Упражнения.

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВА
Государственное образовательное учреждение гимназия № 1526
УТВЕРЖДАЮ
Директор ГОУ Гимназия № 1526
_____________ /Т.Г. Болдина/
«___»_____________2010 г.
РЕКЛАМНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
Лекционный и дидактический материалы по теме «Интеграл»
.32453246.00184-01 99 01
Листов 9
Разработчик:
Агапова О.В.
14.04.2010
МОСКВА, 2010
2
.32453246.00184-01 99 01
1. Функциональное назначение продукта, область применения, его ограничения
1. Дифференциал.
При решении многих задач вместо производной f’(x) вводят произведение f’(x)∆x, где
∆х – произвольное приращение переменной х. Это произведение называют дифференциалом функции y = f(x) и обозначают dy или df(x).
dy = y’∆x или df(x) = f’(x)∆x.
Если f(x) = x, то по опр. дифференциала dx = x’∆x = ∆x, т.е. дифференциал независимой
переменной х равен приращению этой переменной, dx = ∆x.
Поэтому дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента: dy = f’(x)dx.
Упражнения.
Найти дифференциал функции:
1) y = 3x2 + 5, dy = 6xdx, т.к. y’ = (3x2 + 5)’ = 6x.
2) y = (x3 – 2)4
3) y = ax2 + bx + c
4) y =
x2 1
5) y =
4  2x 2
6) y = (1-x2)5
7) y = (a3 – x3)6
8) y = (ax2 + b)3
9) y =
a2  x 2
a2  x 2
1
11) y =
2x  1
12) y = arccosx2
1
13) y = arcctg
x
10) y =
2. Геометрический смысл дифференциала.
Пусть y = f(x) – некоторая функция. М (x0; f(x0)) – точка, принадлежащая графику этой
функции. Проведем через точку М касательную к графику функции. Угловой коэффициент наклона касательной (тангенс угла наклона) равен значению производной f’(x0).
Если аргументу функции придать приращение ∆x, то приращение функции ∆y будет
равно
∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0).
На рис. ∆y – длина отрезка М1Р. При том же самом приращении аргумента ∆x приращение касательной будет равно длине отрезка NP. Вычисляя длину NP, как катет прямоугольного треугольника MNP, находим
NP = MP tgα = f’(x0)∆x.
3
.32453246.00184-01 99 01
По определению дифференциала f’(x0)∆x = dy, следовательно длина отрезка NP и есть
дифференциал функции dy.
3. Определение первообразной.
При решении ряда задач механики и физики необходимо восстанавливать функцию по
ее известной производной. Так, если материальная точка движется по прямой, не меняя
направления своего движения, и расстояние, пройденное точкой, - известная функция
времени S(t), то мгновенная скорость точки вычисляется как производная пройденного
пути V = S’(t).
Пусть теперь нам известен закон изменения скорости точки, т.е. задана функция V(t), и
требуется найти расстояние, которое прошла материальная точка за некоторый промежуток времени t. Для того чтобы решить сформулированную задачу, необходимо по
известной производной (в нашем случае скорости V(t)) восстановить саму функцию (в
нашем случае S(t)).
Восстановление функции по известной ее производной называется интегрированием
(задача, обратная дифференцированию).
Опр. Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка F’(x) = f(x).
Примеры.
1) f(x) = x3
F(x) = x4/4, т.к. F’(x) = (x4/4)’ =
1 3
4x = x3 = f(x).
4
2) f(x) = sin3x
1
cos3x, т.к. …
3
3) f(x) = 3x2
F(x) = -
F(x) = x3, т.к. …
Отработка упражнений обязательного уровня. Учебник, № 326-328; А.П. Ершова, С-44,
Вар. А1, А2, №1; С.М. Саакян, 1 уровень, №
Закрепление. Учебник, №330-333, А.П. Ершова, С-44, Вар. Б1, Б2, №1; С.М. Саакян, 2
уровень, №
Углубление. Учебник, №334, А.П. Ершова, С-44, Вар. В1, В2, №1; С.М. Саакян, 3 уровень, №
4. Основное свойство первообразной.
Легко заметить, что функция F(x) = x3 + 1 имеет ту же самую производную, что и F(x) =
x3. Поэтому F(x) = x3 + 1 является также первообразной для функции f(x) = 3x2 на R.
Ясно, что вместо 1 можно поставить любую постоянную. Таким образом, задача
нахождения первообразной имеет бесконечно много решений.
Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные.
При решении этой задачи важную роль играет признак постоянства функции.
Для доказательства признака постоянства функции повторить формулу Лагранжа
(учебник под ред. Колмогорова, стр. 128-129).
4
.32453246.00184-01 99 01
Признак постоянства функции.
Теорема. Если F’(x) = 0 на некотором промежутке I, то функция F постоянна на этом
промежутке.
Док-во: 1. Зафиксируем некоторое x0 из промежутка I.
5. Тогда для любого числа x из этого промежутка в силу формулы Лагранжа можно указать такое число С, заключенное между х и х0, что
F(x) – F(x0) = F’©(x-
x0).
6. Т.к. С  I (C лежит между х0 и х), F’(C ) = 0, и значит F(x) – F(x0) = 0, т.е F(x) =
F(x0) – функция F сохраняет постоянное значение.
Основное свойство первообразной.
Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в
виде F(x) + C (1), где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на промежутке I, а
С – произвольная постоянная.
Это утверждение содержит 2 свойства первообразной.
1. Какое бы число не поставить в выражение (1) вместо С, получится первообразная для f(x) на промежутке I.
2. Какую бы первообразную Ф(x) для f(x) на промежутке I не взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство:
Ф(х) = F(x) + C.
Док-во: 1. По условию функция F – первообразная для f на промежутке I. Следовательно F’(x) = f(x) для любого х  I, поэтому
(F(x)+C)’ = F’(x) + C’ = f(x) + 0 = f(x), т.е. F(x) + C – первообразная для f(x).
2. Пусть Ф(х) – одна из первообразных для функции f(x) на том же промежутке I, т.е.
Ф’(x) = f(x) для всех хI, тогда
(Ф(х) – F(x))’ = Ф’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0.
Отсюда следует, что разность Ф(x) – F(x) есть функция, принимающая некоторое постоянное значение С на промежутке I (в силу признака постоянства функции). Таким
образом, для всех х из промежутка I справедливо равенство Ф(x) – F(х) = С, т.е. Ф(x) =
F(x) + C, что и требовалось доказать.
Геометрический смысл основного свойства первообразной.
Графики любых двух первообразных для функции F получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу (учебник, рис. 118).
5
.32453246.00184-01 99 01
Таблица первообразных.
Функция f
1. k (постоянная)
2. xn (nZ, n  -1)
3.
1
x
4. sinx
5. cosx
1
6.
cos2 x
1
7.
sin 2 x
1
8.
x
9. ex
10. ax
11.
Общий вид первообразных для f
kx + C
x n 1
+C
n 1
2 x +C
-cosx + C
sinx + C
tgx + C
-ctgx + C
ln|x| + C
ex + C
ax
C
ln a
1
arcsinx + C
1  x2
1
12.
arctgx + C
1  x2
Отработка упражнений обязательного уровня. Учебник, № 335-337; А.П. Ершова, С-44,
Вар. А1, А2, №2-3; С.М. Саакян, 1 уровень, №
Закрепление. Учебник, №338-339; С.М. Саакян, 2 уровень, №
Углубление. Учебник, №340; С.М. Саакян, 3 уровень, №
5. Три правила нахождения первообразных.
Правило 1. Если F есть первообразная для f, а G – первообразная для g, то F+G – есть
первообразная для f+g.
(F+G)’=F’+G’= f+g.
Правило 2. Если F есть первообразная для f, а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf.
(kF)’= kF’ = kf.
Правило 3. Если F есть первообразная для f, а k и b – постоянные, причем
k  0, то
1
F ( kx  b) - есть первообразная для f(kx+b).
k
1
1
( F ( kx  b) )’ = F ' ' ( kx  b) k  f ( kx  b) .
k
k
Отработка упражнений обязательного уровня. Учебник, № 342-345; А.П. Ершова, С-44,
Вар. А1, А2, №2-3; С.М. Саакян, 1 уровень, №
Закрепление. Учебник, №346-351, А.П. Ершова, С-44, Вар. Б1, Б2, №2-3; С.М. Саакян,
2 уровень, №
6
.32453246.00184-01 99 01
Углубление. Учебник, №340, А.П. Ершова, С-44, Вар. В1, В2, №3; С.М. Саакян, 3 уровень, №
Проверочная работа.
6. Введение понятия неопределенного интеграла.
Пример 1. Найдите первообразную F(x) для функции
3
sin x
f(x) = 2x3 + x - 4 +
.
x
5
x4
2
1 cos x
F(x) =
+ x x 3
.
2
3
x
5
Замечание. В школе, вводя понятие первообразной, не вводят понятие неопределенного
интеграла. Это и не логично, и дискомфортно: во-первых, ни в одном учебнике математического анализа первообразная как самостоятельный объект изучения не рассматривается; во-вторых, приходится использовать неудобоваримые сюжеты типа примера 1
вместо приятной и слуху, и глазу формулировки: «Найти интеграл
3 sin x
 (2x  x  x 4  5 )dx ».
Для функции f(x) = 2x первообразными являются х2, х2 + 1, х2 – 7, …, х2 + С, СR.
Вообще, если у функции f(x) есть первообразная F(x), то у нее бесконечно много первообразных, и все они имеют вид F(x) + C. Это множество первообразных принято обозначать  f ( x )dx и называть неопределенным интегралом функции f(x).
x3
C
3
Термин «неопределенный» объясняется тем, что конкретно не указывается, какая
Пр.  x 2 dx 
именно выбирается первообразная из бесконечного множества первообразных.
Дублирование темы «Первообразная».
Формулы интегрирования.
x r 1
2.  x dx 
 C (r  1)
r 1
3.  sin xdx   cos x  C
dx
1
x
 arctg  C
x
a
a
1
9.  dx  ln | x | C
x
10.  e x dx  e x  C
4.  cos xdx  sin x  C
11.  a x dx 
1.  dx  x  C
8.
r
dx
5.
 cos
6.
 sin
7.

2
x
dx
2
x
dx
 tgx  C
 ctgx  C
a2  x 2
 arcsin
x
C
a
a
2
ax
C
ln a
7
.32453246.00184-01 99 01
Правила интегрирования.
1.  kf ( x )dx  k  f ( x )dx
2.  ( f ( x )  g ( x )) dx   f ( x )dx   g ( x )dx
 f ( x )dx  F ( x )  C ,
3. Если
то
1
 f (ax  b)dx  a F (ax  b)  C
Упражнения по теме «Неопределенный интеграл» (углубление).
Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таб-
I.
лицы интегралов. Здесь могут представиться следующие случаи:
а) данный интеграл находится по соответствующему табличному интегралу;
б) данный интеграл после применения свойств приводится к одному или нескольким
табличным интегралам;
в) данный интеграл после элементарных тождественных преобразований над подынтегральной функцией и применения свойств приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
dx
1)  5dx
11)  2
x 4
x2  5
2
2)  6 x dx
12)  2 dx
x x
x 4 dx
3)  4( x 2  x  3)dx
13)  2
x 4
dx
4)  2(3x  1)2 dx
14) 
4x  1  4x  2
3
2
x  3x  4 x
5) 
15)  sin x sin 4 xdx
dx
x
dx
6)  x 4 dx
16)  2
x  a2
dx
7) 
x
8)  cos(5x  3)dx
9)
5dx
 cos
10)

2
x
dx
3
II.
x
Метод замены переменной – один из самых эффективных методов интегрирования.
Непосредственное вычисление интегралов с помощью элементарных преобразований
подынтегрального выражения и сведение заданного интеграла к табличным удается довольно редко.
8
.32453246.00184-01 99 01
Идея метода замены переменной: если
 f ( x )dx  F ( x )  C ,
то
 f (u)du  F (u)  C , где
u – некоторая дифференцируемая функция от х.
Примеры.
sin xdx
du
1
1
  2   u 2 du   C 
 C (Положим cosx=u, тогда du = (cosx)’dx
2
x
u
u
cos x
= -sinxdx).
2.  cos5 xdx   cos 4 x cos xdx   (1  u2 )2 du   (1  2u2  u 4 )du   du  2  u2 du   u 4 du 
1.
 cos
2 3 1 5
2
1
u  u  sin x  sin 3 x  sin 5 x  C (Заметим, если u=sinx, то du=cosxdx;
3
5
3
5
4
2 2
4
2 2
cos x = (1-sin x) , cos x = (1-u ) ).
xdx
3. 
8.  x 2 1  x dx
4
1 x
x 2 dx
xdx
4. 
9.  6
x 4
1  x2
3
5.  cos xdx
=u -
6.

x 2 dx
1  2x
7.  3x 7 4 x  2 dx
Задания для подготовки к семинару.
1. А.П. Ершова, С-44, Вар. В1, В2, №2;
2. А.П. Ершова, С-47* (избранные задачи интегрального исчисления), Вар.1,2, №1
(а-к).
Проверочная работа.
Вар. 1.
Вар. 2.
1) Вычислить интегралы.
а) 
(2  3 x )
dx ;
x3
а)

x 2  3x  4
x x
dx ;
sin 2 x  2 sin 2x 2
3
7
) dx
б)  cos(2 x  ) cos(4 x  )dx
1  tgx
4
4
2
2) Докажите, что функция F(x) = 3x + sin 3x является первообразной для функции
б)  (
f(x)= 6cos2(

4
 3x ) .
2) Докажите, что функция F(x) = 3x + 2sin2x + 0,25sin4x является первообразной для
функции f(x)= 8cos4x.
3) Постройте график функции y= sinx cos2 x  cos x sin 2 x . Есть ли у этой функции точки, в которых она недифференцируема.
9
.32453246.00184-01 99 01
3) Постройте график функции y= sin 2 2 x  2 sin x cos x . Есть ли у этой функции
точки, в которых она недифференцируема.
2. Используемые технические средства
Для знакомства с результатами работы необходима операционная система Windows - XP и выше.
3. Специальные условия применения и требования
организационного, технического и технологического характера
Специальные условия применения и требования организационного, технического и технологического характера отсутствуют.
4.
Условия передачи документации на разработку или ее
продажи
Разработка предоставляется только с разрешения автора.