Практическое занятие по теме «Степень с рациональным и действительным показателем» Цель занятия: научиться выполнять преобразование выражений, используя свойства степени, сравнивать выражения, содержащие степени с рациональным показателем. Краткий теоретический материал: Определение: Степенью числа 𝑎 > 0 с рациональным показателем 𝑚 𝑛 называется значение корня 𝑛–ой степени из числа 𝑎𝑚 . 𝑚 𝑛 𝑛 𝑎 = √𝑎𝑚 . (1) Свойства: Для любых чисел 𝑎, 𝑏, для любых целых чисел 𝑚, 𝑛 1. 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 ; 4. (𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 . 𝑏 𝑛 ; 2. 𝑎𝑚 : 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 ; 5. (𝑎)𝑛 = 𝑎𝑛 ; 𝑛 𝑚 𝑛 3. (𝑎 ) = 𝑎 𝑚𝑛 𝑏 ; 𝑏 6. если 𝑚 > 𝑛, то 𝑎𝑚 > 𝑎𝑛 при 𝑎 > 1; 𝑎𝑚 < 𝑎𝑛 при 0 < 𝑎 < 1. Примеры выполнения заданий: 1. Вычислить: 1 1) 642 = перейдем от показателя степени к корню по формуле (1) = √64 = √82 = 8 2) 16−0,75 = сначала переведем показатель степени в обыкновенную дробь, затем избавимся от минуса в показателе степени и только потом перейдем от показателя степени к корню по формуле (1) 3 = 3 16−4 4 3 1 4 4 1 3 4 1 4 1 3 1 √ √ = ( ) = ( ) = (( ) ) = ( ) = 16 16 2 2 8 11 3) 25 ∙ 2 5 = в данном выражении применим свойство 1 и получим: = 4 11 25+ 5 1 12 = 15 25 = 23 = 8 −4 4) (8 ) = здесь применим сначала свойство 3, затем перейдем от показателя степени к корню и получим: 1 1 1 3 3 = 812∙(−4) = 8−3 = √8−1 = √(23 )−1 = 2−1 = 2 2 2 5) 95 ∙ 275 = в данном примере сначала приведем в одному основанию, затем применим свойство 3 и свойство 1: 2 2 4 6 4 6 10 = (32 )5 ∙ (33 )5 = 35 ∙ 35 = 35+5 = 3 5 = 32 = 9 1 −0,75 6) ( ) 16 4 1 −3 +( ) 8 = сначала переведем показатель степени первого слагаемого в обыкновенную дробь, затем избавимся от минуса в показателе степени, применив свойство 3, и только потом перейдем от показателя степени к корню по формуле (1) 3 4 4 4 3 3 1 −4 1 −3 3 4 = ( ) + ( ) = (16−1 )−4 + (8−1 )−3 = 164 + 83 = √163 + √84 = 16 8 3 4 = √(24 )3 + √(23 )4 = 23 + 24 = 8 + 16 = 24 7) 32√2 ÷ 9√2 = приведем к одному основанию и применим свойство 3 и 2: = 32√2 ÷ (32 )√2 = 32√2 ÷ 32√2 = 32√2−2√2 = 30 = 1 8) 22−3√5 ∙ 8√5 = приведем к одному основанию и применим свойство 3 и 1: = 22−3√5 ∙ (23 )√5 = 22−3√5 ∙ 23√5 = 22−3√5+3√5 = 22 = 4 1+√5 9) (51−√5 ) 0 − (√5) = применив свойство 3, получим: =5 = 10) (1−√5)(1+√5) 12 −(√5) −1=5 2 1−5 −1=5 −1=5 −4 1 4 −1=( ) −1= 5 1 1 − 625 624 −1= =− 625 625 625 102+√7 22+√7 ∙51+√7 = в данном примере числитель разобьем на два множителя: = 22+√7 ∙ 52+√7 22+√7 ∙ 51+√7 = первый множитель числителя и первый множитель знаменателя сократим и применив свойство 3, получим: = 52+√7−1−√7 = 51 = 5 11) (251+√2 − 52√2 ) ∙ 5−1−2√2 = сначала перейдем к одному основанию, затем применим свойство 3, далее раскроем скобки и, применив свойство1, получим: = ((52 )1+√2 − 52√2 ) ∙ 5−1−2√2 = (52+2√2 − 52√2 ) ∙ 5−1−2√2 = = 52+2√2 ∙ 5−1−2√2 − 52√2 ∙ 5−1−2√2 = 52+2√2−1−2√2 − 52√2−1−2√2 = 1 25 − 1 24 4 = = = 4 = 4,8 5 5 5 5 2. Найти значение выражения: 12 3 4 12) √𝑎 ∙ √𝑎 ∙ √𝑎5 при 𝑎 = 2,7 перейдем от радикала к показателю степени и применив свойство 1 получим: = 51 − 5−1 = 5 − 1 12 1 1 1 5 5 4+3+5 12 + + √𝑎 ∙ √𝑎 ∙ √𝑎5 = 𝑎3 ∙ 𝑎4 ∙ 𝑎12 = 𝑎3 4 12 = 𝑎 12 = 𝑎12 = 𝑎 = 2,7 3. Представить в виде степени с рациональным показателем: 3 4 1 13) 𝑎3 ∙ √𝑎 = во втором множителе переведем корень в показатель степени и применим свойство 1: 1 3 1 3 1 2 𝑎 ∙ √𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎 1 2 1 3 1 3 1 2 6 1 1 + 3 2 1 6 =𝑎 2+3 6 =𝑎 5 6 1 1 1 + + 2 3 6 3+2+1 6 5 45 5 14) 𝑏 ∙ 𝑏 ∙ √𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑏 ∙ 𝑏 = 𝑏 = 𝑏 6 = 𝑏6 = 𝑏 15) 𝑥 1,7 ∙ 𝑥 2,8 ÷ √𝑥 5 = Показатель степени первого и второго множителя переведем в обыкновенную дробь, затем от корня перейдем к показателю степени, далее применим свойства 1 и 2: 17 28 17 28 5 5 45 𝑥 10 ∙ 𝑥 10 ÷ 𝑥 2 = 𝑥 10+10 ÷ 𝑥 2 = 𝑥 10 ÷ 𝑥 2 = 𝑥 10−2 = 𝑥 4. Упростить выражение: √3 16) (𝑏 √3 ) 45−25 10 20 = 𝑥 10 = 𝑥 2 ÷ 𝑏2 = здесь применив свойство 3 и 2 получим: = 𝑏 √3∙√3 ÷ 𝑏 2 = 𝑏 3 ÷ 𝑏 2 = 𝑏 3−2 = 𝑏 Практическая работа 1. Вычислить: 1 −4 1) 8 7) 5−3 ÷ 5−5 − ( ) 5 1 4) 2 ∙ 125−3 2 3 3 −5 2) 9−1,5 4 3) 3 ∙ 3 5) −13 ∙3 −5 11 ∙3 1 −2 (4) 1 9 − 1,8 6) (3 ) Критерии оценивания: 8 заданий – «отлично» 6-7 заданий – «хорошо» 3-5 заданий – «удовлетворительно» менее 3 заданий – «неудовлетворительно» − 4−3 ÷ 4−5 ∙ 90,1 8) ( ) 4 4 8 ÷ (− ) 3