Загрузил slavapotockij5

РПР 1 Расчёт ступенчатого бруса

реклама
РПР 1. Расчёт ступенчатого бруса
δ l2/2 l2/2 l1/2 l1/2
Стальной ступенчатый брус (рис. 1) жёстко
защемлён одним концом, другой конец бруса до
F1
нагружения находится на расстоянии , от опорной поверхности. Он нагружен силами F1, F3,
d2
после чего, его температура повышается на ΔТ.
F3
Требуется определить реакции опор и построить эпюры N, , u при следующих данных:
Рис.1.
F1 = 100 кН, F3 = 100 кН, d1 = 8 см, d2 = 6 см,
 = 0,2 мм, ΔТ = 20 К, l1 = 1 м, l2 =1 м, , E = 2105 МПа,
 = 12,510-6 К–1, nт = 1,5 и подобрать марку стали.
d1
1 Брус без нижней опорной поверхности
1.1. Делим брус на участки (рис. 2, а): I, II, III, IV (сверху
вниз; границами участков являются: начало и конец бруса;
сечения, где приложены силы и сечения, где меняется размер
поперечного сечения).
1.2. Определяем нормальные силы на каждом участке.
Для этого используем метод сечений (нормальная сила в поперечном сечении численно равна сумме проекций на нормаль к
сечению одну сторону от этого сечения).
N I  F1  F 2  100  100  200 кН ; N II  F1  100 кН ;
N III  F1  100 кН ; N IV  0 .
Строим эпюру нормальных сил (рис. 2, б).
N, кН σ , МПа
4х500
а)
80
100 кН
60
б) +
200
в) +
в)
37,79
19,89
u, мм
0,2195
0,3942
0,6076
100
35,37
+
0,7326
100 кН
Рисунок 2 – Брус без нижнего основания
1.3. Определяем площади поперечных сечений на каждом
участке.
  d 12   8 2
AI  AII 

 50,27 см 2 ;
4
4
2
 d 2  62
AIII  AIV 

 28,27 см 2 .
4
4
1.4. Определим нормальные напряжения на каждом участке:
N
200 10 3
I  I 
 37,79 МПа ;
AI 50,27 10  4
 II 
N II
AII
100 10 3
 19,89 МПа ;
50,27 10  4

N IV
100 10 3
 0.
 35,37 МПа ;  IV 
4
AIV
AIII 28,27 10
Строим эпюру нормальных сил (рис. 2, в).
1.5. Определяем удлинения каждого участка
 III 
lI 
N III

N I lI
E  AI
   l I  T 
200  10 3  0,5

2  10 11  50,27  10  4
 1,25  10  5  0,5  20  0,2195 мм ;
N II  l II
100 10 3  0,5
 l II 
   l II   T 

E  A II
2 10 11  50,27 10  4
 1,25 10  5  0,5  20  0,1747 мм ;
N III  l III
100  10 3  0,5
 l III 
   l III   T 

E  A III
2  10 11  28,27  10  4
 l IV
 1,25  10  5  0,5  20  0,2134 мм ;
N IV  l IV

   l IV   T  0  1,25  10  5  0,5  20  0,1250 мм .
E  AIV
1.6. Определяем перемещения границ участков бруса
и 0 , I  0 (закреплено);
и I , II  u 0 , I   l I  0  0,2195  0,2195 мм;
и II , III  u I , II   l II  0,2195  0,1747  0,3942 мм;
и III, IV  u II, III   l III  0,3942  0,2134  0,6076 мм;
и IV, V  u III, IV   l IV  0,6076  0,125  0,7326 мм.
Строим эпюру перемещений (рис. 2, г).
1.7. Назначим марку стали из условия прочности при центральном растяжении-сжатии:
 т   наиб  n т  37,79  1.5  56,69 МПа.
Этому пределу текучести будет соответствовать самая низкопрочная из сталей, ст.1, у которой σт = 190 МПа.
2 Брус с нижней опорной поверхностью
После приложения нагрузки и изменения температуры брус
удлинится и коснётся нижней опорной поверхности. В обеих
опорных поверхностях, появятся реакции R A и R B (рис. 3, а).
2.1. Определяем степень статической неопределимости
(ССН) системы
ССН = КН – КНУС = 2 – 1 = 1 – система один раз статически неопределима.
Здесь: КН – количество неизвестных реакций опор (в нашем
случае – 2);
КНУС – количество независимых уравнений статики (в
нашем случае – 1, сумма вертикальных проекций всех сил).
2.2. Раскрываем статическую неопределимость.
Для этого:
2.2.1. Выражаем нормальные силы на каждом участке через
R B (составляем необходимые уравнений статики)
N I  200 10 3  R B ; N II  N III  100 10 3  R B ; N IV   R B .
2.2.2. Составляем уравнение совместности деформаций, выражающее закономерность деформаций всего бруса (в нашем
случае – общее удлинение бруса = δ).
 l I   l II   l III   l IV   ;
N I lI
E  AI

N II  l II
E  AII

N III  l III
E  AIII

N IV  l IV
E  AIV

(2)
     ( l I  l II  l III  l IV )   T .
2.2.3. Решаем совместно уравнения (1), (2) и раскрываем
статическую неопределимость
 200 10
3

 R B  0,5
4
100 10

3

 R B  0,5
3

 R B  0,5
2 10  50,27 10
2 10  50,27 10
2 10  28,27 10  4
  R B  0,5  0,2 10  3  1,25 10 5  ( 2 )  20 ;

2 10 11  28,27 10  4
11
4
100 10

11
11

RB = 194,58 кН.
2.3. Определяем нормальные силы на каждом участке и
строим эпюру N (рис. 2, б):
N I  200  194,58  5,42 кН ;
N II  N III  100  194,58   94,58 кН ; N IV   194,58 кН.
2.4. Определим нормальные напряжения на каждом участке
и строим эпюру σ (рис. 2, в):
N
5,42 10 3
I  I 
 1,079 МПа ;
A I 50,27 10  4
A II

 94,58 10 3
 18,81 МПа ;
50,27 10  4
N, кН σ , МПа u, мм
RA
а)
80
б) 5,42 в)
в)
94,58 18,81 1,079
4х500
N II
100 кН
60
0,2
 II 
100 кН
194,58
RB
0, 1277
33,46
0,2057
+
68,86
0,2445
0,20003
Рисунок 3 – Брус с нижней опорной
поврхностью
 III 
N III
 IV 
N IV
A III
AIV

 94,58 10 3
  33,46 МПа ;
28,27  10  4

194,58  10 3
  68,86 МПа .
28,27  10  4
2.5. Определяем удлинения каждого участка
N I lI
5,42 10 3  0,5
lI 
  lI  T 

E  AI
2 10 11  50,27 10  4
 1,25 10  5  0,5  20  0,1277 мм ;
N II  l II
 94,58 10 3  0,5
 l II 
   l II   T 

E  AII
2 10 11  50,27 10  4
 1,25 10  5  0,5  20  0,0780 мм ;
N III  l III
 94,58 10 3  0,5
 l III 
   l III   T 

E  AIII
2 10 11  28,27 10  4
 l IV
 1,25 10  5  0,5  20  0,0414 мм ;
N IV  l IV
194,58 10 3  0,5

   l IV   T 

E  AIV
2 10 11  28,27 10  4
 1,25 10  5  0,5  20   0,0471мм .
2.6. Определяем перемещения границ участков бруса и
строим эпюру перемещений (рис. 2, г):
и 0 , I  0 (закреплено);
и I , II  u 0, I   l I  0  0,1277  0,1277 мм;
и II, III  u I , II   l II  0,1277  0,078  0,2057 мм;
и III, IV  u II, III   l III  0,2057  0,0414  0,2471 мм;
и IV, V  u III, IV   l IV  0,2471  0,04707  0,20003 мм;
Вычислим погрешность решения:
u IV.V  
100% 
0,20003  0,2
100%  0,015 %  3 %.

0,2
Погрешность в пределах допускаемой, следовательно, статическая неопределимость раскрыта верно.
2.7. Назначим марку стали из условия прочности при центральном растяжении-сжатии:
 т   наиб  n т  68,86 1.5  103,3 МПа .
Этому пределу текучести будет соответствовать самая низкопрочная из сталей, ст.1, у которой σт = 190 МПа.
Примечания:
1. Оформление РПР должно соответствовать требованиям: СТО СГАУ 02068410-004-2018. Общие
требования к учебным текстовым документам
[Текст]. – Самара: Изд-во Самарского университета,
2018. – 31 с.
2. Любые нарушения стандарта, потребует
переоформлене работы.
Скачать