. Получившийся результат и будет решением уравнения. Как это всё сделать? Работаем по алгоритму. Пусть дано уравнение 4(2 − 3𝑥) = −7𝑥 + 10. Раскрываем скобки: 8 − 12𝑥 = −7𝑥 + 10 Шаг 1. Раскрыть скобки, если они есть. Шаг 2. Перенести неизвестные в левую сторону, а известные в правую. Другими Было: 8 − 12𝑥 = −7𝑥 + 10 словами, иксы с иксами, числа с числами. При Стало: −12𝑥 + 7𝑥 = 10 − 8 переносах обязательно меняем знаки. Шаг 3. Привести подобные слагаемые. Было: −12𝑥 + 7𝑥 = 10 − 8 Стало: −5𝑥 = 2 Шаг 4. Находим икс. Было: −5𝑥 = 2 Стало: 𝑥 = 2 ∶ (−5) 𝑥 = −0,4 Есть дробные линейные уравнения. Их по возможности стараемся решить пропорцией. Ну или можно привести к общему знаменателю, если так легче. 𝑥−5 =5 𝑥−9 𝑥−5 5 = 𝑥−9 1 𝑥 − 5 = 5𝑥 − 45 Любое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1. 𝑥 − 5𝑥 = 5 − 45 −4𝑥 = −40 𝑥 = 10 1(𝑥 − 5) = 5(𝑥 − 9) Линейные неравенства решаются точно также, только используются знаки неравенств. Различия – это изменение знака неравенства при делении или умножении на отрицательное число и решением является промежуток, а не что-то конкретное, как в уравнении. Решим два неравенства: 3𝑥 + 18 > 0 3𝑥 > −18 𝑥 > −18: 3 𝑥 > −6 Здесь ничего не меняется, т.к. делим на положительное число 3. На числовой прямой отмечаем все значения иксов, которые больше -6: −3𝑥 + 18 > 0 −3𝑥 > −18 𝑥 > −18: (−3) 𝑥<6 Здесь знак поменялся, т.к. делим на отрицательное число -3. На числовой прямой отмечаем все значения иксов, которые меньше 6: −6 6 Ответ: (-6; +∞) Ответ: (-∞; 6) 1 Васильева Анна Андреевна Рабочая тетрадь для подготовки к ОГЭ. Тема 6. Линейные уравнения. 𝟏) 6𝑥 + 18 = 0; 𝟒) 2(7 + 9𝑥) = −6𝑥 + 2; 𝟐) 6 + 3𝑥 = 4𝑥 − 1; 𝟑) − 1 + 2𝑥 = 10𝑥 + 3; 𝟓) 9 + 2(2𝑥 + 1) = 1; 𝟔) (𝑥 + 3)2 = (𝑥 + 8)2 . Дробные уравнения, сводящиеся к линейным. 𝟏) 𝑥 + 𝑥 3 = 8; 𝟒) 8 + 𝑥 = 𝟐) 𝑥 + 𝑥+2 7 ; 𝟓) 𝑥 12 =− 13 4 10 5 =− ; 𝑥+6 3 ; 𝟑) 𝟔) 2 𝑥 8 + 11 𝑥−5 𝑥 7 =− ; 6 3 = 5 𝑥 − 11 . Васильева Анна Андреевна Рабочая тетрадь для подготовки к ОГЭ. Тема 6. Линейныe неравенства. 1. Укажите решение неравенства −3 − 𝑥 ≥ 𝑥 − 6. 1) (−∞; 1,5] 2) [1,5; +∞) 3) (−∞; 4,5] 4) [4,5; +∞) 4. Укажите решение неравенства 𝑥 − 1 ≤ 3𝑥 + 2. −1,5 1) 2) 0,25 3) 4) −1,5 0,25 2. Укажите решение неравенства −3 − 3𝑥 > 7𝑥 − 9. 5. Укажите решение неравенства 3 − 2(𝑥 − 3) > 18 − 5𝑥. 1) (0,6; +∞) 2) (−∞; 1,2) 1) 2) 3) (1,2; +∞) 4) (−∞; 0,6) 3. Укажите решение системы неравенств 𝑥 − 4,3 ≥ 0 { 𝑥 + 5 ≤ 10 1) (−∞; 4,3] ∪ [5; +∞) 3) [5; +∞) 2) [4,3; 5] 4) [4,3; +∞) −3 3) 4) 3 −3 3 6. Укажите решение системы неравенств −12 + 3𝑥 > 0 { 9 − 4𝑥 > −3 3 4 1) 3) 2) 4) решений нет 3 3 4 Васильева Анна Андреевна Рабочая тетрадь для подготовки к ОГЭ. Тема 6. Большая практика. 1) − 2𝑥 − 3 = 1; 2) 8𝑥 − 5 = 10𝑥; 3) 2(𝑥 − 7) = 3; 4) (𝑥 + 5)2 = (𝑥 − 8)2 ; 5) (𝑥 + 1)2 = (2 − 𝑥)2 ; 6) 6𝑥 − 8(−7 + 9𝑥) = −2𝑥 − 8; 7) 𝑥 + 𝑥 5 =− 𝑥 𝑥 6 12 10) + 24 5 ; +𝑥=− 8) 35 4 ; 𝑥 6 11) + 𝑥 𝑥 10 + = 𝑥 16 15 9) 3 − ; +𝑥= 35 ; 𝑥 = 𝑥; 5 4𝑥 + 4 9𝑥 12) +5= ; 8 7 7 15 15) = ; 𝑥 − 15 𝑥 − 7 5 18) = 2; 𝑥−4 10 5 = ; 𝑥−4 2 1 1 16) + = 0; 𝑥−5 𝑥+3 11 2 22 12 12 14) =− ; 𝑥+5 5 2 17) = −5; 𝑥−6 19) 5𝑥 − 2 < 0; 20) − 30𝑥 − 6 ≤ 0; 21) 7𝑥 + 2 > 23; 22) − 2𝑥 + 7 > 6; 23) − 13𝑥 − 13 ≥ −3𝑥; 24) 5(−9 + 𝑥) < 4; 25) 3(4𝑥 + 1) > 8𝑥; 26) − 2(2𝑥 − 3) > −𝑥; 27) − 9(7 + 𝑥) − 3𝑥 ≥ −9; 2𝑥 ≥ −6 28) { ; 𝑥>4 𝑥 + 1,8 ≤ 0 29) { ; 𝑥 + 0,5 ≤ −0,5 −35 + 5𝑥 > 0 30) { . 6 − 3𝑥 > −3 13) 4 Васильева Анна Андреевна Рабочая тетрадь для подготовки к ОГЭ. Тема 6. 5 Васильева Анна Андреевна Рабочая тетрадь для подготовки к ОГЭ. Тема 6. Домашнее задание. 1. Решите уравнения и неравенства. В неравенствах ответ запишите в виде промежутков. 1) 6𝑥 + 18 = 0; 2) − 5𝑥 − 9 = −6; 3) 10𝑥 + 1 = 6𝑥; 4) 5𝑥 − 3 = −10𝑥; 5) 5(𝑥 − 9) = −2; 6) − 7 = 5(𝑥 + 5); 7) (𝑥 − 6)2 = (𝑥 − 3)2 ; 8) (7 − 𝑥)2 = (𝑥 + 3)2 ; 9) (𝑥 + 9)2 = (10 − 𝑥)2 ; 10) − 8𝑥 + 4(7 + 8𝑥) = 4𝑥 + 7; 11) − 𝑥 + 2(7 − 9𝑥) = 𝑥 − 4; 12) − 7𝑥 + 9(2 + 𝑥) = −4𝑥 + 3; 𝑥 𝑥 𝑥 14) 𝑥 + 15) 6 − 7 2 7 11 11 19) = ; 𝑥−2 2 1 1 22) + = 0; 𝑥+7 𝑥−3 𝑥 9 = ; 2 2 𝑥 𝑥 19 17) + =− ; 8 11 11 6 2 20) =− ; 𝑥+9 3 3 23) = −10; 𝑥−3 25) 10𝑥 + 2 > 0; 26) − 10𝑥 − 8 ≤ 0; 27) − 5𝑥 + 2 > 11; 28)4𝑥 + 5 > 2; 29)8𝑥 − 9 ≥ −8𝑥; 30) 8(3 + 𝑥) < −2; 31) 6(5 + 𝑥) > −3; 32) − 4(−𝑥 − 2) > −6 − 4𝑥; 33) − 5(−1 + 𝑥) + 3𝑥 ≥ −7; −2𝑥 < 4 34) { ; −5𝑥 ≤ −3 𝑥 + 3 ≥ −2 35) { ; 𝑥 + 1,1 ≥ 0 −12 + 3𝑥 > 0 36) { . 9 − 4𝑥 > −23 13) 𝑥 + 16) 𝑥 + 3 𝑥 = −12; = 18 ; 6 = ; 2 3 𝑥 𝑥 16 18) + = ; 6 10 15 7 14 21) = ; 𝑥 − 14 𝑥 − 7 8 24) = 1; 𝑥−4 Васильева Анна Андреевна Рабочая тетрадь для подготовки к ОГЭ. Тема 6. 7 Васильева Анна Андреевна Рабочая тетрадь для подготовки к ОГЭ. Тема 6. 2. В каждой двадцатой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайным образом. Аля покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Аля не найдет приз в своей банке. 3. Игорь с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе двадцать кабинок, из них 3 - синие, 14 – зеленые, остальные – красные. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Игорь прокатится в красной кабинке. 4. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,15. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо. 5. Два угла в треугольнике равны 23 и 62 градусам. Найдите третий угол. 6. Один из углов ромба равен 75 градусам. Найдите больший угол этого ромба. 7. Вычислите: ( 1,75 1 7 42 + ) : ( : ). 1 1 1 13 39 2+2 + 15 25 8 Васильева Анна Андреевна Рабочая тетрадь для подготовки к ОГЭ. Тема 6. 8. Найдите площади изображенных фигур (используй справочные материалы). 9